第14章 达朗贝尔原理（动静法）
14-1 图示由相互铰接的水平臂连成的传送带，将圆柱形零件从一高度传送到另一个高度。设零件与臂之间的摩擦系数f s = 0.2。求：（1）降落加速度a 为多大时，零件不致在水平臂上滑动；（2）比值h / d 等于多少时，零件在滑动之前先倾倒。
解：取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力F I 。 （1）零件不滑动时，受力如图（a ），它满足以下条件： 摩擦定律 N s F f F s ≤ （1） 达朗伯原理 0=∑x F
030sin I s =?-F F （2） 0=∑y F
030cos I N =-?+mg F F （3）
把F I = ma 代入式（1）、（2）、（3），解得2m/s 92.2≤a
2）零件不滑动而倾倒时，约束反力F N 已集中到左侧A 点 如图（b ），零件在惯性力作用下将向左倾倒。 倾倒条件是 0≥∑A M 即
02
30sin )30cos (2
I I ≥?
+?+-h F F mg d （4）
以F I = ma 代入式（4），解得
a
a
g d
h 32-
≥
此时零件仍满足式（1），（2），（3），将其结果2m/s 92.2≤a 代入上式 得 5≥d
h
加速度为
t l
r
t r x
a B x ωωωω22
2
2
cos cos --==
取重物为研究对象，并虚加惯性力F I ，受力如图（b ）。
)2cos cos (2
2
2
I t l
r t r m ma F x x ωω
ωω+
=-=
按达朗伯原理有
0 ,0I T =++-=∑F mg F F x
故金属杆受之拉力
)2cos (cos 2
T t l
r t r m mg F ωωω+
+=
14-3 图示矩形块质量m 1 = 100 kg ，置于平台车上。车质量为m 2 = 50 kg ，此车沿光滑的水平面运动。车和矩形块在一起由质量为m 3的物体牵引，使之作加速运动。设物块与车之间的摩擦力足够阻止相互滑动，求能够使车加速运动而m 1块不倒的质量为m 3的最大值，以及此时车的加速度大小。
解：取车与矩形块为研究对象如图（a ）。 惯性力 F I = (m 1 + m 2 ) a = 150 a 。
由动静法
a F F F F x 150 , 0,0T I T ==-=∑ 取矩形块为研究对象，欲求使车与矩形块一起
加速运动而m 1块不倒的m 3最大值，应考虑在此时矩形块受车的约束反力F N 已集中到左侧A 点，如图（b ），且矩形块惯性力F I1 = m 1a 。 由动静法，不翻倒的条件为：
02
125.01 ,011T =?-?-
?=∑a m g m F M
A
将F T = 150 a 代入解出 2
m/s 45.24
==
g a
取物块为研究对象，惯性力F I3 = m 3a ，如图（c ）。 由动静法 F T + m 3a - m 3g = 0
kg 504
4150T
3=-
?
=
-=g g g a
g F m
14-5 曲柄滑道机械如图所示，已知圆轮半径为r ，对转轴的转动惯量为J ，轮上作用一不变的力偶M ，ABD 滑槽的质量为m ，不计摩擦。求圆轮的转动微分方程。
解：取C 为动点，动系固连于ABD 滑槽，C 点的绝对加速度分解为t a a 、n a a ，滑槽的加速度为a e ，则
??c o s s i n n a t a e a a a +=????c o s s i n 2 r r +=
其中?为任意角。
取ABD 滑槽为研究对象，受力分析如图（a ）。 图中 惯性力 ????
cos sin 2I mr mr F += 由动静法：
0 ,0N I =-=∑C x F F F
解出
)cos sin (2
N ????
r r m F C += 取圆轮为研究对象，受力分析如图（b ），惯性力偶矩?
J M =I ，由动静法： M mr mr J r F M M M
C O
=++='--=∑????
??sin cos )sin (0sin ,02
2
2
2
N
I
14-7 图示为均质细杆弯成的圆环，半径为r ，转轴O 通过圆心垂直于环面，A 端自由，AD 段为微小缺口，设圆环以匀角速度ω绕轴O 转动，环的线密度为ρ，不计重力，求任意截面B 处对AB 段的约束反力。 解：（1）图（a ），取图示坐标，分布惯性力向外，由对称性，其合力在y 轴投影为0，即
2
cos
22
πsin
2d cos 2
π2πcos d 2
π2π0
2
22
2
2
2
2
I I θ
ωρθωρ??θθ
ω
ρ??ρωθθ
r r r r r F F x y =-?=--
-=?--
-=
=?
?
（2）图（b ） )
cos 1(2
cos
, 0sin 2
sin
)2
πcos( , 0)
cos 1(2
cos
2)2πsin(
, 02
2
I N n 2
2
I I T t 3
22
23I θρωθθ
ωρθθ
θρωθωρθ+===∑==-==∑+==-?==∑r F F F r F F F F r r r F M
M
x B x x B x B
B
14-9 转速表的简化模型如图示。杆CD 的两端各有质量为m 的C 球和D 球，CD 杆与转轴 AB 铰接，质量不计。当转轴AB 转动时，CD 杆的转角?就发生变化。设0=ω时，0??=，且弹簧中无力。弹簧产生的力矩M 与转角?的关系为)(0??-=k M ，k 为弹簧刚度。试求角速度ω与角?之间的关系。
解：取二球及CD 杆为研究对象如图，由动静法
0cos 2,0I =?-=∑?l F M M x 其中惯性力 2
I sin ω???=l m F
代换前式得 0cos sin 2)(2
0=????--?ω???l l m k
?
??ω2sin )(2
0ml k -=
14-11 所图所示，质量为1m 的物体A 下落时，带动质量为2m 的均质圆盘B 转动，不计支架和绳子的重量及轴上的摩擦，a BC =，盘B 的半径为R 。求固定端C 的约束力。 解：（1）图（a ），0=∑B M
011=-?+gR m R a m J B α
021112
2=-+?
