§ 不等式的
解法（一）
【一线名师精讲】
基础知识串讲
解不等式的基本原则：
1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。
2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：
(一)、整式不等式的解法 1、一元一次不等式
标准形式：b ax >或)0(≠ 解法要点：在不等式的两端同时除以a 后，若0 2、一元二次不等式 标准形式：02>++c bx ax 或02<++c bx ax （其中0>a ）。 解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求方程02=++c bx ax 的根。 （3）写解：根据方程02=++c bx ax 根的情况写出对应不等式的解集。当两根明确时，可由“大于0，两根外；小于0，两根内”的口诀写解，当0≤?时，则可由函数c bx ax y ++=2的草图写解。 3、一元高次不等式（可分解因式型） 标准形式：0)())((21>---n x x x x x x a Λ或 0)())((21<---n x x x x x x a Λ()0>a 。 解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求出对应方程的根。 （3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。即“奇过偶不过”。 （4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为 0)())((21>---n x x x x x x a Λ的解，数轴下方所对应曲线的区间为0 )())((21<---n x x x x x x a Λ的解。 （二）、分式不等式的解法 标准形式： 0)()(>x f x g ，或0) () ( （三）、根式不等式的解法 标准形式：)()(x g x f >； )()(x g x f >； 以及 )()(x g x f <。 解法要点：解根式不等式的关键是去根号，应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条件这两大要点进行等价变换： ??? ??>≥≥?>) ()(0 )(0 )()()(2 x g x f x f x g x g x f 或???≥<0)(0)(x f x g 基本题型指要 【例1】 解下列不等式或不等式组： （1）?????+<<-+220)1)(3(2 x x x x （2）0)4)(2()3(2≤-+-x x x （3） x x x x x <-+-+2 22322 （4）02)1(2≥---x x x （1）思路导引：按规范化程序操作，化为标准形式后求解，可以有效的防止错误。 解析：将0)1)(3(<-+x x 化为标准形式 0)1)(3(>-+x x ，易得：1,3>- 由222+ {}13|>- （2）解析：由已知，0)4)(2()3(2≥-+-x x x ， 用数轴穿根法易得原不等式的解集为： 误区警示：若不化为标准形式求解，易将解集错写为{}42|≤≤-x x 。另外，建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉 3=x 这类解。 （3）思路导引：解分式不等式的关键是去分母。但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法较好。 解析：将 x x x x x <-+-+2 22322化为标准形式，得：0) 1)(3() 1)(2(2>+-++-x x x x x ， 因为012>++x x 恒成立，所以，0) 1)(3() 2(>+--x x x 。 用数轴穿根法易得原不等式的解集为： {}321|><<-x x x 或，。 （4）思路导引：解根式不等式关键是抓住乘方的条件，对原不等式实施等价转换，去除根号。 解析：原不等式等价于： 02)1(2 >---x x x (1) 或02)1(2=---x x x (2) 由（1）得：?? ???>->--010 22x x x ，解得2>x ； 由（2）得12-==x x ，或。 所以，原不等式的解集为{}12|-=≥x x x ，或。 误区警示：请找出下面解法的错误： 由022≥--x x ，得01≥-x ，所以，原不等式的解为1≥x 。 点评：解等式与不等式的混合型不等式，最好将等式与不等式分开求解，以避免错误。 不少同学都怕解含参数的不等式，究其原因，关键是没有把握住解题技巧。其实，解含有参数的不等式在总思路上与解普通不等式完全相同，当参数不影响式子的变形时，与解普通不等式没有差异，在参数影响式子的变形时，就需弄清参数的取值范围或者予以分类讨论，才能顺利的解出不等式。 【例2】解下列关于x 的不等式： （1）02>+ax （2）x t tx )2(22+>+ （3）)1,0(1log 22log 3≠>-<-a a x x a a （1）思路导引：本题在求解x 时必须去除系 数a ，由于a 的范围不明，无法直接变形，若将a 按变形的要求分为正、负、零三类，则在每一小类中式子就能顺利变形了。 解析：由已知，2->ax 。 ①、当0>a 时，a x 2- >； ②、当0 x 2- <； ③、当0=a 时，20->恒成立，R x ∈ 。 故，原不等式解集当0>a 时为???? ?? ->a x x 2|， 当0 ?? - （2）思路导引：解含参数的二次不等式通常是在以下三个地方实施分类讨论：一是平方项系数有参数时需分正、负、零讨论，二是判别式△有参数时的需分正、负、零讨论，三是两根有参数时需根据他们的大小关系分类讨论。 本题中的不等式即0)2)(1(>--tx x ，在求解过程中参数会在两个地方影响式子变形：一是平方项系数t 的正、负、零，二是对应的二次方程的根1与 t 2 是否存在、谁大谁小。此时，同一字母t 形成了不同的分类，可将t 在0、2处分段统筹安排进行分类（如图）。 解析：原不等式即0)2)(1(>--tx x 。 ① 当0 12 < 。 ② 当0=t 时，原不等式即022>+-x ，所以 1 ③ 当20< >t ，可得，1 x 2> 或。 ④ 当2=t 时，原不等式即0)1(22>-x ，所 以1≠∈x R x ，且。 ⑤ 当2>t 时，易知 12 x 2 < 1>x 或。 综上所述，原不等式的解集当0 ?? ???<<12|x t x ；当0=t 时，为{}1| 20< > 为 {} 1|≠∈x R x x ，且；当2>t 时，为 ? ?? ???><12|x t x x ，或。 误区警示：本题易漏掉20==t t 和两种特殊情况的讨论。另外，在0 ?? ???><12|x t x x ，或。 （3）思路导引：本题关键是抓住根式不等式的解题特点，对不等式进行乘方处理，去除根号。若令t x a =log 进行换元，会使书写变得更简便。 解析：按根式不等式的解题思路，易知原不等 式等价于?? ? ??>--<-≥-) 3(01log 2)2()1log 2(2log 3)1(02log 32ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛx x x x a a a a 由(1)得,3 2 log ≥x a 由(2)得,1log ,4 3 log > 1log >x a 由此得 ,1log ,4 3 log 32><≤x x a a 或 当1>a 时，易求得原不等式的解集为 }|{43 3 2 a x a x a x >< ≤，或； 当10< }0|{32 43 a x a x a x << ≤ <，或。 误区警示：在乘方去除根号的过程中，要注意不等式乘方的条件以及根号内式子的取值范围，保证不等式的变形为等价变形。 点评：从本例的解答过程可以看出，解含参数的不等式关键是抓住以下两个要点来处理不等式中的参数：一是由“参数是否影响不等式变形”来确定该不该对参数进行分类讨论，二是由“参数是怎样影响不等式变形” 来确定怎样对参数进行分类讨论。 已知不等式的解集求参数值（或范围）是一类很常见也很重要的题型。由于该题型解法较为灵活，我们在解题时若不能把握住它的解题规律，往往会觉得变化莫测而无可适从。解答本题型关键是 要抓住以下两个要点：一是按其正向题型“解不等式”变化，试解原不等式；二是利用已知的解集（或解集的部分信息）去逆向推测它们与参数的关系。两个要点结合，就会比较容易找到所求参数的方程或不等式，从而求出它们的值（或范围）。 【例3】已知不等式022>++bx ax （1）若不等式的解集为(3 1 ,21-)，求b a +； （2）若不等式的解集为R ，求b a 、应满足的条件。 （1）思路导引：从解集的形式可知：原不等式必为二次不等式；再从解不等式的角度来看，原不等式的解集可由方程022=++bx ax 的二根来得出，但二根不方便写出，自然会想到用韦达定理列式解题。 解析：由题意，方程022=++bx ax 的二根为3 1 21和- ， 所以，????? ????=?--=+->?- a b a b a 231213 1210240 2 易解得212-=-=b a ，， 所以，14-=+b a 。 误区警示：不能遗漏条件0242>?-a b 和 0 （2）思路导引：原不等式022>++bx ax 的系数b a 、范围未定，可能形成二次型、一次型、常数型三类不等式。因为原不等式的解集为R ，故原不等式只能为二次型、常数型不等式。 解析： 1）当0==b a 时， 原不等式为02>，其解集显然为R ，符合题意。 2)当0≠a 时，因为原不等式解集为R ，所以， ?? ???0240 2 a b a 化简得a b a 802<>，且。 综上所述，b a 、应满足的条件为：0==b a ；或a b a 802<>且。 点评： 已知二次不等式的解集求参数值可分为两种类型：若解集为“两根内外”型，一般用韦达定理求解；若解集为R 或φ，则通常用数形结合 解题。 【例4】若不等式组???? ?<+++>--0 5)25(20 222k x k x x x 的整数解只有－2，求实数k 的取值范围。 思路导引：本题的解题思路与已知不等式的解集求参数值相似，只是要注意不等式组的解集应是各个不等式解集的交集。 解析： ?? ???<+++>--)2(05)25(2) 1(0222ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛk x k x x x 由（1）解得12-<>x x ，或。 由（2）得0))(52(<++k x x 。因为－2是不等式组的解，故0)2](5)2(2[<+-+-?k ，得 2 >-k ，（2）的解为k x -<<-2 5。 由此可知，原不等式组的解为（Ⅰ）?????-<<-- 1，或??? ??-<<->k x x 2 52 。 因为2 综上所述，23<≤-k 。 【阅卷老师评题】 【例5】(1996年全国高考)解不等式.1)1 1(log >-x a 命题目的：本题综合考查了对数不等式、分式不等式、二次不等式的解法，以及分类讨论的思想和运算能力。 考情分析：该题本身的能力要求并不高，但在解答的过程中却多次涉及易错点，故当年考生的得分率较低，区分度达。 思路导引：因为对数函数的单调性与a 有关，故应对a 分类讨论去除对数符号，将原不等式化为分式不等式，然后再化为整式不等式求解。 解析：（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于： 因1>a ，故只需解（2）式，由此得 因为,01<-a 所以,0 011 >->a x ，故0>x ， 易解得（5）的解为a x -<<11 1。 所以a x -< <11 1。 综上所述:当1>a 时，不等式的解集为 };011 | {<<-x a x 当10< 1|{a x x -< < 点评：解不等式要注意不等式变形的等价性，对常见的易错点应熟记于心，这样才能有效地避免错误。此外，在解题时注意充分使用已知条件，常常会得到简便解法。如解不等式（2）（5）时利用a 的范围判断出x 的正负后，就能很方便的去分母了。本题也可由01 1>- x 得出10> 【例6】（2004年上海高考）记函数f(x)=1 3 2++- x x 的定义域为A ，g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B 。 (1) 求A ； (2) 若B ?A, 求实数a 的取值范围. 命题目的：本小题主要考查集合的有关概念， 考查二次不等式、分式不等式、对数不等式的解法，以及分析问题和推理计算能力。 考情分析：此题型在各地高考中经常出现。