第14章 达朗贝尔原理（动静法） 14-1 图示由相互铰接的水平臂连成的传送带，将圆柱形零件从一高度传送到另一个高度。设零件与臂之间的摩擦系数f s = 0.2。求：（1）降落加速度a 为多大时，零件不致在水平臂上滑动；（2）比值h / d 等于多少时，零件在滑动之前先倾倒。 解：取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力F I 。 （1）零件不滑动时，受力如图（a ），它满足以下条件： 摩擦定律 N s F f F s ≤ （1） 达朗伯原理 0=∑x F 030sin I s =?-F F （2） 0=∑y F 030cos I N =-?+mg F F （3） 把F I = ma 代入式（1）、（2）、（3），解得2m/s 92.2≤a 2）零件不滑动而倾倒时，约束反力F N 已集中到左侧A 点 如图（b ），零件在惯性力作用下将向左倾倒。 倾倒条件是 0≥∑A M 即 02 30sin )30cos (2I I ≥?+?+-h F F mg d （4） 以F I = ma 代入式（4），解得 a a g d h 32-≥ 此时零件仍满足式（1），（2），（3），将其结果2m/s 92.2≤a 代入上式 得 5≥d h 加速度为 t l r t r x a B x ωωωω2222 cos cos --==&& 取重物为研究对象，并虚加惯性力F I ，受力如图（b ）。 )2cos cos (2 22I t l r t r m ma F x x ωωωω+=-= 按达朗伯原理有 0 ,0I T =++-=∑F mg F F x 故金属杆受之拉力 )2cos (cos 2T t l r t r m mg F ωωω++= 14-3 图示矩形块质量m 1 = 100 kg ，置于平台车上。车质量为m 2 = 50 kg ，此车沿光滑的水平面运动。车和矩形块在一起由质量为m 3的物体牵引，使之作加速运动。设物块与车之间的摩擦力足够阻止相互滑动，求能够使车加速运动而m 1块不倒的质量为m 3的最大值，以及此时车的加速度大小。 解：取车与矩形块为研究对象如图（a ）。 惯性力 F I = (m 1 + m 2 ) a = 150 a 。 由动静法 a F F F F x 150 , 0,0T I T ==-=∑ 取矩形块为研究对象，欲求使车与矩形块一起 加速运动而m 1块不倒的m 3最大值，应考虑在此时 矩形块受车的约束反力F N 已集中到左侧A 点，如图 （b ），且矩形块惯性力F I1 = m 1a 。 由动静法，不翻倒的条件为：
教案 抽屉原理 1、概念解析 把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到： 抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。 如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。 比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。 应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。 2、例题讲解 例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 例2 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？ 例3 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
课题：浮力总复习 第一课时 【教学目标】1.知道浮力大小跟哪些因素有关，知道物体的浮沉条件。 2.知道求浮力的方法 3.能综合利用压强、浮力等知识解决生活中的一些实际问题。 【重点难点】1.求浮力的方法； 2.探究浮力大小跟哪些因素有关 【教学内容】知识网络和知识点： （一）浮力基本知识点 1、浮力的定义： 一切浸入液体（气体）的物体都受到液体（气体）对它竖直向上的力 叫浮力。 2、浮力方向：竖直向上，施力物体：液（气）体 3、浮力产生的原因（实质）：液（气）体对物体向上的压力大于向下的压力，向上、向下的压力差 即浮力。 4、浮力的测量：F 浮=G-F （G 等于弹簧秤在空气中的示数，F 表示物体浸在液体中的弹簧秤示数） 5、阿基米德原理： （1）内容：浸入液体里的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体受到的重力。 （2）公式表示：F 浮 = G 排 =ρ液V 排g 从公式中可以看出：液体对物体的浮力与液体的密度和物体排开液体的体积有关，而与物体的质量、体积、重力、形状 、浸没的深度等均无关。 （3）适用条件：液体（或气体） 6、物体的浮沉条件： （1）前提条件：物体浸没在液体中，且只受浮力和重力。 （2）请根据示意图完成下空。 下沉 悬浮 上浮 漂浮 F 浮 < G F 浮 = G F 浮 > G F 浮 = G ρ液<ρ物 ρ液 =ρ物 ρ液 >ρ物 ρ液 >ρ物 （3）说明： ① 密度均匀的物体悬浮（或漂浮）在某液体中，若把物体切成大小不等的两块，则大块、小块都悬浮（或漂浮）。 ②一物体漂浮在密度为ρ的液体中，若露出体积为物体总体积的1/3，则物体密度为 2/3ρ G
