第7讲数学与文学
我的心智始终把学问探讨，
使我困惑不解的问题已经很少。
七十二年我日日夜夜苦苦寻思，
如今才懂得我什么也不曾知晓。
这是11世纪波斯（今伊朗）著名数学家奥马·海牙姆（Omar Khayyam, 1048～1131）写的四行诗（张鸿年译）。古稀之年、满腹经纶的数学家反省自己，却发现自己一无所知，着实让世上那些自命不凡的半瓶醋们感到羞愧不已。
奥马·海牙姆
不要忘了，奥马海牙姆在诗歌史上的地位甚至超过他在数学史上的地位！而在我们今天看来，数学和文学似乎是相互对立的两个学科，分属英国学者斯诺（C. P. Snow, 1905～1980）所说的“两种文化”，而这两种文化阵营里的人们之间，一如斯诺所言，有着深深的隔阂，有着难以逾越的鸿沟。
但是，如果翻开文学史的画卷，我们会发现：数学常常为文学家所利用，而文学也常常为数学家所利用。早在公元前5世纪，古希腊作者亚里士托芬尼（Aristophanes）在其作品《鸟》（Birds）中提到，天文学家梅顿（Meton）用直尺和圆规作出某个图形，“使圆变成了正方形”。尽管实际上梅顿并非在化圆为方，而只是将圆等分为四部分，但亚里士托芬尼至少告诉我们一个信息：化圆为方问题在他所生活的时代已经是广为人知了。而古希腊另一几
何难题——倍立方问题的起源则是古代某个悲剧诗人在其作品中给出的一个故事：米诺斯（Minos）为海神格劳克斯（Glaucus）修建了一座坟墓，但他对坟墓边长100英尺感到不满意。于是米诺斯错误地说，必须将边长增加一倍，以便把坟墓造得两倍大。
据说，“数学”（Mathematics）在希腊文中的最初意义相当宽泛，是指“学到的或理解了的东西”，只有到了亚里士多德时代才开始专门化；而“诗学”（Poetics）的最初意思则是“完成的、做好的、或取得的东西”。因此，“数学”和“诗”在公元前4世纪以前很可能指的同一件事。
7-1 诗歌中的数学问题
在历史上，用诗歌形式来表达数学问题的例子的确很多。印度约公元前800-600年讨论建造祭坛几何方法的《绳法经》（?ulbasūtras）即是以诗歌形式写成的。后世印度天文学家也常常以诗歌形式进行写作；如，公元6世纪，瓦拉哈米希拉（V arāhamihira, 505?～587）所著《太阳知识》（Sūryasiddhānta）中包含了诗歌形式的正弦表。约公元500年希腊学者米特洛多鲁斯（Metrodorus）所编《希腊选集》中，含有诗歌形式的丢番图墓志铭，是一个著名的一元一次方程实例：
行人啊，请稍驻足
这里埋葬着丢番图
上帝赋予他一生的六分之一
享受童年的幸福
再过十二分之一，两颊长胡
又过了七分之一，燃起结婚的蜡烛
贵子的降生盼了五年之久
可怜那迟到的宁馨儿
只活到父亲寿命的半数
便进入冰冷的坟墓
悲伤只有通过数学来消除
四年后，他自己也走完了人生旅途
12世纪，印度著名数学家婆什迦罗（Bhaskara, 1114～1185）在其题献给自己女儿的数学著作《丽罗娃蒂》（Līlāvatī）中，亦包含许多以诗歌形式来表达的数学问题，如：
园内花开扑鼻香，诱得蜜蜂采蜜忙。
嘤嘤嗡嗡闹如市，熙熙攘攘数难详。
总数之半开平方，飞入花间把身藏。
又有总数九之八，徜徉园外戏春光。
一只雄蜂循香至，可怜身陷莲花房。
一只雌蜂来救援，悲伤低回在花旁。
丽罗娃蒂请教我，蜜蜂数目可知详？
真是春光明媚、“数”趣盎然。它上是一个一元二次方程问题。
《丽罗娃蒂》是婆什迦罗最出名的一本数学著作，丽罗娃蒂是他女儿的名字。有一个故事说：占星家预测丽罗娃蒂的婚姻永远无成，但是婆什迦罗找到了一个解运的办法。他做了一个可漂浮在水面上的杯子，底部开一个很小的洞，水可慢慢流进，一小时后若杯子沉没，则女儿就可摆脱厄运。在一个良辰吉日，婆什迦罗施行解运术。由于好奇心，女儿丽罗娃蒂观看杯中水逐渐上升，突然，有一颗珍珠从她身上掉入杯子里，恰好堵住了进水口，一小时后杯子并没有沉没！因此，丽罗娃蒂还是要面对永远结不了婚的命运。为了安慰女儿，婆什迦罗说：“我要写一本书，以你的名字为书名，让你流芳万世；因为好名声是一个人的第二生命，也是不朽的基础。”婆什迦罗做到了，了却了他的心愿。
16世纪，意大利数学家塔塔格里亚（N. Tartaglia, 1499～1557）发现三次方程的解法后，为了避免遗忘，将其编成一首隐诗。众所周知，中国明代数学家程大位《算法统宗》中多以诗歌来表达问题的解法，特别是最后的“难题”都以诗或词的形式表述。如“以碗知僧歌”是个算术问题：
“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧。
三百六十四只碗，恰合用尽不差争。
三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹。
请问先生能算者，道来寺内几多僧。”
而一首“水仙子”则表达了一个一次同余组问题：
元宵十五闹纵横，来往观灯街上行。我见灯下红光映。绕三遭，数不真。
从头儿三数无零，五数时四瓯不尽，七数时六盏不停。端的是几盏明灯？
一首“浪淘沙”则是中国古代典型的盈不足问题：
昨日独看瓜，因事来家。牧童盗去眼昏花。信步庙东墙外过，听得争差。
十三俱分咱，十五增加。每人十六少十八。借问人瓜各有几，已会先答。
又如“西江月”：
平地秋千未起，扳绳离地一尺。送行二步恰竿齐，五尺板高离地。
仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏。良工高士请言知，借问索长有几。
是一个勾股问题。
16-17世纪，英国的数学课本盛行用诗歌体裁。英国数学家雷科德（R. Record, 1510～1558）在算术课本《艺术基础》（The Ground of Artes, 1543）和几何课本《知识之途》（The Pathway to Knowledge, 1551）中都不乏诗歌之例。在《知识之途》中，雷科德利用诗歌形式来宣扬几何学的价值（参阅阅读材料7-1）。而巴克里（W. Buckley）则干脆将自己的算术课本取名为《记忆算术》（Arithmetica Memorativa, 1550），书中各种算术运算一律用诗歌来表达。1570年左右的一部英国数学手稿中的“乘法原可恼，除法尤可厌；比例之法太艰涩，习之使我欲狂癫”由于道出了那些讨厌数学运算者的心声而风行一时。另一位作者希尔（T. Hylles）在其1592年出版的《通俗算术》中利用诗歌语言宣扬数学的价值，借以吸引学生（参阅阅读材料7-2）。书中的种种运算法则也都是用诗歌来表达的。
罗伯特·雷科德
18世纪的数学刊物《女士日记》（The Ladies’ Diary, 1704-1840）在创办初期所载的数学问题往往是用是用诗歌形式来表达的，而且问题的答案也是以诗歌形式给出。如1710年的问题13：
主人雇工三十天，约法三章定工钱。
干活一日十六元，偷闲一天二十减。
眨眼合同期限满，主仆结账不食言。
主人不付一子儿，佣工分厘未能添。
欲知佣工勤与懒，几日劳作几日闲？
这不过是一个二元一次方程组问题。而1711年问题17则是这样叙述的：
一天晚上遇见个补锅匠，他的舌头比脑瓜更灵光。
他口若悬河不停对我讲，说自己的手艺举世无双。
我要他做个平底的酒壶，试探他是不是吹牛大王：
壶顶壶底是大小两个圆，直径的长短按照五三量。
