1-1
1．试证：若 f t 满足Fourier积分定理中的条件，则有
f t a cos td b sin td
00
1
f cos d , b 1
sin d .
其中 a f
ππ
分析：由 Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明 .
证明：利用 Fourier积分的复数形式，有
f t1f e j t e j t d
2π
11f cos j sin d e j t d
2π
1
j b cos t j sin t d
a
2
由于 aa, b b, 所以
f
1
a cos td
1
b sin td t
2
2
a cos td
b sin t d
00
2．求下列函数的 Fourier积分：
1）f
1t 2 ,t 21
2)f
0,t0 t
t 2
;t;
0,1 e t sin 2t, t0
0,t1
3)f
1,1t0 t
0t1
1,
0,1t
分析：由 Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解 .
解： 1）函数f
1t 2 , t 21
t
t 2
为连续的偶函数，其 Fourier 变换为0,1
F () F [ f (t )] f (t)e j t d t2 f (t )cos tdt 21
t 2 )cos tdt (1
—
sin t2t cos t2sin t t 2 sin t 1
cos )
4(sin
(偶函
2233
数)
f(t)的 Fourier积分为
f (t )1 F ()e j t d1 F ()cos td
2ππ 0
4(sin cos)
td
π 03cos
2) 所给函数为连续函数，其Fourier变换为
F ω F f (t ) f (t )e j t dt e t sin 2te j t dt
0e t e2tj e 2tj e j t dt1
[e( 1 2j
j ) t
e (1 2j j )t ]d t
2j2j
1e( 1 2j j
)t e (1 2j j
)t
2j 1 2j j 1 2j j0
j11 2 5 2 1 (2)j 1 (2)j25 62
2 j
24（实部为偶函数，虚
数为奇函数）
f (t)的 Fourier变换为
f t1 F ()e j t d
2π
1252
2j
cos t jsin t d
2π25624
152 cos t2sin t152 sin t 2 cos t
π25624d
π25 624
d
252 cos t2sin t
π 025624d
这里用到奇偶函数的积分性质 .
3）所给函数有间断点 -1 ，0，1且 f(- t)= - f(t)是奇函数，其 Fourier变换为
F F f ( t ) f ( t)e j t dt2j
f (t )sin tdt
—
2j
1
tdt
2j(cos
1)
（奇函数）
1 sin
f(t)的 Fourier 积分为
f ( t) = 1
F
e j t d
j
Fsin td
2π 0
π 0
2 1 cos
td
sin
π 0
其中 t
-1 ， ， （在间断点 f t 0
0 f t 0
代替）
.
0 1 t 0 处，右边 f(t)应以
2
3．求下列函数的 Fourier
变换，并推证下列积分结果：
1） f t
e t
(
0), 证明：
cos t
π t
2
2 d
2 e
;
t 2 2
cos
πe t cos t;
2） f ( t)
e cost ，证明：
0 4
td
4
2
sin t, t
π
sin πsin
t π
π 3） f ( t)
sin t , t
0,
t
，证明：
1
2
d
2
π
0,
t
π
证明： 1）函数 f t
e t 为连续的偶函数，其 Fourier
变换为
F
F
f t
e
t
e j t dt
2
e t cos tdt
e t
cos
t
sin t
t
2
2
2
2
2 2
t 0
再由 Fourier 变换得
f
t 1 F
e
j t d
1
2
2 cos
tdt
2π
π 0
2
即
cos
t
π e t
2
2
d
2
2）函数
f t e t cos 为连续的偶函数，其
Fourier 变换为
t
F ( )
f t e j t dt
e t cos te j t dt
—
e t e j t
e j t
e j t dt
2
1 0
j )t
dt 0
e (1 j
j )t
dt
e ( 1 j ) t dt
e (1 j j ) t dt
e ( 1 j
j
2
1e (1 j
j )t
e (1 j j ) t
e ( 1 j j ) t
e (1 j j
)t
2 1 j
j 1 j
j
1 j j
0 1 j j
1 1
1
1
1
2 2
4
2
1 j
j 1 j j
1 j j
1 j j
4
再由 Fourier 变换公式得
1
e j t d
1
1 2
f ( t)
F
F
cos td
4
2π
π 0
π 0
2 2
cos td
πe t
即
0 4
cos t
4
2
2
c os td
4
3）给出的函数为奇函数，其 Fourier 变换为
F
f t e j t
dt π
t
dt π
t jsin
t
dt
sin te j
sin t cos
π
π
π
tdt j π
1 t cos
1 t dt
2j sin t sin
cos
sin 1 t π sin
1 t π j
sin
sin
2jsin
j
1
1
1
1
2
1
F
-1
F 1 F e
j t
d
1 2jsin π
cos t jsin
t d
2π
2π
2
1
2 sin πsin t
sin t, t π
π
2
1
d
0,
t
π
故
sin πsin t
π π
2 sin t , t
1
2
d
0, t π
4. 求函数 f t
e t
0,t 0 的 Fourier 正弦积分表达式和 Fourier 余弦积
分表达式 .
