§不等式的解法（一）
【一线名师精讲】
基础知识串讲
解不等式的基本原则：
1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当
元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。
2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其
转化的总思路为：
分式不等式
整不
式等
根式不等式
不式
绝对值不等式
等的
函数不等式式解
3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不
等式分开解答后取并集。
基本类型不等式的解法：
( 一 ) 、整式不等式的解法
1、一元一次不等式
标准形式：ax b 或 ax b(a 0) .
解法要点：在不等式的两端同时除以 a 后，若a0 则不等号要反向。
2、一元二次不等式
标准形式：ax2 bx c 0 或ax2 bx c 0 （其中 a 0 ）。
解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步
骤进行：
（1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求方程ax2bx c 0 的根。
（3）写解：根据方程ax2 bx c 0
根的情况
写出对应不等式的解集。当两根明确时，可由“大
于 0，两根外；小于 0，两根内”的口诀写解，当0 时，则可由函数 y ax 2 bx c 的草图写解。
3、一元高次不等式（可分解因式型）
标准形式：a( x x1 )( x x 2) (
x x n
)
0 或
a (x x1 )( x x 2 ) ( x x n ) 0 a 0 。
解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行：
（1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求出对应方程的根。
（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。即“奇过偶不过”。
（ 4 ）写解：数轴上方所对应曲线的区间为
a( x x1 )( x x2 ) ( x x n ) 0 的解，数轴下方所
对应曲线的区间为a
(
x x1
)(
x x 2
) (
x x n
) 0 的解。
（二）、分式不等式的解法
标准形式：
g ( x)
0，或 g ( x ) 0 。
f ( x ) f ( x)
解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将
分式不等式转化为整式不等式求解。若分母的正负
可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以
下原则去分母：
f ( x)
0 f (x ) g( x) 0
g( x )
f ( x) 0 f ( x)
g ( x) 0
g( x )
（三）、根式不等式的解法
标准形式： f ( x)g( x) ； f ( x) g( x) ；以及 f (x )g (x) 。
解法要点：解根式不等式的关键是去根号，
应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条
件这两大要点进行等价变换：
f ( x) 0
f (x ) g( x) g( x) 0
f ( x) g( x)
g( x) 0
g ( x) 0
f (x )
g ( x) f ( x) 0 或
f ( x)
g 2
f ( x )
( x )
g( x) 0
f ( x ) g( x) f ( x) 0
f ( x) g2 ( x)
基本题型指要
◆题型一：解不含参数的不等式
【例 1】解下列不等式或不等式组：
( x 3)(1 x) 0
（ 1）
x 2 2
2x
（ 2） ( x 3)
2 (x 2)( 4 x) 0
（3） x2 2 x 2 x
3 2 x x 2
（4） ( x
1)
x 2 x 2 0
（1）思路导引 ：按规范化程序操作，化为标准形式后求解，可以有效的防止错误。
解 析 ： 将 ( x 3)(1 x)
( x 3)( x
1) 0 ，易得： x
3 , 或 x 1 。
由 2 x x 2 2 得 ( x 1) 2
综上所述，原不等式组的解集 x | x 3 ，或x 1 。
（2）解析：由已知， ( x 3) 2 ( x 2)( x 4)
用数轴穿根法易得原不等式的解集为：
x | x 2，或 x 4，或 x 3
误区警示 ：若不化为标准形式求解，易将解集
点评： 解等式与不等式的混合型不等式，最好将等式与不等式分开求解，以避免错误。◆题型二：解含参数的不等式
不少同学都怕解含参数的不等式，究其原因，
关键是没有把握住解题技巧。其实，解含有参数的不等
式在总思路上与解普通不等式完全相同，当参数不影响式子的变形时，与解普通不等式没有差
为 异，在参数影响式子的变形时，就需弄清参数的取值范围或者予以分类讨论，才能顺利的解出不等
0，
式。
【例 2】解下列关于 x 的不等式：
