第六章 多元函数微分学
§6.1 多元函数的概念、极限与连续性
(甲)内容要点
一、多元函数的概念
1．二元函数的定义及其几何意义
设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P (x,y )∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。
二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。
例如 1:,
1222
2≤+--=y x D y x z 二元函
数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。 2．三元函数与n 元函数
Ω∈=),,(),,,(z y x z y x f u 空间一个点集，称为三元函数
。n x x x f u n 元函数称为),,,(21 =
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限
设),(),(00y x y x f 在点的邻域内有定义，如果对任意
,00>>δε存在，只要
εδ<-<-+-A y x f y y x x ),(,)()(2020就有
则记以A y x f A y x f y x y x y y x
x ==→→→),(lim ),(lim )
(),(000
或
称当),(),(),(00y x ，f y x y x 时趋于的极限存在，极限值为A 。否则，称为极限不存在。 值得注意：),(),(00y x y x 趋于这里是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于
),(00y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和
简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
三、二元函数的连续性
1．二元函数连续的概念
若处连续在点则称),(),(),(),(lim 00000
y x y x f y x f y x f x
x y y =→→ 若D y x f 在区域),(内每一点皆连续，则称),(y x f 在D 内连续。 2．闭区域上连续函数的性质
定理1 （有界性定理）设),(y x f 在闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上一定有界 定理2 （最大值最小值定理）设),(y x f 在闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上一定有最大值和最小值(,)(,)max (,)(),
min (,)()x y D
x y D
f x y M f x y m ∈∈==最大值最小值
定理3 （介值定理）设),(y x f 在闭区域D 上连续，M 为最大值，m 为最小值，若
,M c m ≤≤则存在使得,),(00D y x ∈C y x f =),(00
§6.2 偏导数与全微分
（甲）内容要点
一、偏导数与全微分的概念 1．偏导数 二元：设),(y x f z =
x
y x f y x x f y x f x z x x ∆-∆+='=∂∂→∆)
,(),(lim ),(0
y
y x f y y x f y x f y z y y ∆-∆+='=∂∂→∆)
,(),(lim ),(0
三元：设),,(z y x f u =
),,();,,();,,(z y x f z
u
z y x f y u z y x f x u z y x '=∂∂'=∂∂'=∂∂ 2．二元函数的二阶偏导数
设 ),,(y x f z =
)(),(22x z x y x f x z xx ∂∂∂∂=''=∂∂， )(),(2x
z y y x f y x z xy
∂∂∂∂=''=∂∂∂ )(),(2y z x y x f x y z yx
∂∂∂∂=''=∂∂∂， )(),(22y z
y y x f y
z yy ∂∂∂∂=''=∂∂
3．全微分
设 ),,(y x f z = 增量),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆
若 ))()((2
2y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆
当 时00→∆→∆y x
则称 ),(y x f z =可微，而全微分y B x A dz ∆+∆= 定义：y dy x dx ∆=∆=,
定理：可微情况下，),(),,(y x f B y x f A y x '='=
dy y x f dx y x f dz y x ),(),('+'=∴
三元函数 ),,(z y x f u =
全微分 dz z y x f dy z y x f dx z y x f du z y x ),,(),,(),,('+'+'=
4．相互关系
(,)
(,)x y f x y f x y ''连续
(,)df x y ⇒存在
(,),(,)(,)x y f x y f x y f x y ''存在连续
5．方向导数与梯度（数学一） 二、复合函数微分法——锁链公式
三、隐函数微分法
设 ),(0),,(y x z z z y x F ==确定
则 )0(;≠''
'-=∂∂''-=∂∂z z y z x F F F y z F F x z
要求偏导数连续且
四、几何应用（数学一）
