1-1
1． 试证：若
()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有
()()()d d 0
cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞
=+?
?
其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞
-∞-∞
==??
分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试
用三角形式证明.
证明：利用Fourier 积分的复数形式，有
()()j j e e d π12t t
f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??=
?
????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=-????
??
()()()j j d 1cos sin 2
a b t t ωωωωω+∞
-∞??=
-+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以
()()()d d 11cos sin 22
f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞=
+?? ()()d d 0
cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞
=+?
?
2．求下列函数的Fourier 积分：
1）()22
21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0,
0;e sin 2,0
t
t f t t t -?
1,10
1,010,1t t f t t t ?-∞<<-?
--<
?<<+∞?
分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.
解：1）函数()22
2
1,1
0,
1t t f t t ?-≤?=?>??为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞
+∞?====-?-∞
???F
1
2233
0sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω????-=--+=?? ????
?(偶函数)
f (t )的Fourier 积分为
j 3
11()()e d ()cos d 0
2ππ4(sin cos )
cos d 0πt
f t F F t t ωωωωωωωωωωωω
+∞+∞==-∞+∞-=??? 2)所给函数为连续函数，其Fourier 变换为
()[]j j ω()()e d e sin 2e d 0
t
t t F f t f t t t t ωωτ---+∞===-∞??F
2j 2j j (12j j )(12j j )e e 1e e d [e e ]d 02j 2j 0
t t t t t t t t ωωω----+--+++∞+∞
-=??=-?? (12j j )(12j j )0
1e e 2j 12j j 12j j t t ωωωω+∞
-+--++??=+??-+-++?? ()2
24
252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω??--????=+=
?-+-+--+??（实部为偶函数，虚数为奇函数）
f (t )的Fourier 变换为
()j 1()e d 2πt f t F ωωω+∞
=-∞
? ()()2
24252j 1cos jsin d 2π256t t ωωωωωωω
??--+∞??=?--∞-+? ()()()22
2424
2
24
5cos 2sin 5sin 2cos 11d d π256π2565cos 2sin 2d π0256t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-+--+∞+∞=+-∞-+-∞-+-++∞=-+???
这里用到奇偶函数的积分性质.
3）所给函数有间断点-1，0，1且f (-t )= - f (t )是奇函数，其Fourier 变换为
()[]j ()()e d 2j ()sin d 0
t
F f t f t t f t t t ωωω-+∞+∞===--∞??F
12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω
-=-?=?（奇函数）
f (t )的Fourier 积分为
()()j j ()e d sin d π0π0
21cos sin d π0t
f t F F t t ωωωωωωωωωω
+∞+∞=+∞-=???1=
2
其中t ≠-1，0，1（在间断点0t 处，右边f (t )应以
()()
00002
f t f t ++-代替）.
3．求下列函数的Fourier 变换，并推证下列积分结果： 1）()e
(0),t
f t ββ-=>证明：22cos πd e ;02t
t βωωβωβ
-+∞=+? 2）()e cos t
f t t -=，证明：24
2πcos d e cos ;042
t
t t ωωωω-+∞+=+? 3）sin ,π()0,πt t f t t ?≤?=?>??，证明：2
πsin ,π
sin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω?≤+∞?=?-?>?
? 证明：1）函数()e t f t β-=为连续的偶函数，其Fourier 变换为
()()j e e d 2e cos d 0t t t
F f t t t t βωβωω---+∞+∞??===??-∞??F
()
22
22
e cos sin 22
t t t t t ββωωωβ
βωβω
-=+∞
=-+==
++ 再由Fourier 变换得
()()j 22
112e d cos d 2ππ0t
f t F t t ωβωωωβω+∞+∞=
=-∞+?? 即 22
cos πd e 02t
t βωωβωβ
-+∞=+?
2）函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数，其Fourier 变换为
()j j ()e d e cos e d t t t F f t t t t ωωω---+∞+∞
==-∞-∞
?