十二英寸高分厘不能爽，十三加仑啤酒恰恰满装。
他爽快答应立即动手忙，把锤子敲得叮叮当当响。
做成了酒壶再把容积量，十三加仑水溢出往外淌。
他改短直径脚乱又手忙，结果十三加仑又不够装。
他又修改尺寸费尽思量，这回十三加仑恰恰满装。
量量直径可惜又不够长，吹牛的补锅匠好不懊丧。
酒壶一会太大一会太小，最后把壶儿弄得不成样。
他信誓旦旦还信口雌黄：不达目的便毁一切家当！
于是我请求帮他一个忙，生怕他断了生路空悲伤。
凭他那平平庸庸脑袋瓜，永远也别想找出直径长！
显然是一个圆台体积问题。
7-2 吟诗论数
除了上面介绍的古代数学文献中数学家所写的诗歌，我们在西方文学史上也能见到文人赋诗论数学家的传统。从16世纪开始直到19世纪，常有人写诗歌颂数学名家或数学教材的作者。如17世纪，查普曼（George Chapman, 1559～1634）作诗献给同时代英国著名代数学家哈里奥特（Thomas Harriot, 1560～1621）：
你心灵的深度测量着高度
以及一切重物的所有标尺
对于所有重大的和永久的发明
理性是基础、是结构、是装饰
而你清澈的眼睛
是理性运转的球体
18世纪英国著名诗人蒲柏（A. Pope, 1688～1744）为牛顿（I. Newton, 1642～1727）撰写墓
志铭：
自然和自然的规律黑夜里隐藏
上帝说，‘让牛顿来吧’，于是一切都变得光亮
蒲柏在《人论》（An Essay on Man）第二札（Epistle II）中也提到牛顿。
诗歌从文化角度反映了人们对于数学的看法。在17世纪的大部分时间里，英国诗人写的往往都是抒情诗，他们极少了解数学和科学。少数涉及数学或科学的诗人，对于它们的新发展也一无所知。著名诗人弥尔顿（John Milton, 1608～1674）尽管对于伽利略推崇有加，但在其作品中却仍固守着托勒密理论，另外一些诗人甚至对数学进行嘲笑。布特勒（Samuel Butler, 1612～1680）在他著名的讽刺诗Hudibras（1663）的第一部分中写道：
在数学上，他的成就
比第谷或帕特更伟大；
因为他，利用几何这秆秤，
能把酒壶的大小量不差。
如果面包或黄油缺了斤两
他就用符号和切线来解决它；
利用代数学，他明智地告诉人们
么时辰闹钟敲了几下
萨缪尔·布特勒
Hudibras封面
19世纪的诗人曾表现出对于牛顿机械论的强烈反感。美国著名诗人惠特曼（Walt Whitman, 1819～1892）于1855年出版的诗集《草叶集》（Leaves of Grass）中的一首这样写道：
当我聆听博学的天文学家讲演
当证明、图形一栏栏摆在我的面前
当他出示图表和图形，要我对它们进行加、除和测量
当我坐在教室里聆听天文学家讲课，下面的听众不断地鼓掌
我很快变得莫名的倦怠和厌恶
直到起身悄然离开，独自漫步
在那神秘、潮湿的夜色中
万籁俱寂间，不时抬头仰望星空
诗歌有时和文学传记一样，也反映了某个时代数学教育的状况，如法国著名作家和诗人雨果（Victor Hugo, 1802～1885）于1864年用诗歌向我们描述了他少年时代学习数学的经历：
我是数的一个活生生的牺牲品
这黑色的刽子手让我害怕
我被强制喂以代数
他们把我绑上Bois-Bertrand的拉肢刑架
在恐怖的X和Y的绞刑架上
他们折磨我，从翅膀到嘴巴
………
雨果
诗与数学之间最深刻的关系莫过于数学概念或意象（imagery）与诗歌的结合。事实上，中世纪欧洲两个最伟大的诗人——但丁（Dante, 1265～1321）和乔叟（G. Chaucer, 1342～1400）的作品无不充满着数学知识。17世纪，英国著名形而上学诗人约翰·多恩（John Donne, 1572～1631）和安德鲁·马佛尔（Andrew Marvell, 1621～1678）通过圆规、欧氏几何中的
手持《神曲》的但丁
乔叟
平行线之类的数学概念来类比爱情。如后者的《爱的定义》：
象直线一样，爱也是倾斜的
它们自己能够相交在每个角度
但我们的爱确实是平行的
尽管无限，却永不相遇。
19世纪初，英国著名诗人雪莱（P. B. Shelley, 1792～1822）的诗歌《解放了的普罗米修斯》中第四幕的一节：
我在黑夜的金字塔下转动，
这金字塔怀着欢欣高耸入天空，
在我沉醉的睡梦里把胜利的欢歌呢哝；
如同一个年轻人躺在美丽的阴影中，
做着缱绻的好梦，轻声叹息，
光明和温暖坐在身边细心地侍奉。
雪莱
同时期英国著名数学家怀特海德（A. N. Whitehead, 1861～1947）认为，“只有内心世界展现着一幅特定几何图形的人才能写出这样的诗歌来，而讲解这张图形，常常正是我在数学课堂中要做的事情。”在20世纪，英国著名诗人艾普生（William Empson, 1906～1984）和美国著名诗人斯蒂文斯（Wallace Stevens,1880～1995）等人的作品都以其中数学概念的融入而著称。
7-3 小说中的数学
19世纪，英国著名作家狄更斯（Charles Dickens, 1812～1870）在其名著《艰难时代》（1854）中利用茜茜·朱蓓（Sissy Jupe）学习比例一事来批判时弊。在查尔斯·道奇森（Charles Dodgson, 1832～1898）——维多利亚时代牛津大学基督堂学院的一位数学讲师，笔名刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）——的《爱丽丝漫游奇境记》和《爱丽丝镜中奇遇记》中，怪诞的数学和逻辑被用来反映“表面上看起来毫无意义的世界里人类的荒谬状态”。还有学者指出，爱丽丝在奇境中的许多场合里都不过是一张在不同变换之下保持不变性质的几何图形而已。
另一位维多利亚时代的英国作家阿波特（E. A. Abbott）是伦敦一市立中学的校长。在他的数学幻想小说《平面国传奇》里，讲述了一个平面国知识分子——一个正方形向国人宣扬三维空间理论，最后身陷囹圄的故事。一天，正方形主人公不幸被一个来自三维空间世界的球体所覆盖——在平面国的人看来，球当然只是一个圆，先从一个点开始逐渐增大，而后又逐渐减小，最后消失。球体降落多次，它向正方形描述了三维世界的奇迹，并使他意识到自己被限制在平面上的不幸境况。最后，这位陌生人将正方形带去环游三维空间。回国后，他热衷于向国人传授自己刚刚发现的三维空间理论，但被平面国的最高统治阶级——圆形的僧侣们视为异端，被判终生监禁。作者利用数学主题讽刺了维多利亚时代的社会等级制度和性别歧视。
在19世纪的欧洲和俄国，数学与更严肃的文学发生了联系。俄国大文豪陀思妥耶夫斯基（F. Dostoevsky, 1821～1881）在其长篇小说《卡拉马卓夫兄弟》第2部第2卷第3节“兄弟俩互相了解”中，伊凡和阿辽沙兄弟俩在一家酒店喝茶聊天。在谈到上帝是否存在的问题时，伊凡说：
?假如上帝存在，而且的确是他创造了大地，那么我们完全知道，他也是照欧几里得的几何学创造大地和只有三维空间概念的人类头脑的。但是以前有过，甚至现在也还有一些几何学家和哲学家，而且还是最出色的，他们怀疑整个宇宙，说得更大一些——整个存在，是否真的只是照欧几里得的几何学创造的，他们甚至还敢幻想：按欧几里得的原理是无论如何也不会在地上相交的两条平行线，也许可以在无穷远的什么地方相交。因此我决定，亲爱的，既然我连这一点都不能理解，叫我怎么能理解上帝呢？?
