函数的概念与定义域
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一、函数的概念
一、映射
1.映射:设A 、B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系f ,对于集合A 中的任意元素,在集合B 中都有惟一元素和它对应,这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射,记作:B A f →:;
2.象与原象:如果B A f →:是一个A 到B 的映射,那么和A 中的元素a 对应的元素叫做象,
a 叫做原象;
3.映射的性质:
①方向性:集合A 到集合B 的映射与集合B 到集合A 的映射是不同的;
②任意性:集合A 中的任意一个元素在集合B 中都要有象,但不要求B 中的每一个元素在A 中都要有原象;
③惟一性:集合A 中元素的象是惟一的,即“一对一”、“多对一”是允许的,但“一对多”是不允许的.
二、函数
1.定义:设A 、B 是两个非空数集..,B A f →:是从A 到B 的一个映射,则映射B A f →:就叫做A 到B 的函数,记作:()x f y =;
2.函数的三要素为:定义域、值域、对应法则,两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时,二者才能称为同一函数;
3.函数的表示法有:解析式、列表法、图像法.
例1、(1)给出下列四个对应,是映射的是( )
① ② ③ ④ A.②④ B.①② C. ②③ D.①④ (2)设{}{}|02,|12,A x x B y y =≤≤=≤≤在下图中,能表示从集合A 到集合B 的映射是
a m
b
c n A B a m b
c
p A B n a m
b p A B n a m
b A B
c .
A
y
1
2 x
O
1
2 .
B
y
1
2
x
O
2 1
.
D
y
1
2
1
2 x
O
.
C
y
1
2
1
2
O
x
(3)已知集合{}
04P x x =≤≤,{}
02Q x x =≤≤,下列不表示...
从P 到Q 的映射是 .A f :x y x 21=
→ .B f ∶x y x 31
=→ .C f ∶x y x 3
2
=→ .D f ∶x y x =→
例2、(1)已知(),x y 在映射f 作用下的象是(),x y xy +. ① 求()2,3-在f 作用下的象
② 若在f 作用下的象是()2,3,求它的原象
(2)给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+,点()2,4的原象是
(3)设集合A 和B 都是实数集,映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素
13+-x x ,则在映射f 下,象1的原象组成的集合是( )
.A {}1 .B {}1,0,1- .C {}0 .D {}2,1,0--
二、区间的概念
设,a b 是两个实数,而且a b <,规定:
(1)满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,表示为[,]a b ; (2)满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,表示为(,)a b ;
(3)满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,表示为[,)a b ,(,]a b . 这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。
在数轴上,这些区间可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示(如下表),在图中,用实心点表示
包括在区间内的端点,空心点表示不包括在区间内的端点。
定义 名称 符号
数轴表示 {|}x a x b ≤≤ 闭区间 [,]a b {|}x a x b <<
开区间 (,)a b {|}x a x b ≤<
半开半闭区间 [,)a b {|}x a x b <≤
半开半闭区间
(,]a b
例3(1)用区间表示下列集合:
(1){|||3}x x ≤; (2){|x x R ∈且0}x ≠; (3){|2x x ≤-或1}x >.
(2)已知集合{|54}A x x =-<<,{|1B x x =≥或0}x <,用区间表示A ,B ,A B ,A
B .
三、求解函数的定义域
a b a b
a b
a
b
例4、求下列函数的定义域 (1)42
1
-=x y (2)x x y 312--=
(3)x
x x y 1
232+-+= (4)2)1(0++=
x x y
例5、(1)已知函数)(x f 的定义域为[]4,1,求)2(x f 的定义域
(2)已知函数)1(+x f 的定义域为[]4,2,求)12(-x f 的定义域
例6已知函数()f x 26(8)kx kx k =-++的定义域为R ,求实数k 的范围.