?
j j j e e e e d 2
t t t t
t ω---+∞+-∞? (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e d e d e d e d 200t
t t t t t t t ωωωω-+----+--+++∞+∞??=
+++??-∞-∞??
???? (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e e e e 21j j 1j j 1j j 01j j 0t t t t ωωωωωωωω+--++-+++-??
+∞+∞=+++??+--∞---∞-+-+-??
24
11111
221j j 1j j 1j j 1j j 4
ωωωωωω??-+=+++=??+----+-+-+?? 再由Fourier 变换公式得
()()2j 41112()e d cos d cos d 2ππ0π04t
f t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞+∞+=
==-∞+??? 即 24
2πcos d e cos 042
t
t t ωωωω-+∞+=+? 3）给出的函数为奇函数，其Fourier 变换为
()()()π
π
j j π
π
e
d sin e
d sin cos jsin d t
t
F f t t t t t t t t ωωωωω+∞---∞
--===-?
??
()()π
π
002j sin sin d j cos 1cos 1d t t t t t t ωωω??=-=+--?
??? ()()2sin 1πsin 1πsin sin 2jsin j j 1010111t t ωωωπωπ
ωπ
ωωωωω??+---??=-=-= ?
?+-+--??
?? ()()()-1
j 2112jsin πe d cos jsin d 2π2π1t
F F t t ωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞??==+??-??F
20sin ,π
2sin πsin d π10,
πt t t t ωωωω+∞?≤?=-=?
->??? 故
2
πsin ,π
sin πsin 2d 10,πt t t t ωωωω+∞
?≤?=?-?>?
?
4.求函数()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.
解：根据Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有
()()002sin d sin d πf t t f ωωτττω+∞+∞
??=
?
?????
002sin d sin d πe t t βτωωτω+∞+-∞??=?
????? ()220sin cos 2sin d π0e t t βτ
βωωωωωβτω+-∞??-+∞=??+??
? 2202sin d .πt ω
ωωβω
+∞=
+? 根据Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有
()()002cos d cos d πf t t f ωωτττω+∞+∞
??=
???
??? 002cos d cos d πe t
t βτωωτω+∞+-∞??=?
????? ()220sin cos 2cos d π0e t t βτ
βωωωωωβτω+-∞??-+∞=??+??
? 22
02cos d .πt ωωωβω+∞=+? 1-2
1．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ
?≤≤?=???其他
的Fourier 变换.
解：
[]()j j j j 0
1e e
()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τ
ωωωωτ
ωωω-----+∞??=====??
-∞-????F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.
证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞?
，()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞
? 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则
()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt t
f t F F ωωωωωω--+∞+∞-=
=---∞-∞
??
—
（令u ω-=）()j 1e d 2πut F u u -∞
=+∞
? （换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πt
F f t ωωω+∞=-=--∞
? 所以()f t 亦为奇函数.
如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则
()()()()()j j e d e d t t
F f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞
?
? （令t u -=）()j e d u f u u ω--∞
=+∞
? （换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞
=-=--∞
? 所以()F ω亦为奇函数.
同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.
4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证
()20
012sin πd e α
ωαωωαω+∞
-=>+?
解：由Fourier 正弦变换公式，有
()()s s F f t ω??=??F ()0
sin f t t t ω+∞
=?d 0sin t
t t ω+∞
-=?e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=
+e 21ω
ω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式，有
()1
20022sin ()()sin 1s
s s t
f t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===????+??F d d ππ
由此，当0t α=>时，可得
()()20
sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞
-==>+?
5．设()()f t F ω??=??F ，试证明：
1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.
证明： 在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且分别为()f t 的实部与虚部. 因此
()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞
??==+-??-∞-∞
?? ()()()()cos sin d j sin cos d r
i r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞
????=+--????-∞-∞?
? ()()Re Im F j F ωω????=+???? 其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞
????=+????-∞
?
， ()a ()()()Im sin cos d r i F f t t f t t t ωωω+∞
????=--????-∞? ()b
1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式分别为
()()Re cos d r F f t t t ωω+∞??=??-∞? ()()Im sin d r F f t t t ωω+∞
??=-??-∞
?
