声波的惠更斯原理及费尔马最小定理

惠更斯原理，菲尔马定理

声音的基本性质特点

声音的基本性质

一、声音的产生

声音产生于物体的振动。例如，讲话声音产生于喉管内声带的振动，扬声器（喇叭）发声产生于纸盆的振动，机械噪声产生于机械部件的振动等。我们把能够发出声音的物体称为声源。

声源发声后，还要经过一定的介质才能向外传播。例如扬声器发声，当外加信号使扬声器纸盆来回振动时，随之也使它邻近的空气振动起来。当纸盆向某个方向振动时，便压缩其邻近空气，使这部分空气变密；当纸盆向相反方向振动时，这部分空气变稀疏。邻近空气这样一疏一密地随着纸盆的振动而振动，同时又使较远的空气做同样的振动，空气这种一疏一密地振动传播的波叫做声波。声波的传播示意图如图1-1所示。声波以一定速度向四面八方传播，当声波传到入耳中时，会引起人耳鼓膜发生相应的振动，这种振动通过听觉神经，使我们产生声音的感觉。

由此可见，听到声音，要有三个基本条件。一是存在发声体或声源。二是要有传播过程中的弹性介质，例如空气，或者液体、固体的弹性介质；真空中没有弹性介质，所以真空不能传送声波：月球上没有空气，所以月球上是无声的世界。三是要通过入耳听觉才能产生声音的感觉。

声波的传播

声波的传播也可以用水面波作形象的比喻。把一石块投入平静的水中，水面上便可看到一圈圈的水面波，它由波峰和波谷这样高低起伏交替变化着向外传播。因为水面在波动，所以水面波带有能量。如果在水面卜浮一很小的木块，就可以看到这一小木块随着水面波峰波谷做上下运动，待水面平静下来，木块则仍停留在它的原来位置。由此可见，水的质点本身并不沿着波动前进，而是水波动的能量从一部分水面到邻近的另一部分水面相继传递。这与声波在空气中传播时空气层并不跟随声音一块传播出去，而只是在平衡位置附近振动是相似的。所以说声波的传播，实际上是声波的能量随声波在传播。有声波存在的空间叫做声场。

但是，声波与水波也有不同，水面波的振动方向与波的传播方向相垂直，因此水波是一种横波。声波的传播方向与疏密相间振动方向是一致的，所以声波在空气中的表现形式是纵波。

由上述可见，振动和波动是互相密切联系的运动形式，振动是波动的产生根源，而波动是振动的传播过程。声音的本质是一种波动，因此声音也叫声波。为了清楚起见，通常把声的物理过程称为声波，而把与听觉有关的过程称为声音。

二、频率、波长与声速

声源完成一次振动所经历的时间称为周期，记作T为秒(s)。Is内振动的次数称为频率，记作ƒ单位为赫兹( Hz)，它是周期的倒数，即

声源的振动能产生声波，但不是所有振动产生的声波人们都能听得见，这是由于人耳特性决定的。只有当频率在20～20000Hz范围内的声波传到人耳，引起耳膜振动，才能产生声音的感觉。所以通常将频率在20—20000Hz范围内的声波叫做可听声。低于20Hz的

声波叫做次声，高于20000Hz的声波称为超声。次声和超声都不能使人产生声音的感觉。

声波在介质中每秒传播的距离，叫做声波传播速度，简称声速，记作c，单位为米／秒(m/s)。声速不是质点振动的速度而是振动状态的传播速度，它的大小与振动的特性无关，而与介质的弹性、密度和温度有关。

声波的传播速度实质是介质分子向相邻分子作动量传递的快慢程度。显然，介质分子结构越紧密，内损耗特性越小，声速值就越大。例如，空气、水、钢铁的介质特性决定了它们的声速比值约为1:4:12。由于温度与介质分子运动的活跃程度有密切的联系，所以当介质温度升高时声速相应增大。以空气为例，声速c与温度ƒ的关系可表示为

（1—1）

式中，t为空气温度(℃)；co为O℃时空气中的声速，等于331.4m/s。对于通常的环境温度，即当t比273小得很多时，上式可简化为 c= 331.5 +0.6t (m/s) （1—2）

由此可见，空气温度每增加10℃，声速相应增加6m/s。通常室温(15℃)下空气巾的声速为340m/s。

声源完成一周的振动，声波所传播的距离，或者说声波在传播途径上相位相同的两相邻质点之间的距离叫做声波的波长，记作λ，单位为米(m)。因此，声速、频率和波长三者有

如下的关系：

（1—3）

由于一定介质的声速为常数，故频率与波长为反比关系。例如，室温空气中频率ƒ=100Hz的波长为3.4m，ƒ=1000Hz的波长为0.34m 或34cm。

三、声波的反射与绕射

1．几何声学

声波从声源出发，在同一个介质中按一定方向传播，在某．时刻波动所达到的各点包络面称为波阵面。波阵面为平面的波称为甲面波，波阵面为球面的波称为球面波。由·点声波辐射的声波为球面波，但在离声源足够远的局部范围内，可以近似地把它看作平面波。人们常用“声线”来表示声波传播的方向，声线的方向与波阵面垂直。用声线的观点来研究声波的传播称为几何声学。与之对应，用波动的观点来研究声学问题的称为物理声学。

2.声波的反射

当声波在传播过程中遇到一块尺寸比波长大得多的墙面或障碍物时，声波将被反射。如声波发出的是球面波，经反射后仍足球面波。如图1-2所示，用虚线表示反射波，它像从声源0的映像——虚声源0’发出似的，0和0’点是对于反射平面的对称点。同一时刻反射波与入射波的波阵面半径相等。如用声线表示前进的方向，反射声线可以看作是从虚声源发出的。所以，利用声源与虚声源的对称关系，以几何声学作图法很容易确定反射波的方向。如同几何光学反射定律一样，声波反射的反射角等于入射角。

当反射面为曲面时，如图1-2 (b)、(c)所示，仍可利用声波反射定律求声波在曲面上的反射声线。例如，欲求曲面上某点的反射线，则以过该点的曲面的切面作为镜面，使其入射角等于反射角，即可确定反射声线。由图1-2 (c)可见，凸曲面对入射声波有明显的散射作用，它有助于声场的扩散均匀；而图1-2 (b)利用凹曲面反射的特点使声音会聚予某·区域或出现声焦点，从而造成声场分布的不均匀，这在室内音质设计中应注意防止。