第六讲 数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设 1 n n u ∞=∑，1 n n v ∞ =∑都是正项级数，存在0c >，使 (1,2,3,...)n n u cv n ≤= （i ） 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑也收敛；（ii ） 若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑也发散． 比较原理II （极限形式）设 1 n n u ∞ =∑，1 n n v ∞ =∑均为正项级数，若 lim (0,)n n n u l v →∞=∈+∞ 则 1 n n u ∞=∑、1 n n v ∞ =∑同敛散． 根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设 1 n n u ∞ =∑为正项级数， （i ）若从某一项起（即存在N ，当n N > 1q ≤<（q 为常数）， 则 1 n n u ∞ =∑收敛； （ii 1≥，则1 n n u ∞ =∑发散． 证（i ）若当n N > 1q ≤<，即n n u q ≤，而级数 1 n n q ∞ =∑收敛， 根据比较原理I 知级数 1 n n u ∞ =∑也收敛． （ii ） 1≥，则1n u ≥，故l i m 0n n u →∞ ≠，由级数收敛的必要条件知 1 n n u ∞ =∑
发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设 1 n n u ∞ =∑ 为正项级数，n r =， 则：（i ）当1r <时，1 n n u ∞ =∑收敛；（ii ） 当1r >（或r =+∞）时，1 n n u ∞ =∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性 23123(1)()()()357 21 n n n +++ +++；n n n e ∞ -∑n=1 (2) n n x α∞ ∑n=1 (3) （α为任何实数，0x >）． 解 (1) 因为11 2 n r ==<，所以原级数收敛． (2) 因为lim n n n r e →∞===∞，所以原级数发散． (3) 对任意α，n r x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时， 此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1 α- ≤时，即1α ≥-时发散． 例2 判别级数11[(1)]3 n n n n ∞ =+-∑的敛散性． 解 由于 (1)lim 3 n n n n →∞-== 不存在，故应用定理2 无法判别级数的敛散性．又因为 (1)1133 n q -==≤=< 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n n n a ∞ =-∑发散，试问级数111n n n a ∞ =?? ?+?? ∑是否收敛？并说明理由．
例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同. 证明：把颜两种色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原理二，至少有三个面涂上相同的颜色. 例2：17个科学家中每个人与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。证明：至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。 解：不妨设A是某科学家，他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，他至少与其中的6位讨论同一问题。设这6位科学家为B，C，D，E，F，G，讨论的是甲问题。 若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立。否则他们6位只讨论乙、丙两问题。这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题。 若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。否则，他们间只讨论丙问题，这样结论也成立。 例3 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。 分析与解答我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉： 此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。 例4：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。 分析与解答共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n 个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。 例题5：任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除.