所以
()()()Re jIm F F F ωωω????-=-+-????
()()()Re jIm F F F ωωω????=-=???? 反之，若已知()()F F ωω-=，则有
()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω????????-+-=-????????
此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，必定有
()()()cos d j sin d r r
F f t t t f t t t ωωω+∞+∞
=--∞-∞??
亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.
2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式分别为
()()Re sin d i F f t t t ωω+∞
??=??-∞
? ()()Im cos d i
F f t t t ωω+∞
??=??-∞?
所以
()()()Re jIm F F F ωωω????-=-+-????
()()Re jIm F F ωω????=-+????
()(){}
Re jIm F F ωω????=--????
()F ω=-
反之，若已知()()F F ωω-=-，则有
()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω????????-+-=-+????????
此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，必定有
()()()sin d j cos d i i
F f t t t f t t t ωωω+∞+∞
==+-∞-∞?
?， 亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.
6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ω
ωω
=
，求该函数()f t .
解：sin ()F ω
ωω
=
为连续的偶函数，由公式有
()()j π1sin e d cos d 2π0t
f t F t ωωωωωωω
+∞+∞=
=-∞??
()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωω
ωωωω
+∞++∞-=
+??
但由于当0a >时
sin sin sin π
d d()d 0002
a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===??? 当0a <时
sin sin()π
d d 002
a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-?? 当0a =时，sin d 0,0a ωωω+∞=?所以得 ()1
121
1401t f t t t ?
?==??
?>??
，，，
7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω??=++-??，求该函数()f t .
解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知
()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πt
t t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=
-∞
+∞+∞=++--∞-∞
???
j j 000
11e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=
8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -?的Fourier 变换.
解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1
[()]()πδ().j u t F ωωω
=-
+F 9．求函数()()()1δδδδ222a a t a t a t f t t ??????=
++-+++- ? ????????
?的Fourier 变换.
解 ：
—
()()()()j 1δδδδe d 222t a a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞????????==++-+++- ? ??????????
??F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----?
???=+++??=-==-=???
?
cos cos 2
a
a ωω=+.
10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知
()()000sin j πδδt ωωωωω??=+--??????F 由()1cos sin sin 22f t t t t ==
有()()()πj
δ2δ22
f t ωω????=+--????F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.
解:已知()0j 0e 2πδt
ωωω??=-??F ,由
()()3
j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t t
f t t --??-===-+- ???
即得
()()()()()πj
δ33δ13δ1δ34f t ωωωω????=---++-+????F
12.求函数()πsin 53t t f ?
?=+ ??
?的Fourier 变换.
解: 由于
(
)π1sin 5sin532f t t t t ?
?=+=+ ???
故()()(
)()()πj
δ5δ5δ5δ522f t ωωωω?????=+--+++-???????
F .
14.证明：若()()j e t F ?ω??=??
F ，其中()t ?为一实数，则 ()()()1cos 2t F F ?ωω????=+-????F
()()()1sin 2j t F F ?ωω????=--????F
其中()F ω-为()F ω的共轭函数.
证明：因为 ()()
j j e
e d t t F t ?ωω+∞--∞
=??
()()()
j j j j e
e d e
e d t t t
t F t t ??ωωω+∞+∞
---∞
-∞
-==??
?
()()()
()
()()j j j j 1e e
e
d cos
e d cos 22
t t t
t F F t t t t ??ωωωω??-+∞+∞
---∞-∞
+????+-===???
???
F 同理可证另一等式.
17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.
解 ：02π,T ω=()1
,00,ht t T f t T ?≤≤?=???
其他
()00
111d d 2
T
T
h C f t t ht t T
T
T =
=
=?
?
()()000j j j 020
1
1e
d e d e d T
T
T
n t
n t n t n ht h C F n f t t t t t T
T
T T
ωωωω---==
=
?=?
?
?
00j j 2
1
1j e e d j j 2πT
n t n t T
h
h
t T n n n ωωωω--??=
?+
=?
?-??