解：根据 Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有
2 f
sin d sin td
f t
2
e t sin d sin td
π 0
2 π 2 π
e
sin
cos t
2
2
sin td
0 2
2 sin td .
根据 Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有
2 f
cos
d
cos td
f t
π 0 0
2 e t cos
d
cos
td
π 0 0
2
e
sin
cos
t
cos td
π 0
2
2
2 2 2 cos td .
π 0
1-2
1．求矩形脉冲函数 f (t )
A, 0
t
变换 .
0,
的 Fourier
其他
解：
e
j t
A 1 e j t
f (t )e j t
dt
Ae j t
dt
F ( ) F
f ( t)
A
j
j
2. 设 F 是函数 f t 的 Fourier 变换，证明 F
与 f t 有相同的奇偶
性 .
证明： F
与 f t 是一个 Fourier
变换对，即
F
f t e j
t
dt ， f t
1 F
e j t d
2π
如果 F
为奇函数，即 F
F
，则
f
t
1 Fe j
t
d
1 F
e j t d
（令u ）1 F u e jut du
2π
（换积分变量 u 为）1F e j t d f t
2π
所以 f t 亦为奇函数 .
如果 f t为奇函数，即 f t f t ，则
F f t e j t dt f t e j t d t
（令 t u ） f u e j u du
（换积分变量 u 为t）f t e j t dt F
所以 F亦为奇函数 .
同理可证 f t 与 F同为偶函数 .
4．求函数 f t e t t0的 Fourier正弦变换，并推证
sin2dπe0
12
解：由 Fourier正弦变换公式，有
F s () F s f t f t sin t dt e t sin tdt
00
e t sin t cos t
12012
由 Fourier正弦逆变换公式，有
f t F s1F s ()2F s ()sin td2sin2t d
π 0π 01
由此，当 t0 时，可得
sin
d ππ
2f e
122
5．设 F f t F ( ) ，试证明：
—1） f t为实值函数的充要条件是 F () F () ；
2） f t为虚值函数的充要条件是 F () F () .
证明：在一般情况下，记 f t f r t j f i t其中 f r t和 f i t 均为 t 的实值函数，且分别为f t的实部与虚部 .因此
F f t e j t dt f r t j f i t cos t jsin t dt
f r t cos t f i t sin t dt j f r t sin t f i t cos t dt
Re F j Im F
其中 Re F f r t cos t f i t sin t dt ，a
Im F f r t sin t f i t cos t dt b
1）若 f t 为 t 的实值函数，即 f t f r t , f i t0. 此时， a 式和 b 式分别为
Re F f r t cos tdt
Im F f r t sin tdt
所以
F Re F jIm F
Re F jIm F F
反之，若已知 F F，则有
Re F jIm F Re F jIm F
此即表明 F的实部是关于的偶函数；F的虚部是关于的奇函数.因此，必定有
F f r t cos tdt j f r t sin tdt
亦即表明 f t f r t 为 t 的实值函数 . 从而结论 1）获证 .
2）若 f t 为 t 的虚值函数，即 f t j f i t , f r t0 . 此时， a 式和 b 式分别为
Re F f i t sin tdt
Im F f i t cos tdt
所以
F Re F jIm F
Re F jIm F
Re F jIm F
F
反之，若已知 F F，则有
Re F jIm F Re F jIm F
此即表明 F的实部是关于的奇函数； F的虚部是关于的偶函数 . 因此，必定有
F f i t sin tdt j f i t cos tdt ，
亦即表明 f t jf i t为 t 的虚值函数 . 从而结论 2）获证 .
6. 已知某函数的 Fourier
sin
，求该函数 f t .变换 F ( )
sin
解： F ( )为连续的偶函数，由公式有
f tπF e j t d1sin cos td
2π 0
1sin 1t1sin 1t
d 2π 0d2π 0
但由于当 a0 时
sin a sin a
d( a)sin t
dt
π
0d
0t2 0
当 a0 时
sin a sin(a)
d π
0d
02
1，
1
2t
当 a0时，sin a0,所以得f1，1
04
，
1
0t
7．已知某函数的Fourier变换为Fπ δδ，求该
00
函数 f t .