Rg m Ra m R
a R m
g m m m a 1
2122+=
0=∑x F ，0=Bx F
0=∑y F ，0112=-+-g m a m g m F By
g m m m m m F By 2
12
22123++=
（2）图（b ）
0=∑x F ，0=Cx F 0=∑y F ，g m m m m m F Cy 212
22123++=
0=∑C
M
，ag m m m m m M
C
2
12
212)3(++=
14-13 图示为升降重物用的叉车，B 为可动圆滚（滚动支座），叉头DBC 用铰链C 与铅直导杆连接。由于液压机构的作用，可使导杆在铅直方向上升或下降，因而可升降重物。已知叉车连同铅直导杆的质量为1500 kg ，质心在1G ；叉头与重物的共同质量为800 kg ，质心在2G 。如果叉头向上加速度使得后轮A 的约束力等于零，求这时滚轮B 的约束力。
解：（1）整体平衡受力图（a ）
0=∑E M ，g m g a m 12)(=+ g g a 1500)(800=+
g a 87=
（2）受力图（b ），平衡
0=∑C
M ，6.0)(9.02?+=g a m F B )(3
22g a m F B +=
8.9)18
7(
8003
2?+??=
kN 9.8N 108.93
=?=
14-15 图示曲柄OA 质量为m 1，长为r ，以等角速度ω绕水平的O 轴反时针方向转动。曲柄的A 端推动水平板B ，使质量为m 2的滑杆C 沿铅直方向运动。忽略摩擦，求当曲柄与水平方向夹角?30时的力偶矩M 及轴承O 的反力。
解：取曲柄OA 上A 点为动点，动系固连于滑杆BC 上，则有
2
a e 2130sin ωr a a =
?=
（1）、取滑杆BC 为研究对象，受力分析如图（a ） 由动静法
0,021I N =-+=∑g m F F F y 式中 2/2
2e 21I ωr m a m F ==
解出
2
22N 2
ωr m g m F -
=
（2）、取曲柄OA 为研究对象，由动静法 0=∑O M ，
02
32
2
31N =?
-?-r g
m r F M
[]2
2
22
1
)2(4
3ωr m g m
g m r M -+=
0=∑x F ，023I
=+-F F Ox
式中
2
2
1I ωr m F ?
=
代入解出 2
14
3ωr m F Ox =
0=∑y F ，02
11I N =-?
+-g m F F F Oy 2
2
1214
2ωr m m g m g m F Oy +-
+=
14-17 图示均质板质量为m ，放在两个均质圆柱滚子上，滚子质量皆为2
m ，其半径均为r 。
如在板上作用一水平力F ，并设滚子无滑动，求板的加速度。 解：设板的加速度为a ，则滚子中心的加速度为
2
a 。
1）取圆柱A 为研究对象，见图（a ）之左上部，其惯性力
a m
a m F A 4
22I =?=
惯性力偶矩 ra m
r a r m M
A
8
)2()2(212I =?=
由动静法有
02 ,0I I =?'-+?=∑r F M r F M A
A A D 把F I A ，M I A 代入，解得a m F A
16
3='
2）取圆柱B 为研究对象，见图（a ）之右上部，同理可得
a m F B 16
3=
'
3）取板为研究对象，见图（a ）之下部，惯性力F I = ma ，由动静法有
F – F I – F A – F B = 0 以上结果代入，解出
m
F a 118=
14-19 图示磨刀砂轮I 质量m 1 = 1 kg ，其偏心距e 1 = 0.5 mm ，小砂轮Ⅱ质量m 2 = 0.5 kg ，偏心距e 2 = 1 mm 。电机转子Ⅲ质量m 3 = 8 kg ，无偏心，带动砂轮旋转，转速n = 3000 r/min 。求转动时轴承A 、B 的附加动反力。
解：取整个系统为研究对象，受力如图（a ）所示。
因为转速n = 常量， 所以 角加速度α= 0，惯性力偶矩M I = 0
N
π5)30
π3000(10
15.0N
π5)30π3000(
10
5.012
2
3
2
222I 2
23
2
111I =??===??==--ω
ω
e m F e m F
因F I1与F I2大小相等方向相反，故组成一力偶，F N A 、F N B 也必成一力偶，方向如图（a ）所示。
由动静法0=∑M 得：N 74π
5152
.03.02
I1N N =?==
=F F F B A
14-20 三圆盘A 、B 和C 质量各为12 kg ，共同固结在x 轴上，其位置如图所示。若A 盘质心G 距轴5 mm ，而盘B 和C 的质心在轴上。今若将两个皆为1 kg 的均衡质量分别放在B 和C 盘上，问应如何放置可使物系达到动平衡？
解：取整个系统为研究对象，设D 1、D 2各为两平衡质量的质心，偏心距分别为e 1及e2 mm ，偏心方向与y 方向的夹角分别为θ，?，转轴角速度为ω，则惯性力大小分别为
N 1000
1000
1 ,N 100
610005122
12
11I 2
2
I ω
ωω
ωe e F F =
?==
?
=
及 N 1000
100012
22
2
2I ω
ωe e F =
?