本题难度较小，得分率较高，但有的考生在求a 的范围时没充分使用1>a 的条件，引起解题过程复杂或出错。 解析：（1）由2－ 13++x x ≥0, 得1 1 +-x x ≥0, 解得 x <－1或x ≥1， 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞） (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0. 因为a <1，所以a +1>2a ，故B=(2a ,a +1)。 由B ?A 知：2a ≥1或a +1≤－1， 解得a ≥ 2 1 或a ≤－2。 因为a <1, 所以 2 1 ≤a <1或a ≤－2， 故当A B ?时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[ 2 1 ,1) ． 【好题优化训练】 基础巩固 1、1652->+-x x x 的解集为（ ） （A ）)1,(-∞ （B ）),2(+∞ （C ）)35,1[ （D ）)3 5 ,(-∞ 答案：D 解析:取0=x 可排除B 、C ；取1=x 可排除A 。故选D 。 2、满足31 21-> 2131< 1>x （C ）31- 1 21-<>x x ，或 答案：D 解析:解不等式组或验证排除。 3、解不等式212->-x x 答案：? ?? ???<≤521|x x 解析:原不等式等价于（Ⅰ）???<-≥-020 12x x ， 或（Ⅱ）??? ??->-≥-≥-2)2(12020 12x x x x 由（Ⅰ）解得 22 1 <≤x ， 由（Ⅱ）解得52<≤x 所以，原不等式的解集为??? ???<≤521|x x 。 点评：若令t x =-12，则该不等式可化为一个关于t 的二次不等式求解。 4、解关于x 的不等式04)1(22<++-x a ax 。 答案：原不等式的解集当0=a 时，为{}2|>x x ； 当10< ?? ??? < ???<<22|x a x ；当0 为? ?? ???><22|x a x x ，或。 解析: 原不等式即0)2)(2(<--x ax ，a 的范围 明显会影响不等式的解集，故需分类讨论： 1）0=a 时，原不等式即042<+-x ，解得2>x 。 2）10<a ，不等式的解为a x 2 2<<。 3）1=a 时，原不等式为0)2(2<-x ，Φ∈x 。 4）1>a 时， 22 < 。 5）0-+-x ax ， 易知 22 > 13 642222<++++x x m mx x 对一切实数x 均成立， 求m 的取值范围。 答案：（1，3）。 解析:已知分母恒正，故原不等式可化为： 3642222++<++x x m mx x ， 即0)3()26(22>-+-+m x m x ， 由题意，该式对一切实数x 恒成立。 所以，0)3(8)26(2<---=?m m ， 容易解得31< 技能培训 6、不等式0343>---x x 的解集为：_______。 答案：[3，＋∞)。 解析:原不等式等价于??? ??->-≥-≥-343030 43x x x x ， 解得3≥x 。 7、设1)(2+-=ax x x f 。若方程0)(=x f 没有正根，则a 的取值范围为____________。 答案：)2(，-∞。 解析:因为方程0)(=x f 没有正根，由图 易知；??? ??<≥-=?02 42a a ， 或042<-=?a 。 解得：2 03 42>+++x x a x 的解 是13-<<-x ，或2>x ，则a 的值为（ ） （A ）2 （B ）2- （C ） 2 1 （D ）21- 答案：B 解析:原不等式即0)3)(1)((>+++x x a x ，由其解集易知2-=a 。 9、若0)1(3)1()1()(2<-+--+=m x m x m x f 对于 一切实数x 恒成立，则m 的取值范围是（ ） （A ）),1(+∞ （B ）)1,(--∞ （C ）)1113,(--∞ （D ）),1()11 13 ,(+∞--∞Y 答案：C 解析:由已知，?????<-+--<+0)1)(1(12)1(0 12 m m m m ，解得11 13- )1(12 ) 1(≠>--a x x a 。 答案：不等式的解集当0 ?? ???<<--212|x a a x ； 当10< ?? ? ?? --< < 122|a a x x ；当0=a 时为Φ；当1>a 时，为?????? --<>122|a a x x x ，或。 解析: 原不等式可化为 02 ) 2()1(>--+-x a x a ，所 以0)]2()1)[(2(>-+--a x a x 。 （1）当0 2 01<--<-a a a ， ，原不等式的解集为? ?????<<--212|x a a x ； （2）当10< 21 2 >--a a ，原不等式的解集为???? ?? --<<122|a a x x ； （3）当0=a 时，原不等式为10>，所以∈x Φ； （4）当1>a 时， 21 2 <--a a ，，所以原不等式的解集为???? ?? --<>122|a a x x x ，或。 11、某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件。税务部门对市场销售的商品征收附加费，为了既增加国家收入又有利于活跃市场，必须合理确定征收的税率。根据调查分析，若政府对商品M 征收的税率为p ％时，每年销售减少10p 万件，试问： （1）若税务部门对商品M 每年所收税金不少 96万元，求p 的取值范围。 （2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，因如何确定p 值 （3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定p 值 答案：（1）62≤≤p 。（2）2=p 。（3）4=p 。 解析: （1）税率为%p 时，销售量为p 1080-万件，销售金额为)1080(80p -万元（80< 由题意易得：???<<≥?-8096 %)1080(80p p p ， 解得62≤≤p 。 （2）销售金额最大即)1080(80p -最大，由（1）可知，62≤≤p ，所以，当2=p 时 ，最大销售金额为4800万元。 （3）由（1）知易知，销售金额为)1080(80p -，故税金为128)4(8%)1080(802+--=?