3．声波的绕射（衍射）

上述几何声学原理建立在与几何光学相似的基础上，即声音是沿直线传播的，但这种假设只限于反射面或障碍物以及孔洞的尺寸比声波波长大得多时才有效。当障碍物或孔洞的尺比声波波长小时，声波将产生绕射（又称衍射）或弯曲，即声波将绕过障碍物或通过孔洞改变前进方向，如图l—3 (a)所示。若孔洞尺寸(直径d)比声波波长小得多（d《λ），声波通过孔洞则不像光线那样直线传播，而是能够绕到障板的背面改变原来的传播方向。这时小孔处的质点可近似看作一个新声源，产生新的球面波，而与原来的波形无关。平时我们在墙的一侧能听到另一侧的声音，也是声波绕射的结果。声源的频率越低，绕射的现象越明显：相反，频率越高，越不易产生绕射，因而传播也具有较强的方向性。

4．声波的折射

声波在传播途中遇到不同介质的分界面时，除了发生反射外，还会发生折射。声波折射后的传播方向将改变，如图1-4所示，相对于法线的入射角与折射角的关系如下：

（1—4）

式中，C1、C2为两种介质的声速。

由式( 1-4)可见，当Cl >C2时，θ1>θ2；当C1

因而声速较大[见式(1—1)]，声速随离地面高度的增加而降低，因而声传播方向向上弯曲，如图1-5 (b)所示，因此广场后面就不大有声音。反之，晚上地面温度较低（冷空气），因而声速较小，声速随高度的增加而增加，声传播方向就向下弯曲，如图1-5 (a)所示。这种现象可用来解释为什么声音在晚上要比白天传播得远些。

此外，风速也会影响声的传播方向，有风时实际声速是平均声速与风速的矢量相加。因此，当声波顺风传播时即从声速快向声速慢的方向折射，因此声传播方向向下弯曲，逆风时声传播方向则向上弯曲并产生声阴区（静区），如图1-5 (c)左边所示，这一现象可解释为什么从声源逆风传播的声音常常是难以听到的。

四、声波的透射与吸收

当声波入射到墙壁等物体时，如图1-6所示，声能一部分被反射，一部分透过物体，还有一部分由于物体的振动或声音在物体内部传播时介质的摩擦或热传导而被损耗，这通常称为材料的吸收。

，根据能量守恒定律，设单位时间内入射到物体上的总声能为Eo，反射的声能为Er，物体吸收的声能为Ea，透过物体的声能为E则有

Eo= E+ Ea+ Et （1—5）

透射声能与入射声能之比称为透射系数τ，即；反射声能与入射声能之比称为反射系数γ即。通常将τ值小的材料称为隔声材料，将γ值小的材料称为吸声材料。实际上物体吸收的只是E a，但从入射波与反射波所在的空间来考虑，常用下式来定义材料的吸声系数a：

（1—6）

a-0时，入射声能全部被反射；a=l时，入射声能全部被吸收。因此，a值在O～1之间。如果说某材料的吸声系数a- 0.3，就是说30%

的入射声能Eo被吸收了。a值越大，吸声性能越好。吸声系数的大小除了与材料本身性质有关外，还与声波的频率、入射方向等有关。一般来说，坚实光滑的地面和墙面的吸声系数很小，而多孔性（通气）的材料则是常用的高效吸声材料。通常，多孔性材料吸声能力与材料厚度有关。厚度增加，低频吸声增大；但材料厚度对高频影响较小。从理论上说，材料厚度相当于1/4波长时，在该频率下具有最大的吸声效果。但对低频来说，这时材料厚度往往要在10cm以上，故不经济。如果用较薄的多孔材料，使它离开后背硬墙面一定距离，则这时的吸声性能几乎与全部空腔内填满同类吸声材料的效果一样。

25

平面声波在平行分界面上

反射和折射的理论计算

惠更斯(Huygens)原理：行进中的波阵面上任一点都可看作是新的次波源，而从波阵面上各点发出的许多次波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。

光的直线传播、反射、折射等都能以此来进行较好的解释。此外，惠更斯原理还可解释晶体的双折射现象。但是，原始的惠更斯原理是比较粗糙的，用它不能解释衍射现象，而且由惠更斯原理还会导致有倒退波的存在，而这显然是不存在的。

由于惠更斯原理的次波假设不涉及波的时空周期特性——波长，振幅和位相，虽然能说明波在障碍物后面拐弯偏离直线传播的现象，但实际上，光的衍射现象要细微的多，例如还有明暗相间的条纹出现，表明各点的振幅大小不等，对此惠更斯原理就无能为力了。因此必须能够定量计算光所到达的空间范围内任何一点的振幅，才能更精确地解释衍射现象。

菲涅耳对惠更斯原理的改进编辑

菲涅耳在惠更斯原理的基础上，补充了描述次波的基本特征——相位和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干叠加”的原理，从而发展成为惠更斯——菲涅耳原理。这个原理的内容表述如下：