=
F I 平行于z 轴，又F I1与y 轴夹角为θ，F I2与y 轴夹角为?。
根据动静法，系统达到动平衡时，惯性力系应为平衡力系，于是有
0cos cos ,02I 1I =+=∑?θF F F y （1） 0sin sin ,02I 1I I =++=∑?θF F F F z （2）
080sin 200sin 320 ,02I 1I I =?+?+=∑?θF F F M
y
（3）
080cos 200cos ,02I 1I =?+?=∑?θF F M
z
（4）
把F I 、F I1、F I2代入解得
mm 60,mm 120,2
π,2π21===
-
=e e ?θ
可见动平衡时，D 1、D 2两点到轴的距离分别为e 1 = 120 mm ，e 2 = 60 mm 。D 1、D 2在G
与轴构成的平面内，D 1与G 在轴的相反两侧，D 2与G 在轴的同侧。
第14章 达朗贝尔原理（动静法） 14-1 图示由相互铰接的水平臂连成的传送带，将圆柱形零件从一高度传送到另一个高度。设零件与臂之间的摩擦系数f s = 0.2。求：（1）降落加速度a 为多大时，零件不致在水平臂上滑动；（2）比值h / d 等于多少时，零件在滑动之前先倾倒。 解：取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力F I 。 （1）零件不滑动时，受力如图（a ），它满足以下条件： 摩擦定律 N s F f F s ≤ （1） 达朗伯原理 0=∑x F 030sin I s =?-F F （2） 0=∑y F 030cos I N =-?+mg F F （3） 把F I = ma 代入式（1）、（2）、（3），解得2m/s 92.2≤a 2）零件不滑动而倾倒时，约束反力F N 已集中到左侧A 点 如图（b ），零件在惯性力作用下将向左倾倒。 倾倒条件是 0≥∑A M 即 02 30sin )30cos (2I I ≥?+?+-h F F mg d （4） 以F I = ma 代入式（4），解得 a a g d h 32-≥ 此时零件仍满足式（1），（2），（3），将其结果2m/s 92.2≤a 代入上式 得 5≥d h 加速度为 t l r t r x a B x ωωωω2222 cos cos --==&& 取重物为研究对象，并虚加惯性力F I ，受力如图（b ）。 )2cos cos (2 22I t l r t r m ma F x x ωωωω+=-= 按达朗伯原理有 0 ,0I T =++-=∑F mg F F x 故金属杆受之拉力 )2cos (cos 2T t l r t r m mg F ωωω++= 14-3 图示矩形块质量m 1 = 100 kg ，置于平台车上。车质量为m 2 = 50 kg ，此车沿光滑的水平面运动。车和矩形块在一起由质量为m 3的物体牵引，使之作加速运动。设物块与车之间的摩擦力足够阻止相互滑动，求能够使车加速运动而m 1块不倒的质量为m 3的最大值，以及此时车的加速度大小。 解：取车与矩形块为研究对象如图（a ）。 惯性力 F I = (m 1 + m 2 ) a = 150 a 。 由动静法 a F F F F x 150 , 0,0T I T ==-=∑ 取矩形块为研究对象，欲求使车与矩形块一起 加速运动而m 1块不倒的m 3最大值，应考虑在此时 矩形块受车的约束反力F N 已集中到左侧A 点，如图 （b ），且矩形块惯性力F I1 = m 1a 。 由动静法，不翻倒的条件为：
第14章编制计划的原理与方法 1、周丨1妈妈要求大弟和小弟完成一些家务活动，活动项LI及所需时间如下表: 活动代码活动项目■时间/h A收拾房间2 B做饭1 C用餐0.5 D洗碗0.5 耍求从上午9点开始动手，到中午12点以前结束，保证两人能在12点外出参加学校活动。 题目中这样的表格叫做______________ ； 表中的每项活动叫做______________ ； 完成某项工作的时间叫做______________ ; 2、当两项工作冇先后顺序（相互邻接）的时候，我们把前一项工作称为后一项工作 的_____________________ ，反之把后_项工作称为前一项工作的紧______________________________ o 3、完成任务的总时间称为 ______ 。在工作流程图中，°这样的小圆圈称为________，节点之间~Z— 这样的箭头称为_______ ,箭头上面标________ ,下面标_________ . 4＞我们把从开始节点到终止节点的一条路叫做一条，一条路径上各工序的工期的和叫做___________ ,长度最 长的那条路径叫做_______ O 5、关键路径的长度就是工程的_______ o 6、做西红柿鸡蛋汤冇以下几道工序： A：打蛋、搅蛋（lmin）； B：洗西红柿并切好（2min）； C：把西红柿放入水中烧沸腾（3min）； D：烧沸腾后倒入鸡蛋并烧沸腾（lmin）； 做这道西红柿鸡蛋汤最少需要_______ min,其中可以并行的是_______ 和______ 、______ o 7、迅达旅行社安排在国庆黄金周组团去北京游览，旅行社安排小李带队.小李接到任务后，冇下列事务安排: A:编制时间表（15分钟）,B:传真安排计划（5分钟），C:联系北京市旅行社（20分钟）,D:联系旅行车（15 分钟），E:旅行线路编制（15分钟），F:网络登记机票（30分钟），试分析上列各工作之间的先后关系，画出整个活动的工作流程图. 8、工作流程图中，把从开始节点到终止节点的一条路，叫做一条__________ , 一条路径上的各工序工期的和叫做 _______________ ,长度最长的那条路叫做_________________ 。 9、__________________________________________ 关键路径上的每一件工作都叫做 ________________ :表示关键工作的两个节点叫做__________________________ ,关键 路径的长度就是工程的_________________ o 10、某项工程的流程图如图14-2,（单位：天） A C F 2 列出从开始节点①到终止节点⑦的所冇路径_______________________________________________
生产计划编制方式的思考生产计划大纲编制的原理和依据某工厂产品呈现多品种、小批量、短交期的特点，生产工艺也较为复杂程度，包括冲压、注塑、喷漆、压装、精加工等，属于混合型制造企业。目前，公司计划部门排产以周计划为主。现在的问题是，排计划需要的基础数据不能从相关部门及时或准确拿到，导致生产计划调整频繁。有些工序排了计划，有些工序却没排(断断续续)。生产部门抱怨计划人员对影响生产计划的因素缺乏全面细致的考虑，出现计划与执行脱节。 当生产不能按期交货时，市场部抱怨计划部门，计划部门指责生产部门，而生产部门又说是设备和模具问题影响生产进度，反馈给计划部门，而计划员很难协调相关部门，所以才耽误交货。计划部门说，生产过程中模具和设备出现问题，应该由生产部门想办法解决，解决不了或其他部门不配合再反馈给计划部门，计划部门给予相应协助。 更让人头疼的是，工程在试制通过后移交批量生产，常常是突然下个大的订单，让采购来不及采购。计划部门对工程部说，批产前特别是大批量订单来临之前，要提前告知，这样计划部门才好做物料计划，要不工程部门就自行采购。工程部门说，在试制通过前，谁敢担这个责任通知你做计划?