-p p p ， 因为80< 12、若不等式02>++c bx ax 的解集为),(βα，且 βα<<0，求不等式02<++a bx cx 的解集。 答案：??? ? ??><αβ1,1|x x x 或 解析:依题意，方程02＝c bx ax ++的二根为 βα、，故有： 所以，)(βα+-=a b ，)(αβa c =， 这样即可将不等式02<++a bx cx 化为 0)()(2<++-a x a x a βααβ， 由题意易知0--x x βα。 因为βα<<0，所以α β 1 1 0< < ，故所求不等式 的解集为??? ???><αβ11|x x x ，或。 13、解不等式)0(122>->-a x a ax 答案：?????? ≥2|a x x 解析:原不等式可化为： （Ⅰ）?????->-≥-)2()1(2) 1(012 2ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛx a ax x 或（Ⅱ）?????≥-<-)4(02) 3(012 ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛa ax x 由（1）得1≤x ， 由（2）得a a x a a 2121++<<-+， 由（3）得1>x ， 由（4）得2 a x ≥ 。 因为0>a ，所以121>++a a ； 1）当20≤ 12 ≤a ，故不等式组（Ⅰ）的解为121≤<-+x a a ，不等式组（Ⅱ）的解为1>x ，此时，原不等式的解为 a a x 21-+>。 2）当2>a 时，121>-+a a ， 12 >a ，此时不等式组（Ⅰ）的解为Φ，不等式组（Ⅱ）的解为2a x ≥ ，原不等式的解为2 a x ≥。 综上所述，原不等式的解集当20≤ {}a a x x 21|-+>，当2>a 时为??????≥2|a x x 。 点评：本题也可用图形法求解。 思维拓展 14、k 为何值时，方程04 1 2=++-k kx x 的二实根的绝对值都小于1 答案： 528 5 -≤<- k 解析: 作函数41 )(2++-==k kx x x f y 。因为方程04 1 2=+ +-k kx x 的二实根的绝对值都小于1，所以函数图象与x 轴的交点的横坐标在－1与1之间（如图 ）。 分析图形特点可得： 解得528 5 -≤<- k 。 点评：已知一元二次方程的根在某个指定区间内时，常常数形结合，抓住判别式△、对称轴的位置以及区间端点的函数值列式解题。 课 题：分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等 式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4 ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 典型例题一 例 1 解不等式：（ 1）2x3 x2 15 x 0 ；（2） ( x 4)( x 5)2 (2 x)3 0 ． 分析：如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f ( x) 0 （或f (x) 0 ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：（ 1）原不等式可化为 x(2x 5)( x 3)0 把方程 x(2 x 5)( x 3) 0 的三个根 x1 0, x2 5 , x3 3顺次标上数轴．然后从右上2 开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为x 5 0或 x 3 x 2 （ 2）原不等式等价于 ( x 4)( x 5)2 (x 2)3 0 x 5 0 x 5 (x 4)( x 2) 0 x 4或 x 2 ∴原不等式解集为x x 5或 5 x 4或x 2 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或 奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图． 典型例题二 例 2 解下列分式不等式： （ 1） 3 1 2 ；（2） x2 4x 1 1 x 2 x 2 3x2 7x 2 分析：当分式不等式化为f (x) 0(或0) 时，要注意它的等价变形g( x) ① f ( x) f ( ) g ( ) 0 g( x) x x ② f ( x) f (x) g(x) f ( x) f ( x ) 0或 ( ) ( ) 0 或 g( x) g (x) 0 g (x) f x g x （ 1）解： 原不等式等价于 3 x 3 x 0 x 2 x 2 x 2 x 2 3( x 2) x( x 2) x 2 5x 6 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) ( x 6)( x 1) 0 (x 6)( x 1)( x 2)(x 2) 0 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 2) 1,2 6, 。 （ 2）解法一 ：原不等式等价于 2x 2 3x 1 0 3x 2 7x 2 (2x 2 3x 1)(3x 2 7 x 2) 0 2x 2 3x 1 0 2x 2 3x 1 3x 2 7x 2 或 3x 2 7x 2 1 或 1 x 或 x 2 x 2 1 3 ∴原不等式解集为 ( , 1 ) ( 1 ,1) (2, ) 。 3 2 解法二：原不等式等价于 ( 2x 1)( x 1) 0 (3x 1)( x 2) (2x 1)( x 1)(3x 1) (x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 1) ( 1 ,1) (2, ) 3 2 典型例题三 例 3 解不等式 x 2 4 x 2 分式练习题 1. （2013年天津市3分）若x=－1，y=2，则 222x 1x 64y x 8y ---的值等于【 】 A ．117- B ．117 C ．116 D ．115 2. （2013年内蒙古包头3分）函数1y x 1=+中，自变量x 的取值范围是【 】 A ．