（ 1） ax 2 0
（ 2） tx 2 2 (2 t ) x
错写为 x |
2 x 4 。另外，建议将这类等式与不
（ 3） 3log a x 2 2 log a x 1 ( a 0, a
1)
等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉
x 3 这类解。
（ 1）思路导引 ：本题在求解 x 时必须去除系
（3）思路导引 ：解分式不等式的关键是去分 数 a ，由于 a 的范围不明，无法直接变形，若将 a
母。但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨 按变形的要求分为正、负、零三类，则在每一小类 论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法 中式子就能顺利变形了。
较好。
解析：由已知， ax 2 。 解析：将
x 2
2x 2 x 化为标准形式，得： ①、当 a
0 时， x
2 ；
3 2 x x 2
a (x 2)( x
2
x
1)
0 ，
②、当 a
0 时，
x
2
( x 3)( x 1)
；
a
因 为 x 2
x 1 0 恒成立，所以，
③、当 a
0时， 0
2 恒成立， x R 。
( x 2) 0 。
故，原不等式解集当 a 0 时为 x | x
2 ， (x 3)( x 1)
a
用数轴穿根法易得原不等式的解集为： 当 a 0 时为 x | x
2 ，当 a 0时为 R 。
x | 1 x
2，或 x 3
。
a
（4 ）思路导引 ：解根式不等式关键是抓住乘 （ 2）思路导引 ：解含参数的二次不等式通常 方的条件，对原不等式实施等价转换，去除根号。
是在以下三个地方实施分类讨论：一是平方项系数 解析：原不等式等价于：
有参数时需分正、负、零讨论，二是判别式△有参
x 2
数时的需分正、负、零讨论，三是两根有参数时需
( x 1)
x 2
0 （ 1）
根据他们的大小关系分类讨论。
或 ( x 1) x 2
2
（
本题中的不等式即 ( x 1)( tx 2) 0 ，在求解 x
2）
过程中参数会在两个地方影响式子变形：一是平方
由（ 1）得： x 2
x 2
，解得 x 2 ；
项系数 t 的正、负、零，二是对应的二次方程的根
x 1 0
1 与 2
是否存在、谁大谁小。此时，同一字母
t 形
由（ 2）得 x
2，或 x
1 。
t
所以，原不等式的解集为 x | x 2，或 x
1 。
成了不同的分类， 可将 t 在 0、2 处分段统筹安排进
误区警示 ：请找出下面解法的错误：
行分类（如图） 。
由 x
2
x 2 0
，得 x 1 0 ，所以，原不
等式的解为 x
1
。
1 0 ，所以 x R 。
0 化为标准形式
解析：原不等式即 ( x 1)(tx 2) 0 。
①当 t 0 时，可以化为 (x 1)( tx 2) 0，
易知2
1，所以
2
x 1 。
t t
②当 t 0 时，原不等式即2x 2 0 ，所以
x 1 。
③当 0 t 2 时，易知2
1 ，可得 x 1，t
或
x 2 。
t
④当 t 2 时，原不等式即2( x 1) 2 0 ，所
以 x R，且 x 1 。
⑤当 t 2 时，易知2
1 ，可得x
2 ，t t
或 x 1 。
综上所述，原不等式的解集当t 0 时，为
x | 2
x 1 ；当 t 0 时，为x |x 1 ；当t
0 t 2 时，为x | x
2
；当 t 2 时，1，或 x
t
为 x | x R，且 x 1 ；当 t 2时，为
x | x 2
，或 x 1 。t
误区警示：本题易漏掉 t 0和t 2 两种特殊情况的讨论。另外，在 t 0时，解集易错为
x | x 2
，或 x 1 。t
（3）思路导引：本题关键是抓住根式不等式的解题特点，对不等式进行乘方处理，去除根号。若令
log a x t 进行换元，会使书写变得更简便。解
析：按根式不等式的解题思路，易知原不等
3 log a x 2 0
1) 2 (1)
式等价于3log a x 2 ( 2log a x (2)
2 log a x 1 0 (3)
由(1) 得
log a x 2 ,
3
由(2) 得 log a x 3
, 或 log a x 1, 4
由(3) 得
log a x 1 .
2
由此得2
log a x
3
, 或 log a x 1, 3 4
当 a 1时，易求得原不等式的解集为
2 3
{ x | a 3 x a 4，或 x a} ；
当 0 a 1 时，易求得原不等式的解集为
3 2
{ x | a 4 x a 3，或 0 x a} 。
误区警示：在乘方去除根号的过程中，要注意
不等式乘方的条件以及根号内式子的取值范围，保
证不等式的变形为等价变形。
点评：从本例的解答过程可以看出，解含参数
的不等式关键是抓住以下两个要点来处理不等式中
的参数：一是由“参数是否影响不等式变形”来确
定该不该对参数进行分类讨论，二是由“参数是
怎样影响不等式变形”来确定怎样对参数进行分
类讨论。
◆题型三：已知不等式的解集求参数值（或范围）
已知不等式的解集求参数值（或范围）是一类
很常见也很重要的题型。由于该题型解法较为灵
活，我们在解题时若不能把握住它的解题规律，往
