第二章 导数与微分
教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、 会求分段函数的导数。
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：
1、复合函数的求导法则；
2、分段函数的导数；
3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数。
§2. 1 导数概念 一、引例
1．直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ),
求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值
000)
()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践
中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取
比值
0)
()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即
0)
()(lim
t t t f t f v t t --=→,
这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题
设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.
设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0
000)
()(tan x x x f x f x x y y --=
--=
?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存
在, 设为k , 即
00)
()(lim 0x x x f x f k x x --=→
存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的
倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.
二、导数的定义
1. 函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:
00)
()(lim 0x x x f x f x x --→.
令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0
0)
()(lim 0
x x x f x f x x --→
成为 x y
x ??→?0lim
或x
x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000.
定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即
x
x f x x f x y
x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim
)(00000,
也可记为0|x x y =',
0 x x dx dy =或0
)
(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.
导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 h
x f h x f x f h )
()(lim
)(000
0-+='→,
00)
()(lim
)(0
x x x f x f x f x x --='→.
在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 如果极限x
x f x x f x ?-?+→?)
()(lim
000
不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.
如果不可导的原因是由于∞=?-?+→?x
x f x x f x )
()(lim
000
,
也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大.
如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导, 这时, 对于任一x ∈I , 都对应着f (x )的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ', dx dy , 或dx
x df )
(.
导函数的定义式:
x x f x x f y x ?-?+='→?)()(lim 0=h
x f h x f h )
()(lim 0-+→.
f '(x 0)与f '(x )之间的关系:
函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即 0)()(0x x x f x f ='='.
导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f (x )在0x 的左导数:h x f h x f x f h )
()(lim )(000
0-+='-
→-
;
f (x )在0x 的右导数:h
x f h x f x f h )
()(lim )(000
0-+='+
→+
.
如果极限h x f h x f h )
()(lim 000
-+-→存在, 则称此极限值为函数在x 0的左导数.
如果极限h
x f h x f h )
()(lim
000
-++→存在, 则称此极限值为函数在x 0的右导数.
导数与左右导数的关系
2．求导数举例
例1．求函数f (x )=C （C 为常数）的导数. 解: h
x f h x f x f h )
()(lim )(0
-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即 (C ) '=0.
例2. 求x
x f 1
)(=的导数.
解: h x h x h x f h x f x f h h 1
1lim )
()(lim )(00-+=-+='→→ 2001
)(1lim )(lim x x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→. 例3. 求x x f =)(的导数. 解: h
x h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00
lim )
()(lim
)( x
x h x x h x h h h h 211lim )(lim
00=++=++=→→.
例2．求函数f (x )=x n (n 为正整数)在x =a 处的导数. 解: f '(a )a x a f x f a
x --=→)
()(lim
a x a x n n a x --=→lim a
x →=lim (x n -1+ax n -2+ ? ? ? +a n -1)=na n -1. 把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n -1, 即 (x n )'=nx n -1. (C )'=0, 21
)1(x x -=', x
x 21)(=', 1)(-?='μμμx x .
更一般地, 有(x μ)'=μx μ-1 , 其中μ为常数.
例3．求函数f (x )=sin x 的导数. 解: f '(x )h
x f h x f h )
()(lim 0
-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2
sin )2cos(21lim
0h
h x h h +?=→ x h h
h x h cos 2
2sin )2
cos(lim 0=?+=→.
即 (sin x )'=cos x .
用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x .
例4．求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: f '(x )h x f h x f h )
()(lim
-+=→h
a a x h x h -=+→0lim
h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)
1(log lim 0t t a a t x +→ a a e
a x a x
ln log 1==. 特别地有(e x )=e x .
例5．求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: h
x h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )
()(lim
)(00
-+=-+='→→ h x
a h a h a h x
h x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→
a x e x a ln 1log 1==. 解:h x
h x x f a a h log )(log lim
)(0-+='→)1(log 1lim 0x
h h a h +=→
h x
a h x h x )1(log lim 10+=→a
x e x a ln 1log 1==.