解：由函数δ t t0g t dt g t 0，易知
f t1F e j t d
2π
1πδ0e j t d1πδ0 e j t d
2π2π
1 e j t 1 e j t cos0
t
2020
8．求符号函数（又称正负号函数）sgn t
1, t0
变换 . 1, t
的 Fourier
解：容易看出 sgn t u t u t，而 F[u(t )] F ( )
1
j
πδ( ).
9．求函数 f t 1
aδ t
a
δ t
a
的 Fourier δ t a δ t
2
22
变换 .
解：
F
F
f t
1 δ t a
δ t a
δ t
a δ t
a e j t d
2
2
2
1 e j t
a
e j
t
e j
t
a
e j t
t
a
2
t
t a
t
2
2
cosa
a
cos.
2
10 . 求函数 f t cost sin t 的 Fourier 变换 .
解: 已知
F sin
0 t
j π δ
δ
由 f
t
cost sin t
1
sin 2t 有 F
f t
πj δ
2
δ
2 2
2
11. 求函数 f t sin 3 t 的 Fourier 变换 .
解: 已知 F
e
j 0
t
2πδ
, 由
e jt e jt
3
f t
sin 3 t
2j
j
e 3j t 3e jt 3e -j t e 3j t
8
即得
F f t
πj
δ3 3δ1 3δ1 δ3
4
12. 求函数 f t
sin 5t
π
的 Fourier
变换 .
3
解: 由于
f t
sin 5t
π 1
sin5 t
3
cos5t
3
2
2
故 F
f t
πj δ5 δ5
3π
δ5 δ5 .
2
2
14. 证明：若 F e
j t
F ，其中
t
为一实数，则
F cos
t
1 F
F
2
F sin t
1 F
F
2j
其中 F 为 F
的共轭函数 .
证明：因为 F
e j
t
e j t dt F e j t e j
t
dt
e j
t
e j t dt
1 F F
e j
t
e j t
e j t d tcos t e j t dt F cos t
2
2
同理可证另一等式 .
17．求作如图的锯齿形波的频谱图 . （图形见教科书） .
1
t T
解 ： 0
2π
, f t
ht ,0
T
T
0,
其他
1 C 0
T
T 1
T 1 h
f t dt
T
T
ht dt
0 0
2
1
C n
F n
T
T
j n 0t
dt
1 T
ht
jn 0t
dt
h T
j n 0 t
dt
f t e
T
e
T 2
te
T
h 1 e
jn 0t T
1 T j n 0 t
dt
j h T 2
j n 0
j n e
2n π
0 0
F
h
2πδ
j h 2πδ n 0
πh δ
2
n
2n π
n
n 0
n 0
j h δn 0 .
n
1－ 3
1．若 F 1( ) F [ f 1( t )], F 2 ( )
F [ f 2 (t )],
, 是常数，证明（线性性
质）：
F
f 1 (t ) f 2 (t )
F 1 ( )
F 2 ( )
F -1
F 1 ( )
F 2 ( )
f 1 (t )
f 2 (t )
分析：根据 Fourier 变换的定义很容易证明 .
证明：根据 Fourier 变换与逆变换的公式分别有
F
f 1 (t )
f 2 (t )
f 1 ( t) f 2( t ) e j t dt
f 1( t )e j t
dt
f 2 (t )e j t
dt
F 1 (
) F 2 ( )
F
-1
F 1 ( )
F 2 ( )
1 F 1 ( )
F 2 ( ) e j t d
2π
1 F 1 ( ) e j
t
d
1 F
2 (
e j
t d
2π
2π
)
f 1( t ) f 2 ( t)
6．若 F ( ) F [ f (t)] ，证明（翻转性质）： F (
) F [ f ( t )]
分析：根据 Fourier 变换的定义，再进行变量代换即可证明 .
证明： F
[ f ( t )]
f
t e
j
t
dt
（令 t
u ）f u e j
u
du
（换 u 为 t ）
f t e j
t
dt
F (
)
9．设函数 f t
1, t 1 sin t π, 1
0, t
，利用对称性质，证明：F
t
0,
.
