各种插值法的对比研究
目录
_Toc485233565
1.引言 (2)
2.插值法的历史背景 (2)
3.五种插值法的基本思想 (2)
3.1拉格朗日插值 (2)
3.2牛顿插值 (2)
3.3埃尔米特插值 (2)
3.4分段线性插值 (2)
3.5三次样条插值 (2)
4.五种插值法的对比研究 (2)
4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (2)
4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (2)
4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (2)
4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (2)
5.插值法在实际生活中的应用 (2)
6.结束语 (2)
致谢 (2)
参考文献 (2)
各种插值法的对比研究
摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率. 关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用
1.引言
在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1].所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法.
2.插值法的历史背景
插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践.
因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距
节点的插值,并将其应用在天文历法观测中.现代工业革命以后欧洲著名的数学家拉格朗日给出了拉格朗日插值法的概念以及应用.微积分产生后,插值法的基本理论和结果进一步得到改善.
3.五种插值法的基本思想
如果一个函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义,且已知在点b x x x a n ≤<<<≤...10上的值
0y ,1y ,2y , ,n y ,若存在一简单函数)(x P ,使得
成立,)(x P 为插值函数,点0x ,1x ,2x , ,n x 称为插值节点,插值节点的区间[]b a ,称为插值区间,求插值函数)(x P 的方法称为插值法.若)(x P 的多项式次数不超过n ,即有 )(x P n n x a x a x a a ++++= (2210)
3.1拉格朗日插值
拉格朗日插值是n 次多项式插值,它是用构造插值基函数的办法来解决n 次多项式插值的问题.拉格朗日插值多项式可以表示为
=
)(x L n ∑=n
k k
k x l
y 0
)(,
)(x l k 为插值基函数,表达式为
=
)(x l k )
)...()()...(()
)...()()...((110110n k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x --------+-+-,n k ,,1,0 =
截断误差为)()()(x L x f x R n n -=,也是插值余项.关于插值余项,估计有以下定理[2]: 设
)(x f n 在
[]
b a ,上连续,
)(1x f n +在
()
b a ,内存在,节点
b x x x x a n ≤<<<<≤ 210,)(x L n 是满足条件(1.4)的插值多项式,则对任何[]b a x ,∈,插
值余项
)()!
1()
()()()(1)1(x n f x L x f x R n n n n +++=
-=ωξ 余项表达式的应用有它的局限性,一般只适合于)(x f 高阶导数存在的情况下.若设
1)1()(max ++≤≤=n n b
x a M x f ,则误差为)()!
1()(11
x w n M x R n n n +++≤
.
3.2牛顿插值
牛顿插值的基本思想是对n 次插值多项式)(x P n 进行逐次生成,然后用插值条件求出)(x P n 系数[3].因此,提出了均差（即差商）的概念.
设 称有函数)(x f ,1x ,2x ,3x , ,n x 是一系列不相等的点,则 []=
k x x f ,00
0)
()(x x x f x f k k --为函数)(x f 关于点0x ,2x 的一阶均差;
[]=
k x x x f ,,10[]1
100]
,[,x x x x f x x f k k -- 称为)(x f 的二阶均差;
[]=
k x x x f ,...,,10[][]1
110210,...,,,,...,,-----k k k k k x x x x x f x x x x f 为)(x f )的k 阶均差.
我们先求出1次多项式,2次多项式,然后类推出n 次多项式,构造出n 次代数插值多项式的另外一种表达形式—牛顿插值多项式
=)(x P n +
)(0x f []
10,x x f +
-)(0x x []
210,,x x x f )
(0x x -+
-)(1x x …
[]n x x x x f ,...,,,210+)(0x x -)
)...((11---n x x x x ,
=)(x R n
[]n x x x x x f ,...,,,,210)(0x x -)
)...((1n x x x x --,
=)(x f +)(x P n )
(x R n .
)
(x P n 为牛顿插值多项式,
)
(x R n 为余项.