这里，非欧几何的观念成了挑战传统的上帝信仰的有力工具。
在奥地利著名小说家穆西尔（R. Musil, 1880～1942）出版于1906年的小说《年轻的特尔莱斯》里，主人公特尔莱斯遇到虚数后，开始考虑生命的复杂性和模糊性。特尔莱斯原来
把数学看作“生命的预备工具”，因此为虚数所困扰。他认为，虚数不可能是一个真正的数；但同时，通过虚数运算所得到的真实结果又把他给迷住了。他承认，这样的运算使他感到有点“晕乎乎”，似乎是通往“上帝所知道的路”。对特尔莱斯而言，实数和虚数代表着人性中的理性的一面和非理性的一面。
俄国著名小说家扎米亚金（Y. Zamyatin, 1884～1937）也将虚数与人的灵魂联系在一起。在反乌托邦小说《我们》（1924）中，扎米亚金虚构了一个用数学来管理的极权主义国家。在这个国家，统治者是“万数之数”；诗歌是严格按照乘法表来写的；人名是用数字来表示的。《我们》中的故事是围绕一位国家数学家、“积分号”宇宙飞船的设计者D-503展开的。当D-503与一位反政府的女革命者I-330有产生爱情后，他的理性受到了挑战。早在遇见I-330以前，D-503就已经发觉虚数“奇怪、陌生、可怕”，他痛恨这种数，希望这种数不存在。遇见I-330之后，虚数成了D-503情感与理智紊乱以及他无视国家法规的象征。D-503被诊断为“有灵魂和想象力”，最后被用新发明的运算方法切除，D-503也因此恢复了他国家数学家的地位。
穆西尔和扎米亚金都把虚数当作挑战数学理性的工具，藉此宣扬人类信仰、情感等所具有的非理性的一面。
而俄国大作家列夫·托尔斯泰（Tolstoy, 1828～1910）在《战争与和平》中则利用数学来支持自己的历史理论。托尔斯泰利用古希腊著名的芝诺悖论——阿基里斯追不上乌龟来说明：历史是不能够作为一系列离散的片段来分析的，历史不是离散的事件，而是一个连续的过程，是无穷小量（“历史的微分”）的和（“积分”）。只有找到求和的方法，人们才有望认识历史的法则。托尔斯泰还试图用比率和方程来说明：除了数量，士气也是一个军队获得胜利的重要因素，士气乘上数量就等于力量。一支小的部队如果士气高，也能够打败大的部队。他举例说（以X和Y表示士气）：
?10个人，10个营，或10个师，同15人，15个营，或15个师作战，把15个那一方打败了，也就是说，把对方一个不剩地全部打死，或俘虏了，而自己损失了4个人，这就是说，一方损失了4 个，另一方损失了15个。这样一来4 个就等于15个，这就是说4X＝15Y。因而X:Y＝15:4，这个方程式并未告诉我们那个未知数的值，但是告诉了我们那两个未知数的比率。可以取各种各样的历史单位（战斗、战役、战争阶段）列成这种方程式，得出许多系列数字，在那些数字里，应当存在一些法则，它是可以发现的。?
数学也是作家刻画人物聪明才智的一种工具。我国当代武侠小说家金庸在《射雕英雄传》第29回和31回中通过宋元时期的数学问题（开方、幻方、天元术、四元术、同余问题
等）来刻画才智过人的黄蓉形象。英国小说家赫胥黎（A. Huxley, 1894～1963）在《小阿基米德》中讲述了一个关于数学和音乐小天才吉多的动人故事。在故事里，吉多自己发现了勾股定理的一个几何证明（与后人推测的毕达哥拉斯证法一致）。捷克剧作家斯托帕德（Tom Stoppard）在《阿卡迪亚》中讲述一个19世纪的13岁女数学天才的故事；克里夫顿（M. Clifton, 1906～1963）在《聪明的思达》中讲述了一个3岁小女孩思达发明莫比乌斯带，并发明了一种可以将自己输送到四维空间去、在时间隧道中往前或往后旅行的方法。
文学作品不仅利用了数学的概念，而且也利用数学的方法。19世纪，演绎方法在侦探小说中找到了用武之地。美国著名侦探小说家阿兰·波伊（E. Allan Poe, 1809～1849）笔下的杜宾、英国著名侦探小说家柯南·道尔（A. Conan Doyle, 1859～1930）笔下的福尔摩斯，都是家喻户晓的推理高手。在波伊《摩戈大街谋杀案》的开篇，杜宾认为“数学研究，特别是最高等的数学分支，即分析，很可能大大提高案情分析的能力”；在道尔《血字的研究》第2章，福尔摩斯在一篇文章中自称“他得出的结论会像欧几里得的命题一样准确”！
7-4 数学家与诗人
在历史上，集数学家与文学家于一身的不乏其人。17世纪法国著名数学家帕斯卡（B. Pascal,1623～1662）也以其文学才能著称于世。瑞士著名数学家雅各·伯努利（Jacob Bernoulli, 1654～1705）在其《猜想的艺术》（Ars Conjectandi）中赋诗一首，表达对于无穷级数有和的惊喜之情：
区区一个有限数，无穷级数囊中收。
?巨大?之魂何处寻？细小之中长居留。
?有限?不是等闲物，狭小范围岂可囿。
无穷大中识微细，人生快乐复何求。
广袤无边管中窥，物外神奇我心游！
19世纪，英国著名数学家布尔（G. Boole, 1815～1864）、哈密尔顿（W. R. Hamilton, 1805～1865）、麦克斯韦（J. C. Maxwell, 1831～1879）、柯克曼（T. P. Kirkman, 1806～1895）、西尔维斯特（J. J. Sylvester, 1814～1897）、法国数学家柯西（A. L. Cauchy, 1789～1857）、德国数学家魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass, 1815～1897）等都曾写过诗歌，不过，他们在诗歌上的名声都不及奥马·海牙姆。20世纪，出现了许多直接关于数学的严肃诗歌。如阿波斯托尔（T. Apostol）的诗歌：
s的Zeta函数的零点在哪里？
黎曼作出了猜想有巧思。
他说，它们都在一条关键直线上，
它们的密度比要大一。
讲的是黎曼猜想。德国著名数学家豪斯道夫（F. Hausdorff, 1868～1942）曾发表过诗歌、警句，还创作过一出滑稽戏，于1912年成功地搬上了舞台。俄国著名女数学家索菲亚·柯瓦列夫斯卡娅（Sofya Kovalevskaya, 1850～1891）在文学上也富有盛名，她的《童年的回忆》具有经久不衰的文学价值。在1890年秋写给文学家蒙特维德（Montvid, 1845～？）的信中，柯瓦列夫斯卡娅这样写道：
?我理解你对我能同时在数学和文学方面进行工作而感到惊奇。许多从来没有机会更多地探索数学的人们把数学与算术混为一谈，并且认为它是一门枯燥乏味的科学。但事实上，它是一门需要最为丰富的想象力的科学。本世纪最杰出的数学家之一（魏尔斯特拉斯）曾经完全正确地说过，没有诗人的心灵是不可能成为一位数学家的。对我来说，诗人只是感知了一般人所没有感知到的东西，他们看得也比一般人更深刻。其实数学家所做的不也是同样的事吗？拿我自己来说吧！我这一辈子始终无法决定到底更偏好数学呢，还是更偏好文学。每当我的心智为纯抽象的玄思所苦，我的大脑就会立即偏向人生经验的省察，偏向一些美好的文艺作品；反之，当生活中的每一件事令我感到无聊且提不起劲来时，只有科学上那些永恒不朽的法则才能吸引我。如果我集中精力于一门专业，我很可能会在这一专业上做出更多的工作，但我就是不能放弃其中的任何一门。?
柯瓦列夫斯卡娅
另一方面，也有一些文学家显示出了对于数学的兴趣和才能。英国著名诗人德莱顿（Dryden, 1631～1700）曾对诗人提出这样的要求：“一个人要成为完美的和优秀的诗人，就应该通好几门科学，并且应该有一个理性的、哲学的、以及某种程度上是数学的头脑。”而美国著名诗人爱默生（R. W. Emerson, 1802～1883）则写道：
?我们不会去特别注意倾听一个仅仅是诗人的人的诗句；也不会去倾听一个仅仅是代数学家的人的问题；但倘若一个人既熟悉事物的几何基础同时又熟悉事物的欢乐的光辉，他的诗歌就会精密；同时他的算术就象音乐般地好听。?