x ＞﹣1 B ．x ＜﹣1 C ．x ≠﹣1 D ．x ≠0 3. （2013年广东深圳3分）分式2x 4x 2 -+的值为0，则【 】 A.x=－2 B. x=±2 C. x=2 D. x=0 4. （2013年湖南娄底3分）有意义的x 的取值范围是【 】 A ．1x 2≥-且x≠1 B ．x≠1 C ．1x 2 ≥- D ．1x>2-且x≠1 5. （2013年湖北襄阳3分）有意义的x 的取值范围是 ． 6. （2013年重庆市B10分）先化简，再求值：2x 2x 1x 4x x 2x 4x 4+--??-÷ ?--+??，其中x 是不等式3x 71>+的负整数解。 7. （2013年贵州贵阳6分）先化简，再求值：22312x x x 1x x 2x 1 -??-÷ ?+++??，其中x=1． 8 （2013年黑龙江牡丹江农垦5分）先化简：24x 4x 4x x x ++??-÷ ?? ?，若﹣2≤x≤2，请你选择一个恰当的x 值（x 是整数）代入求值． 二次根式练习题 1.（2013年上海市4分）下列式子中，属于最简二次根式的是【】 （A）（B（C）（D 2.（2013年广东珠海3分）实数4的算术平方根是【】 A．－2 B．2 C．±2 D．±4 3.（2013年广西贺州3分）1的值在【】 A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间 4.（2013年广西崇左3分）下列根式中，与是同类二次根式的是【】 A B C D 5.（2013年湖北武汉3分）x的取值范围是【】A．x<1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x<－1 6.（2013年湖北荆州3分）计算】 A B C D 7.（2013年海南省3分）】 A B．C．D．2 8.（2013年山东临沂3分）】 A．B C．D 9. （2013年湖南常德3分）】 A．﹣1 B．1 C．4-D．7 10.（2013年湖北襄阳3分）有意义的x的取值范围是． 11.（2013年江苏宿迁3分）+的值是． 12.（2013年内蒙古包头3分）=． 一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法） 利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 分解因式； 3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取 的根打实心点，不能去的打空心）； 4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)； 一元二次不等式解法步骤： 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断?，当0?≥时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -< 巧用两根式证明不等式 以二次函数及一元二次方程的两根满足条件为背景的不等式证明题，在全国高考和一些省市高考中都出现过，在各地模拟试题也屡见不鲜，这些题目的特点是：方法独特，变形技巧多，变换方法灵活，要求学生有较强的思维转换能力和运算能力，难度大，在此将对一些典型题的解法作讲析。 【例1】（97全国）设二次函数)0(2)(>++=a c bx ax f x ， 方程0)(=-x x f 的两个根21,x x 满足a x x 102 1<<<． (1) 当),0(1x x ∈时，证明；1)(x f x x <<; (2)设函数 )(x f 的图象关于直线x =x 0对称，证明2 10x x < ． 简析：从本题条件易联想到一元二次方程的实根分布和根与系数的关系，难达到证明的目的。 【解答】(1) 设f (x )－x =ax 2+(b －1)x +c =a (x －x 1)(x －x 2) ∴ f (x )=a (x －x 1)(x －x 2)+x ∵ a x x x 1 021< <<<． ∴ x －x 1<0, x －x 2<0, a >0且ax 2<1 ∴ f (x )－x >0 ∴f (x )>x 又 f (x )－x 1=a (x －x 1)(x －x 2)+ x －x 1=(x －x 1)(ax －ax 2+1) ∵ ax 2<1 ∴－ax 2+1>0 ∴ax －ax 2+1>0 又 x －x 1<0 ∴f (x )－x 1<0 ∴f (x ) 第二讲 整式、分式 一、课标下复习指南 (一)代数式 1．代数式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式． 2．求代数式的值 用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值． 3．代数式的分类 (二)整式 1．整式的有关概念 (1)单项式及有关概念 由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式． 单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数． (2)多项式及有关概念 几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数． (3)同类项的概念 多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项． 2．整式的运算 (1)整式的加减 ①合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项． ②添(去)括号法则 如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号． ③整式的加减 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项． (2)整数指数幂及其运算性质 ①整数指数幂 正整数指数幂：?? ???≥????==),2(),1(为正整数个n n a a a a n a a n n 零指数幂：10=a (a ≠0)． 