那么，工厂相关部门如何优化生产计划编制方式，是否改由计划部门编排为生产部门自行编排? 分析 生产部门以成本为目标，计划部门以交货期为目标，其次兼顾成本，首先部门目标存在矛盾。计划部门做计划，生产部门觉得受制约、不合意。如果把计划下放到生产部门，从计划人员的立场来看，有的觉得工作轻松了，交不了货完全是生产部门的责任，有的觉得权利被削弱，担心一放就乱。而从公司角度来看，计划和执行应该分开，计划部门作计划、搞协调，生产部门执行计划，专心完成任务。 计划收在上面，有利于统一管理，公司整体效果好，各车间库存可以最小化，缺点是公司计划项目部要对车间生产能力及瓶颈非常清楚，计划放在下面，有利于车间现场组织，缺点是受车间管理者水平限制，车间生产随意性大。
第六讲 数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设 1 n n u ∞=∑，1 n n v ∞ =∑都是正项级数，存在0c >，使 (1,2,3,...)n n u cv n ≤= （i ） 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑也收敛；（ii ） 若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑也发散． 比较原理II （极限形式）设 1 n n u ∞ =∑，1 n n v ∞ =∑均为正项级数，若 lim (0,)n n n u l v →∞=∈+∞ 则 1 n n u ∞=∑、1 n n v ∞ =∑同敛散． 根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设 1 n n u ∞ =∑为正项级数， （i ）若从某一项起（即存在N ，当n N > 1q ≤<（q 为常数）， 则 1 n n u ∞ =∑收敛； （ii 1≥，则1 n n u ∞ =∑发散． 证（i ）若当n N > 1q ≤<，即n n u q ≤，而级数 1 n n q ∞ =∑收敛， 根据比较原理I 知级数 1 n n u ∞ =∑也收敛． （ii ） 1≥，则1n u ≥，故l i m 0n n u →∞ ≠，由级数收敛的必要条件知 1 n n u ∞ =∑
发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设 1 n n u ∞ =∑ 为正项级数，n r =， 则：（i ）当1r <时，1 n n u ∞ =∑收敛；（ii ） 当1r >（或r =+∞）时，1 n n u ∞ =∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性 23123(1)()()()357 21 n n n +++ +++；n n n e ∞ -∑n=1 (2) n n x α∞ ∑n=1 (3) （α为任何实数，0x >）． 解 (1) 因为11 2 n r ==<，所以原级数收敛． (2) 因为lim n n n r e →∞===∞，所以原级数发散． (3) 对任意α，n r x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时， 此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1 α- ≤时，即1α ≥-时发散． 例2 判别级数11[(1)]3 n n n n ∞ =+-∑的敛散性． 解 由于 (1)lim 3 n n n n →∞-== 不存在，故应用定理2 无法判别级数的敛散性．又因为 (1)1133 n q -==≤=< 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n n n a ∞ =-∑发散，试问级数111n n n a ∞ =?? ?+?? ∑是否收敛？并说明理由．
备注§14.1 编制计划的有关概念 教学目标： 1.通过具体案例理解编制计划的有关概念，如紧前工作、平行共走、工序、 流程图、节点等； 2.面对具体问题，能正确分析各项工作之间的先后关系； 3.培养学生分析问题、解决问题的能力； 教学重点：编制计划的有关概念 教学难点：编制计划的有关概念 新课讲授： 一、探究 在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题：在人力、物力、财力、 时间等条件的限制下，如何为实施计划提供一个可行的方案。例如： 方案1可以用上图表示，此时显然不能完成任务，方案1不可行。 方案2可行，但是完成任务之时即出门之时，显得比较仓促。两人合计后， 又提出了方案3和方案4。
备注 方案3可行，而且比方案2节约时间。 方案4可行，更节约了时间。 通过为大弟、小弟设计方案的活动，一方面让学生感受到编制的计划是有 优劣的、可以调整和优化的；另一方面通过这个具体问题的讨论，界定了 紧前工作、平行工作、虚设工作、工序、流程图、节点等概念。 二、基本概念： 1工作明细表 一般地，我们把形如表14-1的表叫做工作明细表。其中的收拾房间、做饭 等活动叫做工作或工序，完成某一工作需要的时间叫做工期或工时，完成全 部工作所需要的时间叫做总工期。 2工作流程图 我们把图14-1、14-2、14-3、14-4这样的图叫做工作流程图。圆中的小圆 圈(有时会在圆圈内加上编号)叫做节点。两个节点之间的箭线表示一项工作， 通常会在箭线的上方方标上工作名称或工作名称的编号，在下方标上工时。 3紧后工作（紧后工序） 在上面的问题中，做饭和用餐这两项工作是相互邻接的、用餐必须在做 完饭之后才能进行，因此用餐可以叫做饭的紧后工作或紧后工序。
数学分析第十二章数项级数正项级数的比式判别法 第六讲
数学分析第十二章数项级数比式判别法和根式判别法 本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的,特征就能作出判断，不需要与已知级数进行比较.但在使用时只要根据级数一般项本身的
数学分析第十二章数项级数 定理12.7（达朗贝尔判别法，或比式判别法） 则级数n u ∑收敛; >0(ii),n N 若对一切成立不等式 11,(6) n n u u +≥. n u ∑则级数发散1,(5)n n u q u +≤>0(i),n N 若对一切成立不等式0n u N ∑设为正项级数，且存在某正整数及常数01. q q <<（）
数学分析第十二章数项级数把前n -1个不等式按项相乘后,得到 --???≤132121 ,n n n u u u q u u u 或者由于当0 < q < 1时,-∑1,n q 等比级数收敛根据比较 原则及上述不等式可得. n u ∑级数收敛证+≤≥1(i)1n n u q n u 不妨设不等式对一切成立,于是有21,u q u ≤32u q u ≤，, 1,.n n u q u -≤ 11. n n u u q -≤
