河南省焦作市县级重点中学2021-2022学年高三上学期期中
考试文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．若a 、b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧
⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -等于（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
2．集合{{},2,0x A x
y B y y x ===>∣∣，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，2] B ．（1，2] C ．[1，2] D ．（1，＋∞）
3．已知2π-＜α＜0，sin α＋cos α＝15
，则
221
cos sin αα- 的值为（ ） A ．7
5
B ．257
C ．
725
D ．
2425
4．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A ．22y x =-
B ．()
2
112
y x =
- C ．2log y x =
D ．12
log y x =
5．设函数266,0
()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩
，若互不相等的实数123,,x x x 满足
()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）
A ．11,63⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．2026,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2026,33⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．函数()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭向右平移()0ϕϕπ≤≤个单位后得到函数()g x ，若()g x 在
,66ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，则ϕ的取值范围是 A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π
B ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．5π
B ．12π
C ．20π
D ．8π
8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
9．下列选项叙述错误的是（ ）
A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”
B ．若命题:p x A B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉
C ．若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题
D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件
10．函数()log 31a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线
20mx ny ++=上（其中,0m n >），则
12
m n
+的最小值等于 A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （2 +x ）=－f （x ），且当时x ∈[0，1]时2()1f x x =-+，则方程[)(),0,1f x k k =∈在[－1，5]的所有实根之和为 A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
12．设函数()f x '是定义在()0,π上的函数()f x 的导函数，有
()()cos sin 0f x x f x x '->，若123a f π⎛⎫=
⎪⎝⎭，0b =，56c f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
二、填空题
13．已知()1f x +是定义域为R 的偶函数，对于任意1x ，(]2,1x ∈-∞且12x x ≠，都有
()()1212
0f x f x x x ->-，且()30f =，则
()
0f x x
>的解集为___________. 14．已知F 为抛物线2:C y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上，且分别位于x 轴的上、下两侧，若BFO 的面积是1
2（O 为坐标原点），且12OA OB ⋅=，则直线AB 的斜率是______．
15．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝1，E 为BC 的中点，则点A 到平面A 1DE 的距离是______．
16．已知F 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点，过点F 作直线l 与圆
222x y a +=相切于点A ，且与双曲线右支相交于点B ，若1
3
FA FB =，则双曲线的离心
率为______. 三、解答题
17．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）
（1）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（2）在所给直观图中连接BC '，证明：//BC '平面EFG ．
18．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中0A >，0>ω，2
2
π
π
ϕ-<<
，x ∈R ，其部
分图象如图所示.
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）已知函数()()cos g x f x x =，求函数()g x 的单调递增区间. 19．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2
2n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．
20．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知
22(sin sin )sin 3sin sin A B C A B +-=. （1）求角C ；
（2）若4b =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 面积的取值范围. 21．设函数()()1
,0f x a b a bx
=
>+. （1）若函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，求实数a ，b 的值； （2）在（1）的条件下，若()()2ln x k f x x -≥对于01x <≤恒成立，求实数k 的取值范围.
22．已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为
21n
n +. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()12n a
n n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
参考答案：
1．C 【解析】 【分析】
根据集合相等，找到,a b 满足的等量关系，求得,a b ，即可求得b a -. 【详解】
因为{}1,,0,,b a b a b a ⎧
⎫+=⎨⎬⎩
⎭，又0a ≠，
故可得：0a b +=，
当1b =时，1a =-，满足题意，此时2b a -=； 当
1b
a
=时，b a =，解得0a b ==，不满足题意，舍去. 故2b a -=. 故选：C. 2．B 【解析】 【分析】
先求出集合A ，B ，再求两集合的交集即可 【详解】
解：由(2)0x x -≥，得02x ≤≤，所以{}02A x x =≤≤， 由于0x >，所以0221x >=，所以{}1B y y =>， 所以{}12A B x x ⋂=<≤， 故选：B 3．B 【解析】 【分析】
利用同角基本关系式得到cos α－sin α，从而得到结果. 【详解】 因为2
π
-
＜α＜0， 所以cos α＞0，sin α＜0，可得cos α－sin α＞0，
因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2， 所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－
125＝4925
， cos α－sin α＝75
，cos 2α－sin 2α＝177
5525⨯=，
所以
221
cos sin αα-的值为
257
. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】
由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案 【详解】
由题中表格可知函数在()0,∞+上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B ． 【点睛】
本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题． 5．A 【解析】 【分析】
作出函数()f x 的图象，根据题意，结合函数的图象得到17
(,0)3
x ∈-，236x x +=，进而求得123x x x ++的取值范围.