一流的作家，除了前面提到过的陀思妥耶夫斯基、穆西尔外，德国诗人诺瓦里斯（Novalis, 1772～1801）、法国诗人瓦雷里（P. Valéry, 1871～1945）、奥地利作家布罗赫（H. Broch, 1886～1951）、德国作家司米特（A. Schmidt, 1914～1979）、前苏联著名作家、1970年诺贝尔文学奖得主索尔仁尼琴等都曾受过很好的数学训练。瓦雷里年轻时对数学和科学十分着迷，因为它们向他展示了小时看大海时所欣赏到的美和神秘。后来他始终保持着对于数学和科学的爱好，1925年当选为法兰西科学院院士。索尔仁尼琴则当过数学教师。另外一些作家，像德国的卡斯特涅（A. G. K?stner, 1710～1800）、英国的卡莱尔（T. Carlyle, 1795～1881）、道奇生等，也都是数学家，都曾对数学教育作出过重要贡献。
的确，当海牙姆那智慧的诗句震撼着我们凡俗的心灵，当柯瓦列夫斯卡娅告诉我们她一辈子始终无法决定到底更偏好数学还是更偏好文学，当哈代（G. H. Hardy, 1877～1947）以优雅的文笔写下自己对于数学的辩白，当无穷无尽的圆周率引得诺贝尔奖得主维斯拉瓦·申博尔斯卡（Wislawa Szymborska）文思如泉涌时，谁能说数学和文学是鱼和熊掌？谁又能说两种文化之间的鸿沟不可逾越？
一．数学入诗
一去二三里，烟村四五家，
亭台六七座，八九十枝花。
这是宋代邵雍描写一路景物的诗，共20个字，把10个数字全用上了。这首诗用数字反映远近、村落、亭台和花，通俗自然，脍炙人口。
一片二片三四片，五片六片七八片。
九片十片无数片，飞入梅中都不见。
这是明代林和靖写的一首雪梅诗，全诗用表示雪花片数的数量词写成。读后就好像身临雪境，飞下的雪片由少到多，飞入梅林，就难分是雪花还是梅花。
一窝二窝三四窝，五窝六窝七八窝，
食尽皇家千钟粟，凤凰何少尔何多。
这是宋代政治家、文学家、思想家王安石写的一道《麻雀》诗。他眼看北宋王朝很多官员，饱食终日，贪污腐败，反对变法，故把他们比作麻雀而讽刺之。
一篙一橹一渔舟，一个渔翁一钓钩，
一俯一仰一场笑，一人独占一江秋。
这是清代纪晓岚的十“一”诗。据说乾隆皇帝南巡时，一天在江上看见一条渔船荡桨而来，就叫纪晓岚以渔为题作诗一首，要求在诗中用上十个“一”字。纪晓岚很快吟出一首，写了景物，也写了情态，自然贴切，富有韵味，难怪乾隆连说：“真是奇才！”
一进二三堂，床铺四五张，
烟灯六七盏，八九十枝枪。
清末年间，鸦片盛行，官署上下，几乎无人不吸，大小衙门，几乎变成烟馆。有人仿邵雍写了这首启蒙诗以讽刺。
西汉时，司马相如告别妻子卓文君，离开成都去长安求取功名，时隔五年，不写家书，心有休妻之念。后来，他写了一封难为卓文君的信，送往成都。卓文君接到信后，拆开一看，只见写着“一二三四五六七八九十百千万万千百十九八七六五四三二一”。她立即回写了一首如诉如泣的抒情诗：
一别之后，二地相悬，只说是三四月，又谁知五六年，七弦琴无心抚弹，八行书无信可传，九连环从中折断，十里长亭我眼望穿，百思想，千系念，万般无奈叫丫环。万语千言把郎怨，百无聊赖，十依阑干，九九重阳看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香点烛祭祖问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒，五月石榴如火偏遇阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我梳妆懒，三月桃花又被风吹散！郎呀郎，巴不得二一世你为女来我为男。
司马相如读后深受感动，亲自回四川把卓文君接到长安。从此，他一心做学问，终于成为一代文豪。
二．数字入联
明代书画家徐文长，一天邀请几位朋友荡游西湖。结果一位朋友迟到，徐文长作一上联，罚他对出下联。
徐文长的上联是：
一叶孤舟，坐了二、三个游客，启用四桨五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。
迟到友人的下联是：
十年寒窗，进了九、八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今日一定要中。
据说明朝中叶，江西九江有一船夫，见一位连中“三元”的状元坐在他的船里，就道出一个上联给这位状元去对。这位状元冥思苦想，还是对不出。以后也无人对出，成了绝对。时过几百年，直到解放后的1959年，佛山一工人用轮船装运木料“九里香”（一种名贵香樟木），触发灵感，对出下联。
船夫的上联是：
一孤舟，二客商，三四五六水手，扯起七八尺风帆，下九江，还有十里。工人的下联是：十里运，九里香，八七六五号轮，虽走四三年旧道，只二日，胜似一年。南阳诸葛武候的祠堂里有一副对联：
取二川，排八阵，六出七擒，五丈原明灯四十九盏，一心只为酬三顾。
平西蜀，定南蛮，东和北拒，中军帐变卦土木金爻，水面偏能用火攻。
此副对联不仅概述了诸葛亮的丰功伟绩，而且用上了“一二三四五六七八九十”各个数字和“东南西北中金木水火土”十个字，真是意义深远，结构奇巧。
我国小说家、诗人郁达夫，某年秋天到杭州，约了一位同学游九溪十八涧，在一茶庄要了一壶茶，四碟糕点，两碗藕粉，边吃边谈。结帐时，庄主说：“一茶、四碟、二粉、五千文”。郁达夫笑着对庄主说，你在对“三竺、六桥、九溪、十八涧”的对子吗？
有“吴中第一名胜”之称的江苏省苏州虎丘，有一个三笑亭，亭中有一副对联：
桥横虎溪，三教三源流，三人三笑语；
莲开僧舍，一花一世界，一叶一如来。
下面是民间流传的一副对联。它既是一副对联，又是两则拆字谜语，读后细想，别有一番情趣。
凉雨洒人，东两点西两点；
切瓜分客，上七刀下八刀。
解放前，有人作如下一副对联：
二三四五，六七八九。
横批是：南北。
这副对联和横批，非常含蓄，含意深刻。上联缺“一”一与衣谐音；下联缺“十”，十与食谐音。对联的意思是“缺衣少食”，横批的意思是“缺少东西”，也是内涵极其丰富的两则谜语。
三．妙题入联
清乾隆五十年，朝廷为了表示国泰民安，把全国65岁以上的老人请到京城，为他们举行一次盛大宴会。在宴会上，乾隆看见一位老寿星，年高141岁，非常高兴，就以这位寿星的岁数为题，说出上联，并要纪晓岚对出下联：
乾隆帝的上联是：花甲重开，又加三七岁月。
纪晓岚的下联是：古稀双庆，更多一度春秋。
上、下两联都是一道多步计算应用题，答案都是141岁。上联的“花甲”是指60岁，“重开”就是两个60岁，“三七”是21岁，就是60×2＋7×3＝141（岁）。下联的“古稀”是指70岁，“双
庆”就是两个70岁，多“一度春秋”就是多1岁，也就是70×2＋1＝141（岁）。
又如下面一副对联，也是两道算题，并巧妙用上一、三、七、九、十各数，不嫌生拼硬凑。尺蛇入穴，量量九寸零十分；
七鸭浮江，数数三双多一只。
上联是讲蛇的长度，九寸加十分是一尺（旧制长度单位进率是1尺＝10寸，1寸＝10分）；下联是讲鸭的只数，三双加一只是七只。
四．诗歌趣题
1.百羊问题
明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书，有一道诗歌形式的数学应用题，叫百羊问题。甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，
戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，
所得这般一群凑，再添半群小半群，
得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？
此题的意思是：一个牧羊人赶着一群羊去寻找青草茂盛的地方。有一个牵着一只羊的人从后面跟来，并问牧羊人
：“你的这群羊有100只吗？”牧羊人说：“如果我再有这样一群羊，加上这群羊的一半又1/4群，连同你这一只羊，就刚好满100只。”谁能用巧妙的方法求出这群羊有多少只？
此题的解是：
（100－1）÷（1＋1＋1/2＋1/4）＝36只
2.李白打酒
李白街上走，提壶去打酒；
遇店加一倍，见花喝一斗；
三遇店和花，喝光壶中酒。
试问酒壶中，原有多少酒？
这是一道民间算题。题意是：李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗（斗是古代容量单位，1斗＝10升），这样遇店见花各3次，把酒喝完。问壶中原来有酒多少？
此题用方程解。设壶中原来有酒x斗。得［（2x－1）×2－1］×2－1＝0，解得x＝7/8。
3.百馍百僧
明代大数学家程大位著的《算法统宗》中有这样一题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无增；
小僧三人分一个，大小和尚各几丁？
这题可用假设法求解。现假设大和尚100个，（3×100－100）÷（3－1÷3）＝75（人）…………小和尚人数100－75＝25（人）大和尚人数
4.哑子买肉
这也是程大位《算法统宗》中的一道算题：哑子来买肉，难言钱数目，一斤少四十，九两多十六。试问能算者，今与多少肉？此题题意用线段图表示，就一目了然。附图{图}
由图可以看出：
每两肉价是：（40＋16）÷（16－9）＝8（文）哑子带的钱：8×16－40＝88（文）哑子能买到的肉：88÷8＝11（两）（注：旧制1斤＝16两）
5.及时梨果
元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：
九百九十九文钱，及时梨果买一千，
一十一文梨九个，七枚果子四文钱。
问：梨果多少价几何？
此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。问买梨、果各几个，各付多少钱？
解
梨每个价：11÷9＝12/9（文）
果每个价：4÷7＝4/7（文）
果的个数：（12/9×1000－999）÷（12/9－4/7）＝343（个）梨的个数：1000－343＝657（个）梨的总价：
12/9×657＝803（文）
果的总价：
4/7×343＝196（文）
6.隔壁分银
只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两一份多四两，半斤一份少半斤。
试问各位能算者，多少客人多少银？
此题是民间算题，用方程解比较方便。
设客人为x人。则得方程：
4x＋4＝8x－8
解
x＝3，4×3＋4＝16
答：客人3人，银16两。
（注：旧制1斤＝16两，半斤＝8两）
7.宝塔装灯
这是明代数学家吴敬偏著的《九章算法比类大全》中的一道题，题目是：
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？
解各层倍数和：
1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＝127顶层的盏数：381÷127＝3（盏）
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2018高考全国2卷文科数学带答案
