高等数学讲义
目录
第一章函数、极限、连续 (1)
第二章一元函数微分学 (24)
第三章一元函数积分学 (49)
第四章常微分方程 (70)
第五章向量代数与空间解析几何 (82)
第六章多元函数微分学 (92)
第七章多元函数积分学 (107)
第八章无穷级数（数一和数三） (129)
第一章 函数、极限、连续
§1.1 函数
(甲) 内容要点
一、函数的概念
1．函数的定义 2．分段函数
3．反函数 4．隐函数
二、基本初等函数的概念、性质和图象
三、复合函数与初等函数
四、考研数学中常出现的非初等函数
1．用极限表示的函数
(1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y x
t →= 2．用变上、下限积分表示的函数
(1) ⎰=
x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ⎰=
)()(21)(x x dt t f y ϕϕ 其中)(),(21x x ϕϕ可导，)(t f 连续， 则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dx
ϕϕϕϕ''=- 五、函数的几种性质
1． 有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。
2． 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。
若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。
3． 单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f <
)]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增]
（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）
4． 周期性：设)(x f 在X 上有定义，如果存在常数0≠T ，使得任意X x ∈，X T x ∈+，都有
)()(x f T x f =+，则称)(x f 是周期函数，称T 为)(x f 的周期。
由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。
§1.2 极限
(甲) 内容要点
一、极限的概念与基本性质
1．极限的概念
(1) 数列的极限A x n n =∞
→lim (2) 函数的极限lim ()x f x A →+∞=；lim ()x f x A →-∞=；lim ()x f x A →∞
= A x f x x =→)(lim 0；A x f x x =+→)(lim 0；A x f x x =-→)(lim 0
2．极限的基本性质
定理1 （极限的唯一性 ） 设A x f =)(lim ，B x f =)(lim ，则A=B
定理2 （极限的不等式性质） 设A x f =)(lim ，B x g =)(lim
若x 变化一定以后，总有)()(x g x f ≥，则B A ≥
反之，B A >，则x 变化一定以后，有)()(x g x f >（注：当0)(≡x g ，0=B 情形也称为极限的保号性）
定理3 （极限的局部有界性）设A x f =)(lim
则当x 变化一定以后，)(x f 是有界的。
定理4 设A x f =)(lim ，B x g =)(lim
则（1）B A x g x f +=+)]()([lim
（2）B A x g x f -=-)]()([lim
（3）B A x g x f ⋅=⋅)]()([lim
（4）)0()()(lim ≠=B B
A x g x f （5）
B x g A x f =)()]
([lim )0(>A
二、无穷小 1．无穷小定义：若0)(lim =x f ，则称)(x f 为无穷小（注：无穷小与x 的变化过程有关，01lim =∞→x x ，当∞→x 时x 1为无穷小，而0x x →或其它时，x
1不是无穷小） 2．无穷大定义：任给M>0，当x 变化一定以后，总有M x f >)(，则称)(x f 为无穷大，记以∞=)(lim x f 。
3．无穷小与无穷大的关系：在x 的同一个变化过程中，
若)(x f 为无穷大，则)
(1x f 为无穷小， 若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则
)(1x f 为无穷大。 4．无穷小与极限的关系：
lim ()()()f x A f x A x α=⇔=+，其中lim ()0x α=
5．两个无穷小的比较
设0)(lim =x f ，0)(lim =x g ，且l x g x f =)
()(lim （1）0=l ，称)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小，记以()[()]f x o g x =
称)(x g 是比)(x f 低阶的无穷小
（2）0≠l ，称)(x f 与)(x g 是同阶无穷小。
（3）1=l ，称)(x f 与)(x g 是等阶无穷小，记以)(~)(x g x f
6．常见的等价无穷小，当0→x 时
x x ~sin ，x x ~tan ，x x arc ~sin ，x x arc ~tan ，22
1~cos 1x x -，x e x ~1-，
x x ~)1ln(+，(1)1~x x αα+-。
7．无穷小的重要性质
有界变量乘无穷小仍是无穷小。
三、求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则1：单调有界数列极限一定存在
(1) 若n n x x ≤+1（n 为正整数）又m x n ≥（n 为正整数），则A x n n =∞
→lim 存在，且m A ≥ (2) 若n n x x ≥+1（n 为正整数）又n x M ≤（n 为正整数），则A x n n =∞
→lim 存在，且A M ≤ 准则2：夹逼定理
