1.自适应滤波如何运用到系统辨识？
自适应滤波理论和技术是统计信号处理和非平稳随机信号处理的主要内容, 它具有维纳滤波和卡尔曼滤波的最佳滤波性能, 但不需要先验知识的初始条件, 它是通过自学习来适应外部自然环境, 因而具有广泛的应用。自适应滤波器( Adaptive filter) 是自设计的,由于其依靠递归算法进行运算, 因此可在有关信号特征的完整知识不能得到的环境下, 圆满的完成滤波运算。由于稳定性问题和IIR 局部最优,所以, 自适应滤波器大多用FIR 来实现。在自适应滤波器应用中一个重要问题是使可调节滤波器参数最优的标准, 以及利用这种标准形成实际上可行的算法。最小均方( LMS, leastmean-square) 算法是现今应用最为广泛的一种线性自适应算法, 它不需要有关的相关函数和矩阵求逆运算, 是一种极为简单的算法.
最小均方误差(LMS，least mean square) 算法于1960年提出后, 因其具有计算量小、易于实现等优点而获得大量应用。典型的应用领域有系统辨识、信号处理和自适应控制等。LMS 算法的基本原理是基于估计梯度的最速下降法, 即沿着权值的梯度估值的负方向进行搜索,以期达到权值最优, 实现均方误差最小意义下的自适应滤波。
系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型，是现代控制理论中的一个分支。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2.在系统辨识中，LMS，RLS算法的形式？
2.1 LMS
原理：
设通信系统输出信号为：
y(k)=W T X(k) (1) 其中，该系统权向量为：
W=[w1, w2,…, w n]T(2) 输入信号为
X(k)=[x(k), x(k-1), …,x(k-m+1)]T(3) 误差信号定义为
e(k)=d(k)-y(k)=d(k)-W T(k)X(k) (4) LMS算法的原理是用e2(k)来估计E(e2(k))，此时有
▽(k)=-2e*(k)X(k) (5) 这样梯度法的叠代公式变为
W(k+1)=W(k)+2μe*(k)X (k) (6) 其中，*为共扼。
算法步骤：
基本的LMS算法如下：
步骤1 初始化：W(0)=0, 0<μ<1/λmax
步骤2 W(k+1)=W(k)+2μe(k)X*(k)
步骤3 判断是否收敛，如果不收敛，令k=k+1，回步骤2。
2.2 RLS
原理
SISO 系统动态过程的数学模型：
1
1
()()()()()A z z k B z u k n k --=+
（1）
其中()u k ，()z k 为输入输出量，()n k 为噪声。式中
1
1
2
12()1...a
a n n A z
a z a z
a z
----=++++11
2
12()...b
b n n B z
b z
b z
b z
----=+++展开后得到：
1212()(1)(2)...(1)(2)...()a b n n b z k a z k a z k a b u k b u k b u k n =------+-+-++-模型（1）可化为最小二乘格式：
()()()z k h k n k τ
θ=+
（2）
记1212[,,...,,,...,]a
b
n n a a a b b b τθ=
为待估计的参数。()[(1),...,(),(1),...,()]a b h k z k z k n u k u k n τ=------，对于1,2,...k L =（L 为数据长度）
。方程（2）构成一个线性方程组，写成()()()L L L z k H k n k θ=+； (1)(2)()L z z Z z L ??????=?????? ，(1)(2)()L
h h H h L τ
ττ??????=????????
，(1)(2)()L n n n n L ????
??=?????? 根据最小二乘法一次完成算法，其参数估计为：1?()L L L L
LS H H H Z ττθ-=。
参数递推估计，每取得一次新的观测数据后，就在前次估计结果的基础上，
利用新引入的观测数据对前次估计的结果，根据递推算法进行修正，减少估计误差，从而递推地得出新的参数估计值。这样，随着新观测数据的逐次引入，一次接一次地进行参数估计，直到参数估计值达到满意的精确程度为止。 算法步骤：
步骤一：初始化(0)0W =；1(0)P I σ-=，其中I 为单位矩阵； 步骤二：更新1,2,...n =计算
更新增益矢量：()(1)()/[()(1)()]T g n P n X n X n P n X n λ=-+-； 滤波：()(1)()T y n W n X n =-； 误差估计：()()()e n d n y n =-；
更新权向量：()(1)()()W n W n g n e n =-+；
更新逆矩阵：1()[(1)()()(1)]T P n P n g n X n P n λ-=---；
其中，()P n 为自相关矩阵()xx P n 的逆矩阵，常数λ是遗忘因子，且01λ<<。
3.最优意义下的权向量是什么？
LMS ：W(k+1)=W(k)+2μe*(k)X (k) RLS ：()(1)()()W n W n g n e n =-+
4.采用LMS ，RLS 算法后，仿真结果，分析步长选择对整体性能的影响？ LMS ：4.1输入信号采用在区间（0，1）为均匀分布的随机信号。
图1给出的是采用LMS 算法，当μ＝0.01，叠代1000次后，得到系统滤波器参数的收敛曲线图。从图中我们可以看到，三个系数基本在叠代到第200次收敛到真实值，可见算法在这种情况下是有效的。
图1 μ＝0.01时的W的收敛曲线
图2给出了，当μ为0.01, 0.03, 0.3和0.5时，采用LMS算法叠代300次后得到的滤波器系数收敛曲线图，在图中，我们可以看到，（b）中的μ值大于（a）中的，其收敛速度明显加快。而（c）中的μ值过大而导致收敛曲线产生了振荡现象，但是最后仍旧收敛。（d）中μ的取值由于超过了1/λmax，所以导致了曲线的发散。因此，合理地对μ的取值将影响LMS算法性能的优劣。
图2 不同μ下的w3收敛曲线图
4.2输入信号采用正弦信号。
图17给出的是输入为正弦信号时，采用LMS算法，叠代1000次后，w3的收敛曲线，其步长分别取0.01, 0.3 和0.4。当取μ为0.01时，曲线收敛，但是它并未收敛到真实值，当μ为0.3时，曲线在0.5附近作间歇性振荡现象，而当μ为0.4时，曲线时而发散时而收敛。得到以上结果的主要原因是，正弦信号为单一频率的信号，而LMS算法要求输入信号的频率应该尽可能丰富，它对频率简单的信号是无法估计出滤波器系数的。
