第七章非平稳时间序列
时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究。经典时间序列分析和回归分析有许多假定前提，如序列的平稳性、正态性等,，如果直接将经济变量的时间序列数据用于建模分析，实际上隐含了这些假定。在这些假定成立的条件下，进行的t检验、F检验与2 等检验才具有较高的可靠度。但是，越来越多的经验证据表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的。那末，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列来进行分析，会造成什么不良后果？如何判断一个时间序列是否为平稳序列？当我们在计量经济分析中涉及到非平稳时间序列时，应作如何处理呢？这就是本章要讨论的基本内容。
第一节伪回归问题
经典计量经济学建模过程中，通常假定经济时间序列是平稳的，而且主要以某种经济理论或对某种经济行为的认识来确立计量经济模型的理论关系形式，借此形式进行数据收集、参数估计以及模型检验，这是20世纪70年代以前计量经济学的主导方法。然而，这种方法所构建的计量经济模型在20世纪70年代出现石油危机后引起的经济动荡面前却失灵了。这里的失灵不是指这些模型没能预见石油危机的出现，而是指这些模型无法预计石油危机的振荡对许多基本经济变量的动态影响。因此引起了计量经济学界对经典计量经济学方法论的反思，并将研究的注意力转向宏观经济变量非平稳性对建模的影响。人们发现，由于经济分析中所涉及的经济变量数据基本上是时间序列数据，而大多数经济时间序列是非平稳的，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列进行回归分析，则可能会带来不良后果，如伪回归问题。
所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在有意义的关系，但回归结果却得出存在有意义关系的错误结论。经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归现象，但在什么条件下会产生伪回归现象，长期以来无统一认识。直到20世纪70年代，Grange、Newbold研究发现，造成“伪回归”的根本原因在于时间序列变量的非平稳性。他们用Monte Carlo模拟方法研究表明，如果用传统回归分
析方法对彼此不相关联的非平稳变量进行回归，t检验值和F检验值往往会倾向于显著，从而得出“变量相依”的“伪回归结果”。
因此，在利用回归分析方法讨论经济变量有意义的经济关系之前，必须对经济变量时间序列的平稳性与非平稳性进行判断。如果经济变量时间序列是非平稳的，则需要寻找新的处理方法。20世纪80年代发展起来的协整理论就是处理非平稳经济变量关系的行之有效的方法。该理论自从诞生以来，受到众多经济学家的重视，并广泛运用于对实际经济问题的研究。
所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数据的随机过程的特征随时间而变化。当生成序列的随机过程是非平稳的时候，其均值函数，方差函数不再是常数，自协方差函数也不仅仅是时间间隔t-s的函数，前面所介绍的高斯——马尔科夫定理不再成立，一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果，前面所介绍的计量经济技术也将遇到困难。
在经济领域中，我们所得到的许多时间序列观测值大都不是由平稳过程产生的。例如，国内生产总值GDP大多数情况下随时间的位移而持续增长；货币供给量M2在正常状态下会随时间的位移而扩大。也就是说，2009年GDP或M2观测值的随机性质与1999年的GDP和M2的随机性质有相当的区别。由于在实际中遇到的时间序列数据很可能是非平稳序列，而平稳性在计量经济建模中又具有重要地位，因此有必要对观测值的时间序列数据进行平稳性检验。
第二节单位根过程与检验
从前面平稳过程的定义可以看出，一个平稳过程的数据图形特征为：数据围绕长期均值E(x t)=μ波动，偏离均值之后，有复归均值的调整；方差variance有限且不随时间改变；其自相关函数随时间衰减。与之相对应的概念是非平稳过程，定义为对平稳过程的条件之一不能满足的过程即为非平稳过程，其数据图形特征为：不存在长期均值；方差具有时变性且趋于无穷；从理论说，自相关不随时间
衰减，
但对于有限样本，样本自相关亦可能较慢速的衰减。所以我们可以根据平稳过程的数字特征对它进行平稳性检验，这是时间序列平稳性的检验方法的传统方法。
介绍传统方法的书籍较多，所以本书不作介绍，本书介绍平稳性检验的现代方法之一：单位根检验法。 一、单位根过程
一般来讲，由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关
系，这种前后依存关系是时间序列预测的基础。假定{}t y 为一时间序列，最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关，而与其前一时期以前的取值状况无直接关系，也就是说t y 主要与1t y -相关，与2t y - ，
3t y -，……无关。可用如下的一阶自回归模型来描述这种关系：
1t t t y y u γ-=+ (7.1)
常记作AR(1)。
如果t y 不仅与前一期1t y -有关，而且与2t y -相关，显然，在这种情况下用AR(1) 来刻画t y 的动态依存关系就不恰当了，而需要在模型中引入2t y -。一般的，如果
t y 与过去时期直到t p y -的取值相关，则{}t y 的动态关系就需要使用包含1t y - ，……，t p y -在内的p 阶自回归模型来加以刻画。p 阶自回归模型的一般形式为：
1122t t t p t p t y y y y u γγγ---=++++ (7.2)
为了说明单位根过程的概念，这里侧重以AR(1)模型1t t t y y u γ-=+进行分析。根据平稳时间序列分析的理论可知，当1γ<时，该序列{}t y 是平稳的,此模型是经典的Box-Jenkins 时间序列AR(1)模型。但是，如果1γ=，则序列的生成过程变为随机游走过程：
1t t t y y u -=+ (7.3)
其中，{}t u 独立同分布且均值为零、方差恒定为2σ。随机游走过程的方差为：
121()()()t t t t t t Var y Var y u Var y u u ---=+=++
2121()t t Var u u u u t σ-=++++=
当∞→t 时，序列的方差趋于无穷大，这说明随机游走过程是非平稳的，同时也说明随机游走过程具有“记忆性”。下面我们来对比一下随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征
表1 随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较
有时我们也称一个随机游动过程是一个单位根过程。过程1t t t y y u -=+之所以被称为单位根过程是因为如下事实。如果我们用滞后算子L 来表示过程{}t y ，则有
(1)t t L y u ρ-= （7.4）
而（7.4）所对应的特征函数为
0|1|=-L ρ （7.5）
当方程（7.5）有一个根位于单位园上即L =1,有1||=ρ时，从而可知y t 由随机趋势所决定。这样，1=ρ刻划了数据生成过程(DGP)（7.1）的特征根位于单位园上且数据由随机趋势所支配，因此，1=ρ时称过程（7.1）为单位根过程
较随机游动更一般的，是一般的单位根过程。如果随机过程{}t y 遵从：
1t t t y y u γ-=+ (7.6)
其中，1=γ，}{t u 为一平稳过程，且 ,2,1,0,),(,0)(=∞<==-s u u Cov u E s s t t t μ。则称序列{}t y 为（不带漂移的）单位根过程。带漂移和时间趋势的单位根过程服从如下模型：
1t t t y t y u αβ-=+++ (7.7)
显然，随机游动过程是一般单位根过程的一个特例。
从单位根过程的定义可以看出，含一个单位根的过程{}t y ，其一阶差分：
1t t t t y y y u -?=-=
是一平稳过程，像这种经过一次差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列(Integrated Process)，记为{}t y ~I(1)。有时一个序列经一次差分后可能还是非平稳的，如果序列经过二阶差分后才变成平稳过程，则称序列为二阶单整序列，记为
{}t y ~I(2)。一般地，如果序列{}t y 经过d 次差分后平稳，而d-1次差分却不平稳，
那么称{}t y 为d 阶单整序列，记为{}t y ~I （d ），d 称为整形阶数。特别地，若序列{}t Y 本身是平稳的，则称序列为零阶单整序列，记为{}t y ~I （0）。
二、Dickey-Fuller 检验（DF 检验）
我们知道大多数的经济变量，如GDP 、总消费、价格水平以及货币供给虽M2等都会呈现出强烈的趋势特征。这些具有趋势特征的经济变量，当发生经济振荡或冲击后，一般会出现两种情形，一是受到振荡或冲击后，经济变量逐渐又回到它们的长期趋势轨迹；二是这些经济变量没有回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态。若我们研究的经济变量遵从一个非平稳过程(比如随机游走过程)，当运用最小二乘法时，前面所介绍的高斯——马尔科夫定理不再成立，一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果。同时，如果我们所研究的经济变量(如GDP)是非平稳的，则经济出现突发性振荡(如石油价格猛增，金融危机或政府开支骤减等)所造成的影响不会在短期内消失，其影响将是持久性的。这也是研究单位根检验的重要意义所在。
在介绍检验方法之前，先讨论检验统计量的分布。（这部分内容理论性强，可跳过或选讲） 情形1：
数据生成过程（DGP ）：
1t t t y y u -=+, y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) (7.8)
OLS 估计过程： 1t t t y y u γ-=+ (7.9)
提出假设 1:0=γH ；1:1H γ<
以OLS 估计式1t t t y y u γ-=+为例，若真值0γ=，则统计量
?()
?(1)?()
t t T se γγγ=- ， (7.10) 的极限分布为标准正态分布。 若真值||1γ<，则统计量
?()t γ=
??()
se γγ
γ- (7.11) 渐近服从标准正态分布。
在0H 成立的条件下1γ=，这时?()t γ统计量不再服从通常的t 分布，而是服从DF 分布。此时?()t γ称为DF 统计量。可以证明当T → ∞ 时，
2?()?()
1
[((1))1]
?1W DF t s γγβ--==
? (7.12) DF 统计量是O p (1 )的，其渐近分布与σ 无关。由于该极限分布无法用解析的方
法求解，一般都是用模拟和数值计算的方法研究DF 统计量的有限样本分布。
图1 在情形1下： T =100，模拟1万次的DF 统计量的分布 情形2：
数据生成过程（DGP ）：y t = y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) (7.13) OLS 估计过程： 1t t t y y u αγ-=++ (7.14) 其原假设为
0:0;1;H αγ==1:0;1;H αγ≠<
下面我们讨论?()t γ、)?(αt 的极限分布和有限样本分布特征。统计量?()t γ= DF 、
)?(αt 的极限分布都是Wiener 过程的泛函。可以证明，当T → ∞ 时，
12
0?()
?()1[((1))1](1)()?1W W W i di DF t s γγβ---==?