面积元dS所发出的各次波的振幅和位相满足下面四个假设：

(1)在波动理论中，波面是一个等位相面。因而可以认为dS面上各点所发出的所有次波

都有相同的初位相(可令其为零)。

(2)次波在P点处所引起的振动的振幅与r成反比。这相当于表明次波是球面波。

(3)从面元dS所发次波在P处的振幅正比于dS的面积,且与倾角θ有关，其中θ为dS

的法线N与dS到P点的连线r之间的夹角，即从dS发出的次波到达P点时的振幅随θ的增大而减小(倾斜因数)。

(4)次波在P点处的位相，由光程nr决定。

局限性编辑

惠更斯－菲涅耳原理

从点波源Q0发射出的球面波，其波前的任意一点Q可以视为次波的波源，这些次波会各自在点P贡献出波扰叠加在一起，因此形成总波扰。

如右图所示，假设点波源Q0发射出的球面波，其复值波幅为、波长为、波数

为。对于球面波，波扰的数值大小与距离成反比，相位随着波数与距

离的乘积而改变。因此，在与点波源Q0相离距离为的点Q，其波扰为

。

应用惠根斯原理与波的叠加原理，将所有与点Q同波前的点波源，其所发射出的次波对于点P的贡献叠加在一起，可以得到在点P的总波扰。为了与做实验获得的结果相

符合，菲涅耳还发觉必须将计算结果乘以常数因子与“倾斜因子”；其中，是三角形Q0PQ在点Q的外角。

1. 第一个修正意谓著次波与主波的相位差为，相对于主波，次波的相位超

前，另外，次波与主波之间的波幅比率为。

2. 对于第二个修正，菲涅耳假定，当时，倾斜因子是最大值；

而当时，倾斜因子等于零。[3]假若不做这假定，则

次波会朝着所有可能方向传播，这包括了向前传播与向后传播；但是，做实验

并没有观察到向后传播的波，为了符合这实验结果，必须假定次波朝着各个方

向传播的波幅不一样，对于前方传播的波幅很大，对于后方传播的波幅很微小，

甚至等于零。倾斜因子的主要功能就是调整次波朝着各个方向传播的波幅。

经过修正后，从点波源Q0发射出的波，其波前的微小面元素部分，对于点P贡献出的微小复值波扰为

；

其中，是点Q与点P之间的距离。

在点P的复值波扰为

。

其中，是积分曲面。

从基尔霍夫衍射公式，可以推导出惠更斯－菲涅耳原理。菲涅耳在惠更斯－菲

涅耳原理里凭空提出的假定与修正，在这推导过程中，会自然而然地显露出来。

[6]惠更斯－菲涅耳方程可以视为基尔霍夫衍射公式的一个近似。古斯塔夫·基尔

霍夫给出了倾斜因子的表达式：

。

注意到根据这表达式，当时，倾斜因子是最大值；而

当时，倾斜因子不等于零。

北京大学地震概论课程完美课程课件总结

地学发展简史：水火不相容（火成论，水成论）-均变与质变-固定轮与活动论；数值上等于恒星周年视差的倒数。因此，1pc=360×60×60/2PI×1天文单位=206265天文单位=3.2616光年=308568亿公里 离太阳最近的恒星比邻星的距离约为1.29pc（4.22光年）。地球公转轨道的平均半径（一个天文单位，AU） 霍金的宇宙：无边界有限宇宙马克思的宇宙：时空无限 天体He丰度为宇宙成分的26% 星系出现1亿年太阳系出现10亿年首批生命12亿年宏观生命形式的进化15亿年 水金地火（小行星带）木土天海冥 太阳系的轨道特性：近圆形、同向性、共面性； 行星运动三大定律：1、行星在椭圆轨道上运动，太阳位于期中一个焦点上；2、行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积；3、行星公转周期的平方与轨道半长径的方成正比。 太阳：色球层（耀斑）-光球层（太阳黑子）-对流层-辐射层-核心 恒星结局：红巨星——小于3个太阳先白矮星后黑矮星——3-10个太阳超新星——大于十个黑洞； 木星卫星63颗彗星：彗核、彗发固体C、冰冻水|CH4NH3；彗尾CO+N2+CO2+ 原始大气：一氧化碳、氢、水后全部或大部溢出地球。 由地震引起的破坏，统称之为地震灾害. 唐山大地震7.8级死亡24万人中国历史上第二大最具破坏力的地震20世纪大地震死亡人数近80万人土耳其地震创地震损失经济之最 地震灾害95%以上的伤亡是由于建筑物倒塌造成的，大约50%的财产损失是由地震的次生灾害造成的 固体地球物理学和空间物理学构成地球物理学；地震学时地球物理学的主要部分，研究地震的发生、传播、地球内部构造的一门科学。 最早赘述记载公元前1831年山东“秦山震”1679年三河地震时北京附近最大的地震。古代各国对地震说法：中国阴阳说，古希腊气动说，日本地震鲶。 1910美国地震学家里德弹性回调理论 地震波与其它波动现象（如，光波、电磁波）一样，有反射、透射、衍射、散射等现象；也满足：惠更斯原理（Huygens’Principle) 和费尔马原理（Fermat’s Principle)。但控制地震波传播的最基本原理仍是牛顿定律，即：牛顿定律在连续介质力学中的表达形式地震学中的Fermat定理：地震波在介质中传播的路径为走时最小的路径.Fermat定理是地震波的高频近似解（地震波的特征波长远小于所研究问题的特征尺度） 地震射线，能量束分布呈高斯分布，宽度d反比于频率f当f-无穷，d-0；能量束成为射线。 在无界的天性介质中，存在两种基本类型的弹性波：纵波（P）V横波（S)纵波的速度一般是横波的根号三倍，在地震记录中总是纵波先到达。在一定边界条件下，弹性波动方程还给出面波解和自由振荡解。面波类型Love波Rayleigh波。 影响自由振荡周期的因素：自转、横向非均匀性； 第一个远震记录：德国记录日本； 地震波最初从地球内的一点发出，这点就是震源，位于地球表面的恰又位于震源之上那点称为震中。 1935里克特提出按照地震仪器探测到的地震波的振幅将地震分级。里氏震级ML是最大地震波振幅以10为底的对数。对一个100千米外的地震记录到1cm的峰值波（1%0毫米

声波的惠更斯原理及费尔马最小定理

惠更斯原理，菲尔马定理 声音的基本性质特点

声音的基本性质 一、声音的产生 声音产生于物体的振动。例如，讲话声音产生于喉管内声带的振动，扬声器（喇叭）发声产生于纸盆的振动，机械噪声产生于机械部件的振动等。我们把能够发出声音的物体称为声源。 声源发声后，还要经过一定的介质才能向外传播。例如扬声器发声，当外加信号使扬声器纸盆来回振动时，随之也使它邻近的空气振动起来。当纸盆向某个方向振动时，便压缩其邻近空气，使这部分空气变密；当纸盆向相反方向振动时，这部分空气变稀疏。邻近空气这样一疏一密地随着纸盆的振动而振动，同时又使较远的空气做同样的振动，空气这种一疏一密地振动传播的波叫做声波。声波的传播示意图如图1-1所示。声波以一定速度向四面八方传播，当声波传到入耳中时，会引起人耳鼓膜发生相应的振动，这种振动通过听觉神经，使我们产生声音的感觉。 由此可见，听到声音，要有三个基本条件。一是存在发声体或声源。二是要有传播过程中的弹性介质，例如空气，或者液体、固体的弹性介质；真空中没有弹性介质，所以真空不能传送声波：月球上没有空气，所以月球上是无声的世界。三是要通过入耳听觉才能产生声音的感觉。 声波的传播 声波的传播也可以用水面波作形象的比喻。把一石块投入平静的水中，水面上便可看到一圈圈的水面波，它由波峰和波谷这样高低起伏交替变化着向外传播。因为水面在波动，所以水面波带有能量。如果在水面卜浮一很小的木块，就可以看到这一小木块随着水面波峰波谷做上下运动，待水面平静下来，木块则仍停留在它的原来位置。由此可见，水的质点本身并不沿着波动前进，而是水波动的能量从一部分水面到邻近的另一部分水面相继传递。这与声波在空气中传播时空气层并不跟随声音一块传播出去，而只是在平衡位置附近振动是相似的。所以说声波的传播，实际上是声波的能量随声波在传播。有声波存在的空间叫做声场。 但是，声波与水波也有不同，水面波的振动方向与波的传播方向相垂直，因此水波是一种横波。声波的传播方向与疏密相间振动方向是一致的，所以声波在空气中的表现形式是纵波。 由上述可见，振动和波动是互相密切联系的运动形式，振动是波动的产生根源，而波动是振动的传播过程。声音的本质是一种波动，因此声音也叫声波。为了清楚起见，通常把声的物理过程称为声波，而把与听觉有关的过程称为声音。 二、频率、波长与声速 声源完成一次振动所经历的时间称为周期，记作T为秒(s)。Is内振动的次数称为频率，记作?单位为赫兹( Hz)，它是周期的倒数，即 声源的振动能产生声波，但不是所有振动产生的声波人们都能听得见，这是由于人耳特性决定的。只有当频率在20～20000Hz范围内的声波传到人耳，引起耳膜振动，才能产生声音的感觉。所以通常将频率在20—20000Hz范围内的声波叫做可听声。低于20Hz的