3.3埃尔米特插值
有的时候解决函数)(x f 的问题,不仅要在某些点上知道函数值,而且已知在一些点上的导数值.那么这时插值函数)(x P ,它在某些点处的导数值和函数值与原表达式的值相等的.那么我们从几何这个方面来思考这个问题,求出插值多项式的曲线,不但通过已知点组,而且在这些
点处与原曲线＂相切＂[4]. (一)、泰勒插值
定义 [][])(,lim ,0'
0000
x f x x f x x f x x ==→为一阶重节点均差;
[][])(2
1,,lim ,,0'
'2100000
201x f x x x f x x x f x x x x =
=→→为二阶重节点均差; 则n 阶重节点均差为[][])(!
1,,,lim ,,,0100000
x f n x x x f x x x f n
n x x i =
=→ . 当0x x i →时,牛顿插值公式的极限为
=)(x P n +)(0x f )(0'x f +-)(0x x ...！
n x f n )(0)
(n
x x )(0-.
称为泰勒插值多项式. 它满足条件
=)(0)(x P k n )(0)(x f k ,),...,2,1,0(n k =
（二）、两点三次埃尔米特插值
若)(x f 在k x ,1+k x 的函数值为k y ,1+k y ,k k m x f =)(',11')(++=k k m x f ,我们可以构造出一个次数不超过3的多项式,)(3x H 为插值函数.设
=)(3x H +k k y x a )(+++11)(k k y x a +k k m x )(β11)(++k k m x β,
k a ,1+k a ,k β,1+k β为插值基函数.
可得结果
=)(3x H 2111))(2
1(+++----+k k k k k k x x x x x x x x k y 2
111))(21(k
k k k k k x x x x x x x x ----+++++++1k y )(k x x -+--++k k k k m x x x x 211)(12
1)(++--k k
k k m x x x x
,
=
)(3x R 2124
)())((41+--k k x x x x f ξ！
,),(1+∈k k x x ξ.
3.4分段线性插值
分段线性插值:
一般描述,如给定[]上b a ,1+n 个节点b x x x x a n =<<<<= 210和相应的函数值
)(i f f i =),...,2,1,0(n i =,记k k k x x h -=+1,k k
h h max =.
构造)(x I h 满足: (1)[]b a C x I h ,)(∈;
(2)k k h f x I =)(),,2,1,0(n k =;
(3))(x I h 在每个小区间[]1,+k k x x 上是线性函数.
由以上条件直接可得)(x I h 在小区间[]1,+k k x x 上的表达式为
=
)(x I h +--++k k k k f x x x x 1111++--k k
k k
f x x x x , )1,,2,1,0(-=n k
误差估计
-)(x f =)(x I h ))((!
2)
(1)(''+--k k k x x x x x f ξ))((max 2121+≤≤--≤
+k k x x x x x x x M k k . 当∞→h 时,0)()()(→-=x I x f x R h ,)(x I h 在[]b a ,上一致收敛到)(x f .
3.5三次样条插值
三次样条插值（Spline 插值）的具体要求是:
函数[]b a C x S ,)(2
∈,并在每个小区间[]
1,+j j x x 上是一个三次多项式,其中
b x x x x a n =<<<<=...210是给定节点,如果对给定的节点函数值有
j y )(j x f =),...,2,1,0(n j =,并且=)(j x S j y ,),...,2,1,0(n j =成立,这时我们就把)(x S 称
为三次样条插值函数.
4.五种插值法的对比研究
通过讨论插值法的相关内容,可以让我们更好的了解插值法.现在我们先从插值多项式的形式上、用途上、计算方法上、精确度上等进行对比研究,比较各自优缺点,然后再通过实例验证之.