数学分析第十二章数项级数正项级数的比式判别法 第六讲
数学分析第十二章数项级数比式判别法和根式判别法 本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的,特征就能作出判断，不需要与已知级数进行比较.但在使用时只要根据级数一般项本身的
数学分析第十二章数项级数 定理12.7（达朗贝尔判别法，或比式判别法） 则级数n u ∑收敛; >0(ii),n N 若对一切成立不等式 11,(6) n n u u +≥. n u ∑则级数发散1,(5)n n u q u +≤>0(i),n N 若对一切成立不等式0n u N ∑设为正项级数，且存在某正整数及常数01. q q <<（）
数学分析第十二章数项级数把前n -1个不等式按项相乘后,得到 --???≤132121 ,n n n u u u q u u u 或者由于当0 < q < 1时,-∑1,n q 等比级数收敛根据比较 原则及上述不等式可得. n u ∑级数收敛证+≤≥1(i)1n n u q n u 不妨设不等式对一切成立,于是有21,u q u ≤32u q u ≤，, 1,.n n u q u -≤ 11. n n u u q -≤
数学分析第十二章数项级数 0n N ≥因为当时,(ii )1n n u u +≥1n u -≥00, N u ≥≥> 从而 因此所以级数发散.00lim ,n N n u u →∞ ≥>
数学分析第十二章数项级数 推论1（比式判别法的极限形式） 若n u ∑为正项级数，且1lim ,(7) n n n u q u +→∞=则(i)1,; n q u <∑当时级数收敛(ii)1,. n q q u >=+∞∑当或时级数发散证由(7)式, 对任意取定的正数<-(1),q ε存在正数当n > N 时, 有+-<<+1.n n u q q u εεN ,
初中物理浮力典型例题解析 例1下列说法中正确的是（） A．物体浸没在水中越深，受的浮力越大 B．密度较大的物体在水中受的浮力大 C．重的物体受的浮力小 D．同体积的铁块和木块浸没在水中受的浮力一样大 精析阿基米德原理的数学表达式为：F浮＝ρ液gV排，公式表明了物体受到的浮力大 小只跟液体的密度 ．．．．．．．有关．根据公式分析题目叙述的内容，问题就可以．．．．．和物体排开液体的体积 迎刃而解了． 解A选项：物体浸没在水中，无论深度如何，V排不变，水的密度不变，F浮不变．A 选项不正确． B选项：物体所受的浮力与物体密度的大小没有直接的关系，B选项不正确． C选项：重力的大小对物体所受的浮力无影响．例如：大铁块比小铁块要重一些，但将两者浸没于水中，大铁块受的浮力反而大些，因为大铁块的V排大．C选项不正确．D选项：同体积的铁块和木块，浸没于水中，V排相同，ρ水相同，F浮铁＝F浮木，铁块和木块受的浮力一样大． 答案D 注意：物体所受的浮力跟物体自身的重力、自身的密度、自身的形状无关． 例2质量为79g的铁块，密度是7.9g/cm3，这个铁块的质量是多少?重多少?将这个铁块浸没于水中，排开水的质量是多少?所受浮力是多少?（g取10N/kg）精析这道题考查学生对计算物体重力和计算浮力的公式的区别． 计算物体重力：G＝ρ物gV物 计算物体在液体中受的浮力：F浮＝ρ液gV排．可以说：从计算的方法上没有本质的区别，但计算的结果却完全不同． 已知：m＝79g＝0.079kgρ铁＝7.9g/cm3 求：m铁、G铁、m排、F浮 解m铁＝0.079kg
G 铁＝m 铁g ＝0.079kg ×10N /kg ＝0.79N V 排＝V 铁＝ 铁 铁 ρm ＝ 3 7.8g/cm 79g ＝10 cm 3 m 排＝ρ液gV 排＝1g /cm 3 ×10 cm 3 ＝10g =0.01kg F 浮＝m 浮g —0.01kg ×10N /kg ＝0.1N 从上面的计算看出，铁块的重力和铁块浸没在水中受的浮力大小完全不同，但计算方法委相似，关键 是区别ρ液和ρ物，区别V 排和V 物，在理解的基础上进行计算，而不是死记硬背，乱套公式． 例3 用弹簧测力计拉住一个重为43N 的空心铜球，全部浸在水中时，弹簧测力计的示数为33.25N ，此铜球的空心部分的体积是________m 3 ．（已知铜的密度为8.9×103 kg /m 3 ） 已知：G ＝43N ，浸没水中F ＝33.2N 求：V 空 解 可在求得浮力的基础上，得到整个球的体积，进一步求出实心部分体积，最后得到结果． F 浮＝ G —F ＝43N —33.2N ＝9.8N V 排＝ g F 水浮 ρ＝ kg /N 8.9m /kg 100.1N 8.93 3??＝1×10—3m 3 浸没：V ＝V 排＝1×10—3m 3 球中所含铜的体积V 铜＝ 铜 铜 ρm ＝ g G 铜铜 ρ ＝ kg /N 8.9m /kg 100.1N 433 3?? ≈0.49×10—3 m 3 V 空＝V —V 铜＝1×10—3m 3—0.49×10—3m 3 ＝0.51×10—3 m 3 答案 0.51×10—3m 3