往会觉得变化莫测而无可适从。解答本题型关键是
要抓住以下两个要点：一是按其正向题型“解不等
式”变化，试解原不等式；二是利用已知的解集（或解集的部分信息）去逆向推测它们与参数的关系。
两个要点结合，就会比较容易找到所求参数的方程
或不等式，从而求出它们的值（或范围）。
【例 3】已知不等式ax2 bx 2 0
（ 1）若不等式的解集为 (
1
,
1
)，求 a b ；
2 3
（2）若不等式的解集为 R，求 a、 b 应满足的
条件。
（1）思路导引：从解集的形式可知：原不等
式必为二次不等式；再从解不等式的角度来看，原
不等式的解集可由方程ax2bx20 的二根来
得出，但二根不方便写出，自然会想到用韦达定理
列式解题。
解析：由题意，方程ax2bx 2 0的二根为1和 1 ，
2 3
a 0
2
4a 2 0
b
所以，
1
1 b
2 3 a
1 1 2
2 3 a
易解得 a 12，b 2 ，
所以， a b 14 。
误区警示：不能遗漏条件b
2 4a 2 0 和
a 0 。
（2 ）思路导引：原不等式ax 2bx 2 0的系数 a、b 范围未定，可能形成二次型、一次型、
常数型三类不等式。因为原不等式的解集为R，故原不等式只能为二次型、常数型不等式。
解析：
1 ）当 a b 0 时，原不等式为
2 0 ，其解集显然为 R，符合题意。
2) 当 a 0 时，因为原不等式解集为R ，所以，a0
b2 4a 2 0
化简得 a 0b 2 8a
。
，且
综上所述， a、b 应满足的条件为： a b 0；或 a 0 b 2 8a
。
且
点评：已知二次不等式的解集求参数值可分为
两种类型：若解集为“两根内外”型，一般用韦达定
理求解；若解集为 R 或φ，则通常用数形结合解
题。
【例
x 2 x 2 0
4】若不等式组
2x 2 (5 2k ) x 5k 0
的整数解只有－2，求实数
思路导引：本题的解题思路与已知不等式的
解集求参数值相似，只是要注意不等式组的解集应
是各个不等式解集的交集。
解析：
x2 x 2 0 (1)
2 x 2 (5 2k ) x 5k 0 (2)
由（ 1）解得 x 2，或 x 1。
由（2）得 (2x 5)( x k) 0 。因为－ 2 是不等式组的解，故 [ 2 ( 2) 5]( 2 k) 0 ，得 k 2 ，
所以k 5
，（ 2）的解为 5 x k 。
2 2
由此可知，原不等式组的解为（Ⅰ）
x 1 x 2
5 ，或 5 。
x k x k
2 2
因为 k 2 ，所以k 2 ，故（Ⅰ）的整数解为－ 2。而原不等式组的整数解只有－2，所以（Ⅱ）应该没有整数解，所以k 3，即 k 3 。
综上所述， 3 k 2 。
【阅卷老师评题】
【例5】(1996年全国高考)解不等式log a (1 1 ) 1.
x
命题目的：本题综合考查了对数不等式、分式
不等式、二次不等式的解法，以及分类讨论的思想
和运算能力。
考情分析：该题本身的能力要求并不高，但在
解答的过程中却多次涉及易错点，故当年考生的得
分率较低，区分度达。
思路导引：因为对数函数的单调性与 a 有关，故应对 a 分类讨论去除对数符号，将原不等式化为
分式不等式，然后再化为整式不等式求解。
解析：（Ⅰ）当 a 1时，原不等式等价于：
1
1
0 (1)
x
1
1
a (2)
x
因 a 1 ，故只需解（ 2）式，由此得
1
1 a(3)
x
因为 1 a 0, 所以 x0, 由（ 3）可得
1
x 0.
1 a
（Ⅱ）当 0 a 1 时，原不等式等价于：
1
1
0 (4)
x
1
1
a (5)
x
由（ 4）得， x 1或x 0,
由（ 5）得，
1
1 a 0 ，故 x 0 ，
x
易解得（ 5）的解为1 1 。
x
1 a
所以1 1 。
x
1 a
综上所述 : 当a 1时，不等式的解集为{ x |
1
0}; 当0 a 1 时，不等式的解集为
x
1 a
{ x | 1 x
1
}.
1 a
点评：解不等式要注意不等式变形的等价性，
对常见的易错点应熟记于心，这样才能有效地避免
错误。此外，在解题时注意充分使用已知条件，常
常会得到简便解法。如解不等式（2）（5）时利用 a 的范围判断出x 的正负后，就能很方便的去分母
k 的取值范围。
了。本题也可由
1
1
0 得出 x 0，或 x 1 后，分
x
x 0 和 x 1 两类解答。
【例 6】（2004 年上海高考） 记函数 f(x)=
x 3 2
1
x 的定义域为 A ， g(x)=lg[( x －a － 1)(2a － x)](a<1) 的 定义域为 B 。
(1) 求 A ；
(2) 若 B A, 求实数 a 的取值范围 .
命题目的 ：本小题主要考查集合的有关概念，考查二次不等式、 分式不等式、 对数不等式的解法，以及分析问题和推理计算能力。
考情分析 ：此题型在各地高考中经常出现。本
题难度较小，得分率较高，但有的考生在求 a 的范围时没充分使用 a 1 的条件，引起解题过程复杂或出错。
解析：（1）由 2－
x 3
≥ 0, 得
x 1
≥ 0,解得
x 1 x 1
x<－ 1 或 x ≥1， 即 A=( －∞,－ 1)∪ [1,+ ）∞
(2) 由 (x － a － 1)(2a － x)>0,
得( x － a －1)( x － 2a)<0.
