第十章 无穷级数习题解答
练习 10.1
1. 写出下列级数的一般项: (1)
1
(1)
n +- ; (2)
1
1
21
(1)n n n a +-+-; (3) 2
1
n
n
+; (4)
2
1
n n -+. 2. 用定义判断下列级数的敛散性:
(1) 当n 为奇数时, 前n 项和为1; 当为偶数时, 前n 项和为0, 故此级数发散. (2) 前n 项和为ln n , 其极限为+∞, 故此级数发散. (3) 此级数为公比是
1
5
的等比级数, 故此级数收敛. (4) 当1x <时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数收敛; 当1x ≥时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数发散. (5) 前n 项和为
11(1)221n -+, 其极限为12
, 故此级数收敛. 练习 10.2
1. 根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性: (1) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散. (2) 此级数通项的极限为不存在, 故此级数发散 (3) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (4) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (5) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛
(6) 此级数是一个有限数和一个收敛级数的和, 故此级数收敛 (7) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的和, 故此级数发散 2. 若级数
1
n
n u
∞
=∑ 收敛, 指出下列哪些级数是一定收敛的, 哪些级数是发散的? 哪些不能确
定?
(1) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛
(2) 此级数是由收敛级数删掉有限项后得到, 故此级数收敛 (3) 此级数通项的极限为∞, 故此级数发散 (4) 不一定 (5) 不一定 练习 10.3
1. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) 此级数的通项小于
1()2
n
, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛
(2) 此级数的通项小于
2
1
n
, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛
(3) 此级数的通项大于1
2
n +, 后者对应的级数发散, 故此级数发散 (4) 此级数的通项大于
111[]
b a n a
?++, 后者对应的级数发散, 故此级数发散 (5) 此级数的通项小于
2
10
3n
, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛
(6) 此级数的通项小于
2
1
n
, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛
(7) 此级数的通项小于
3
2
1
(1)
n +, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛
2. 用比值或根值判别法判别下列级数的敛散性: (1) 由根值判别法, 此级数收敛 (2) 由比较判别法, 此级数收敛 (3) 由根值判别法, 此级数收敛 (4) 由根值判别法, 此级数收敛 (5) 由根值判别法, 此级数收敛 (6) 由根值判别法, 此级数收敛 (7) 由根值判别法, 此级数收敛 (8) 由根值判别法, 此级数收敛
3. 判别下列级数的敛散性, 若收敛, 指出是绝对收敛还是条件收敛:
(1) 由交错级数敛散性判别法, 此级数收敛, 但其通项取绝对值后所得级数发散, 故此级数
条件收敛
(2) 此级数通项的极限不存在, 故此级数发散 (3) 由根值判别法, 此级数绝对收敛 (4) 由根值判别法, 此级数绝对收敛
(5) 由交错级数敛散性判别法, 以及调和级数的定义, 可知:1p >时绝对收敛; 01p <≤时
条件收敛; 0p ≤时发散 练习 10.4
1. 求下列幂级数的收敛区间:
(1) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =处发散, 故其收敛区间为[
)1,1- (2) 此级数收敛半径为+∞, 中心在0x =,故其收敛区间为(),-∞+∞ (3) 此级数收敛半径为0, 中心在0x =, 故此级数仅在0x =处收敛 (4) 此级数收敛半径
为
, 中心在0x =,
在x =处发散, 故其收敛区间为
(-
(5) 此级数收敛半径为
12, 中心在1x =, 在3
2
x =处发散, 故其收敛区间为[)12,32 2. 求幂级数
!n
n n x ∞
=∑ 的和函数, 并求级数 1
(1)!
2n n n +∞
=+∑ 的和. 解: 利用
x
e
的展开示,
!
n
n n x
∞==∑()1
2
,,;1(1)!
2
n x
n x n e e +∞
=∈-∞+∞=-+∑
3. 求幂级数
21
21
n n n x
+∞=+∑ 的和函数, 并求级数
21
1211()2
n n n +∞
=+∑ 的和.
解: 21
22
1(
)2
1
1n n
n n n x x x
+∞
∞
=='==
+-∑∑, 再根据例7, 则21
021
n n n x
+∞
=+∑=
()11ln ,1,1;21x
x x +∈-- 21
1
211()2
n n n +∞
=+∑1
ln 32
=
练习 10.5
1. 写出下列函数的n 阶麦克劳林公式:
(1) 解: 1
23
11()23
(1)n n
x Rn x n
x x x
--++
+
+-, 其中1
1
()1
(1)(1)
n
n n Rn x n x ξ++=
?