设)()()(x h x f x g ≤≤。若A x g =)(lim ，A x h =)(lim ，则A x f =)(lim
3．两个重要公式
公式1：1sin lim 0=→x
x x 公式2：e n n n =+∞→)11(lim ；e u
u u =+∞→)11(lim ；e v v v =+→10)1(lim 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）
当0→x 时，2
1()2!!n
x n x x e x o x n =+++++ 35
2121sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n ++=-++-++ 24
22cos 1(1)()2!4!(2)!n n
n x x x x o x n =-+-+-+ 231ln(1)(1)()23
n n n x x x x x o x n ++=-+--+ 35
21
121tan (1)()3521
n n n x x x arc x x o x n +++=-+-+-++ 2(1)(1)[(1)](1)1()2!!n n n x x x x o x n ααααααα----+=++
+++
6．洛必达法则
法则1：（00
型）设（1）0)(lim ,0)(lim ==x g x f （2）x 变化过程中，()f x '，()g x '皆存在
（3）()lim ()
f x A
g x '='（或∞） 则A x g x f =)
()(lim （或∞） （注：如果()lim
()f x g x ''不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()lim ()f x g x 不存在且不是无穷大量情形）
法则2：（∞∞
型）设（1）lim (),lim ()f x g x =∞=∞ （2）x 变化过程中，()f x '，()g x '皆存在
（3）()lim ()
f x A
g x '='（或∞） 则A x g x f =)()(lim
（或∞）
7．利用导数定义求极限 基本公式：0000()()lim ()x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆[如果存在] 8．利用定积分定义求极限 基本公式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n [如果存在]
9．其它综合方法
10．求极限的反问题有关方法
§1.3 连续
(甲) 内容要点
一、函数连续的概念
1．函数在一点连续的概念
定义1 若)()(lim 00
x f x f x x =→，则称)(x f 在点0x 处连续。 定义2 设函数)(x f y =，如果0
0lim ()()x x f x f x -→=，则称函数)(x f 在点0x 处左连续；如果)()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f 在点0x 处右连续。
如果函数()y f x =在点0x 处连续，则()f x 在0x 处既是左连续，又是右连续。
2．函数在区间内（上）连续的定义
如果函数)(x f y =在开区间（b a ,）内的每一点都连续，则称)(x f 在),(b a 内连续。
如果)(x f y =在开区间内连续，在区间端点a 右连续，在区间端点b 左连续，则称)(x f 在闭区间[b a ,]上连续。
二、函数的间断点及其分类
1．函数的间断点的定义
如果函数)(x f y =在点0x 处不连续，则称0x 为)(x f 的间断点。
2．函数的间断点分为两类：
（1）第一类间断点
设0x 是函数)(x f y =的间断点，如果)(x f 在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是)(x f 的第一类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
（2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
例如：0=x 是x x x f sin )(=的可去间断点，是x x x f ||)(=的跳跃间断点，是x x f 1)(=的无穷间断点，是x
x f 1sin )(=的振荡间断点。
三、初等函数的连续性
1．在区间I 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间I 仍是连续的。
2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。
3．在区间I 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。
4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。
5．初等函数在它的定义区间内是连续的。
四、闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a ,b ]上连续的函数)(x f ，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理1 （有界定理）如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )必在[a, b ]上有界。
定理2 （最大值和最小值定理）如果函数f (x )在闭区间[a, b ]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m .
其中最大值M 和最小值m 的定义如下：
定义 设M x f =)(0是区间],[b a 上某点0x 处的函数值，如果对于区间],[b a 上的任一点x ，总有M x f ≤)(，则称M 为函数)(x f 在],[b a 上的最大值。同样可以定义最小值m .