即 a x x a ln 1)(log =' . : 特殊地 x
x 1
)(ln ='.
a x x a ln 1)(log =', x x 1)(ln ='.
3．单侧导数: 极限h
x f h x f h )
()(lim 0
-+→存在的充分必要条件是
h
x f h x f h )()(lim 0
-+-
→及h x f h x f h )
()(lim 0-++→ 都存在且相等.
f (x )在0x 处的左导数:h x f h x f x f h )
()(lim )(0
0-+='-
→-
,
f (x )在0x 处的右导数:h
x f h x f x f h )
()(lim )(0
0-+='+
→+
.
如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '+(a ) 和左导数f '-(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导.
例6．求函数f (x )=|x |在x =0处的导数. 解: 1|
|lim )0()0(lim )0(00
-==-+='--
→→-
h h h f h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00
==-+='++
→→+
h h h
f h f f h h , 因为f '-(0)≠ f '+(0), 所以函数f (x )=|x |在x =0处不可导.
四、导数的几何意义
函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即
其中α是切线的倾角.
如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y =f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为
过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线如果 f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)
(10x f '-, 从而法线方程为 )()
(10
00x x x f y y -'-
=-.
例8. 求等边双曲线x y 1
=在点)2 ,2
1(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解: 21
x
y -=', 所求切线及法线的斜率分别为
4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k .
所求切线方程为)21
(42--=-x y , 即4x +y -4=0.
所求法线方程为)2
1
(412-=-x y , 即2x -8y +15=0.
例9 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为
02
12302
323)()(0x x x x f x x =='='=.
于是所求切线的方程可设为 )
(2300
00x x x x x y -=-. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(23400
00x x x x -=--, 解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42
344-=-x y , 即3x -y -4=0.
四、函数的可导性与连续性的关系
设函数y =f (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f x
y
x '=??→?存在. 则
00)(lim lim lim
lim 00
000
=?'=????=????=?→?→?→?→?x f x x y x x y y x x x x .
这就是说, 函数y =f (x )在点x 0 处是连续的. 所以, 如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该
点必连续.
另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.
例7． 函数3)(x x f =在区间(-∞, +∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大
h
f h f h )
0()0(lim
0-+→+∞=-=→h h h 0lim 3
0.
§2. 2 函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数, 并且 [u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;
[u (x )?v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );
)()
()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='??????. 证明 (1)h
x v x u h x v h x u x v x u h )]
()([)]()([lim
])()([0±-+±+='±→
??
?
???-+±
-+=→h x v h x v h x u h x u h )()()()(lim 0=u '(x )±v '(x ). 法则(1)可简单地表示为 (u ±v )'=u '±v ' .
(2)h
x v x u h x v h x u x v x u h )
()()()(lim ])()([0-++='?→
)]()()()()()()()([1lim 0x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h h -+++-++=→ ??
?
-+++???
-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h )()()
()()()(lim 0 h
x v h x v x u h x v h x u h x u h h h )
()(lim )()(lim )()(lim
000-+?++?-+=→→→
=u '(x )v (x )+u (x )v '(x ),
其中0
lim →h v (x +h )=v (x )是由于v '(x )存在, 故v (x )在点x 连续.
法则(2)可简单地表示为 (uv )'=u 'v +uv '.
(3) h x v h x v h x v x u x v h x u h x v x u h x v h x u x v x u h h )()()()()()(lim )()
()()(lim )()(00
++-+=-
++='??????→→
h
x v h x v x v h x v x u x v x u h x u h )()()]
()()[()()]()([lim
0+-+--+=→
)
()()
()()
()()()(lim 0x v h x v h x v h x v x u x v h x u h x u h +-+--+=→
)
()
()()()(2x v x v x u x v x u '-'=
.
法则(3)可简单地表示为 2
)(v v u v u v u '
-'='.
(u ±v )'=u '±v ', (uv )'=u 'v +uv ', 2
)(v v u v u v u '
-'='.
定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形. 例如, 设u =u (x )、v =v (x )、
w =w (x )均可导, 则有
(u +v -w )'=u '+v '-w '.