+-+.
(2) 解: 2
(1)
(1)
(1)
12!
!
n
n x n x
x
αααααα---+++
++
+()Rn x , 其中
()Rn x =
1
1
(1)
()(1)!
(1)n n n n x x
ααααθ--+--++, 01θ<<
2. 将下列函数展开成x 的幂级数, 并求收敛区间: (1) 解:
()2
,,!2
n n
n x n x +∞
=∈-∞+∞?∑ (2) 解: ()201,,22(2)!
(1)n
n n x n x ∞=+∈-∞+∞-∑ (3) 解:
()21
(21)!!,1,1(2)!!
21
(1)n
n n n x n n x
+∞
=-?∈-++-∑
3. 将函数 f(x)=lnx 展开成x -1的幂级数. 解:
(]1
1
,0,2(1)(1)
n
n n x n
x ∞
-=∈
--∑
4. 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:
(1)
1
2
e
= 1.649
(2)
15
7
3(1)
243
=+ 3.017
(3) 11ln 3ln 2ln(1)ln(11)ln(1)
2
2
=++=+++ 1.0986
(4) 20
cos cos 18(2)!
()
18
(1)10n
n
n n π
π
∞
===-∑0.9848
习题十
1. 单项选择题:
(1) A (2) C (3) A (4) C (5) C (6) D (7) B (8) B (9) A (10) D (11) C (12) C (13) C (14) D (15) D (16) D (17) B (18) B (19) D (20) C 2. 填空: (1)
2
,2(1)
n n +; (2) 12S u -; (3) 0a =; (4) ()(),11,-∞+∞
(5) 01a <<; (6) ln 0.9-; (7)
1
(1cos1)2
- 3. 判断正误:
(1) F (2) F (3) T (4) F (5) F (6) T (7) F (8) F (9) F (10) F (11) F (12) T (13) T (14) F (15) T (16) F (17) F 4. 根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性: (1) 此级数通项极限不存在, 故发散
(2) 此级数为公比是2
13
<的级数, 故收敛 (3) 此级数前n 项和的极限为1
2, 故收敛
5. 已知级数的部分和1
n n n
s +=, 写出这个级数.
解: 111
22132
(1)
n n -
---
-
??-
6. 判别下列级数的敛散性:
(1) 此级数通项的极限为
1
08
≠, 故此级数发散 (2) 此级数通项的极限为30≠, 故此级数发散
(3) 此级数是两个收敛级数的和, 故此级数收敛
(4) 此级数是公比是sin11<的级数加有限项, 故此级数收敛 (5) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散
(6) 由根值判别法知此级数收敛
7. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) sin
22
n
n
π
π
<
, 故收敛; (2)
2
2
2
1
1
n a
n
<+,故收敛
; (3) 1
1
n >
+, 故发散 (4)
1
1
(ln )
2
n
n n <, 故收敛; (5) 2
2
1
11cos 221
(sin
)2n n
n
-=<
, 故收敛
(6)
1
2n
>
, 故发散 8. 用比值或根值判别法判别下列级数的敛散性:
(1) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为2>1, 故发散 (2) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为1
2
<1, 故收敛 (3) 由比值判别法, 此级数发散 (4) 由比值判别法, 此级数发散
(5) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为1
2
<1, 故收敛 (6) 由比值判别法, 此级数收敛
(7) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为
1
2
<1, 故收敛 (8) 由根值判别法, a b >时级数收敛, a b <时级数发散 (9) 由比值判别法, 此级数收敛 9. 判定下列级数的敛散性: (1) 由根值判别法, 此级数收敛
(2) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的差, 故发散 (3) 由比较判别法, 此级数发散 (4) 由比值判别法, 此级数收敛 (5) 由根值判别法, 此级数收敛 (6) 由比较判别法, 此级数收敛 (7) 由比较判别法, 此级数发散
(8) 此级数通项极限不为0, 故此级数发散 (9) 由根值判别法, 此级数收敛 (10) 由比较判别法, 此级数收敛 (11) 由比较判别法, 此级数收敛 (12) 由比较判别法, 此级数收敛
10. 下列级数哪些是绝对收敛、条件收敛或发散的: (1) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (2) 此级数通项极限不为0, 故此级数发散 (3) 由比较判别法, 此级数绝对收敛 (4) 由比较判别法, 此级数绝对收敛
(5) 此级数通项极限不存在, 故此级数发散
(6) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (7) 由比较判别法, 此级数绝对收敛 (8) 由比较判别法, 此级数绝对收敛
(9) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (10) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (11) 由根值判别法, 此级数绝对收敛 (12) 由比较判别法, 此级数绝对收敛
(13) 1x <时绝对收敛, 1x =且1p >时绝对收敛, 1x =且01p <<时条件收敛 (14) 由比较判别法, 此级数绝对收敛
(15) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 11. 讨论级数
1
(
)1
n
n an n ∞
=+∑(a >0) 的敛散性. 解: 1a ≥时发散, 01a <<时收敛
12. 讨论级数 11(1)n
n n np
∞
+=-∑ 的敛散性 (p >0).
