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定理证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半教学文稿

定理证明直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半

学习—————好资料

定理：证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：

AD=1/2BC。

【证法1】

延长AD到E，使DE=AD，连接CE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD ，

又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），

AD=DE，

∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB=CE，∠B=∠DCE，∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）

∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC=90°，

∴∠ACE=90°，∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，

∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC=AE，∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。

【证法2】

取AC的中点E，连接DE。∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=1/2BC，

∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）

∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）

∴DE垂直平分AC，

∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

精品资料

初中数学所有几何证明定理

初中数学所有几何证明定理证明题的思路很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。证明题要用到哪些原理？

要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

直角三角形的性质与判定

A C B 直角三角形的性质与判定学习目标： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法. 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用. 学习重点及难点 1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 学习过程一、预习与交流 1、什么叫直角三角形？ 2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、合作与探究（1）研究直角三角形性质定理一如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？归纳：定理1：（2）猜一猜量一量证一证直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线. 求证：CD=2 1AB A C B D

C A B D 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 三。知识应用：例：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。四：巩固练习（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；（2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ；（3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有，与∠A 互余的角有，与∠B 相等的角有，∠A 相等的角有 . 4、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．五：作业.93页A 组1题六：学习反思： A C B D

证明(二)之直角三角形

第三课时：直角三角形的证明 [知识要点] 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即2 2 2 b a c +=（c 为斜边）. 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：2 22c b a =+，那么这个三角形是直角三角形，且c 边所对的角为直角． 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 4、“HL ”公理作用：判定两个直角三形全等． [典型例题] 例1 如图，在Rt △DBC 中，∠C=900，∠A=300，BD 是∠ABC 的平分线，AD=20，求BC 的长。例2 如图所示，在ABC ?中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ，DF 分别垂直于AB 、 AC ，垂足为 E 、 F ．求证：EB=FC ．例3 如图，在等腰直角三角形ABC 中，90=∠C o，D 是斜边AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 并交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H ，交AE 于G ．求证： A B C E F D A B D C

[经典练习] 1、满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（）. A 、三内角之比为1：2：3 B.三边之比为 C 、三边长为41,40,9 D. ,8 2、不能判定两个直角三角形全等的方法是（） A ．两个直角边对应相等． B ．斜边和一锐角对应相等 C ．斜边和一条直角边对应相等 D ．面积相等 3、如图1所示，ABC ?中AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于O ，AO 的延长线交 BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对 4、如图2所示，在ABC ?中，MD 垂直平分AB 于M ，交BC 于D ，N E 垂直平分AC 于N ，交BC 于E ，若θ=∠BAC ，则∠DAE 等于（） A ．2θ B ．180 o－2 θ C ．-θ290o D ．-θ2180o o 5,、如图5, Rt △ABC 中,AC=6cm,BC=8cm,将此三角形折叠,使直角边AC 落在斜边AB 上,点C 与点D 重合, 折痕为AE,则BE 的长为( )。 6、如图7,直线L 过正方形ABCD 的顶点B,点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是。图5 图6 7、点A 、E 、F 、C 在一条直线上，AE=CF ，过点E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB=CD 。（1）求证：BD 平分EF A B C E F D 图1 A B C 图2 A D C E D L A C B M N B A C E F G

直角三角形的定理及规律新

直角三角形的定理及知识要点一、补充定理直角三角形的定理 1、直角三角形两锐角互余。 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 30角所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形中0 直角三角形的逆定理 1、两锐角互余的三角形是直角三角形。 2、一条边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。 30。 4、直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角为0 等腰三角形的定理 1、三角形中等边对等角。 2、三线合一：等腰三角形底边的中线、底边的高、顶角的平分线三线合为一线。 60。 3、等边三角形三内角都是0 逆定理 1、三角形中等角对等边。等边三角形的判定 60的三角形是等边三角形。 1、有两个角等于0 2、三个角相等的三角形是等边三角形。 60的等腰三角形是等边三角形。 3、有一个角是0 1