图17 输入为正弦信号的收敛曲线
图1 直接型自适应F IR滤波器
MATLAB实现
MATLAB 有专门的函数ADAPTLMS 实现自适应滤波，用法为:
[ y , e , s ] = ADAPTLMS( x , d , s)
其中y为滤波器的输出信号, x为滤波器的输入信号, d为期望信号, e为误差信号, s 为包含自适应滤波器信息的结构体, 可用函数INITLMS初始化。它的语法为: s = INITLMS( h 0, Mu)
其中h0 为滤波器系数的初始值, 是一个长度为滤波器阶数的向量可为0; Mu 为步长参数。
自适应滤波器的应用实例：系统辨识
现要识别一个未知的线性系统, 这个未知系统可以是一个全零点系统, 也可以是一个零极点系统。该未知系统可用一个长度为N 的FIR滤波器近似( 建模, 见图2) 。为了构造这个问题, 未知系统FIR模型并联级联, 并由同一个长度输入序列x ( n )激励。如果{ y ( n) }代表模型的输出, 而{ d( n) }代表未知系统的输出, 误差序列e( n) =d ( n) - y ( n) 。如果能将平方误差和减到最小, 就得到一组线性方程组, 因此, 可用LMS 算法来对FIR 模型的自适应, 使得它的输出近似为该未知系统的输出。仿真源程序和仿真结果如下:
图2 系统辨识方框图
x = 0.1* randn( 1, 500) ; % 输入信号x( n)
b= f ir1( 31, 0.5) ; % 构建待辨识的未知FIR系统
d= f ilt er( b, 1, x ) ; % 期望信号d( n)
w0= zeros( 1, 32) ; % 自适应滤波器系数的初始化
mu= 0.8; % LMS步长参数
S= initlms( w0, mu) ; % 初始化s 信息结构体
[ y, e, S] = adaptlms ( x , d, S) ; % 自适应滤波
stem ( [ b.’ , S.coeffs.’ ] ) ; % 画出识别的系统和未知系统的参数。
图3 系统辩识的仿真结果
由图 3 可见, 两个系统的系数非常的接近。
LMS 算法的收敛性能由于主输入端不可避免地存在干扰噪声, LMS 算法将产生参数失调噪声。干扰噪声越大, 则引起的失调噪声就越大;减小步长因子, 可提高算法的收敛精度, 然而步长因子的减小将降低算法的收敛速度和跟踪速度, 因此固定步长的LMS 自适应滤波算法在收敛速度、时变系统跟踪速度与收敛精度方面对调整步长因子的要求是相互矛盾的。为了克服这一矛盾, 人们提出了许多变步长自适应滤波算法。
对比：为了检验两种自适应滤波算法在去噪应用中的滤波性能，下面对LMS算
法和RLS算法进行计算机模拟仿真实验。其中采样频率为1000Hz，其算法用MATLAB语言实现。
图2为幅度为2标准正弦波。
图3为幅度为2正弦波叠加带限高斯白噪声的混迭信号，是系统的主输入信号。图4、图5分别为用LMS算法和RLS算法提取得到的正弦信号。
表一各自适应滤波各参数设置
从图上可以看出，用RLS自适应滤波算法提取得到的正弦信号效果较好。而LMS自适应滤波算法也能将信号提取出来，但是其滤波效果较差，存在没有滤除的随机噪声部分较多。
由于LMS算法只是用以前各时刻的抽头参量等作该时刻数据块估计时的平方误差均方最小的准则，而未用现时刻的抽头参量等来对以往各时刻的数据块作重新估计后的累计平方误差最小的准则，所以LMS算法对非平稳信号的适应性差。RLS算法的基本思想是力图使在每个时刻对所有已输入信号而言重估的平方误差的加权和最小，这使得RLS算法对非平稳信号的适应性要好。与LMS算法相比，RLS算法采用时间平均，因此，所得出的最优滤波器依赖于用于计算平均值的样本数，而LMS算法是基于集平均而设计的，因此稳定环境下LMS算法在不同计算条件下的结果是一致的。在性能方面，RLS的收敛速率比LMS要快得多，因此，RLS在收敛速率方面有很大优势。
幅度为2标准正弦波
图2 幅度为2标准正弦波
幅度为2正弦波叠加带限高斯白噪声的混迭信号
图3 幅度为2正弦波叠加带限高斯白噪声的混迭信号
MLS算法提取得到的正弦信号
图4 用LMS算法提取得到的正弦信号
图5 RLS算法提取得到的正弦信号
1波束宽度与波达方向及阵元数的关系 clc clear all close all ima=sqrt(-1); element_num1=16; %阵元数 element_num2=128; element_num3=1024; lamda=0.03; %波长为0.03米 d=1/2*lamda; %阵元间距与波长的关系 theta=0:0.5:90; for j=1:length(theta); fai(j)=theta(j)*pi/180-asin(sin(theta(j)*pi/180)-lamda/(element_num1*d)); psi(j)=theta(j)*pi/180-asin(sin(theta(j)*pi/180)-lamda/(element_num2*d)); beta(j)=theta(j)*pi/180-asin(sin(theta(j)*pi/180)-lamda/(element_num3*d)); end figure; plot(theta,fai,'r',theta,psi,'b',theta,beta,'g'),grid on xlabel('theta'); ylabel('Width in radians') title('波束宽度与波达方向及阵元数的关系') 仿真图如下：
3. 当阵元间距 时，会出现栅瓣，导致空间模糊。仿真图如下： 4. 类似于时域滤波，天线方向图是最优权的傅立叶变换 仿真程序和仿真图如下： clc clear all close all ima=sqrt(-1); element_num=32; %阵元数 source_num=1; %信源数 d_lamda=1/2; %阵元间距与波长的关系 theta=linspace(-pi/2,pi/2,200); theta0=0; %来波方向 w=exp(ima*2*pi*d_lamda*sin(theta0)*[0:element_num-1]'); for j=1:length(theta); a=exp(ima*2*pi*d_lamda*sin(theta(j))*[0:element_num-1]'); p(j)=w'*a; end figure; subplot(1,2,1) plot(theta,abs(p)),grid on xlabel('theta/radian') ylabel('amplitude') /2d λ >