例7、下列各题中的两个函数是否表示同一个函数
(1)()=x f 2x ,()=x g 33x ;
(2)()=x f x ,()=x g 2x ;
(3)()=x f 1
1
2--x x ,()=x g 1+x ;
(4)()1+=x x x f ,()=
x g x x +2;
(5)()122
--=x x x f ,()122
--=t t t g ;
(6)
x x x f 2)()(=,2)()(x x
x g =
(7) ()0
x x f =,()1=x g
三、求函数解析式
求函数解析式的方法: (1) 待定系数法 (2) 换元法 (3) 配凑法
(4) 特殊值法和消元法
(5) 运用函数的性质求其解析式
例8、(1)已知)(x f 是单调递增的一次函数,且[]14)(-=x x f f ,求)(x f
(2)已知)(x f 是二次函数,且1)3()1(==f f ,)(x f 有最小值为-2,求)(x f
(3)已知函数23)1(2
+-=+x x x f ,求)(x f
(4)已知函数x x x f 8)4(+=+,求)(x f
(5)已知函数)(x f y =满足x x
f x f 2)1
()(2=+,,求)(x f
例9、(1)已知234(0)()(0)0(0)x x f x x x π?->?
=??
,求(2)f -,((1))f f ,((0))f f .
(2)已知函数2(0)()1(0)0(0)x x f x x x ?>?
==??
,求(2)f ,(2)f -,((2))f f -,(((2)))f f f -.
(3)已知()2)(,111
)(2+=≠∈+=x x g x R x x
x f 且 (1) 求)2(),2(g f
(2) 求()[]2g f (3) 求()[]x g f
函数的概念与定义域
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一、函数的概念 一、映射 1.映射:设A 、B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系f ,对于集合A 中的任意元素,在集合B 中都有惟一元素和它对应,这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射,记作:B A f →:; 2.象与原象:如果B A f →:是一个A 到B 的映射,那么和A 中的元素a 对应的元素叫做象, a 叫做原象; 3.映射的性质: ①方向性:集合A 到集合B 的映射与集合B 到集合A 的映射是不同的; ②任意性:集合A 中的任意一个元素在集合B 中都要有象,但不要求B 中的每一个元素在A 中都要有原象; ③惟一性:集合A 中元素的象是惟一的,即“一对一”、“多对一”是允许的,但“一对多”是不允许的. 二、函数 1.定义:设A 、B 是两个非空数集..,B A f →:是从A 到B 的一个映射,则映射B A f →:就叫做A 到B 的函数,记作:()x f y =; 2.函数的三要素为:定义域、值域、对应法则,两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时,二者才能称为同一函数; 3.函数的表示法有:解析式、列表法、图像法. 例1、(1)给出下列四个对应,是映射的是( ) ① ② ③ ④ A.②④ B.①② C. ②③ D.①④ (2)设{}{}|02,|12,A x x B y y =≤≤=≤≤在下图中,能表示从集合A 到集合B 的映射是 a m b c n A B a m b c p A B n a m b p A B n a m b A B c . A y 1 2 x O 1 2 . B y 1 2 x O 2 1 . D y 1 2 1 2 x O . C y 1 2 1 2 O x
学生:科目:第阶段第次课教师:课题 函数的基本概念与定义域 教学目标1.了解函数的的基本概念,并能熟练的应用 2.理解函数的三种表示方法,了解分段函数,并能够简单的应用 3.会求函数的定义域 重点、难点函数的定义的理解;求简单函数的定义域 考点及考试要求 1.了解函数的概念; 2.理解函数的三种表示方法; 3.了解简单的分段 函数 教学容 知识框架 知识点一、区间的概念 设b a R b a< ∈且 , , 定义名称符号数轴表示 } | {b x a x≤ ≤闭区间] , [b a } | {b x a x< <开区间) , (b a } | {b x a x< ≤前闭后开区间) , [b a } | {b x a x≤ <前开后闭区间] , (b a 区间是集合的有一种形式.对于区间的理解应注意: (1)区间的左端点必修小于右端点,有时我们将b-a成为区间的长度,对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示,如{}a; (2)注意开区间) , (b a与点) , (b a在具体情景中的区别.若表示点) , (b a的集合应为{}),(b a;(3)用数轴来表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别; DOC格式.