?
()()()()()000
j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h h
F n h n n n ωωωωωωω+∞+∞
=-∞=-∞
≠≠=+?-=+?-∑∑
1－3
1．若1122()[()],()[()],F f t F f t ωω== F F ,αβ是常数，证明（线性性质）：
1212()()()()f t f t F F αβαωβω+=+????F -1
1212()()()()F F f t f t αωβωαβ+=+????F
分析：根据Fourier 变换的定义很容易证明. 证明：根据Fourier 变换与逆变换的公式分别有
1212()()()()t
f t f t f t f t t ωαβαβ+∞
--∞+=+?????????F j e d
12()()t
t f t t f t t ωωαβ+∞+∞
---∞
-∞
=+?
?
j j e
d e d
12()()F F αωβω=+
-1
12121()()()()2t
F F F F ωαωβωαωβωω+∞-∞+=
+?????????F
j e d π
1211()()22t t
F F ωωαωωβ
ωω+∞+∞-∞-∞??
??=+????????
??j j e d e d ππ
12()()f t f t αβ=+
6．若()[()]F f t ω= F ，证明（翻转性质）：()[()]F f t ω-=- F 分析：根据Fourier 变换的定义，再进行变量代换即可证明. 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞-=-?F j e d （令t u -=）()()
u f u u ω+∞---∞
=?j e d
（换u 为t ）()()t
f t t ω+∞---∞
=?
j e
d
()F ω=-
9．设函数()1,10,1
t f t t ???，利用对称性质，证明：π ,1sin .0,1t t ωω?
>????F 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞
=?
F j e d 1
1
t t ω--=?j e d
1
cos t t ω=?d 1
sin t
t ωω
=?
d
由对称性质：()[()]f t F ω= F ，则()[()]2,F t f ω=-F π有
()sin [()]2t F t f t ω??
==-????
F F π (),1sin 0,1t f t ωωω?????
F π π 12．利用能量积分()()2212f t t F ωω+∞
+∞
-∞
-∞??=????d d π
，求下列积分的值： 1）2
1cos x
x x +∞
-∞
-?
d ； 2）4
2sin x x x +∞-∞?d ；
3）()
2
2
1
1x x +∞-∞
+?
d ；4）()
2
2
2
1x x x +∞-∞
+?
d .
解：1）2
2
2
2sin 1cos 2x
x
x x x x +∞
+∞
-∞
-∞-=?
?d d
（令2x
t =）2
sin t t t +∞-∞??= ???
?d 2
1sin 2t t ω+∞-∞??
=?????F d π 12
1
12ω-=
?πd π=π 2）()22
422sin 1cos sin x x x
x x x x
+∞
+∞-∞
-∞-=?
?d d 2
2
sin sin cos x x x x x x x +∞
+∞-∞-∞????=- ? ???????d d 2
1sin 2t t t +∞-∞??=- ???
?πd
22
=πππ-=
3）()
22221
111x t t x +∞
+∞
-∞
-∞??
= ?+??+?
?d d 2
21121t ω+∞-∞??=??+???F d π，其中
221111t
t t t ω+∞--∞??=??++??
?F j e d 20cos 21t t t ω+∞=+?d 22ωω--==πe πe 从而
()
2221
121x x ωω+∞+∞--∞
-∞=+?
?d πe d π2201ωω+∞-=?πe d π20
122
ω
-+∞=?=
-π
πe 4）()
()
2
22
2
2
2
11
11x x x x x x +∞+∞-∞
-∞
+-=++?
?
d d ()
22
21111x x x x +∞+∞-∞
-∞=-++?
?d d arctan 2x
+∞-∞
=-
π2222
=+-=ππππ
1－4
1.证明下列各式： 2）()1f t ()()()()()23123f t f t f t f t f t ????
=????
；
6）
()()()
()()
()121212d d
d
;d d d f t f t f t
f t f t f t t
t t
?
?==?? 10)()
()()d t f t u t f ττ-∞
=?
分析：根据卷积的定义证明. 证明： 2) ()
()()12
3f t f t f t ????