解: 1p >时绝对收敛, 1p =时条件收敛, 01p <<时发散
13. 证明当∣x ∣≠1时, 级数 21
1n
n
n x x ∞
=+∑ 绝对收敛. 证明: a) 当0x =时结论显然成立; b) 当1x <时,
21n
n
x
x +1
1
n
n
x
x
=
+
n
x
<
, 结论成立;
c) 当1x >时, 21n
n
x x
+1n
x
<
,结论成立.
14. 证明: (1) 设正项级数
1
n
n u
∞
=∑ 收敛, 证明级数
21
n
n u
∞
=∑ 也收敛; 试问反之是否成立?
(2) 设n a ≥0, 且数列 {n n a } 有界, 证明级数
2
1
n
n a
∞
=∑ 收敛;
(3) 若级数
2
1n
n a
∞
=∑,
2
1
n
n b
∞
=∑ 收敛, 证明
1
n n
n a b
∞
=∑ 绝对收敛;
(4) 设级数
2
1
n n u ∞
=∑ 收敛, 证明级数
1(0)n
n n u u n
∞
=>∑ 也收敛.
证明: (1) 由正项级数
1
n n u ∞
=∑ 收敛, 则其前n 项和n S 的极限存在, 从而2
()n S 的极限存
在, 设级数 21
n
n u
∞
=∑的前n 项和为
n
T
, 显然n
T
<2
()n S , 故级数
21
n
n u
∞
=∑ 也收敛, 但反
之不成立;
(2) 由n a ≥0, 且数列 {n n a } 有界, 故存在固定常数c , 使得n n a c ≤, 从而
()2
2
n c n a ≤
, 因此级数 2
1
n
n a
∞
=∑ 收敛;
(3) 由级数
2
1
n
n a
∞
=∑,
2
1
n
n b
∞
=∑ 收敛, 又有22
2
n
n
n n a b
a b ≤+, 故1
n n n a b ∞
=∑ 绝对收敛;
(4) 由级数
2
1n n u ∞
=∑ 收敛,
2
1
1
n n
∞
=∑
收敛, 由(3)知级数 1
(0)n
n n u u n ∞
=>∑ 也收敛. 15. 设
1n
n u
∞
=∑是绝对收敛的级数, 试证: 由
1
n
n u
∞
=∑的一切正项组成的级数
1
n
n p
∞
=∑是收敛
的; 由
1
n
n u
∞
=∑的一切负项组成的级数
1
n
n q
∞
=∑是收敛的.
证明: 由题设知
n
n
p u
≤,
n
n
q u
≤, 故级数
1
n
n p
∞
=∑收敛, 级数
1
n
n q
∞
=∑也收敛
16. 证明 lim 0!
n
n c n →∞= (c >1, 常数) 证明: 由0!n x
n n x e ∞
==∑, 则0
!
n
c
n n c e ∞
==∑, 故lim 0!n
n c
n →∞
= (c >1, 常数) 17. 确定下列幂级数的收敛区间:
(1) 此级数收敛半径为1, 中心在3x =, 故其收敛区间为[]
2,4
(2) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =处发散, 故其收敛区间为[
)1,1- (3) 此级数收敛半径为0, 故其收敛区间为0
(4) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =-处发散, 故其收敛区间为(]
1,1- (5)
中心在0x =,
故其收敛区间为??
(6) 此级数收敛半径为e , 中心在1x =, 在1x e =-处发散, 故其收敛区间为(]1,1e e -+
(7) 无收敛域
(8) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =±处发散, 故其收敛区间为()1,1- 18. 将下列函数展开成关于x 的幂级数, 并求收敛区间: (1)
[]21
,1,12
1
(1)n n
n x n x +∞
=∈-+-∑
(2) 1
3
21
1
113(23)
32(21)(1)!
(1)
2
n n n n x n n x
x ---?--+
++
?---, []1,1x ∈-
(3)1
11ln (1)
()n
n n a n
x a
∞
-=+
-∑, (],x a a ∈- (4)
()20,,!
n
n x n x ∞=∈-∞+∞∑ (5)
[]21
(21)!!,1,1(2)!!(21)n n n x n n x ∞
+=-?∈-+∑ (6) 1
2
31113(23)
1,2!