1
1
证明： F [ f (t )]
f t e
t
dt
1
t
dt
j
e j
1
1 cos
tdt
1
sin t d
t
由对称性质： F
[ f (t )] F
，则 F [ F (t )]
2πf
, 有
F
[ F ( t)] F
sin t 2πf
t
F sin t πf π, 1 t
0,
1
12．利用能量积分
f t
2
1 F
2
，求下列积分的值：
d t
2π
d
1）
1
cos x
d x ； 2 ）
sin 4
x
d x ；
x 2
x 2
3）
1
2 d x ；4）
x 2
2 d x . 1x 21x 2
1cos x d x
2sin 2x
解： 1）
x22
dx
x 2
（令x
sin t
2
t ） d t
2t
12
F
sin t
2πt
d
112
π
πd
2π1
4
22
sin x d sin x1cos x
2）x d x
x 2
x 2
sin x2sin x cos x2
d x d x
x x
π 1
sin t
2
d t 2t
π-π
=
π22
112112 3）
2 d x dt F d ，其
1 x
2 1 t 22π 1 t 2中
F1212e j t d t2cos2t
d t 2
π
eπe
1t1t01t2从而
1
d x 1
πe2
122
dπ
1
e2
π
2πdππe0
2022 1x2
4）x 22 d x x 21 1
2 d x12 d x12 dx
1x21x21x1x2
arctan x ππ π π π22222
1－ 4
1.证明下列各式：
2） f1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 3 t；
6）
d
f1 t f 2 t d
f1 t f 2 t f 1 t
d
f 2 t ;
dt dt dt
10) f t u t t
d f
分析：根据卷积的定义证明.
证明： 2) f 1t f 2t f 3t f1 f 2t f 3 t d
f 1 f 3 u f 2 t u du d
f1 f 3 u f 2 t u du d
f1 f 2 t u d f 3 u du
f 1 t u f 2 t u f 3 u du
f1 t f 2t f 3t
6）d
f 1 t f 2 t d f1 f 2 t d
dt dt
d f1 f 2 t d f1 t
d
f 2 t,
d t d t
d
1 t
f 2 t
d
f 1 t f 2d
f
dt dt
d
f 1 t f 2d d
f1 t f 2 t
.
dt dt 10)f t u t f u t d
u t
1,t t
f d.
0,t
2．若 f1 t e t u t, f 2t sin tu t ，求 f 1t f 2t .注意：不能随意调换f1 t和 f 2 t的位置 .
e t
, t
， f 2
sin t , t0
解：由 f 1t u t t sin tu
t e t，
0,t00, t0
所以 f1 t f 2 t f 2 t f 1 t f2f1 td
要确定 f 2 f 1 t0 的区间，采用解不等式组的方法 . 因为
0, f20; t0, f 1t0 . 即必须满足
, 即
t
, 因此
0t
f1 t f 2 t f 2 t f 1 t
f 2 f 1 t d
t
t
sin e d
e t
t
e d sin
（分部积分法）e t
e sin cos t
2
10
e t
e sin cos1
2
121
sin cos e t
21
4 . 若 F1F f1t, F2F f 2t，证明 :
F f 1 t f 2 t
1F
1* F 2 2π
证明 : 1
F1F21F1 u F2u du
2π2π
1F2u f1t e j ut dt d u
2π
1F2u f 1 t e j ut dt du
2π
1F2u e j ut f1 t du dt
2π
1 f 1 t
F 2
u e j ut du dt
2π
1 f 1 t
F 2
s e jst
e j t ds dt
2π
f 1 t
e j t
f 2 t dt F f 1 t f 2 t
5. 求下列函数的 Fourier 变换：
1） f t sin
0t
u t ；
2） f t e t sin
0t
u t ；
5） f t
e j 0
t u t t 0
；
解: 1 ）已知 F
u t
πδ
1
, 又
j
f t
sin
0 t
u t
1 e j 0 t
u
t e j
0 t
u t .
2j
由位移性质有
F
f t
1 πδ
1
πδ
1
2j
j
j
π δ
δ
2j
0 2
2
.
2）由 Fourier 变换的定义，有
F
e t sin
0t
u t
e
t
sin
0t
u t e j
t
dt
sin 0 te
j
t
d t
e j t j sin
0 t
0 cos
0t
j
2
2 0
0 j 2 2
5）利用位移性质及 u t 的 Fourier 变换，有
F
u t t 0
e j
t 0
F
u t
e j
t 0
1 πδ
j
—再由象函数的位移性质，有
F e j0t u t t0e j0 t 01
πδ0
j0
7．已知某信号的相关函数R1e 2a，求它的能量谱密度 S，其
4
中 a0 .