()()()123d f f t f t ττττ+∞
-∞??=--??
?
()()()132d f f u f t u du τττ+∞
+∞-∞
-∞??=--????
?
? ()()()132d d f f u f t u u τττ+∞+∞
-∞
-∞
=--?
?
()()()123
d d f f t u f u u
τττ+∞
+∞-∞
-∞??=--?????
? ()()()1
23d f t u f t u f u u +∞-∞
??=--??
?
()()()123f t f t f t ??
=?
?
6）
()()()()1212d d d d d f t f t f f t t
t τττ+∞
-∞???
?=?-??????
?
()()()()1212
d
d
d d d f f t f t f t t t τττ+∞
-∞
??=?-=???
, ()()()()1212d d d d d f t f t f t f t t τττ+∞-∞???
?=-???????
? ()()()()12
12d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞-∞
??
=-?=????
?
.
10) ()
()()()d f t u t f u t τττ+∞-∞
=-?
()1,0,t u t t τττ??
????
?()d t f ττ-∞=?. 2．若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==，求()()12f t f t .
注意：不能随意调换()1f t 和()2f t 的位置.
解：由()()1e ,0
e 0,0
t t
t f t u t t αα--?>?==?
?==?
()()
()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞
=-?
要确定()()210f f t ττ-≠的区间，采用解不等式组的方法.因为
()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必须满足 00t ττ>??
->?, 即0
t ττ>??
()()
()1221f t f t f t f t =
()()21d f f t τττ+∞-∞
=-?
()
0sin e
d t t ατττ--=?
e sin e d t t αατττ-=?
（分部积分法）()2
e sin cos e 10
t
t
ατααττα-??-=??+?? ()22
e sin cos 1e
11t
αταατταα-??
-=+??++?
? 2
sin cos e 1
t
ααττα--+=+ 4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω????==????F F ，证明:
()()()()11221
*2πF f t t F f ωω???=??F
证明:
()()()()1
21
21
1d 2π2πF F F u F u u ωωω+∞
-∞=
?-? ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞?
?=-???
????? ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞??=
-?
????? ()()j 211e d d 2πut F u f t u t ω+∞+∞--∞-∞??=-?
?????
—
()()j 121e d d 2πut f t F u u t ω+∞+∞--∞-∞?
?=-?
????? ()()j j 121e e d d 2πst t
f t F s s t ω+∞+∞--∞-∞??=
??????? ()()()()j 1212e d t f t f t t f t f t ω+∞--∞
??=??=????
F
5.求下列函数的Fourier 变换： 1）()()0sin f t t u t ω=?； 2）()()0e sin t f t t u t βω-=?； 5）()()0j 0e t f t u t t ω=-；
解: 1）已知()()1
πδj u t ωω??=+??F ,又 ()()()()()
00j j 01sin e e 2j
t
t f t t u t u t u t ωωω-=?=
-. 由位移性质有
()()()()()0000111
πδπδ2j j j f t ωωωωωωωω????=-+-+- ??? ?-+?
?F
()()000220
π
δδ2j ωωωωωωω??=
--+-??-. 2）由Fourier 变换的定义，有
()()j 00e sin e sin e d t t t
t u t t u t t ββωωω+∞
----∞
???=????F ()j 00
sin e
d t
t t βωω+∞
-+=?
()()()j 0002
2
0e
j sin cos 0j t
t t βωβωωωωβωω-+??-+-+∞??=
++
()
2
2
j ωβωω=
++
5）利用位移性质及()u t 的Fourier 变换，有
()()0j 0e t u t t u t ω-????-=????F F ()0j 1e πδj t ωωω-??=+
???
再由象函数的位移性质，有
()()()()000j j 0001e e πδj t t
u t t ωωωωωωω--????-=+-???
?-????
F 7．已知某信号的相关函数()21
e 4
a R ττ-=，求它的能量谱密度()S ω，其
中0a >.
解 由定义知
()()j e d S R ωτωττ+∞--∞
=?