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码 准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．i(2+3i)= A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+ 2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =则A B =I A ．{}3 B ．{}5 C ．{}3,5 D ．{}1,2,3,4,5,7 3．函数2 e e ()x x f x x --=的图象大致为 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同 学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3 6．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>3
数学和中国文学的比较
数学和中国文学的比较 很多人会觉得我今日的讲题有些奇怪，中国文学与数学好象是风马牛不相及，但我却讨论它。其实这关乎个人的感受和爱好，不见得其它数学家有同样的感觉，“如人饮水，冷暖自知”。每个人的成长和风格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的关系。我幼受庭训，影响我至深的是中国文学，而我最大的兴趣是数学，所以将他们做一个比较，对我来说是相当有意义的事。 中国古代文学记载最早的是诗三百篇，有风雅颂，既有民间抒情之歌，朝廷礼仪之作，也有歌颂或讽刺当政者之曲。至孔子时，文学为君子立德和陶冶民风而服务。战国时，诸子百家都有著述，在文学上有重要的贡献，但是诸子如韩非却轻视文学之士。屈原开千古辞赋之先河，毕生之志却在楚国的复兴。文学本身在古代社会没有占据到重要的地位。司马迁甚至说：“文史、星历，近乎卜祝之间，固主上所戏弄，倡优畜之，流俗之所轻也。”一直到曹丕才全面肯定文学本身的重
些自然现象的本质表现出来。 数学是一门公理化的科学，所有命题必需由三段论证的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部份数学著作枯燥乏味，而有些却令人叹为观止，其中的分别在那里？ 大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻肤浅，来决定研究的方向，这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质，气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用。文化修养是以数学的功夫为基础，自然科学为副，但是深厚的人文知识也极为要紧，因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受，所以司马迁写史记除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。 刘勰在文心雕龙．原道篇说文章之道在于：“写天地之辉光，晓生民之耳目。” 刘勰以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。他又说：“人与天地相参，乃性灵所集聚，是以谓之三才，为五行之秀气，实天地之灵气。灵心既生，于是语言以立。语言既立，于是文章着明，
数学与艺术 摘要：数学本身就是一门艺术，艺术的美是与数学分不开的。研究数学的艺术价值有利于促进数学的认识与传播，有利于提升艺术的创造力和想象力，有利于培养科学的审美观和价值观。 关键词：数学艺术价值 古代哲学家、数学家普洛克拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”开普勒也说：“数学是这个世界之美的原型”。对数学的艺术追求已成为数学得以发展的重要原动力。数学与艺术之间似乎找不到它们之间的必然联系，然而，数学与艺术都是美丽的，并有内在联系。因为几乎人类的一切学科领域都或多或少用到数学，艺术也不例外。其实数学既是一门科学，其本身也是一门艺术，而数学所展现的和谐美与简洁美影响了很多艺术流派。 一、数学与绘画 在欧洲艺术创作领域公认有两次最大的创新，一次是文艺复兴，另一次是本世纪初兴起的现代艺术。两次大的变革都与几何学的变革有关。前者与三维透视几何有关，后者与N维几何和非欧几何有关。 每一时代的主流绘画艺术背后都隐藏着一种深层数学结构――几何学，在达芬奇那里是讲求透视关系的射影几何学；在毕加索那里是非欧几何学；在后现代主义、纯粹主义那里也许是现在说的分形几何学。其实，对于数学关系在艺术品中的重要性，向来就被一些美学家和艺术家所肯定。古希腊著名数学家毕达哥拉斯就提出“美在和谐”的观点，这其中“和谐”里很重要的一种数学关系，被毕达哥拉斯学
派称为“最美妙的东西”，从而他们认为只要恰到好处地调整好数量比例关系，建筑、雕塑、书法甚至音乐、舞蹈等就能产生最美最和谐的艺术效果。通过我们的视觉就能感受到一种完美。如作品米洛斯的阿芙洛底德、雅典卫城等无不蕴含丰富而又协调的数学比例关系。 最让人感到美与和谐的比例就是黄金分割比――0.618。很多让人们感到很美的东西，比如海螺，其中都有不少奥妙，它的螺纹是遵循黄金分割的！还有一些艺术作品，几个简单的几何体，可是却让我们为之着迷，这是因为它也运用了黄金分割等数学上的手法。 把黄金分割比应用于绘画中的例子很多，其中最有名且最先开始的可能就是著名的艺术家达?芬奇了。他之所以成为一位伟大的艺术家，是因为他首先就是一位了不起的数学家。他潜心研究人体结构，他发现了隐藏在人体中的数字与比例，并将这些应用于他的艺术作品中，使得他画笔下的人物都栩栩如生，百看不腻。如果你仔细去研究他的最有名的几幅画，《最后的晚餐》《蒙娜丽莎》等，你肯定会惊喜的发现里面蕴藏了太多的黄金分割了！ 二、数学与音乐 音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物。那么，“多情”的音乐与“冷酷”的数学也有关系吗？我的回答是肯定的。数学与音乐之间有着某些相似之处，在一个音乐家的表演水平得到评判以前，首先要确认一个起码的前提：他的音是准的，仅仅是音准并不能使他成为一个音乐家。就象是对一位历史学家的著作只能评判说他没有说瞎话，也是不得要领的。
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．i(2+3i)= A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+ 2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =则A B = A ．{}3 B ．{}5 C ．{}3,5 D ．{}1,2,3,4,5,7 3．函数2 e e ()x x f x x --=的图象大致为 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3 6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 7．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A ． B C D ．
趣说数学与文学 通常情况下，人们认为数学与文学完全毫不相干，要把高度抽象形式化的数学和形象化艺术性的文学扯在一起，似乎有点不可思议。然而，在种种表面无关甚至完全不同的现象背后，隐匿着数学与文学极其丰富、深刻而美妙的联系。 就拿诗歌来说，是所有文学式样中最具代表性的一种。诗的形式是简练的，表达的思想情感是概括的，并且相对抽象，这与数学追求以最简练的形式抽象概括最深刻最具一般性的规律，是极为相似的。我国的格律诗词有非常复杂的格式样式，但不是没有法则可依，任意而为。其实“格律”本身就是指的“规律”—客观存在不依赖于人的主观意志的规定性。而这些规定又充分显示出必然与合理性。 近体诗中，律诗与绝句的平仄变化很复杂，规定也很多，但从数学观点去认识，却是一种具有简单运算规则的数学模式，其中蕴含着以简驭繁的奥秘，尽显数学美。 以五言诗声调的平仄为例，有以下四个基本类型： 仄起仄收：仄仄平平仄， 平起平收：平平仄仄平； 平起仄收：平平平仄仄， 仄起平收：仄仄仄平平。 将这四种类型的句子按一定的规则再排列，就能得到五言绝句的四种标准式样。但其中许多规则用文字语言叙述起来，总是显得很复杂。比如说，五言诗的每一句都基本符合上述四种类型。但不是绝对的，有四种基本“变格”，变格的一个原则是“一三不论，二四分明”。意思是，每一句的第一、三个字可以不论平仄，但第二、四字必须符合规则，最后一个字则主要要求押韵合辙，加之押韵也讲求第一、三句不要求，二、四句必须押韵，且押平声韵。再一个是“粘对”原则。这里面的意思较复杂，“粘”有一句当中相邻两字同声调的意思，句与句之间的关系是，每上下两句组成的一联，须符合平仄相“对”，即平对仄，仄对平，联与联之间则须相“粘”。 这些规则条件只能让人知道大概，很难记忆和运用。 下面仍以五言诗为例，用数学方法（优选法或称排除法）分析用这些法则得到的结果和法则建立的缘由如下： 1.因为所有汉字的声调分为“平、仄”两类，不妨记为p和z，那么每一个五字 种。 句的不同声调排列数，就是两类元素在5个位置上的排列数，即5232
2016年普通高等学校招生全统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合{ }3,2,1=A ，{} 92 <=x x B ，则=B A （A ）{}3,2,1,0,1,2-- （B ） {}2,1,0,1- （C ）{}3,2,1 （D ）{}2,1 （2） 设复数z 满足i i z -=+3，则=z （A ）i 21+- （B ）i 21- （C ）i 23+ （D ）i 23- （3） 函数)sin(?ω+=x A y 的部分图像如图所示，则 （A ）)62sin(2π - =x y （B ）)32sin(2π -=x y （C ）)6 2sin(2π + =x y （D ）)3 2sin(2π +=x y （4） 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）π12 （B ）π3 32 （C ）π8 （D ）π4 （5） 设F 为抛物线C ：x y 42 =的焦点，曲线)0(>= k x k y 与C 交于点P ，x PF ⊥轴，则=k （A ）21 （B ）1 （C ）2 3 （D ）2 （6） 圆013822 2=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （A ）3 （B ）4 3 - （C ）3 （D ）2 （7） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π