1．空间曲面上一点处的切平面和法线 2．空间曲线上一点处的切线和法平面
§6.3 多元函数的极值和最值
（甲）内容要点
一、求的极值),(y x f z =
第一步 ),,2,1()
,(0
),(0
),(l k y x y x f y x f k k y x =⎩⎨
⎧='='求出驻点
第二步 []
2
),(),(),(k k xy k k yy k k xx
k y x f y x f y x f ''-''''=∆令 是极值
则若值定义出发讨论）
不能确定（有时需从极则若不是极值
则若),(0
0),(0k k k k k k k y x f y x f >∆=∆<∆ 进一步
为极大值则若为极小值则若),(0),(),(0),(k k k k xx
k k k k xx
y x f y x f y x f y x f <''>''
二、求多元（2≥n ）函数条件极值的拉格朗日乘子法
求 的极值),,(1n x x f u =
约束条件 )(0
),,(0),,(1
m 11n m x x x x n n <⎪⎩⎪
⎨
⎧== ϕϕ
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=='=='
='='+==∑=0
),,(0),,(00
)
,(),,(),,,,,(11111
11111n m n x x n i m
i i n m n x x F x x F F F x x x x f x x F F m n ϕϕϕλλλλλ令
求出 ),,2,1(),,(1l k x x k
n k
=是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确
定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。
三、多元函数的最值问题（略）
考研高等数学知识点整理（附思 维导图） 被考研高数折磨过的小伙伴一定都知道那种痛苦： 泰勒展开、麦克劳林展开、夹逼定理、定积分不定积分、微分多元微分...... 作为成功登陆的一员，我觉得有义务帮对岸的朋友考研一把。下面这张考研高数知识图我之前用过，希望能给你带来好运。我不多说了。 一、函数 先明确一些基本概念，比如函数的定义，函数的性质，什么是复合函数，反函数，隐函数。 理解概念很重要！理解概念很重要！理解概念很重要！重要的事情说三遍~ 很多问题我们不会做。其实不是我们解决问题的能力不好，而是我们连基本概念都没搞清楚，自然无从下手，或者说解决问题的方向是偏了！这是我十几年应试的血泪教训！ 熟悉基本初等函数，包括幂函数、指数函数、对称函数、三角函数、反三角函数，要把公式和参数适用范围记住； 常用的函数有绝对值函数、符号函数、整数函数、狄利克雷函数、极大值函数、可变积分上限函数(我认为是最变态的)和双曲函数。 二、极限
同样的，先厘清极限的定义 了解数列极限的基本性质：极限的唯一性，收敛数列的有界性和保号性，收敛数列与子数列间的关系 了解函数极限（区别于数列极限）的基本性质： 极限的唯一性，局部有界性和局部保号性（这是和数列极限很大的不同） 无穷小量和无穷大量 极限的四则运算 极限存在的判别方法：单调有界定律和夹迫定律（也有叫夹逼定理的，说的都是一个意思），这两个定律很常见，注意熟练使用 三、函数的连续性 四、导数与微分 基本初等函数的导数公式都得背下来 五、中值定理 这部分很难(可能只是对我来说，我是个坏学生)，也是常规考试的重点。 六、函数单调性与凹凸性 这部分也是重点。 七、渐近线与曲率 八、不定积分
考研数学各部分知识点总结（共 13篇） 篇1：考研数学各部分知识点总结 考研数学各部分知识点总结 现在是考研的最后一个月。这时候复习数学，考生千万不要再做很多题了。他们要回归教材，梳理基础知识点，梳理整个学科的知识框架。保持良好的心态，以最好的状态去考场。李老师根据多年的教学经验，总结了考研高等数学的知识体系，希望对广大市民有所帮助。 从整个学科上来看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算极限以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。 极限部分： 极限的计算方法有很多种，总结起来有十多种。这里只列举主要的:四则运算、等价无穷小替换、洛必达定律、重要极限、泰勒公式、中值定理、压缩定理、单调有界收敛定理。每种方法都以教材的具体形式进行了详细的描述。考生可以自行复习，不清楚的可以翻到相应章节。 会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义的基本概念：
通过极限，我们定义了函数的连续性:函数连续性的定义是，根据极限的定义，我们知道这个定义等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后对间断点进行分类，具体标准如下: 由此也可以看出，讨论函数间断点的分类只需要计算左右极限。 然后是导数的定义。函数导数的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限公式比之前稍微复杂一点，但本质上是一样的。最后是可微性的定义。函数的可微性的定义是有一个常数只与它有关，与它无关。直接利用它的定义，可以证明函数的可微性和可微性在一点上是等价的，并且都强于函数在该点的连续性。 以上是极限体系下的主要知识点。 导数部分： 导数可以通过它的定义来计算，比如分段函数在分段点的导数。但更多的时候，我们是通过各种求导规则直接计算。主要的求导法则有:四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导法则。其中变量上限积分的求导公式本质上应该是积分学的内容，但通常是和导数的知识点一起算出来的，所以我们把它放到求导法则里。在熟练运用这些基本求导规则后，我们需要掌握几种特殊形式的函数求导的计算:隐函数求导和参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不可数的导数。这部分题目往往不难，但是计算量比较大，要求考生有很高的熟练程度。 然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法：①求单调区间或证明单调