利用LMS 算法的自适应系统仿真 摘 要: 一待辩识的IIR 系统，用一有限长度的FIR 滤波器来近似辩识系统，介绍了基于最小均方算法(LMS 算法)的自适应均衡器的原理和结构，采用LMS 算法得到N 阶FIR 滤波器来逼近原IIR 滤波器，并且分析了步长，滤波器系数，初始权值以及自适应过程中的噪声对系统辩识性能的影响。针对用硬件实现LMS 算法的自适应均衡器存在的诸多缺点，利用MATLAB 工具对各种结构形式的自适应均衡器在不同信道模型下的收敛速度和精度进行仿真，描述了用仿真试验得出LMS 自适应均衡滤波器的收敛性和跟踪性能与滤波器长度和选代算法跳步两个重要的参数之间的定量关系，为此构建了有实用价值的系列时延扩展的传输环境和可变多径传输信道，建立了系统仿真模型，做出了仿真试验结果并分析了仿真试验结果的意义。 关 键 词 LMS 算法； FIR 滤波器； 自适应滤波；IIR; MATLAB 仿真 关 键 词: LMS 算法 自适应均衡系统 仿真 移动通信 无线数据通信 0、 引言 待辨识系统是极点－零点（IIR ）系统，要用一个有限长度的FIR 滤波器来近似辨识该系统如图1所示。已知待辨识系统的传输函数为： 23.01.111)(-+-=z z z H d （IIR ）,求FIR 滤波器的系数。 图1 自适应系统辨识的原理图 1、系统设计要求 1）、待辨识系统为IIR 滤波器，利用自适应滤波的方法，采用LMS 算法得到N 阶FIR 滤波器来逼近原IIR 滤波器； 2）、输入信号)(n x 为高斯白噪声；
3）、考察步长delta 、阶数N 对自适应滤波器性能的影响。 2、系统设计原理 由于LMS 算法不需要离线方式的梯度估值或重复使用数据以及它的简单易行性而被广泛采用。只要自适应系统是线性组合器，且有输入数据向量)(n x 和期待响应)(n d 在每次迭代时可利用，对许多自适应处理的应用来说，LMS 算法是最好的选择。 我们采用LMS 算法自适应调整FIR 滤波器的系数，自适应滤波器的结构是具有可调系数)1(,),1(),0(-N h h h 的直接型FIR 滤波器。 输入信号)(n x 为功率为1，长度为1000点的高斯白噪声。)(n d 为期望响应，)(n y 为自适应FIR 滤波器的输出，误差信号)()()(n y n d n e -=。 对一个FIR 滤波器，其可调系数为10),(-≤≤N k k h ，N 为滤波器的阶数。则输出 M n k n x k h n y N k ,,0), ()()(10 =∑-=-= LMS 算法是由最速下降法导出的，求出使均方误差∑==M n n e 0 2)(ε达到最小值时相应的最佳滤 波器系数组。 从任意选择的一组)(k h 初始值开始，接着在每个新的输入采样值)(n x 进入自适应滤波器后，计算相应的输出)(n y ，再形成误差信号)()()(n y n d n e -=，并根据如下方程不断修正滤波器系数： ,1,0,10),()()()(1=-≤≤-???+=-n N k k n x n e k h k h n n 其中?为步长参数，)(k n x -为n 时刻输入信号在滤波器的第k 个抽头处的采样值，)()(k n x n e -?是滤波器第k 个系数的负梯度的近似值。这就是自适应地调整滤波器系数以便使平方误差ε最小化的LMS 算法。 3、系统仿真和结果分析 1）、仿真环境和各参量设置 在MATLAB7 上用软件仿真，仿真条件： (1) 高斯白噪声的产生 利用MATLAB 的库函数randn 产生均值为零，方差为1的高斯白噪声。为了观察不同的步长和阶数对系统性能的影响，必要时可以设定“种子值”产生相同的输入序列。 (2) 待辨识系统对输入的期待响应 由待辨识系统的传递函数可以写出它的差分方程形式为
自适应信号处理综述报告 摘要：本文对国内外自适应信号处理的研究进行了综述，简要介绍了自适应算法的发展和应用，并讲述了LMS算法的原理及应用，最后给出了其在信号处理中的应用情况。 关键字：LMS算法；变步长；噪声抵消；系统辨识；自适应信号分离器 1. 自适应信号处理概述 自适应信号（Adaptive Signal Processing）处理的研究工作始于20世纪中叶。在1957年至1960年间，美国通用电气公司的豪厄尔斯（P.Howells）和阿普尔鲍姆（P.Applebaum），与他们的同事们研究和使用了简单的是适应滤波器，用以消除混杂在有用信号中的噪声和干扰。而结构更为复杂的自适应滤波器的研究工作，则由美国斯坦福大学的维德罗（B.Widrow）和霍夫（M.Hoff）始于1959年。此期间，他们在自适应理论方面的研究作出了贡献，发明了最小均方（LMS）自适应算法，并提出了一种采用被称为“自适应线性门限逻辑单元”的模式识别方案。同时，原苏联莫斯科自动学和遥控力学研究所的艾日曼及同事们，也研制出了一种自动梯度搜索机器。英国的加布尔（D.Gabor)和他的助手们则研制了自适应滤波器。 到20世纪60年代初期和中期，有关自适应信号处理的理论研究和实践、应用工作更加强了，研究范围已发展到自适应、自适应控制、自适应滤波（包括时域和空域）及其他方面。勒凯（R.Lucky）在美国贝尔实验室首先将自适应滤波应用于商用的数字通信中。1965年，自适应噪声对消系统在斯坦福大学建成，并成功应用于医学中，主要用于对消心电放大器和记录仪输出端的60Hz干扰。此后，瑞格勒（R.Riegler）和康普顿（https://www.doczj.com/doc/6411708616.html,pton)推广了由豪厄尔斯和阿普尔鲍姆所做的工作。 数字集成电路和微电子技术的迅速发展给自适应信号处理技术的应用提供了十分优越的条件。自适应系统的应用领域包括通信、雷达、声纳、地震学、导航系统、生物医学电子学和工业控制等。随着人们在改领域研究的不断深入，自适应信号处理的理论和技术日趋完善，其应用的范围也愈来愈广泛。 2. 自适应滤波算法基本原理 自适应滤波是利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。所谓“最优”是以一定的准则来衡量的，根据自适应滤波算法优化准则不同，自适应滤波算法可以分为最