负整数指数幂：n n a a 1= -(a ≠0，n 为正整数)． ②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数) a m ·a n ＝a m ＋n ： (a m )n ＝a mn ； (ab )m ＝a m ·b m ． a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0)． (3)整式的乘法 ①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式． ②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． ③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． ④乘法公式： (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2； 常用的几个乘法公式的变形： a 2＋ b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ； (a －b )2 ＝(a ＋b )2 －4ab ． (4)整式的除法(结果为整式的) ①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式． ②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 3．因式分解的概念 (1)因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意： ①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解． ②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号． ③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法： ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法： a 2 －b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2： *③十字相乘法： x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )． ④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法： 分式不等式的解法 一．学习目标： 1．会解简单的分式不等式。 二．学习过程 （一）基础自测 1．解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)－x 2＋7x >6 (3)()()015<+-x x . （二）尝试学习 2.解下列不等式 （1）121 >+-x x （2）2x ＋11－x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x ＋5(x －1)2≥2 （三）巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是（ ） .A }2131|{>- 1．不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4．不等式1x x -≥2的解集为（ ） .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5．解下列不等式 （1）2x ＋11－x <0 （2）x ＋12x －3≤1 四．作业 解不等式：（1） 0324≤+-x x （2）321≥-+x x 页脚内容1 整式的乘法与因式分解 一、选择题： 1.下列计算中正确的是 ( ) A ．842a a a =? B ．22a a a =÷ C ．5322a b a =+ D ．632)(a a -=- 2.下列运算中，正确的是 ( ) A. 632x x x =? B. 623)(x x =- C.2523a a a =+ D. 333)(b a b a =+ 3.化简23)()(x x -?-的结果正确的是 ( ) A.6x - B.6x C.5x D.5x - 4.下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有 ( ) ①5236)2(3x x x -=-?；②ab b a b a 2)2(423-=-÷③523)(a a = ； ④2 3)()(a a a -=-÷- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.如果)(m x +与)3(+x 的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．3 C ．0 D ．1 6.若153=x ,53=y 则y x -3等于 ( ) A ．5 B ．3 C ．15 D ．10 页脚内容2 7.))((22a ax x a x ++-的计算结果是 ( )． A ．3232a ax x -+ B ．33a x - C.3232a x a x ++ D ．322322a a ax x -++ 8.计算232x x ÷的结果是（ ） A ．x B ．x 2 C ．52x D ．62x 9.下列各式是完全平方式的是 ( )． A ．4 12+-x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x 10. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于 ( ) A. 3 B. -5 C. 7 D. 7或-1 11.把多项式a ax ax 22--分解因式，下列结果正确的是 ( ) A ．)1)(2(+-x x a B ．)1)(2(-+x x a C ．2)1(-x a D ．)1)(2(+-ax ax 12.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. 22)(b a -+ B. mn m 2052- C. 22y x -- D.92+-x 二、填空题： 13.