同济大学高等数学知识点总结 高考数学解答题部分主要考查七大主干知识： 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。 对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落
在解题上。考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力 和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要 途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。训练的内容必须根据考纲 的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提 炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。 在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同 步推进。 1.知识层面 也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。数学高 考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知 识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。考生们在清理这些知识点时，首先是点点必记，不可遗漏。再是建立 相关联的网络，做到取自一点，连成一线，使之横竖纵横都逐个、逐级并 网连遍，从而牢固记忆、灵活运用。 2.能力层面 从知识点的掌握到解题能力的形成，是综合，更是飞跃，将知识点的 内容转化为高强的数学能力，这要通过大量练习，通过大脑思维、再思维，从而沉淀而得到数学思想的精华，就是数学解题能力。我们通常说的解题 能力、计算能力、转化问题的能力、阅读理解题意的能力等等，都来自于 千锤百炼的解题之中。 3.创新层面
考研高数知识点总结 一、导数与微分 导数是研究函数局部性质的重要工具，是高数中一个极其重要的概念。导数的定义是函数的变化率，它反映了函数在某一点的局部性质。导数的大小表示函数在某一点的斜率，而导数的正负则表示函数在某一点的单调性。导数的计算包括求导公式、复合函数的导数、隐函数的导数等。 微分是导数的线性近似，它在近似计算中有重要作用。微分的定义是函数改变量的线性部分，它反映了函数在某一点的局部变化率。微分的大小表示函数在某一点的斜率的变化率，而微分的正负则表示函数在某一点的单调性的变化。微分的计算也包括求微分公式、复合函数的微分、隐函数的微分等。 二、中值定理与不定积分 中值定理是微分学中的基本定理，它表明在闭区间上的连续函数至少有一个值等于其最大值和最小值之间的某个值。这个定理有许多重要的推论，例如拉格朗日中值定理和柯西中值定理。 不定积分是微积分的一个重要部分，它是求一个函数的原函数或反导
数的过程。不定积分的结果是一个函数族，这些函数的导数等于被积函数。不定积分的计算包括运用积分公式、换元积分法、分部积分法等方法。 三、定积分与定积分的几何意义 定积分是微积分的一个重要部分，它是求一个函数在某个区间上的总值的过程。定积分的几何意义是求一个曲线与坐标轴围成的图形的面积。定积分的计算包括运用积分公式、换元积分法、分部积分法等方法。 四、级数与反常积分 级数是无穷序列的和，它可以分为收敛级数和发散级数。收敛级数的和是一个有限的数，而发散级数的和是无穷大。级数的计算包括求和公式、幂级数展开等。 反常积分是瑕积分和反常积分的总称，它们是处理不连续函数或具有奇点的函数的重要工具。反常积分的计算包括运用积分公式、换元积分法等方法。 以上是考研高数知识点的大致总结。高数是一门非常深奥的学科，需要我们在学习的过程中不断深入理解并多加练习。希望这篇文章能对
考研高等数学知识点总结 高等数学知识点总结 导数公式： 导数公式是高等数学中的重要内容，其中一些常见的导数公式包括： frac{d(\tan x)}{dx}=\sec x$ frac{d(\cot x)}{dx}=-\csc x$ frac{d(\sec x)}{dx}=\sec x\tan x$ frac{d(\csc x)}{dx}=-\csc x\cot x$ frac{d(ax)}{dx}=ax\ln a$ frac{d(\log_a x)}{dx}=\frac{1}{x\ln a}$