最爱数学的他推荐了三本文学书 数学界最高荣誉菲尔兹奖首位华裔获得者丘成桐长沙开讲 -------------------------------------------------------------------------------- 2009-12-23 8:01:48 他的观点是：读《诗经》明白方向，读《楚辞》激励热情，读《史记》学会抉择 本报记者胡力丰长沙报道 他22岁获得博士学位，25岁成为斯坦福大学教授，27岁攻克几何学难题“卡拉比猜想”，并在1982年（33岁）获得数学界最高荣誉——菲尔兹奖。由于诺贝尔奖没有数学奖，因此菲尔兹奖也被誉为数学中的“诺贝尔奖”。 浙江大学数学系教授刘克峰曾称赞他：“创造了一个中国人的数学神话，是一个活着的传奇。” 他——就是丘成桐。 [人物简介] 丘成桐，1949年生人，原籍广东，后迁居香港，少年丧父。17岁入读香港中文大学数学系，在这里因缘际会遇到了来访的“华人数学家第一人”——陈省身先生。1997年获美国科学界最高荣誉“美国国家科学奖”。此外他还是普林斯顿高级研究院的终身教授，现任哈佛大学数学系主任，还是美国国家科学院院士、纽约科学院院士、艺术与科学院院士，中国科学院外籍院士，意大利科学院外籍院士。 昨日，丘成桐作为湖南师范大学研究生“麓山论坛”学术年会的压轴嘉宾，在长沙和学子们畅谈“研求之乐”。图/记者殷建军 初见丘成桐，你会觉得这只是一个普通的邻家老人，而且普通话也说得不太标准。但一经接触，他对中国古典文学的造诣，以及这位当代数学大师以大刀阔斧般气魄，革新微分几何学和直面国内学术界一些陋习的勇气，将令你彻底倾心不已。 昨日下午，丘成桐作为湖南师范大学研究生“麓山论坛”学术年会的压轴嘉宾，在长沙和学子们畅谈“研求之乐”。并为这次师大学子之约题词：岳麓书传，百代贤儒仰朱张；楚南人杰，千年王业出湘潭。 偏爱中国古典文学和历史 “年少时我并不喜欢读书。”丘成桐“研求之美”的讲座从年少时求学讲起。 少年得志的数学天才，这是一般人眼中所认为的丘成桐，但事实恰恰相反。 小时候的丘成桐很顽皮，那时他对数学的兴趣，也远远不及对历史和古代文学的喜爱。丘成桐的父亲小时候要求儿子背诵古文诗词，如果成绩不理想，还会“打掌心”。父亲离世那年，丘成桐14岁。为了缓解悲伤，他读起了《红楼梦》，觉得里面有很多感情相通，而之前他更喜欢看《三国演
WORD 整理版分享 2016 年普通高等学校招生全统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24 题，共 150 分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）已知集合A 1,2,3 ， B x x 29 ，则 A B （ A）2, 1,0,1,2,3（B）1,0 ,1,2（C）1,2,3（D）1,2（ 2）设复数z满足z i 3 i ，则 z （ A） 1 2i（ B）1 2i（C）3 2i（ D）3 2i （ 3）函数y Asin( x) 的部分图像如图所示，则 （ A）y2sin(2x)（B）y 2 sin(2 x) 63y 2 （ C）y2sin(2x)（D）y 2 sin(2x) 63 （ 4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 32 （A）12（B）（C）8（D）4 3- πOπ x 63 -2 （ 5）设F为抛物线C：y24x 的焦点，曲线y k (k0)与C交于点 P， PF x 轴，则 k x （A）1 （B）1（C） 3 （D）2 22 （6）圆 x 2 y 22 x 8 y 13 0 的圆心到直线 ax y10 的距离为，则 a 1 （A）3（ B）3 3（D）2 （C） 4 （ 7）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 2 3 面积为 （A） 20π 4 （B） 24π 44（C） 28π （D） 32π
（ 8） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现， 红灯持续时间为 40 秒．若 一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 开始 （A ） 7 （B ） 5 （C ） 3 （D ） 3 输入 x,n 10 8 8 10 （ 9） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法， 右图是实现该算法的程序框图 . 执行 该程序框图， 若输入的 x 2 ，n 2 , 依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s k 0, s 0 （A ）7 （B ）12 （ C ）17 （D ）34 （ 10）下列函数中， 其定义域和值域分别与函数 y 10 lg x 的定义域和值域相同的是 输入 a （ A ） （ 11）函数 y x （ B ） y lg x （ C ） y 2 x （ D ） y 1 s s x a x k k 1 f x ) cos 2 x （ x ）的最大值为 6 c os 否 2 k n （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ） 7 是 （ 12）已知函数 f (x) (x R) 满足 f ( x) f (2 x) ，若函数 y x 2 2x 3 与 输出 s m y f (x) 图像的交点为 (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), ,( x m , y m ) ，则 i 1 x i 结束 （A ） 0 （B ） m （ C ） 2m （ D ） 4m 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13) ～ (21) 题为必考题，每个试题都必须作答。第 (22) ～ (24) 题为 选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13）已知向量 a (m,4) ， b (3, 2)，且 ∥ ，则 m ． a b x y 1 0, （ 14）若 x, y 满足约束条件 x y 3 0, 则 z x 2 y 的最小值为 ． x 3 0, （ 15） △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c ，若 cosA 4 , cosC 5 , a 1，则 b ． 5 13 （ 16）有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片 后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不 是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第一讲中国古代文学中的数学文化数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。它的基本单元是数字，数字之间的关系和运算规则是数学的基础。其实在虚拟世界和想象中也有空间和数量关系，同样也要符合数学规则。文学则是以诗歌、散文、小说、剧本等形式，以语言文字的手段，形象地反映社会生活的一种艺术。文学的基本单元是文字，文字之间的关系和词法、语法规则便是文字的基础。其实，我借用一个打油诗来说明两者之间的联系： 我来自北京周口， 你来自云南元谋， 牵起你毛茸茸的小手， 爱情让我们学会了直立行走。 由此可见，数学与文学是永远分不开的。到底是谁帮了谁，我们是很难说清楚的。 我国古代诗词和对联是华夏文明的重要组成部分，是文学的瑰宝。数学在中国古代文明中也占有一定非常重要的地位，这二者到底有何联系呢？从中国古代对数学不重视到今天数学成为一门最重要的基础学科之一。数学多少次想对文学说：“对你的思念是一天又一天，孤单的我还是没有改变，美丽的梦何时才能出现，亲爱的，好想再见你一面。”现在机会终于来了。 相传在文字产生之前，人们是“结绳记事”的。也就是说，一件事情为了不忘记，就在一根绳子上挽一个疙瘩。大的事情就挽一个大疙瘩，小的事情就挽一个小疙瘩。一个疙瘩一件事。但时间一长，问题就出现了：一个疙瘩一件事，事情多了就不好记忆了。特别是加疙瘩易、减疙瘩难。还有，时间长了就忘了。特别不方便。这种状况持续了很长时间。 后来，黄帝的大臣----仓颉（jie）发现鸟兽在泥湿地上的爪印，使他有了创造象形文字的启示。可是，爪印也需要计数呀，于是仓颉就发明了数字。这就是“仓颉造字”的传说。中国字很有意思，1代表个体，而3就表示多个个体的总和了！所以后来，老子就说：“道生一，一生二，二生三，三生万物”。我们可以看几个例子：比如“木”字，一个“木”字是指一棵树，而两个“木”就成“林”，也就是双木成林的意思，而三个“木”字就成了“森”，就代表树木众多的意思。再比如“人”字，一个字表示有别于猿或类人猿，手脚有分工，又会说话，又能制造工具的高级动物。而两个“人”字，就成了“从”字，是指二人同行，三个“人”字，就变成了“众”，指很多人的意思。 除了这中数量上的关系以外，有的字还与位置有关系。比如：“”(ji)，意思就是带