费马小定理及应用

费马小定理及应用 知识定位 费马小定理是初中数学竞赛数论中经常出现的一种。要熟练掌握费马小定理是数论中的一个定理，数学表达形式和应用。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中不定方程相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。 知识梳理 1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数. ①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2 …p n αn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n ) 例如，30＝2·3·5，则.8)5 11)(311)(21 1(30)30(=---=? ②若p 为素数，则1 ()1,()(1),k k p p p p p ??-=-=-若p 为合数，则()2,p p ?≤- ③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为 1 ()2 n n ?； ④若(,)1()()(),a b ab a b ???=?= 若()()a b a b ??? ⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()n d ?， 同时 ()()d n d n n d n d ??==∑∑； 2、欧拉定理：若(a , m )＝1，则a φ(m ) ≡1(mod m ). 证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系， 又∵(a , m )＝1， ∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系， ∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )， 又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1， ∴a φ(m ) ≡1(mod m ). 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c ≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ). 补充：设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )，我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： （1）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡ v (mod k)， 特别地，a u ≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然. 必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )u a a m ν ≡及(,)1a m =知1(mod )l a m ≡.

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2.地震学

1，地震是活动的地球表现出来的一种自然现象。 活动断层上的古地震标志显示出地质历史上的地震活动。 2，二十世纪是地震学全面、迅速发展的时期，其特征表现在： 1，观测仪器的精度不断提高，观测台站的不断增多 2，观测数据的数量增多、质量提高 3，地震波传播理论与震源理论的发展 4，地震学应用领域的不断扩展 5，对地球内部物理认识的不断加深 6，地震学研究的广泛开展，中国、世界所有发达国家都在开展研究 7，行星地震学研究的开展 3，地震学的定义：研究固体地球的震动和有关现象的一门科学，固体地球物理学的一个重要分支。它不仅研究天然地震，也研究某些认为的或自然因素造成的（如地下爆炸、岩浆冲击、岩洞塌陷等）的震动。 4，地震学的研究内容： 1，通过解释地震图来揭示：地球（包括其它天体）内部结构（深部、浅部） 地震震源过程、机理 地震引起的地面震动 火山、矿山塌陷、核爆炸以及其它任何引起地表震动的现象（或事件）2，以多学科的方法与手段研究天然地震现象本身，认识地震、火山、海啸等灾害的发生机理，为减轻、抵御、乃至最终预测地震灾害。 5，地震波：由地震震源发出的在地球介质中传播的弹性波。 地震发生时，震源区的介质发生急速的破裂和运动，这种扰动构成一个波源。由于地球介质的连续性，这种波动就向地球内部及表层各处传播开去，形成连续介质的弹性波。 6，弹性体：（介质的弹性性质）在外力作用下，内部各点的应变和应力一一对应，当外力除去后能恢复到原来状态的物体。 应力：受力物体截面上内力的集度，即单位面积上的内力。 应变：物体内任一点因各种作用引起的相对变形。 7，广义胡克定律，弹性波动方程，一维弹性横波（纵波）波动方程（35~44） 8，地震波：在无界弹性介质中，存在两种基本类型的弹性波： 纵波P：质点振动方向对于振动(能量)传播方向一致，速度：Vp=sqrt(E/p) 横波S：质点振动方向与振动（能量）传播方向垂直，速度：Vs=sqrt(u/p) 纵波速度比横波大，大约为sqrt(3)倍 9，在一定的边界条件下，弹性波动方程还给出面波和自由振荡解。 当P波和S波到达地球的自由面时，在一定条件下会产生沿地球表面传播的面波，面波包括瑞利波（旋扭）和勒夫波（平扭）两种。这两种波的速度比P波小，与S波的速度相等或小一些。 10，地球的自由震荡：（本征振荡）分两类：球型振荡、环型振荡 11，地震图也被称为地震记录 一个远震的地震图，可以看到体波和面波。 （体波：体波是地球内部信息传递的载体。体波分为纵波P和横波S。） 12，地震波传播：地震波与其它波动现象（光波、电磁波）一样，有反射、透射、衍射、散射等现象；也满足惠更斯原理和费尔马原理。但控制地震波传播的最基本原理仍和牛顿定律，即：牛顿定律才在连续介质中的表达形式是：……（P56） 13，费尔马原理： 光学中的费尔马定理：光在介质中传播的路径为走时最小的路径。 地震学中的费尔马定理：地震波在介质中传播的路径为走时最小的路径。 （地震学中的费尔马定理不是永远成立的，这是高频情况下地震波波动方程的近似解） 14，地震射线：（？）

小奥知识点

小学奥数都有哪些知识点和重点？为了让大家对小学奥数知识点有一个全局的认识，下面给大家小结一下： 1.、年龄问题：三大特征 ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 2、植树问题 基本类型： 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树。 3、鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路： ①设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 4、盈亏问题 盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 5、牛吃草问题 牛吃草问题