(1)
2
2n n
n
n x n x x
-?-+
-+++
?-(]1,1x ∈-
19. 将函数
1
3x
- 展开成 x -1 的幂级数. 解:
1
01
11
,1313212
(1)2n
n n x x x x
∞
+==?=-<<----∑ 20. 将 展开成x 的幂级数. 解: 21
011ln ,112121
n n x
x x n x +∞
=-==--<<++∑
21. 将 21
()32
f x x x =++ 在x =1 处展开成幂级数.
解
:
1120
1111111
()(),
32122(1)3(1)(1)(1)23
n n n n n f x x x x x x x x ∞++===-=-=-+++++-+---∑13x -<<
22. 求下列函数在 x=1 处的泰勒展开式. (1) 2
3
815(1)17
7(1)
(1)x x x +-++--
(2)
(1)(1)
n n
n x ∞
=--∑
23. 求和函数:
(1) ()S x =1ln(1)111,01100x
x x x x x x -?-+-≤<≠??
=??=??
(2) 先求导, 再积分,
11ln ,121x x x
+<- (3) 先除以x, 再积分, 然后求导,
2
,1(1)
x
x x <-
24. 求幂级数 21
121
n n x n -∞
=-∑ 在 (-1, 1) 内的和函数并求级数
21
1
1
(21)3
n n n ∞
-=-∑ 的和.
解: 先求导, 再积分, ()S x
=21
11
11,ln 2(21)3
n n x n ∞
-=-<<=-∑ 25. 判定下列级数的敛散性:
(1) 此级数是两个发散级数的差, 故发散 (2) 由比较判别法, 此级数收敛 (3) 由比较判别法, 此级数发散 26. 设q >0, 级数
1
(1)(3)
n
n n q ∞
=+∑ 收敛, 试决定q 的取值范围.
解: 视此级数为幂级数
1
(1)n n n x ∞
=+∑, 求其收敛域, 得103
q <<
27. 判定下列级数是绝对收敛, 条件收敛, 还是发散: (1) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛
(2) 当1x >时绝对收敛, 01x <≤时条件收敛, 0x ≤时发散
(3) 当1a <时绝对收敛, 1a >时发散, 1a =且1k >时绝对收敛, 1a =且1k ≤时发散, 1a =-且1k ≤时条件收敛.
28. 设 p >0, 讨论 p 取何值时, 级数 1
1(1)n
n n n p
∞
+=-?∑ (1) 绝对收敛; (2) 条件收敛; (3) 发散. 解: (1)1p >; (2)1p =;
(3) 1p <
29. 将函数 1()arctan
1x
f x x
+=- 展开成x 的幂级数. 解: 由于1arctan 1x x +-的导函数为1212
1(1)n n n x
x x
∞++=-=+-∑ 故21
01()arctan
,111421
(1)n
n n x f x x x n x
π
∞
+=+==+-≤<-+-∑
30. 求级数
1
(1)2n
n
n n
∞
=-∑ 的和. 解: 考察1
(1)n
n n n x ∞
=-∑的和, 先积分, 再求导, 得2
1111(1)(1)(1)n n n n x x x x x ∞
=-=-+++∑+, 故
1
2
(1)29
n
n n n ∞
=-=-
∑
> 第二章微积分运算 微积分是数学学习的重点和难点之一, 而微积分运算是Maple最为拿手的计算之一, 任何解析函数, Maple都可以求出它的导数来, 任何理论上可以计算的积分, Maple都可以毫不费力的将它计算出来. > > 随着作为数学符号计算平台的Maple的不断开发和研究, 越来越多的应用程序也 在不断地出现。 函数的极限和连续 1.1 函数和表达式的极限 在Maple中, 利用函数limit计算函数和表达式的极限. 如果要仅仅聋子耳朵,仅仅写出数学表达式, 则用惰性函数Limit. 若a可为任意实数或无穷大时, 求极限命令格式为: limit(f,x=a); 求时的命令格式为limit(f, x=a, right); 求时的命令格式为limit(f, x=a, left); 请看下述例子： > Limit((1+1/x)^x,x=infinity)=limit((1+1/x)^x,x=infinity); >
> > > > >
对于多重极限计算, 也用limit. 命令格式为: limit(f, points, dir); 其中, points是由一系列方程定义的极限点, dir(可选项)代表方向: left(左)、right(右)等. 例如: > limit(a*x*y-b/(x*y),{x=1,y=1}); > > restart: > plot3d(sin(x+y), x=-1..1, y=-1..1); > plot3d(x^2*(1+x)-y^2*(1-y)/(x^2+y^2),x=-1..1,y=-1..1); >
2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010<
一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3．=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4．设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin
《微积分》第二章测试题 1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()() 22lim h f h f h h →+-- 解()() ()() ()()()0 0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---??'=+== ?-?? 2. 设函数cos ln x y x e a -=++，求 d y d x 解 sin x dy x e dx -=-- 3. 设函数arctan x y e =，求 d y d x 解 d y d x () arctan arctan 1 1 1221x x e e x x x x =? ? = ++ 4. 设函数2 sin cos 2y x x =，求 d y d x ， x dy dx = 解()2 2 2 2 4 sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=- ()()3 2 2 2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx =-=-=-， 0x dy dx == 5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2 sin 2x y x = ，求dy 解2 4 3 3 2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x ---== ∴= 6. 【高阶导数】设函数11 y x = -，求 n n d y dx 解 () () () () () () () 2 3 1 2 3 4 1 23 ! 11, 21, 3!1,, 1n n n n dy d y d y d y n x x x x dx dx dx dx x ----+' = -=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2 sin 20xy y -=确定，求 d y d x 解 等式两边同时对x 求导2 22sin 20,y xyy y y ''+-=则 () 2 2 2 2sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '== = = ---