因为 a<1，所以 a+1>2a ，故 B=(2a,a+1)。 由 B A 知： 2a ≥1或 a+1≤－ 1，
解得 a ≥1
或 a ≤－ 2。
2 因为 a<1, 所以
1
≤a<1 或 a ≤－ 2，
2
故当 B A 时 , 实数 a 的取值范围是 (－ ∞,－
2]∪[ 1
,1) ．
2
【好题优化训练】
基础巩固
1、 x 2
5x 6 x
1 的解集为（ ） （A ） ( ,1) （ B ） (2, ) （C ） [1, 5)
（D ） (
, 5
)
3
3
答案： D
解析 : 取 x 0 可排除 B 、C ；取 x 1可排除 A 。故
选 D 。
2、满足 1 与 1
3 的 x 的取值范围是（ ）
x 2 x
（A ） 1
x
1 （B ） x 1
3
2
2
（C ） x
1 （D ） x
1
，或 x
1
3
2
3
答案： D
解析 : 解不等式组或验证排除。
3、解不等式 2 x 1 x 2 答案： x | 1 5
x
2
解析 : 原不等式等价于（Ⅰ）
2 x 1 0 ，
x 2 0
2x 1 0
或（Ⅱ）
x 2
2x 1 ( x 2) 2
由（Ⅰ）解得 1 x 2 ，
2
由（Ⅱ）解得 2 x
5
1
所以，原不等式的解集为
x |
x 5
。
2
点评：若令
2x 1 t ，则该不等式可化为一个
关于 t 的二次不等式求解。
4、解关于 x 的不等式 ax 2
2(a 1)x 4 0 。
答案：原不等式的解集当 a 0 时，为 x | x 2 ； 当 0 a 1 时，为 x |2 x
2
1 时为 ；当 a
a
φ；当 a 1
时，
为
x |
2 2 ；当 a
0 时，
x
a 为
x | x
2
，或 x 2 。
a
解析 : 原不等式即 ( ax 2)( x 2) 0 ， a 的范围 明显会影响不等式的解集，故需分类讨论：
1）a 0 时，原不等式即 2x 4 0 ，解得 x
2 。
2）0 a 1时，
2
2 ，不等式的解为 2 x 2 。 a a 3） a 1时，原不等式为 ( x 2)
2
， x
。
4） a 1 时， 2
2 ，不等式的解为 2 x 2 。 a a 5）a 0 时，原不等式可化为 ( ax 2)( x 2) 0 ，
易知
2
2 ，所以不等式的解为 x
2
，或 x 2 。
a
a
5、不等式
2x
2
2mx m 1 对一切实数 x 均成立，
4x 2 6x 3
求 m 的取值范围。答案：（1，3）。
解析 : 已知分母恒正，故原不等式可化为：
2 x 2 2mx m 4 x 2
6 x 3 ， 即 2 x 2 (6 2 ) x (3 m ) 0 ，
m 由题意，该式对一切实数 x 恒成立。 所以，
(6 2 ) 2
8( 3
m ) 0
，
m
容易解得 1
m 3 。
技能培训
6、不等式 3x 4 x 3 0 的解集为： _______。
答案： [3 ，＋∞ ) 。
3x 4 0 解析 : 原不等式等价于
x 3 0
，
3x
4
x 3
解得 x 3 。
7、设 f ( x ) x 2
ax 1
。若方程 f ( x) 0 没有正根，
则 a 的取值范围为 ____________。 答案： ( ，2) 。
解析 : 因为方程 f ( x) 0 没有正根，由图
易知；
a 2 4 0
a
，
2
或a 2 4 0 。
解得： a 2 。
8 、若 关 于 x 的 不 等 式
x a 0 的解
x 2 4x
3
是 3 x
1 ，或 x
2 ，则 a 的值为（ ） （A ） 2 （B ） 2
（C ） 1
（D ）
1
2
2
答案： B
解析 : 原不等式即 ( x a)( x 1)( x 3) 0 ，由其
解集易知 a
2 。
9、若 f ( ) ( m 1) 2 ( m 1) x 3( m 1) 0
对于
x x 一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围是（ ） （ A ） (1, )
（B ） ( , 1)
（C ） (
, 13 ) （D ） ( , 13) (1,
)
11
11 答案： C
解析 : 由已知， m 1 0 ， ( m 1) 2
12(m 1)( m 1)
0 解得 x
13
。
11
10、解关于 x 的不等式
a( x
1) 1 ( a 1) 。
x 2
答案：不等式的解集当 a 0 时为 x | a
2
x 2 ；
a 1
当 0
a 1 时为 x | 2 x a 2 ；当 a
0 时为
；
a 1 当 a
1时，为 x | x 2，或 x
a 2 。
a 1
解析 : 原不等式可化为
( a 1) x ( 2 a)
0 ，所
x 2
以 ( x 2)[( a 1) x ( 2 a )] 0 。
（1）当 a
0 时， a 1 0，
a
2
2 ，原不等式的
a 1
解集为 a 2
x 2 ；
x |
1
a
（2）当 0 a 1 时，
a
2 2 ，原不等式的解集为
a 1
x | 2 x
a 2
；
a 1
（ 3）当 a 0 时，原不等式为 0 1，所以 x
；
（ 4）当 a
1 时， a 2
2 ，，所以原不等式的解集为
a 1 x | x 2，或 x a 2 。
a 1
11、某工厂生产商品 M ，若每件定价 80 元，则每年
可销售 80 万件。税务部门对市场销售的商品征收
附加费，为了既增加国家收入又有利于活跃市场，
必须合理确定征收的税率。根据调查分析，若政府
对商品 M 征收的税率为 p ％时，每年销售减少 10p 万件，试问：
（ 1）若税务部门对商品
M 每年所收税金不少
96 万元，求 p 的取值范围。
（ 2）在所收税金不少于 96 万元的前提下，要
让厂家获得最大的销售金额，因如何确定
p 值？
（ 3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定 p 值？
答案：（1） 2 p 6 。（ 2） p 2 。（3） p 4 。
解析 : （1）税率为 p% 时，销售量为 80 10 p 万
件，销售金额为 80(80
10 p ) 万元（ 0 p 8 ）。
由题意易得： 80(80 10 p) p% 96 ，
0 p 8
解得 2
p 6 。
（ 2）销售金额最大即 80( 80 10 p) 最大，由（ 1）可知， 2 p 6 ，所以，当 p 2 时 ，最大销售
金额为 4800 万元。
（ 3）由（1）知易知，销售金额为80(8010 p) ，
故税金为 80(80 10 )
p % 8(
p
4) 2 128
，
p
因为 0 p 8 ，所以， p 4 时，国家所得税金最多，为128 万元。
12、若不等式ax2 bx c 0
的解集为 ( , )，且
0 ，求不等式 cx 2 bx a 0 的解集。
答案：x | x 1
,或 x 1
解析 : 依题意，方程ax2 bx c＝0 的二根为、，故有：
b
( ) 0 (1)
a
c
0 ( 2)
a
所以， b a ( ) ， c a( ) ，
这样即可将不等式cx 2 bx a 0 化为a( ) x 2 a ( ) x a 0 ，
由题意易知 a 0，所以 ( x 1)( x 1) 0 。因为 0 ，所以0 1
1 ，故所求不等式
的解集为x | x 1
，或 x 1 。
13、解不等式2
ax a 2 1 x
(
a 0)
答案：x | x a 2
解析 : 原不等式可化为：
1 x 0 (1) （Ⅰ）
2ax a 2 (1 x) 2 (2) 或（Ⅱ）
1 x 0 (3)
2ax a 2 0 (4) 由（ 1）得x 1
，
由（ 2）得 a 1 2a x a 1 2a ，
由（ 3）得x
1 ，
由（ 4）得 x a
。2
因为 a 0 ，所以 a 1 2 a 1 ；
1）当 0 a 2 时， a 1 2a 1 ，a
1 ，故2
不等式组（Ⅰ）的解为 a 1 2a x 1 ，不等式组（Ⅱ）的解为 x 1 ，此时，原不等式的解为x a 1 2a 。
2）当 a 2 时， a 1 2a 1 ，
a
1 ，此时不
2
等式组（Ⅰ）的解为Φ，不等式组（Ⅱ）的解为
x
a ，原不等式的解为x a 。
2 2
综上所述，原不等式的解集当 0 a 2 时为x | x a 1 2a ，当 a
a
2 时为 x | x。
2 点评：本题也可用图形法求解。