数学分析第十二章数项级数 0n N ≥因为当时,(ii )1n n u u +≥1n u -≥00, N u ≥≥> 从而 因此所以级数发散.00lim ,n N n u u →∞ ≥>
数学分析第十二章数项级数 推论1（比式判别法的极限形式） 若n u ∑为正项级数，且1lim ,(7) n n n u q u +→∞=则(i)1,; n q u <∑当时级数收敛(ii)1,. n q q u >=+∞∑当或时级数发散证由(7)式, 对任意取定的正数<-(1),q ε存在正数当n > N 时, 有+-<<+1.n n u q q u εεN ,
填空： 1、（A）周日妈妈要求大弟和小弟完成一些家务活动，活动项目及所需时间如下表： 要求从上午9点开始动手，到中午12点以前结束，保证两人能在12点外出参加学校活动。 题目中这样的表格叫做； 表中的每项活动叫做； 完成某项工作的时间叫做； 2、（A）当两项工作有先后顺序（相互邻接）的时候，我们把前一项工作称为后一项工作 的，反之把后一项工作称为前一项工作的紧。 3、（A）完成任务的总时间称为。在工作流程图中，这样的小圆圈称为，节点之间 这样的箭头称为，箭头上面标，下面标。 4、（A）我们把从开始节点到终止节点的一条路叫做一条，一条路径上各工序的工期的和叫做，长度最长的那条路径叫做。 5、（A）关键路径的长度就是工程的。 6、（B）小明家里来了客人要泡茶给客人有这样几道工序： A：烧水（10min）； B：洗茶杯（3min）； C：拿茶叶（1min）； D：泡茶（2min）； E：端给客人（1min）； 试分析上述工作之间的先后顺序关系，小明完成全部工作的时间最短为 min。 7、（B）做西红柿鸡蛋汤有以下几道工序： A：打蛋、搅蛋（1min）； B：洗西红柿并切好（2min）； C：把西红柿放入水中烧沸腾（3min）； D：烧沸腾后倒入鸡蛋并烧沸腾（1min）； 做这道西红柿鸡蛋汤最少需要 min,其中可以并行的是和、？ 8、（B）黄健同学下午放学后,在晚餐前有以下活动安排.A:乘车回家（30分钟）,B:复习功课（30分钟）,C:听音乐（25分钟）,D:吃点心（10分钟）,E:做作业（50分钟）,F:洗手洗脸（5分钟）,G:预习功课（20分钟）,试分析上列各项工作之间的先后关系,整个活动最少需要min，其中可以并行的是和、？ 9、（C）迅达旅行社安排在国庆黄金周组团去北京游览,旅行社安排小李带队. 小李接到任务后,有下列事务安排: A:编制时间表（15分钟）,B:传真安排计划（5分钟）,C:联系北京市旅行社（20分钟）,D:联系旅行车（15分钟）,E:旅行线路编制（15分钟）,F:网络登记机票（30分钟）,试分析上列各工作之间的先后关系,画出整个活动的工作流程图. 10、（C）早饭前,妈妈要进行如下活动,A:烧开水（12分钟）B:擦桌椅（6分钟）,C: 准备暖瓶和灌开水（2分钟）D:去买早点（6分钟）E:煮牛奶（8分钟）,其中灶台只有一个火头. 妈妈怎样安排才能使所用的时间最短? （C）某商场计划进行一场销售1000台平板电视的促销活动,预计有下列工序.A:广告海报制作（3天）,B: 11、 商品采购（4天）,C:展位布置（3天）,D:销售（20天）,E:活动总结（1天）. 分析上列各工作之间的先后关系,整个活动的工作流程为。 12、（A）工作流程图中，把从开始节点到终止节点的一条路，叫做一条， 一条路径上的各工序工期的和叫做，长度最长的那条路叫做。13、（A）关键路径上的每一件工作都叫做；表示关键工作的两个节点叫做， 关键路径的长度就是工程的。 14、（B）某项工程的流程图如图14-2,（单位：天）
教学计划编制问题 #include
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第十四章知识点归纳 一、多目标理财规划的方法 1、目标基准点法 2、目标顺序法 3、目标并进法 4、目标现值法与一生资产负债表 (1)一生资产负债表相关概念 ①一生资产负债表：在当前资产负债表的基础上，考虑一生的收入与未来各年理财目标的现值之后，所编制的资产负债表。 ②营生资产：家庭负担者在未来各年的收入的折现值。 ③养生负债：家庭成员在未来各年理财目标的现值。 ④实际资产：当前拥有的资产 ⑤实际负债：当前存在的负债 (2)基本原理一将理财目标负债化 ①未来的理财目标均可以对照房贷模式加以负债化，并在有工作收入期间内进行本利摊还。 ②养生负债二家计负债+退休负债+购房负债+子女教育金负债 ③应有营生资产=养生负债+实际负债一实际资产 ④考虑现有收入与预计工作年限，若理财需求额超出预计收入水平太多，应调整理财目标金额或延长工作年限。 ⑤以扣除收入成长率得到的实际报酬率计算营生资产现值。 (3)分析客户实现各个理财目标的可能性 ①确定各个理财目标的实现年限与目标金额。
②应用复利现值或年金现值公式，计算各个理财目标未来现金流量的现值。每一个现值实际上是各个理财目标当前的负债额，所有理财目标的现值之和是客户当前的一生总需求金额。 ③将目前的生息资产在各个理财目标之间进行分配，类似于购房时所缴纳的自备款。 ④各个理财目标的现值减掉所分配的自备款，就是要用未来收入进行支付的部分。 ⑤将未来的收入按照投资报酬率折现为现值，加上目前的生息资产，就是客户当前的一生总供给金额。 ⑥将一生总需求金额与一生总供给金额进行比较，就可以知道按客户目前与未来的财务状况，是否可以实现各项理财目标。 ⑦若无法实现所有的理财目标，需要通过调整目标金额、推迟目标实现年限、或者改变投资报酬率假设来实现一生资金的供需平衡。 (4)供给缺口或剩余分析 ①供给缺口(需求过大)——目标总需求〉资源总供给 有供给缺口时，依照理财目标优先顺序筛选，优先考虑顺序在前者，或延长年限、降低目标额。 ②供给剩余(供给有余)——资源总供给〉目标总需求 有供给剩余时，说明所有的理财目标均能如期达成。当供给剩余大于遗产税免税额时，表示需要事先做遗产节税规划，可用分年赠与或投保终身寿险的方式。 二、个人保险规划实务 1、寿险需求规划原理 2、生命价值法 3、遗属需要法 4、不同计算基准下保险诉求重点 (1)遗属需要法 ①单身无负担者不需保险②以遗属生活费需求投保③结婚及生子时加买保险④依据负债金额年限投保⑤需奉养父母依余命投保⑥丧葬费应纳入保额中⑦自己的生活费可排除，但若考虑全残也可纳入⑧需扣除已累积的可变现生息资产净值