第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 （ ） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +
7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （ ） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ） 4. 极值点一定是驻点. （ ） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？
微积分习题解答（第二章） 1写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。 ()()11120, ,0, ,0, ,2 4 6 1 112n n u n ??= +-?? 解：一般项 该数列收敛，其极限为零。 () () 1111 3,,,,261220 11n u n n = + 解：一般项 该数列收敛，其极限为零。 ()2 510172642, ,,,,2345 1n n u n += 解：一般项 该数列发散。 3.利用定义证明下列极限；
()n n n n n -11lim 0 60-110661 ln ln 6 1ln 1,ln 6-106-1lim 0 6n n n N n N εε ε εε→∞ →∞ ?? = ? ?? >???? -=< ? ? ???? > ? ???=+>?? ???? ??-< ?????∴= ??? 证明：对于任给，要使 只要 取正整数当时 总有不等式 成立 ( )2 23lim 010111,0lim n n n N n N εε ε εε→∞ →∞ =>-= <> ?? = +>???? -<∴=证明：对于任给，要使 只要 取正整数 当时 总有不等式 成立 4.试判断下列论点断是否正确。
()() ()1, ,lim 1111 1lim 01 n n n n n u A u A n n n n →∞ →∞ -=?--= +=≠-如果越大越接近零则有 错误 例如 随着越大，而越加接近零，但 ()() {}1130lim 0N =N n >N 10lim n n n n n n n u A u A u u u A ε εεε→∞ →∞ >-=∠>-=<∴=如果对于任给，在数列中除有限项外，都满足不等式<， 则有 正确 设N 为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意 对于任给，只要取正整数+1，当时， 总有不等式 满足 ()() {}5s in s in n n n u n u n u ?==≤有界数列必定收敛 错误 例如 显然1，但发散 6．利用定义证明下列极限： ()() ()()()()1 1 1lim 312 0312311,3 312lim 312 x x x x x x x x εε ε δδε →→-=>-- =-<= <-<-- <-=证明：对于任意给定的，要使 只需取，则当0时总有 成立，于是，由极限定义可知
微积分习题集带参考答案 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是]4,1()1,2(-?--． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ． ⒋ =+?e 1 2 d )1ln(d d x x x 0 ． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =． 6函数24)2(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 62 -x ． 7.当→x 0时，x x x f 1 sin )(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9. =+-? -x x x d )135(1 1 32． 10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =. 11.函数x x x f 2)1(2 +=+，则=)(x f 12 -x ． 1⒉=∞ →x x x 1 sin lim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2 121+= x y ． 1⒋若 ?+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -． 1⒌微分方程x y xy y cos 4)(7) 5(3 =+''的阶数为 5 ． 16.函数74)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 32 +x ． 17.若函数???=≠+=0, ,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ． 18.函数2 )1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19. = ? ∞ -dx e x 0 22 1 ． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5) 4(3 =+''的阶数为 4 ． 21.设函数54)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 12 +x ． 22.设函数????? =-≠+=0, 10 ,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k =1-．
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a πθπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1 010d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ??1 01 0d ),(d x y x f y