(uvw )'=[(uv )w]'=(uv )'w +(uv )w '
=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '. 即 (uvw )' =u 'vw +uv 'w +uvw '.
在法则(2)中, 如果v =C (C 为常数), 则有
(Cu )'=Cu '.
例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '
解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )' =2?3x 2-5?2x +3=6x 2-10x +3.
例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2 (πf '.
解: x x x x x f sin 43)2 (sin )cos 4()()(23-='-'+'='π, 44
3)2 (2-='ππf .
例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.
解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.
解: x
x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '
-'=
'='='
x x
x x x 2222
2sec cos 1cos sin cos ==+=.
即 (tan x )'=sec 2x .
例5．y =sec x , 求y '.
解: x x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '?-'='='='x
x
2cos sin ==sec x tan x .
即 (sec x )'=sec x tan x .
用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,
(csc x )'=-csc x cot x .
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且 )
(1])([1y f x f '='-. 或dy
dx dx dy
1=.
简要证明: 由于x =f (y )在I y 内单调、可导(从而连续), 所以x =f (y )的反函数y =f -1(x )存在, 且f -1(x )在I x 内也单调、连续.
任取x ∈I x , 给x 以增量?x (?x ≠0, x +?x ∈I x ), 由y =f -1(x )的单调性可知 ?y =f -1(x +?x )-f -1(x )≠0,
于是
y
x
x y ??=??1. 因为y =f -1(x )连续, 故 0lim 0
=?→y x
从而
)
(11lim lim
])([001y f y
x x y
x f y x '=??=??='→?→?-.
上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6．设x =sin y , ]2 ,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开
区间)2
,2 (ππ-内单调、可导, 且
(sin y )'=cos y >0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有 2
211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='=
'. 类似地有: 2
11
)(arccos x x --
='. 例7．设x =tan y , )2 ,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y 在
区间)2
,2 (ππ-内单调、可导, 且
(tan y )'=sec 2 y ≠0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有 22211tan 11sec 1)(tan 1)(arctan x
y y y x +=+=='=
'. 类似地有: 2
11
)cot arc (x x +-='.
例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且
(a y )'=a y ln a ≠0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有
a
x a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log ==
'='. 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复
杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？
三、复合函数的求导法则
定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为
)()(x g u f dx
dy
'?'=或dx du du dy dx dy ?=.
证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [?(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成
立.
当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ?u ≠0, 此时有
x
x g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ?-?+?
-?+-?+=?-?+=??)
()()()()]([)]([)]([)]([ x
x g x x g u u f u u f ?-?+??-?+=)
()()()(,
x
x g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ?-?+??-?+=??=→?→?→?)
()(lim )()(lim lim 000= f '(u )?g '(x ).
简要证明:
x u u y x y dx dy x x ?????=??=→?→?00lim lim )()(lim lim 00x g u f x
u u y
x u ''=?????=→?→?. 例9 3x e y =, 求
dx
dy . 解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此
322
33x u e x x e dx
du du dy dx dy =?=?=. 例10 212sin x
x y +=, 求dx dy
.
解 函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212x x u +=复合而成的,
因此
2
222222212cos
)1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +?+-=+-+?=?=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dx
dy
. 解:
)(sin sin 1)sin (ln '?='=x x x dx dy
x x x
cot cos sin 1=?=. 例12．3221x y -=, 求
dx
dy
.
解: )21()21(31])21[(2322312'-?-='-=-x x x dx dy 32
2)21(34x x --=.
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =?(v ), v =ψ(x ),
则
dx
dv dv du du dy dx du du dy dx dy ??=?=. 例13．y =lncos(e x ), 求dx
dy . 解:
])[cos()
cos(1])cos([ln '?='=x x x e e e dx dy
)tan()()]sin([)
cos(1x x x x x e e e e e -='?-?=
.
例14．x
e y 1sin =, 求
dx
dy . 解:
)1(1cos )1(sin )(1sin
1sin 1sin '??='?='=x
x e x e e dx dy x x x x
e x x 1cos 11sin 2??-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.