思维拓展
14、k为何值时，方程 x 2 kx k 1
0 的二实根
4
的绝对值都小于1？
答案：
5
2 5
k
8
解析 : 作函数 y f ( x) x 2 kx k 1 。因为
4
方程x 2 kx k 1 0 的二实根的绝对值都小
4
于 1，所以函数图象与x 轴的交点的横坐标在－ 1 与 1 之间（如图）。
分析图形特点可得：
( k ) 2 4(k 1) 0
4
1
k
1
2 1
f (1)
5
4
f ( 1) 2k
5
4
解得
5
k 2 5 。
8
点评：已知一元二次方程的根在某个指定区间内
时，常常数形结合，抓住判别式△、对称轴的位
置以及区间端点的函数值列式解题。
典型例题一 例 1 解不等式：（ 1）2x3 x2 15 x 0 ；（2） ( x 4)( x 5)2 (2 x)3 0 ． 分析：如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f ( x) 0 （或f (x) 0 ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：（ 1）原不等式可化为 x(2x 5)( x 3)0 把方程 x(2 x 5)( x 3) 0 的三个根 x1 0, x2 5 , x3 3顺次标上数轴．然后从右上2 开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为x 5 0或 x 3 x 2 （ 2）原不等式等价于 ( x 4)( x 5)2 (x 2)3 0 x 5 0 x 5 (x 4)( x 2) 0 x 4或 x 2 ∴原不等式解集为x x 5或 5 x 4或x 2 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或 奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图． 典型例题二 例 2 解下列分式不等式： （ 1） 3 1 2 ；（2） x2 4x 1 1 x 2 x 2 3x2 7x 2 分析：当分式不等式化为f (x) 0(或0) 时，要注意它的等价变形g( x)
① f ( x) f ( ) g ( ) 0 g( x) x x ② f ( x) f (x) g(x) f ( x) f ( x ) 0或 ( ) ( ) 0 或 g( x) g (x) 0 g (x) f x g x （ 1）解： 原不等式等价于 3 x 3 x 0 x 2 x 2 x 2 x 2 3( x 2) x( x 2) x 2 5x 6 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) ( x 6)( x 1) 0 (x 6)( x 1)( x 2)(x 2) 0 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 2) 1,2 6, 。 （ 2）解法一 ：原不等式等价于 2x 2 3x 1 0 3x 2 7x 2 (2x 2 3x 1)(3x 2 7 x 2) 0 2x 2 3x 1 0 2x 2 3x 1 3x 2 7x 2 或 3x 2 7x 2 1 或 1 x 或 x 2 x 2 1 3 ∴原不等式解集为 ( , 1 ) ( 1 ,1) (2, ) 。 3 2 解法二：原不等式等价于 ( 2x 1)( x 1) 0 (3x 1)( x 2) (2x 1)( x 1)(3x 1) (x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 1) ( 1 ,1) (2, ) 3 2 典型例题三 例 3 解不等式 x 2 4 x 2
辅导教案
18、已知实数x ，y 满足x 2+y 2－4x －2y+5=0，则32x y y x +-的值为________ 19、计算：（318+ 151504)322-÷= 20、如果 ，则=_______. 21、若 互为相反数，则_______。 22、将 根号外的a 移到根号内，得 __________ 23、在实数范围内分解因式 （1） ； （2） 24、 的整数部分是_________，小数部分是________。 25、 若 =3，则x 的取值范围是______ 26、 观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证： .
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 4 15 的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程. 27、已知，则a_________ 28、已知，则a______ 29、二次根式、、的大小关系是______ 30、当0 35、如果xy= ，x －y=5－1，那么（x+1）（x －1）的值为________。 36、若m 为正实数，且13m m - =，221m m -则= 37、若a<－2， 的化简结果是________ 38、已知x=2+1，求（ 22121x x x x x x +---+）÷1x 的值． 39、对于题目“化简求值：1a +2212a a +-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是：1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +1a －a=2495 a a -= 乙的解答是： 1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？ 40、已知x =12，x=________ 41、化简 = 42、已知三个数x ，y ，z 满足xy x y +＝－2，yz y z +＝43，zx z x +＝－43 ．则xyz xy yz zx ++的值为 . 分式练习题 1. （2013年天津市3分）若x=－1，y=2，则 222x 1x 64y x 8y ---的值等于【 】 A ．117- B ．117 C ．116 D ．115 2. （2013年内蒙古包头3分）函数1y x 1=+中，自变量x 的取值范围是【 】 A ．x ＞﹣1 B ．x ＜﹣1 C ．x ≠﹣1 D ．x ≠0 3. （2013年广东深圳3分）分式2x 4x 2 -+的值为0，则【 】 A.x=－2 B. x=±2 C. x=2 D. x=0 4. （2013年湖南娄底3分）有意义的x 的取值范围是【 】 A ．1x 2≥-且x≠1 B ．x≠1 C ．1x 2 ≥- D ．1x>2-且x≠1 5. （2013年湖北襄阳3分）有意义的x 的取值范围是 ． 6. （2013年重庆市B10分）先化简，再求值：2x 2x 1x 4x x 2x 4x 4+--??-÷ ?--+??，其中x 是不等式3x 71>+的负整数解。 7. （2013年贵州贵阳6分）先化简，再求值：22312x x x 1x x 2x 1 -??-÷ ?+++??，其中x=1． 8 （2013年黑龙江牡丹江农垦5分）先化简：24x 4x 4x x x ++??-÷ ?? ?，若﹣2≤x≤2，请你选择一个恰当的x 值（x 是整数）代入求值． 二次根式练习题 1.（2013年上海市4分）下列式子中，属于最简二次根式的是【】 （A）（B（C）（D 2.（2013年广东珠海3分）实数4的算术平方根是【】 A．－2 B．2 C．±2 D．±4 3.（2013年广西贺州3分）1的值在【】 A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间 4.（2013年广西崇左3分）下列根式中，与是同类二次根式的是【】 A B C D 5.（2013年湖北武汉3分）x的取值范围是【】A．x<1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x<－1 6.（2013年湖北荆州3分）计算】 A B C D 7.（2013年海南省3分）】 A B．C．D．2 8.（2013年山东临沂3分）】 A．B C．