2010—2011真题答案 一、 1.答案：14 21sin 2sin 2 x x x x --，易。 学霸解析：()2 1 2 2 4 421(sin )()sin ()sin sin 2sin 2 x x f x t dt x x x x x x x x -''''==-=-? 知识点：原函数求导，易。 2． 答案：1y x =- 学霸解析：22()0y y y xy ''-+= 代入)1,2(，1y '=- 知识点：等式两边同时求导，中。 3. 答案：11(1)(1)1 n n n x n ∞ +=--+∑ 学霸解析：11 (1)ln(1)n n n x x n -∞ =-+=∑ 知识点：对ln(1+x)的应用，中。 4． 答案： 120 (,)y y dy f x y dx -? ? 学霸解析：01, 0x y x ≤≤?? ≤≤?12, 02x y x ≤≤?? ≤≤-? 知识点：x,y 定义域的转换，中。 5．答案：(1cos1)π-
学霸解析：21 22 2 sin()sin (1cos1)D x y dxdy d r rdr πθπ+= =-???? 知识点：二重积分，中。 6．答案：11(ln )21x y c x +=- +- 学霸解析：111 ln 21x c x y +=-+- 11(ln )21x y c x +=-+- 知识点：微分方程求通解，难。 二、 1. 答案：C 学霸解析：绝对收敛：对于级数1n n u ∞=∑,如果级数1n n u ∞=∑收敛的话，则称1 n n u ∞ =∑为绝对收敛。 条件收敛：如果 1 n n u ∞ =∑发散，但 1 n n u ∞ =∑却是收敛的，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛。 知识点：幂级数收敛性，易。 2． 答案：D 学霸解析：对于A ，2D dxdy =?? 对于B ， 4D dxdy =?? 知识点：二重积分，中。 3．
第十章 无穷级数习题解答 练习 10.1 1. 写出下列级数的一般项: (1) 1 (1) n +- ; (2) 1 1 21 (1)n n n a +-+-; (3) 2 1 n n +; (4) 2 1 n n -+. 2. 用定义判断下列级数的敛散性: (1) 当n 为奇数时, 前n 项和为1; 当为偶数时, 前n 项和为0, 故此级数发散. (2) 前n 项和为ln n , 其极限为+∞, 故此级数发散. (3) 此级数为公比是 1 5 的等比级数, 故此级数收敛. (4) 当1x <时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数收敛; 当1x ≥时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数发散. (5) 前n 项和为 11(1)221n -+, 其极限为12 , 故此级数收敛. 练习 10.2 1. 根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性: (1) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散. (2) 此级数通项的极限为不存在, 故此级数发散 (3) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (4) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (5) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (6) 此级数是一个有限数和一个收敛级数的和, 故此级数收敛 (7) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的和, 故此级数发散 2. 若级数 1 n n u ∞ =∑ 收敛, 指出下列哪些级数是一定收敛的, 哪些级数是发散的? 哪些不能确 定? (1) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (2) 此级数是由收敛级数删掉有限项后得到, 故此级数收敛 (3) 此级数通项的极限为∞, 故此级数发散 (4) 不一定 (5) 不一定 练习 10.3 1. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) 此级数的通项小于 1()2 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛 (2) 此级数的通项小于 2 1 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛
第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何 自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 n x a ε-< 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 n k x a ε+-< 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则 lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证： lim 0,,. 使当时，有n x n x a N n N x a εε→∞ =∴?>?>-< 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<
由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞ 不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞222111 (1) (2)n n n ?? +++ ?+??=0； (2) lim n →∞2! n n =0. 证：（1）因为 22222 2111112 (1) (2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 2 1lim 0n n →∞ =，2 lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为2222 2240!123 1n n n n n <= <-，而且4 lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得 2lim 0! n n n →∞= 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.