定理3 （介值定理）如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数c ，在],[b a 上至少存在一个ξ，使得
c f =)(ξ
推论：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号，则在),(b a 内至少存在一个点ξ，使得
0)(=ξf
这个推论也称零点定理。
思考题：什么情况下能保证推论中的ξ是唯一的？
第一讲 函数、极限与连续 一、考试要求 1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5． 理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极 限存 在与左、右极限之间的关系。 6． 掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7． 掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极 限求极限的方法。 8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷 小量求极限。 9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质 （有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数 （1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系. （2）复合函数: y=f(u), u=??()[()]x y f x ?=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域. （3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。 （5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 * 注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。 特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则?x dt t f 0)(为奇函数； 若)(x f 为奇函数，则?x a dt t f )(为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。 特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。 4、若f(x+T)=f(x), 且0)(0 =?T dt t f ，则?x dt t f 0 )(仍为以T 为周期的周期函数. 5、设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则
《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.6 12arctan lim ) 21ln(arctan lim 3 3 - =-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2 3 ) (6lim 0) (6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 3 3' )(6cos 6lim ) (6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06 ) 0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6' ''26sin 36lim 0 =∴=+-= ++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 722 ''lim 2'lim ) (6lim 2 == ==+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121 )1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 )2 ( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2 ( 3 -+= +=x x x x x b a x t b a t 2 /300 ) () ln(2 3)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴= ++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 ) (cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x += =+ 2 /10 212tan lim ln lim ->->-=∴- =-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =⎰ ⎰ >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知⎩ ⎨⎧=≠=-0,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2 -==>-x x a x （连续性的概念）
高等数学讲义 目录 第一章函数、极限、连续 (1) 第二章一元函数微分学 (24) 第三章一元函数积分学 (49) 第四章常微分方程 (70) 第五章向量代数与空间解析几何 (82) 第六章多元函数微分学 (92) 第七章多元函数积分学 (107) 第八章无穷级数（数一和数三） (129)
第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 (甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数 四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数 (1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y x t →= 2．用变上、下限积分表示的函数 (1) ⎰= x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ⎰= )()(21)(x x dt t f y ϕϕ 其中)(),(21x x ϕϕ可导，)(t f 连续， 则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dx ϕϕϕϕ''=- 五、函数的几种性质 1． 有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。 2． 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。 若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。 3． 单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f < )]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增] （注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）
第一篇 高等数学 第一章 函数与极限 2013考试内容 2013考试要求 1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。 6. 掌握极限的性质及四则运算法则。 7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值 定理、介值定理），并会应用这些性质。 一、函数的类型 1．类 型： 1.1 有界函数，如： ||1y x x =≤，()1lim sin x f x x x →∞=等等； 无界函数，如()1lim cos x f x x x →∞=。注意无界量与无穷大量的区别。 1.2 单调函数（12x x >，12()()f x f x ><或），注意单调函数一般指严格单调函数，注意它与单调不增函数或单调不减函数的区别。 1.3 周期函数，满足：()()f x T f x +=，注意T 一般指最小的正周期。 1.4 复合函数，一般形式为：()()y f g x =，指自变量为函数的函数。
1.4 反函数，, x y 存在一一映射的情况下，二者互为反函数，关于反函数具有下列重要性质： ★ 若()x g y =为()y f x =的反函数，则在某些场合，常把()y f x =的反函数记为()1f x -或 ()g x ，此时已重新把x 视为自变量，在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记号。 ★ 改变记号后，互为反函数的两个函数()y f x =和()()1y g x f x -==的曲线关于直线y x =对称；没有改变记号，互为反函数的两个函数()y f x =和()1x f y -=的曲线重合。 ★()y f x =与反函数()g x 的定义域与值域具有对偶性，即()y f x =的定义域必为()g x 的值域，而()y f x =的值域必为()g x 的定义域，并且 ()()()()g f x f g x x == 1.5 分段函数，如： ()[], 1 1, 12n n x n f x x n n x n ≤<+?==? ++≤<+? ()[][), 01 0, 21, 12x x f x x x x x x ≤? 1.6 隐函数，如2sin y x e =。 1.7 奇偶函数与对称性 ★ 若()y f x =的图形有对称轴x a =， 则有()()()()2a x t f a x f a x f t f a t -=-=+???→=-，且()f a x -为偶函数。 ★ 若()y f x =的图形有对称中心(), 0a ， 则有()()()()2a x t f a x f a x f t f a t -=-=-+???→=--，且()f a x -为基函数。
----高等数学---- 第一章函数、极限、连续 函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。 第一节数列极限与函数极限 【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限： ； 洛必达（）法则。 【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用 等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。 【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界 准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。 一、数列的极限 1.数列的极限 无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数 列的一般项或通项。设有数列 和常数A 。若对任意给定的，总存在自然数， 当n>N 时，恒有，则称常数A 为数列的极限，或称数列收敛于A ，记为 或。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。 2.极限存在准则 （1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有 ，且有 ，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论. （2）定理：单调有界数列必有极限.