D 9. （2013年湖南常德3分）】 A．﹣1 B．1 C．4-D．7 10.（2013年湖北襄阳3分）有意义的x的取值范围是． 11.（2013年江苏宿迁3分）+的值是． 12.（2013年内蒙古包头3分）=． 分式和二次根式专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。 ２、当＿＿＿＿时，有意义。 ３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2－xy)÷＝＿＿＿＿。 ５、分式，，的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：2＿＿＿＿3。 ７、已知＝，则的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、 ２、对于分式总有（ ） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝ ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ４、可以与合并的二次根式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2 x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3bc a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.5213 (2－x)2(x －3)231－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112(x －1)21x －111－x 27x 2＋112a 2b 1827613 8y y ５、如果分式中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋ ４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、－＋ ２、÷(x ＋1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋22x 84 21223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2x －120＋5 51 312a b 2 a a 5 b 31 ab 4ab y 巧用两根式证明不等式 以二次函数及一元二次方程的两根满足条件为背景的不等式证明题，在全国高考和一些省市高考中都出现过，在各地模拟试题也屡见不鲜，这些题目的特点是：方法独特，变形技巧多，变换方法灵活，要求学生有较强的思维转换能力和运算能力，难度大，在此将对一些典型题的解法作讲析。 【例1】（97全国）设二次函数)0(2)(>++=a c bx ax f x ， 方程0)(=-x x f 的两个根21,x x 满足a x x 102 1<<<． (1) 当),0(1x x ∈时，证明；1)(x f x x <<; (2)设函数 )(x f 的图象关于直线x =x 0对称，证明2 10x x < ． 简析：从本题条件易联想到一元二次方程的实根分布和根与系数的关系，难达到证明的目的。 【解答】(1) 设f (x )－x =ax 2+(b －1)x +c =a (x －x 1)(x －x 2) ∴ f (x )=a (x －x 1)(x －x 2)+x ∵ a x x x 1 021< <<<． ∴ x －x 1<0, x －x 2<0, a >0且ax 2<1 ∴ f (x )－x >0 ∴f (x )>x 又 f (x )－x 1=a (x －x 1)(x －x 2)+ x －x 1=(x －x 1)(ax －ax 2+1) ∵ ax 2<1 ∴－ax 2+1>0 ∴ax －ax 2+1>0 又 x －x 1<0 ∴f (x )－x 1<0 ∴f (x ) 中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算错误！未找到引用源。±错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 1、整式的概念和指数： 与 统称为整式。 单项式包括： 、 、 ； 一个单项式中所有字母的 叫做这个单项式的次数。 多项式：几个单项式的代数和多项式。 单项式中次数最 的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义： 一般地，形如式子B A ，且 B ≠0叫做分式。 （1）、分式有意义的条件： （2）、分式无意义的条件： （3）、分式为0的条件： （4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时 （一个不等于0）的整式，分式的值不变。 （5）、约分： （6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。 （7）、通分： （8）、最简公分母： （9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义： （1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 （2）、二次根式有意义的条件： 二次根式无意义的条件： （3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0); a 2=a =?????<-=>)0()0(0)0(a a a a a a b =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。 （4）、最简二次根式： 中不含二次根式； 被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 （5）、 同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。 知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项： （2）、合并同类项法则： （3）、去括号法则： （4）、整式的加减的实质就是合并同类项。 （二）、整式的乘除 （1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. （2）、幂的乘方与积的乘方：(a m )n = ，底数不变，指数相乘； （3）、(ab)n = ，积的乘方等于各因式乘方的积. （4）、单项式的乘法：系数相乘，相同字母 ，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里. （5）、单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)= ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数 表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入． 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号． 整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如： 知识点大全 2. 代数式（分类） 2.1. 整式（包含题目总数：15） 001020； 001030； 001040； 001050； 001070； 001110； 001130； 001140； 001150； 001160； 001170； 001180； 001200； 001220； 001230； 2.1.1. 