解由定义知
S R e j d1e 2 a e j d
4
102a
e j d 1
e2a j
4e
4
e d
1 e
2 a j01e 2a j
4 2a j42a j0
111a
42a j2a j4a22 9．求函数 f t e t u t,0的能量谱密度 .
解: 因为f t e t u t e t , t0
, 0,t0
t e t,t
f t e t
u
0,t
当0 时， f t f t0 的区间为 0,，所以
R f t f t dt e t t
e
e e 2 t dt e1e 2 t
020dt
1e
2
当0 时， f t f t0 的区间为,，所以
R f t f t dte t e
t
dt
e e 2 t dt e 1 e2t
e
1 e
2 1 e
2
2
因此， R
1 e ，现在可以求得 f t 的能量谱密度，即
2
S
R
e j d
1 e
e j
d
2
1 0
j
d
e
j
2
e
d
1
1
j 0
1
j
2
e
j
e
j
1 1 1
2
j
j
1
2
2
1－ 5
1．求微分方程 x t
x t t ,( t ) 的解 .
分析：求解微分、积分方程的步骤：
1）对微分、积分方程取 Fourier 变换得象函数的代数方程； 2）解代数方程得象函数；
3）取 Fourier 逆变换得象原函数（方程的解） .
解：设 F
x t
X
, 对方程两边取 Fourier 变换，得
j X
X
1.
即
X
1
j .
1
其逆变换为 x 0, t 0 t
t , t
.
e 0
4．求解下列积分方程：
1）
y
d
1
2 0 a b ;
2
t 2
t
a 2 b
t 2
2）
e t
y d
2πe 2 .
解： 1）利用卷积定理可以求解此类积分方程 . 显然，方程的左端是未知函
数 y t
与
1
的卷积，即 y t
1 . 设 F y t
Y, 对方程两边取
2
a 2
2
a 2
t
t
Fourier 变换，有
F y
t
1
F
1
t 2 a 2
2
b 2
t
即
F
y t
F
1
F
1
t
2
a
2
t
2
b
2
易知：
cos t d
π e t
，有
2
2
2
Y
1 e j t d t t
2 1
b 2 e j t d t t 2
a 2
即
Y
2 cos t d t
2
cos t d t 0 t 2 a 2
t 2 b 2
πe b
a
所以 Y
2b
e
b a
π
a
b
2a e
由上可知
1
cos t
π a
F
t 2
a 2
2
0 t 2
a 2
dt
a e ，
y t
F
-1 a e b a
b
a b - a F
-1
π e b
a
b a
b
π
a b - a
2 .
π t 2
b - a b
2）设 F y t
Y , 对方程两边取 Fourier 变换，同理可得
t2 F y t e t F2πe 2
利用钟形脉冲函数的Fourier 变换F Ae t 2π
Ae
2
4及由 Fourier变换的
定义可求得： F e t 2
，从而22
F y t F e t
t 2 F2πe 2
即
2πe Y
2
1
2
2 2
π 12e2 2
πe 从而
22
π j
2
2
e2
22
y t πF -1 e 2πF-1j 2
2
，e
2
1t 2
其中，记 F f t e 2，则f t e 2，上式中第二项可利用微分性质
2π
2
F f t j 2
f t j
2
2 ，则
F e
22d2t 22
F -1j f t1e t 1 e
e2
d t 22
π
2π
2
因此t2 2
y tπ 1
e
2πt 2t21
2e
π
2π
t2
22π
t 2t 2
1 e 2.
2
5.求下列微分方程的解 x t ：
ax t b x f t d ch t
其中 f t ,h t 为已知函数，a,b, c均为已知常数 .