4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较
（一）拉格朗日插值多项式步骤衔接紧密,条理清晰,在理论中十分重要.但是计算比较复杂,
题目：五种插值法的对比研究 xxx大学本科生毕业论文开题报告表 论文（设计）类型：A—理论研究；B—应用研究；C—软件设计等；
五种插值法的对比研究 (3) 一插值法的历史背景 (5) 二五种插值法的基本思想 (5) （一）拉格朗日插值 (5) （二）牛顿插值 (6) （三）埃尔米特插值 (7) （四）分段线性插值 (7) （五）样条插值 (8) 三五种插值法的对比研究 (9) 四插值法在matlab中的应用 (15) 五参考文献 (17)
五种插值法的对比研究 摘要：插值法是数值分析中最基本的方法之一。在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。本文详细介绍了拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、埃尔米特插值、样条插值法，并从五种插值法的基本思想和具体实例入手，探讨了五种插值法的优缺点和适用范围。.通过对五种插值法的对比研究及实际应用的总结，从而使我们在以后的应用中能够更好、更快的解决问题。 关键词：插值法对比实际应用
Abstract: interpolation numerical analysis of one of the most basic method. Function is a wide variety of practical problems encountered, and some even not give expression provides only a number of discrete data, e.g., in the the checker number table, to check the data is not found in the table , first find out the number next to it, from the side to find the correction value, a certain relationship between the adjacent number to be amended, and to find to find the number, this correction relationship is actually an interpolation . Selection of different types of interpolation functions in practical applications, the approximation of the effect is different. This paper describes the Lagrange interpolation, Newton interpolation, piecewise interpolation, Hermite interpolation, spline interpolation, and start from the basic idea of the five interpolation and specific examples to explore the advantages of the five interpolation shortcomings and the scope of application. The comparative study and practical application of the summary by the the five interpolation method of application so that we can better and faster to solve the problem.
五种插值法的对比研究 1. 选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时， 我国焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton 和 Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。 而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。 在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时， 要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值， 按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。 在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、分段三次Hermite 插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。 2. 研究的方法 从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分 导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个 离散数据对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插 值，即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(i x )=f(i x )，i=0,1,…,n.，并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数。
基于GIS的气温插值方法比较研究 --以陕西省为例 摘要：随着空间气温信息需求的日益增加，气温的空间插值已被广泛应用而不同的插值方法因不同的地区和研究目的产生不同的效果。采用西安19个国家基本站点1983年的年平均气温数据，应用地信软件ArcGIS中的地统计学模块进行空间降水插值实验，分别采用反距离权重法、样条函数插值法和克里格方法探讨了陕西年均气温的空间分布，分析发现：三种插值方法在不同区域上各有优缺点，在本文研究年均气温分布中，克里格插值法要优于其它方法。 关键词: 空间插值; 年均气温; 地统计学; 陕西 1引言 作为生态、资源环境等相关学科基础数据源，气候信息在区域和全球尺度生态系统变化的模拟、生态系统管理、自然资源区划和管理中发挥着重要作用[1-4]。然而由于气象站点定位观测获取的只是局部有限的空间点数据，要想得到区域尺度的有关参数，只能利用以点代面或者空间内插和外推方法得到气象要素的空间分布数据[5-8]。 目前用于资料空间插值的方法有多种，主要有克里格(Kriging)插值法、反距离加权法(InverseDistanceWeight，IDW)、样条法(Splines)和综合插值法等。研究区域和时间尺度的不同决定插值方法选用的不同，即使是同一种插值方法，用于不同的研究区域，所取得的结果也不同，不同的方法插值结果差别也很大[9-11]。气象要素的空间分布受诸多要素影响，由于气象观测站点稀少而且分布不均，在很多地形复杂的地区，可用的气象数据非常有限，因此如何充分利用有限的气候资源，根据气候要素的空间分异规律，推测无观测点和少观测点区域的气候要素值，一直是相关学科研究的热点。
