知识总结
三、三垂直模型
1．模型介绍
△ABC是等腰直角三角形，一条直线过点C，分别过A、B向该直线作垂线，垂足分别为D、E，则△ADC≌△CEB．
证明：
D E
DAC ECB
AC CB
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
→ △ADC≌△CEB（AAS）
总结：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型．（等腰、直角、作垂直）
【思考】“等腰、直角、作垂直”在证明全等中所发挥的作用是什么？
【弱化条件】
（1）如果没有等腰？
依然可以构造三垂直，只不过得到的是三垂直相似，而非三垂直全等．
如图，有△ADC∽△CEB．
特别地，若点C为BD中点，则△ADC∽△CEB∽△ACB．
（2）如果没有直角？
直角与作垂直是配套的，最终的结果是有三个直角，其价值不在于它们是特殊角，而是它们都是相等的，所以即便没有直角，换成三个相等的角亦可，即“一线三等角”模型
2．模型构造
（1）当图形中存在等腰直角时，可构造得三垂直全等；
（2）当图形中存在直角时，可构造得三垂直相似；
（3）当图形中存在特殊角时，可构造三垂直．
【引例1】如图直角梯形ABCD中，//
AD BC，AB BC
⊥，2
AD=，3
BC=，将腰CD以D为中心逆时针旋转90?至ED，连AE、CE，则ADE
?的面积是()
A．1B．2C．3D．不能确定
【引例2】如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为
1
2
y x
=，点M（2，1）是直线AB上一点，
将直线AB绕点M顺时针旋转α得到直线CD，且
3
tan
2
α=，求直线CD解析式．
3．模型理解
构造三垂直全等，一方面可以得到相等线段，在几何图形中作等量代换，另外在坐标系中构造三垂直全等，可实现“化斜为直”，用水平或竖直线段刻画图中的点与线，尤其在坐标系中，更方便计算．
经典例题
【例1】如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90?，点B的对应点B'的坐标是()
A
．(1,2-B
．()C
．(D
．(-
【例2】如图，已知A（0，3）、B（4，0），点C
在第一象限，且AC=10
BC=，则
直线OC的函数表达式为___________________．
【例3】（2019·无锡）如图，在△ABC中，AB=AC=5
，BC=D为边AB上一动点（B点除外），
以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为_______．
【例4】如图，正方形ABCD和Rt AEF
?，5
AB=，4
AE AF
==，连接BF，DE．若AEF
?绕点A
旋转，当ABF ∠最大时，ADE S ?= ．
【例5】（2016·河南）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90?，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC 、PD ．若DPC ?为直角三角形，则BE 的长 ．
半角模型
知识总结
1．90°+45°模型．
如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠EAF =45°连接EF ．
【两个基本结论】
结论1：EF =BE +DF ．
证明：延长CD 至点G 使得DG =BE 【截长】
易证：△ABE ≌△ADG （SAS ）→ AE =AG ，∠GAF =45°
易证：△AFE ≌△AFG （SAS ）→ EF =GF
综上：EF =GF =GD +DF =BE +DF ．
若E 、F 分别在CB 、DC 延长线上时，结论变为：EF =DF -BE ．
证明：在DC 上取点G 使得DG =BE 【补短】
易证：△ABE ≌△ADG （SAS ）→ AE =AG ，∠GAF =45°
易证：△AEF ≌△AGF （SAS ）→ EF =GF
综上：EF =GF =DF -DG =DF -BE
【小结】截长、补短只是形式，关键点在于已知半角的情况下，构造相应的另一个半角．此处通过旋转，想要将一个图形毫无违和地旋转到另一位置，需要：邻边相等，对角互补．
结论2：连接AD ，与AE 、AF 分别交于M 、N ，则：222MN BM DN =+．
证明：构造△ADM ’≌△ABM → AM =AM ’，∠MAN =∠M ’AN ，BM =DM ’
易证：△AMN ≌△AM ’N （SAS ）→ MN =M ’N
易证：△M ’DN 是直角三角形 → 222''M N M D DN =+ → 222MN BM DN =+．
【两个常用结论】
结论3：若13
BE BC =，则点F 是CD 边中点．反之亦然． 结论4：过点A 作AH ⊥EF 交EF 于H 点，则△ABE ≌△AHE ，△AHF ≌△ADF ．
另外还可得：AE 平分∠BEF ，AF 平分∠DFE ．
注意：若AE 平分∠BEF ，则可推∠EAF =45°．
2．120°+60°模型
（1）如图，△ABC 是等边三角形，BD =CD 且∠BDC =120°，E 、F 在直线AB 、AC 上且∠EDF =60° 结论：EF =BE +CF
（2）若点F 在AC 的延长线上，EF 、BE 、CF 之间又有何数量关系？
经典例题
【例6】（2016·徐州）如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别在边AD ，
CD 上，若45EBF ∠=?，则EDF ?的周长等于 ．
【例7】如图，在正方形ABCD 内作45EAF ∠=?，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH EF ⊥，垂足为H ，将ADF ?绕点A 顺时针旋转90?得到ABG ?，若2BE =，3DF =，则AH 的长为 ．
【例8】如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，4BE =，8EC =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G ，连接AG ，FC ，
现在有如下4个结论：①45EAG ∠=?；②FG FC =；③//FC AG ；④14GFC S ?=．
其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例9】如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上一点，以DE 为边作正方形DEFG ，DF 与BC 交于点M ，延长EM 交GF 于点H ，EF 与CB 交于点N ，连接CG ．
（1）求证：CD CG ⊥；
（2）若1tan 3MEN ∠=，求MN EM 的值； （3）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在运动过程中，EM 的长能否为12
？请说明理由． 另类旋转—弦图的应用
知识总结
在勾股定理的证明中，我们学习过赵爽弦图，如下，有△AED ≌△BF A ≌△CGB ≌DHC ． 稍作变形，若DE ⊥AF ，则可得：△DAE ≌△ABF ．（证明思路类似三垂直模型）
一般地，在正方形ABCD 中，若MN ⊥PQ ，则必有MN =PQ ．
法一：分别将PQ 、MN 平移至AF 、DE 位置（作平行线）证明AF =DE 即可．
法二：过点P 作PE ⊥BC ，过点N 作NF ⊥AB 交AB 于点F ，易证△PEQ ≌△NFM ．
反之，若已知PQ =MN ，但不一定存在PQ ⊥MN ．
如下：EF =PQ =MN ，但EF 不与MN 垂直．
由位置关系可推数量关系，但由数量关系未必可推位置关系．
其他结论：
（1）弦图与对称：对称点连线被对称轴垂直且平分．
将正方形ABCD 沿MN 折叠，则'AA MN =且'AA ⊥MN ．
（2）弦图与辅助圆：垂足H 轨迹是个圆弧（定边对直角）
以AD 中点M 为圆心，MA 为半径的圆，两端分别的点A 及对角线交点O ．
经典例题
【例9】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．
【例10】（2018·宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点E 、F 分别在边AB 、CD 上，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上（点M 不与点A 、D 重合），点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，设BE x =．
（1）当13
AM =时，求x 的值； （2）随着点M 在边AD 上位置的变化，PDM ?的周长是否发生变化？如变化，
请说明理由；如不变，请求出该定值；
（3）设四边形BEFC 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式，并求出S 的最小值．