解：设
F f t F,F h t H,F x t X. 对方程两边取
《复变函数与积分变换》期末试卷1 参考答案及评分标准 第一题：填空。 1．1； 2. 连通开集； 3. 奇点； 4. 3-； 5. 圆周； 6.解析； 7. 绝对收敛； 8. 本性奇点； 9. 0 0lim()()z z z z f z →-； 10. 保角性。 第二题：选择。 1：B ；2：A ；3：C ；4：D ；5：B 。 第三题：计算。 1：13(23)13(arctan 2)22 n n L i l i k ππ-+=+-+，k Z ∈； 模2分，辐角4分 2：C 的参数方程为0(02)i z z re θθπ=+≤≤ 22(1)10001()i i n n n in n C dz ire d e d z z r e r θ ππθθθθ---==-??? 221 1 cos(1)sin(1)n n i i n d n d r r π π θθθθ--= -+ -? ? （4分） 21 01i n n π=?=?≠? 。（2分） 3：1 10 ()1n k k n n k S z z z -+==-=-∑。 （1分） 当1z <时，lim 1n n S →∞ =-，故级数收敛于1-； 当1z =时，lim 0n n S →∞ =，故级数收敛于0； 当1z =-时，lim n n S →∞ 不唯一，故级数发散； 当1z =而i z e θ=(0)θ≠时，cos sin n z n i n θθ=+，因为cos n θ和sin n θ的极限都不存在，所以lim n n S →∞ 不存在，级数发散； 当1z >时，级数显然发散。 （以下讨论每步1分） 4：显然，点ai 是函数的二阶极点。 2 22 2R e [(),]l i m [()]() ibz z ai d e s f z ai z az dz z a →=-+2 l i m []()ibz z ai d e dz z ai →=+ （4分） 2321lim ()4ibz ab z ai ibz ab ab e i z ai a e →--+==-+。 （2分） 5：0 ()()j t j t F f t e dt Ae dt τ ωωω+∞ ---∞==??()(1)0j t j t A A e e j j ωωτω ω--=-=-。 （第一步4分，结果2 分）
习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------
复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） ——课后习题答案
习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππe cos isin 44-??????=-+- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+ ); 33 3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 322222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ (( )( ){ }3 3 2 3 2 111313188-+? ???== --?-?+?-????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ④解： ∵ () ( )(( )2 3 3 2 3 13131i 8 ??--?-?+?-???? =?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1 =? ? , Im 0=? ? ． ⑤解： ∵()()1,2i 211i, k n k n k k n k ?-=? =∈?=+-???￠． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i -+= 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()( )2i 32i 2i 32i ++=++= ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 22++== ()1i 11i 222i ++-??== ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+，
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解：
1 ar 2 1 ar 2 1 ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π ?? + ? ?? == ? ? =? ? ? (2) 解： 6 22 6363 4 63 22 2 i k i i i i e i e e e i π ππππ ππ ???? ++ ? ? ???? ?? + ? ?? ? =+ ? ? ? ? ====+ ? ? ?=- ? (3) i i 解： ()22 22 i i k k i i e e ππ ππ ???? +-+ ? ? ???? == (4) 解： ()1/22 22 i i k k e e ππ ππ ???? ++ ? ? ???? == (5) cos5α 解：由于：()() 55 2cos5 i i e e ααα - +=， 而： ()()()() ()()()() 5 555 5 5 555 5 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i α α αααα αααα - = - - = =+= =-=- ∑ ∑ 所以： ()()()() ()()() ()()()() 5 55 5 5 55 5 4325 3 5 4325 1 cos5cos sin cos sin 2 1 cos sin11 2 5cos sin cos sin cos 5cos sin10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααα αα ααααα ααααα -- = -- = ??=+- ?? ?? =+- ?? =++ =-+ ∑ ∑ (6) sin5α 解：由于：()() 55 2sin5 i i e e ααα - -=， 所以：
复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；
（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件
习题三 1. 计算积分2 ()d C x y ix z -+?,其中C 为从原点到点1+i 的直线段. 解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤ 故 ()()1 22 1 23 1 0()1 1 (1)(1)(1)333C x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+?=+=?? ? 2. 计算积分(1)d C z z -?，其中积分路径C 为 (1) 从点0到点1+i 的直线段; (2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 11()C z dz x ix d x ix i -=-++=?? (2)设2 z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 22 211()3 C i z dz x ix d x ix -=-++=?? 3. 计算积分d C z z ?，其中积分路径C 为 (1) 从点-i 到点i 的直线段; (2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i 到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i 到点i. 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤ 11 1 1 C z dz ydiy i ydy i --===??? (2)设i z e θ =. θ从32π到2π 22 332 2 12i i C z dz de i de i π π θ θππ===???