? (7.15) （推导可参见Hamilton 《时间序列分析》。DF 统计量是O (1 )的。）
)?(αt 不再服从t 分布。)?(αt 的极限分布是Wiener 过程的泛函。
?=
)?()?(?αααs t ?
????
??????---10
2
21010210102
2))((])([))(()(]1))1([(21))(()1(di
i W di i W di i W di i W W di i W W (7..16) )?(αt 统计量是O p (1
)的。
（推导见张晓峒，攸频：DF 检验式中漂移项和趋势项的t 统计量研究，《数量经济技术经济研究》，2006第2期）
图2 在情形2下： T =100，模拟1万次的DF 统计量的分布
图3 在情形2下： T =100，模拟1万次的)?(αt 的分布
情形3：
数据生成过程（DGP ）： y t = α + y t -1 + u t , （α是否为零均可）
y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2)
OLS 估计过程： 1t t t y t y u αβγ-=+++ (7.17)
为防止α 不为零时从而使估计式引入时间趋势项，导致解释变量多重共线性，等价的OLS 估计式是 1****t t t y y t u αγβ-=+++ 其中，*(1),*,*αγαγγββγα=-==+
00:;1;0H ααγβ===相当于：00:*0;*1;*H αγβα=== 10:;1;0H ααγβ≠<≠
讨论DF =)?(γt 、)?(αt 、)?(βt 的极限分布和有限样本分布特征。可以证明，当T → ∞ 时，
?()?()
?1
DF t s γγγ-==?
A
212F (7.18)
其中
1122001
11(1)()(1)()((1)1)6
224F W W i di W iW i di W ?=-+-????+???-???2101010])([21)()(di i W di i iW di i W |A | =
?
??
???????
?????
?
????
?3/1)(2/1)()()(2
/1)(11
01
01
021
01
0di
i iW di i iW di i W di i W di
i W
推导见Hamilton 《时间序列分析》。DF 统计量是O p (1 )的，其渐近分布既不依赖于α，也不依赖于σ。
)?(αt , )?(βt 服从的是如下极限分布。 ?
)?(αt 2
1
1
21
])([))((3
1
??-di i W di i W A
F (7.19)
?()t β?
2
1
1
02
3
])([))
((??-di i W di i W A
F (7.20)
其中F 1和F 2都是Wiener 过程的泛函。)?(αt , )?(βt 统计量是O p (1
)的，其渐近分布
既不依赖于α，也不依赖于σ。
图4 在情形3下： T =100，模拟1万次的DF 统计量的分布
T =100，模拟1万次的)?(αt 分布见图。
图5 在情形3下： T =100，模拟
1万次的)?(αt 的分布
图6 在情形3下： T =100，模拟1万次的?()t β的分布
1γ=-时的DF 的分布是1γ=时的DF 分布的镜像，所以只研究1γ=条件下
DF 的分布即可。对于经济问题，很少出现 1γ=-的情形。下面我们用图形把 DF 统计量的有限样本分布特征总结一下。
以模型 (7.8)为条件，取样本容量T = 100，用蒙特卡罗方法，分别用（7.17）、（7.14）和（7.9）式各模拟10000次得到的DF 的分布见图7。黑、蓝、红色直方图分别代表（7.17）、（7.14）和（7.9）式中DF 统计量的分布。随着确定项的增加，分布越来越向左移。蓝色DF 分布近似于t 分布，但整体向左大约移动了1.6个单位。
图7 情形1、2、3的DF 统计量分布的蒙特卡罗模拟（T=50）
因为不同情况，DF 统计量分布有区别，所以Fuller(1976) 针对如下三种方程编制了临界值表
模型I ： 1t t t y y u γ-=+ 模型Ⅱ： 1t t t y y u αγ-=++ 模型Ⅲ； 1t t t y t y u αβγ-=+++
Fuller 使用蒙特卡罗模拟方法得到的DF 统计量的百分位数表如下
表2 DF 分布百分位数表
模型 T α
0.01 0.025
0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99 25 - 2.66 - 2.26 - 1.95 - 1.60 0.92 1.33 1.70 2.16 50 - 2.62 - 2.25 - 1.95 - 1.61 0.91 1.31 1.66 2.08 100 - 2.60 - 2.24 - 1.95 - 1.61 0.90 1.29 1.64 2.03 情形1 250 - 2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.29 1.63 2.01 500
- 2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.28 1.62 2.00 ∞ - 2.58
- 2.23
- 1.95
- 1.62
0.89
1.28
1.62
2.00
25 - 3.75 - 3.33 - 3.00 - 2.63 - 0.37 0.00 0.34 0.72
50
- 3.58 - 3.22 - 2.93 - 2.60 - 0.40 - 0.03 0.29
0.66
100 - 3.51
- 3.17 - 2.89 - 2.58 - 0.42 - 0.05 0.26 0.63 情形2 250 - 3.46 - 3.14 - 2.88 - 2.57 - 0.42 - 0.06 0.24 0.62 500
- 3.44 - 3.13 - 2.87 - 2.57 - 0.43 - 0.07 0.24 0.61
∞ - 3.43 - 3.12 - 2.86 - 2.57 - 0.44 - 0.07 0.23 0.60 25
- 4.38 - 3.95 - 3.60 - 3.24 - 1.14 - 0.80 - 0.50 - 0.15 50 - 4.15 - 3.80 - 3.50 - 3.18 - 1.19 - 0.87 - 0.58 - 0.24 100 - 4.04 - 3.73 - 3.45 - 3.15 - 1.22 - 0.90 - 0.62 - 0.28 情形3 250 - 3.99 - 3.69 - 3.43 - 3.13 - 1.23 - 0.92 - 0.64 - 0.31 500
- 3.98 - 3.68 - 3.42 - 3.13 - 1.24 - 0.93 - 0.65 - 0.32
∞ - 3.96
- 3.66
- 3.41
- 3.12
- 1.25
- 0.94 - 0.66 - 0.33 t (∞) N (0, 1) - 2.33 - 1.96 - 1.65 - 1.28 1.28
1.65
1.96
2.33
注：1. 适用于情形1、2、3，条件β = 1。T ：样本容量，α：检验水平。
后来，Mackinnon 把临界值表加以扩充，形成了目前使用广泛的临界值表，在EViews 软件中使用的是Mackinnon 临界值表。
三、Augmented Dickey-Fuller 检验（ADF 检验）
以上三个自回归模型对于研究实际经济变量太严格，只允许数据生成过程是一阶自回归，还应该进一步讨论在AR(p ) 模型条件下，随机误差项非白噪声条件下，检验用统计量的分布特征。
扩展之一：从一阶自回归过程到p 阶自回归过程
1122....t t t p t p t y y y y u γγγ---=++++ (7.21)
当t y 中含有单位根时，可以通过如下模型研究 β = 1条件下，检验用统计量DF 的分布特征。
11p
t t i t i t i y y y u γα--==+?+∑ , (7.22)
其中 12....p γγγγ=+++，1[....]j j j p αγγ++=-++，1,2,,1j p =-
i γ为 (7.21) 式中的自回归系数。为什么可以通过 (7.22) 式进行研究呢？
这是由于
2112122311122112312132112112234 (1)(....)(1)
11()()() ()()1[(....)(....)] [(....)p p p p p p p p p p p p p p L L L L L L L L L L L L L L L L L L γαααγααααααγααααααααγγγγγγγγ-----------+++-=--+-+--+=-+---------=-+++-++--++++ 221121121(....)] [()()]()1p p p p p p p p p
p p L L L L L L L γγγγγγγγγγ----++---++-=-----
从而可把(7.21)式 1122(....)t t t p t p
t
y y y y u
γγγ----++
+= 等价地变换为 21121{(1)(....)(1)}p p t t L L L L L y u γααα----+++-= 亦即 11122
1
1
t t t t p t
p t
y y y y y u γααα-----+=+?+?++
?+
（7.22) 式中相对于γ的DF 统计量的分布与 (7.9) 式中DF 统计量的分布近似相同。 (7.22) 式中的差分项 t j y -?，1,2,,1j p =- 之所以不会对DF 统计量的分布产生影响是因为当 (1)t y I ，则全部 (0)t j y I -? 。t y 与 t j y -?的交叉积渐进被忽略。 从而使 (7.22) 式中 γ 的DF 统计量的分布与 (7.9) 式中γ的DF 统计量渐近相同。