达朗贝尔原理 知识总结 1.质点的惯性力。 ?设质点的质量为m ，加速度为，则质点的惯性力定义为 2.质点的达朗贝尔原理。 ?质点的达朗贝尔原理：质点上除了作用有主动力和约束力外，如 果假想地认为还作用有该质点的惯性力，则这些力在形式上形成一个平衡力系，即 3.质点系的达朗贝尔原理。 ?质点系的达朗贝尔原理：在质点系中每个质点上都假想地加上各自的惯 性力，则质点系的所以外力和惯性力，在形式上形成一个平衡力系，可以表示为 4.刚体惯性力系的简化结果 （1）刚体平移，惯性力系向质心C 简化，主矢与主矩为 （2）刚体绕定轴转动，惯性力系向转轴上一点O 简化，主矢与主矩为 其中
如果刚体有质量对称平面，且此平面与转轴z 垂直，则惯性力系向此质量对称平面与转轴z 的交点O 简化，主矢与主矩为 （3）刚体作平面运动，若此刚体有一质量对称平面且此平面作同一平面运动，惯性力系向质心C简化，主矢和主矩为 式中为过质心且与质量对称平面垂直的轴的转动惯量。 5.消除动约束力的条件。 刚体绕定轴转动，消除动约束力的条件是，此转轴是中心惯性主轴（转轴过质心且对此轴的惯性积为零）；质心在转轴上，刚体可以在任意位置静止不动，称为静平衡；转轴为中心惯性主轴，不出现轴承动约束力，成为动平衡。 常见问题 问题一在惯性系中，惯性力是假想的（虚加的），达朗贝尔原理也是数学形式上的，物体一般并不是真的处于平衡。 问题二惯性力系一般都是向定点或者质心简化，因此这时惯性力系的主矩，而向其它的点简化，一般上是不成立的。如果一定要向某一任意点A简化，那么要先向定点或质心简化，之后将其移至A点（注意力在平移时将会有附加力偶）。惯性力系的主失是与简化中心无关的。 问题三用达朗贝尔原理解题时，加上惯性力系后就完全转化成静力学问题，其求解方法与精力学完全相同。 问题四物体系问题。每个物体都有惯性力系，因此每个物体的惯性力系向质心（或定点）简化都得到一个力与一个力偶。 虚位移原理 知识点总结 1.虚位移·虚功·理想约束。 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，人所假想的任何无限小位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。 力在虚位移中所作的功称为虚功。
级数判别法 基本定理：正项级数收敛的充要条件是： ∑∞ =1 n n a 的部分和数列 }{n S 有界。 1、 比较判别法：设 ∑∞=1 n n a 和∑∞ =1 n n b 是两个正项级数，且存在 0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则： ○ 1：∑∞ =1n n b 收敛 ∑∞ =?1 n n a 收敛。 ○ 2：∑∑∞ =∞ =?10 1 n n n n b a 发散发散。 2、 比较判别法极限形式：设 ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 是两个正项级数，且 λ=+∞→n n n b a lim ，则： ○ 1：当+∞<<λ0时，∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 具有相同的敛散性。 ○ 2：当0=λ时，∑∞=1 n n b 收敛∑∞ =?1n n a 收敛。 ○ 3：当+∞=λ时，∑∞=1 n n b 发散∑∞ =?1 n n a 发散。 3、 比较判别法II ：设有两正项级数 ∑∑∞ =∞ =10 1 n n n n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足： n n n n b b a a 1 1++≤，则： ○ 1：∑∞ =1 n n b 收敛 ∑∞ =?1 n n a 收敛。 ○ 2：∑∞ =1 n n a 发散∑∞ =? 1 n n b 发散。 4、 比值判别法（达朗贝尔）：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，则： 1°若当n 充分大时有： 11 <≤+q a a n n ，则级数∑∞ =1n n a 必收敛。 2°若当n 充分大时有： 11 ≥+n n a a ，则级数∑∞=1 n n a 必发散。 5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，且 2111lim lim λλ==+∞→+∞→n n n n n n a a ，a a ，+∞≤2,1λ，则： 1°：当11 <λ时，级数∑∞ =1n n a 收敛。 2°：当 12>λ时，级数∑∞ =1 n n a 发散。 6、 根值判别法（Cauchy ）：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，则：