级数判别法 基本定理：正项级数收敛的充要条件是： ∑∞ =1 n n a 的部分和数列 }{n S 有界。 1、 比较判别法：设 ∑∞=1 n n a 和∑∞ =1 n n b 是两个正项级数，且存在 0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则： ○ 1：∑∞ =1n n b 收敛 ∑∞ =?1 n n a 收敛。 ○ 2：∑∑∞ =∞ =?10 1 n n n n b a 发散发散。 2、 比较判别法极限形式：设 ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 是两个正项级数，且 λ=+∞→n n n b a lim ，则： ○ 1：当+∞<<λ0时，∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 具有相同的敛散性。 ○ 2：当0=λ时，∑∞=1 n n b 收敛∑∞ =?1n n a 收敛。 ○ 3：当+∞=λ时，∑∞=1 n n b 发散∑∞ =?1 n n a 发散。 3、 比较判别法II ：设有两正项级数 ∑∑∞ =∞ =10 1 n n n n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足： n n n n b b a a 1 1++≤，则： ○ 1：∑∞ =1 n n b 收敛 ∑∞ =?1 n n a 收敛。 ○ 2：∑∞ =1 n n a 发散∑∞ =? 1 n n b 发散。 4、 比值判别法（达朗贝尔）：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，则： 1°若当n 充分大时有： 11 <≤+q a a n n ，则级数∑∞ =1n n a 必收敛。 2°若当n 充分大时有： 11 ≥+n n a a ，则级数∑∞=1 n n a 必发散。 5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，且 2111lim lim λλ==+∞→+∞→n n n n n n a a ，a a ，+∞≤2,1λ，则： 1°：当11 <λ时，级数∑∞ =1n n a 收敛。 2°：当 12>λ时，级数∑∞ =1 n n a 发散。 6、 根值判别法（Cauchy ）：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，则：
拉阿伯判别法 在数学专业用的微积分教科书中，关于正项级数敛散性判别法，除常用的柯西判别法(即根值判别法)和达朗贝尔判别法(即比值判别法)外，还有其他的判别法。下面的拉阿伯(J.L.Raabe)判别法就是其中之一。 拉阿伯判别法 设有正项级数1 (0)n n n u u ∞=>∑. 若有 1lim 1()n n n u n l l u →∞+??-=-∞≤≤+∞ ??? 则当1l >(包括+∞=l )时，级数收敛；而当1l <(包括∞-=l )时，级数发散。 【像比值判别法那样，当1=l 时，不能由此得出级数的敛散性】 证 当1l >(包括+∞=l )时，取r 满足1l r >>. 根据数列极限的定义，则有正整数N 使 11n n u n r u +??-≥ ??? )(N n ≥ 从而 （※）11n n u r u n +≥+)(N n ≥ 另一方面，再取正数满足p 1r p >>，因为有 ()()10x 01110lim lim 01 p p x x p x p r x -→→+-+??==< ??? 所以有正整数N N ≥1，使当1N n ≥时有 1111p n r n ??+- ???<，即111p r n n ??+<+ ??? 因此，当1N n ≥时，根据式（※），则有 1111p n n u r u n n +??≥+>+ ??? 或 1 1(1)(1)11p p n n p u n n p u n n ++??<=> ?+?? 根据p –级数的收敛性，所以级数1 (0)n n n u u ∞=>∑也是收敛的【比较判别法的推论】 。 其次，当1
邗江职业技术教育中心 教案
复习引入： 新授： 每一周的双休日,大双和小双被要求安排完成一些家务和生活活动.有关活动项目与单人完成活动的工时如表4.1. 要求从上午9点开始动手,到中午12点以前结束,以保证在12点整能共同外出参加篮球俱乐部的活动.试设计工作计划. 解决方案 方案1 大双提出,由一个人干:洗衣—做饭—共同用餐—清洗餐具.完成任务需要 3+1+0.5+0.25=4.75(小时). 显然,方案1不可行. 方案1可用图4-1所示的示意图表示. 图4-1 图4-2 方案2 小双提出,一人洗衣的同时,另一人做饭,两人都完工后再一起用餐,再由一人清洗餐具,完成任务需要 3+0.5+0.25=3.75(小时). 显然,方案2也不可行.方案2可用图4-2所示的示意图表示. 方案3 两人商量后提出,完成这项任务可以考虑将洗衣工作A 分解成A 1 （大双洗1.25小时）和A 2(小双洗1.75小时)两个项目,同时把工作C 区分成C 1(大双用餐)和C 2（小双用餐）,大双干A 1,B,C 1,D 四项工作,小双完成A 2 ,C 2两项工作.完成任务需要1.25+1+0.5+0.25=3（小时）. 显然,方案3可行.方案3可用图4-3所示的示意图. 图4-3 方案4 方案3已经可以完成任务,但完成之时即出门之时,时间显得仓促,你提出的方案是否比他更好呢? 图4-4所示的示意图是某位同学提出的方案4,你能计算它用了多少小时吗? 图4-4
概念 在解决上面的活动中,我们把表4.1叫做工作明细表,其中的洗衣、做饭等活动叫做工作（或工序）,一般指有具体开始时间和完成时间的一项实际任务.表4.1中3小时、0.5小时等叫做工期（或工时）,一般指完成某一项工作所需的时间.完成整项活动（或项目）所需的时间叫做总工期. 我们把图4-1～图4-3这样的图叫做工作流程图. 图中的小圆圈（有时需加上编号）叫做节点.两个节点间的箭线表示一项工作,工作的名称和工期分别写在箭线的上方与下方. 在上面的活动中,做饭与用餐这两项工作是相互邻接的.用餐必须在做饭完成后才能进行,用餐可以叫做做饭的紧后工作（或紧后工序）,紧后工作一般指开始时间取决于其他工作的工作.紧后工作所依赖的工作叫做紧前工作（或紧前工序）,例如,这里的做饭是用餐的紧前工作.当两项工作相互邻接时,改变紧前工作的日期（或时间）将影响紧后工作的日期（或时间）.有时两项工作可以是平行工作. 有时为了说明问题的需要人为地设置一些虚设的工作,叫做虚工作（虚工作用虚箭线表示,例如图4-3中的虚工作E ） 例1 黄健同学下午放学后,在晚餐前有以下活动安排.A:乘车回家（30分钟）,B:复习功课（30分钟）,C:听音乐（25分钟）,D:吃点心（10分钟）,E:做作业（50分钟）,F:洗手洗脸（5分钟）,G:预习功课（20分钟）,试分析上列各项工作之间的先后关系,画出整个活动的工作流程图. 解 分析以上各项工作,容易知道,到家前,A 和C 是平行工作,可同时进行,到家后,F 、B 、E 、G 存在先后关系,工作D 可以在F 后平行进行. 整个活动的一个工作流程图可如图4-5所示. 图4-5 例2 迅达旅行社安排在国庆黄金周组团去游览,旅行社安排小带队. 