各种插值法对比研究
目录 1.引言 (1) 2.插值法的历史背景 (1) 3.五种插值法的基本思想 (2) 3.1拉格朗日插值 (2) 3.2牛顿插值 (3) 3.3埃尔米特插值 (4) 3.4分段线性插值 (5)
3.5三次样条插值 (6) 4.五种插值法的对比研究 (6) 4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (6) 4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (7) 4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (7) 4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (7) 5.插值法在实际生活中的应用 (7) 6.结束语 (8) 致谢 (8) 参考文献 (8)
各种插值法对比研究 摘要：插值法是一种古老数学办法,也是数值计算中一种算法.插值法不但是微分方程、数值积分、数值微分等计算办法基本,并且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文一方面简介了插值背景以及惯用五种插值法基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应算法与MATLAB 程序,依照已学知识对五种插值办法与被插函数逼近限度进行对比研究,找出不同办法间联系与区别,分析出它们优缺陷,最后在此基本上进一步研究插值法实际应用,以提高插值法实用性,从而能让咱们在后来应用中看到一种问题,就懂得哪种办法更适合于它,然后大大地迅速提高效率. 核心词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用 1.引言 在诸多解题以及应用生活中,经常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言精确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数表达式表达出来.例如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系,但是依照观测和测量或者实验只能得到有限个函数值,咱们可以运用这几点来拟定函数表达式.或者有某些函数表达式是已经懂得,但是它们计算是十分繁琐复杂,不容易发现它本质,并且它用法也比较局限.函数是表达数与数之间联系,为了能较好地用数学语言表达出函数关系,普通通过给定数据构造一种函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 特点,又以便计算,用)(x P 近似)(x f .普通选一种简朴函数)(x P ,并且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候)(x P ,从要表达函数规律来看,就是咱们需要插值函数[1] .所用办法就是插值法,由于所选用)(x P 多样化,得到不同插值法. 2.插值法历史背景
1. 克里金法（Kriging） 克里金法是通过一组具有z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。与其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。 克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择，IDW仅仅将距离的倒数作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题。它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。在数据点多时，结果更加可靠。该方法通常用在土壤科学和地质中。 2. 反距离权重法（Inverse Distance Weighted，IDW） 反距离权重法（反距离权重法）工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值。点到要估计的像元的中心越近，则其在平均过程中的影响或权重越大。此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如，为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。 反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数，默认值为2。 通过定义更高的幂值，可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。 由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用。此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果。 3. 含障碍的样条函数（Spline with Barriers） 含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术，其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性。 含障碍的样条函数工具应用了最小曲率方法，其实现方式为通过单向多格网技术，以初始的粗糙格网（在本例中是已按输入数据的平均间距进行初始化的格网）为起点在一系列精细格网间移动，直至目标行和目标列的间距足以使表面曲率接近最小值为止。 4. 地形转栅格（Topo to Raster） 地形转栅格和依据文件实现地形转栅格工具所使用插值技术是旨在用于创建可更准确地表示自然水系表面的表面，而且通过这种技术创建的表面可更好的保留输入等值线数据中的山脊线和河流网络。 5. 样条函数（Spline） 样条函数法工具所使用的插值方法使用可最小化整体表面曲率的数学函数来估计值，以生成恰好经过输入点的平滑表面。
空间插值可以有很多种分类方法，插值种类也难以举尽。在网上看到这篇文章，觉得虽然作者没能进行分类，但算法本身介绍地还是不错的。 在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括： Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋
多种插值法比较与应用 （一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏ ≠=--=n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0ΛΛ= 称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件 )()(k k n x f x L =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式，称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0 )1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商