2j 1e e d 4a τωτ
τ+∞---∞=
? 02j 2j 0
11e e d e e d 44a a τωττωτ
ττ+∞----∞=
+?? ()(
)()
2j 2j 0
01e 1e 42j 42j a a a a ωτωτ
ωω--++∞=+
--∞-+
22
11142j 2j 4a
a a a ωωω??=+= ?
-++?? 9．求函数()()()e ,0t f t u t αα-=>的能量谱密度. 解: 因为()()e ,0e
0,0
t t
t f t u t t αα--?>?==?
()()
()()e
,e
0,
t t t f t u t t ατατττττ-+-+?>-?+=+=?<-??
当0τ>时，()()0f t f t τ+≠的区间为()0,+∞，所以
()()()()
d e e
d t t R f t f t t t αταττ+∞+∞
-+--∞
=+=?
?
220
11e
e
d e
e e 22t
t t ατ
αατ
αατ
α
α
+∞
-----+∞===
--?
当0τ<时，()()0f t f t τ+≠的区间为(),τ-+∞，所以
()()()d R f t f t t ττ+∞-∞
=+?
()
e e
d t t t ατατ
+∞-+--=?
2e
e
d t
t ατ
ατ+∞
---
=?
21e e
2t ατ
ατ
α--+∞
-=-
21e e 2ατ
ατα-=1e 2ατ
α
= 因此，()1e
2R ατ
τα
-=
，现在可以求得()f t 的能量谱密度，即 ()()j e
d S R ωτ
ωττ+∞
--∞
=?
j 1e e d 2ατωττα
+∞---∞
=
?
()()
0j j 01e d e d 2αωταωτττα+∞--+-∞??=
+???
??? ()()()j j 01
11e e 2j j 0αωταωτα
αωαω--+??+∞=+??--∞-+??
1112j j α
αωαω??
=
+??-+??
22
1
αω
=
+ 1－5
1．求微分方程()()(),()x t x t t t δ'+=-∞<<+∞的解. 分析：求解微分、积分方程的步骤：
1）对微分、积分方程取Fourier 变换得象函数的代数方程； 2）解代数方程得象函数；
3）取Fourier 逆变换得象原函数（方程的解）.
解：设()(),x t X ω??=??F 对方程两边取Fourier 变换，得 ()()j 1.X X ωωω+= 即
()1
.1X j ωω=
+
其逆变换为()0,0
.e ,0
t
t x t t -?
()()2
22
2
1
0;y a b t b t a
τττ+∞
-∞
=<<+-+?
d
2）()22
2t t y τττ+∞-
---∞
=?e d πe
.
解：1）利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然，方程的左端是未知函数()y t 与
22
1
t a
+的卷积，即()221
y t t a
+.设()(),y t Y ω??=??F 对方程两边取Fourier 变换，有
()222
211y t t a t b ????
=??*+?????+?F F
即
()222211y t t a t b ????
???=???+???
????+F F F 易知：22
cos 2t
t βωωβωβ
+∞
-=+?
πd e ，有 ()222211t t
Y t t t a t b
ωωω+∞
+∞---∞
-∞?=++?
?j j e d e d 即
()22220
0cos cos 22t t Y t t t a t b
ωωω+∞+∞?=++?
?d d 所以()()22b b a a a b Y b a
ωω
ωω----==πe
e πe
由上可知222201cos π2d e a t t t a t a a ωω+∞-??=??
=?++??F ，
()()-1
b a a y t e b ω--?=??
???F
()-1
-b a a b a b b a ω--=
?-??????
F πe π
()
()2
2--a b a b t b a =
??+??
π.
2）设()(),y t Y ω??=??F 对方程两边取Fourier 变换，同理可得
()2
2e 2πe t t y t --????=???
???
F F
利用钟形脉冲函数的Fourier 变换2
2
4e e
π
t A A ωββ
β
-
-??=
??
F 及由Fourier 变换的
定义可求得：222e t
βββω
-??=??+F ，从而 ()2
2e 2πe t t y t --???????=????????