解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以
(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ?(μ ln x )'= e μ ln x ?μ x -1=μ x μ-1.
四、基本求导法则与导数公式
1．基本初等函数的导数: (1)(C )'=0, (2)(x μ)'=μ x μ-1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x , (7)(sec x )'=sec x ?tan x , (8)(csc x )'=-csc x ?cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) a x x a ln 1
)(log =',
(12) x
x 1
)(ln =',
(13) 211)(arcsin x x -=
', (14) 2
11)(arccos x x --
='. (15) 211)(arctan x x +=',
(16) 211)cot arc (x
x +-='.
2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则 (1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '?v +u ?v ', (4)2
)(v v u v u v u '
-'='.
3．反函数的求导法则
设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且
)
(1])([1y f x f '='-. 或dy
dx dx dy
1=.
4．复合函数的求导法则
设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为
dx
du
du dy dx dy ?=或y '(x )=f '(u )?g '(x ). 例16. 求双曲正弦sh x 的导数. 解: 因为)(2
1sh x x e e x --=, 所以
x e e e e x x x x x ch )(21)(21)sh (=+='-='--,
即 (sh x )'=ch x .
类似地, 有
(ch x )'=sh x .
例17. 求双曲正切th x 的导数. 解: 因为x x x ch sh th =, 所以
x
x x x 222ch sh ch )(th -='x 2ch 1
=.
例18. 求反双曲正弦arsh x 的导数.
解: 因为)1ln(arsh 2x x x ++=, 所以 2
2211)11(11)arsh (x x x x x x +=++?++=
'. 由)1ln(arch 2-+=x x x , 可得1
1)arch (2-=
'x x .
由x x x -+=11ln 21arth , 可得211)arth (x x -='.
类似地可得1
1)arch (2-=
'x x , 211)arth (x x -='.
例19．y =sin nx ?sin n x (n 为常数), 求y '.
解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ? (sin n x )'
= n cos nx ?sin n x +sin nx ? n ? sin n -1 x ?(sin x )'
= n cos nx ?sin n x +n sin n -1 x ? cos x =n sin n -1 x ? sin(n +1)x .
§2. 3 高阶导数
一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或2
2dx y
d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' ,
)(22dx
dy
dx d dx y d =. 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.
类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ? ? ?, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作
y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或
33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n
n dx y
d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶
导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.
y '称为一阶导数, y '', y ''', y (4), ? ? ?, y (n )都称为高阶导数.
例1．y =ax +b , 求y ''. 解: y '=a , y ''=0.
例2．s =sin ω t , 求s ''.
解: s '=ω cos ω t , s ''=-ω 2sin ω t .
例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y 3y ''+1=0. 证明: 因为2
2212222x x x x x x y --=--=
', 22222222)
1(2x x x x x
x x x y -------=
'')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32
321)2(1y x x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.
例4．求函数y =e x 的n 阶导数. 解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x , 一般地, 可得
y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .
例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解: y =sin x ,
)2
sin(cos π+=='x x y ,
)2 2sin()2 2 sin()2 cos(ππππ?+=++=+=''x x x y ,
)2 3sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ?+=+?+=?+='''x x x y , )2 4sin()2 3cos()4(ππ?+=?+=x x y , 一般地, 可得
)2 sin()(π?+=n x y n , 即)2 sin()(sin )(π?+=n x x n .
用类似方法, 可得)2
cos()(cos )(π?+=n x x n .
例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数
解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )-1, y ''=-(1+x )-2, y '''=(-1)(-2)(1+x )-3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, 一般地, 可得
y (n )=(-1)(-2)? ? ?(-n +1)(1+x )-n n
n x n )1()!
1()1(1+--=-, 即 n
n n x n x )1()!
1()1()]1[ln(1
)(+--=+-. 例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式. 解: y '=μx μ-1,
y ''=μ(μ-1)x μ-2,
y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,
y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4, 一般地, 可得
y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? (μ-n +1)x μ-n , 即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? (μ-n +1)x μ-n . 当μ=n 时, 得到
(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1=n ! . 而 (x n )( n +1)=0 .