例5.高为h ,底面半径为R 的圆柱形容器,以单位时间体积为a 的速度灌水.试求水面高y 用时间t 表示的函数式,并求其定义域. 例6.已知函数32341++-= ax ax ax y 的定义域为R ,数a 的取值围. 例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ,下图中的四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )
2 函数的概念、定义域、值域练习题 班级:高一(3)班 姓名: 得分: 一、选择题(4 分×9=36 分) 1. 集合 A ={x |0≤x ≤4},B ={y |0≤y ≤2},下列不表示从 A 到 B 的函数是( ) A .f (x )→y 1 x B .f (x )→y 1 2 x C .f (x )→y = D .f (x )→y = = = x 2 3 3 2. 函数 y = 1-x 2+ x 2-1的定义域是( ) A .[-1,1] B .(-∞,-1]∪[1,+∞) C .[0,1] D .{-1,1} 3. 已知 f (x )的定义域为[-2,2],则 f (x 2-1)的定义域为( ) A .[-1, 3] B .[0, 3] C .[- 3, 3] D .[-4,4] 4. 若函数 y =f (3x -1)的定义域是[1,3],则 y =f (x )的定义域是( ) A .[1,3] B .[2,4] C .[2,8] D .[3,9] 5. 函数 y =f (x )的图象与直线 x =a 的交点个数有( ) A .必有一个 B .一个或两个 C .至多一个 D .可能两个以上 1 6. 函数 f (x )= ax 2+4ax +3 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是( ) 3 3 3 A .{a |a ∈R } B .{a |0≤a ≤ } C .{a |a > } D .{a |0≤a < } 4 4 4 7. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市 场分析,每辆客车营运的利润 y 与营运年数 x (x ∈N )为二次函数关系(如图),则客车有营运利润的时间不超过( )年. A .4 B .5 C .6 D .7 8.(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )=1-2x ,f [g (x )]= 1-x 2 x 2 (x ≠0),那么f (1 ) 等于( ) A .15 B .1 C .3 D .30 9.函数 f (x )= 2x -1,x ∈{1,2,3},则 f (x )的值域是( ) A .[0,+∞) B .[1,+∞) C .{1,3, 5} D .R 二、填空题 x
2.1 函数概念 1.对于函数y =f (x ),以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数; ②对于不同的x ,y 的值也不同; ③f (a )表示当x =a 时函数f (x )的值,是一个常量; ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.区间(0,1)等于( ) A .{0,1} B .{(0,1)} C .{x |0 2.下列各组函数中,表示同一个函数的是( ) A .y =x -1和y =x 2-1x +1 B .y =x 0和y =1 C .f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2 D .f (x )=(x )2x 和g (x )=x (x )2 3.函数y =21-1-x 的定义域为( ) A .(-∞,1) B .(-∞,0)∪(0,1] C .(-∞,0)∪(0,1) D .[1,+∞) 4.已知f (x )=π(x ∈R ),则f (π2)的值是( ) A .π2 B .Π C.π D .不确定 5.已知函数f (x )的定义域A ={x |0≤x ≤2},值域B ={y |1≤y ≤2},下列选项中,能表示f (x )的图像的只可能是( ) 6.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=??? c x ,x 函数的概念知识点总结 本节主要知识点 (1)函数的概念. (2)函数的三要素与函数相等. (3)区间的概念及其表示. 知识点一 函数的概念 初中学习的函数的传统定义 一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义 设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈. 其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集. 对函数的近代定义的理解 (1)只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的. 如x x y --= 11就不是函数. (2)注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性. 任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到. 存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y . 唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.人教A版高一数学函数的概念知识点总结与例题讲解