2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷
调研卷）文数二
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}3,2,1,0,1,2,3A =---，集合{}1,0,1,3A =-，集合{}3,2,1,3B =---，则()U C A B ?=（ ）
A ．{}3,2,1--
B ．{}2,1,1--
C ．{}2
D ．{}1,2,3-
2. 已知复数z 满足()20181z i i +=（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.函数()()
ln 21f x x ++的定义域为（ ）
A ．1,22??-????
B ．1,22??-????
C ．1,22??- ???
D ．1,22??- ???
4.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）
A B C D 5.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线4310x y ++=垂直，且焦点在圆
()2
2126x y +-=上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A ．221916x y -=
B ．221169x y -=
C ．22134x y -=
D ．22
143
x y -=
6.执行如图所示的程序框图，若输入的0.05t =，则输出的n 为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1133,2n n a a S ++==，则5a =（ ） A ．33 B ．43 C ．53 D ．63
8.已知将函数()()sin 206f x x πωω?
?=+> ??
?的图象向左平移3π个单位长度得到函数()g x 的图
象，若函数()g x 图象的两条相邻的对称轴间的距离为2
π
，则函数()g x 的—个对称中心为（ ）
A ．,06π??- ???
B ．,06π?? ???
C ．,012π??- ???
D ．,012π?? ???
9.榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（ ）
A ．812π+
B ．816π+
C ．912π+
D ．916π+
10.已知实数,x y 满足约束条件0,
20,3,x y x y x -≥??
+-≥??≤?
当且仅当1x y ==时，目标函数z kx y =+取大值，
则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(),1-∞
B ．(),1-∞-
C ．()1,-+∞
D ．()1,+∞
11.已知0a >，命题:p 函数()()
2lg 23f x ax x =++的值域为R ，命题:q 函数()a
g x x x
=+在区间()1,+∞内单调递增.若p q ?∧是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．1,3??-∞ ??? C ．10,3?? ??? D ．1,13?? ???
12.若函数()ln ,0
0x x f x x >??=?≤??
与()1g x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则实数a
的取值范围是（ ）
A ．R
B ．(],e -∞-
C ．[),e +∞
D ．?
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知在ABC ?中，D 为BC 边上的点，20BD CD +=，若(),AD mAB nAC m n R =+∈，则
n = ．
14.已知焦点在x 轴上的椭圆22
2121
x y m m +=+20y -+=上，则椭圆的离
心率为 ．
15.在锐角ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()sin cos sin 1cos C A B C =-，且
,3
A b π
=
=，则c = ．
16.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，E 为AB 边上的点，项将ADE ?沿DE 翻折至A DE '?，使得点A '在平面EBCD 上的投影在CD 上，且直线A D '与平面EBCD 所成角为30?，则线段
AE 的长为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，15965,3a a a S =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足11n n n b a a ++=，且16b a =，求数列1n b ??
????
的前n 项和n T .
18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是PD 的中点，棱PA 与平面BCE 交于点F .
（1）求证://AD EF ；
（2）若PAB ?是正三角形，求三棱锥P BEF -的体积.
19.某市统计局就某地居民的收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.
（1）求居民收入在[)3000,3500的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；
（3）为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)2500,3000内应抽取多少人？ 20.已知点F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的直线l 交抛物线于,A B 两点. （1）若直线l 的斜率为1，8AB =，求抛物线C 的方程；
（2）若抛物线C 的准线与x 轴交于点()1,0P -，(:2:1APF BPF S S ??=，求PA PB ?的值. 21.已知函数()2ln ,f x x x ax a R =++∈.
（1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；
（2）若()1212,x x x x <是函数()f x 的导函数()f x '的两个零点，当(),3a ∈-∞-时，求证：()()123
ln 24
f x f x ->
-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为21
43x t y t =-??=-+?（t 为参数），以原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ??
=- ???
.
（1）求曲线1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程； （2）判断曲线12,C C 是否相交，若相交，求出相交弦长. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()212f x x x =-++. （1）求不等式()0f x >的解集；
（2）若对任意的[),x m ∈+∞，都有()f x x m ≤-成立，求实数m 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: CBDAB 6-10: CCDBB 11、12：DC
二、填空题
13.1
3
14. 23三、解答题
17. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由15965,3a a a S =+=, 得 ()()65
35458652
d d d ?+++=?+， 解得2d =.
所以()()()
*1152123n a a n d n n n N =+-=+-=+∈. （2）由（1）得，1626315b a ==?+=. 又因为11n n n b a a ++=，
所以当2n ≥时，()()12321n n n b a a n n -==++ 当1n =时，15315b =?=，符合上式， 所以()()2321n b n n =++. 所以
()()11111232122123n b n n n n ??==- ?++++??
. 所以11111
11235572123n T n n ??=-+-+
+
- ?
++??()
11
12323323n n n ??=-= ?++??. 18. 解：（1）因为底面ABCD 是边长为2的正方形， 所以//BC AD .
又因为BC ?平面PAD ，AD ?平面PAD ， 所以//BC 平面PAD .
又因为,,,B C E F 四点共面，且平面BCEF ?平面PAD EF =，
所以//BC EF .
