2009年济南外国语学校实验班初中升高中保送卷——数学
时间：120分钟 满分：120分
一.选择题 (共12小题，每小题4分，共48分) 1.已知M ＝｛x|y=x 2
-1｝, N={y|y=x 2
-1},N M ?等于 A. N B. M C.R D.Φ
2.已知31
)53(-=a ，21
)35(=b ，2
1
)3
4(-=c ，则a,b,c 三个数的大小关系是
A b a c <<
B a b c <<
C c b a <<
D c a b <<
3.若,m n 表示两条直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ①
//m n n m αα??⊥?⊥?；②//m m n n αα⊥???⊥?；③//m m n n αα⊥??⊥??；④//m n m n αα?
?⊥?⊥?
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.若点A(－2，－3 )，B(－3，－2 )，直线ι过点P( 1，1 )且与线段AB 相交，则ι的斜率k 的取值范围是
A. 43≤
k 或34≥k B. 34-≤k 或43
-≥k C. 3443≤≤k D. 4334-≤≤-k
5.函数)1(log )(2
1-=x x f 的定义域是
A .（),1+∞ B. （),2+∞ C.()2,∞- D.(1,2) 6．点P 在直线04=-+y x 上，O 为原点，则|OP|的最小值为 A.-2
B 22
C 6
D 10
7.已知一个几何体它的主视图和左视图上都是一个长为4，宽为2的矩形，俯视图是一个半径为2的圆，则此几何体的表面积为
8.已知函数f (n )=?
??≤+>-),10)](5([),10(3n n f f n n 其中n ∈N ，则f (8)等于
A.2
B.4
C.9
D.7
9.若直线a x b y a b R +-=∈240()，始终平分圆x y x y 22
4240+---=
的周长，则ab 的取值范
围是
A. （0，1）
B. (]-∞，1
C. （-
∞，1） D. （0，1]
10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0()(1)x f x x x ≥=-时，，则当0()x f x <=时， 11.已知实数y x ,满足0126422=++-+y x y x ，则22--y x 的最小值是 A. 55- B. 54- C. 5 D. 4
12．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于 A ．2
B ．-2
C ．6
D ．9
二．填空题 (共4小题，每小题4分，共16分) 13.幂函数k
x
k k y ---=11
2
)22(在（0，+∞）上是减函数，则k ＝_________.
14函数()0,1x
y a a a =>≠在[]1,2上的最大值与最小值的和为6，则a 的值= .
15.已知正方体的外接球的体积是
π3
32
，那么正方体的棱长等于 . 16.两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c=0上，则m+c 的值为
三.解答题（共6个大题，共56分，写出必要的文字说明） 17.（本小题8分）不用计算器求下列各式的值
⑴ ()()1
22
3
02
1329.63 1.548--??
?? ? ?
????
---+ ⑵
7log 23
log lg 25lg 47+++ 18．（本小题8分） 已知直线l 过点P （1，1）， 并与直线l 1：x －y+3=0和l 2：2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分，求：
（1）直线l 的方程； （2）以O 为圆心且被l 截得的弦长为
5
5
8的圆的方程． 19.（本小题8分）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。每辆租出的车每月需要花费租赁公司维护费200元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 20. （本小题10分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．
求证：（1）PA∥平面BDE ；（2）平面PAC ⊥平面BDE ．
21．（本小题
10
分）对于函数
()()()0,212≠-+++=a b x b ax x f ,若存在实数0x ,使
()0x f =0
x 成立,则称0x 为()x f 的不动点. ⑴当2,2-==b a 时,求()x f 的不动点; ⑵若对于任意实数b ,函数()x f 恒有两个不相同的不动点,求a 的取值范围.
22．（本小题12分） 函数f x a x b
x ()=
++12
是定义在（－1，1）上的奇函数，且f ()1225=
（1）确定函数f x ()的解析式；
（2）用定义证明f x ()在（－1，1）上是增函数；
（3）求满足f t f t ()()-+<10
的t 的取值范围。 数学试题答案（2009.2）
1-12 AACCD BCCB D A A 13. 3 14. 2 15.
3
3
4 16. 3 17.解（1）原式＝232
21
)2
3()827(1)49(--+-- =2
32
3212)2
3()23(1)23(-?-?+-- =22)2
3()23(123--+-- =21
（2）原式＝2)425lg(3
3
log 4
33+?+ ＝210lg 3log 241
3++- ＝4
15
2241=++-
18．解：（1）依题意可设A )n ,m (、)n 2,m 2(B --，则 ???=--+-=+-06)n 2()m 2(203n m ， ?
?
?=+=-0n m 23
n m ，解得1m -=，2n =． 即)2,1(A -，又l 过点P )1,1(，易得AB 方程为03y 2x =-+．
（2）设圆的半径为R ，则222)554(
d R +=，其中d 为弦心距，5
3
d =，可得5R 2=，故所求圆的方程为5y x 22=+．
19解：（1）当每辆车的月租定金为3 600元时，未租出的车辆数为1250
3000
3600=-，所以
这时租出了88辆车
(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为
f （x ）=（100-
)200)(503000
--x x , 整理得f （x ）=501(8000-x)(x-200)= -5012x +164x-32000=-50
1
(x-41002)+304200 所以，当x=4100时，f(x)最大，最大值为f(4100)=304200，
答：当每辆车的月租金定为4 100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元 20．证明（1）∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点， ∴OE∥AP，
又∵OE ?平面BDE ，PA ?平面BDE ，∴PA∥平面BDE ． （2）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ， 又∵AC ⊥BD ，且AC I PO=O
∴BD ⊥平面PAC ，而BD ?平面BDE ， ∴平面PAC ⊥平面BDE ．
21、解:⑴由题义()()x x x =--++-+221222 整理得04222
=--x x
,解方程得2,121=-=x x
即()x f 的不动点为－１和2. ⑵由()x f =x 得022
=-++b bx ax
，方程有两解,则有
△=()0842422>+-=--a ab b b a b 把0842>+-a ab b 看作是关于b 的二次 函数,则有 ()()()0216321684422<-=-=-a a a a a a ， 解得20< 22解：（1）由函数f x a x b x ()= ++12在（－1，1）上是奇函数知f x f x ()()-=-，即-++-=-++a x b x a x b x 1122 () ∴b =0 由f ()1225 =得：1 2112 2 52a +=() 解得a = 1 ∴f x x x ()=+12 （2）设x x 12，是（－1，1）上的任意两个实数，且x x 12<， 则f x f x x x x x x x x x x x ()()()()()()12112222 1212 122 2 11111-=+-+=--++ ∵-<<<1112x x ∴xx x x 1212010-<->， ∴f x f x f xf x ()()()()12120-<<，即 ∴f x ()在（－1，1）上是增函数 （）由f t f t ()()-+<10，知f t f t ()() -<-1 ∵f x ()为奇函数 ∴f t f t ()()-=- ∴f t f t ()()-<-1 由（2）知f x ()在（－1，1）上是增函数 解得 012 << t
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