计算：23)(y x -= 532)(x x ÷ = 14.计算：)3 2)(32(n m n m --+-＝__________. 知识点大全 2. 代数式（分类） 2.1. 整式（包含题目总数：15） 001020； 001030； 001040； 001050； 001070； 001110； 001130； 001140； 001150； 001160； 001170； 001180； 001200； 001220； 001230； 2.1.1. 整式的有关概念 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如： b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 23 13-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的 项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 知识点大全 注意： (1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入． (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入． 2.1.2. 同类项、合并同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意： (1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 2.1. 3. 去括号法则 去括号法则1：括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2 12+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 8 41-. ∴ 原函数的最小值为841- . 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 图1 例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。 例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值. 分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为： y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。 解： 106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化 为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的 距离之和最小。如图3，易求得点A 关于x 轴 的对称点A / 的坐标为（0, －2），则： B A BP P A BP AP //=+=+即为最小. ∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y . 评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重 要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易 图2 图3 1、整式的概念和指数： 与 统称为整式。 单项式包括： 、 、 ； 一个单项式中所有字母的 叫做这个单项式的次数。 多项式：几个单项式的代数和多项式。 单项式中次数最 的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义： 一般地，形如式子B A ，且 B ≠0叫做分式。 （1）、分式有意义的条件： （2）、分式无意义的条件： （3）、分式为0的条件： （4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时 （一个不等于0）的整式，分式的值不变。 （5）、约分： （6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。 （7）、通分： （8）、最简公分母： （9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义： （1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 （2）、二次根式有意义的条件： 二次根式无意义的条件： （3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0); a 2=a =?????<-=>)0()0(0)0(a a a a a a b =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。 （4）、最简二次根式： 中不含二次根式； 被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 （5）、 同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。 知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项： （2）、合并同类项法则： （3）、去括号法则： （4）、整式的加减的实质就是合并同类项。 （二）、整式的乘除 （1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. （2）、幂的乘方与积的乘方：(a m )n = ，底数不变，指数相乘； （3）、(ab)n = ，积的乘方等于各因式乘方的积. （4）、单项式的乘法：系数相乘，相同字母 ，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里. （5）、单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)= ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 教学过程 一、新课导入 初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法. 