50个常用物理公式

50个常用物理公式 1. 运动学公式： - 平均速度：v = (Δx) / (Δt) - 平均加速度：a = (Δv) / (Δt) - 位移与初末速度关系：Δx = (v + v₀) * t / 2 - 位移与加速度关系：Δx = v₀* t + (1/2) * a * t² - 末速度与初速度、加速度、位移关系：v² = v₀² + 2a * Δx 2. 牛顿运动定律： - 第一定律（惯性定律）：物体静止或匀速直线运动，除非受到外力作用。 - 第二定律（牛顿定律）：F = ma，力等于物体质量乘以加速度。 - 第三定律（作用-反作用定律）：任何作用力都有一个大小相等、方向相反的反作用力。 3. 动能和势能： - 动能：KE = (1/2) * m * v² - 重力势能：PE = m * g * h（其中g 是重力加速度，h 是高度） - 弹性势能：PE = (1/2) * k * x²（其中k 是弹性系数，x 是弹簧变形量）

4. 万有引力定律： - F = (G * m₁ * m₁) / r²（其中G 是万有引力常数，m₁和m₁是两个物体的质量，r 是它们之间的距离） 5. 浮力： - F = ρ * V * g（其中ρ是液体密度，V 是物体在液体中的体积，g 是重力加速度） 6. 压强： - P = F / A（其中F 是受力，A 是力作用的面积） 7. 能量守恒定律： - E₀= E₁（系统能量守恒） 8. 热力学定律： - 热传导公式：Q = k * A * (ΔT / d)（其中Q 是传热量，k 是热导率，A 是传热面积，ΔT 是温度差，d 是厚度） 9. 斯特藩-玻尔兹曼定律： - P = σ * A * T⁴（其中P 是辐射功率，σ是斯特藩-玻尔兹曼常数，A 是发射面积，T 是绝对温度） 10. 热容和比热容：

光的衍射知识点

光的衍射知识点 光是一种波动，与声波、水波等都有相似的特性。当光线通过一个孔或一个细缝时，它们会发生弯曲和折射，进而存在扩散现象，故而产生衍射现象。光的衍射是光学中必不可少的一个基本概念，本文将详细阐述光的衍射知识点。 一、什么是光的衍射 光的衍射是指光通过一个孔或一组细缝后发生的扩散现象。通过光的衍射，光线可以在一定范围内分散开来，产生出不同方向的光谱。衍射可以被广泛应用于光学成像、衍射光栅、干涉仪等领域。 二、衍射定理 衍射定理是指在线性系统中，其输入复杂度与输出复杂度之间的交换性质。换言之，即输入和输出之间的空间图片具有相同的空间频率分布。在光学中，衍射定理适用于各种能量波动，其中包括声波、电波和光波等。

三、夫琅禾费衍射 夫琅禾费衍射，也称为Fresnel衍射，主要指的是光线被弯曲、折射和反射时，而产生的衍射现象。在这种情况下，光线被放置 在一个有限的区域内，同时被限制在一个特定的方向内。夫琅禾 费衍射在光学成像、电视和计算机图像处理等领域均有广泛应用。 四、菲涅尔衍射 菲涅尔衍射是夫琅禾费衍射的一种特殊形式，主要通过菲涅尔 对光线前和后的分布分析，进而得出不同的衍射图像。菲涅尔衍 射已经被广泛应用于光学成像、干涉仪和衍射光栅等领域。 五、费马原理 费马原理是光学中的一个基本定理，它指出光线在传播过程中 所走路径通常是不具有物理意义的，其行进路线仅仅是为了满足 最短时间原理。换言之，费马原理可以用来解释光线的束缚和反射、折射等现象，同时也可以用于推导各种光学问题及其应用。

六、惠更斯原理 惠更斯原理是对波动性质进行讨论的相应原理，它指出在一个 平面波束的入射面上，每个点都可以看成是一种次级波源发出的，且这些发射的波是在一定角度范围内发射的。惠更斯原理在光学 中有广泛应用，包括干涉、衍射、各种光学成像等领域。 七、波动光学 波动光学是研究光的波动性质的学科，它已经被广泛利用于各 种光学领域，如激光、光波导、红外光学、光电传感等等。波动 光学总结了光的传播规律、介质对光的作用、衍射和反射等基本 知识，对于研究光学现象及应用有着十分重要的意义。 光的衍射是光学中重要的基本概念，它具有非常广泛的应用价值。在现代科学研究和工程技术中，光学已经被广泛应用，包括 光学成像、干涉仪、激光、红外光学等领域。相信通过了解光的 衍射知识点，我们可以更加深入地了解光学基础，从而为科学技 术的进步做出更多的贡献。

费马原理的论文

费马原理的论文 费马原理是数学中的一个基本原理，它由法国数学家费尔马提出。费马原理用几何的方法来研究数学问题，其基本思想是在数学问题中，任何一个局部最小值的点都是其函数的驻点。费马原理的具体内容是：若函数f(x)在点x_0 处极小，则f'(x_0) = 0。 费马原理的研究范围广泛，可以应用于很多数学问题的求解中。下面将以一篇论文的形式论述费马原理在几个具体问题中的应用。 标题：费马原理在几何优化问题中的应用 摘要：本文主要研究费马原理在几何优化问题中的应用。首先介绍了费马原理的基本概念和定理，然后通过具体的例子说明其在几何问题中的应用。最后讨论了费马原理的局限性和进一步研究方向。 引言：几何优化问题一直以来都是数学领域中的研究热点之一。通过优化方法，可以找到几何问题的最优解，从而提高问题的解决效率。而费马原理作为基本的几何优化方法之一，其独特的局部最小值性质使其在几何优化中得到广泛应用。本文将重点研究费马原理在几何优化问题中的应用，并探讨其优势和局限性。 1. 费马原理的概述和定理证明 费马原理是由费尔马于17世纪提出的，它指出在一个函数的极小值点处，该函

数的导数等于零。这一原理的证明可以通过对函数的二次导数进行分析得到，具体的证明过程将在本文中进行详细阐述。 2. 费马原理在平面几何中的应用 2.1 圆的优化问题 以平面上的一个点为圆心，寻找一条圆旋转后，与给定曲线所围成的面积最大。通过费马原理，可以得到圆心到曲线最近点的法线方向与曲线法线方向重合。基于此思想，可以通过迭代法找到使得圆面积最大的解，从而优化问题的求解。 2.2 直线的优化问题 在给定的平面上，求一条直线与两个给定点的连线长度之和最小。通过费马原理，可以证明最优解是使两个连线之间的夹角等于曲率半径的直线。这一结果可以用来优化直线所经过的路径，从而降低问题的求解时间和代价。 3. 费马原理在空间几何中的应用 3.1 空间曲线的优化问题 给定一条空间曲线，求一条切线，使得从该曲线上的任意一点出发走过的路径最短。费马原理可以通过求解曲率半径和切线方向来得到最优解。该方法在空间路径规划中具有重要的理论和应用价值。