个性化辅导教案 授课时间: 2013年5月日备课时间： 2013年5月 15 日年级：初三科目：物理课时：2 学生姓名： 课题：浮力总复习老师姓名：张婉 教学目标1.知道浮力大小跟哪些因素有关，知道物体的浮沉条件。 2.知道求浮力的方法 3.能综合利用压强、浮力等知识解决生活中的一些实际问题。 重点 难点 求浮力的方法；探究浮力大小跟哪些因素有关 教学内容知识网络和知识点： （一）浮力基本知识点 1、浮力的定义： 一切浸入液体（气体）的物体都受到液体（气体）对它竖直向上的力叫浮力。 2、浮力方向：竖直向上，施力物体：液（气）体 3、浮力产生的原因（实质）：液（气）体对物体向上的压力大于向下的压力，向上、向 下的压力差即浮力。 4、阿基米德原理： （1）内容：浸入液体里的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体受到的重力。 （2）公式表示：F浮= G排 =ρ液V排g 从公式中可以看出：液体对物体的浮力与液体的密度和物体排开液体的体积有关，而与物体的质量、体积、重力、形状、浸没的深度等均无关。 （3）适用条件：液体（或气体） 5、物体的浮沉条件： （1）前提条件：物体浸没在液体中，且只受浮力和重力。 （2）请根据示意图完成下空。 下沉悬浮上浮漂浮 F浮< G F浮= G F浮> G F浮= G ρ液<ρ物ρ液 =ρ物ρ液 >ρ物ρ液 >ρ物 （3）说明： G F浮 G F浮 G F浮 G F浮
① 密度均匀的物体悬浮（或漂浮）在某液体中，若把物体切成大小不等的两块，则大块、小块都悬浮（或漂浮）。 ②一物体漂浮在密度为ρ的液体中，若露出体积为物体总体积的1/3，则物体密度为 2/3ρ 分析：F 浮 = G 则：ρ液V 排g =ρ物Vg ρ物=（ V 排／V ）·ρ液= 2/3ρ液 ③ 悬浮与漂浮的比较 相同： F 浮 = G 不同：悬浮ρ液 =ρ物 ；V 排=V 物 漂浮ρ液 >ρ物；V 排 拉阿伯判别法 在数学专业用的微积分教科书中，关于正项级数敛散性判别法，除常用的柯西判别法(即根值判别法)和达朗贝尔判别法(即比值判别法)外，还有其他的判别法。下面的拉阿伯(J.L.Raabe)判别法就是其中之一。 拉阿伯判别法 设有正项级数1 (0)n n n u u ∞=>∑. 若有 1lim 1()n n n u n l l u →∞+??-=-∞≤≤+∞ ??? 则当1l >(包括+∞=l )时，级数收敛；而当1l <(包括∞-=l )时，级数发散。 【像比值判别法那样，当1=l 时，不能由此得出级数的敛散性】 证 当1l >(包括+∞=l )时，取r 满足1l r >>. 根据数列极限的定义，则有正整数N 使 11n n u n r u +??-≥ ??? )(N n ≥ 从而 （※）11n n u r u n +≥+)(N n ≥ 另一方面，再取正数满足p 1r p >>，因为有 ()()10x 01110lim lim 01 p p x x p x p r x -→→+-+??==< ??? 所以有正整数N N ≥1，使当1N n ≥时有 1111p n r n ??+- ???<，即111p r n n ??+<+ ??? 因此，当1N n ≥时，根据式（※），则有 1111p n n u r u n n +??≥+>+ ??? 或 1 1(1)(1)11p p n n p u n n p u n n ++??<=> ?+?? 根据p –级数的收敛性，所以级数1 (0)n n n u u ∞=>∑也是收敛的【比较判别法的推论】 。 其次，当1 达朗贝尔原理 达朗贝尔原理，是法国物理学家与数学家达朗贝尔发现的。由J.le R.达朗贝尔于1743年提出而得名，达朗贝尔原理阐明，在一个系统内，如果，所有约束力因为虚位移而做的虚功，总合是零，则这系统内的每一个粒子，所受到的外力与惯性力的矢量合，与虚位移的点积，总合起来是零。 达朗贝尔原理因其发现者法国物理学家与数学家J·达朗贝尔而命名。达朗贝尔原理阐明，对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总和等于零。 或者说，作用于一个物体的外力与动力的反作用之和等于零。 受约束的非自由质点受有主动力F及约束力FN，如果再加上虚构的惯性力FI=-ma，则下式成立: F+FN+FI=0 (1) 即在质点运动的任一时刻，主动力、约束力与惯性力构成平衡力系。上式为质点的达朗贝尔原理。对质点系，如果在每个质点上都加上虚构的惯性力FIi=-miai，则质系中每个质点均处于平衡，即:Fi+FNi+FIi=0(i=1,2,…,n) (2) 达朗贝尔最初提出的原理与式(1)不同。把主动力F分为两部分:F使质点产生加速度，F=ma，称为有效力;F=F-F克服 约束力。 对改变质点的运动状态不起作用，称为损失力。损失力与约束力平衡: F+FN=0 这就是达朗贝尔原理，它与质点静止时的平衡方程F+FN=0形式上一致。