当模型 (7.21) 中含有位移项α和趋势项 t β时，对应γ的DF 统计量的分布分别与情形2、情形3中DF 统计量的分布相同。
扩展之二：扰动项原来不相关变为相关 考虑如下AR(1) 过程
1t t t y y u γ-=+ (7.23)
其中允许随机项u t 是一个ARMA(p , q ) 过程，甚至参数 p , q 的值也可未知。则可以用下式研究γ和DF 统计量的分布。
11
???k
t t i t i t i y y y v γ
α--==+?+∑ (7.24) 若1γ=，上式是一个差分的AR(k ) 过程。加入 t y ?滞后项的目的是捕捉 (7.8) 式误差项u t 中的自相关。（u t 的自相关项对于模型 (7.8) 来说是移动平均项，所以
t y ? 滞后项的加入可以捕捉之。
）因为可逆的移动平均过程可以转化为一个无限阶的自回归过程，所以对t u 而言的移动平均项t v , 1,,t q = 完全可以通过增加t
u 的滞后项而吸收。进而被足够的t i y -?项所吸收。从而使t v ?近似为一个白噪声过程。
Said-Dickey (1984) 证明 (7.24) 式中γ的DF 统计量的分布与 (7.8) 式中γ的DF 统计量的分布类似。 当 (7.8) 式中加入位移项α和趋势项t β时，γ 的DF 分布分别与 情形1和 情形中γ的DF 分布类似。
无论是情形1还是情形2发生，如果还用DF 检验，都会导致随机扰动项t u 存在自相关。而当随机扰动项存在自相关时，直接使用DF 检验法会出现偏误，为了保证单位根检验的有效性，人们对DF 检验进行拓展，从而形成了扩展的DF 检验，简称为ADF 检验。根据我们的讨论，要使扰动项无自相关，只需要在原模型加入差分项即可，具体做法如下。
假设基本模型为如下三种类型：
模型I ： t t t u Y Y +=-1γ 模型Ⅱ： t t t u Y Y ++=-1γα 模型Ⅲ； t t t u Y t Y +++=-1γβα
其中t u 为随机扰动项，它可以是一个一般的平稳过程。为了借用DF 检验的方法，将模型变为如下形式：
模型I ： 11p
t t i t i t i y y y v γα--==+?+∑
模型Ⅱ： 11
p
t t i t i t
i y y y v
αγα--==++?+∑ 模型Ⅲ： 11
p
t t i t i t i y t y y v αβγα--
==+++?+∑ 由于在上述模型中检验原假设1:0=γH 的t 统计量的极限分布，同DF 检验的极限分布相同，从而可以使用相同的临界值表。
由于实际数据绝大多数具有不同程度的相关性，因而ADF 是实证研究的主要工具。但是，如何保证实证结论的准确性还需要考虑一个问题：滞后阶的确定。
我们知道，t y ?的滞后项加入检验方程是为校正自相关性，因此滞后阶的选取既要截获相关性，同时又要尽量减少信息损失（滞后阶越大，用于估计的有效样本就越少，从而使信息损失越大），基于这一思想，实证中常用的方法有2种：
其一，渐近t 检验，即对较大的滞后阶p ,用t 检验确认1
?-p ξ是否显著，若不显著，减少p 值直到对应的系数的t 值显著。由于t 显著是对))0((~I y i t -? 的系数而言的，故t 统计量是渐近有效的，但一般而言，显著性水平应稍高如15.0=α，或0.20亦可。其二，基于最小信息准则（AIC ）来选取滞后阶p ，即定义
T C p I T k /?log 2?+=εσ
（7.25） 令C T =2，称I k 为Akaike 信息准则（AIC ）,令C T =log T ，称I k 为Schwarz 贝叶斯信息准则（BIC ），即
T p AIC /2?log 2+=εσ
(7.26) T T p BIC /log ?log 2+=εσ
(7.27) 选取较大的滞后阶p ，计算对应的AIC （或BIC ），然后减少p ，直至AIC （BIC ）最小并基于此确定最终滞后阶。由于AIC 和BIC 渐近一致，故使用AIC 或BIC 均是可行的。这二种方法确定滞后阶体现了从一般到特殊的思想即从一般（较大）的p 值开始直至最优的滞后阶（或特殊的滞后阶）。
实施上述从一般到特殊的方法确定滞后阶有可能犯过度差分(overdifference)和不足差分(underdifference)的错误，即初始的p 值选取得过大(小)，使其逐渐减小(增大)的过程中确定了不恰当的滞后阶。然而，从一般到特殊所确定的滞后阶或最小的AIC （或BIC ）从实证的角度并不能保证估计残差具有严格的iid 性质，而不适当的p 值可能导致检验势降低，因而，选取理想的p 值并非易事。 怎样做单位根检验呢？在此EViews 中可以进行如下操作
从工作文件（Work File ）中打开序列数据（Series ）窗口。点击View 键，选Unit root test 功能。这时会打开一个窗口。其中有四项选择。 （1）ADF 检验还是PP 检验（缺省状态是ADF 检验）。
（2）检验对象是水平序列（Level ），还是其一阶差分序列（1st difference ），二阶差分序列（2nd difference ），缺省状态是水平序列。
（3）检验式中应包括的附加项。有三种选择，“漂移项”（Intercept ），“趋势项和漂移项”（Trend and Intercept ），“无附加项”（None ）。缺省状态是加漂移项。 （4）检验式中因变量的滞后差分项的个数（可以使用EViews 默认自动选择或者用户设定阶数）。
[例1] 根据《中国统计年鉴2004》，得到我国1978—2003年的GDP序列，检验其是否为平稳序列。在Eviews中录人数据，其结果如表3，时间序列图见图8。
表3 中国1978—2003年度GDP序列
图8 GDP时间序列图
在EViews中双击要检验单位根的序列GDP；打开序列后，点击View\Unit Root Test后，直接进入检验单位根的对话框（默认ADF检验）如下也可以输入命令ADF GDP，直接进入检验单位根的对话框
图9 单位根检验的对话框
由GDP时间序列图可以看出，该序列可能存在趋势项，因此选择ADF检验的第三种模型进行检验，使用系统默认自动选择的滞后阶数，检验结果如下
图10 单位根检验的结果
从上图中可以看出，根据SIC准则ADF检验选择的滞后期数4，DF统计量的值为0.360464。在1％、5％、10％三个显著性水平下，单位根检验的Mackinnon 临界值分别为-4.467895、-3.644963、-3.261452，显然，上述t检验统计量值大于
H，表明我国1978——2003年度GDP序列存在单相应临界值，从而不能拒绝
位根，是非平稳序列。
第三节 两变量协整分析
一、协整的概念
在给出协整（Cointegration ）概念之前，先看一个货币需求分析的例子。经典的理论分析告诉我们，一个国或地区的货币需求量主要取决于规模变量和机会成本变量，即实际收入、价格水平以及利率。如果以对数形式的计量经济模型将货币需求函数描述出来，其形式为：
t t t t t u r Y P M ++++=3210ln ln ln ββββ
其中，M 为货币需求，P 为价格水平，Y 为实际收入总额，r 为利率，u 为扰动项，
i β为模型参数。
人们关心的问题是如何估计出上述回归模型，检验模型参数是否满足条件：
0,0,1321<>=βββ，并回答估计出来的货币需求函数是否揭示了货币需求的长
期均衡关系。如果上述货币需求函数是适当的，那么货币需求对长期均衡关系的偏离将是暂时的，扰动项序列是平稳序列，估计出来的货币需求函数就揭示了货币需求的长期均衡关系。相反，如果扰动项序列有随机趋势而呈现非平稳现象，那么模型中的误差会逐步积聚，使得货币需求对长期均衡关系的偏离在长时期内不会消失。因此，上述货币需求模型是否具有实际价值，关键在于扰动项序列是否平稳。
但面临的问题是，货币供给量、实际收入、价格水平以及利率可能是非平稳的I （1）序列。一般情况下，多个非平稳序列的线性组合也是非平稳序列。如果货币供给量、实际收入、价格水平以及利率的任何线性组合都是非平稳的，那么上述货币需求模型的扰动项序列就不可能是平稳的，从而模型并没有揭示出货币需求的长期稳定关系。反过来说，如果上述货币需求模型描述了货币需求的长期均衡关系，那么扰动项序列必定是平稳序列，也就是说，非平稳的货币供给量、实际收入、价格水平以及利率四变量之间存在平稳的线性组合。
上述例子揭示了这样一个事实：“包含非平稳变量的均衡系统，必然意味着这些非平稳变量的某种组合是平稳的”。这正是协整理论的思想。
所谓协整，是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。例如，收入与消费，工资与价格，政府支出与税收，出口与进口等，这些经济时间序列一般
是非平稳序列，但它们之间却往往存在长期均衡关系。下面给出协整的严格定义：
对于两个序列{}t x 与{}t y ，如果)1(~),1(~I x I y t t ，而且存在一组非零常数
21αα、，使得)0(~21I y x t t αα+，则称t x 和t y 之间是协整的。
一般的，设有k )2(≥个序列{}{}{},,,,21kt t t y y y 用),,,(21'=kt t t t y y y Y 表示由此k 个序列构成的k 维向量序列，如果：
（1）每一个序列{}{}{}kt t t y y y ,,,21 都是d 阶单整序列，即)(~d I y jt ； （2）存在非零向量),,,(21'=k a a a α，使得t Y α'kt k t t y a y a y a +++= 2211为 (d-b)阶单整序列，即d b b d I Y t ≤<-'0,)(~α。