i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111ΛΛΛΛΛ 2． Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ΛΛΛΛΛ 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏=ΛΛ 为插值余项。 （三）Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212Λ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα
插值法的应用与比较 信科1302 万贤浩 13271038 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 1.1拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零. 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差 ))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点： ),(00y x ,……,),(k k y x ,
各种插值法的对比研究
目录 1.引言 (1) 2.插值法的历史背景 (1) 3.五种插值法的基本思想 (2) 3.1拉格朗日插值 (2) 3.2牛顿插值 (3) 3.3埃尔米特插值 (3) 3.4分段线性插值 (4) 3.5三次样条插值 (5) 4.五种插值法的对比研究 (5) 4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (5) 4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (6) 4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (6) 4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (6) 5.插值法在实际生活中的应用 (6) 6.结束语 (6) 致谢 (7) 参考文献 (7)
各种插值法的对比研究 摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率. 关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用 1.引言 在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1] .所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法. 2.插值法的历史背景 插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践. 因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距
五种插值法的对比研究 1.选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时，我国刘焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton和Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用范围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。 2. 研究的方法
从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分 导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个离散数据 对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插值，即寻找 一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(i x )=f(i x )，i=0,1,…,n.，并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数。 多项式插值是最常见的一种函数插值.在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一个次数不超过n 的插值多项式满足上述条件.从几何上看可以理解为：已知平面上n+1 个不同点，要寻找一条次数不超过n 的多项式曲线通过这些点.插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日（Lagrange ）插值多项式，另一个是牛顿（Newton ）插值多项式. 且Lagrange 插值公式恒等于Newton 插值公式. 分段线性插值与样条插值可以避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用
两种空间插值方法的比较研究 摘要：距离倒数加权法算法简单，容易实现，适合分布较均匀的采样点集，但容易出现“牛眼”现象；克里金法是一种无偏最优估计法，精度较高，适合空间自相关程度高的数据，但其算法复杂，实现较难。这两种 方法各有其适用情形，本文比较了这两种方法的优劣并提出算法优化的思路。 关键字：距离倒数加权，克里金，优化 1引言 空间插值是根据一组已知的离散数据或分区数据，按照某种假设推求出其他未知点或未知区域的数据的过程，简单的说就是由已知空间特性推求未知空间特性。它是地学研究中的基本问题，也是GIS 数据处理的重要内容。在利用GIS 处理空间数据的过程中，需要进行空间插值的场合很多，如采样密度不够、采样分布不合理、采样存在空白区、等值线的自动绘制、数字高程模型的建立、区域边界分析、曲线光滑处理、空间趋势预测、采样结果的2.5维可视化等[1]。通过归纳，空间插值可以简化为以下三种情形：（1）现有离散曲面的分辨率、像元大小或方向与所要求的不符，需要重新插值。例如将一个扫描影像（航空像片、遥感影像）从一种分辨率或方向转换为另一种分辨率或方向的影像。（2）现有连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重新插值。如将一个连续曲面从一种空间切分方式变为另一种空间切分方式，从TIN 到栅格、栅格到TIN 或矢量多边形到栅格。（3）现有数据不能完全覆盖所要求的区域范围，需要插值。如将离散的采样点数据内插为连续的数据表面[2]。。 现有的空间插值方法多种多样，但每一种方法都有其适用情形和无法避免的缺陷，本文分析了距离倒数加权法和克里金法的插值结果，并提出改进的思路。 2方法 距离倒数加权法和克里金法都是建立在地理学第一定律之上的，即：空间距离越近，地理事物的相似性越大[3]。它们都是通过确定待插点周围采样点的权重来求取待插点的估计值，可统一表示。设n x x ,,1 为区域上的一系列观测点，)(,),(1n x Z x Z 为相应的观测值。待插点0x 处的值)(0x Z 可采用一个线性组合来估计： ∑==n i i i x Z x Z 10)()(λ （1） 但距离倒数加权法只考虑采样点与待插点之间的距离，而克里金法不仅考虑距离，还要考虑
