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高中物理：动力学中的临界、极值问题

1．动力学中的典型临界问题

(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离的临界条件是弹力N ＝0.

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绝对张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛与拉紧的临界条件是T ＝0.

(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，所对应的速度便会出现最大值或最小值．

2．求解临界极值问题的三种常用方法

(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．

(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．

(3)数学法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件．

[典例3] 如图所示，质量m ＝1 kg 的光滑小球用细线系在质量

为M ＝8 kg 、倾角为α＝37°的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体

与水平面间的摩擦不计，g 取10 m/s 2.试求：

(1)若用水平向右的力F 拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F 不能超过多少？

(2)若用水平向左的力F ′推斜面体，要使小球不沿斜面滑动，推力F ′不能超过多少？

[解析] (1)小球不离开斜面体，两者加速度相同、临界条件为斜面体对

小球的支持力恰好为0

对小球受力分析如图：

由牛顿第二定律得：mg ·cot 37°＝ma

a ＝g cot 37°＝403

m/s 2 对整体由牛顿第二定律得：

F ＝(M ＋m )a ＝120 N.

(2)小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力

恰好为0，

对小球受力分析如图：

由牛顿第二定律得：mg tan 37°＝ma ′

a′＝g tan 37°＝7.5 m/s2

对整体由牛顿第二定律得：

F′＝(M＋m)a′＝67.5 N.

[答案](1)120 N(2)67.5 N

[规律总结]

求解此类问题时，一定要找准临界点，从临界点入手分析物体的受力情况和运动情况，看哪些量达到了极值，然后对临界状态应用牛顿第二定律结合整体法、隔离法求解即可．

7．如图所示，有一光滑斜面倾角为θ，放在水平面上，用固定

的竖直挡板A与斜面夹住一个光滑球，球质量为m.若要使球对竖直

挡板无压力，球连同斜面应一起()

A．水平向右加速，加速度a＝g tan θ

B．水平向左加速，加速度a＝g tan θ

C．水平向右减速，加速度a＝g sin θ

D．水平向左减速，加速度a＝g sin θ

解析：球对竖直挡板无压力时，受力如图所示，重力mg和斜面支持力N

的合力方向水平向左．F＝mg tan θ＝ma，解得a＝g tan θ，因此斜面应向左加

速或者向右减速．

答案：B

8．(多选)如图所示，粗糙水平面上放置质量分别为m、2m

和3m的3个木块，木块与水平面间动摩擦因数相同，其间均用

一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为T.现用水平拉力F拉其中一个质量为2m 的木块，使3个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是()

A．绳断前，a、b两轻绳的拉力比总为4∶1

B．当F逐渐增大到T时，轻绳a刚好被拉断

C．当F逐渐增大到1.5T时，轻绳a刚好被拉断

D．若水平面是光滑的，则绳断前，a、b两轻绳的拉力比大于4∶1

解析：取三木块为整体，则有F－6μmg＝6ma，取质量m、3m的木块为整体，则有T a －4μmg＝4ma，隔离m则有T b－μmg＝ma，所以绳断前，a、b两轻绳的拉力比总为4∶1，

与F、μ无关，A对，D错；当a绳要断时，则a＝

4m－μg，所以拉力F＝1.5T，B错，C

对．

答案：AC

9．一弹簧秤的秤盘A 的质量m ＝1.5 kg ，盘上放一物体B ，B 的质量为

M ＝10.5 kg ，弹簧本身质量不计，其劲度系数k ＝800 N /m ，系统静止时如图所示．现给B 一个竖直向上的力F 使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.20 s 内，F 是变力，以后F 是恒力，求F 的最大值和最小值．(g 取10 m/s 2)

解析：设刚开始时弹簧压缩量为x 1，则

x 1＝(m ＋M )g k

＝0.15 m ① 设两者刚好分离时弹簧压缩量为x 2，则

kx 2－mg ＝ma ②

在前0.2 s 时间内，由运动学公式得：

x 1－x 2＝12

at 2③ 由①②③解得：a ＝6 m/s 2

由牛顿第二定律，开始时：F min ＝(m ＋M )a ＝72 N

最终分离后：F max －Mg ＝Ma

即：F max ＝M (g ＋a )＝168 N.