【详解】
由题意，作出函数()f x 的图象，如图所示，
若存在互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x k ===， 可得(3,4)k ∈-，
不妨令123x x x <<，则17
(,0)3x ∈-，236x x +=，则12311(,6)3x x x ++∈，
即123x x x ++的取值范围是11
(,6)3
.
故选：A.
6．D 【解析】 【分析】
首先求函数()g x ，再求函数的单调递增区间，区间,66ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
是函数单调递增区间的子集，
建立不等关系求ϕ的取值范围. 【详解】
()()sin 23g x x πϕ⎡
⎤=-+⎢⎥⎣
⎦,
令22222
3
2
k x k π
π
π
πϕπ-
+≤-+
≤
+
解得51212
k x k ππ
ϕπϕπ-
++≤≤++ ，k Z ∈ 若()g x 在,66ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，
126
{5126
k k π
π
ϕπππϕπ++≥
-++≤- ,解得：124k k πππϕπ-≤≤- ()0,ϕπ∈
0k ∴=时，
12
4
π
π
ϕ≤≤
.
故选D. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型. 7．A 【解析】
由三视图还原几何体的直观图，补全几何体为长方体有几何体的外接球即为该长方体的外接球，由长方体外接球半径R 为体对角线的一半可求出R ，进而求球体表面积. 【详解】
由三视图知：几何体为上图四棱锥11B ADD A -，且11ADD A 为边长为1的正方形，
AB =1111ABCD A B C D -，则几何体的外接球即为该长方体的外接
球，所以外接球半径R 为长方体的体对角线的一半，
∈R =，由外接球的表面积为245R ππ=，
故选：A 8．D 【解析】 【分析】
根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】
函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减
()f x ∴在()0,∞+上单调递增
则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛
⎫==-= ⎪⎝
⎭
0.522log 5log 4.1220>>>> ()()()
0.522log 5log 4.12f f f ∴>>
即：a b c >> 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性，进而将问题转变为自变量的大小的比较. 9．C 【解析】
根据逆否命题的定义，即可判断A 的正误；根据命题的否定，可判断B 的正误；根据“或”命题的性质，可判断C 的正误；根据充分、必要条件的定义，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】
对于A ：命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”，故A 正确，所以A 不符合题意；
对于B ：若命题:p x A B ∈，即x A ∈且x B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉，故B 正确，所以B 不符合题意；
对于C ：若p q ∨为真命题，则p ，q 有一个为真命题或两个都为真命题，故C 错误，所以C 符合题意；
对于D ：因为2320x x -+>，所以2x >或1x <，所以2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，故D 正确，所以D 不符合题意. 故选：C 10．D 【解析】 【分析】
由对数函数的性质可得定点(2,1)A --，得到22m n +=，再把式子化为112
()(2)2m n m n
++，
利用基本不等式，即可求解.