自适应信号处理最速下降法实验 一 实验目的 考察最速下降法应用于预测器的瞬态特性。通过保持特征值扩散度不变，而改变步长参数，观察过阻尼和欠阻尼两种情况下()1v n 和()2v n 以及)(1n ω和 )(2n ω随n 改变而改变的过程。 二 实验要求 固定特征值扩散度()10R χ=，令步长参数μ分别为0.3和1.0，1 1.1955a =-， 20.95a =，1 1.818λ=，20.182 λ=，2m in 0.0322J σ==，观察()1v n 和()2v n 以及 ()1n ω和()2n ω随n 改变而变化的情况。 三 实验过程 首先让步长参数为0.3，得到过阻尼情况下()1v n 和()2v n 以及()1n ω和()2n ω随n 改变而变化的曲线。如下图所示： 图 1：步长参数0.3μ=过阻尼情况 图中曲线中的同心椭圆从内到外依次对应n=0，1，2，3……的情况，下同。
图 2：步长参数0.3μ=过阻尼情况 再让步长参数为1.0，得到欠阻尼情况下()1v n 和()2v n 以及()1n ω和()2n ω随n 改变而变化的曲线。如下图所示： 图 3：步长参数 1.0μ=欠阻尼情况
图 4：步长参数 1.0μ=欠阻尼情况 四 实验结果和分析 通过观察上述曲线，可得到如下结论： 1 最速下降法的瞬态特性对步长参数的变化是高度敏感的。而且当步长μ较小时，最速下降法的瞬态特性是过阻尼的，即连接点V (0),V (1),V (2)…所组成的轨迹沿着一条连续的路径；当步长μ达到或接近最大值max 2max λμ=时，最 速下降法的瞬态特性是欠阻尼的，即轨迹显现振荡现象。 2上面的实验验证了当max 2 0λμ< <时，根据式k mse k μλτ21,≈ 可得步长参 数μ越小，最速下降法中每一个自然模式的衰减速率越慢。且当max 2max λμ=时，出现欠阻尼现象，如果μ再大，则算法发散。 3 对于固定的()J n ，()()12,v n v n ????随n 变动的轨迹正交于()J n 固定时 ()()12,v n v n ????的轨迹，这也适用于()J n 固定时()()12,n n ωω????的轨迹。
自适应信号处理-唐正必马长芳科学出版社 赵春晖哈尔滨工程大学出版社 本书全面系统地阐述了自适应信号处理的理论及其应用，包括确定性信号与随机过程(平稳与非平稳信号)滤波检测理论，不用训练序列的本身自适应的盲信号处理理论，从一维到多维、线性到非线性、经典自适应到神经智能自适应等近代信号处理。它将信息论、时间序列分析、系统辨识、谱 估计理论、高阶谱理论、优化理论、进化计算，以及神经网络理论等学科知识综合而成一体。 本书共十章，内容有自适应滤波基本原理、自适应LMS滤波器、自适应RLS滤波器、自适应格型滤波器、自适应递归滤波器、自适应谱线增强与谱估计、自适应噪声干扰抵消器、自适应均衡器、自适应阵列处理与波束形成，以及自适应神经信息处理。对于盲信号处理的理论与方法，将分散在最后三章中论述。 本书取材新颖，内容丰富;叙述深入浅出，系统性强，概念清楚。它总结了自适应信号处理的最新成果，其中包括作者在该领域内所取得的科研成果，是一部理论联系实际的专业理论专著。可作为信息与通信、雷达、声纳、自动控制、生物医学工程等专业的研究生的教材或主要参考书，也可供广大科研人员阅读。 第1章绪论 1.1 自适应滤波的基本概念 1.2 自适应信号处理的发展过程 1.3 自适应信号处理的应用 第2章维纳滤波 2.1 问题的提出 2.2 离散形式维纳滤波器的解 2.3 离散形式维纳滤波器的性质 2.4 横向滤波器的维纳解 第3章最小均方自适应算法 3.1 最陡下降法 3.2 牛顿法 3.3 LMS算法 3.4 LMS牛顿算法 第4章改进型最小均方自适应算法 4.1 归一化LMS算法 4.2 块LMS算法 4.3 快速块LMS算法 第5章最小均方误差线性预测及自适应格型算法 5.1 最小均方误差线性预测 5.2 Lev ins on-Durbi n算法 5.3 格型滤波器 5.4 最小均方误差自适应格型算法 第6章线性最小二乘滤波 6.1 问题的提出 6.2 线性最小二乘滤波的正则方程 6.3 线性最小二乘滤波的性能 6.4 线性最小二乘滤波的向量空间法分析 第7章最小二乘横向滤波自适应算法 7.1 递归最小二乘算法 7.2 R LS算法的收敛性 7.3 R LS算法与LMS算法的比较
自适应信号处理课后题答案 1．求下列R 的特征值设 (1)?? ?? ? ?????=4202630341R (2)?? ? ???-=2)3/exp(6)3/exp(632ππj j R 解：(1)令λ为R 的特征值，则 (2)令λ为R 的特征值： 0)d e t (=-I R λ 0)d e t (=-I R λ 即： 042 2630 34=---λ λ λ 即： 02) 3/exp(6)3/exp(63=---λ ππλ j j 于是R 1的三个特征值分别为： 于是R 2 的两个特征值为： 1451454321－＝，＋＝，λλλ= 5,021==λλ 2．证明任何两个实数的单输入自适应线性组合器的特征向量矩阵均为： ?? ????-= 111121Q 证明：由已知条件知相关矩阵为R ： ? ? ? ???=a b b a R 则R 的特征值为：b a b a -=+=21,λλ 当b a +=1λ时，??? ???--=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[11q x = 当b a -=2λ时，? ? ? ???=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[22-=q x 则特征向量为： ?? ? ???-=111121Q 3．如图3.1所示，若自适应系统的输入和期待响应分别为：
(1))6/2cos(],6/)1(2sin[),6/2sin(10k d k x k x k k k πππ=-== (2)6/)]5.1(2[]6/)2(2[]6)1(2[1)6/2(04,,2--+-=+==k j k k j k j k k j k e d e e x e x ππππ 试计算最佳权向量和最小均方误差输出，并说明在两种情况下的自适应系统有什么不同？ 解：(1)由题中条件知： 5.0][2 0=k x E 5.0][2 1=k x E [] 25.010=* k k x x E []00=k k x d E 4/3][1-=k k x d E 于是输入相关矩阵为： ??????=5.025.025.05.0R ? ?????-=4/30P 则最优权为：?? ? ???-==* -1547.15774.01 P R W opt 最小均方误差为：3889.0][2 min -=-=opt T k W P d E ζ (2)由题中已知条件知： 4][2 0=k x E 6/26/22 12][ππj j k e e x E -++= 6/308][πj k k e x d E =* 6/6/144][ππj j k k e e x d E -*+= 6/46/21022][ππj j k k e e x x E --*+= 6/46 /21122][ππj j k k e e x x E +=* 于是输入相关矩阵为： ??????++++=---6/26/26/46 /26/46/2222224ππππππj j j j j j e e e e e e R ?? ????+=-6/6 /6 /3448πππj j j e e e P R 的逆不存在， 则最优权为： ??? ? ????-=j c c W o p t 3234 最小均方误差为：0][2 min =-=opt T k W P d E ζ