二、复习预习 1.不等式的定义. 2.不等式的基本性质. 3.不等式的基本定理及推论. 4.一元二次不等式解法. 5.分式不等式解法. 6.高次不等式解法. 7.无理不等式解法. 8.指对数不等式解法. 三、知识讲解 考点1 不等式的定义及比较大小 1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≦）、≤（≧）、≠． （2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：a >b b a ? > - b a =b a ? = - a b 考点2 不等式的基本性质 定理1如果a>b ，那么bb ．(对称性) 即：a>b ?bb 定理2如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性) 即a>b ，b>c ?a>c 定理3如果a>b ，那么a+c>b+c ． 即a>b ?a+c>b+c 推论如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． 定理4如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ； 如果a>b ，且c<0，那么ac （一）分式不等式： 型如： 0)()(>x x f ?或0) () ( 练一练：解关于x 的不等式 051)1(>--x x 3532 )2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式： 23 2 ≥+-x x 解： 023 2 ≥-+-x x 03) 3(22≥++--x x x 即， 038 ≥+--x x 03 8 ≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为：? ? ?≠+≤++030 )3)(8(x x x ∴原不等式的解集为[)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23 28 2<+++x x x 方法一：322 ++x x 恒大于0，利用不等式的基本性质 方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式：1≥x a 解：移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即，0≤-x a x 等价转化为，?? ?≠≤-0 )(x a x x 当a>0时，原不等式的解集为],0(a 当a<0时，原不等式的解集为)0,[a 当a=0时，原不等式的解集为φ 1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数 表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入． 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号． 整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如： 《数与式》 轻松过关 专题 第二讲:整式、分式及二次根式 知识回顾 (一)代数式 代数式,求代数式的值,代数式的分类 (二)整式 整式的有关概念,整式的运算,因式分解的概念, （三）分式 (四)二次根式 二次根式,最简二次根式,二次根式的运算, 自主学习 1．下列运算中,计算结果正确的个数是( )． (1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10； (4)(a 3)2＝a 9； (5)(－ab 2)2＝ab 4； (6)?=-2 2212x x A ．无 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．如果关于x ,y 的单项式2ax m y 与5bx 2m －3y 是同类项, (1)求(9m －28)2009的值； (2)若2ax m y ＋5bx 2m －3y ＝0,并且xy ≠0,求(2a ＋5b )2009的值． 3．计算:(1)(3xy 3－9x 4y 2)÷3xy －(x 2－2xy )·4x 2． (2)(a ＋b －1)(a －b ＋1)－a 2＋(b ＋2)2． 4．把下列各式分解因式: (1)6(a －b )2＋8a (b －a )； (2)16x 2－(x 2＋4)2； 5．(1)当x 取何值时,分式6 532+--x x x 无意义? (2)当x 取何值时,分式12 922---x x x 有意义?值为零? 6．已知12-=a ,化简求值:?+-÷++--+-2 4)44122(22a a a a a a a a 7．已知321=+x x ,求441x x +的值． 8．当x 为何值时,下列代数式有意义? .1)2(;3 22)1(232x x x x x -+---- 常见不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时，不等式的解集为b x x a ??> ????；当0a <时，不等式的解集为b x x a ? ? < ???? . 二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法 1、二次不等式2 ()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 （1）不要把不等式2 0ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. （3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? ②当01a <<时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??
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