【详解】
由对数函数的性质可得，函数()log 31a y x =+-点的图象恒过定点(2,1)A --， 又因为点A 在直线20mx ny ++=，所以22m n +=，
则
121121411()(2)[4()](4(44)42222
n m m n m n m n m n +=++=++≥+=+=， 当且仅当4n m m n
=，即1
1,2n m ==等号成立，
所以
12
m n
+的最小值为4，故选D. 【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及基本不等式求最小值，其中解答中熟记对数函数的性质，合理化简，准确使用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 11．D 【解析】 【详解】
试题分析：画出函数f （x ）的图像如下，由图像知，所有实根之和为1234()()8x x x x +++=．故选D ．
考点：方程的根
点评：当题目不是求出函数的具体零点时，通常通过画出函数的图像来求解． 12．A 【解析】
根据题意，构造函数()()cos g x f x x =，求导，可得()g x 在()0,π上的单调性，将a ，b ，c
变形整理，结合单调性，即可得答案. 【详解】
设函数()()cos g x f x x =，则()()cos ()sin g x f x x f x x ''=-， 因为()()cos sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>， 所以()g x 在()0,π上是增函数， 1cos ()23333a f f g ππππ⎛⎫⎛⎫
=
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，cos ()2202f g b πππ⎛⎫= ⎪⎝⎭==，
5555cos ()6666c f f g ππππ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以a b c <<， 故选：A 13．()(),10,3-∞-
【解析】
根据题意推出()f x 在(,1]-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，分类讨论x ,利用函数()f x 的单调性可解得结果. 【详解】
因为对于任意1x ，(]2,1x ∈-∞且12x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-，
所以()f x 在(,1]-∞上单调递增，
因为()1f x +是定义域为R 的偶函数，所以(1)f x +的图象关于直线0x =对称，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，
因为()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(3)(213)(1)f f f =⨯-=-， 因为(3)0f =，所以(1)0f -=，
当0x <时，
()
0f x x
>可化为()0f x <(1)f =-，因为()f x 在(,0)-∞上递增，所以1x <-， 当01x <≤时，()
0f x x
>可化为()0(1)f x f >=-，因为()f x 在[1,1]-上递增，所以1x >-，又01x <≤，所以01x <≤， 当1x >时，
()
0f x x
>可化为()0f x >(3)f =，因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以13x <<，
综上所述：
()
0f x x
>的解集()(),10,3-∞-.
故答案为：()(),10,3-∞-
【点睛】
关键点点睛：利用函数的单调性解不等式是关键，根据函数的奇偶性和对称性可得函数的单调性
14．13-
【解析】 【分析】
设()11,A x y ，()22,B x y ，由BFO 的面积可求得点B 坐标，再由12OA OB ⋅=可求得点A 坐标，即可求出斜率. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ．
由抛物线2y x =得1
,04
F ⎛⎫
⎪⎝
⎭，
而()2111
242BFO S y =⨯⨯-=△，得24y =-，则216x =，
由12121116412OA OB x x y y x y ⋅=+=-=，则1143x y -=，
又2
11y x =，结合10y >，解得11y =，11x =，
所以直线AB 的斜率是
()141
1163
--=--． 故答案为：1
3-.
15 【解析】 【分析】
利用等体积法，转化求解点A 到平面A 1DE 的距离即可． 【详解】
在长方体在1111
211323
A ADE V -=⨯⨯⨯⨯= ，
1
AD =DE =，1EA ==，
22211A D DE A E =+ ，
1DE A E ∴⊥ ，
112A DE
S
=， 设点A 到平面1A DE 的距离为h ，
111
33
A A DE V h -== ，
解得：h =，
【点睛】
本题考查点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
16 【解析】 【分析】
设双曲线的右焦点为F '，由条件可得||1
,|3
|,cos ,3FA FB FB b b FA b BFF c '====∠，由双曲
线定义可得||32BF b a '=-，在BFF '中根据余弦定理，建立,,a b c 关系，再结合
222c a b =+，即可求解.
【详解】
设双曲线的右焦点为F '，
过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ， ,||,||,||OA FA OA a OF c FA b ∴⊥==∴=，
1
,cos ||33,FA FB FB b b BFF c '==∠=，
||32F B b a '=-，在BFF '中，
222||||||2||||cos F B FB FF FB FF BFF ''''=+-∠，
222(32)94232b
b a b
c b c c
-=+-⨯⨯⨯，
整理得332,,2b a b e a =∴
==
故答案为. 【点睛】
本题考查了双曲线的简单性质、圆的切线性质、余弦定理，注意双曲线定义在解题中的应用，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题. 17．（1）图见解析，3
284cm 3
；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据柱体和锥体体积公式，求该多面体的体积； （2）要证明线面平行，转化为证明线线平行，即可证明. 【详解】
解析（1）如图所示． 所求多面体的体积是：
311284446222cm 323V V V ⎛⎫
=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭正方体正三角锥
（2）如图所示，复原长方体ABCD A B C D ''''-，
连接AD '，则//AD BC ''．
∈E ，G 分别是AA '，A D ''的中点， ∈//AD EG '．从而//EG BC '． 又BC '⊄平面EFG ， ∈//BC '平面EFG ．
18．（1）()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
. 【解析】
（1）利用函数()y f x =的最大值可求得A ，由图象计算出函数()y f x =的最小正周期，可
求得ω的值，再代入点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
，结合22ππϕ-<<可求得ϕ的值，由此可解得函数()
y f x =的解析式；
（2）利用三角恒等变换思想化简函数()y g x =的解析式为()sin 23g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，然后
解不等式()2222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，即可得出函数()y g x =的单调递增区间.