整式的有关概念 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如： b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 23 13-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的 项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 知识点大全 注意： (1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入． (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入． 2.1.2. 同类项、合并同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意： (1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 2.1. 3. 去括号法则 去括号法则1：括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2 12+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 8 41-. ∴ 原函数的最小值为841- . 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 图1 例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。 例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值. 分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为： y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。 解： 106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化 为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的 距离之和最小。如图3，易求得点A 关于x 轴 的对称点A / 的坐标为（0, －2），则： B A BP P A BP AP //=+=+即为最小. ∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y . 评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重 要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易 图2 图3 分式和二次根式 (三) （分式和二次根式） 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式x 2 x －3 有意义。 ２、当＿＿＿＿时，a －2有意义。 ３、运算：a 2 a －1 －a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2－xy)÷x －y xy ＝＿＿＿＿。 ５、分式b 2a 2，4a 3bc ，a 5c 2的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：23＿＿＿＿32。 ７、已知x ＋2y 2y ＝ 5 2，则x ＋y y 的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式x ＋1和y 3是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照20.5＝22·0.5＝4×0.5＝2的做法，化简3 1 3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，(2－x)2－(x －3)2 ＝＿＿＿＿。 11、若3的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝1－x ＋x －1＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、x －y 2 B 、2 x ＋y C 、12x ＋ D 、x 2 ２、关于分式1 x －1总有（ ） A 、1 x －1＝x －1(x －1)2 B 、1x －1＝x ＋1x 2－1 C 、1x －1＝12(x －1)2 D 、1x －1＝11－x ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、27 B 、x 2＋1 C 、1 2 D 、a 2b ４、能够与18合并的二次根式是（ ） A 、27 B 、6 C 、1 3 D 、8 ５、假如分式 2x x ＋y 中的 x 和 都扩大为原先的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜x 2－x ｜等于（ ） y y y 教学过程 一、新课导入 初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法. 二、复习预习 1.不等式的定义. 2.不等式的基本性质. 3.不等式的基本定理及推论. 4.一元二次不等式解法. 5.分式不等式解法. 6.高次不等式解法. 7.无理不等式解法. 8.指对数不等式解法. 三、知识讲解 考点1 不等式的定义及比较大小 1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≦）、≤（≧）、≠． （2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：a >b b a ? > - b a =b a ? = - a b 考点2 不等式的基本性质 定理1如果a>b ，那么bb ．(对称性) 即：a>b ?bb 定理2如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性) 即a>b ，b>c ?a>c 定理3如果a>b ，那么a+c>b+c ． 即a>b ?a+c>b+c 推论如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． 定理4如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ； 如果a>b ，且c<0，那么ac 中考总复习：分式与二次根式 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零， 否则分式没有意义. 2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等； 第五章整式、分式、二次根式的知识梳理 1、整式的概念和指数： 与统称为整式。 单项式包括：、、； 一个单项式中所有字母的叫做这个单项式的次数。多项式：几个单项式的代数和多项式。 单项式中次数最的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义： A，且B≠0叫做分式。 一般地，形如式子 B （1）、分式有意义的条件： （2）、分式无意义的条件： （3）、分式为0的条件： （4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时（一个不等于0）的整式，分式的值不变。 （5）、约分： （6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。 （7）、通分： （8）、最简公分母： （9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义： （1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 （2）、二次根式有意义的条件： 二次根式无意义的条件： （3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0); a 2=a =?? ???