则称向量序列),,,(21'=kt t t t y y y Y 的分量间是d 、b 阶协整的，记为),(~b d CI Y t ，向量),,,(21'=k a a a α称为协整向量。
特别地，若1==b d ，则)1,1(~CI Y t ，说明尽管各个分量序列是非平稳的一阶单整序列，但它们的某种线性组合却是平稳的。这种（1，1）阶协整关系在经济计量分析中较为常见。例如，假设变量t y 1与变量),,2(m i y it =之间存在（1，1）阶协整关系，协整向量为),,,1(2'--=m ββα ，则这种协整关系可表示为：
t m t m t t u y y y ++++=ββα 221 (7.28)
组合变量t u 就为I （0）过程。
协整概念的提出对于用非平稳变量建立经济计量模型，以及检验这些变量之间的长期均衡关系非常重要。
（1）如果多个非平稳变量具有协整性，则这些变量可以合成一个平稳序列。这个平稳序列就可以用来描述原变量之间的均衡关系。
（2）当且仅当多个非平稳变量之间具有协整性时，由这些变量建立的回归模型才有意义。所以协整性检验也是区别真实回归与伪回归的有效方法。
（3）具有协整关系的非平稳变量可以用来建立误差修正模型。由于误差修正模型把长期关系和短期动态特征结合在一个模型中，因此既可以克服传统计量经济模型忽视伪回归的问题，又可以克服建立差分模型忽视水平变量信息的弱
点。
二、协整检验
协整性的检验有两种方法，一种是基于回归残差的协整检验，这种检验也称为单一方程的协整检验；另一种是基于回归系数的完全信息协整检验。这里我们仅考虑单一方程的情形，而且主要介绍两变量协整关系的EG 两步法检验。
第一步，若X t 与Y t 是一阶单整（I （1））序列，即t t X Y ??和是平稳的，用OLS 法对回归方程(也称为协整回归方程)
t t t X Y u αβ=++ (7.29)
进行估计，得到残差序列 ??()t t t
e X Y αβ=-+。 第二步，检验t e 的平稳性。若t e 为平稳的，则X t 与Y t 是协整的，反之则不是协整的。因为若X t 与Y t 不是协整的，则它们的任一线性组合都是非平稳的．因此残差t e 将是非平稳。换言之，对残差序列t e 是否具有平稳性的检验，也就是对X t 与Y t 是否存在协整的检验。
检验t e 为非平稳的假设可用两种方法。一种方法是对残差序列进行DF 检验或者ADF 检验，即对t e 进行单位根检验，其检验方法在前面已介绍。一个需要注意的问题是，这里的DF 或ADF 检验是针对协整回归计算出的误差项t e 而非真正的非均衡误差t u 进行的。而OLS 法采用了残差最小平方和原理，因此估计量γ是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。于是对t e 平稳性检验的DF 与ADF 临界值应该比正常的DF 与ADF 临界值还要小。MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值，下表是双变量情形下不同样本容量的临界值。
表4 双变量协整ADF 检验临界值
显 著 性 水 平
样本容量
0.01 0.05 0.10 25 -4.37 -3.59 -3.22 50 -4.12 -3.46 -3.13
另一种方法是协整回归DW 检验。具体做法为，用协整回归所得的残差构造DW 统计量：
∑∑--=
22
1
)(t t t
e
e e CRDW (7.30)
若t e 是随机游走的，则1t t e e --的数学期望为0，故DW 也应接近于0。因此，只需检验：0:0H DW =是否成立，若0H 成立，t e 为随机游走，X t 与Y t 间不存在协整，反之则存在协整。Sargan 和Bhargava 最早编制了用于检验协整的DW 临界值表。表5是观察数为100时，该检验的临界值。例如，当DW ＝0.71时，在1％的显著性水平上我们能拒绝0:0H DW =，即拒绝非协整假设。
表5 检验DW=0的临界值
三、误差修正模型（Error Correction Model ,ECM ）
误差修正模型是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson 、 Hendry 、Srba 和Yeo 于1978年提出的，常称为DHSY 模型。误差修正模型的基本思路是，若变量间存在协整关系，即表明这些变量间存在着长期稳定的关系，而这种长期稳定的关系是在短期动态过程的不断调整下得以维持。产生这种结果的原因在于，大多数的经济时间序列的一阶差分是平稳序列。同时，存在着某种联系方式(如线性组合)把相互协整过程和长期稳定均衡状态结合起来。这时相互协整隐含的意义是：即使所研究的水平变量各自都是一阶差分后平稳，受支配于长期分量，但这些变量的某些线性组合也可以是平稳的，即所研究变量中的长期分量相互抵消，产生了一个平稳的时间序列。之所以能够这样，是因为一种调节过程（误差修正机制）在起作用，防止了长期关系的偏差在规模或数量上的扩大。因此，任何一组相互协整的时间序列变量都存在误差修正机制，
非平稳时间序列分析 1、首先画出时序图如下： 从时序图中看出有明显的递增趋势，而该序列是一直递增，不随季节波动，所以认为该序列不存在季节特征。故对原序列做一阶差分，画出一阶差分后的时序图如下：
从中可以看到一阶差分后序列仍然带有明显的增长趋势，再做二阶差分： 做完二阶差分可以看到，数据的趋势已经消除，接下来对二阶差分后的序列进行
检验： Autocorrelations Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error 0 577.333 1.00000 | |********************| 0 1 -209.345 -.36261 | *******| . | 0.071247 2 -52.915660 -.09166 | .**| . | 0.080069 3 9.139195 0.01583 | . | . | 0.080600 4 15.375892 0.02663 | . |* . | 0.080615 5 -59.441547 -.1029 6 | .**| . | 0.080660 6 -23.834489 -.04128 | . *| . | 0.081324 7 100.285 0.17370 | . |*** | 0.081431 8 -146.329 -.25346 | *****| . | 0.083290 9 52.228658 0.09047 | . |**. | 0.087118 10 21.008575 0.03639 | . |* . | 0.087593 11 134.018 0.23213 | . |***** | 0.087670 12 -181.531 -.31443 | ******| . | 0.090736 13 23.268470 0.04030 | . |* . | 0.096108 14 71.112195 0.12317 | . |** . | 0.096194 15 -105.621 -.18295 | ****| . | 0.096991 16 37.591996 0.06511 | . |* . | 0.098727 17 23.031506 0.03989 | . |* . | 0.098945 18 45.654745 0.07908 | . |** . | 0.099027 19 -101.320 -.17550 | ****| . | 0.099347 20 127.607 0.22103 | . |**** | 0.100908 21 -61.519663 -.10656 | . **| . | 0.103337 22 35.825317 0.06205 | . |* . | 0.103893 23 -93.627333 -.16217 | .***| . | 0.104081 24 55.451208 0.09605 | . |** . | 从其自相关图中可以看出二阶差分后的序列自相关系数很快衰减为零，且都在两倍标准差范围之内，所以认为平稳，白噪声检验结果： Autocorrelation Check for White Noise To Chi- Pr > Lag Square DF ChiSq --------------------Autocorrelations-------------------- 6 30.70 6 <.0001 -0.363 -0.092 0.016 0.02 7 -0.103 -0.041 12 84.54 12 <.0001 0.174 -0.253 0.090 0.036 0.232 -0.314 18 97.98 18 <.0001 0.040 0.123 -0.183 0.065 0.040 0.079 24 126.99 24 <.0001 -0.175 0.221 -0.107 0.062 -0.162 0.096
青海民族大学 毕业论文 论文题目：时间序列分析方法及应用—以青海省GDP 增长为例研究 学生姓名：学号： 指导教师：职称： 院系：数学与统计学院 专业班级：统计学 二○一五年月日