如果将前面F、F的表达式代入达朗贝尔原理，就得到: F+FN+(-ma)=0 与式(1)相同，它们均与牛顿第二运动定律等价。 折叠编辑本段原理的意义 达朗贝尔原理是研究有约束的质点系动力学问题的原理。对于质点系内任一个质点，此原理的表达式为: F+FN+(-ma)=0 从形式上看，上式与从牛顿运动方程F+FN=ma中把ma移项所得结果相同。于是把-ma看作惯性力而把达朗贝尔原理表述为:在质点受力运动的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力和惯性力互相平衡。 从数学上看，达朗贝尔原理只是牛顿第二运动定律的移项，但原理中却含有深刻的意义。这就 达朗贝尔原理简化公式是通过加惯性力的办法将动力学问题转化为静力学问题。亦即所有动力学中的定理通过引入惯性力的概念转化成静力学中的平衡关系，而且求解过程 简单机械知识点(大全)经典 一、简单机械选择题 1．如图所示,用滑轮组提升重物时,重200N的物体在5s内匀速上升了1m.已知拉绳子的力F为120N,如果不计绳重及摩擦,则提升重物的过程中 A．绳子自由端被拉下3m B．拉力F做的功为200J C．滑轮组的机械效率是83.3% D．拉力F的功率是40W 【答案】C 【解析】 【详解】 A、物重由两段绳子承担，因此，当物体提升1m时，绳子的自由端应被拉下2m，故A错误； B、拉力为120N，绳子的自由端应被拉下2m，则拉力做功为： ，故B错误； C、滑轮组的机械效率，故C正确； D、拉力F的功率，故D错误． 故选C． 【点睛】 涉及机械效率的问题时，关键是要清楚总功、有用功、额外功都在哪，特别要清楚额外功是对谁做的功，弄清楚这些功后，求效率和功率就显得简单了。 2．关于机械效率的问题，下列说法中正确的是（） A．做的有用功越多，机械效率一定越高B．单位时间内做功越多，机械效率一定越高 C．省力越多的机械，机械效率一定越高D．额外功在总功中所占比例越小，机械效率一定越高 【答案】D 【解析】 【详解】 A、做功多，有用功不一定多，有用功占总功的比例不一定高，所以机械效率不一定高，故A错误； B、有用功占总功的比例与单位时间内做功多少无关，故B错误； C、省力多的机械的机械效率往往偏低，故C错误； D、额外功在总功中所占比例越小，说明有用功 在总功中所占的比例越大，机械效率就越高，故D正确；故选D． 【点睛】 ①总功＝有用功+额外功；②有用功和总功的比值叫机械效率；③由机械效率的定义可知，机械效率的高低只与有用功在总功中所占的比例有关，与做功多少、功率大小无关． 3．在生产和生活中经常使用各种机械，使用机械时 A．功率越大，做功越快 B．做功越多，机械效率越高 C．做功越快，机械效率越高 D．可以省力、省距离，也可以省功 【答案】A 【解析】 【分析】 （1）功率是表示做功快慢的物理量，即功率越大，做功越快； （2）机械效率是表示有用功所占总功的百分比；即效率越高，有用功所占的比例就越大；（3）功率和效率是无必然联系的； （4）使用任何机械都不省功． 【详解】 A．功率是表示做功快慢的物理量，故做功越快功率一定越大，故A正确； B．机械效率是表示有用功所占总功的百分比，故做功多，而不知道是额外功还是有用功，所以无法判断机械效率，故B错误； C．由于功率和效率没有直接关系，所以功越快，机械效率不一定越高，故C错误；D．使用任何机械都不省功，故D错误． 故选A． 4．如图所示，小丽分别用甲、乙两滑轮把同一桶沙从一楼地面提到二楼地面，用甲滑轮所做的总功为W1，机械效率为η1；用乙滑轮所做的总功为W2，机械效率为η2，若不计绳重与摩擦，则 A．W1 = W2η1 = η2B．W1 = W2η1< η2 C．W1 < W2η1> η2D．W1 > W2η1< η2 【答案】C 【解析】 【分析】 浅谈达朗贝尔判别法 郑媛媛 （渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国） 摘要：通过学习了达朗贝尔判别法及其推论，我们了解到达朗贝尔判别法在判别正项级数的敛散性中是非常简便适用的。但这种判别法仍存在着一些弊端，给我们在学习中造成了许多不便，为了便于我们今后的学习，本文简单的介绍和研究了几种达朗贝尔判别法的推广方法，主要解决了达朗贝尔判别法在n lim a a n n 1+=1失效的情况下敛散性的判别。文中提到的方法，不但使用简便， 具有广泛的适用性，而且更为精细。为正项级数敛散性的判定提供了更有力的工具。 