答案：168 N 72 N

高中物理中的临界与极值问题

高中物理中的临界与极值问题宝鸡文理学院附中何治博一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等

词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从以往试题的内容来看，对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动的关系部分，对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分。二、常见临界状态及极值条件解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件，为了提高解题速度，可以理解并记住一些常见的重要临界状态及极值条件： 1.雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——屋面倾角为0 45 2.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时刻 3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰好不再滑下）—μ=tgθ。 4.物体刚好滑动——静摩擦力达到最大值。

动力学中的临界状态、极值问题

动力学中的临界状态、极值问题 1、如图所示，在倾角为θ=30°的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量均为m ，弹簧的劲度系数为k ，C 为一固定挡板，系统处于静止状态．现开始用一沿斜面方向的力F 拉物块A 使之向上做匀加速运动，当物块B 刚要离开C 时F 的大小恰为2mg ．求从F 开始作用到物块B 刚要离开C 的时间． 2、如图所示，细线的一端系一质量为m 的小球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行．在斜面体以加速度a 在水平方向做匀变速直线运动的过程中，要保证小球始终与斜面相对静止，则加速度a 的取值范围为（重力加速度为g ）（） A 、若向右匀加速运动，则a ≤gtan θ B 、若向右匀减速运动，则a ≤gtan θ C 、若向右匀减速运动，则a ≤g/tan θ D 、若向右匀加速运动，则a ≤g/tan θ； 3、如图所示，一质量m=0.4kg 的小物块，以v 0=2m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L=10m 。已知斜面倾角θ=30o ，物块与斜面之间的动摩擦因数。（重力加速度g 取10 m/s 2）（1）求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小。（2）拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？ 4、如右图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 的A 、B 两个物体，A 、B 间的最大静摩擦力为μmg ，现用水平拉力F 拉B ，使A 、B 以同一加速度运动，则拉力F 的最大值为( ) A 、μmg B、2μmg C、3μmg D、4μmg v

高中物理-动力学中的临界和极值问题

高中物理-动力学中的临界和极值问题在应用牛顿运动定律解决动力学问题时，会出现一些临界或极值条件的标志： 1．若题目中出现“恰好”“刚好”等字眼，明显表示过程中存在临界点． 2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就对应临界状态． 3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明过程中存在着极值，而极值点往往是临界点． 4．若题目要求“最终加速度”“稳定加速度”等即是求收尾加速度或收尾速度．一、接触与分离的临界条件物体分离的临界条件是相互作用力由原来的不为零变为零．因此解答此类问题，应该对原状态下研究对象的受力和运动状态进行分析，由牛顿第二定律或平衡条件列方程，令其中相互作用的弹力为零解得临界状态的加速度，以临界加速度为依据分析各种状态下物体的受力情况及运动状态的变化．质量为m 、半径为R 的小球用长度也为R 的轻质细线悬挂在小车车厢水平顶部的A 点，现观察到小球与车顶有接触，重力加速度为g ，则下列判断正确的是( ) A ．小车正向右做减速运动，加速度大小可能为3g B ．小车正向左做减速运动，加速度大小可能为3 3 g C ．若小车向右的加速度大小为23g ，则车厢顶部对小球的弹力为mg D ．若细线张力减小，则小球一定离开车厢顶部 [解析] 如图所示，小球恰好与车顶接触的临界状态是车顶对小球的弹力恰为零，故临界加速度a 0＝g tan θ，由线长等于小球半径可得，θ＝60°，a 0＝3g .小球与车顶接触时，小车具有向右的加速度，加速度大小a ≥3g ，A 、B 项错；当小车向右的加速度大小a ＝23g 时，ma F N ＋mg ＝tan θ，解得F N ＝mg ，C 项正确；细线张力F T ＝ma sin θ，小球与车顶接触的临界(最小)值F Tmin ＝2mg ，当张力的初始值F T >2mg 时，张力减小时只要仍大于或等于临界值，小球就不会离开车厢顶部，D 项错误． [答案] C 二、绳子断裂与松弛的临界条件绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T ＝0. 如图所示，小车内固定一个倾角为θ ＝37°的光滑斜面，用一根平行于斜面的细线系住一个质量为m ＝2 kg 的小球，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6， cos 37°＝0.8，则： (1)当小车以a 1＝5 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？ (2)当小车以a 2＝20 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？ [解析] 本题中存在一个临界状态，即小球刚好脱离斜面的状态，设此时加速度为a 0，对小球受力分析如图甲所示．将细线拉力分解为水平x 方向和竖直y 方向两个分力，则得到 F cos θ＝ma 0 F sin θ－mg ＝0 a 0＝g tan θ＝403 m/s 2. (1)a 1＝5 m/s 2