几种插值法的应用与比较 作者：*** 指导老师：*** 摘要本文主要介绍了几种常用插值法的应用和比较，针对每个插值法，经过详细的论证和讨论，给出了每个插值法的优点和缺点.通过对数学插值法的研究、比较及应用的讨论及总结，从而得出所讨论插值方法的各自优势，以方便用户选择合适的插值法. 关键词拉格朗日插值重心拉格朗日插值分段线性插值 1 引言 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，计算起来十分麻烦.这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法. 由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值.多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等.其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数的近似解析表达式. 2拉格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 2.1 拉格朗日插值多项式
插值方法比较
1. 克里金法（Kriging） 克里金法是通过一组具有 z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。与其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由 z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。 克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择，IDW仅仅将距离的倒数作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题。它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。在数据点多时，结果更加可靠。该方法通常用在土壤科学和地质中。 2. 反距离权重法（Inverse Distance Weighted，IDW） 反距离权重法（反距离权重法）工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值。点到要估计的像元的中心越近，则其在平均过程中的影响或权重越大。此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如，为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。 反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数，默认值为 2。 通过定义更高的幂值，可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。
由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则，认为值为 30 的幂是超大幂，因此不建议使用。此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果。 3. 含障碍的样条函数（Spline with Barriers） 含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术，其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性。 含障碍的样条函数工具应用了最小曲率方法，其实现方式为通过单向多格网技术，以初始的粗糙格网（在本例中是已按输入数据的平均间距进行初始化的格网）为起点在一系列精细格网间移动，直至目标行和目标列的间距足以使表面曲率接近最小值为止。 4. 地形转栅格（Topo to Raster） 地形转栅格和依据文件实现地形转栅格工具所使用插值技术是旨在用于创建可更准确地表示自然水系表面的表面，而且通过这种技术创建的表面可更好的保留输入等值线数据中的山脊线和河流网络。 5. 样条函数（Spline） 样条函数法工具所使用的插值方法使用可最小化整体表面曲率的数学函数来估计值，以生成恰好经过输入点的平滑表面。 从概念上讲，采样点被拉伸到它们数量上的高度；样条函数折弯一个橡皮页，该橡皮页在最小化表面总曲率的同时穿过这些输入点。在穿过采样点时，
学号：20138 大学毕业论文 五种插值法的对比研究 A Comparative Study of Five Interpolation Methods 学院:理学院 教学系：数学系 专业班级:信息与计算科学专业1301 学生姓名: 指导教师:讲师 2017年6月7日
目录 内容摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 1 导言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 1.1 选题背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 1.2 研究的目的和意义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 2 五种插值法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2.1 拉格朗日插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2.2 牛顿插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 2.3 分段线性插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