高等数学1重要知识点总结 •相关推荐 高等数学1重要知识点总结 在我们的学习时代，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。掌握知识点有助于大家更好的学习。下面是小编为大家整理的高等数学1重要知识点总结，希望对大家有所帮助。 高等数学1重要知识点总结1 1、函数、极限与连续 重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。 2、一元函数微分学 重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。 3、一元函数积分学 重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。 4、向量代数与空间解析几何（数一） 主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等））解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。 5、多元函数微分学 重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件
极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 6、多元函数积分学 重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。 7、无穷级数（数一、数三） 重点考查正项级数的`基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。 8、常微分方程及差分方程 重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。 高等数学1重要知识点总结2 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N_或N+ 整数集：Z
考研数学一知识点总结 数学一是考研数学的重要组成部分，涵盖了高等数学、线性代数和 概率论等知识点。在备考过程中，我们需要掌握一些重要的知识点， 并加以总结和归纳，以便更好地应对考试。本文将对考研数学一的知 识点进行总结，希望能够对大家备考有所帮助。 首先，高等数学是考研数学一的基础，包括微积分、数学分析和常 微分方程等内容。在微积分方面，我们要熟悉函数的极限、导数和积 分的概念，并掌握一些常用的求导和求积分的方法。在数学分析方面，我们需要理解数列和函数的极限、连续性和可导性等概念，并能够应 用一些基本的极值和最值问题的解法。在常微分方程方面，我们要了 解一阶和二阶微分方程解的存在唯一性定理，并学会应用一些基本的 求解方法和理解解的性质。 其次，线性代数也是考研数学一的重要内容，主要涉及向量空间、 线性方程组和矩阵论等知识点。在向量空间方面，我们需要掌握向量 的线性相关与线性无关、向量空间的基与维数以及向量空间的子空间 等概念，并能够解决一些相关的问题。在线性方程组方面，我们要了 解线性方程组的解的存在性和唯一性，并学会求解一般线性方程组和 特殊线性方程组的方法。在矩阵论方面，我们需要了解矩阵的初等变换、矩阵的秩与逆以及矩阵的特征值和特征向量等内容，并能够应用 到实际问题中。 最后，概率论也是考研数学一的重点内容，主要包括概率基础、随 机变量和常用概率分布等知识点。在概率基础方面，我们需要熟悉事
件概率的概念、加法定理和乘法定理，并会计算条件概率和全概率。 在随机变量方面，我们要掌握离散随机变量和连续随机变量的概念、 分布函数和概率密度函数，并能够计算随机变量的期望和方差等指标。在常用概率分布方面，我们需要了解离散分布（如二项分布和泊松分布）和连续分布（如正态分布和指数分布）的概念、特点和应用，并 能够进行相应的概率计算和统计分析。 综上所述，考研数学一的知识点非常广泛，需要我们有系统地学习 和掌握。在备考过程中，我们要注重理论的理解和基本知识的掌握， 同时要注重与实际问题的结合，进行一些典型问题的练习和题目的解析。只有掌握了基本知识点，并能够熟练地应用到解决问题中，才能 在考试中取得好的成绩。希望大家能够认真学习，努力备考，为自己 的理想与目标努力奋斗！
2021考研数学：高等数学每章知识点汇总第一章：函数与极限 1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 2.会建立简单应用问题中的函数关系式。 3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。 4.掌握基本初等函数的性质及图形。 5.理解复合函数及分段函数的相关概念，了解反函数及隐函数的概念。 6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。 7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存有与左右极限间的关系。 8.掌握极限存有的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 9.掌握极限性质及四则运算法则。 10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 第二章：导数与微分 1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函 数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性， 会求初等函数的微分。 3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的 高阶导数。 第三章：微分中值定理与导数的应用 1.熟练使用微分中值定理证明简单命题。 2.熟练使用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。 3.了解函数图形的作图步骤。了解方程求近似解的两种方法：二 分法、切线法。 4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。 第四章：不定积分 1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。 2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分 3.掌握不定积分的分步积分法。 4.掌握不定积分的换元积分法。 第六章：定积分的应用 1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。 2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积) 及函数的平均值。