2 二、常见的图形及规律 1、Rt △ABC 中，若∠A =30°, ∠C =90°, 则 BC:AC:AB = 1:3:2。 2、Rt △ABC 中，若∠A =45°, ∠C =90°, 则 BC:AC:AB =1:1:2。三、常见的勾股数（一）3、4、5序列 ×2：6、8、10 ×10：30、40、50 ×0.1：0.3、0.4、0.5 1 2 ?：1.5、 2、 2.5 ×3：9、12、15 ×20：60、80、100 ×0.2：0.6、0.8、1.0 ×13：1、 43、 53 ×4：12、16、20 ×100：300、400、500 ×0.3：0.9、1.2、1.5 ×14：3544 、 1、 ×5：15、20、25 ×200：600、800、1000 ×0.4：1.2、1.6、2.0 ×1341555：、、 ×6：18、24、30 ×0.8：2.4、3.2、4.0 （二）由公式22a m n =-，2b mn =，22 c m n =+（m n >）推导出的序列 1 2 3 4 5 6 … 2 3,4,5 3 6,8,10 5,12,13 4 8,15,17 12,16,20 7,24,2 5 5 10,24,2 6 20,21,29 16,30,34 9,40,41 6 12,35,37 24,32,40 27,36,45 20,48,52 11,60,61 7 14,48,50 25,45,53 40,42,58 33,56,65 24,70,74 13,84,85 … … … … … … … … 勾股数 n m

直角三角形的性质教案

直角三角形的性质（一）【教学目标】： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。【教学重点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。【教学难点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。【教学过程】：一、引入复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、新授（一）直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？ 2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、巩固练习：练习1：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。练习2 ：在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B 相等的角有。（二）直角三角形性质定理2 1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片（l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示（3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？三、巩固训练：

练习3 ：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。练习4：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。求证：（1）ED=EB (2)∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？练习5：已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M 是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与 DE有什么样的关系存在? 四、小结：这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？ 1、直角三角形的两个锐角互余？五、布置作业直角三角形的性质（二）一、【教学目标】： 1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。 4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力。二、【教学重点与难点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。三、【教学过程】：（一）引入：

直角三角形的性质教案(完美版)

【知识与技能】（1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. （2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 【过程与方法】（1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想方法. 【情感态度】使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 【教学难点】直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？学生回答：（1）在直角三角形中，两个锐角互余；（2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 二、思考探究，获取新知除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）量一量边AB的长度；（2）找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线；（3）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.

网友可以在线阅读和下载这些文档地提升自我已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线. 求证：CD=12AB. 【分析】可“倍长中线”,延长CD 至点E ，使DE=CD ，易证四边形ACBE 是矩形，所以 CE=AB=2CD. 思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线. 4.应用：例如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠A=30°. 求证：BC=12AB 【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD ，易证△BDC 为等边三角形，所以BC=BD=12AB. 【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 三、运用新知，深化理解 1.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，CD=4，则AB=______. 2.三角形三个角度度数比为1∶2∶3，它的最大边长是 4cm ，那么它的最小边长为______cm. 3.如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE,G 为垂足. 求证：（1）G 是CE 的中点；（2）∠B=2∠BCE.

直角三角形的判定定理“HL”