(3) 设i z e θ =. θ从32π到2π 2 32 12i C z dz de i π θ π==?? 6. 计算积分()sin z C z e z dz -???,其中C 为0 z a =>. 解 ()sin sin z z C C C z e z dz z dz e zdz -?=-????蜒 ? ∵sin z e z ?在z a =所围的区域内解析 ∴sin 0z C e zdz ?=?? 从而 ()20 22 sin 0 z i C C i z e z dz z dz adae a i e d π θ π θθ-?====?? ??蜒 故()sin 0 z C z e z dz -?=?? 7. 计算积分2 1 (1) C dz z z +??,其中积分路径C 为 （1）11:2 C z = （2） 23 :2 C z = （3） 31:2 C z i += （4） 43:2 C z i -= 解：（1）在 1 2 z = 所围的区域内， 21 (1)z z +只有一个奇点0z =. 12 1 11111 ()2002(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=+-+?? 蜒（2）在2C 所围的区域内包含三个奇点 0,z z i ==±.故 22 1 11111()20(1) 22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ= -?-?=--=+-+?? 蜒（3）在2C 所围的区域内包含一个奇点 z i =-,故 32 1 11111()00(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=-+-+??蜒（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点 0,z z i ==,故
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4 .34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .sin z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ）
习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
2－2 1．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++. 解:由[]2 132!1232132m m m t s s s s s t t +????==++=++???? 及有L L L . 2)()1e t f t t =-. 解 ：[]() () 11 11 ,e e t t t t t s s s s --????= ==- ????2 2 2+1-1L L ,L 1-. 3)()()2 1e t f t t =-. 解： ()22-1e e 2e e t t t t t t t ????=-+???? L L () () () 2 3 2 3 2 2 145 .-1-1-1s s s s s s -+= - + = -1 5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有: [][]() 2 2 2 222 2 d d cos cos d d s s a t at at s s s a s a -?? =-=-= ? +?? +L L 6) ()5sin 23cos 2f t t t =- 解:已知[][]2 2 2 2 sin ,cos s t t s s ω ωωω ω= = ++L L ,则 []52 2 222103sin 23cos 25 34 4 4 s t t s s s --=-= +++L 8)()4e cos 4t f t t -=. 解: 由[]2 cos 416 t s +s = L 及位移性质有 42cos 4416 e t s t s -??=??++4（＋）L . 3．若()()f t F s ??=??L ，证明（象函数的微分性质）:
??????????????????????精品自学考 料推荐?????????????????? 全国 2018 年 4 月高等教育自学考试 复变函数与积分变换试题 课程代码： 02199 一、单项选择题 (本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分 ) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．设 z=3+4i, ，则 Re z 2=( ) A ．-7 B ． 9 C ． 16 D ．25 2．下列复数中，使等式 1 =-z 成立的是 ( ) z A ． z=e 2 i B ． z=e i i 3 i D ． z= e 4 C ． z= e 2 3．设 0 工程数学积分变换答案 【篇一：复变函数与积分变换是一门内容丰富】 建立和发展与解决实际问题的需要联系密切，其理论与方法被广泛 应用在自然科学的许多领域，是机械、电子工程、控制工程，理论 物理与流体力学，弹性力学等专业理论研究和实际应用中不可缺少 的数学工具。 课程包含2部分内容：向量分析与场论，复变函数论与积分变换。 本课程的目的，是使学生掌握向量分析与场论，复变函数论，积分 变换的基本理论、基本概念与基本方法，使学生在运用向量分析与 场论，复变函数论，积分变换的思想和方法解决实际问题的能力方 面得到系统的培养和训练,为在后 继专业课程和以后的实际工作打下良好的数学基础 向量分析与场论部分 第一章向量与向量值函数分析学时：4 几何向量，几何向量的加法、数乘、数量积、向量积，向量的混合 积与三重向量积，向量值函数的定义，向量值函数的加法、数乘、 复合、数量积运算，向量值函数的极限、连续，向量值函数的导数，向量值函数的体积分、曲线积分、曲面积分，高斯公式，斯托克斯 公式。 第二章数量场学时：2 数量场的等值面，数量场的方向导数、梯度的概念，哈米尔顿算子 的用法。 第三章数量场学时：6 向量场的向量线，向量场的通量，向量场的散度，向量场的环量， 向量场的环量面密度、向量场的旋度，向量场场函数的导数与向量 场的散度、旋度及数量场的梯度之间的关系。 第四章三种特殊形式的向量场学时：4 保守场，保守场的旋度，保守场的势函数，管形场，管形场的向量势，调和场，调和函数。 复变函数与积分变换部分 第一章：复数与平面点集学时：2 复数的直角坐标表示法，三角表示法，指数表示法。复数的模和辐角，复数的四则运算。平面区域，邻域，聚点，闭集，孤立点，边 界点，边界，连通集，区域，单连通区域，多连通区域。 年级专业： 教学班号： 学号： 姓名: 装订线 课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110_分钟 课程代码：7100031试卷总分：100_分 一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分） 1 ; 2、； 3、' |和它的主值 二、（8分）设 '，函数 '■在?平面的哪些点可导？若可导， 求出在可导点的导数值。 三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函 数。 四、（25分，每小题各5分）计算下列积分: 的正向; -de + sin 0 5. 五、（10分）将函数 gm 在下列圆环域内分别展开为洛朗级数 1. 2. ；?伫一 15界 ^： M=i ? ? 的正向; 3. ，■: 的正向; 4. 们；＜：6山「： 的正向; (1) (2) 六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足 arg r（n =匸 ■，的分式线性映射，。 I U-1"=—- 2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？ 「2 （f f（t）-- 七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。 八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。 九、（5分）求的拉氏逆变换。 