考研数学一的各章节知识点 考研数学一的各章节知识点，更多考研数学复习指导、考研数学备考经验、考研历真题及答案等信息，请及时关注考研数学一有高等数学、线性代数、概率论与数理统计三部分内容。下面就为各位考生预测一下考研数学一的高等数学、线性代数、概率论与数理统计三部分中有哪些可能考察的知识点，希望大家学业有成，工作顺利 一、高等数学考点函数、极限、连续： (1)无穷小量、无穷小量的比较方法、用等价无穷小量求极限;(2)函数连续性、判别函数间断点的类型;(3)闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)。 一元函数微分学：(1)罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理、柯西中值定理;(2)用洛必达法则求未定式极限; (3)用导数判断函数的单调性和求函数极值、最大值和最小值;(4)求函数图形的拐点及水平、铅直和斜渐近线;(5)计算曲率和曲率半径。
一元函数积分学：(1)求变上限积分函数的导数、牛顿-莱布尼兹公式;(2)计算反常积分; (3)用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值。 向量代数和空间解析几何：(1)求平面方程和直线方程;(2)求简单的柱面和旋转曲面的方程。 多元函数微分学：(1)求多元复合函数一阶、二阶偏导数;(2)求多元隐函数的偏导数; (3)求空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程;(4)求简单多元函数的最大值和最小值。 (1)计算二重积分、三重积分;(2)计算两类曲线积分、曲面积分;(3)格林公式、高斯公式;
2021考研数学：高等数学每章知识点汇总2021考研的同学们现在正处于早前规划阶段，建议数学高数基础不好的小伙伴早点开始复习，早点搞定考研数学高数，考取几率就大大增加，老师整理了2021考研数学：高等数学每章知识点汇总的相关内容，希望对大家有所帮助。 第一章：函数与极限 1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 2.会建立简单应用问题中的函数关系式。 3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。 4.掌握基本初等函数的性质及图形。 5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。 6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。 7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。 8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 9.掌握极限性质及四则运算法则。 10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 第二章：导数与微分 1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。
3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 第三章：微分中值定理与导数的应用 1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。 2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。 3.了解函数图形的作图步骤。了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。 4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。 第四章：不定积分 1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。 2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分 3.掌握不定积分的分步积分法。 4.掌握不定积分的换元积分法。 第六章：定积分的应用 1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。 2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)及函数的平均值。 第七章：微分方程 1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。 2.会解奇次微分方程，会用简单变量代换解某些微分方程. 3.掌握可分离变量的微分方程，会用简单变量代换解某些微分方程。 4.掌握二阶常系数齐次微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次微分方程。