1 / 2 第2课时直角三角形的判定定理“HL ” (参考用时:30分钟 ) 1. 如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL ”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等.以下给出的条件: ①∠ABC=∠ABD;②AC=AD; ③BC=BD;④∠BAC=∠BAD. 适合的有( B ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2. 如图,△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 和CE 交于O,AO 的延长线交BC 于F,则图中全等的直角三角形有( D ) (A)3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对 3. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是经过A 点的一条直线,且B,C 在AE 的两侧,BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E,CE=2,BD=6,则DE 的长为( D ) (A)2 (B)3 (C)5 (D)4 4.已知:如图,AE ⊥BC,DF ⊥BC,垂足分别为 E,F,AE=DF,AB=DC,则△ ABE ≌△ DCF (HL). 第4题图 5.如图,MN ∥PQ,AB ⊥PQ,点A,D,B,C 分别在直线MN 与PQ 上,点E 在AB 上,AD+BC=7, AD=EB,DE=EC,则AB= 7 . 第5题图 6. 如图,在△ABC 和△DCB 中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC 与BD 相交于点 O. (1)求证:△ABC ≌△DCB; (2)△OBC 是何种三角形?证明你的结论. (1)证明:在△ABC 和△DCB 中,∠A=∠D=90°, AC=BD,BC=CB.所以Rt △ABC ≌Rt △DCB(HL). (2)解:△OBC 是等腰三角形. 因为Rt △ABC ≌Rt △DCB,所以∠ACB=∠DBC, 所以OB=OC,所以△OBC 是等腰三角形. 7. 如图,已知Rt △ABC 中,∠ ACB=90°,CA=CB,D 是AC 上一点,E 在BC 的延长线上,且AE=BD,BD 的延长线与AE 交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF 与AE 有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性 . 解:猜想:BF ⊥AE. 理由:因为∠ACB=90°,所以∠ACE=∠BCD=90°. 又BC=AC,BD=AE,所以△BDC ≌△AEC(HL). 所以∠CBD=∠CAE. 又因为∠CAE+∠E=90°,所以∠EBF+∠E=90°. 所以∠BFE=90°,即BF ⊥AE. 8.(1)如图1,点A,E,F,C 在一条直线上,AE=CF,过点E,F 分别作DE ⊥AC,BF ⊥AC,若AB=CD,试证明BD 平分线段EF; (2)若将图1变为图2,其余条件不变时,上述结论是否仍然成立?请说明理由 . (1)证明:因为DE ⊥AC,BF ⊥AC, 所以∠DEC=∠BFA=90°. 因为AE=CF, 所以 AE+EF=CF+EF,

直角三角形的射影定理

A A ′ M N N A A ′ B ′ M 直角三角形的射影定理教学目标（一）知识与技能 1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题； 2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法借助相似三角形的判定定理及性质定理，推导出射影定理．教学重点射影定理的证明．教学难点建立三角形以外的和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学过程设计一复习引入在前面的学习中，大家已经知道了射影，请作出点A 及线段AB 在直线MN 上的射影．如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．则 AC 、CD 在斜边AD 二新知探究如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．提出问题： 1．在这个图形中,有哪几组相似三角形？ 2．结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系： ⊿ACD 与⊿CBD 中，CD 2= , ⊿BDC 与⊿BCA 中，BC 2 = , ⊿CDA 与⊿BCA 中，AC 2= ．这三个关系式形式完全一样，可结合射影定义及图像，观察三个关系式的特点记忆。射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三例题分析例1 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．AD=2，DB=8,求 CD 、AC 和BC 的长． B A D C A D O B C B

例2 如图，⊿ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD 2 =AD ·BD ．求证：⊿ABC 是直角三角形．（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．在这个命题的证明中，可能对如何建立条件与结论之间的关系有些困难．可从如下两方面来思考：①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系； ②我们往往将等式CD 2=AD ·BD 变形为DB CD CD AD ,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）四课堂练习 1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6， DB ＝5，则AD 的长为________． 2．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4， EC ＝1，则AB 的长为________． 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝ 6，AD ∶DB ＝2∶3，则AC ＝________. 4.如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，BD ＝8，则圆O 的半径等于________．

初三数学直角三角形性质、相关定理和推论

第2次课：直角三角形性质、相关定理和推论一、考点、热点回顾 1、基本知识点：勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。应用：由边的关系判定三角形是直角三角形定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL ）应用：判定直角三角形全等的方法 2、互逆定理如果两个角是对顶角，那么它们相等。如果两个角相等，那么它们是对顶角。如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。全等三角形中相等的边所对的角相等。全等三角形中相等的角所对的边相等。逆命题：互逆命题：逆定理：互逆定理：三角形三边长与三角形形状之间的关系设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边的长（1）若2 2 2 +=a b c ，则三角形为直角三角形；（2）若2 2 2 +a b c ，则三角形为锐角三角形；二、典型例题例如图，在△ABC 中，∠ACB=900 ，AB=5，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长。 D A B C

例如图,在△ABC 中,D 是BC 上的一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD 的长. 例右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m, ∠A ＝30 °, 立柱BC 、DE 要多长？例将下面的空补充完整。如图所示，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A=30°. 求证：AB=4BD 解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30° ∴ BC= AB ∠B= 又∵△BCD 中,CD ⊥AB ∴∠BCD= ∴BD= BC ∴BD= AB 即例：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假; (1)四边形是多边形； (2)两直线平行，内旁内角互补； (3)如果ab ＝0，那么a ＝0， b ＝0 A B C D