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．（2020全国2文）已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（ ） A ．? B ．{–3，–2，2，3） C ．{–2，0，2} D ．{–2，2} 【详解】因为{} {}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--， {} {1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈， 所以{}2,2A B =-. 故选：D. 2．（2020全国2文）（1–i ）4=（ ） A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i 【详解】4 22 22 2 (1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选：A. 3．（2020全国2文）如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i A ．5 B ．8 C ．10 D ．15 【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i -=-=． ∴1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===； 5,9,12i j k ===． 原位小三和弦满足：4,3k j j i -=-=． ∴1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===； 5,8,12i j k ===． 故个数之和为10． 故选：C ． 4．（2020全国2文）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名 【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=， 故需要志愿者900 1850 =名. 故选：B 5．（2020全国2文）已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b + B ．2a b + C ．2a b - D ．2a b - 【详解】由已知可得：11cos 601122 a b a b ? ?=??=?? =. A ：因为2 15 (2)221022a b b a b b +?=?+= +?=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21 (2)221202a b b a b b +?=?+=?+=≠，所以本选项不符合题意； C ：因为213 (2)221022a b b a b b -?=?-=-?=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21 (2)22102 a b b a b b -?=?-=?-=，所以本选项符合题意. 互补与对称——文学与数学的一个切合点 数学组 王志和 “人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全，但愿人长久，千里共婵娟”。这千古名 句道出了：互相思念的亲人，在千里之外，共瞻一轮明月，体味着“宁静的夜晚你也思念我也思念”的离别的酸楚和憧憬着“却看妻子愁何在，漫卷诗书喜欲狂”的归乡的喜悦。把相距千里的亲人，在月光的映照下，纳入到一张图画中，遥相呼应，成为千古绝唱。 “独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲，遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人。”独居异乡 的飘零游子，每逢佳节情何以堪？ “北斗七星，水底连天十四点；南楼孤雁，月中带影一双飞。”通过对称的手法与互补 的手法，委婉含蓄地表达了作者的孤独心情。 在古诗古词中，这样表达悲欢离合、阴晴圆缺的经典佳句很多。 掩卷遐思，忽而想到，数学中的力求对称、形成互补，弥合成完美和谐的形式，是数 学美的一种重要体现形式。 问题一：一元二次方程02=++c bx ax ，（0≠a ）的两个根是： a ac b b x 2421-+-=，a ac b b x 2422---=。如果单独看这两个根，有一种“孤立”、“游子”的感觉，但把它们合在一起来看：a b x x - =+21，a c x x =21。这样便有一种“珠联璧合”、“比翼双飞”、“连理枝”的感觉了。 问题二：一个横断面是等腰梯形ABCD 的水渠， 水渠的两腰和底的面积和是定值（即图中的k y x =+2， k 是定值） ，则怎样选取y x ,，能使水流量（即梯形的 面积S ）最大. 解法一：在图一中，梯形的高22z y h -= ， 面积h z x h z x S )()22(21+=+= 所以)()(2222z y z x S -+= =))()()((z y z y z x z x +-++ =))(33)()((3 1z y z y z x z x +-++，后四个数的和 是定值k 2，所以当z y z y z x +=-=+33，得y x =时面积S 最大. 这种解法技巧性强，且用到了四元均值不等式，不易想到，能不能有好一点的方法， 且看： y y x h A B C D E z 图一 图二 丘成桐北外演讲：数学与文学的共鸣 2016-01-16 ■演讲人：丘成桐■演讲地点：外国语大学■演讲时间：二○一五年十二月 从古至今，无论在自然科学还是人文社科方面，学科分支越来越细，容也越来越丰富。究其原因，一方面是工具的增加，使人们发现不同现象的能力比以往更强。另一方面，伴随着全世界人口大量增长，不同种族、、习俗的人在互相交流后，他们的观点和学问得到融会贯通，从而迸发出新的火花。 两千多年前，孔子谈论自己的学问时曾说：“吾道一以贯之”。面对越来越纷繁复杂的学科，今天的学者还能做到孔子所说的“一以贯之”吗？我将探讨这个问题。 原创力从何而来 在建构一门新的学问，或是引导某一门学问走向新的方向时，学者的原创力从何而来？为什么有些人看得特别远，找得到前人没有发现的观点？这是一种本能的理性选择，还是读书破万卷的结果？诸多因素当然都极其重要，但在这其中，我认为最重要的是创造力和脚踏实地基础上的丰富情感。 在中国文学史上，屈原作《楚辞》，陵作《河梁送别诗》，太史公作《史记》，诸亮作《出师表》，植作《赠白马王彪诗》，庾信作《哀江南赋》，王粲作《登楼赋》，渊明作《归去来辞》，这些作品可以说是千古绝唱。然后，我们又看到白、杜甫、白居易、煜、柳永、晏殊、轼，一直到清朝的纳兰性德、雪芹。他们的诗词文章，激情澎湃，荡气回肠，感情从笔尖下源源不断倾泻而出，成为瑰丽的作品。这些作者并未刻意为之，却是情不自禁。何以故？孟子说：“吾善养吾浩然之气也。”太史公说：“意有所郁结也。”能够影响古今传世文章的气必然至柔至远，至大至刚！ 其实，中国文人在文艺以外的活动，表现出来的感情也是极为丰满，不少人为了理想而不惜性命。西汉时，骞出使西域，间关万里，而卫青和霍去病奔驰大漠，出生入死。东晋时，外族入侵，祖狄谋复中原之地，带兵渡江时，祖狄击楫而誓，说“祖狄不能清中原而复济者，有如此江！”这是何等的志气！同在东晋，法显为求佛法，五十九岁行走河西走廊，过玉门关，横越沙河，翻过葱岭，直达印度。其间历尽艰险，全程十三年四个月。他在《佛国记》里面说：“顾寻所经，不觉心动汗流。所以乘危履险，不惜此形者，盖是志有所存。 2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学 第一卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合A={}{} =<<=<<-B A x x B x x Y 则,30,21 A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) 1、选A (2)若a 实数，且=+=++a i i ai 则,312 B. -3 C. 3 D. 4 2、解：因为.4,42)1)(3(2=+=++=+a i i i ai 所以故选D (3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是 A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； 年我国治理二氧化碳排放显现成效； 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 3、选D （4）已知向量=?+-=-=则（2),2,1(),1,0( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4、选B (5)设{}项和，的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 5、解：在等差数列中，因为 .,552 5 )(,1,335153531A a a a S a a a a 故选所以==?+= ==++ (6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. 81 B.71 C. 61 D. 5 1 6、解：如图所示，选D. (7)已知三点)32()30(),01(，，，， C B A ,则ABC ?外接圆的圆心到原点的距离为 A. 35 B. 321 C. 352 D. 3 4 7、解：根据题意，三角形ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为D ，则D （1， 3 3 2）所以， .3 2137341==+ =OD 故选B. (8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A. 0 B. 2 C. 4 2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 注意事项： 一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 （1）已知集合{123}A =， ，，2{|9}B x x =<，则A B =I （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}， （2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - (3) 函数=sin()y A x ω?+的部分图像如图所示，则 （A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π =- （C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3 y x π = (4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π（B ） 32 3 π（C ）8π（D ）4π (5) 设F 为抛物线C ：y 2 =4x 的焦点，曲线y =k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ） 12（B ）1 （C ）3 2 （D ）2 (6) 圆x 2 +y 2 ?2x ?8y +13=0的圆心到直线ax +y ?1=0的距离为1，则a = （A ）? 43（B ）?3 4 （C ）3（D ）2 (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一 名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ） 710（B ）58（C ）38（D ）310 (9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 (10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是 数字与文学的难舍难分 内容提要：数学与文学似乎第一眼我们并没有意识到它们之间的关系，也许会固执的以为它们之间的关系似乎没有那么紧要，可是那枯燥的数学却在我们人类文化发展的同时陪伴着数学的发展，如果这个世界缺少了数学那就好比雄鹰失去了翅膀，但是如果没有文学那它就失去了那双锐利的双眼，今天我们要探讨的不仅仅时数学和文学的关系，更重要的时找到它们之间的内在矛盾，并且让这一切为我们中学的学习提供更好的理论支持。 