F F F
即
()()2
2
22
22
2121Y ωω
ωωω-
-==++πe πe
()2
2
2
2
2
ωωω-
-
=-πe
πj e
从而
()()2
2
2-1
-1
2
2y t ω
ωω--??
??
=-???????????
?
πe πj e F F ， 其中，记()22
e
f t ω-
??=??F ，则()22
2π
e
t f t -
=
，上式中第二项可利用微分性质
()()()()22
2
2
f t f t ωωω-
''????==????F F j j e
，则
()()2
2
22-1
2
2
22t f t t ωω--????''== ??? ????
?
??
F πd j e e d 2
222t
-=πe 因此
()2
22
2
222t t y t -
-
=?
-π
e
π
e
ππ
2
22
221t t -??=- ??e π.
5.求下列微分方程的解()x t ：
()()()()d ax t b x f t ch t τττ+∞-∞
'+-=?
其中()(),f t h t 为已知函数，,,a b c 均为已知常数.
解：设
()()()()()(),,.f t F h t H x t X ωωω??????===??????F F F 对方程两边取
《复变函数与积分变换》期末试卷1 参考答案及评分标准 第一题：填空。 1．1； 2. 连通开集； 3. 奇点； 4. 3-； 5. 圆周； 6.解析； 7. 绝对收敛； 8. 本性奇点； 9. 0 0lim()()z z z z f z →-； 10. 保角性。 第二题：选择。 1：B ；2：A ；3：C ；4：D ；5：B 。 第三题：计算。 1：13(23)13(arctan 2)22 n n L i l i k ππ-+=+-+，k Z ∈； 模2分，辐角4分 2：C 的参数方程为0(02)i z z re θθπ=+≤≤ 22(1)10001()i i n n n in n C dz ire d e d z z r e r θ ππθθθθ---==-??? 221 1 cos(1)sin(1)n n i i n d n d r r π π θθθθ--= -+ -? ? （4分） 21 01i n n π=?=?≠? 。（2分） 3：1 10 ()1n k k n n k S z z z -+==-=-∑。 （1分） 当1z <时，lim 1n n S →∞ =-，故级数收敛于1-； 当1z =时，lim 0n n S →∞ =，故级数收敛于0； 当1z =-时，lim n n S →∞ 不唯一，故级数发散； 当1z =而i z e θ=(0)θ≠时，cos sin n z n i n θθ=+，因为cos n θ和sin n θ的极限都不存在，所以lim n n S →∞ 不存在，级数发散； 当1z >时，级数显然发散。 （以下讨论每步1分） 4：显然，点ai 是函数的二阶极点。 2 22 2R e [(),]l i m [()]() ibz z ai d e s f z ai z az dz z a →=-+2 l i m []()ibz z ai d e dz z ai →=+ （4分） 2321lim ()4ibz ab z ai ibz ab ab e i z ai a e →--+==-+。 （2分） 5：0 ()()j t j t F f t e dt Ae dt τ ωωω+∞ ---∞==??()(1)0j t j t A A e e j j ωωτω ω--=-=-。 （第一步4分，结果2 分）
习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
复变函数与积分变换第五版答案 目录 练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24) 练 习 一 1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1）i i i i 524321-- --； 解：i i i i 524321---- = i 2582516+ z k k Argz z z z ∈+== = = π22 1 arctan 25 5825 8Im 25 16 Re （2）3 ) 231(i + 解： 3) 231(i + z k k Argz z z z e i i ∈+===-=-==+=π ππ π π 210Im 1Re 1 ][)3 sin 3(cos 333 2．将下列复数写成三角表示式。 1）i 31- 解：i 31-
)35sin 35(cos 2ππi += （2）i i +12 解：i i +12 )4 sin 4(cos 21π π i i +=+= 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1）i i 2332++- 解：i i 2332++- 2sin 2 cos π π i i +== （2）4 22i +- 解：4 22i +-4 1 )]43sin 43(cos 22[ππi += 3,2,1,0] 1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283 8 3 =+++=+++=k k i k k i k ππππππ 4．.设 321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位 圆z =1的一个正三角形的项点。 证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周 32z z ++=0 则, 321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又 ,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量
第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------
第六章 共形映射 一、选择题： 1．若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( ) （A ）21< z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）2 11>+z 2．映射i z i z w +-= 3在i z 20=处的旋转角为( ) （A ）0 （B ） 2 π （C ）π （D ）2 π - 3．映射2 iz e w =在点i z =0处的伸缩率为( ) （A ）1 （B ）2 (C)1-e （D ）e 4．在映射i e iz w 4 π +=下，区域0)Im(
