典型例题一
例1 解不等式：（1）01522
3
>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或
0)( 解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2 5 ,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或 奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图． 典型例题二 例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x ； （2）12 731 42 2<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为 )0(0) () (≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ① 0)()(0) () ( 0)()(0)(0)()(0 )(0)()(0)() ( （1）解：原不等式等价于 ???≠-+≥+-+-?≥+-+-?≤+-++-?≤+---+?≤+--?+≤-0 )2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0 )2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[)+∞?-?--∞,62,1)2,(。 （2）解法一：原不等式等价于 02 731 3222>+-+-x x x x 2 12 1 3102730132027301320 )273)(132(222222><< ???<+-<+-?????>+->+-?>+-+-?x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,2 1 ()31,(+∞??-∞。 解法二：原不等式等价于 0) 2)(13() 1)(12(>----x x x x 0)2()13)(1)(12(>-?---?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为),2()1,2 1()31,(+∞??-∞ 典型例题三 例3 解不等式242 +<-x x 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义? ? ?<-≥=)0() 0(a a a a a 二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >?<<-?<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法． 解法一：原不等式?????+<-<-?????+<-≥-?2 40 424042 2 22x x x x x x 或 即?? ?>-<<<-?? ?<<--≤≥1 22 2222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21< 故原不等式的解集为{} 31< 解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x 即?????+->-+<-) 2(42422x x x x ∴312132<<<-x x x x 故或． 典型例题四 例4 解不等式 04125 62 2<-++-x x x x ． 分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组： ?????>-+<+-041205622x x x x 或?????<-+>+-0 4120 562 2x x x x 所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解． 解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集： ?????>-+<+-0412,05622x x x x 或?????<-+>+-0 412, 0562 2x x x x ?? ?<-+<--?;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或? ??>-+>--;0)6)(2(, 0)5)(1(x x x x ； ???<<-<-<><6 ,2, 5,1x x x x 或或 ,51<x ． ∴原不等式解集是}6512{><<- 解法二：原不等式化为 0) 6)(2() 5)(1(>-+--x x x x ． 画数轴，找因式根，分区间，定符号． ) 6)(2() 5)(1(-+--x x x x 符号 ∴原不等式解集是}6512{><<- 说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解． 解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用． 典型例题五 例5 解不等式 x x x x x <-+-+2 2232 2． 分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解． 解：移项整理，将原不等式化为0) 1)(3() 1)(2(2>+-++-x x x x x ． 由012>++x x 恒成立，知原不等式等价于 0) 1)(3() 2(>+--x x x ． 解之，得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或． 说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解． 另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理． 典型例题六 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ． 分析：进行分类讨论求解． 解：当0=m 时，因03<-一定成立，故原不等式的解集为R ． 当0≠m 时，原不等式化为0)1)(3(<-+mx mx ； 当0>m 时，解得m x m 13<<- ； 当0 x m 3 1-<<． ∴当0>m 时，原不等式的解集为??? ???<<-m x m x 13； 当0 ???-< x 31． 说明：解不等式时，由于R m ∈，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当 0=m 时，原不等式化为03<-，此时不等式的解集为R ，所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论． 在解出03222=-+mx x m 的两根为m x 31- =，m x 12=后，认为m m 1 3<-，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当0>m 时，m m 13<-；当0 3>-． 典型例题七 例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解． 解：原不等式??? ??->-≥->-?;)1(2,01, 02)1(2 22x a ax x a ax 或???<-≥-.01,02)2(2x a x 由0>a ，得：? ?? ????<+++-≤>?;01)1(2,1,2)1(2 2a x a x x a x ?????>≥?.1, 2)2(x a x 由判别式08)1(4)1(422>=+-+=?a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是 a a x a a 2121++<<-+． 当20≤ 1212 ≤-+≤a a a ，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ． 当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2 a x ≥ ． 综上可知，当20≤ +∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等 式的解集是?? ? ???+∞,2a ． 说明：本题分类讨论标准“20≤a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2 a x >，1≤x ’，(2)中‘2 a x ≥ ，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定． 本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法． 典型例题八 例8 解不等式331042<--x x ． 分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可． 