关键词：正项级数 敛散性 TALK ABOUT J.D ‘ALEMBERT ‘S PRINCIPLE Zheng Yuanyuan (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract :The study of the D`Alembert Discrimination Act and its corollary,We understand that d`Alembert Discrimination in the series Conwergence Divergence is very simple application.This Criterion there are still some drawbacks to the study,we created a lot of inconvenience.In order to facilitate our future study,this brief introduction and study of several d`Alembert Criterion promotional measures,mainly to solve the D`Alembert`s Test=failure in the case of convergence and divergence of discremination.The article mentions the method not only easy to use,with broad applicability,but more subtly.For the positive series fugitive convicted of a more powerful tool. Key words :positive series ; conbergence anddivergence. （物理）初中物理浮力解题技巧及练习题及解析 一、浮力 1．在探究浮力问题时，某同学做了如图所示实验．测量时弹簧测力计的示数分别是 F1、F2、F3和F4．其中符合阿基米德原理叙述的等量关系的是（） A．F l＞F3＞F4＞F2 B．F1﹣F3=F4﹣F2 C．F1+F2=F3+F4 D．F1﹣F2=F3﹣F4 【答案】B 【解析】由称重法知道，物体受到的浮力等于重力减去物体浸在水中时弹簧测力计的示数，即F浮=F1-F3；由图知道水桶和排出的水的重力，还知道空桶的重力，所以排开水的重力为：G排=F4 -F2；由阿基米德原理知道F浮=G排，所以F1 -F3 =F4 -F2，也就可是B符合阿基米德原理的等量关系，故选B。 2．如图所示，杯子中装满水，轻轻放入一个小木块后，小木块漂浮在水面．放入木块后 A．水对杯底的压强不变 B．水对杯底的压强增大 C．木块的密度大于水的密度D．水与木块的密度相等 【答案】A 【解析】 【分析】 杯子中装满水，轻轻放入一个小木块后，水的深度不变，根据液体压强的公式分析水对杯底的压强的变化；木块漂浮在水面上，根据浮沉条件分析木块的密度和水的密度的大小关系． 【详解】 杯子中装满水，放入木块后，水的高度h不变，由液体压强的公式p=ρgh可得水对杯底的压强不变；小木块漂浮在水面上，根据物体浮沉条件可知，木块的密度小于水的密度． 故选A． 3．测量液体密度的仪器叫密度计，将其插入被测液体中，待静止后直接读取液面处的刻度值（如图甲所示）．图乙和图丙的容器中是同一个自制的简易密度计，它是在木棒的一端缠绕一些铜丝做成的，将其放入盛有不同液体的两个烧杯中，它会竖直立在液体中，由图中现象可以判断（） 图 ml 100 80 60 40 20 图图图阿基米德原理的理解及简单计算1．浸在（浸入）与浸没（没入）如图4所示， 盐水中的木块排开盐水的体积v排______v木，浸在盐水中的鸡蛋v排______v蛋。浸没（没入）液体中的物体 v排______v物。 2．物体的体积v物、排开液体积v排、露出液面的体积v露 如图7所示，石块排开水的体积为_______cm3；如图8所示，把一个蜡块放入盛满水的容器中，蜡块静止时，溢出10 cm３水，则蜡块排开水的体积为 _______cm3；如图9所示，一圆柱形容器内装有水，容器的底面积为 100cm 2；将一个体积为200 cm3的木球放入容器内的水中，木球静止 时，水面升高2cm（水未溢出），则木球排开水的体积为_______cm3。 3人身体的体积大约是60 dm3，人游泳时身体的9/10浸在水中，这时人受到的浮力大约是_____ N. 4、一块木块浸没在水中，排开的水所受重力为12牛，木块受到的浮力（）A. 大于12N B. 小于12N C. 等于12N D. 等于10N 5．一个物体所受的重力为10 N，将其全部浸没在水中时，所排开的水所受的重力为20N，此时它所受的浮力为____N，6一小石块放入了量筒内水中，筒内水的体积由20 cm3上升到50 cm3，求石块在水中受到的浮力是多大？ 7、浸没在水中的石块受到的浮力是1N，它排开水重是______N．如果石块的一半体积浸入水中，则此石块受水的浮力______N． 8、一物体一半浸在水中受到的浮力是10N，把它浸没在密度0.8╳103Kg/m3的煤油中受到的浮力是（）A、10N B、20N C、8N D、16N 9、空气密度是 1.29kg/m3，一个氢气球在地面附近受到的空气浮力是12.9N，这个氢气球的体积大约是m3。 10. 质量为270克的物体全部放入盛满水的杯中溢出的水是100厘米3，那么物体所受的浮力是____________牛，物体的体积是__________，物体的密度是___________千克/米3（g取10牛/千克） 11、铁块的体积是200cm3，全部没入水中时，它排开水的体积是cm3，排开的水重是N，受到的浮力是N，当它一半体积没入水中时，它受到的浮力是N。 