frac{d(\arcsin x)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ frac{d(\arccos x)}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ frac{d(\arctan x)}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$ frac{d(\text{arccot} x)}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$ 基本积分表： 基本积分表是高等数学中的重要内容，其中一些常见的积分公式包括： int \tan x dx=-\ln|\cos x|+C$ int \cot x dx=\ln|\sin x|+C$ int \sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$
int \csc x dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$ int \frac{dx}{x\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}} {a}|+C$ int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$ int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C$ int \frac{dx}{a+x}=\ln|a+x|+C$ int \sin^2 x dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin 2x)+C$ int \cos^2 x dx=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin 2x)+C$ int \sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$
第六讲 一元函数微积分的应用 一、考试要求 1、理解（了解）函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌 握函数最大值和最小值的求法及其应用。 2、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形。 3、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径（*） 4、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋 转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力、质心等）及函数的平均值。（数三、四只要求面积、旋转体的体积及简单的经济应用） 二、 导数的应用 主要涉及如下几个方面 1、求曲线的切线及法线方程 2、判断函数的单调性、凹凸性 3、研究函数的极值和最值 4、证明恒等式（不等式） 5、求渐进线方程 6、函数作图 7、方程根的确定 1、 求曲线的切线与法线方程 1、切线方程 ))((000x x x f y y -'=- 2、法线方程 ) () (1000x x x f y y -'- =- 注：若0)(0='x f ，切线方程为)(0x f y = ，法线方程为0x x = 若∞=')(0x f ，切线方程为0x x = ，法线方程为)(0x f y = 例1、设)(x f 是可导的偶函数，它在0=x 的某邻域内满足 )(2)sin 1(3)(2 2 2 2 x o x x f e f x +=+-， 求曲线)(x f y =在点))1(,1(--f 处的切线方程及法线方程。
例2、（021）已知曲线)(x f y =与? -= x t dt e y arctan 0 2 在)0,0(处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2 lim ()n nf n →∞ 2、 函数的单调性、凹凸性、极值、曲线的拐点 函数的单调性与极值 定理：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， ① 如果在(a,b)内0)(>'x f ，则函数y=f(x)在[a,b]上单调增加； ② 如果在(a,b)内0)(<'x f ，则函数y=f(x)在[a,b]上单调减少. 定理：1)(取极值的必要条件)设)(x f 在0x 达到极大或极小值，并且在0x 的某个邻域内可微，则.0)('0=x f 2）两个充分条件： （1）如果存在0>δ使得(i) )(x f 在),(00δδ+-x x 中有定义；（ii ） ∈?≤x x f ,0)('),(00x x δ-; （iii ）∈?≥x x f ,0)('),(00x x +δ; 则函数)(x f 在0x 的达到极小值。 类似：)(x f 在0x 的达到极大值。 （2）如果存在0>δ使得(i) )(x f 在),(00δδ+-x x 中有定义；（ii ） 0)('0=x f ; （iii ）;0)(''0 2021考研数学：高等数学每章知识点汇总第一章：函数与极限 1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 2.会建立简单应用问题中的函数关系式。 3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。 4.掌握基本初等函数的性质及图形。 5.理解复合函数及分段函数的相关概念，了解反函数及隐函数的概念。 