费马小定理的推论

费马小定理的推论 费马小定理是数论中的一条重要定理，它是由法国数学家费尔马在17世纪提出的，经过多年的推导和验证，最终被证明是正确的。费马小定理的推论是数论中的一个重要概念，在密码学、计算机科学等领域有广泛应用。本文将围绕费马小定理的推论展开，探讨其在数论中的应用和意义。 我们来回顾一下费马小定理的内容。费马小定理指出，如果p是一个质数，a是不被p整除的整数，那么a的p-1次方与1除p的余数相等。简单来说，即为a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。这个定理的推论主要有以下几个： 1. 求模逆元 根据费马小定理，如果p是一个质数，a是不被p整除的整数，那么a的p-2次方与a的模p乘法逆元相等。模p乘法逆元指的是与a模p乘法相乘后的结果为1的数。求模逆元在密码学中有广泛应用，可以用于构建加密算法，实现信息的安全传输。 2. 求幂和 根据费马小定理，如果p是一个质数，a是不被p整除的整数，那么a的p次方与a的模p相等。这可以用于简化求幂运算的复杂度，提高计算效率。在计算机科学中，求幂是一个常见的操作，如在密码学算法中的快速幂算法等。

3. 判断质数 根据费马小定理，如果p是一个质数，a是小于p的任意正整数，那么a的p次方与a的模p相等。这可以用于判断一个数是否为质数。如果对于某个a，a的p次方与a的模p不相等，那么p一定不是质数。这个方法虽然不是绝对准确的，但在实际应用中具有较高的可靠性。 4. 构建素数测试算法 费马小定理的推论可用于构建素数测试算法。根据费马小定理的推论，如果n是一个合数，那么对于任意小于n的正整数a，a的n 次方与a的模n不相等。利用这一特性，我们可以构建一种简单的素数测试算法，即随机选择一个小于n的正整数a，计算a的n次方与a的模n，如果不相等，则n一定是合数。当然，这只是一种简单的素数测试算法，对于大的合数可能会出现误判的情况。 5. 密码学应用 在密码学中，费马小定理及其推论被广泛应用于构建加密算法。例如，RSA加密算法就是基于费马小定理的推论进行设计的。RSA算法通过选择两个大质数p和q，计算p和q的模p-1和q-1的乘积，然后选择一个与该乘积互质的整数e作为公钥指数。通过费马小定理的推论，可以验证e的合法性和安全性。同时，在解密过程中也需要利用费马小定理的推论，通过计算私钥指数d的模p-1和q-1的乘积，实现对密文的解密操作。

费马最后定理电影观后感

费马最后定理电影观后感 《费马最后定理》是根据数学史上最耸人听闻的难题之一改编而成 的一部电影。费马最后定理在数学界堪称经典，传说中的数学家费马 曾在他的笔记中提到，“我有个真正精彩的证明，可惜无法在这里留下了”。这个未解之谜在数学界悬而未决了数百年，直到20世纪才被安 德鲁·怀尔斯成功证明。电影《费马最后定理》通过生动的情节和精彩 的演绎，将这个数学谜题带入观众的视野，并引起了广大观众的热议。 电影的开头展现了主角皮埃尔·德·费尔马的生活状态，他是一位天 才的数学家，却选择放弃从事专业数学研究，在法国当地财政部门担 任职务。在他的办公室里，费尔马用白色粉笔在黑板上涂涂画画，似 乎他的数学思绪始终无法离开他的内心。而电影也从这一点入手，带 领观众进入了他的内心世界，探寻他为何忍不住抛下了自己执着追求 的事业。 影片接下来的画面切入到了费马解决数学难题的历程。费马提到过 自己存在了一个证明，然而却没有给出具体的证明方法。这个数学难 题也成为了数百年来数学家们的心结。电影通过展示费马的探索过程 和他与其他数学家的争论，很好地还原了当时数学界对这个难题的极 度重视和关注。观众可以感受到数学家们对于解决这个问题的无尽渴 望和不屈不挠的精神。 电影中的角色设置也很有意思。费马是一个敏感而有点叛逆的人物，他与妻子琳达的关系也十分特别。琳达在电影中起到了平衡费马内心 矛盾情感的作用，她是费马少有的理解者，也是他追求数学以外的东

西的原动力。而另一位关键角色，年轻数学家克劳德，是费马的助手 和盟友。克劳德对费马的崇拜与追求数学的热情相互辉映，也对剧情 发展起到了推动作用。 电影中的镜头切换和剪辑手法十分巧妙，将费马的内心世界与现实 场景相互交织。镜头中常常出现涂鸦和公式，以及费马思考时的迷茫 和挣扎。这些画面的设计使得观众更能够深入体验数学家的内心活动，亲身感受到他们为了解决难题所付出的努力和痛苦。 在电影的高潮部分，费马提供了一份证明，然而他死于剧情的抽离，导致这个证明被遗失了。这个情节设计增加了电影的悬念和戏剧性， 让观众充满期待，想要知道费马的证明是什么样的。同时，这也进一 步凸显了费马的才华横溢和不可预测的性格，使得他和他的定理更加 神秘而诱人。 总的来说，《费马最后定理》这部电影通过生动的情节和精彩的演绎，成功地将数学这一看似枯燥无味的学科带入了观众的视野。它以 一个耸人听闻的数学难题为线索，展示了数学家们对于解决难题的执 着追求和不屈不挠的精神，同时也呈现了一个个平凡人物的生活和情 感世界。通过这部电影，观众可以更深入地理解数学的魅力，感受到 数学家们伟大的智慧和对于真理的追求。 费马最后定理是一道极其复杂的数学题目，不仅仅需要深厚的数学 知识和解题技巧，更需要数学家们投入大量的时间和精力去思考和证明。电影通过生动的故事情节和丰富的人物形象，让观众对数学这个 学科产生了更多的兴趣和好奇心。这种对数学的兴趣和好奇心或许会

使用费马小定理素数判定法生成大素数python

使用费马小定理素数判定法生成大素数 Python 一、概述 在计算机科学和密码学中，生成大素数是一项非常重要的任务。大素数在RSA加密算法和其他密码学应用中起着至关重要的作用。费马小定理素数判定法是一种常用的方法，用于生成大素数。本文将介绍使用Python编程语言实现费马小定理素数判定法生成大素数的方法。 二、费马小定理 费马小定理是由法国数学家皮埃尔·德·费尔马（Pierre de Fermat）在17世纪提出的数论定理。该定理表示，如果p是一个素数，那么对于任意整数a，都有以下等式成立： a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 其中，a是一个整数，p是一个素数。这个定理在素数判定中有着重要的应用，因为它可以帮助我们验证一个数是否为素数。 三、素数的生成 在使用费马小定理素数判定法生成大素数时，我们可以按照以下步骤