12．一个重力可忽略不计的薄塑料袋中装满水，扎紧口后挂在弹簧测力计上，测出重力为0．5N，然后将塑料袋全部浸没在水中再称，则弹簧测力计的读数是_________N． 利用阿基米德原理分析浮力变化1、（2007?济宁市）小亮去游泳时，他从刚接触水面的浅水区走向深水区的过程中，感觉受到的浮力越来越大，其原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2金鱼缸中小金鱼口中吐出的小气泡，在升至水面的过程中体积逐渐变大，这个过程中气泡所受 浮力将（） 3 如图所示，悬挂着的金属球A依次浸没在清水和浓盐水中，则A球两次所受浮力相比较是（ A. 两次的浮力一样大 B. 浸没在盐水里受的浮力较大 C. 浸没在清水里受的浮力较大 D. 条件不 足，无法判断 4．将两个物体同时浸没到某一液体中，结果它们受到的浮力是相等的，这说明它们必有相同的（）A．密度B．质量C．形状D．体积 5、（天津市）已知铁的密度小于铜的密度，把质量相同的铜块和铁块没入水中，它们所受浮力（）A、铜块的大 B、铁块的大 C、一样大 D、条件不足无法判断 利用称重法来分析 1 .弹簧秤下挂一铁块，弹簧秤的示数是4牛.将铁块逐渐浸入水中，弹簧秤的示数将__________铁块受到的浮力将__________.将铁块的一半没入水中时，弹簧秤的示数为3.5牛；这时铁块受到的浮力是__________牛. 5、弹簧测力计的下端吊着一个金属球，当系统静止时，弹簧测力计的示数是4N；若将金属球慢慢浸入水中，弹簧测力计的读数将逐渐（选填“变大”、“变小”），金属球受到的浮力将逐渐（选填“变大”、“变小”）；当金属球的一半浸在水中时，弹簧测力计的示数是2.4N，这时金属球受到的浮力是 N；当金属球全部浸没在水中后，弹簧测力计的示 数是 N。 6 如图所示将一铁块用弹簧秤悬挂起来，并逐 初中物理浮力经典例题大全及详细解析 例1 下列说法中正确的是( ） Ａ．物体浸没在水中越深,受的浮力越大 B.密度较大的物体在水中受的浮力大 C．重的物体受的浮力小 Ｄ．同体积的铁块和木块浸没在水中受的浮力一样大 精析阿基米德原理的数学表达式为:F浮＝ρ液gV排，公式表明了物体受到的浮力大小只 跟液体的密度 ．．．．．．．有关．根据公式分析题目叙述的内容，问题就可以迎刃．．．．．和物体排开液体的体积 而解了. 解A选项:物体浸没在水中,无论深度如何，Ｖ排不变，水的密度不变,Ｆ浮不变.A选项不正确． B选项：物体所受的浮力与物体密度的大小没有直接的关系，B选项不正确． C选项:重力的大小对物体所受的浮力无影响.例如：大铁块比小铁块要重一些,但将两者浸没于水中,大铁块受的浮力反而大些,因为大铁块的V排大．C选项不正确．D选项：同体积的铁块和木块,浸没于水中,Ｖ排相同，ρ水相同，Ｆ浮铁＝Ｆ浮木，铁块和木块受的浮力一样大. 答案D 注意:物体所受的浮力跟物体自身的重力、自身的密度、自身的形状无关. 例2质量为７9g的铁块,密度是7.９g/cｍ３，这个铁块的质量是多少?重多少?将这个铁块浸没于水中，排开水的质量是多少？所受浮力是多少?(g取10N／kg） 精析这道题考查学生对计算物体重力和计算浮力的公式的区别． 计算物体重力:G=ρ物ｇＶ物 计算物体在液体中受的浮力:F浮＝ρ液gＶ排．可以说:从计算的方法上没有本质的区别,但计算的结果却完全不同. 已知：ｍ＝７9g＝０.0７9kgρ铁=7.９ｇ/ｃm3 求:ｍ铁、G铁、m排、F浮 解 ｍ铁=0.079ｋg G 铁＝ｍ铁g ＝0．０79ｋg ×10N ／kg =0.７9N V 排＝Ｖ铁= 铁 铁 ρm = 3 7.8g/cm 79g =10 ｃm 3 m 排=ρ液gV 排＝1ｇ／cm 3 ×10 ｃm 3 =10g =0.01ｋg F 浮＝m 浮g —0．０1kg ×１0Ｎ/k ｇ＝0．1N 从上面的计算看出，铁块的重力和铁块浸没在水中受的浮力大小完全不同，但计算方法委相似,关键 是区别ρ液和ρ物,区别V 排和V 物，在理解的基础上进行计算，而不是死记硬背，乱套公式. 例３ （广州市中考试题)用弹簧测力计拉住一个重为43N 的空心铜球,全部浸在水中时，弹簧测力计的示数为33．２5Ｎ,此铜球的空心部分的体积是_＿_＿＿＿＿＿m 3 .（已知铜的密度为8.9×103 ｋg ／m 3 ） 已知:G ＝43Ｎ，浸没水中F ＝33.2N 求：V 空 解 可在求得浮力的基础上，得到整个球的体积，进一步求出实心部分体积,最后得到结果． F 浮＝ G —F ＝43N —３3.2Ｎ=9.8Ｎ V 排= g F 水浮 ρ＝ kg /N 8.9m /kg 100.1N 8.93 3??＝1×1０—3ｍ3 浸没:V =V 排＝1×10 —３ ｍ3 球中所含铜的体积V 铜= 铜 铜 ρm = g G 铜铜 ρ = kg /N 8.9m /kg 100.1N 4333?? ≈０．４9×10 —３ ｍ3 V 空＝Ｖ—V 铜=1×１０—3 ｍ３ —0.49×10—3 m 3 =0.５1×10 —３ m ３拉阿伯判别法
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