习题10-1 二重积分的概念与性质 1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+??与3 ()D x y d σ+?? ，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成； （2） ln()D x y d σ+??与2 [ln()]D x y d σ+??，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)， (1,1)，(2,0)； 2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22 sin sin D I x yd σ= ??，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤； （2）22 (49)D I x y d σ= ++?? ，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤ . （3） .D I = ，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤ 解 () ,f x y = Q 2，在D 上(),f x y 的最大值
()1 04M x y = == ，最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤ 习题10-2 二重积分的计算法 1.计算下列二重积分： （1） 22 ()D x y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤； （2） sin D y d y σ??，其中D 是由2 ,y x y x ==所围成的闭区域. 解：sin D y d y σ??210sin 1sin1y y y dy dx y ==-?? 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1） x y D e d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤
一、填空题 1. 2. 设P(x)是x 的多项式，且lim 凡门二6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X 7T lim (arcsin(vx 2+x 一 x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t 3. lim 1 一 — .V — 4. x ) 设lim 一 "" 一 * + 4 = A ,则有"= 5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d ----- X X ? 3 .1 L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3* 函数v = 一上］一的间断点是 (x-l)(x + 2) 为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续，应补充左义/(0)= x 3 设函数y = ^- x )x K 则 lim f (x)= X->X %工°在兀=0处连续，则参数K = x = 0 x + a e x +\ 二、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续，则“= x>0 ④<0 3. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②"： Jx 3 4, -2 ③ €+1: ④』+l y =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2) ①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1，T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②［3，T ④ co 厂i)u(_l,+oo) 函数『二二2 耳的不连续点有 ■ X-l .Y+1 ①2个 ②3个 6.下列函数中，?当XT0时，与无穷小量x 相比是髙阶无穷小咼的是. 价 无穷小量的是 ______________ ① l-cosx ?x + X 2 5. ④4个以上 ④ sin 2x __ ■ 疋有 ①，②
上海第二工业大学 2009-2010学年第一学期 微积分（第二章）测验 试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、填空题（每题3分，共30分） 1．设421()tan f x x =,则()__________f x '=； 2 ．设y = ，则________________x dy =； 3．若2,0()2,0 x ae x f x bx x ?<=?-≥?,在0x =处可导,则常数_______,_________a b ==； 4．设ln x y x =，则2ln 3________x x y xy x '''++=； 5．27()sin 2x f x x =＋，则(28)()__________f π=； 6．若0()f x '存在，则0000 ()()lim _______x x xf x x f x x x →-=-； 7．设(cos )sin[()]y f x f x =+，其中f 可微，则 ______________dy dx =； 8．设函数()f u 可导，函数2()y f x =在点1x =-处取得增量0.1x ?=-时，相应的函数增量y ?的线性 主部为0.1，则(1)_____________f '=； 9．一个正方体的棱长10x m =，如果棱长增加0.1m ，则正方体体积的增加量(要求用微分近似计算)的近似值为3 __________m ； 10．曲线x y e =在(0,1)处的切线方程为______________。 二、选择题（每题3分，共21分） 1．设()f x 可导，常数0a ≠，则lim [()()]n a n f x f x n →∞--（ ） （A ）a ； （B ）a -； （C ）()af x '； （D ）()a f x '-； 2．下列结论不正确的是（ ） （A ）若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处可微；
微积分习题集带参考答案 2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。 解 此时S 是l 的函数 πππ4222 l l S = ?? ? ??=。于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。 当1=S 时π2=l ，此时π π 1 2 = =l dl dS 。 5(2). 设a x y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。 解 设a x x f ||)(=。当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论0>α。 考虑左导数 ?? ? ??>=<∞===---+ →1,0111 ,0)0()(lim 1 0αααα a x x x x x f x f ， 考虑右导数 ?????>=-<∞=--=-=----→1 ,0111,)()(0)0()(lim 1 0ααααa x x x x x f x f ， 因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0. 6. 设??? ??≥+-<≤+<-=1 ,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。 解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===- →)0(0)(lim 0，则0=a 。这样在1=x 处)(x f 也连续。 此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+x x x f x f f x x ， 。 1111)1()(lim )1(1=--=--='- →-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1 ) 1sin(lim 1)1()(lim )1(11。 若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。 解法2 同理可得0=a 。 1lim )'1(lim )0(00==-='- →- →-x x x x e e f ，11lim )'(lim )0(00==+='+ →+→+x x a x f ，则1)0('=f 。 11lim )'(lim )1(11==+='- →- →-x x a x f ，b x b x b f x x =-=+-='+ →+ →+)1cos(lim ]'1)1sin([lim )1(11。 若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。