如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且
(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) . (uv )'=u 'v +uv '
(uv )''=u ''v +2u 'v '+uv '',
(uv )'''=u '''v +3u ''v '+3u 'v ''+uv ''' , 用数学归纳法可以证明
∑=-=n
k k k n k n n v u C uv 0)()()
()(, 这一公式称为莱布尼茨公式.
例8．y =x 2e 2x , 求y (20). 解: 设u =e 2x , v =x 2, 则
(u )(k )=2k e 2x (k =1, 2, ? ? ? , 20),
v '=2x , v ''=2, (v )(k ) =0 (k =3, 4, ? ? ? , 20), 代入莱布尼茨公式, 得
y (20)=(u v )(20)=u (20)?v +C 201u (19)?v '+C 202u (18)?v '' =220e 2x ? x 2+20 ? 219e 2x ? 2x !21920?+218e 2x ? 2
=220e 2x (x 2+20x +95).
§2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数
显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x ++e x . 隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=.
如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.
把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是
不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来. 例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ? y '+y +xy '=0, 从而 y e
x y
y +-
='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在
x =0处的导数y '|x =0.
解: 把方程两边分别对x 求导数得 5y ?y '+2y '-1-21x 6=0,
由此得 2
521146
++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 2
1|2521
1|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)
32
3 ,2(处的切线方程.
解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='?+y y x .
从而 y
x y 169-='.
当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率
4
3|2-
='==x y k . 所求的切线方程为
)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .
解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得
09
2
8='?+y y x . 将x =2, 32
3
=y , 代入上式得
03
141='?+y ,
于是 k =y '|x =24
3-
=. 所求的切线方程为
)2(4
3323--=-x y , 即03843=-+y x .
例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y
的二阶导数.
解: 方程两边对x 求导, 得 0cos 211=?+-dx
dy
y dx dy , 于是
y
dx dy cos 22-=
. 上式两边再对x 求导, 得
3
222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dy
y dx y
d --=-?
-=
. 对数求导法: 这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数.
设y =f (x ), 两边取对数, 得 ln y = ln f (x ), 两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y
,
y '= f (x )?[ln f (x )]'.
对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之 积和商的导数.
例5．求y =x sin x (x >0)的导数. 解法一: 两边取对数, 得 ln y =sin x ? ln x , 上式两边对x 求导, 得
x x x x y y 1sin ln cos 1?+?=',
于是 )1sin ln (cos x x x x y y ?+?='
)sin ln (cos sin x
x x x x x +?=.
解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:
y =x sin x =e sin x ·
ln x ,
)sin ln (cos )ln (sin sin ln sin x x x x x x x e y x x x +?='?='?.
例6. 求函数)
4)(3()
2)(1(----=
x x x x y 的导数.
解: 先在两边取对数(假定x >4), 得
ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)],
上式两边对x 求导, 得
)41312111(211-----+-='x x x x y y ,
于是 )4
1312111(2-----+-='x x x x y
y .