6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。 7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存有与左右极限间的关系。 8.掌握极限存有的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 9.掌握极限性质及四则运算法则。 10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 第二章：导数与微分 1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函 数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性， 会求初等函数的微分。 3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的 高阶导数。 第三章：微分中值定理与导数的应用 1.熟练使用微分中值定理证明简单命题。 2.熟练使用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。 3.了解函数图形的作图步骤。了解方程求近似解的两种方法：二 分法、切线法。 4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。 第四章：不定积分 1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。 2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分 3.掌握不定积分的分步积分法。 4.掌握不定积分的换元积分法。 第六章：定积分的应用 1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。 2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积) 及函数的平均值。 考研数学必备高等数学知识点总结高等数学作为考研数学科目的一部分，是考生们需要重点复习的内容之一。在考研数学中，高等数学占据了相当大的比重，因此对高等数学知识点的掌握和理解是考生们成功的关键。本文将对考研数学中必备的高等数学知识点进行总结，以帮助考生们更好地备考。 1. 极限与连续 1.1 极限的定义及性质 极限是高等数学中的核心概念之一，它描述了函数或者数列的趋近行为。在考研数学中，需要掌握极限的定义以及一系列的性质，如极限的四则运算法则、夹逼准则等。 1.2 连续函数 连续函数是高等数学中的重要概念，它描述了函数在某一点的连续性。在考研数学中，需要理解连续函数的定义以及一些常见连续函数的性质，如初等函数的连续性、连续函数的运算法则等。 2. 导数与微分 2.1 导数的定义及性质 导数是描述函数在某一点的变化率，它是高等数学中的重要概念之一。在考研数学中，需要掌握导数的定义以及一系列的性质，如导数的四则运算法则、链式法则等。 2.2 微分与微分近似 微分是导数的几何意义，它描述了函数在某一点的切线斜率。在考 研数学中，需要理解微分的定义及其与导数的关系，同时还需要了解 微分近似的方法，如线性近似、切线法等。 3. 不定积分与定积分 3.1 不定积分的求法 不定积分是函数的原函数，它描述了函数在一定区间上的变化情况。在考研数学中，需要掌握常见函数的不定积分求法，如初等函数的不 定积分、分部积分法、换元积分法等。 3.2 定积分的计算与应用 定积分是函数在一定区间上的累积变化量，它描述了函数在该区间 上的总体变化情况。在考研数学中，需要理解定积分的定义以及一些 计算方法，如定积分的基本性质、定积分的几何意义等。同时还需要 掌握定积分在几何、物理等方面的应用，如面积计算、质量、重心等 的计算。 4. 二重积分与三重积分 4.1 二重积分的计算与应用 二重积分是函数在二维区域上的累积变化量，它描述了函数在该区 域上的总体变化情况。在考研数学中，需要掌握二重积分的计算方法，如二重积分的基本性质、二重积分的换序等。同时还需要了解二重积 分在几何、物理等方面的应用，如计算面积、质量、质心等。 考研数学高数定理定义总结 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且li m(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。 大学高等数学知识点总结六 高等数学重要知识点总结 3 1、起步阶段（到20xx年11月） 了解数学考研内容、考试形式和试卷结构，对自我进行评测并对测评结果认真分析，找出弱点与不足，制定科学合理的个性化学习计划，准备资料进入复习状态。 2、基础阶段（201xx年12月——20xx年6月） 学习目标：全面整理考研数学的知识点，掌握基本概念、定理、公式并能进行基本应用，经典教材基础知识掌握熟练，课后习题能够**解决，基础试题测试正确率达到90%以上。 学习形式：参加基础班视频教学学习和教师辅导答疑相结合。其中视频教学80课时，答疑辅导及知识补充约80课时。 学习时间：从20xx年12月——6月，约6——7个月时间，每天3~4小时。基础较差或要考高分（125分以上）的学员时间最好提前开始复习。 学习方法：根据去年考研数学大纲要求结合教材对应章节系统复习，打好基础，特别是对大纲中要求的基本概念、基本理论、基本方法要系统理解和掌握，完成数学考研备战的基础准备。