解答：去掉绝对值号得3310432<--<-x x ， ∴原不等式等价于不等式组 ??????<-->-??????<----<-0 61040 1043310431043222 2x x x x x x x x ??????? <<-> ?<+->-. 32 1,2500)12)(3(20)52(2x x x x x x x 或 ∴原不等式的解集为? ?????<<<<-325 021x x x 或． 说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等 价转化为不等式组，变成求不等式组的解． 典型例题九 例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论． 解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ． (1)当2a a <（即1>a 或0 {}2a x a x x ><或； (2)当2a a >（即10< {} a x a x x ><或2； (3)当2a a =（即0=a 或1）时，不等式的解集为： {}a x R x x ≠∈且． 说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <， 2a a >，2a a =三种情况． 典型例题十 例10 已知不等式02 >++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式 02>++a bx cx 的解集． 分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程 02=++a bx cx 的两根即可解之． 解：(解法1)由题可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴a b - =β+α，a c =β?α． 又02>++c bx ax 的解集是{} β<<αx x ，说明0 而0>α，0>β000? >αβ?c a c ， ∴0022<++?>++c a x c b x a bx cx ． ???????--==--=+-=??????? ?=?-=+), 1)(1(1,11βααβ βααββαβαβαa c c b a c a b ∴02<++c a x c b x ，即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ， 即0)1 )(1(<β -α-x x ． 又β<α<0，∴β >α1 1， ∴0)1)(1(<β-α- x x 的解集为? ?? ???α<<β11x x ． (解法2)由题意可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴a c = β?α． 又02>++c bx ax 的解集是{} β<<αx x ，说明0α，0>β000? >αβ?c a c ． 对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得 0)1 ()1(2=+?+?c x b x a ． 令x t 1 =，该方程即为 02=++c t b t a ，它的两根为α=1t ，β=2t ， ∴ α=11x ，β=21x ．∴α =1 1x ，β=12x ， ∴方程02=++a bx cx 的两根为α1 ，β 1． ∵β<α<0，∴ β >α11． ∴不等式02>++a bx cx 的解集是??? ? ??α<<β11x x ． 说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根． 典型例题十二 例12 若不等式 112 2+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()3 1 (∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a 、b 式子． 解：∵043 )21(122>+ +=++x x x ， 04 3 )21(122>+-=+-x x x ， ∴原不等式化为0)()2(2>-++--+b a x b a x b a ． 依题意?????? ?? ? =-++=-+->-+3 423 1202b a b a b a b a b a ， ∴??? ??? ? ==2325b a ． 说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解． 典型例题十三 例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{} 21<<-x x ，求a 与b 的值． 分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为{} 21<<-x x ，不等式 022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>?，022=-+bx ax 的两根为11-=x ，22=x ． 解法一：设022=-+bx ax 的两根为1x ，2x ，由韦达定理得： ?????? ?-=?-=+a x x a b x x 22121 由题意：????????-=-+-=-2 1221a a b ∴1=a ，1-=b ，此时满足0>a ，0)2(42>-?-=?a b ． 解法二：构造解集为{} 21<<-x x 的一元二次不等式： 0)2)(1(<-+x x ，即022<--x x ，此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等 式，故需满足： 2 2 11--= -=b a ∴1=a ，1-=b ． 说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好． 典型例题十四 例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想． 解：分以下情况讨论 (1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x (2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ① < ． ②当0>a 时，①式变为0)1)(1 (<--x a x ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<a ，此时②的解为a x 11<<．当1=a 时，11=a ，此时②的解为11 < ． 说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类： ?? ?? ??? ?????? ????????>=<<><≠=∈11 100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0 典型例题十五 例15 解不等式x x x ->--81032． 分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下， )()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于： ?? ?<≥0)(0)(x g x f 或? ?? ??>≥≥2 )] ([)(0)(0 )(x g x f x g x f ． 解：原不等式等价于下面两个不等式组： ①???≥--<-0103082x x x ②?????->--≥--≥-2 22)8(10301030 8x x x x x x 由①得???-≤≥>258 x x x 或，∴8>x 由②得∴???????>-≤≥≤. 1374 258x x x x 或 81374 ≤ 所以原不等式的解集为??????>≤<881374x x x 或，即为? ????? >1374x x ． 说明：本题也可以转化为 )()(x g x f ≤型的不等式求解，注意： ??? ??≤≥≥?≤2)] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f ， 这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，? ?????-≤--=x x x x A 81032， 则所求不等式的解集为A 的补集A ， 由2)8(10301030 881032 222-≤??????-≤--≥--≥-?-≤--x x x x x x x x x x 或1374 5≤ ≤x ． 即???? ??≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是 ??? ? ??>=1374x x A ． 新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成 立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数. 