当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=
; 当2 4)(3() 2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果. 注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2 二、由参数方程所确定的函数的导数 设y 与x 的函数关系是由参数方程???==)() (t y t x ψ?确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参 数方程所确定的函数. 在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x =?(t )具有单调连续反函数t =?-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[?-1(x ) ], 若x =?(t )和y =ψ(t )都可导, 则 ) () (1t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ?ψ''= ?=?=, 即 ) () (t t dx dy ?ψ''=或dt dx dt dy dx dy =. 若x =?(t )和y =ψ(t )都可导, 则 ) () (t t dx dy ?ψ''= . 例7. 求椭圆? ??==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t a b t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ?? 第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题 二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x） 的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】 三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解 闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解 第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y = 第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取 比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000, 高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0 '00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）2 1(arcsin )'1x x = - （12）2 1(arccos )'1x x =- - （13）21(arctan )'1x x = + （14）2 1 (arccot )'1x x =-+ （15222 2 1[ln()]'x x a x a + += + 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 '' ()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数2 1 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11 '()'()'(()) g y f x f g y = =. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法' ''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数 第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y . 高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1) 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义 10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导 第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-； 第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()()00,x f x f y x x x -=?-=?则 ()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增 量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不 存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限 arccos求导 1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是： 2、导数的多种变式定义： 要注意细心观察发现，是描述趋近任意x时的斜率。而可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率----导数。 4、可导与连续的关系： 导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意中的到底是神马。比如求上图中,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！ 由此也可以知道，这个函数是不存在导数的，也不存在左导数，只存在右导数。 5、反函数的导数与原函数的关系： 有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。 注意，求反函数时候不要换元。因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变，但是与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算。结果显然是错误的。举例子： 求的导数。显然反函数（不要换元）是。反函数的导数是。反函数导数的倒数是，因此， 再如，求的导数。 解：令函数为，则其反函数为，导数的倒数为。但是必须消去。因此变形得 (注意到在定义域内cosy恒为正，因此舍掉负解) 6、复合函数求导法则： 只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。 7、高阶导数： 如果f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。 ; ;其余的也记不住，自己慢慢推导。 ; 二项式定理中有：；类似的，乘法的n阶导数也有： 。这个是要熟练记忆的。 8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率 建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用形式求解。只有这样才能准确，安全，方便。 举例：求（隐函数f(x,y)=0）中y对x的导数 解：两边求导，，解完以后发现效果还不错。如果直接用什么y’神马的净是错误，所以不要直接用口算，用dy/dx方法求解。 1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是：0lim x y x ?→?? 2、导数的多种变式定义： 00000()()()() lim =lim lim x x x x f x f x y f x x f x x x x x ?→?→→-?+?-=??- 要注意细心观察发现，0 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?是描述趋近任意x 时的斜率。而 00 ()() lim x x f x f x x x →--可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率——导数。 4、可导与连续的关系： 导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： (),0f x x x =< 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 0()()()(0) lim lim x x f x x f x f x x f x x ?→?→+?-+?-=??。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意0 00 ()() lim x x f x f x x x →--中的0()f x 到底是神马。比如求上图 中01 ()() lim x f x f x x x + →-- ,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！ 学科：数学 教学内容：导数与微分单元达纲检测 【知识结构】 【内容提要】 1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念． 函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比x y ??的极限，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??=→?→?) ()(lim lim )('00 函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率． 3．函数的微分 函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ． 微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dx dy x f = )('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。 4．求导数的方法 (1)常用的导数公式 c ′=0(c 为常数)； )()'(1 Q m mx x m m ∈=-； (sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； x x e e =)'(， a a a x x ln )'(=； x x 1)'(ln = ， e x a x a log 1)'(log =。 (2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0(' ''2 ≠-= ?? ? ??v v uv v u v u 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ?=， 则)(')(''''x u f u y y x u x ??=?=． 5．导数的应用 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。 8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y ' 4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y '' 第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+= 法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==; 【最新整理，下载后即可编辑】 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin =； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1( +=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二 阶导数22dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2 sin cos )sin (x x x x x x y -= '='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 （4）解：][1 ])[ln(222 222'++++= '++='a x x a x x a x x y ])(21 1[1222 222'+++++=a x a x a x x 第二章 导数与微分总结 一、导数与微分概念 1．导数的定义 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 ()()() 000 lim x x x f x f x f x x --='→ 我们也引进单侧导数概念。 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y 第二章导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度 ★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★左右导数★例8 ★例9 ★导数的几何意义★例10 ★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题 2 - 1 ★返回 内容要点： 一、引例：引例1: 变速直线运动的瞬时速度；引例2: 平面曲线的切线 二、导数的定义： 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量： 2．求两增量的比值： ; 3．求极限 三、左右导数 定理1函数在点处可导的充要条件是：函数在点处的左、右导数均存在且相等. 四、用定义计算导数 五、导数的几何意义 六、函数的可导性与连续性的关系 定理2如果函数在点处可导，则它在处连续. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不第二章 导数与微分习题汇总
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