【详解】
（1）由函数()y f x =的图象可知，()max 2A f x ==，
函数()y f x =的最小正周期为24236T πππ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭
，则21T πω==， 又2sin 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得πsin
φ16， 2
2
π
π
ϕ-
<<
，23
6
3
π
π
πϕ∴-
<+
<
，62ππϕ∴+=，解得3π
ϕ=，
因此，()2sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
（2）()()1cos 2sin cos 2sin cos 32g x f x x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21sin cos sin 22sin 223x x x x x x π⎛
⎫===+ ⎪⎝⎭ 令()2222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，得()51212
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈. 因此，函数()y g x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
已知图象求三角函数解析式()sin y A x b ωϕ=++（或()cos y A x b ωϕ=++）的步骤如下： （1）先求振幅A 与平衡位置b ：()()max min
2
f x f x A -=，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求频率ω：2T
π
ω=
； （3）求初相ϕ：将对称中心坐标或顶点坐标代入解析式，利用特殊值以及角的范围确定初相的值.
19．（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101 【解析】
【详解】
（∈）设等差数列{}n a 的公差为d ．
由已知得()()1114
{3615
a d a d a d +=+++=，
解得131
a d =⎧⎨=⎩．
所以()112n a a n d n =+-=+．
（∈）由（∈）可得2n
n b n =+．
所以()()()()2310
12310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++
()
()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+
(
)()10
2121101012
2
-+⨯=
+-
()
112255=-+ 112532101=+=．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 20．（1）
3
π
；（2
）. 【解析】
（1）由正弦定理角花边可得2
2
2
a b c ab +-=，由余弦定理可得2221
cos 22
a b c C ab +-==，即
可得解；
（2）因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3
C π
=
，A B C π++=得到23
A B π
+=
， 6
2
B π
π
<<
，
216sin 2tan ABC
S bc A B
π⎛⎫===+△. 【详解】
（1）由正弦定理得()()3a b c a b c ab +++-=， ∈222a b c ab +-=，
由余弦定理可知，2221
cos 22
a b c C ab +-==，
又∈(0,)C π∈，∈3
C π
=
.
（2）因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3
C π
=
，
A B C π++=得到23
A B π+=
， ∈022032B B πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，∈62B ππ<<.
正弦定理得，
sin sin b c
B C
=，4b =. 三角形面积公式有：
216sin 2tan ABC
S bc A B
π⎛⎫===+△ 又因
6
2
B π
π
<<
，故tan B ，
∈ABC S <△ 故ABC
S
的取值范围是.
【点睛】
本题考查了利用正余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式，属于中档题. 解三角形的范围问题有以下两种方法：
（1）利用基本不等式，根据基本不等式转化，构造不等式求范围；
（2）利用三角函数，一般方法是根据正弦定理边化角，构造三角函数，通过角的范围求解.
21．（1）1a b ==；（2）(,1]-∞. 【解析】
（1）利用导数的几何意义，求得函数()f x 在1x =处的切线方程，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）把()()2ln x k f x x -≥，转化为()11ln 2
x k x x -
+≤，令()()1
12ln g x x x x =-+，结合导
数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 【详解】
（1）由题意，函数()1f x a bx
=
+，则()()2b f x a bx '=-+， 可得()()
2
1b
f a b '=-
+，且()1
1f a b
=
+， 所以()f x 在1x =处的切线方程是()
()2
11b
y x a b
a b -=--++，
又因为函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=， 所以()()224134b b a b b a b a b ⎧
-=-⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩
，解得11a b =⎧⎨=⎩或75a b =-⎧⎨=⎩，
又由0,0a b >>，所以1a b ==. （2）由（1）可得()1
1f x x
=
+， 因为()()2ln x k f x x -≥，即()1
1ln 2
x k x x -
+≤. 令()()1
12
ln g x x x x =-+，则()111111ln 2ln 2x x g x x x x +⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
令()()ln 1112h x x x x g ⎛⎫
'==-- ⎪⎝⎭
，所以()22111122x x x x h x -⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭，
当(]0,1x ∈时，()0h x '≥，()h x 递增，即()g x '递增， 所以()()1
1ln1102
g x ≤
--='，所以()g x 在(]0,1递减，则()()min 11g x g ==， 可得1k ≤，即实数k 的取值范围为(,1]-∞. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 22．(1)21n a n =-；(2)()1
43149
n n n T ++-⋅=.