<-=>)0()0(0)0(a a a a a ab =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。 （4）、最简二次根式： 中不含二次根式； 被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 （5）、 同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。 知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项： （2）、合并同类项法则： （3）、去括号法则： （4）、整式的加减的实质就是合并同类项。 （二）、整式的乘除 （1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. 常见不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时，不等式的解集为b x x a ??> ????；当0a <时，不等式的解集为b x x a ? ? < ???? . 二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法 1、二次不等式2 ()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 （1）不要把不等式2 0ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. （3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? ②当01a <<时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>?? 分式及二次根式运算 一、知识点梳理 1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称 A B 为分式．若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B ＝0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 . 3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分. 5．分式的运算 ⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： . ② 异分母的分式相加减： . ⑵ 乘法法则： .乘方法则： . ⑶ 除法法则： . 6．二次根式的有关概念 ⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ．并且根式. ⑵ 最简二次根式：被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式． 7．二次根式的性质 ⑴ a 0； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ； ⑷ =ab （0,0≥≥b a ）； ⑸=b a （0,0>≥b a ）. 8．二次根式的运算 (1) 二次根式的加减： ①先把各个二次根式化成 ； ②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变. （2）二次根式的乘法、除法公式： （1）a b=ab a 0b 0?≥≥（，） （2）a a =a 0b 0b b ≥f （，） 9．二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 三、【典例精析、发散思维】 例1（1） 当x 时，分式x -13无意义；（2）当x 时，分式3 92--x x 的值为零. 例2 ⑴ 已知 31=-x x ，则221x x + ＝ . ⑵ 已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y ----的值为 . 例3 先化简，再求值： 不等式解法15种典型例题 典型例题一 例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 3 整式与分解因式 【知识梳理】 1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数） ；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1 = -（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法: (1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. (3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式. (5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即2 2))((b a b a b a -=-+； (6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2 222)(b ab a b a +±=± 3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 4.分解因式的方法： ⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=± 5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区： ⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等 【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ） A. a ＋2a=3a 2 B. 3a －2a=a C. a 2?a 3=a 6 D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的 结果是（ ） A ．m B ．m C ．m +1 D ．m -1 【例3】若2 320a a --=，则2 526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( ) A ．2 2 ()()x y x y x y -=+- B ．22 69(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+ D ．2 2 2 ()x y x y +=+ 【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一 2019届中考总复习：分式与二次根式—知识讲解 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则 分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可 不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．分式与二次根式练习题
分式和二次根式专题训练
巧用两根式证明不等式
中考总复习：分式与二次根式—知识讲解(提高)与例题讲解
整式、分式、二次根式的性质和概念
整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧
中考数学代数式整式分式二次根式知识点
含根式函数值域的求法
分式和二次根式
不等式的基本性质及解法
中考总复习：分式与二次根式
整式、分式、二次根式的性质和概念;
常见不等式的解法
分式及二次根式运算
不等式解法15种典型例题
(二)整式、分式、二次根式
2019届中考数学总复习：分式与二次根式
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