自适应信号处理 自适应信号处理是信号与信息处理领域的重要分支和组成部分，自20世纪五六十年代出现以来，自适应信号处理的理论和技术受到了学术界和许多应用领域的普遍重视。它的研究的内容是以信号与信息自适应处理为主线，包括自适应滤波检测理论和自适应技术应用两大部分。 自适应滤波理论和技术是统计信号处理和非平稳随机信号处理的主要内容，它可以在无需先验知识的条件下，通过自学习适应或跟踪外部环境的非平稳随机变化，并最终逼近维纳滤波和卡尔曼滤波的最佳滤波性能。因而，自适应滤波器不但可以用来检测确定性信号，而且可以检测平稳的或非平稳的随机信号。自适应技术应用包括自适应谱线增强与谱估计方法、自适应噪声干扰抵消技术、自适应均衡技术、自适应阵列处理与波束形成以及自适应神经网络信号处理等内容。 自适应信号处理技术在通信、雷达、声纳、图像处理、地震勘探、工业技术和生物医学等领域有着极其广泛的应用。其中，通信技术的许多最新进展，都与自适应信号处理密切相关，尽管新的信号处理理论和方法层出不穷，但是自适应信号处理仍然以其算法简单、易于实现和无须统计先验知识等独特的优点，成为许多理论与工程实际问题的首选解决方案之一。近年来，随着超大规模集成电路技术和计算机技术的迅速发展，出现了许多性能优异的高速信号处理专用芯片和高性能的通用计算机，为信号处理，特别是自适应滤波器的发展和应用提供了重要的物质基础。另外，信号处理理论和应用的发展，也为自适应滤波理论的进一步发展提供了必要的理论基础。 本章主要介绍目前应用较为广泛的自适应滤波理论与技术，包括维纳滤波、LMS滤波和卡尔曼滤波及其应用。 2.2 维纳滤波 从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。 20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。 维纳滤波理论用于解决最小均方误差下的线性滤波问题。设接收到(或观测到)的信号为随机信号 (7-1) 其中s(t)是未知的实随机信号，n(t)是噪声。要设计的线性滤波器，其冲击响应为h(t, τ)， 输入为x(t)，输出为，即
1.自适应滤波如何运用到系统辨识？ 自适应滤波理论和技术是统计信号处理和非平稳随机信号处理的主要内容, 它具有维纳滤波和卡尔曼滤波的最佳滤波性能, 但不需要先验知识的初始条件, 它是通过自学习来适应外部自然环境, 因而具有广泛的应用。自适应滤波器( Adaptive filter) 是自设计的,由于其依靠递归算法进行运算, 因此可在有关信号特征的完整知识不能得到的环境下, 圆满的完成滤波运算。由于稳定性问题和IIR 局部最优,所以, 自适应滤波器大多用FIR 来实现。在自适应滤波器应用中一个重要问题是使可调节滤波器参数最优的标准, 以及利用这种标准形成实际上可行的算法。最小均方( LMS, leastmean-square) 算法是现今应用最为广泛的一种线性自适应算法, 它不需要有关的相关函数和矩阵求逆运算, 是一种极为简单的算法. 最小均方误差(LMS，least mean square) 算法于1960年提出后, 因其具有计算量小、易于实现等优点而获得大量应用。典型的应用领域有系统辨识、信号处理和自适应控制等。LMS 算法的基本原理是基于估计梯度的最速下降法, 即沿着权值的梯度估值的负方向进行搜索,以期达到权值最优, 实现均方误差最小意义下的自适应滤波。 系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型，是现代控制理论中的一个分支。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。 2.在系统辨识中，LMS，RLS算法的形式？ 2.1 LMS 原理： 设通信系统输出信号为： y(k)=W T X(k) (1) 其中，该系统权向量为： W=[w1, w2,…, w n]T(2) 输入信号为 X(k)=[x(k), x(k-1), …,x(k-m+1)]T(3) 误差信号定义为 e(k)=d(k)-y(k)=d(k)-W T(k)X(k) (4) LMS算法的原理是用e2(k)来估计E(e2(k))，此时有 ▽(k)=-2e*(k)X(k) (5) 这样梯度法的叠代公式变为 W(k+1)=W(k)+2μe*(k)X (k) (6) 其中，*为共扼。 算法步骤： 基本的LMS算法如下： 步骤1 初始化：W(0)=0, 0<μ<1/λmax 步骤2 W(k+1)=W(k)+2μe(k)X*(k) 步骤3 判断是否收敛，如果不收敛，令k=k+1，回步骤2。 2.2 RLS 原理
3.NLMS 和LMS 算法区别 LMS 是自适应算法中历史最久，运用最广，最为基础的算法。优点是计算复杂度低，容易实现，缺点是其收敛行为高度依赖于输入信号的功率谱密度分布。NLMS 可看作是不是一种特殊的LMS 算法，可通过设置随时间变化的可变收敛步长因子来控制输入功率变化对自适应算法收敛的影响，可以加快收敛速度，NLMS 将LMS 算法的权值更新方程中)()(n x n e μ项对信号能量)()(n x n x T 进行归一化得到的。 LMS 权值更新方程： )()()(2)()1(n x n e n n w n w μ-=+ NLMS 权值更新方程：)()()()(1 )()1(n x n e n x n x n w n w T +=+ 更常用的： )()()()(?)()1(n x n e n x n x n w n w T ψμ ++=+ NLMS 有更好的稳定性和更快的收敛速度。 ４、自适应滤波与维纳滤波的区别。 维纳滤波是对输入信号进行整形，使输出信号与期望信号尽量近似，即误差信号尽可能小，其中误差信号是期望信号和输出信号的差值。当误差最小时，线性估计滤波器就达到最优，即维纳滤波器。但在实际情况中，往往不能预先得到这些认识，就不能预先得出维纳滤波器，这时就需要滤波器能够进行自我调节，同时利用输入信号和输出的误差信号来学习所需的统计特性，从而不断调节逼近并最终收敛到对应的维纳滤波器。