补充知识 一、数列与其子列之间的关系 定义 从数列}u {n 中任意抽取无穷多项，并保持原有次序，这样得到的一个新数列称为数列}u {n 的一个子数列，简称子列．记作 }u {k n ： ,u ,,u ,u k 21n n n ． 其中k n 表示k n u 在原数列}u {n 中的位置，k 表示k n u 在子列中的位置． 例如 ：奇数子列 ,,,,1231-k u u u ， 其中12,,3,121-===k n n n k 显然k n k ≥． 下面的定理给出了数列}u {n 与其子列}u {k n 之间的关系． 定理：对于数列}u {n ， (1) A u lim n n =→∞ 的充要条件是对}u {n 的任何子数列}u {k n 都有A u lim k n k =∞ →. (2) A u lim n n =→∞ 的充要条件是}u {n 的偶数子列}u {k 2和奇数子列}u {1k 2+满 足 A u lim u lim 1k 2k k 2k ==+∞ →∞ →． (3) 若}u {n 单调，则A u lim n n =→∞ 的充要条件是存在一个子数列}u {k n 满足 A u lim k n k =∞ →． 二、数列极限与函数极限的关系 定理2.18（Heine 定理）A x f x x =→)(lim 0 的充要条件为： 对于任意收敛于0x 的数列}{n x )(0x x n ≠，都有A )x (f lim n n =∞ →． 常用结论：若A x f x =+∞ →)(lim ，则A n f n =∞ →)(lim 。 例如：由1sin lim =→x x x ，可以推出111 sin lim =∞→n n n ，11 1sin lim 22 =++∞→n n n n n 等。
习题2-1 1、解：在任意一个面积微元 SKIPIF 1 < 0 上的压力微元 SKIPIF 1 < 0 ，所以，该平面薄片一侧所受的水压力 SKIPIF 1 < 0 2、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量??=D d y x Q σμ),( 3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以1122++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()()1ln 1ln 22++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得 ( ) ()????≤≤≤≤≤≤≤≤++≤ ++1 01 01 010221ln 1ln y x y x d y x d y x σσ 4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量 3 4 )384438()()(1 0321 22 2 2 2 =-+-=+=+=??? ??-dy y y y dx y x dy d y x M y y D σ 5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以????=1 10010),(),(x y dy y x f dx dx y x f dy （2）积分区域如图2-1-3所示，所以? ???=x x y y dy y x f dx dx y x f dy 2 /4 22 ),(),(2 （ 3 ） 积分 区 域 如图2-1-4所示，所以 ? ???+----=1 1210 2221 22 ),(),(y y x x x dx y x f dy dy y x f dx （4）积分区域如图2-1-5所示，所以????=e e x e y dx y x f dy dy y x f dx ),(),(1 0ln 00 6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以 () ? ????=??? ??-=-==1 01 054/1134/310 55 6 5111432322x x dx x x x dy y x dx d y x x x D σ （ 2） 积 分区 域如图2-1-7所示，所以 15 64)4(2122 2240 22 2 2 2 =-==? ? ???--dy y y dx xy dy d xy y D σ
习题11-1 对弧长的曲线积分 1.计算下列对弧长的曲线积分： （1） 22 x y L e ds +? ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界； （2） 2x yzds Γ ? ，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、 (1,0,2)、(1,3,2)； （3） 2L y ds ? ，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.
2.有一段铁丝成半圆形y ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。 解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ???π==≤≤ ds ad ??= = 依题意(),x y y ρ=，所求质量22 sin 2L M yds a d a π ??= ==?? 习题11-2 对坐标的曲线积分 1.计算下列对坐标的曲线积分： （1） 2 2()L x y dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2） 22()()L x y dx x y dy x y +--+?，其中L 为圆周222 x y a +=（按逆时针方向绕行）； （3） (1)xdx ydy x y dz Γ +++-? ，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；
（4） dx dy ydz Γ -+? ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、 (0,1,0)、(0,0,1)； 2.计算 ()()L x y dx y x dy ++-?，其中L 是： （1）抛物线2 y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段； （3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；
微积分2习题答案
一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2x x x x 6 π x x x 32623++↑ 3．=??? ??-∞ →3 21lim x x x 3 2-e 4．设A x x ax x x =-+--→14 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞ →lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞ →-→x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+
4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是 ___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2x x + ③x ④x 2sin 7．当+→0x 时，x sin 与||x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②低阶无穷小量 ③同阶但不等价的无穷小量 ④等价无穷小量 8．当0→x 时，x 2cos 1-与2x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②同阶但不等价的无穷小量 ③低阶无穷小量 ④等价无穷小量 9．设()?? ???=≠-=00 ,3sin x k x x x x f 为连续函数，则k =_______________ ② ① 1 ② －3 ③ 0 ④ 3 10．函数()x f 在点0x 处有定义是()x f 当0x x →时极限存在的 ④ ①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件 ③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件 11．当0→x 时，下列函数中比x 高阶的无穷小量是 ② ①x x sin + ②x x sin - ③()x +1ln ④()x -1ln 12．当0→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ② ①x x 1sin + ②x x 1sin ? ③x x sin 1 + ④ x x sin 1 ? 13．当∞→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ③ ①x x 1sin + ②x x 1sin ? ③x x sin 1 + ④ x x sin 1 ?