不等式的练习题 一、填空题 1、不等式2654x x +<的解集是 . 2 不等式-4≤x 2-3x ＜18的整数解为 . 3、如果不等式21 16.使不等式a x x <-+-34有解的条件是 . 17.已知关于x 的方程ax 2 +bx+c ＜0的解集为｛x ｜x ＜-1或x ＞2｝.则不等式ax 2 -bx+c ＞0的解集为 . 二、解不等式： 1、302x x -≥- 2、21 13 x x ->+ 3、22 32023x x x x -+≤-- 4、221 02x x x --<- 5、()()() 3 22 1603x x x x -++≤+ 6、()2 309x x x -≤- 7、 101x x <-< 8、 . 0)25)(-4-( 2 2<++x x x x 9 、 (2 1x -)(2 68x x -+)≤0 10 、 22 41 1372 x x x x -+≥-+ 11 、 12 、x x x 211322 +>+- 含参不等式专题（淮阳中学） 编写：孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。 解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况： （1） 二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。 一、含参数的一元二次不等式的解法： 1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥?） 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。 解：0)1)((2>--x a x 1,0)1)((==?=--x a x x a x 令 为方程的两个根 （因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论） （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 综上所述： （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ； 2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。 一元一次不等式及解法教学设计 教学目标： 1．知识与技能：掌握一元一次不等式的相关概念及其解法,能熟练的解一元一次不等式。 2．过程与方法：学生亲身经历探究一元一次不等式及其解法的过程，学生通过合作、类比等学习方法，加深对化归思想的体会。 3．情感态度与价值观：在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣，培养学生归纳总结知识的能力。 教学重点:掌握解一元一次不等式的步骤． 教学难点:不等式两边都乘以(或除以)同一负数时，必须改变不等号的方向. 教学过程 一、问题导入，出示学习目标 请同学们用不等式表示下列关系 （１）ｘ与７的差大于２６ （２）ｘ的３倍小于ｘ的２倍与１和 （３）ｘ的 小于５０ （４）ｘ的－４倍大于３ 师生活动：学生抢答说出答案。教师由此引出课题，出示学习目标。 设计意图：以抢答的形式说出答案从而激发学生的学习兴趣。 32 二、自学质疑： 自学122页的思考，完成下面的问题 观察思考中的４个不等式，它们有哪些共同特征？ （１）每一个不等式都只含有______个未知数 （２）未知数的次数是_______ （３）这４个不等式叫做_______________ 师生活动：学生独立完成这三个问题后小组交流。从而归纳出一元一次不等式的概念。教师点拨一元一次不等式满足的三个条件：①含有一个未知数②次数是1③不等式。 设计意图：培养学生的观察、归纳的能力。 三、探究解法： 问题1：解方程（1）2x－2＝6（2）5－5x＝10 类比解方程的步骤解（1）2x－2＜6 （2）5－5x ＞10 师生活动：学生完成解题过程。教师让学生对比解方程和解不等式的步骤，找出它们的相同点和不同点？（小组交流展示。）教师从而引出解一元一次不等式可以类比解一元一次方程的步骤。 设计意图：通过让学生对比解方程和解不等式的步骤，找出它们的相同点和不同点从而获得解一元一次不等式可以类比解一元一次方程的步骤。 合作探究 一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1且系数不为0的不等式，称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项： ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。 ②系数化为1时，注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式的概念 1. （2017春昭通期末）下列各式：①5≥-x ；②03<-x y ；③05<+πx ；④ 32≠+x x ； ⑤x x 333≤+；⑥02<+x 是一元一次不等式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.（2017春寿光市期中）若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ） A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2：考察一元一次不等式的解法 4. （2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）)21(3)35(2x x x --≤+ （2）2 2531-->+ x x 5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.（2016秋相城区期末）若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时，求x 的取值范围。 7. （2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式3 一元一次不等式教学设计（第1课时） 安徽省淮南市平圩中学李芬 教学目标： （1）了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集 （2）在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法的过程中，加深对类比和化归思想的体会． 教学重点： 一元一次不等式的解法． 解一元一次不等式与解一元一次方程在本质上是相同的，即依据不等式的性质，逐步将不等式化为x＞a或x＜a的形式，从而确定未知数的取值范围，这一化繁为简的过程，充分体现了化归的思想。 教学难点： 解一元一次不等式步骤的确定 通过前面的学习，学生已掌握一元一次方程概念及解法，对解一元一次方程的化归思想有所体会但还不够深刻．因此，运用化归思想把形式复杂的不等式转化为x＞a或x＜a的形式，对学生有一定的难度．所以，教师需引导学生类比解一元一次方程的步骤，分析形式复杂的一元一次不等式的结构特征，并与化简目标进行比较，逐步将不等式变形为最简形式． 教学过程设计 （一）引课 课件展示鲁班发明锯子的过程，提出类比思想 温故知新 给“一元一次方程”一个完美的定义 1.什么叫一元一次方程？ 答：只含一个未知数、并且未知数的指数是1的方程. 2.一元一次方程是一个等式，请问一元一次方程的(等号)两边都是怎样的式子？答：一元一次方程的(等号)两边都是整式、只含一个未知数，并且未知数的指数是1. 3.一元一次方程的(完美) 定义： 【一元一次方程】“只含一个未知数、并且未知数的指数是1”的整式方程. 知识讲解 观察下列不等式： （1）2x-2.5≥15；（2）x≤8.75； （3）x<4；（4）5+3x>240. 这些不等式有哪些共同特点？ 共同特点：这些不等式的两边都是整式，只含一个未知数、并且未知数的(最高)指数是1 . 学生回答，教师可以引导学生从不等式中未知数的个数和次数两个方面去观察不等式的特点，并与一元一次方程的定义类比． 师生共同归纳获得：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一 基本不等式应用解题技巧归纳 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2 y = 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数y = 的最大值.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。基本不等式经典例题精讲
不等式及其解法练习题
含参不等式解法举例
一元一次不等式解法教学设计说明
一元一次不等式及其解法常考题型讲解
(完整版)一元一次不等式的概念和解法
基本不等式应用-解题技巧归纳
不等式的解法及其应用