【解析】 【详解】
（∈）设数列{}n a 的公差为d ， 令1,n =得
1211
3
a a =，所以123a a =. 令2,n =得
12231125
a a a a +=，所以2315a a =. 解得1a 1,d 2，所以2 1.n a n =-
（∈）由（∈）知21
22
4,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以231
41424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅
两式相减，得121
344......44n n n T n +-=+++-⋅
114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--
所以113144(31)44.999
n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=
考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.
2021-2022学年上学期期中考试 高三数学（文科）试题 考试时间：120分钟 分数：150分 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题） 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则 U C A = ( ) A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} D.{2,5,7} 2. 131i i +- = ( ) A. 1+2i B. -1+2i C. 1-2i D. -1-2i 3. 已知实数x , y 满足约束条件 100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ ,则z=y-x 的最大值为 ( ) A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π (5题图) （6题图） 是 否 开始 k=1,s=1 k<5? 输出s 结束 k=k+1 s=2s-k
6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 5 7. 已知x 与y 之间的几组数据如表： x 0 1 2 3 y 2 6 7 则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧ ∧ ∧ =+必过点 ( ) A. (1,2) B. (2,6) C. (315, 24) D. (3,7) 8. 下列函数中，在定义域内与函数3 y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ） A. sin y x = B. 3y x x =- C. 2x y = D. 2 lg(1)y x x =++ 9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若 ,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b + 的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 23 10.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中11121321222331 32 33a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 所有数的和等于36，那么 22 a = （ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 11.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D.10 12.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式 ()1x x e f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1 第Ⅱ卷（非选择题）
河南省焦作市县级重点中学2021-2022学年高三上学期期中 考试文科数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若a 、b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧ ⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 2．集合{{},2,0x A x y B y y x ===>∣∣，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，2] B ．（1，2] C ．[1，2] D ．（1，＋∞） 3．已知2π-＜α＜0，sin α＋cos α＝15 ，则 221 cos sin αα- 的值为（ ） A ．7 5 B ．257 C ． 725 D ． 2425 4．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ） A ．22y x =- B ．() 2 112 y x = - C ．2log y x = D ．12 log y x = 5．设函数266,0 ()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩ ，若互不相等的实数123,,x x x 满足 ()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ） A ．11,63⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．2026,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2026,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭ 6．函数()sin 23f x x π⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭向右平移()0ϕϕπ≤≤个单位后得到函数()g x ，若()g x 在 ,66ππ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上单调递增，则ϕ的取值范围是 A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π B ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
2021年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题(文) 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷和草稿纸上无效。 4.考试结束，只交答题卡。 第I卷选择题(共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有 A.7个 B.8个 C.15个 D.16个 2.设iz＝4＋3i，则z＝ A.－3－4i B.－3＋4i C.3－4i D.3＋4i 3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为 A.2020 B.1348 C.1347 D.672 4.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为 A.∀x∈R，e x－x－1≥0 B.∀x∈R，e x－x－1>0 C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0 D.∃x0∈R，0x e－x0－1>0 5.已知f(x)＝1 4 x2＋sin( 2 ＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是 6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则 A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