进行操作： 1. 选择一个随机数n作为候选素数。 2. 随机选择一个整数a，使得1 < a < n。 3. 使用费马小定理判定n是否为素数。 4. 如果n通过费马小定理的检验，即a^(n-1) ≡ 1 (mod n)，则n有很大概率是一个素数。 5. 如果n未通过费马小定理的检验，则返回步骤1，选择一个新的候选素数。 四、Python实现 以下是使用Python实现费马小定理素数判定法生成大素数的代码： ```python import random def is_prime(n, k=5): if n <= 1 or n == 4: return False if n <= 3: return True while k > 0:

a = random.randint(2, n - 2) if pow(a, n - 1, n) != 1: return False k -= 1 return True def generate_large_prime(size=1024): while True: n = random.getrandbits(size) if is_prime(n): return n prime = generate_large_prime() print("Generated prime number:", prime) ``` 以上代码中，我们首先定义了一个is_prime函数，用于判定一个数是否为素数。然后使用generate_large_prime函数生成一个大素数。 五、个人观点 费马小定理素数判定法是一种简单而有效的方法，用于生成大素数。通过Python编程语言的实现，我们可以很容易地生成所需大小的素

小升初奥数知识点：完全平方数及余数同余与周期

小升初奥数知识点：完全平方数及余数同余与周期 小升初是孩子最重要的起步方向，我们需要关注怎样的信息才能对孩子的未来有帮助呢?店铺网小编告诉大家! 小升初奥数知识点：余数、同余与周期 一、同余的定义： ①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。 二、同余的性质： 二、同余的性质： ①自身性：a≡a(mod m); ②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m); ③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m); ④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m); ⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m); ⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m); ⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c); 三、关于乘方的预备知识： ①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 四、被3、9、11除后的余数特征 ①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3); ②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M 的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11); 五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能

费尔马小定理

费尔马小定理 费尔马小定理：来源于十九世纪由英国数学家达．费尔马发现的一种数学定理，又称为Fermat小定理或Fermat-Catalan定理，它的基本思想是:任何一个大于2的整数，都可以写成一系列形如 (a^n+b^n=c^n)的式子，其中，a,b,c,n都是整数。例如： 8=2^3+2^3 23=3^3+2^3 费尔马小定理就是说：这种式子是不成立的，除非n=2时，它才是正确的。 费尔马小定理最初是由英国数学家达．费尔马发现的，也是首次由他命名的著名定理之一。费尔马并没有证明这个定理，而是在研究中标出了一个拒绝性的结论，即：任何一个大于2的整数，都不能满足(a^n+b^n=c^n)的定理，除非n=2时才成立。 费尔马定理的重大意义在于，它有助于我们证明表达式 x^n+y^n=z^n不成立，不管n是什么。之后，数学家就从费尔马定理出发，得到了更多的重要结论。此外，费尔马定理也是近代数论研究的一个重要基础. 柯西证明了费尔马小定理。他在其著作《法布尔研究》中首次 证实了费尔马小定理，他本人则把这个定理称为“费尔马柯西的定理”。他的证明把费尔马的拒绝性结论变成了正确的定理，也就是说，只有n=2时，任何一个大于2的整数，都可以满足(a^n+b^n=c^n)的定理；其他n≠2时，都不能满足定理。

柯西的论证把来自十九世纪的费尔马研究发展成了一整套可用 的数学工具，他的证明的不仅仅是费尔马小定理，还有一系列的定理证明，如柯西大定理、完美数定理、欧拉定理以及欧拉费马等等，它们都是数学研究的重要工具。 费尔马小定理的成就不仅仅是柯西的贡献，还有许多伟大的数学家在不断探索费尔马小定理的影响和重要性，也取得了许多辉煌成就。费尔马小定理是数学家们指向证明更大定理的重要线索，它也是证明大于2的非负整数不能当n≠2时满足(a^n+b^n=c^n)的定理的正确的理论支持。就此而言，费尔马小定理的重大成就，不可小觑。 费尔马小定理开启了数学家们前进的大门，这一定理给出了完美数论研究的方向，并且为数学研究提供了重要的理论支持。经过不断发现、探索和努力，数学家们得到了更多的结论和理论，他们也在这条路上取得了许多伟大成就。 费尔马小定理是一个极其重要的数学定理，它有助于我们深入理解这一定理，也为更多研究打开了大门。在数学的发展史中，它的贡献是不可忽视的，它像一颗明珠，一直给我们散发出晶莹剔透的光芒。

费马小定理讲解

费马小定理讲解 全文共四篇示例，供读者参考 第一篇示例： 费马小定理是数论中的一个重要定理，是法国数学家费马在17世纪提出的。费马小定理在模运算中具有广泛的应用，可以帮助我们解决许多数论问题。 费马小定理的表述是：如果p是一个素数，a是一个整数且不是p 的倍数，那么a的p次方减去a都是p的倍数。换句话说，如果a和p 互质，那么a的p次方与a在模p意义下是相等的。 这个定理的证明非常简单。我们可以通过归纳法来证明费马小定理。当p=2时，根据模2的性质，任何整数的二次方减去它本身都是2的倍数，即a^2 ≡ a (mod 2)。接下来，我们假设费马小定理对于所有的素数p都成立。 现在，我们考虑一个素数q。根据费马小定理的假设，对于任意整数a，a的q次方减去a都是q的倍数，即a^q ≡ a (mod q)。我们将这个式子写成等价的形式：a * a^(q-1) ≡ a (mod q)。 费马小定理在密码学和密码破解中有着广泛的应用。在RSA加密算法中，费马小定理可以帮助我们加快加密和解密的过程。费马小定理也可以用来验证一个数是否为素数，从而用于因子分解等问题的解决。