小接到任务后,有下列事务安排: A:编制时间表（15分钟）,B:传真安排计划（5分钟）,C:联系市旅行社（20分钟）,D:联系旅行车（15分钟）,E:旅行线路编制（15分钟）,F:网络登记机票（30分钟）,试分析上列各工作之间的先后关系,画出整个活动的工作流程图. 解 分析以上的各项工作,知接到任务之后,E 和C 是平行工作,F 和B 、D 也是平行工作,都可同时进行,F 、A 存在先后关系,工作A 可以在C 后平行进行. 整个活动的一个工作流程图可如图4-6所示. 图4-6 练习4.1 1. 早饭前,妈妈要进行如下活动,A:烧开水（12分钟）B:擦桌椅（6分钟）,C: 准备暖瓶和灌开水（2分钟）D:去买早点（6分钟）E:煮牛奶（8分钟）,其中灶台只有一个火头. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ A 30 F 5 B 30 E 50 G 20 C 25 L 0 M 0 D 10 ② ⑥ ① ③ ④ ⑤ ⑦ A 15 F 30 D 15 C 20 E 15 G 0 B 5 H
浅谈达朗贝尔判别法 郑媛媛 （渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国） 摘要：通过学习了达朗贝尔判别法及其推论，我们了解到达朗贝尔判别法在判别正项级数的敛散性中是非常简便适用的。但这种判别法仍存在着一些弊端，给我们在学习中造成了许多不便，为了便于我们今后的学习，本文简单的介绍和研究了几种达朗贝尔判别法的推广方法，主要解决了达朗贝尔判别法在n lim a a n n 1+=1失效的情况下敛散性的判别。文中提到的方法，不但使用简便， 具有广泛的适用性，而且更为精细。为正项级数敛散性的判定提供了更有力的工具。 关键词：正项级数 敛散性 TALK ABOUT J.D ‘ALEMBERT ‘S PRINCIPLE Zheng Yuanyuan (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract :The study of the D`Alembert Discrimination Act and its corollary,We understand that d`Alembert Discrimination in the series Conwergence Divergence is very simple application.This Criterion there are still some drawbacks to the study,we created a lot of inconvenience.In order to facilitate our future study,this brief introduction and study of several d`Alembert Criterion promotional measures,mainly to solve the D`Alembert`s Test=failure in the case of convergence and divergence of discremination.The article mentions the method not only easy to use,with broad applicability,but more subtly.For the positive series fugitive convicted of a more powerful tool. Key words :positive series ; conbergence anddivergence.
编制计划的原理与方法 在实际的生产、生活、学习中，我们经常会遇到编制计划的问题。有些问题比较简单，或许你稍作思考就可以给出一个很有“效益”的计划，有些问题比较复杂，需要考虑诸多的干扰因素，例如人力、物力、财力等，这时要想编制一个“合理而高效”的计划是有难度的。这里我们将学习编制计划的原理与方法，它是一种安排工作进行的数学方法，应用广泛，在企业管理和基本建设中，以及关系复杂的科研项目的组织与管理中，都可以应用。 在本章的学习中，我们将学习编制计划的有关概念，学习分析各项工作之间的逻辑关系，进而掌握编制计划常用的两种图表——网络图与横道图，学会寻找图中的关键路径，进而能够对编制出的计划进行调整和优化。 本章学习目标 学完本章内容，你将能够 ●知道编制计划的有关概念，如节点、紧前工作、紧后工作等 ●理解关键路径法，会寻求一个计划的关键路径 ●掌握编制计划常用的两种图表——网络图与横道图 ●能够对编制的计划进行调整和优化 本章目录 §1编制计划的有关概念（2课时） §2关键路径法（2课时） §3网络图（1课时） §4横道图（1课时） §5计划的调整与优化（1课时）
1编制计划的有关概念（2课时） 在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题：在人力、物力、财力、时间等条件的限制下，如何为实施计划提供一个可行的方案。本节将介绍编制计划的有关概念。 探究 某个周日，妈妈要求大弟和小弟完成一些家务活动。有关活动项目和担任完成活动的 要求从上午9点开始动手，到中午12点以前结束，以保证两人能在12点外出参加学校活动。请你为哥俩设计一份可行的工作计划。 大弟和小弟自己提出了一些方案。 方案1 除了共同用餐外，其他活全部由1人完成。此时完成任务需要的时间为： 2+1+0.5+0.5=4（小时） 此时显然不能完成任务。方案1不可行。方案1可用图1所示的示意图表示。 5 .05.012 ?→??→??→??→?D C B A 图1 方案2 一人收拾房间的同时，另一人做饭，待两人一起完工后，共同用餐，然后一人洗碗。此时完成任务需要的时间为： 2+0.5+0.5=3（小时） 显然，方案2可行。方案2可用图2所示的示意图表示。 虽然方案2可行，但是完成任务之时即出门之时，显得比较仓促。两人合计后，又提出了方案3、方案4。 方案3：将收拾房间的任务分解成A 1（大弟收拾0.75小时）和A 2 （小弟收拾1.25小时），大弟收拾房间0.75小时后，就开始做饭，然后共同用餐（把C 区分成C 1和C 2，分别表示 A B C D 210.5 0.5 图2