2021-2022学年河南省重点高中高三（上）阶段性数学试 卷（文科）（二） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合A={x|−3
A. 2 B. √3 C. 2√3 D. 4 8. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A. y =1−x 2 B. y =x|x| C. y =e x −e −x D. y =lg(√x 2+1−x) 9. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A. 若l//α，l//β，则 α//β B. 若l//α，l ⊥β，则α⊥β C. 若α⊥β，l ⊥α，则 l ⊥β D. 若α⊥β，l//α，则l ⊥β 10. 已知定义在R 上的奇函数y =f(x)满足f(x +2)=−f(x)，若∀x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠ x 2时，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2)，则下列结论正确的是( ) A. y =f(x)图象关于直线x =2020对称 B. y =f(x)在[2019,2021]上为减函数 C. y =f(x)图像关于点(2020,0)中心对称 D. y =f(x)在[2020,2022]上为增函数 11. 已知直线l ：y =kx 与圆C ：x 2+y 2−6x +5=0交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰 直角三角形，则k 的值为( ) A. √147 B. √14 2 C. ±√14 2 D. ±√14 7 12. 已知函数f(x)=ae x −x 2(a ∈R)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. (0,4 e 2) B. (0,2 e ) C. (0,2 e 2) D. (0,4 e ) 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)={4+log 3x,x >0 43 −2x ,x ≤0，则f[f(log 149)]=______． 14. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则 (a+b)2cd 的 最小值是______． 15. 已知曲线y =x +lnx 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1(a ≠0)相切， 则a =______ 16. 已知三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，若AD =DB =BC =CD =1， ∠ADB =120°，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 某科技公司研发了一项新产品A ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销 售单价进行统计，销售单价x(千元)和销售量y(千件)之间的一组数据如表所示：
2021-2022学年河南省高三（上）期中数学试卷（理科） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，已知数列{b n }是等差数列，且b n = a n +n 2a n ， a 3=3， b 4+b 5=11，则S n +T n =( ) A. n 2−2n B. 2n 2−n C. 2n 2+n D. n 2+2n 2. 已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x +2)=−f(x)，且当x ∈(0,1]时， f(x)=−lnx ，则( ) A. f(log 41 3)>f(34)>f(log 34) B. f(34)>f(log 41 3)>f(log 34) C. f(log 41 3)>f(log 34)>f(34) D. f(34)>f(log 34)>f(log 41 3) 3. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)的部分图象大致如图所示， 则不等式[f(x)−f(− 3π 4 )][f(x)−f(π 12)]≤0的解集为( ) A. [kπ−π 6,kπ−π 12]，k ∈Z B. [kπ−π 12.kπ+π 4]，k ∈Z C. [kπ−π 4,kπ+π 12]，k ∈Z D. [kπ+π 12,kπ+3π 4].k ∈Z 4. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中正确的是( ) A. 若a 4>b 4，则a >b B. 若a c >b c ，则a >b C. 若a >b ，c > d ，则ac >bd D. 若a c 22021-2022学年河南省名校联盟高三(上)段考数学试卷(文科)(三)(附详解)
2021-2022学年河南省名校联盟高三（上）段考数学试卷 （文科）（三） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若集合A={y|y=3sinx−1}，B={y|y≥−1}，则A∩(∁R B)=() A. {y|−1 8. 已知△ABC 中，AB =3，AC =5，∠BAC =120°，点D ，E 分别为线段AB ，AC 上靠 近B ，A 的三等分点，点F 为线段DE 的中点，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 71 9 B. 61 9 C. 41 9 D. 31 9 9. 已知函数f(x)={2x+3 x−1,x ≤0 x 2 −x −3,x >0 ，若函数g(x)=f(x)−m 有两个不同的零点， 则实数m 的取值范围为( ) A. (2,+∞) B. (− 154 ,2) C. (− 134 ,+∞) D. (− 134 ,2) 10. 某工厂使用过滤仪器过滤排放的废气，过滤过程中体积一定的废气中的污染物浓度 P(mg/L)与过滤时间t(ℎ)之间的关系式为P =P 0⋅e −kt (P 0>0,k 为常数)，且根据以往的经验，前2个小时的过滤能够消除1 4的污染物．现有如下说法： ①k =ln2； ②经过1个小时的过滤后，能够消除15的污染物； ③经过5个小时的过滤后，废气中剩余的污染物低于原来的1 2． 则其中正确的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球表面积为27π，点E 为棱BB 1的中点，且DE ⊥ 平面α，点C 1∈平面α，则平面α截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得的截面图形的面积为( ) A. 81√2 4 B. 81√2 8 C. 81 4 D. 81 8 12. 