费马小定理是数论中的一个重要定理，有着广泛的应用。通过对 费马小定理的理解和应用，我们可以更好地理解数论中的许多问题， 并且可以应用它来解决实际的计算问题。费马小定理的证明虽然简单，但背后蕴含着深刻的数论原理，对于数学爱好者来说，是一道很好的 练习题目。 第二篇示例： 费马小定理是由17世纪法国数学家皮埃尔·费马提出的一个关于素数理论的重要定理。这个定理的证明虽然简单，却有着深远的应用。 在密码学、组合数学、计算机科学等领域中都有着重要的应用。 费马小定理的表述如下：如果p 是一个素数，而a 是一个整数，且a 不是p 的倍数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。a^(p-1) 表示a 的p-1 次方，mod p 表示取余运算。 费马小定理的证明可以通过数论的方法进行。我们需要了解一个 重要的定理——欧拉定理。欧拉定理表述为：如果a 和n 互质（即它们的最大公约数为1），那么a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。φ(n)表示小于或等于n 且与n 互质的数的个数。 现在，让我们利用欧拉定理来证明费马小定理。假设a 和p 互质，那么根据欧拉定理，a^φ(p) ≡ 1 (mod p)。由于p 是一个素数，所以φ(p) = p-1，代入得：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。这就证明了费马小定理。

费尔马大定理及其证明

费尔马大定理及其证明 近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。 300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。 费尔马大定理的由来 故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。 1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程2x＋2y＝2z的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如n x＋n y＝n z 的方程，当n大于2时没有正整数解。

费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。 他酷爱数学，把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理。由于他思维敏捷，记忆力强，又具备研究数学所必须的顽强精神，所以，获得了丰硕的成果，使他跻身于17世纪大数学家之列。 艰难的探索 起初，数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”，但是谁也没有成功。著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程3x＋3y＝3z和4x＋4y＝4z 不可能有正整数解。 因为任何一个大于2的整数，如果不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数。因此，只要能证明n＝4以及n是任一奇素数时，方程都没有正整数解，费尔马大定理就完全证明了。n＝4的情形已经证明过，所以，问题就集中在证明n等于奇素数的情形了。 在欧拉证明了 n＝ 3， n＝ 4以后， 1823年和 1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n＝ 5的情形， 1839年拉梅证明了 n＝ 7的情形。就这样，一个一个奇素数证下去的长征便开始了。

第一讲(光学)

第一讲光的反射与折射规律 【基本概念】 一、光线的概念 光的传播伴随着能量的传播，表示光的传播方向的几何线称为光线。 对许多实际问题特别是光学技术成像问题，借助于光线的概念，应用某些基本实验定律及几何定律，就可以进行一切必要的计算而不涉及光的本性问题。 二、几何光学的基本实验定律 1．光的直线传播定律：光在均匀介质中是沿直线传播的。 2．光的独立传播定律：自不同方向或由不同物体发出的光线相交时，对每一光线的独立传播不发生影响。光线行进方向是可逆的。 3．光的反射定律 入射光线、入射点处反射面的法线和反射光线在同一平面内，且入射光线与法线的夹角i，等于反射光线与法线的夹角i’。 4．光的折射定律 入射光线、折射光线和入射点处分界面的法线 在同一平面内，且入射光线和折射光线分别位于法 线两侧，入射角i1和折射角i2之间有下面关系式： n l sin i l=n2sin i2 式中n l和n2分别是介质1和介质2的折射率。 媒质的折射率与光在这种媒质中的传播速度关系为：n=c/v 式中c为光在真空中的传播速度，v为光在媒质中的传播速度。 相对折射率与两种媒质的绝对折射率、光在两种媒质中的传播速度的关系为n21=n2/n1=v1/v2 媒质的折射率反映了媒质的传光特性，对两种媒质比较，折射率大的媒质，光在其中的速度小，叫光密媒质；折射率小的媒质，光在其中的速度大，叫光

疏媒质。 一般媒质的折射率还与入射光的频率有关。不同频率的光在同一种媒质中的折射率略有不同，紫光的折射率要大于红光的折射率。一束白光通过三棱镜后发生色散，结果表明各色光在三棱镜材料的折射率不同。 *棱镜的偏向角 入射光经三棱镜两次折射后改变了方向，光线传播改变的方向可用第一次折射的入射光线和第二次折射的折射光线的延长线的夹角δ来表示，δ称为棱镜的偏向角。 由图可知δ=(i 1—r 1)+(r 2—i 2) =(i 1+r 2)—(r 1+i 2) 因为 (r 1+i 2)=α；所以δ=（(i 1+r 2）α- 由折射定律得：sinr 2=nsini 2、sinr 1=sini 1/n 当三棱镜中的折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时i 1=r 2，r 1= i 2 =2α sini 1= sinr 2 = nsinr 1 = 2sin α n r 1+ i 2=) 2sin arcsin(2α n 所以偏向角δ为α -α =δ)2sin arcsin(2n 或常写为 2sin 2sin α =α+δn 这时δ为三棱镜的最小偏向角，常用此式来测定棱镜的折射率

费马的房间观后感(精选多篇)

费马的房间观后感(精选多篇) 第一篇：费马点 费马点定义费马点定义费马点定义费马点定义在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点费马点费马点费马点。在平面三角形中:(1).三内角皆小于三内角皆小于三内角皆小于三内角皆小于120°的三角形的三角形的三角形的三角形，，，，分别以分别以分别以分别以ab,bc,ca，，，，为边为边为边为边，，，，向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形abc1,acb1,bca1,然后连接然后连接然后连接然后连接aa1,bb1,cc1,则三线交于一点则三线交于一点则三线交于一点则三线交于一点p,则点则点则点则点p就是所求的费马点就是所求的费马点就是所求的费马点就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于120度度度度,则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求.(3)当当当当△△△△abc为等边三角形时为等边三角形时为等边三角形时为等边三角形时,此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合证明证明证明证明(1)费马点对边的张角为120度。△cc1b和△aa1b 中,bc=ba1,ba=bc1,∠cbc1=∠b+60度=∠aba1,△cc1b和△aa1b是全等

三角形,得到∠pcb=∠pa1b同理可得∠cbp=∠ca1p由∠pa1b+∠ca1p=60度，得∠pcb+∠cbp=60度,所以∠cpb=120度同理,∠apb=120度，∠apc=120度(2)pa+pb+pc=aa1将△bpc以点b为旋转中心旋转60度与△bda1重合，连结pd，则△pdb为等边三角形，所以∠bpd=60度又∠bpa=120度，因此a、p、d三点在同一直线上，又∠apc=120度，所以a、p、d、a1四点在同一直线上，故pa+pb+pc=aa1。(3)pa+pb+pc最短在△abc内任意取一点m（不与点p 重合），连结am、bm、cm，将△bmc以点b为旋转中心旋转60度与△bga1重合，连结am、gm、a1g(同上)，则aa1