关键词：数学、数字、文学、诗歌、联系 一、现代数学的发展与我们生活的密切联系 一门学科如果不能和现实接轨，不能为现实服务，那么它就失去了发展的土壤，那么这么学科页就没有发展的前景和基础，从幼儿园开始我们的老师和父母就开始教我们很多的数学知识，但是你发现没有在他们教我们的时候基本上都是联系你身边的现实的哦！还记得小时候我最喜欢面条，所以爸妈总是说你数得清几根我们就煮几根，然后我就拿起一把对父母说：“我要把这十根都煮了，他们于是就诧异的看着我说为什么只有十根，我就很自豪的说因为我的手指只有十个啊！” 在汉代有一件关于汉武帝的趣闻，汉武帝逐渐衰老。一天，他在宫中照镜子，看到自己满头白发，形容槁枯，便闷闷不乐起来。他对身边的侍从说：“看来，我终究终免一死。我把国家治理成这个样子，上对得起祖宗，下对得起百姓，也算不错了，只有一事不放心，不知死后…阴间?好不好”。东方朔回道：“阴间好的很，皇上尽管放心去吧！”汉武帝大惊，连问；“你怎么知道？”东方朔不慌不忙地回答说：“如果那里不好，死者一定要逃回来的，可它们却没有一个人逃归，所以那边肯定好极了，说不定是个极乐世界哩！”汉武帝听后大笑， 2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．i(2+3i)=( ) A．3-2i B．3+2i C．-3-2i D．-3+2i 解析：选D 2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=( ) A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 解析：选C 3．函数f(x)= e x-e-x x2 的图像大致为( ) 解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=e2-e-2 4 >1,故选B 4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析：选B a ·(2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=3 5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3 解析：选D 5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。 6．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为 3，则其渐近线方程为( ) A ．y=± 2x B ．y=± 3x C ．y=±22 x D ．y=±32 x 解析：选A e= 3 c 2=3a 2 b= 2a 7．在ΔABC 中，cos C 2=5 5，BC=1，AC=5，则AB= ( ) A ．4 2 B ． 30 C ． 29 D ．2 5 解析：选A cosC=2cos 2 C 2 -1= - 3 5 AB 2=AC 2+BC 2-2AB ·BC ·cosC=32 AB=4 2 8．为计算S=1- 12 + 13 - 14 +……+ 199 - 1 100 ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( ) A ．i=i+1 B ．i=i+2 C ．i=i+3 D ．i=i+4 解析：选B 2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．i（2+3i）=（） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 2．已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（） A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} =的图象大致为（（x））3．函数f ．． BA ． CD． 2）=（（ 4 ．已知向量），满足||=1=﹣，1?，则 03 D．C．2 4 A．B． 5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 ）的离心率为，则其渐近线方程为（ 0 ）ba=16（．双曲线＞0，＞ ±．x ．By=±x y=．A±Cy=±y=Dx ．x =，BC=1，AC=5，则AB=．在△ABC中，（cos ）7 2DA．．4 B． C ． ﹣+﹣．为计算S=1+﹣…+，设计了如图的程序框图，则在空白框8）中应填入（ A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 9．在正方体ABCD﹣ABCD中，E为棱CC的中点，则异面直线AE与CD所成角11111的正切值为（） ． C D． B．．A 10．若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（） ． D．π． AC． B 11．已知F，F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF⊥PF，且∠PFF=60°，122112则C的离心率为（） 2019年全国2卷高考文科数学试题解析 1.设集合{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，则=?B A ( ) A. ),1(+∞- B. )2,(-∞ C. )2,1(- D. φ C {}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，∴）（2,1-=?B A . 2. 设(2)z i i =+，则z = ( ) A. 12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i -- D 因为(2)12z i i i =+=-+，所以12z i =--. 3. 已知向量(2,3)=a ， (3,2)=b ，则-=a b （ ） B. 2 C. D. 50 A 由题意知(1,1)-=-a b ，所以2-=a b . 4. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A. 23 B. 35 C. 25 D. 15 B 计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A 、B 则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,)A (1,2,)B (1,3,)A (1,3,)B (1,,)A B ()()()()2,3,2,3,2,,3,,A B A B A B ,则恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为35. 5. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高. 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 A 2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷） 文科数学 2018.7.1 本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．=+i)32(i （ ） A ．2i 3- B ．2i 3+ C ．2i 3-- D ．2i 3+- 1．【解析】i 233i 2i)32(i +-=-=+，故选D ． 2．已知集合}7,5,3,1{=A ，}5,4,3,2{=B ，则=B A I （ ） A ．}3{ B ．}5{ C ．}5,3{ D ．}7,5,4,3,2,1{ 2．【解析】}5,3{=B A I ，故选C ． 3．函数2 )(x e e x f x x --=的图像大致为（ ） A B C D 3)x ，即)(x f 为奇函数，排除A ；由01 )1(>-=e e f 排除D ；由)1(1 )1)4(f e e e e f =->-=排除C ，故选B ． 4．已知向量, 1=，1-=?，则=-?)2(（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 4．【解析】3122)2(2 =+=?-=-?b a a b a a ，故选B ． 5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ） A ．6.0 B ．5.0 C ．4.0 D ．3.0 5．【解析】记2名男同学为b a ,和3名女同学为C B A ,,，从中任选2人：,,,,,,,,AB bC bB bA aC aB aA ab BC AC ,，共10种情况．选中的2人都是女同学为：BC AC AB ,,，共3种情况，则选中的2人都是女同学 的概率为3.0，故选D ． 6．双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的离心率为3，则其渐近线方程为（ ） A ．x y 2±= B ．x y 3±= C ．x y 22± = D ．x y 2 3 ±= 6．【解析】离心率332 2222=+=?==a b a a c a c e ，所以2=a b ，渐近线方程为x y 2±=，故选A ． 7．在ABC ?中，5 52cos =C ，1=BC ，5=AC ，则=AB （ ） A ．24 B ．30 C ．29 D ．52 7．【解析】5 3 12cos 2cos 2 -=-=C C ， 由余弦定理得24cos 222=??-+=C AC BC AC BC AB 故选A ． 8．为计算100 1 9914131211- ++-+- =ΛS ，设计了右侧的 程序框图，则在空白框中应填入（ ） A ．1+=i i B ．2+=i i C ．3+=i i D ．4+=i i 8．【解析】依题意可知空白框中应填入2+=i i ．第1次循环：3,2 1 ,1== =i T N ；第2次循环：5,4121,311=+=+=i T N ；Λ；第50次循环：101,100 1 4121,991311=+++=+++=i T N ΛΛ，结 束循环得100 1 9914131211-++-+- =ΛS ，所以选B ．互补与对称——文学与数学的一个切合点
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