自适应滤波器与前区别在于：自适应滤波器可看作滤波器系数可变的线性估计滤波器，它也是让输出信号对期望信号进行最优估计，维纳是滤波器系数固定，自适应滤波器系数是不断更新的，即根据误差信号逼近调节Wiener 滤波器。 5、LMS ，RLS 自适应滤波的算法。 LMS 算法： 1．设计参数 )(n x =n 时刻的输入数据矢量；y(n)=n 时刻的期望响应；n n c =)(时 刻的滤波器系数矢量；M=系数的数目=μ步长参数；∑=<< 1．求下列R 的特征值设 (1)?? ?? ? ?????=4202630341R (2)?? ? ???-=2)3/exp(6)3/exp(632ππj j R 解：(1)令λ为R 的特征值，则 (2)令λ为R 的特征值： 0)d e t (=-I R λ 0)d e t (=-I R λ 即： 042 2630 34=---λ λ λ 即： 02) 3/exp(6)3/exp(63=---λ ππλ j j 于是R 1的三个特征值分别为： 于是R 2 的两个特征值为： 1451454321－＝，＋＝，λλλ= 5,021==λλ 2．证明任何两个实数的单输入自适应线性组合器的特征向量矩阵均为： ??? ???-=111121Q 证明：由已知条件知相关矩阵为R ： ?? ? ???=a b b a R 则R 的特征值为：b a b a -=+=21,λλ 当b a +=1λ时，? ?? ???--=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[11q x = 当b a -=2λ时，?? ? ???=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[22-=q x 则特征向量为： ?? ????-= 111121Q 3．如图3.1所示，若自适应系统的输入和期待响应分别为： (1))6/2cos(],6/)1(2sin[),6/2sin(10k d k x k x k k k πππ=-== (2)6/)]5.1(2[]6/)2(2[]6)1(2[1)6/2(04,,2--+-=+==k j k k j k j k k j k e d e e x e x ππππ Harbin Institute of Technology RLS自适应平衡器计算机实验 课程名称：自适应信号处理 院系：电子与信息工程学院 姓名： 学号： 授课教师：邹斌 哈尔滨工业大学 目录 一. 实验目的：............................................................................................................. - 1 - 二. 实验内容：............................................................................................................. - 1 - 三. 程序框图................................................................................................................. - 3 - 四. 实验结果及分析..................................................................................................... - 4 - 4.1 高信噪比（信噪比为30dB）情况下特征值扩散度的影响 ....................... - 4 - 4.2 信噪比（信噪比为10dB）情况下特征值扩散度的影响 ........................... - 5 - 五. 实验结论................................................................................................................. - 5 - 自适应信号处理仿真作业 Xk 信号定义： 12()(1)(2)()x k a x k a x k w k +-+-= 其中：2()~(0,)w k N σ； 参数：12120.1950,0.95 1.5955,0.95 a a a a =-=??=-=? 1、产生数据估计R ，和理论计算值比较。 理论计算： 12()(1)(2)()x k a x k a x k w k +-+-= (1) 对(1)式左右两边都乘()x k ，再求数学期望得 12(0)(1)(2)1R a R a R ++= (2) 对(1)式左右两边都乘(1)x k -，再求数学期望得 12(1)(0)(1)0R a R a R ++= (3) 对(1)式左右两边都乘(2)x k -，再求数学期望得 12(2)(1)(0)0R a R a R ++= (4) 解方程组：121212(0)(1)(2)1(1)(0)(1)0(2)(1)(0)0 R a R a R R a R a R R a R a R ++=?? ++=??++=? 可求得理论值R 。 在本次仿真中产生1500个信号点来估计R ，图1给出两组参数各自的估计 值R以及由估计值求出的最优权： 图1 R的理论值与估计值 2、.令 1 trR μ=，实现LMS算法给出w1,w2的收敛曲线及学习曲线 在仿真中当 1 trR μ=时，w1,w2不收敛，所以对步长因子取 1 20*trR μ=和 1 100*trR μ=来产生各自的学习曲线以及收敛轨迹。 第一组参数下的学习曲线与权值收敛轨迹如下，其中权值的起始值取（-1，-2.5）。 k ε2006年研究生自适应信号处理考试题 1. 简述人工自适应系统的特点和建立自适应系统一般应该满足的要求。（10%） 特点：随时间变化，针对变化的环境自我优化，能通过训练适应变化的任务，自我设计、修复，少量训练可以改变整个系统的结构，输入的变化可能影响系统的性能，系统的调节都针对特定的优化目标。 构造自适应系统，一般有两种形式，一种是开环系统，另一种是闭环系统。无论那种形式，系统的处理器都必须是可调节的。 2. 一个滤波器的特性函数为()2 115726 w ξ=-+，根据特征曲面搜索的最速下降法和牛 顿法，试分别写出其参数w 的调整算法。