时间序列分析方法及应用——以青海省GDP增长为例研究 摘要: 人们的一切活动，其根本目的无不在于认识和改造世界，让自己的生活过得更理想。时间序列是指同一空间、不同时间点上某一现象的相同统计指标的不同数值，按时间先后顺序形成的一组动态序列。时间序列分析则是指通过时间序列的历史数据，揭示现象随时间变化的规律，并基于这种规律，对未来此现象做较为有效的延伸及预测。时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象与其他现象之间的内在数量关系及其变化规律性，达到认识客观世界的目的。而且运用时间序列模型还可以预测和控制现象的未来行为，由于时间序列数据之间的相关关系（即历史数据对未来的发展有一定的影响），修正或重新设计系统以达到利用和改造客观的目的。从统计学的内容来看，统计所研究和处理的是一批有“实际背景”的数据，尽管数据的背景和类型各不相同，但从数据的形成来看，无非是横截面数据和纵截面数据两类。本论文主要研究纵截面数据，它反映的是现象以及现象之间的关系发展变化规律性。在取得一组观测数据之后，首先要判断它的平稳性，通过平稳性检验，可以把时间序列分为平稳序列和非平稳序列两大类。主要采用的统计方法是时间序列分析，主要运用的数学软件为Eviews软件。大学四年在青海省上学，基于此，对青海省的GDP十分关注。本论文关于对1978年到2014年以来的中国的青海省GDP（总共37个数据）进行时间序列分析，并且对未来的三年中国的青海省GDP进行较为有效的预测。希望对青海省的发展有所贡献。 关键词: 青海省GDP 时间序列白噪声预测
1基本概念 1.1时间序列的平稳性 假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件： 1）均值是与时间t 无关的常数； 2）方差是与时间t 无关的常数； 3）协方差是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数； 则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。 1.2时间序列的非平稳性 平稳时间序列的均值为常数，自协方差函数与起点无关，而非平稳时间序列则不满足这两条要求。常见的非平稳类型有趋势和突变 1.2.1趋势 趋势是指变量随时间持续长期的运动，时间序列变量围绕其趋势波动。可以用线性趋势、二次趋势、季节性均值趋势和余弦趋势来估计一般的非常数均值趋势模型的参数。 1.2.2突变 突变来自总体回归系数在某一特定日期上的离散变化或来自系数在长时期内的渐变。
1.3平稳性判断 1.3.1图示判断 ?给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。 ?一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程； ?而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。 X X t (a) (b) 图9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图 函数1：时间序列及趋势绘制 参数1：时间序列 功能：绘制时间序列 绘制时间序列的趋势函数 返回值：无 1.3.2单位根检验 单位根检验（unit root test）是针对宏观经济数据序列、货币金融数据序列中是否具有某种统计特性而提出的一种平稳性检验的特殊方法，单位根检验的方法有很多种，包括DF检验、ADF检验、PP检验、NP检验等。 单位根检验时间序列的单位根研究是时间序列分析的一个热点问题。时间序列特性的时变行为实际上反映了时间序列的非平稳性质。对非平稳时间序列的处
南通大学应用时间序列分析 课程论文 学生姓名邱艳 所在院系理学院 专业统计学 学号0902092013 指导教师陆志峰 南通大学理学院 2011年12月20日 统计091班
实证项目研究（课程论文）--------货币数量论的实证分析 一问题的提出 近几十年来，国内的房地产业发展迅速，开发的面积和规模也越来越大。大 多数国人对房地产这个话题的热情是经久不衰，房地产业内任何重大的政策和举 措都对普通老百姓的生活产生深刻的影响。 2010年上半年，全国房地产开发投资19747亿元，同比增长38.1%，其中，商品住宅投资13692亿元，同比增长34.4%，占房地产开发投资的比重为69.3%。6月当月，房地产开发完成投资5830亿元，比上月增加1845亿元，增长46.3%。 2010年上半年，全国房地产开发企业房屋施工面积30.84亿平方米，同比 增长28.7%；房屋新开工面积8.05亿平方米，同比增长67.9%；房屋竣工面积2.44亿平方米，同比增长18.2%，其中，住宅竣工面积1.96亿平方米，增长15.5%。2010年上半年，全国房地产开发企业完成土地购置面积18501万平方米，同比增长35.6%，土地购置费4221亿元，同比增长84.0%。 那么，房地产销售价格指数是否存在一定的内在规律呢，我们是否可以对其 进行预测从而指导居民做出正确的选择呢？这便是本文所要探求和解决的问题。 理论综述 时间序列分析就是对一组按时间顺序排列的随机变量进行统计分析，建立模 型并对未来的趋势走向进行分析的统计方法。本文运用时间序列分析软件SAS 进行分析。 数据的收集 本文获取了我国1998-3-31到2009-12-31的房地产销售价格指数数据
课程论文时间序列分析 题目时间序列模型在人口增长中的应用学院数学与统计学院 专业统计学 班级统计（二）班 学生殷婷 2010101217 指导教师翠霞 职称 2012 年10 月29 日
引言 人口问题是一个世界各国普遍关注的问题。人作为一种资源，主要体现在人既是生产者，又是消费者。作为生产者，人能够发挥主观能动性，加速科技进步，促进社会经济的发展；作为消费者，面对有限的自然资源，人在发展的同时却又不得不考虑人口数量的问题。我国是一个人口大国，人口数量多，增长快，人口素质低；由于人口众多，不仅造成人均资源的数量很少，而且造成住房、教育、就业等方面的很大压力。所以人口数量是社会最为关注的问题，每年新增加的国民生产总值有相当一部分被新增加的人口所抵消，从而造成社会再生产投入不足，严重影响了国民经济的可持续发展。因此，认真分析研究我国目前的人口发展现状和特点，采取切实可行的措施控制人口的高速增长，已经成为我国目前经济发展中需要解决的首要问题。 本文通过时间序列模型对人口的增长进行预测，国家制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础，对于国民经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。人口的预测，作为经济、社会研究的需要，应用越来越广泛，也越来越受到人们的重视。在描绘未来小康社会的蓝图时，首先应要考虑的是未来中国的人口数量、结构、分布、劳动力、负担系数等等，而这又必须通过人口的预测来一一显示。人口数量在时间上的变化，可以用时间序列模型来预测其继后期的数量。 本文通过时间序列分析的方法对人口增长建立模型,取得了较好
的预测结果。时间序列分析是研究动态数据的动态结构和发展变化规律的统计方法。以1990年至2008年中国人口总数为例,用时间序列分析Eviews软件建立模型,并对人口的增长进行预测,研究时间序列模型在人口增长中的应用。 基本假设 (1) 在预测中国人口的增长趋势时，假设全国人口数量的变化是封闭的即人口的出生率和死亡率是自然变化的，而不考虑与其他国家的迁移状况； (2)在预测的年限，不会出现意外事件使人口发生很大的波动，如战争，疾病； (3) 题目数据能够代表全国的整体人数。。 问题分析 根据抽样的基本原理，预测人口增长趋势最直接的方法就是预测出人口总数的增长量，因此我们运用中华人民国国家统计局得到的1990年到2008年度总人口数据。考虑到迁移率、死亡率、出生率、年龄结构等多个因素对人口数量的影响，求解人口增长趋势的关键是如何在我们的模型中充分的利用这些影响因素从而使我们的预测结果具有较高的精确性。 研究数据：
【时间简“识”】 说明：本文摘自于经管之家(原人大经济论坛) 作者：胖胖小龟宝。原版请到经管之家(原人大经济论坛) 查看。 1.带你看看时间序列的简史 现在前面的话—— 时间序列作为一门统计学，经济学相结合的学科，在我们论坛，特别是五区计量经济学中是热门讨论话题。本月楼主推出新的系列专题——时间简“识”，旨在对时间序列方面进行知识扫盲（扫盲，仅仅扫盲而已……），同时也想借此吸引一些专业人士能够协助讨论和帮助大家解疑答惑。 在统计学的必修课里，时间序列估计是遭吐槽的重点科目了，其理论性强，虽然应用领域十分广泛，但往往在实际操作中会遇到很多“令人发指”的问题。所以本帖就从基础开始，为大家絮叨絮叨那些关于“时间”的故事！
Long long ago，有多long？估计大概7000年前吧，古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，这一记录也就被我们称作所谓的时间序列。记录这个河流涨落有什么意义？当时的人们并不是随手一记，而是对这个时间序列进行了长期的观察。结果，他们发现尼罗河的涨落非常有规律。掌握了尼罗河泛滥的规律，这帮助了古埃及对农耕和居所有了规划，使农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。 好~~从上面那个故事我们看到了 1、时间序列的定义——按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。 2、时间序列分析的定义——对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。 既然有了序列，那怎么拿来分析呢？ 时间序列分析方法分为描述性时序分析和统计时序分析。 1、描述性时序分析——通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性时序分析 ?描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第一步。