大家在基础阶段花大力气把基础夯实是很值得的，并且近几年的数学考研试题越来越偏基础。在这个阶段，建议大家分为两步来复习： 第一步，教材精学：集中精力把教材好好地梳理，按照大纲要求结合教材相应章节全面复习，按章节顺序**完成教材的练习题，通过练习知识点进行巩固。不懂一定要随时**。建议 每天学习新内容前复习前面学过的内容，因为教材的编写是环环相扣，易难递进的编排，所以我们也要按照规律来复习，经过必要的重复会起到事半功倍的效果。这个阶段约需要4~5个月的时间。 第二步，基础知识巩固和提高：通过考研基础试题的练习和测试，对考研的知识点进行巩固和加深理解，并能进行基本应用。建议大家使用与教材配套的复习指导书或习题集，通过做题巩固知识。在练习过程中遇上不懂或似懂非懂的题目要认真思考，不要直接看参***，应当先温习教材相关章节再尝试解题。按要求完成练习测试后，要留一些时间对教材的内容进行梳理，对重点、难点做好笔记，以便于后面复习把它消化掉。这个阶段约需要2个月的时间。 此阶段可以结合同学们自己的实际学习情况，比如有些同学某部分内容不熟悉或没学过，可以到理学院咨询相关教师，去随堂听课。 3、强化阶段 学习目标：按照20xx年考研最新大纲要求，进一步巩固和强化考研数学的'重点、热点和难点，从知识结构上进行系统训练，能够按照考试要求解题，能够**完成一定难度的试题，要求测试成绩正确率达到80%以上。 学习形式：暑期强化班视频教学和教师辅导答疑相结合。其中视频100课时，答疑辅导约60课时。学习时间：从7月~9月，约3个月时间，每天4小时。 学习方法：通过对考研数学辅导材料（考研复习全书）的研读和试题精解，在巩固第一阶段学习成果的基 础上系统掌握知识脉络，提高解题的速度和正确率。本阶段是考研复习的关键，大体可以分两轮学习：第一轮：7月到 考研数学知识点总结归纳 考研数学是所有考研学科中最具挑战性的一门科目，尤其是对于想要攻读理工科生专业的考生来说。要在考研数学中取得好的成绩，需要对各种知识点有深入的掌握和理解。因此，在此总结和归纳了一些考研数学的知识点，希望能够对广大考生有所帮助。 一、高等数学 1.极限 极限是高等数学中最基本的概念之一，它的理解与掌握对于理解微积分等后续课程至关重要。简单来说，极限概念具体指的就是当x无限接近于某个数a时，相应的函数值也无限接近于某个数L。 2.导数 导数也是高等数学最基本的概念之一，它是微积分中的关键概念，用于研究曲线及其变化规律。导数的本质是函数在某一点处的变化率，它可以理解成函数在一个点上的斜率。 3.微积分基础 微积分是高等数学的核心内容，它包括函数、极限、导数、微分、积分、微分方程等几个部分，这些部分共同构成了微积分学科中的基础。在考研数学中，微积分的部分主要包括函数 的极限、连续性与间断性、导数、微分、不定积分、定积分和微分方程等内容。 4.级数 级数是一种特殊的数列，其中各项之和被称为级数的部分和。在数学和物理学中，级数是非常重要的数学工具，也是分析数学和代数学中的基础。 5.常微分方程 常微分方程（ODE）是微积分的应用方向之一，涉及到一阶和高阶常微分方程的求解。许多物理、化学、工程等领域的问题都可以被建模为常微分方程问题，因此考研数学中常微分方程的部分也是不可或缺的内容。 二、线性代数 1.向量 向量是线性代数中的核心概念，它是一种带有方向和大小的对象。在数学、物理、工程、计算机科学等众多领域中，向量都是非常常见的数学概念，考研数学也是不可或缺的知识点。 2.矩阵 矩阵也是线性代数中的基本概念之一，它是一个矩形的数字数组。在各个领域中，矩阵是非常常见的数学工具，可以用于解决众多的数学问题。 3.线性方程组 考研高数知识点总结 高等数学是研究数与其变化规律的一门基础课程，是理工科学生学习的重要课程之一。在考研数学中，高等数学是必考科目之一，占有较大比重。下面就考研高等数学知识点进 行总结，希望对考生们有所帮助。 一、函数与极限 1. 基本概念：函数、反函数、复合函数、有界函数、周期函数等。 2. 极限的定义：数列极限的定义、函数极限的定义等。 3. 极限的性质：极限的唯一性、有界性、局部有界原理等。 4. 极限运算法则：加减乘除、复合函数的极限等相关运算法则。 5. 无穷大与无穷小：无穷大和无穷小的概念、性质及相关推论。 二、导数与微分 1. 导数的定义：函数在某一点的导数、导数的几何意义、物理意义等。 2. 基本导数公式：多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的导 数。 3. 高阶导数：二阶导数、高阶导数及其相关概念。 4. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。 5. 隐函数与参数方程的导数：隐函数的导数、参数方程的导数等相关内容。 三、微分中的应用 1. 函数的极值与最值：函数的极值点的判定、极值、最值等相关概念。 2. 函数的单调性与凹凸性：函数的单调区间、凹凸区间等相关概念。 3. 泰勒公式与泰勒展开：泰勒公式的表达形式、泰勒展开的求解方法及应用。 4. 微分的应用：函数的近似计算、误差估计、最优化问题等。 四、不定积分 1. 不定积分的概念：定义、性质及运算法则。 2. 基本不定积分公式：多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的不定积分公式。 3. 换元积分法：第一类换元法、第二类换元法及其应用。 4. 分部积分法：分部积分法的原理、应用条件及相关例题。 5. 有理函数积分法：有理函数积分的基本思路及方法。 五、定积分及其应用 1. 定积分的定义：定积分的严格定义及其几何意义。 2. 