（15%） ()()()2 111115726 7 571349 13 577()7 5713 k k k k k k k k k k k w w w w w w w w w w w w w w w w w w ξξξξξμμ+++=-+'+'''=- ''+=- =+-?=-+解： 牛顿法：() ()= ()=() () w 调整算法最速下降法： 3. 设线性组合器110-+=k k k x w x w y ，画出它的原理图；当输入信号为 52sin k x k π=，期望输出信号为5 2cos 2k d k π=时，求出自相关矩阵R ，互相关矩阵P ，特性函数，梯度和最佳权值。（20%） 原理图： [] k 2 k 12 k-1k-12T T k 20.5 0.5cos x x 5 R=E 2x x 0.5cos 0.5 52P=E 5=E[d ]+W RW-2P W =2+0.5[k k T T x x πππξ-? ? ????=????????????? ? ? ?=???? k k k-1k-1解：自相关矩阵 互相关矩阵d x d x 0 -sin 特性函数0001112 20101121 cos 25 ]225cos 1 522=cos 2sin 2 55 =20.5 0.5cos 520.5cos 0.55πωωπωωπωωππωωωωωππ? ????? ????-???????????????????? ++?? ????????? 0 -sin 0.5(+)+ 梯度2RW-2P =201010 1*252+cos 5 22cos ++2sin 5522W 55 ωπωπωωππωωππ ???????????????????? ?????????? T 0 -2-sin = 最佳权值=[2cot -2csc ] 4. 设滤波器的自相关矩阵为300021018R ?? ?= ? ???，摄动为125P ?? ? = ? ??? ，写出最速下降法 的权值调整算法，给出它们的收敛条件。（10%） 生物医学信号处理习题集 第一章 生物医学信号处理绪论 ..................................................................................................... 1 第二章 数字信号处理基础 ............................................................................................................. 1 第三章 随机信号基础 ..................................................................................................................... 5 第四章 数字卷积和数字相关 ......................................................................................................... 9 第五章 维纳滤波 ........................................................................................................................... 10 第六章 卡尔曼滤波 ....................................................................................................................... 13 第七章 参数模型 ........................................................................................................................... 16 第八章 自适应信号处理 (19) 第一章 生物医学信号处理绪论 1. 生物医学信号处理的对象是什么信号？ 解答： 包括生理过程自发产生的信号，如心电、脑电、肌电、眼电、胃电等电生理信号和血压、体温、脉搏、呼吸等非电生理信号；还有外界施加于人体的被动信号，如超声波、同位素、X 射线等。 2. 生物信号的主要特点是什么？ 解答： 随机性强，噪声背景强。 第二章 数字信号处理基础 You can use Matlab where you think it ’s appropriate. 1.FIR 滤波器和IIR 滤波器的主要区别是什么？ 解答： FIR 滤波器的单位脉冲响应是有限长的序列，该滤波器没有极点，具有稳定性。 IIR 滤波器的单位脉冲响应是无限长的序列，该滤波器有极点，有可能不稳定。 2.两个滤波器级联，第一个的传递函数为2-11z 2z 1)z (H -++=，第二个为-12z 1)z (H -=，当输入为单位脉冲时，求输出序列，画出级联滤波器的频率响应。 解答： )z 1)(z 2z 1()z (H 12-1---++==32-1z z z 1----+ h(n)=[1,1,-1,-1]，n=0，1，2，3。即输入单位脉冲时的输出序列值。 freqz(h,1) 自适应信号处理综述 曹志锋 （长沙理工大学电气与信息工程学院学号：0000000） 摘要：本文对自适应信号处理的发展进程做了简单的介绍，并阐述了自适应信号处理的基本原理及其算法的推导。介绍了自适应信号处理技术在滤波、系统辨识、自适应均衡、回波抵消、谱 估计、谱线增强、自适应波束形成等方面的应用, 并介绍了其发展前景。 关键字：自适应信号处理；LMS算法；滤波；系统辨别 An Overview of Adaptive Signal Processing Abstract: In this paper, adaptive signal processing of the development process to do a brief introduction, And describes the basic principles of adaptive signal processing and algorithm derivation . Inthistext,the applicationof thetechnology of adaptive signal processing is introduced in filtering,system analysis,adaptive equilibria, echo cancelation,spectrum estimation,spectrumboosting-up, adaptive beam’s forming and so on,as well as its future. Keywords:adaptive signal processing;LMS algorithm;filtering; system recognition 0引言 自适应信号（Adaptive Signal Processing）处理的研究工作始于20世纪中叶。