考研数学第一章知识点详解 来源：文都图书 不知不觉已经进入寒假了，对于准备2017考研的同学们。这个寒假已近不同于以往的寒假了。如果大家能偶把握好这个阶段，对日后的复习会有很大的帮助。那么对于考研数学来说，在基础复习的阶段，一定是以课本为主，所以在这个寒假，大家基本上是从第一掌开始进行复习。所以下面就给大家总结一下第一章的重要知识点，给大家梳理一下。 首先我们来说说函数。函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，我们在这里主要是来帮大家回顾一下，函数的四大性质我们会在后面的章节中，结合到具体函数来加以分析，其中函数的有界性和复合函数运算，要认真学习理解，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都有一定的关系，所以请同学们认真学习理解。 其次是极限。极限是我们整个高等数学的思想，所以一定要认真学习，下面我们来复习一下有关极限计算有几种情况： (1)四则运算。四则运算要求每个极限都存在，才可以有有两个函数的极限等于分别求极限之和或者之积，否则我们既就不能应用四则运算。 (2)等价无穷小替换。等价无穷小替换公式主要用于极限的计算化简，使得我们可以更快加迅速的求解，但是我们要注意等价无穷下是在极限后独立乘除的式子中才可以用，并不是任何情况下都可以等价替换的，这一点请同学们要记住。同时，我们必须把相关常用的等价无穷小替换公式记住，并且会用它的广义化形式，这样才能运用自如。 (3)洛必达法则。说起这个法则，大家应该都很熟悉，但是使用洛必达法则是需要条件的，它是有三个条件的，而且，洛必达法则也并不是一上来就用的，一般是先利用等价无穷替换公式和四则运算又或者是先把非零因式提出来，进而将极限形式简化，最后再用洛必达法则，当然是要先满足洛必达法则的三个条件才能用。
考研数学一的各章节知识点参考资料 考研数学一的各章节知识点参考资料 考研数学一的各章节知识点——高等数学考点函数、极限、连续 1无穷小量、无穷小量的比较方法、用等价无穷小量求极限;2函数连续性、判别函数间断点的类型;3闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理。 一元函数微分学：1罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理、柯西中值定理;2用洛必达法则求未定式极限; 3用导数判断函数的单调性和求函数极值、最大值和最小值;4求函数图形的拐点及水平、铅直和斜渐近线;5计算曲率和曲率半径。 一元函数积分学：1求变上限积分函数的导数、牛顿-莱布尼兹公式;2计算反常积分; 3用定积分表达和计算一些几何量与物理量平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等及函数的平均值。 向量代数和空间解析几何：1求平面方程和直线方程;2求简单的柱面和旋转曲面的方程。 多元函数微分学：1求多元复合函数一阶、二阶偏导数;2求多元隐函数的偏导数; 3求空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程;4求简单
多元函数的最大值和最小值。 1计算二重积分、三重积分;2计算两类曲线积分、曲面积分;3格林公式、高斯公式; 4用重积分、曲线积分、曲面积分求一些几何量和物理量。无穷级数： 1任意项级数绝对收敛与条件收敛;2函数项级数的.收敛域及和函数;3幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域;4常用函数的麦克劳林展开式。常微分方程： 1变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程;2二阶常系数齐次线性微分方程;3用微分方程解决一些简单的应用问题。 考研数学一的各章节知识点——线性代数考点 1行列式的常见求法;2用伴随矩阵求逆矩阵，用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵; 3求向量组的秩、矩阵的秩与其行列向量组的秩之间的关系、求过渡矩阵、正交矩阵;4非齐次线性方程组解的结构及通解;5求矩阵的特征值和特征向量、将矩阵化为相似对角矩阵;6用正交变换化二次型为标准形。 考研数学一的各章节知识点——概率论与数理统计考点 1全概率公式、贝叶斯公式; 20-1分布、二项分布、泊松分布的应用、均匀分布、正态分布、指数分布及其应用、求随机变量函数的分布; 3二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度、求两个随机变量简单函数的分布;
高数第一章知识点总结 高数第一章知识点总结 希望同学们在准备考研数学高数的复习过程中能够适当结合真题与模拟题，下面是小编精心收集的高数第一章知识点总结，希望能对你有所帮助。 篇一：高数第一章知识点总结 高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点： 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。 3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。 6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
考研数学高数定理定义总结 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且li m(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。