（A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i 7．函数i z i z w +-=33将角形域3arg 0π< (1) (2) 六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足 arg r（n =匸 ■，的分式线性映射，。 I U-1"=—- 2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？ 「2 （f f（t）-- 七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。 八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。 九、（5分）求的拉氏逆变换。 十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程： 一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分） 1、 * _ JT It & (1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + + 4 4 =16(QDS(-2JT)-F /SII M -2?)) =16 (2) 3 3、 2 1 四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分） 由柯西-黎曼方程得： ' 即 '.所以’在 ’可导. 三、参考答案及评分标准：（10分） v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “ &x J A 2 dy 得, 卩二 J(-6砂必=-3A y 十 g(y} - r 故 -?」；、’；J/' 二、参考答案及评分标准：（ 8 分) 解： ■ 异上F ，因为 dv ov =乩——= 0,——=2y Ex d 2u 沪 口 W C?j/ ，所以 为调和函数. 证明: 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<- 1-1 1． 试证：若 ()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞ ==?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??= ? ????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=-???? ?? ()()()j j d 1cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞ -∞??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 11cos sin 22 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞= +?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1）()22 21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞ +∞?====-?-∞ ???F 复变函数与积分变换试题与答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设复数z 1cos i sin 33π π =++，则arg z=（ ） A.-3π B.6π C.3π D.23π 2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的（ ） A.非负实轴 B.实轴 C.上半虚轴 D.虚轴 3.下列说法正确的是（ ） A.ln z 的定义域为 z>0 B.|sin z|≤1 C.e z ≠0 D.z -3的定义域为全平面 4.设C 为正向圆周|z|=1，n C sin z dz z ?=2π i ，则整数n 为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 5.设C 为正向圆周|z|=2，则2C z dz z ?=（ ） A.-2πi B.0 C.2πi D.4πi 6.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=2C sin 6 d (z) π? ??-?，则f′(1)=（ ） A.-3 i 36 π B.3 i 36π 7.设n n n 0a z ∞ =∑n n n 0b z ∞=∑和n n n n 0 (a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ） A.R=R 1 B.R=min{R 1,R 2} C.R=R 2 D.R≥min{R 1,R 2} 8.罗朗级数n n n 1n 0n 0 1z z 2∞ ∞-==+∑∑的收敛域为（ ） A.|z|<1 B.|z|<2 C.1<|z|<2 D.|z|>2 9.已知sinz=n 2n 1 n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑，则Res 4sin z ,0z ?? =????（ ） A.1 B.-1 3! 习题二 1. 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44 u iv x y +=+ 所以 54u x = ,34 v y =+ 5344 ,u v x y == 所以()()2 253442u v +=即()()222253221u v +=，表示椭圆. 2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ?ρ=或i w u v =+. （1）π02,4r θ<<= ； （2）π02,04 r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以22,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ?ρ=，则π02,4 r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π04,.2 ρ?<<= (2) 记e i w ?ρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即π04,0.2 ρ?<<<< (3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-= 即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示 . 3. 求下列极限. (1) 2 1lim 1z z →∞+; 解：令1z t =,则,0z t →∞→. 于是2 22 01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z →; 解：设z =x +y i ，则Re()i z x z x y =+有 000 Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim (1) z i z i z z →-+； 解：2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()() 2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+.复变函数与积分变换试题及答案
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复变函数与积分变换答案马柏林、李丹横、晏华辉修订版,习题2
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