文献综述 摘要：通过对数据一系列处理，运用三阶自回归AR（3）模型拟合gps坐标时间序列，由于gps坐标时间序列数据之间的相关关系，且历史数据对未来的发展有一定影响，并对未来的电力增长进行预测。理论准备：拿到一个观测值序列之后，首先要判断它的平稳性，通过平稳性检验，序列可分为平稳序列和非平稳序列两大类。如果序列值彼此之间没有任何向关性，那就意味着该序列是一个没有任何记忆的序列，过去的行为对将来的发展没有丝毫影响，这种序列我们称之为纯随机序列，从统计分析的角度而言，纯随机序列式没有任何分析价值的序列。如果序列平稳，通过数据计算进行模型拟合，并利用过去行为对将来的发展预测，这是我们所期望得到的结果。可采用下面的流程操作。 关键字：gps坐标时间序列时间序列分析数据预测
一、前言 GPS坐标时间序列分析原来是“概率论与数理统计”领域当中的一个重要分支，其中有国际著名的学术杂志“时间序列分析”。由于在过去的二十几年当中，时间序列分析方法在经济学的定量分析当中获得了空前的成功应用，因此所出现的“时间序列计量经济学”已经成为了“实证宏观经济学”的同意语或者代名词。由此可见，作为宏观经济研究，甚至已经涉及到微观经济分析，时间序列分析方法是十分重要的。 时间序列分析方法之所以在经济学的实证研究中如此重要，其主要原因是经济数据大多具有时间属性，都可以按照时间顺序构成时间序列，而时间序列分析正是分析这些时间序列数据动态属性和动态相关性的有力工具。从一些典型的研究案例中可以看出，时间序列分析方法在揭示经济变量及其相关性方法取得了重要进展。 目前关于时间序列分析的教科书和专著很多。仅就时间序列本身而言的理论性论著也很多，例如本课程主要参考的Hamilton的“时间序列分析”，以及Box 和Jankins的经典性论著“时间序列分析”；近年来出现了两本专门针对经济学和金融学所编写的时间序列专著，这也是本课程主要参考的教材。另外需要注意的是，随着平稳性时间序列方法的成熟和解决问题所受到的局限性的暴露，目前研究非平稳时间序列的论著也正在出现，其中带有结构性特征的非平稳时间序列分析方法更是受到了广泛重视。 二、本实验采用2000-01~2004-11月gps坐标时间序列数据做时间序列分析模型，数据如下： 2000.1 5.4% 2001.9 8.8% 2003.5 13.4% 2000.2 15.3% 2001.10 8.5% 2003.6 13.1% 2000.3 7.1% 2001.11 7.4% 2003.7 15.2% 2000.4 6.9% 2001.12 9.6% 2003.8 15.5% 2000.5 12.8% 2002.1 15.4% 2003.9 15.5% 2000.6 12.5% 2002.2 -3.2% 2003.10 14.8% 2000.7 13.5% 2002.3 6.2% 2003.11 15.6% 2000.8 10.6% 2002.4 10.6% 2003.12 13.4%
. 《时间序列分析》 课程论文 基于ARMAX模型的财政收入与税收 的时间序列分析与预测 班级：13级应用统计学1班 学号：131412820 ：乐乐
基于ARMAX模型的财政收入与税收 的时间序列分析与预测 摘要 财政收入，是指政府为履行其职能、实施公共政策和提供公共物品与服务需要而筹集的一切资金的总和，是衡量一国政府财力的重要指标。其中税收收入是国家财政收入的重要组成部分，一般占到财政收入的90％以上，是政府机器的经济基础。 本文利用《应用时间序列分析》的知识通过sas 统计软件对1978-2012年中国财政收入与税收数据进行分析，通过单位根检验，发现两者都是非平稳时间序列，并且存在协整关系，所以拟合了ARIMAX模型。由于残差序列非白噪声，所以对残差序列又进行了进一步的拟合，最后对模型进行预测，做出预测图。 关键词:财政收入与税收 ARIMAX模型预测 一、引言 财政与税收关系到国家发展、民生大计。财政收入与税收对社会资源配置、收入分配、国民经济发展、企业经济活动、居民切身利益及政府决策行为都有重
大影响。近年来，随着我国经济的持续高速发展和国家财政与税收的大幅度增长，以及我国经济体制改革的不断深化和国家对经济发展宏观调控力度的不断加大，国家也适时出台了一系列有关财政与税收管理的新规定、新政策和新的监管制度。可以看出两者地位越来越重要，作用越来越明显。通过本文的分析，旨在找出两者的关系，为我国财政与税收做出合理的解释，为以后的收入做出合理的预测。 二、数据分析 （一）、序列平稳性检验 1、时序图： 图 1 原数据时序图 图1中，红色为y（财政收入）序列书序图；黑色为x（税收收入）序列时
吉林财经大学2011-2012学年第一学期 统计软件应用与实践 基于时间序列分析的论文 院别：统计学院 专业：统计学 年级：0836 姓名：王立伟 学号：0401083608
基于ARMA模型的吉林省居民消费时间序列分析与预测 【摘要】本文以1993—2010年吉林省居民消费统计数据为依据，用ARIMA模型进行分析，结果显示ARIMA（1，2，3）具有较为准确的预测效果。利用该模型对我其进行分析。 【关键词】固定资产投资时间序列分析 ARIMA模型 一.引言 消费水平是指一个国家一定时期内人们在消费过程中对物质和文化生活需要的满足程度。现在的中国市场已完全消除了日用品和食物短缺的现象。居民消费结构亦发生很大变化。在居民全部消费支出中，反映基本生存需要的食品、衣着和基本生活用品支出所占的比重大幅度下降，而体现发展与享受需求的住房、交通通信、医疗保健、文教娱乐、休闲旅游等项支出的比重则迅速上升，生活质量进一步提高。 二.数据的时间序列特征分析 将1993年至2010年吉林省县居民消费数额绘制成折线图，如图1所示，可以很容易地看出序列具有明显的增长趋势，并且可以看出，从2004年到2005年开始，有了显著提高，并且增加的幅度也有所增大，这主要是因为自生活节奏加快，消费自然上升。 图1 1993年1月至2010年9月中国外汇储备的折线图
1、数据的检验 对此序列进行单位根检验，如图2所示，t检验结果为1，无法拒绝序列存在单位根的原假设，且t检验P值大于等于1，说明此序列至少具有一阶单位根。之后对序列进行一阶差分的单位根检验，结果如图3所示，t检验值的P值为0.0271，在置信水平为95%的情况下，可以拒绝原假设，说明此序列不具有二阶单位根，但具有一阶单位根，序列不是平稳序列。 图2 序列的单位根检验结果 图3 一阶差分后序列的单位根检验结果 对该序列绘制了自相关、偏自相关图，如图4所示，由图中可以看出，序列的自相关系数衰减缓慢，没有很快趋于0，同样可以说明该序列是非平稳序列。
时间序列平稳性验
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时间序列平稳性检验分析 姓名xxx 学院xx学院 专业xxxx 学号xxxxxxxxxx
时间序列平稳性分析检验 时间序列是一个计量经济学中的概念，时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间 序列数据的平稳性问题。 一、时间序列平稳性的定义 假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{X t}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件： ?1）均值E(Xt)=u是与时间t 无关的常数； ?2）方差V ar(Xt)=σ2是与时间t 无关的常数； ?3）协方差Cov(Xt, Xt+k)= γk 是只与时期间隔k有关，与时间t 无关 的常数。 则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。 eg: 一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列： Xt=μt ，μt~N(0,σ2) 该序列常被称为是一个白噪声。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的。 eg:另一个简单的随机时间列序被称为随机游走，该序列由如下随机过程生成： Xt=Xt-1+μt 这里，μt是一个白噪声。容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1) 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为X0，则易知 X1=X0+μ1 X2=X1+μ2=X0+μ1+μ2 …… Xt=X0+μ1+μ2+…+μt 由于X0为常数，μt是一个白噪声，因此Var(Xt)=tσ2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列 二、时间序列平稳性检验的方法 对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项 的一阶自回归过程AR(1)生成的。但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过 程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会表现出随机误 差项出现自相关（autocorrelation），导致DF检验无效。另外，如果时间序列包含有明
梧州学院 论文题目基于时间序列分析梧州市财政 收入研究 系别数理系 专业信息与计算科学 班级 09信息与计算科学 学号 200901106034 学生姓名胡莲珍 指导老师覃桂江 完成时间