定积分的性质：定积分的线性性、定积分的区间可加性等性质。 3. 定积分的基本定理：牛顿-莱布尼茨公式及其几何意义。 4. 定积分的应用：面积、定积分表示的物理量、定积分的几何应用等。 总结： 考研高等数学是考研数学中的重要科目，对其中的知识点需要牢固掌握。以上所提到的内容仅是高等数学知识点的一部分，希朼考生们能够系统学习，多做题目，增强对高等数学知识点的理解和运用能力。祝广大考生都能在考研数学中取得优异的成绩！ 考研数学高数重要知识点总结 考研数学高数重要知识点总结 1.函数、极限与连续 重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学 重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。 3.一元函数积分学 重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。 4.向量代数与空间解析几何(数一) 主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。 5.多元函数微分学 重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 6.多元函数积分学 重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。 7.无穷级数(数一、数三) 重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。 8.常微分方程及差分方程 重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。 考研数学整体知识点一、高等数学 高等数学是考研数学的'重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点： 考研数学高数定理证明的知识点 考研数学高数定理证明的知识点 考研数学微分中值定理要点 这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。 费马引理的条件有两个：1.f'x0存在2.fx0为fx的极值，结论为 f'x0=0。考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。我们可以按照导数定义写出f'x0的极限形式。往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。“fx0为fx的极值”翻译成数学语言即f__fx00或0，对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。 费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点即所谓的中值，使得函数在该点的导数为0。 该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。 闲言少叙，言归正传。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。大方向对，但过程没这么简单。起码要说清一点：费马引理的条件是否满足，为什么满足? 前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。 那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使结论成立。 拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。 2016考研数学：高数重要定理汇总 导数与微分 1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。 2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。 3、原函数可导那么反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。 4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。 函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1那么函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，那么有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，假设不相等那么limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，那么直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，那么直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法那么定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准那么两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准那么如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足以下条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准那么也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 高等数学 第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 课堂笔记 及练习题 主 题：第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 学习时间：2015年12月28日—2016年1月3日 内 容： 这周我们将学习第六章二元函数微积分及其应用（3—4节）。