又因为//BC AD ，所以//AD EF . （2）因为//AD EF ，点E 是PD 的中点， 所以点F 为PA 的中点，1
12
EF AD =
=. 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ?平面,ABCD AB AD AB =⊥， 所以AD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB . 又因为PAB ?是正三角形， 所以2PA PB AB ===，
所以12PBF PBA S S ??=
=
又1EF =，
所以113P BEF B PEF V V --===
故三棱锥P BEF -. 19.解：（1）由题知，月收入在[)3000,3500的频率为0.00035000.15?=.
（2）从左数第一组的频率为0.00025000.1?=，第二组的频率为0.00045000.2?=， 第三组的频率为0.00055000.25?=， ∴中位数在第三组， 设中位数为2000x +，
则0.00050.50.10.2x ?=--，解得400x =， ∴中位数为2400.
由12500.117500.222500.2527500.2532500.1537500.052400?+?+?+?+?+?=， 得样本数据的平均数为2400.
（3）月收入在[)2500,3000的频数为0.25100002500?=（人）， ∵抽取的样本容量为100， ∴抽取的比例为
1001
10000100
=
， ∴月收入在[)2500,3000内应抽取的人数为1
250025100
?=（人）. 20.解：（1）由题意知，直线l 的方程为2
p y x =-
.
联立2,22,
p y x y px ?
=-???=?
得22
304p x px -+
=. 设,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ， 则3A B x x p +=.
由抛物线的性质，可得4822
A B A B p p
AB FA FB x x x x p p =+=+++=++==， 解得2p =，
所以抛物线C 的方程为24y x =.
（2）由题意，得()1,0F ，抛物线2:4C y x =， 设直线l 的方程为1x my =+，()()1122,,,A x y B x y ， 联立21,4,
x my y x =+??=?得2440y my --=.
所以1212
4,
4,y y m y y +=??=-?①
因为(:2:1APF BPF S S ??=，
所以
2AF BF
=因为,,A F B 三点共线，且,AF FB 方向相同， 所以()
23AF FB =-
，
所以()(()11221,21,x y x y --=
-， 所以)
122y
y =
-，
代入①，得))222
14,
2 4.
y m y
?
=?
?
=-??
解得212
m =
， 又因为()1,0P -，
所以()()11221,,1,PA x y PB x y =+=+， 所以()()11221,1,PA PB x y x y ?=+?+
()1212121x x x x y y =++++
()()()1212111114my my my my =+++++++- ()212122m y y m y y =++
2224842m m m =-+==.
21.解：（1）当1a =-时，()2ln f x x x x =+-，()1
21f x x x
'=+-， 所以()1ln1110f =+-=，()11212f '=+-=. 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()21y x =-， 即220x y --=.
（2）由题得，()()2121
20x ax f x x a x x x
++'=++=>.
因为12,x x 是导函数()f x '的两个零点， 所以12,x x 是方程210ax ax ++=的两根， 故12121
0,22
a x x x x +=-
>=. 令()221g x x ax =++， 因为(),3a ∈-∞-，
所以13
022a g +??=< ???，()130g a =+<，
所以()1210,,1,2x x ??
∈∈+∞ ???
，
且22
1122
21,21ax x ax x =--=--， 所以()()()()()2222111212121222
ln ln x x f x f x x x ax ax x x x x -=+-+-=--+， 又因为121
2x x =
，所以12
12x x =，
所以()()()()22
1212122
1ln 2,1,4f x f x x x x x -=-
-∈+∞，
令()2
2
22,t x =∈+∞，()()()121
ln 22t h t f x f x t t
=-=--. 因为()()2
2211110222t h t t t t -'=+-=>， 所以()h t 在区间()2,+∞内单调递增， 所以()()3
2ln 24h t h >=-， 即()()123
ln 24
f x f x ->
-. 22.解：（1）由题知，将曲线1C 的参数方程消去参数t ， 可得曲线1C 的普通方程为210x y +-=.
由4πρθ??
=- ???
，
得()22cos sin ρρθρθ=+.
将222x y ρ=+，cos ,sin x y ρθρθ==代入上式， 得2222x y x y +=+， 即()()2
2
112x y -+-=.
故曲线2C 的直角坐标方程为()()2
2
112x y -+-=.
（2）由（1）知，圆2C 的圆心为()1,1，半径R =，
因为圆心到直线1C 的距离d =< 所以曲线12,C C 相交，
所以相交弦长为==23.解：（1）当2x ≤-时，不等式转化为()()2120x x --++>，解得2x ≤-； 当122x -<<时，不等式转化为()()2120x x ---+>，解得1
23
x -<<-； 当1
2
x ≥
时，不等式转化为()()2120x x --+>，解得3x >.
综上所述，不等式()0f x >的解集为{1
3x x <-或}3x >.
（2）由（1）得，()3,2,131,2,213,,2
x x f x x x x x ?
?-+≤-?
?
=---<
?
-≥??
作出其函数图象如图所示：
令y x m =-，
若对任意的[),x m ∈+∞，都有()f x x m ≤-成立，
即函数()f x 的图象在直线y x m =-的下方或在直线y x m =-上. 当2m ≤-时，30m -+≤，无解； 当122m -<<时，310m --≤，解得11
32
m -≤<； 当12m ≥
时，30m -≤，解得1
32
m ≤≤. 综上可知，当1
33
m -≤≤时满足条件，
故实数m 的取值范围是1,33??
-????
.