十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程： 一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分） 1、 * _ JT It & (1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + + 4 4 =16(QDS(-2JT)-F /SII M -2?)) =16 (2) 3 3、 2 1 四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分） 由柯西-黎曼方程得： ' 即 '.所以’在 ’可导. 三、参考答案及评分标准：（10分） v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “ &x J A 2 dy 得, 卩二 J(-6砂必=-3A y 十 g(y} - r 故 -?」；、’；J/' 二、参考答案及评分标准：（ 8 分) 解： ■ 异上F ，因为 dv ov =乩——= 0,——=2y Ex d 2u 沪 口 W C?j/ ，所以 为调和函数. 证明: 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<- 1-1 1． 试证：若 ()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞ ==?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??= ? ????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=-???? ?? ()()()j j d 1cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞ -∞??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 11cos sin 22 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞= +?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1）()22 21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞ +∞?====-?-∞ ???F 复变函数与积分变换试题与答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设复数z 1cos i sin 33π π =++，则arg z=（ ） A.-3π B.6π C.3π D.23π 2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的（ ） A.非负实轴 B.实轴 C.上半虚轴 D.虚轴 3.下列说法正确的是（ ） A.ln z 的定义域为 z>0 B.|sin z|≤1 C.e z ≠0 D.z -3的定义域为全平面 4.设C 为正向圆周|z|=1，n C sin z dz z ?=2π i ，则整数n 为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 5.设C 为正向圆周|z|=2，则2C z dz z ?=（ ） A.-2πi B.0 C.2πi D.4πi 6.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=2C sin 6 d (z) π? ??-?，则f′(1)=（ ） A.-3 i 36 π B.3 i 36π 7.设n n n 0a z ∞ =∑n n n 0b z ∞=∑和n n n n 0 (a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ） A.R=R 1 B.R=min{R 1,R 2} C.R=R 2 D.R≥min{R 1,R 2} 8.罗朗级数n n n 1n 0n 0 1z z 2∞ ∞-==+∑∑的收敛域为（ ） A.|z|<1 B.|z|<2 C.1<|z|<2 D.|z|>2 9.已知sinz=n 2n 1 n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑，则Res 4sin z ,0z ?? =????（ ） A.1 B.-1 3! 习题二 1. 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44 u iv x y +=+ 所以 54u x = ,34 v y =+ 5344 ,u v x y == 所以()()2 253442u v +=即()()222253221u v +=，表示椭圆. 2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ?ρ=或i w u v =+. （1）π02,4r θ<<= ； （2）π02,04 r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以22,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ?ρ=，则π02,4 r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π04,.2 ρ?<<= (2) 记e i w ?ρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即π04,0.2 ρ?<<<< (3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-= 即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示 . 3. 求下列极限. (1) 2 1lim 1z z →∞+; 解：令1z t =,则,0z t →∞→. 于是2 22 01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z →; 解：设z =x +y i ，则Re()i z x z x y =+有 000 Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim (1) z i z i z z →-+； 解：2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()() 2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+. 临沂大学2010—2011学年第一学期 《复变函数与积分变换》试题（B 卷）答案 一、填空题（共8题，每空3分，共30分） 1．i i 2)1(+的值为2 ln )42 (i k e ++-ππ ，主值为2ln 2 i e +-π . 2． 3 arg 4 π π < 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4.34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg() B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .s i n z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 22Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） .ln 223 i A z i ππ=++ .ln 423 i B z i ππ=++ .ln 226 C z i π π=++ .l n 426 D z i π π=++ 8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ） 12.i A z e π= 34 .i B z π= 712 .i C z e π= 3.i D z π= 9．积分 ||34 2z dz z =-?的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10 ()z C e dz z i π-?等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）工程数学积分变换答案
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