本章将继续在一元函数微分学的基础上，讨论二元函数的微分法及其应用。其学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、掌握求二元复合函数的偏导数的方法 2、掌握求隐函数的偏导数的方法 3、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。 基本概念：二元复合函数的偏导数，隐函数的偏导数，二元函数的极值 知识点：二元函数的偏导数和全微分的计算 知识结构图 第三节、多元复合函数与隐函数求偏导数方法 一、多元复合函数求偏导数方法 复合函数的链式法则：设函数),(),,(y x v v y x u u ==在点),(y x 处有连续偏导数，函数),(v u f z =在对应点),(v u 处有连续偏导数，则复合函数 )],(),,([y x v y x u f z =在点),(y x 处对y x ,有连续偏导数，且它们遵循链式法则： 二、全微分形式不变性 定理：如果函数)(t u ϕ=及)(t v ψ=都在点t 可导,函数),(v u f z =在对应点 ),(v u 具有连续偏导数,则复合函数)](),([t t f z ψϕ=在点t 可导,且有 dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂= 全微分形式不变性：设),(v u f z =具有连续偏导数,则有全微分 如果),(v u f z =具有连续偏导数,而),(),(y x v y x u ψϕ==，也具有连续偏导数,则 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂= )()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dv v z du u z ∂∂+∂∂= 由此可见,无论z 是自变量v u 、的函数或中间变量v u 、的函数,它的全微分形式是一样的。这个性质叫做全微分形式不变性。 三、多元隐函数求偏导数方法 隐函数存在定理1：设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，0),(00=y x F ，0),(00≠y x F y ，则方程0),(=y x F 在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有y x F F dx dy -=。 隐函数存在定理2：设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连 续的偏导数，0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 ),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有z x F F x z -=∂∂，z y F F y z -=∂∂。 范例解析：函数),(y x z z =由方程02222=++y z y z x 确定，求dz 。 解法一：利用全微分公式，设y z y z x z y x F ++=2222),,(，则 考研讲义-高等数学 函数、连续与极限 一、理论要求1.函数概念与性质2.极限 3.连续 二、题型与解法A.极限的求法 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.lim arctanx xln(1 2x) 3 lim arctanx x 2x 3 x 0 16 （等价小量与洛必达）2.已知lim sin6x xf(x) x 3 x 0 0，求lim 6 f(x) x 2 x 0 解：x 0 lim sin6x xf(x) x lim 6cos6x f(x) xy' 3x 2 x 0 lim 36sin6x 2y' xy'' 6x6 x 0 lim 216cos6x 3y'' xy''' 6 x 0 216 3y''(0) 0 y''(0) 72y'2x y''2 722 lim 6 f(x) x 2 lim x 0 lim x 0 36 （洛必达） 3.lim( x 1 2__ 1 2x )x 1 （重要极限） 4.已知a、b为正常数，求lim( x 0 3 a b 2 __ 3 )x 解：令t ( a b 22021考研数学：高等数学每章知识点汇总
考研数学必备高等数学知识点总结
考研数学高数定理定义总结
大学高等数学知识点总结六
考研数学知识点总结归纳
考研高数知识点总结
考研数学高数重要知识点总结
考研数学高数定理证明的知识点
2016考研数学：高数重要定理汇总
《高等数学》 第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 课堂笔记及练习题
考研讲义-高等数学
相关主题
文本预览