重庆三峡学院毕业设计（论文） 题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨 目录 摘要 ............................................................................................................................................................... I Abstract: ..................................................................................................................................................... I I 1 引言 . (3) 2正项级数相关概念 (3) 2.1 定义 (3) 2.2 正项级数敛散性判别的充要条件 (3) 2.3 三个重要比较级数 (4) 2.3.1 几何级数 (4) 2.3.2 调和级数 (5) 2.3.3 P-级数 (5) 3 正项级数敛散性判别法 (6) 3.1 判别发散的简单方法 (6) 3.2 比较判别法 (7) 3.2.1 定理及其推论 (7) 3.2.2 活用比较判别法 (9) 3.2.3 归纳总结 (11) 3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法 (12) 3.3.1 柯西判别法 (12) 3.3.2 达朗贝尔判别法 (13) 3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 (15) 3.4 拉贝判别法 (17)
3.5 积分判别法 (19) 3.6 两种新方法 (20) 3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 (23) 4 在判别级数敛散性中的作用 (23) 4.1 证明负项级数的敛散性 (23) 4.2 证明变号级数绝对收敛 (24) 4.3 证明函数级数收敛 (25) 5 结束语 (26) 致谢 (27) 参考文献: (27)
第14章 达朗伯原理（动静法） §14-1 达朗伯原理 例 1. 质量10kg m =的物块A 沿与铅垂面夹角060θ=的悬臂梁下滑，如图所示。不计梁的自重，并忽略物块的尺寸，试求当物块下滑至距固定端O 的距离0.6m l =，加速度22m/s a =时固定端O 的约束反力。 解：取物块和悬臂梁一起为研究对象，受有主动力W ，固定端O 处的反力Ox F 、Oy F 及O M 。施加惯性力g F 如图所示，g F ma =，方向与a 图14-3 相反，加在物块上。 根据达朗伯原理，列形式上的平衡方程 0 sin 0 0 cos 0()0 sin 0 Ox g Oy g O i O X F F Y F W F m F M Wl θθθ?=-=?=-+=??=-=?∑∑∑ 可解得 sin 17.32N Ox g F F θ== cos 88N Oy g F W F θ=-= sin 50.92N m O M Wl θ==? 从本例可见，应用质点达朗伯原理求解时，在受力图上惯性力的 方向要与加速度方向相反，惯性力的大小为g F ma =，不带负号。 例1.如图所示，物块A 、B 的重量均为W ，系在绳子的两端，滑轮的半径为R ，不计绳重及滑轮重，斜面光滑，斜面的倾角为θ，试求物块A 下降的加速度及轴承O 处的约束反力。
图14-4 解：先取物块B 为研究对象，所受的外力为绳索的拉力T 、重力 W 、光滑斜面的约束反力B N ，虚加的惯性力为gB F ，如图所示。取图 所示坐标系，根据质点达朗伯原理，可列出平衡方程为 0Y '=∑ cos 0B N W θ-= 可得 c o s B N W θ= 再取物块A 、B 及滑轮和绳索所组成的系统为研究对象。质点系的外力有两个物块的重力W ，轴承O 的约束反力O X 和O Y ，及光滑斜面的约束反力B N 。虚加上惯性力gA F 和gB F ，如图所示。惯性力的大小为 gA gB W F F a g == 。 质点系的外力和惯性力组成一平面力系。选取图所示坐标系，并取O 点为矩心，根据质点系达朗伯原理，列平衡方程，并注意到cos B N W θ=有 0X =∑ cos sin 0O gB B X F N θθ--= （1） 0Y =∑ sin cos 0O gA gB B Y F W F W N θθ+---+= （2） ()0O i m F =∑ s i n 0g A g B W R W R F R F R θ-++= （3） 由式（1）得 cos sin cos O W X a W g θθθ= + （4） 由式（2）得 2(1sin )(1sin )O W Y a W g θθ=- -++ （5） 由式（3）得 (1sin )2 g a θ=- （6）
14章编制计划的原理和方法（题库） 填空：1、周日妈妈要求大弟和小弟完成一些家务活动，活动项目及所需时间如下表：活动代码活动项目时间/h A收拾房间2 B 做饭1 C 用餐D 洗碗要求从上午9点开始动手，到中午12点以前结束，保证两人能在12点外出参加学校活动。题目中这样的表格叫做；表中的每 项活动叫做； 完成某项工作的时间叫做；2、当两项工作有先 后顺序的时候，我们把前一项工作称为后一项工作 的，反之把后一项工作称为前一项工作的紧。 3、完成任务的总时间称为。在工作流程图中。 这样的小圆圈称为，节点之间 这样的箭头称为，箭头上面标，下面标。 4、我们把从开始节点到终止节点的一条路叫做一条，一条 路径上各工序的工期的和叫做，长度最长的那条路径叫做。5、关键路径的长度就是工程的。6、小明家 里来了客人要泡茶给客人有这样几道工序： A :烧水；B : 洗茶杯；C :拿茶叶；D :泡茶；E :端给客人； 试分析上述工作之间的先后顺序关系，小明完成全部工 作的时间最短为min。7、做西红柿鸡蛋汤有以下几道 工序：A :打蛋、搅蛋；B :洗西红柿并切好；
C:把西红柿放入水中烧沸腾； D :烧沸腾后倒入鸡蛋 并烧沸腾； 做这道西红柿鸡蛋汤最少需要min,其中可以并行 的是和、？8、黄健同学下午放学后，在晚餐 前有以下活动安排.A:乘车回家,B:复习功课,C:听音乐,D: 吃点心，E:做作业,F:洗手洗脸，G:预习功课，试分析上列各项工作之间的先后关系，整个活动最少需要min，其中可以并行的是和、？ 9、迅达旅行社安排在国庆黄金周组团去北京游览，旅行社安排小李带队.小李接到任务后，有下列事务安排：A:编制时间表，B：传真安排计划，C:联系北京市旅行社，D:联系旅行车,E:旅行线路编制，F:网络登记机票，试分析上列各工作之间的先后关系，画出整个活动的工作流程图. 10、早饭前,妈妈要进行如下活动，A:烧开水B:擦桌椅,C:准备暖瓶和灌开水D:去买早点E:煮牛奶，其中灶台只有一个火头.妈妈怎样安排才能使所用的时间最短 11某商场计划进行一场销售1000台平板电视的促销活 动,预计有下列工序.A:广告海报制作，B:商品采购，C:展位布置,D:销售,E:活动总结.分析上列各工作之间的先后关系,整个活动的工作流程为。 12、工作流程图中，把从开始节点到终止节点的一条路，叫