在1957年至1960年间，美国通用电气公司的豪厄尔斯（P.Howells）和阿普尔鲍姆（P.Applebaum），与他们的同事们研究和使用了简单的是适应滤波器，用以消除混杂在有用信号中的噪声和干扰。而结构更为复杂的自适应滤波器的研究工作，则由美国斯坦福大学的维德罗（B.Widrow）和霍夫（M.Hoff）始于1959年。此期间，他们在自适应理论方面的研究作出了贡献，发明了最小均方（LMS）自适应算法，并提出了一种采用被称为“自适应线性门限逻辑单元”的模式识别方案。同时，原苏联莫斯科自动学和遥控力学研究所的艾日曼及同事们，也研制出了一种自动梯度搜索机器。英国的加布尔（D.Gabor)和他的助手们则研制了自适应滤波器[1]。 到20世纪60年代初期和中期，有关自适应信号处理的理论研究和实践、应用工作更加强了，研究范围已发展到自适应、自适应控制、自适应滤波（包括时域和空域）及其他方面。勒凯（R.Lucky）在美国贝尔实验室首先将自适应滤波应用于商用的数字通信中。1965年，自适应噪声对消系统在斯坦福大学建成，并成功应用于医学中，主要用于对消心电放大器和记录仪输出端的60Hz干扰。此后，瑞格勒（R.Riegler）和康普顿（https://www.doczj.com/doc/6411708616.html,pton)推广了由豪厄尔斯和阿普尔鲍姆所做的工作。 自适应滤波算法的研究 第1章绪论 1.1课题背景 伴随着移动通信事业的飞速发展，自适应滤波技术应用的范围也日益扩大。早在20世纪40年代，就对平稳随机信号建立了维纳滤波理论。根据有用信号和干扰噪声的统计特性(自相关函数或功率谱)，用线性最小均方误差估计准则设计的最佳滤波器，称为维纳滤波器。这种滤波器能最大程度地滤除干扰噪声，提取有用信号。但是，当输入信号的统计特性偏离设计条件，则它就不是最佳的了，这在实际应用中受到了限制。到60年代初，由于空间技术的发展，出现了卡尔曼滤波理论，即利用状态变量模型对非平稳、多输入多输出随机序列作最优估计。现在，卡尔曼滤波器己成功地应用到许多领域，它既可对平稳的和非平稳的随机信号作线性最佳滤波，也可作非线性滤波。实质上，维纳滤波器是卡尔曼滤波器的一个特例。 在设计卡尔曼滤波器时，必须知道产生输入过程的系统的状态方程和测量方程，即要求对信号和噪声的统计特性有先验知识，但在实际中，往往难以预知这些统计特性，因此实现不了真正的最佳滤波。 Widrow B等于1967年提出的自适应滤波理论，可使自适应滤波系统的参数自动地调整而达到最佳状况，而且在设计时，只需要很少的或根本不需要任何关于信号与噪声的先验统计知识。这种滤波器的实现差不多象维纳滤波器那样简单，而滤波性能几乎如卡尔曼滤波器一样好。因此，近十几年来，自适应滤波理论和方法得到了迅速发展。[1] 自适应滤波是一种最佳滤波方法。它是在维纳滤波，Kalman滤波等线性滤波基础上发展起来的一种最佳滤波方法。由于它具有更强的适应性和更优的滤波性能。从而在工程实际中，尤其在信息处理技术中得到广泛的应用。 自适应滤波的研究对象是具有不确定的系统或信息过程。“不确定”是指所研究的处理信息过程及其环境的数学模型不是完全确定的。其中包含一些未知因数和随机因数。 1.自适应信号处理基本概念，解决的问题，适用条件下（平稳、短时平稳），结构分类。 自适应信号处理:是研究一类结构可变或可以调整的系统，它通过自身与外界环境的接触来改善自身对信号处理的性能。通常这类系统是时变的非线性系统，可以自动适应信号传送变化的环境和要求。自适应系统和一般系统类似，可以分为开环系统（闭环：计算量小，收敛慢；开环：计算量大，收敛快）和闭环系统两种类型。开环系统仅由输入确定，而闭环不仅取决于输入，还依赖于系统输出的结果。自适应信号处理所研究的信号既可以是随机平稳信号，也可以是局部平稳随机信号，也可以是窄带或者是宽带信号。 2、信号相关矩阵及其性质，梯度运算: 输入信号的相关矩阵：R E[X*X T]=，相关矩阵R是厄米特矩阵，即满足R* = R T。作为厄米特矩阵，它具有以 下性质： ①对应于R的不同特征值的特征向量都是正交的。 ②R是正定（或半正定）矩阵，它所有的特征值都为实数，且大于或等于零。 ③所有特征值之和等于矩阵R的迹，即为输入信号的功率。 【定义一个幺向量：1=[1 1 …1]T，于是，R的特征值之和为 1T∧1=1T Q H RQ1== 上式等号右边的求和即为矩阵R的迹（矩阵主对角线所有元素之和），亦即系统输入信号的功率。】 ④信号相关矩阵R可以被分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵，即：R=R a+jR b ，其中，实矩阵R a、R b分别满足条件：R a T=R a 和R b T=-R b ⑤若W为L+1维的权向量，则对相关矩阵R，存在关于W的一个瑞利商，且对于所有W的瑞利商均为实数。瑞利商Ray(W)= ⑥R可分解为R=Q Q T where Q[q0,q1,…q l], 信号子空间：R s非零特征值对应的特征向量张成的子空间。Span{q0,q1,…q s} 噪声子空间：信号子空间的正交补空间零特征值→特征向量。Span{ q s+1,q s+2,…q l+1} 梯度运算：=[]T 式中分别是向量W的第l个元素的实部和虚部，即；ε即为。 实标量函数的梯度是一个向量，其方向代表该函数最陡下降时W变化方向的负向。 （）=2RW 3、性能测量方法。（代价函数） ①最小均方误差（MSE）：准则--误差信号功率最小： ε(W)=E[]= E[]+- 2Re(W T P)，（代价函数）→W opt=R x-1P*. ( ε(W opt)=E[]- W opt T P ---( P) ) εmin=E[]+P T R-1RW opt - 2W T opt P = E[] – P T W opt自适应信号处理 沈福民 答案
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