多普勒天气雷达数据插值方法比较研究 黄云仙,张英 (解放军理工大学气象学院,南京211101) 摘要:天气雷达资料插值处理是对天气雷达获取的资料做综合分析以及进一步的处理必要前提,也是天气雷达组网拼图和三维显示的重要基础。本文主要研究了四种天气雷达资料的插值方法,并对其插值效果进行了比较分析,结果发现,自适应Barnes 插值法是一种较为有效的插值方法,能够较好地保留原始资料中回波反射率的结构特征,并且能够得到比较连续的回波反射率三维分析数据场。 关键词:天气雷达;反射率因子;插值 中图分类号:T P79 文献标识码:A 文章编号:1000-3177(2008)96-0039-07 收稿日期:2007-07-18 修订日期:2007-07-30 作者简介:黄云仙,女,解放军理工大学气象学院副教授,硕士生导师,研究方向:遥感信息处理。 1 引 言 天气雷达是用来探测大气中降水区的位置、强弱及其变化的雷达。由于其能迅速、准确、细致地提供在测站周围降水的位置、大小、强度和内部结构,以及它们随时间演变的情报 [1] ,因而成为气象探测 和研究的有效的工具,在中小尺度灾害性天气监测、短时天气预报等方面发挥着重要作用。 天气雷达在以体扫方式收集数据时,雷达原始数据是位于以雷达为中心的球坐标系(仰角、方位 角、斜距)内,因此,当需要对雷达获取的资料做综合分析(比如:结合地形、卫星等资料进行分析)以及进一步处理(比如:三维显示或组网拼图)时,必须把雷达原始资料从球坐标系转换到统一的笛卡尔坐标系中。利用一定的插值方法,将球坐标系下的雷达原始资料插值到笛卡尔坐标系下的规则三维网格点上。天气雷达回波数据的特点是:靠近雷达站采样点密,远离雷达站采样点疏,因此如何根据数据特点,选择合适的插值方法,是一个值得研究的问题。国内外有很多学者提出了多种不同的插值方法,常用的方法主要有:(1)最近邻法(nearest neighbor mapping ,简称N NM )[2] ,(2)垂直线性插值法(Ver -tical Interpo latio n ,简称VI )[2] ,(3)垂直水平线性插值法(uses the VI plus a ho rizontal inte rpolation ,简称VH I )[2～3] ,(4)三线性插值法 [4] ,(5)Barnes 插值 法 [5～7] 。此外,更为复杂的还有在分析空间进行插 值的变分分析方法[8]及统计方法[9]。 本文对雷达数据进行插值,目的是为了对雷达 体扫数据进行进一步处理(拼图和三维显示等),以便于提高气象工作人员对强天气进行监测的能力。因此本文的主要研究目的是,利用现有的多种不同插值方法实现坐标转换,比较其插值效果,寻找出一种能够快速地把球坐标系下的雷达原始体扫数据插值到笛卡尔坐标系下的规则三维网格点上,能够产生比较连续的图像,并且能够最大可能地保留雷达原始资料回波反射率结构特性的插值方法。 2 数据来源及插值处理方案 本文分别对浙江省和江苏省各一部天气雷达探测到的数据进行插值处理。 浙江雷达数据(雷达1)为10个仰角组成的体扫数据,仰角范围为0°～4.5°,每个仰角间隔0.5°,在方位上的分辨率为1°,雷达作360°扫描,探测距离为300km 。 江苏雷达数据(雷达2)为6个仰角组成的体扫数据,仰角范围为0°～6°,每个仰角间隔1°,在方位上的分辨率为1°,雷达作360°扫描,探测距离为150km 。 插值显示时,对两部雷达的数据在水平和垂直方向上均采用均匀网格,水平方向上共有300×300个网格点,雷达站位于正中位置。浙江雷达的水平分辨率为2km ×2km ;江苏雷达的水平分辨率为 1km ×1km ;垂直方向上都分为15层,垂直分辨率为1km ,高度为15km (一般而言,15km 以上回波数 39
五种插值法的对比研究 1. 选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时， 我国刘 焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时， Newton 和 Gregory( 格雷 格里 ) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时， Lagrange( 拉格朗日 ) 给出了更一 般的非等距节点插值公式。 而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应 用也日益增多， 特别是在计算机工程中。 许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。 在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有 的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时， 要查的数据在表中 找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值， 按一定关系把相邻的数加以修 正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。 在实际应用中选用不同类型 的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即 Lagrange 插值、 Newton 插值、分段线性插值、分段三次 Hermite 插值、样条插值函数。所 以通过从这五种插值法的基本思想、 特征、 性质和具体实例入手， 探讨五种插值法的优缺点 和适用范围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。 2. 研究的方法 从具体实例入手并结合 Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分 导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是：已知 f(x)( 可能未知或非常复杂函数 ) 在彼此不同的 n+1 个实点 x 0 , x 1 , x n 处的函数值是 f( x 0 ) ， f( x 1 ) ， ,f( x n ) ，这时我们简单的说 f(x) 有 n+1 个 离散数据对 {(x i , y i )} n i 0 . 要估算 f(x) 在其它点 x 处的函数值，最常见的一种办法就是插
五种插值法的对比研究 1. 选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时，我国刘焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton 和Gregory( 格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange( 拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按一定关系把相邻的数加以修 正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、分段三次Hermite 插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用范围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。 2. 研究的方法 从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是：已知f(x)( 可能未知或非常复杂函数) 在彼此不同的n+1 个实点 X o, Xl,…X n处的函数值是f( X o), f(Xl)，…，f(X n)，这时我们简单的说f(x)有n+1个 离散数据对{(x i,y i)} i 0.要估算f(x) 在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插