摘要 梧州市财政收入主要来源于基金收入，地方税收收入和非税收收入等几方面。近年来梧州市在自治区党委、自治区政府和市委的正确领导下，全市广大干部群众深入贯彻落实科学发展观，抢抓机遇，开拓进取，克难攻坚，使得全市经济连续几年快速发展，全市人民的生活水平也大幅度提高，但伴随着发展的同时也存在一些问题，本文主要通过研究分析梧州财政收入近几年的状况，根据采用时间序列分析中的一次简单滑动平均法研究分析梧州市财政收入和支出的情况，得到的结果是梧州市财政收入呈现下降状态，而财政支出却逐年上涨，这种状况将导致梧州市人民生活水平下降，影响梧州市各方面的发展。给予一些有益于梧州市财政发展的建议。本文首先介绍主要运用的时间序列分析的概念及其一次简单滑动平均法的方法，再用图表说明了梧州市财政近几年的财政收入和支出状况，然后建立模型，分析由时间序列分析方法得出的对2012年财政收入状况的预测结果，最后，鉴于提高梧州市财政收入的思想，给予了一些合理性建议，比如：积极实施工业强县战略，壮大工业主导财源；大力发展第三产业，强化地方财源建设；完善公共财政支出机制，着力构建和谐社会。 关键词：梧州市；财政收入；时间序列分析；建立模型；建议
Based onThe Time Series Analysis of Wuzhou city Finance Income Studies Abstract Wuzhou city, fiscal revenue mainly comes from fund income, local tax revenue and the tax revenue etc. Wuzhou city in recent years in the autonomous region party committee, the government of the autonomous region and the municipal party committee under the correct leadership, the cadres and masses thoroughly apply the scientific outlook on development, catch every opportunity, pioneering and enterprising, g hard, make the crucial economic rapid development for several years, the people's living standard has also increased significantly, but with the development at the same time, there are also some problems, this paper mainly through the research and analysis the condition of wuzhou fiscal revenue in recent years, according to the time series analysis of a simple moving average method research and analysis of financial income and expenditure wuzhou city, the result obtained is wuzhou city, fiscal revenue decline present condition, and fiscal spending is rising year by year, the situation will lead to wuzhou city, the people's living standards decline, influence all aspects of wuzhou city development. Give some Suggestions on the development of the financial benefit wuzhou city. This paper first introduces the main use of the time series analysis of the concept and a simple moving average method method, reoccupy chart illustrates the wuzhou city, in recent years the financial revenue and expenditure situation, then set a model, analysis the time series analysis method to draw 2012 fiscal income condition prediction results, finally, in view of wuzhou city, improve the financial income thoughts, give some advice, for instance: rationality vigorously implement the strategy of industrial county, strengthen the industry leading financial sources, A vigorous development of the third industry, and to strengthen the construction of local revenue;
应用时间序列分析课程论文 班级：13应用统计1班学号：20133695 姓名：彭鹏 学习了本学期的应用时间序列分析课程内容，学习了使用EVIEWS软件对平稳时间序列的平稳性进行分析，学习平稳时间序列模型的建立、学会根据自相关系数和偏自相关系数判断ARMA模型的阶数p 和q，学会利用信息准则对估计的ARMA模型进行诊断，以及掌握利用ARMA模型进行预测。 在统计研究中，有大量的数据是按照时间顺序排列的，用数学方法来表述就是使用一组随机序列表示随机事件的时间序列即为{Xt} 通常的ARMR建模过程，B-J方法具体步骤如下： 一、对时间序列进行特性分析。从随机性、平稳性、季节性考虑。 对于一个非平稳时间序列，若要建模首先将其平稳化，其方法 有三种： 1差分，一些序列可以通过差分使其平稳化。 2季节差分，如果序列具有周期波动特点，为了消除周期波动 的影响，通常引用季节差分。 3函数变换与差分结合运用，某些序列如果具有某类函数趋势，我们可以先引入某种函数变换将序列转化为线性趋势，然后再 进行差分以消除线性趋势。 二、模型识别与建立。模型识别和模型定阶。 三、模型的评价，并利用模型进行评价。
下面从网上搜寻数据，1949-2014年城镇人口数(单位万人，其中有些年份缺失数据，数据来源于中国统计年鉴)。进行处理分析 绘制序列时序图有看来有明显增长趋势为非平稳序列，进行一阶差分y=d(r): 由图得出序列y仍然非平稳
1.对原序列进行二阶差分z=d(r,2) 相关图检 验：序列z为平稳序列，进行单位根检验： 稳序列。有相关图看出为非白噪声序列。
可见均值非零；在原序列上生成0均值序列在输入x=z-28.59184 得到序列x为0均值的平稳非白噪声序列 由相关图看出自相关系数一阶截尾，考虑MA(1)模型
应用时间序列分析实验报告 实验名称第三章平稳时间序列分析 一、上机练习 data example3_1; input x; time=_n_; cards; 0.30 -0.45 0.036 0.00 0.17 0.45 2.15 4.42 3.48 2.99 1.74 2.40 0.11 0.96 0.21 -0.10 -1.27 -1.45 -1.19 -1.47 -1.34 -1.02 -0.27 0.14 -0.07 0.10 -0.15 -0.36 -0.50 -1.93 -1.49 -2.35 -2.28 -0.39 -0.52 -2.24 -3.46 -3.97 -4.60 -3.09 -2.19 -1.21 0.78 0.88 2.07 1.44 1.50 0.29 -0.36 -0.97 -0.30 -0.28 0.80 0.91 1.95 1.77 1.80 0.56 -0.11 0.10 -0.56 -1.34 - 2.47 0.07 -0.69 -1.96 0.04 1.59 0.20 0.39 1.06 -0.39 -0.16 2.07 1.35 1.46 1.50 0.94 -0.08 -0.66 -0.21 -0.77 -0.52 0.05 ; procgplot data=example3_1; plot x*time=1; symbolc=red i=join v=star; run; 建立该数据集，绘制该序列时序图得： 根据所得图像，对序列进行平稳性检验。时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵
轴表示序列取值。时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的X围有界的特点。如果观察序列的时序图，显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。从图上可以看出，数值围绕在0附近随机波动，没有明显或周期，其本可以视为平稳序列，时序图显示该序列波动平稳。 procarima data=example3_1; identifyvar=x nlag=8; run; 图一 图二样本自相关图 图三样本逆自相关图