考研高数知识点总结第一单元函数 考研高数知识点总结第一单元函数 第一单元函数1.1函数 函数是变量与变量的一种对应关系。本书变量均取值于实数。1.1.1实数 实数：有理数（分数）和无理数（无限不循环）的总称。 性质：1、封闭性，实数对四则运算（加减乘除）是封闭的，即任意两个实数进行加减乘除（除法分数不为0）运算后，其结果仍为实数。 2、有序性，即任意两个实数可比较大小（a>b,=,0。δ：此邻域半径该邻域记作O（α，δ）或O（α）3 α的去心邻域：O（α，δ）去掉中心α记作O（α，δ）或O（α）由于α-δ<> 常量：在某个研究过程保持不变的量变量：可以取不同数值的量 变量y是变量x的一个函数：设在某一问题中有两个变量x和y,变量x 的变化范围为D。如果对D中每一个值x，按照某种对应方法f，都有变量y 的一个唯一确定值与之对应，则称变量y是变量x的一个函数。记为 y=f(x),x∈Dx为自变量，y为因变量或函数， x的变化范围D为函数的定义域，y的变化范围为函数的值域，记为M 注意：函数主由对应法则和其定义域D确定，与变量所选用的记号无关。5函数定义域：1、分母不为零 2、开偶次方，被开方式的值非负
3、对数式中真数必须>零,底数>0且≠1eg.logaXa底数Eg.1、 F(x)=2lgXg(x)=lg 不等。F(x)定义域（-∞,+∞）g(x)定义域(-∞,0)∪(0,+∞) 2、F(x)=xg(x)= 等。定义域均为（-∞,+∞），对应法则相同g(x)=F(x) 函数的表示方法：1、列表法：便于应用 2、图像法：直观性，便于对函数进行定性分析 3、解析法/公式法：用解析表达式表示函数的方法4解析表达式：对于自变量和常数施以四则运算、乘幂logaX、指数 分段函数：需用两个或两个以上的公式表示的函数 注意： 1、分段函数是由几个公式合起来表示的一个函数 2、其定义域是各段上x取值范围的并集 3、在求函数值时，首先要根据x所在的区段，再用该区段的函数表达式 、取对数 、三角函数、反三角函数等数学运算所得到的式子 符号函数：f（x）=sgnx=1(x>0);定义域D=（-∞，+∞）0(x=0);值域W={-1,0,1}-1(x<0) 对于任何实数x，x=sgnx|x|
高等数学 目录 第一章函数、极限、连续 (1) 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 一元函数微分学 ··································································· 24 一元函数积分学 ··································································· 49 常微分方 程 ·········································································· 70 向量代数与空间解析几何 ··················································· 82 多元函数微分 学 ··································································· 92 多元函数积分 学 ................................................................... 107 无穷级数（数一和数三） (129) 第一章函数、极限、连续 §1.1 函数 (甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数 四、考研或竞赛数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数 (1) y=limfn(x) n→∞ 4．隐函数 (2) y=limf(t,x) t→x 2．用变上、下限积分表示的函数 (1) y= (2) y= 则⎰xaf(t)dt 其中f(t)连续，则dy=f(x) dx⎰ϕϕ2(x)1(x)f(t)dt 其中ϕ1(x),ϕ2(x)可导，f(t)连续， dy'(x)-f[ϕ1(x)]ϕ1'(x) =f[ϕ2(x)]ϕ2dx 五、函数的几种性质
第一讲函数、极限与连续 一、考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5．理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极 限存在与左、右极限之间的关系。 6．掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7．掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷 小量求极限。 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 11.掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数 （1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系. （2）复合函数: y=f(u), u=ϕϕ()[()]x y f x ⇒=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域. （3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。 （5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 *注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。 特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则⎰x dt t f 0)(为奇函数； 若)(x f 为奇函数，则⎰x a dt t f )(为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。 特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。 4、若f(x+T)=f(x), 且0)(0 =⎰T dt t f ，则⎰x dt t f 0 )(仍为以T 为周期的周期函数. 5、设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则