已知双曲线C ：x 2 a 2−y 2 18 =1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且4BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，点A 在双曲线C 的左支上，∠F 1AF 2与∠F 1F 2A 的平分线的交点为D ，若BD ⊥F 1F 2，则点B 到双曲线C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3√2 B. 2√3 C. √6 D. 3√2 2 二、单空题（本大题共4小题，共18.0分） 13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤3 3x −y ≥0y ≥−1，则目标函数z =x +2y 的最大值为______． 14. 已知函数f(x)=log 9(x +3)，x ∈[0,m]，若∀x 1∈[0,m]，∃x 2∈[0,m]，使得f(x 1)= 1f(x 2) ，则m =______． 2021-2022学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）复数z =2i 1+i ，则z 的模为（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．√2 D ．2 2．（5分）已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{y |y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 3．（5分）设有下面四个命题： p 1：∃x 0∈（0，+∞），x 0+ 1 x 0 ＞3； p 2：x ∈R ，“x ＞1是“x ＞2”的充分不必要条件； p 3：命题“若x ﹣3 1 2是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题； p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题． 其中为真命题的是（ ） A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 4．（5分）向量|a → |＝2，|b → |＝1，a → ，b → 的夹角为120°，则a → •（a → −b → ）＝（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 5．（5分）函数f （x ）＝ln （x −1 x ）的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．（5分）正项数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，都有4S n ＝a n 2+2a n ，则数列{（﹣1）n a n }的前2022项的和等于（ ） A ．﹣2021 B ．2021 C ．﹣2022 D ．2022 7．（5分）如图，某三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．25π B ．50π C ． 1253 π D ． 252 π 8．（5分）战国时期，齐王与臣子田忌各有上、中、下三匹马．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定： （1）从各自上、中、下三等级马中各出一匹马； （2）每匹马参加且只参加一次比赛； （3）三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者． 已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强，则田忌赢得比赛的概率为（ ） A ．1 2 B ．1 3 C ．1 4 D ．1 6 9．（5分）设F 为双曲线C ：x 2a 2 − y 2b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2 D ．√5 10．（5分）{b n }为正项等比数列，b 1＝1．等差数列{a n }的首项a 1＝2，且有a 2＝b 3，a 4＝b 4．记c n = a n b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ．∀n ∈N *，k ≤S n 恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 11．（5分）已知f （x ）＝2sin x 2cos x 2+2√3cos 2x 2−√3，若|f （x ）﹣m |≤3对任意x ∈[−5π6，π 6]恒 成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，1] B ．[−1 2，1 2] C ．[0，1 2] D ．[0，1] 12．（5分）如果直线l 与两条曲线都相切，则称l 为这两条曲线的公切线．如果曲线C 1：y ＝lnx 和曲线C 2：y =x−a x （x ＞0）有且仅有两条公切线，那么常数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，1） C ．（1，e ） D ．（e ，+∞） 2021-2022学年河南省高三（上）段考数学试卷（文科）（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜5，x∈N}，B＝{0，2，3，5}，则A∪B＝（）A．{0，2，3}B．{﹣1，0，1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5}D．{﹣1，0，1，2，3，4，5} 2．“x2+x﹣2＝0”是“x＝﹣2”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．若幂函数在（0，+∞）上单调递增，则a＝（）A．1B．6C．2D．﹣1 4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a7＝14，则S9＝（） A．20B．35C．45D．63 5．函数的部分图象大致为（） A． B． C． D． 6．函数f（x）＝xe x﹣x2﹣2x﹣1的极大值为（） A．﹣1B．C．ln2D．﹣（ln2）2﹣1 7．设函数则不等式f（x）≤2的解集为（） A．[0，3]B．（﹣∞，3]C．[0，+∞）D．[0，1]∪[3，+∞）8．设p：∀x∈[2，3]，kx＞1，q：∃x∈R，x2+x+k≤0．若p或q为真，p且q为假，则k的取值范围为（） A．B． C．D． 9．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；…．如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第六个区间为（） A．B．C．D． 10．O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（） A．内心B．重心C．外心D．垂心 11．已知偶函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2021，当x≥0时，f′（x）≥6x恒成立，2021-2022学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(文科)(学生版+解析版)
2021-2022学年河南省高三(上)段考数学试卷(文科)(三)(解析版)
河南省焦作市县级重点中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题(含答案解析)