基于ARIMA模型的我国全社会固定资产投资预测 摘要：本文采用ARIMA模型，用Eviews6.0软件对我国1980—2012年的全社会固定资产投资额进行了深入分析，并预测了2013年我国全社会固定资产投资额。结果表明，ARIMA(4，1，3)模型能够提供较准确的预测效果，可以用于未来的预测，并为我国固定资产投资提供可靠的依据。 关键词：ARIMA模型固定资产投资额时间序列预测 一、引言 改革开放以来，我国的经济发展取得了举世瞩目的成就。投资是拉动经济增长的三驾马车之一，因此研究我国全社会固定资产投资对研究我国经济增长有着重要的现实意义。我国的全社会固定资产投资总额持续增加：1980年仅为910.9亿元，1993年首次突破10000亿元达到13072.3亿元；到2006年则猛增至109998.2亿元。尤其是进入21世纪以来，随着中国加入WTO，外商投资大量增加，推动了经济政策的调整与完善，也给经济与投资增长增添了活力。 此前，已经有学者做过相关研究。2010年李惠在《ARIMA模型在我国全社会固定资产投资预测中的应用》中，通过1980-2007年我国全社会固定资产投资的相关数据，运用统计学和计量经济学原理，从时间序列的定义出发，运用ARIMA建模方法，将ARIMA模型应用于我国历年全社会固定资产投资数据的分析与预测，检验得出ARIMA(4，2，4)模型为最佳，建议政府抓住投资机遇，合理安排投资比例和投资金额，促进经济的健康发展。2007年靳宝琳和赫英迪在《ARIMA模型在太原市全社会固定资产投资预测中的应用》一文中采用Eviews软件系统中的时间序列建模方法对太原市的固定资产投资总额资料进行了分析，建立了ARIMA模型。结果显示ARIMA(2，1，3)模型提供了较准确的预测效果，可用于未来的预测，为太原市全社套固定资产投资的预测提供了一种方便实用的方法。王新华在《ARIMA模型在武汉市全社会固定投姿预测中的应用》中，采用ARIMA模型，对武汉市1950—2003年的全社会固定资产投资额进行了深入分析。结果表明，ARIMA(8，1，9)模型提供较准确的预测效果，可以用于未来的预测，并为武汉市固定资产投资提供可靠的依据。 对全社会固定资产投资有影响的因素很多，而这些因素彼此之间的关系很复杂。因此运用数理经济模型（即揭示经济活动中各个因素间的理论关系用确定性数学方程加以表述的方法来分析和预测是较为困难的）。所以，本文把我国全社会固定资产投资总额看成是
7 平稳时间序列预测法 7.1 概述 7.2 时间序列的自相关分析 7.3 单位根检验和协整检验 7.4 ARMA模型的建模 回总目录 7.1 概述 时间序列取自某一个随机过程，则称： 一、平稳时间序列 过程是平稳的――随机过程的随机特征不随时间变化而变化过程是非平稳的――随机过程的随机特征随时间变化而变化回总目录 回本章目录 宽平稳时间序列的定义： 设时间序列 ，对于任意的t,k和m，满足： 则称宽平稳。 回总目录
回本章目录 Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。 他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构 化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理 论基础。 ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型； 回总目录 回本章目录 ARMA模型三种基本形式： 自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）； 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 其中是独立同分布的随机变量序列,且满足：
则称时间序列服从p阶自回归模型。 二、自回归模型 回总目录 回本章目录 自回归模型的平稳条件： 滞后算子多项式 的根均在单位圆外，即 的根大于1。 回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 则称时间序列服从q阶移动平均模型。或者记为。 平稳条件：任何条件下都平稳。
三、移动平均模型MA(q) 回总目录 回本章目录 四、ARMA(p,q)模型 如果时间序列 满足： 则称时间序列服从(p,q)阶自回归移动平均模型。 或者记为： 回总目录 回本章目录 q=0，模型即为AR(p)； p=0，模型即为MA(q)。 ARMA(p,q)模型特殊情况： 回总目录 回本章目录 例题分析 设 ，其中A与B 为两个独立的零均值随机变量，方差为1；
《时间序列分析》 课程论文 基于ARMAX模型的财政收入与税收 的时间序列分析与预测 班级：13级应用统计学1班 学号：131412820 姓名：崔乐乐
基于ARMAX模型的财政收入与税收 的时间序列分析与预测 摘要 财政收入，是指政府为履行其职能、实施公共政策和提供公共物品与服务需要而筹集的一切资金的总和，是衡量一国政府财力的重要指标。其中税收收入是国家财政收入的重要组成部分，一般占到财政收入的90％以上，是政府机器的经济基础。 本文利用《应用时间序列分析》的知识通过sas 统计软件对1978-2012年中国财政收入与税收数据进行分析，通过单位根检验，发现两者都是非平稳时间序列，并且存在协整关系，所以拟合了ARIMAX模型。由于残差序列非白噪声，所以对残差序列又进行了进一步的拟合，最后对模型进行预测，做出预测图。 关键词:财政收入与税收ARIMAX模型预测 一、引言 财政与税收关系到国家发展、民生大计。财政收入与税收对社会资源配置、收入分配、国民经济发展、企业经济活动、居民切身利益及政府决策行为都有重大影响。近年来，随着我国经济的持续高速发展和国家财政与税收的大幅度增长，以及我国经济体制改革的不断深化和国家对经济发展宏观调控力度的不断加大，国家也适时出台了一系列有关财政与税收管理的新规定、新政策和新的监管制度。可以看出两者地位越来越重要，作用越来越明显。通过本文的分析，旨在找出两者的关系，为我国财政与税收做出合理的解释，为以后的收入做出合理的预测。
二、数据分析 （一）、序列平稳性检验 图1中，红色为y（财政收入）序列书序图；黑色为x（税收收入）序列时序图。从时序图中可以看出x序列、y序列均显著非平稳。并且两者都有明显的增加趋势。 2、单位根检验： 表 1 序列x的单位根检验 The ARIMA Procedure Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests
第九章时间序列计量经济学模型的理论与方法 在第一章中已提到，经济分析中所用的三大类重要数据中，时间序列数据是其中最常见, 也是最重要的一类数据。因此，对时间序列数据的分析也就成了计量经济分析最为重要的内容之一。迄今为止，我们对时间序列的分析是通过建立以因果关系为基础的结构模型进行的。而无论是单方程模型还是联立方程模型，这种分析背后有一个隐含的假设，即这些数拯是平稳的(stationary)。否则的话，通常的t、F等假设检验程序则不可信。在经典回归分析中，我们通过假设样本观测点趋于无穷时，解释变量X的方差趋于有界常数，给岀了X平稳性的一个重要条件。这样，既为大样本下的统讣推断奠定了基础，也使得所考察的时间序列更靠近平稳性这一假设。 涉及时间序列数据的另一问题是虚假回归(spurious regression)或伪回归，即如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势(非平稳的)，即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较髙的可决系数。在现实经济生活中，情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过前而的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。时间序列分析模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论。时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。 §9.1数据的平稳性及其检验 一、时间序列数据的平稳性 时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性问题。假左某个时间序列 是由某--随机过程(stochastic process)生成的，即假定时间序列｛X」(t=l,2,…)的每一 个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果X”满足下列条件： 1)均值E(X f) = /z 与时间t无关的常数： 2)方差var(X f)=o2与时间t无关的常数； 3)协方差cov(X,X,+A ) = Zl只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数。 则称该随机时间序列是平稳的(stationary),而该随机过程是一平稳随机过程(stationary stochastic process). 例9.1.1. 一个最简单的随机时间序列X,是一具有零均值同方差的独立分布序列： X, = , “ ~N(0,沪) (9.1.1) 该序列常被称为是一个白噪声(white noise)。由于乙具有相同的均值与方差，且协方差为 零，因此由定义一个白噪声序列是平稳的。 例9丄2.另一个简单的随机时间列序被称为随机游走(random walk),该序列由如下随机过程生成： (9.1.2)