导数中恒成立问题(最值问题)
恒成立问题是高考函数题中的重点问题,也是高中数学非常重要的一个模块,不管是小题,还是大题,常常以压轴题的形式出现。
知识储备(我个人喜欢将参数放左边,函数放右边)
先来简单的(也是最本质的)如分离变量后,()a f x ≥恒成立,则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立,则有min ()a f x ≤ (若是存在性问题,那么最大变最小,最小变最大) 1.对于单变量的恒成立问题
如:化简后我们分析得到,对[],x a b ?∈,()0f x ≥恒成立,那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈,使得()0f x ≥,那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题
如:化简后我们分析得到,对[]12,,x x a b ?∈,12()()f x g x ≥,那么只需min max ()()f x g x ≥ 如:化简后我们分析得到,对[]1,x a b ?∈,[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥,那么只需
min min ()()f x g x ≥
如:化简后我们分析得到,[]1,x a b ?∈,[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥,那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了,这里不一一列举,总之一句话(双变量的存在性与恒成立问题,都是先处理一个变量,再处理另一个变量)
3.对于带绝对值的恒成立问题,我们往往先根据函数的单调性,去掉绝对值,再转变成恒成立问题(201
4.03苏锡常镇一模那题特别典型)
今天呢,我会花很多时间来讲解一道二次函数,因为二次函数是最本质的,(甚至我提出这样一个观点,所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论,3%是
ax b +与3ax b +这种形式根的讨论,2%是观察法得到零点,零点通常是1
1,,e e
之类)
,所以如果我们真正弄清楚了二次函数,那么对于千变万化的导数题,我们还会畏惧吗。
那么我们先从一道练习题说起
一.二次函数型(通常方法是讨论对称轴,根据图像求最值)
例题1.已知()f x =R ,求a 的取值范围
思考:① 引入定义域(非R )
②参数在二次项,就需考虑是否为0
③引入高次(3次,4次,1
x ,ln x ,x e 等等)
④引入2a ,3a 等项(导致不能分离变量)
方法:1.一次函数,二次函数直接根据图像讨论最值(二次函数也可以分离变量)
2.对于高次或者特殊函数,一般分离变量求最值(分离变量后对函数求导,确定导函
数的正负情况,确定单调性,从而确定在已知定义域上的最值)
3.对于不能分离变量的,只能直接求导,对参数讨论,从而确定单调性,确定最值
变式:
①已知()f x ax b =+,若对任意的(,)x m n ∈,均有()0f x ≥,求a 的取值范围 ②已知2()25f x ax x =+-,若对任意的(3,2)x ∈-,均有()0f x ≥,求a 的取值范围 ③已知22()2(1)5f x ax a x =++-,若对任意的(3,2)x ∈-,均有()0f x ≥,求a 的取值范围 ④已知3()2(1)5f x ax a x =++-,若对任意的(3,2)x ∈-,均有()0f x ≥求a 的取值范围 ⑤已知32()2(9)5f x ax a x =+--,若对任意的(3,2)x ∈-,均有()0f x ≥求a 的取值范围 例题2.(改编)已知函数()122+-=x ax x f 在[]3,1上的最大值为()a M ,最小值为()a m ,又已知函数()()()a m a M a g -=,
(1)求()a g 的表达式;(2)指出()a g 的单调区间,并求出()a g 的最小值
答案:根据对a 是否为0以及对称轴的讨论,易知11,2()195,2
a a M a a a ?
-≤
??=?
?->??
195,311()1,131,1a a m a a a a a ?-≤???=-<?-≥???
,所以易知184,31112,()32
1196,1
284,1
a a a a g a a a a a a a ?-+≤???+-<≤?=??+-<≤???->? 所以()g a 在1(,)2-∞单调递减,在1(,)2+∞单调递增,所以当12x =时,()f x 有最小值1
2
点评:本题考察的主要是二次函数带参数在已知定义域上的最值问题的讨论
变式:1.对称轴不动(①定义域不动 ②定义域动(含参数)) 2.对称轴动(含参),定义域不动(考试最喜欢考)
3.对称轴动(含参),定义域动(含参) 但是参数还是同一个参数 方法:找出对称轴与定义域边界及定义域中值的临界点讨论即可
4.对称轴动(含参),定义域动(含参)
①参数不一样,那么或许可以看看题目中参数的范围,是否可以直接根据单调性求 ②参数不一样,参数也没范围,那么真不能做了
(13江苏)在平面直角坐标系xOy 中,设定点A (a ,a ),P 是函数1
y x
=
(x >0)图象上一动点.若点P ,A
之间的最短距离为,则满足条件的实数a 的所有值为__________.
解:设()0001,,0P x x x ??
> ???
则
()
22
2
222200000200000111112++2=+-2+22
PA x a a x a x a x a x a x x x x x ????????
=-+-=+-+- ? ? ? ????????
? 令()00
1
t 2x t x +
=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时,
22min 2(2)242
2428PA f a a a a ==-+∴-+= 1a =- , 3a =(舍去)
2.2a >时,
22min 2()2
28PA f a a a ==-∴-=
a =,
a =
综上1a =-
或a =点评:本题综合性较高,考查了带参数的二次函数在已知定义域上的最值问题(高一下学期必须学会),同时考查了换元思想,分类讨论的思想 是一道非常漂亮的题目
二.三次函数及特殊函数型(通常是求导后对二次函数的零点进行讨论,从而求最值)
先来几个比较特殊的题目,平时稍微长点心眼,多记记,就记住了
1.(原创)已知函数()0f x >且'()()0xf x f x ->,对所有满足条件的函数()f x ,始终有
3(2)(23)(1)f a a f >-+成立,求a 的取值范围
答案:由题可知0x =时,0(0)0f ->与题目()0f x >矛盾,所以显然有0x ≠ 所以由条件易知
()
f x x 单调递增,由题可知3(2)23(1)22
f a a f -+>始终成立,即 3(2)232(1)2
1
f a a f -+>
恒成立,因为()f x x 单调递增,又()f x x 是满足条件的所有函数, 所以(2)
2(1)
1
f f 的最小值总大于1,所以有32312a a -+≤,知a
的范围是12a --≤
或
112a -+≤≤ 点评:对于某些题中既有()f x 又有()'f x 的这种题型,我们不妨去联想它的原函数
2.(原创)已知函数22()log (1)f x x x ax =++-;若对于任意31,2a ??
∈ ???,总存在??????∈1,210x ,使
得不等式0()f x m >成立,则m 的取值范围是_____________________
答案:分析知2log (1+)x 单增,又分析知2x ax -在1x =时取最大值,所以0()f x 的最大值为(1)f ,所以有(1)m f <恒成立,分离变量易知1
2
m <
3.322()=+(0)f x x ax a x m a -+>若对任意[]3,6a ∈,()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立,求m 范围
解答:先看成是a 的二次函数,对称轴为[]1,12
x
∈-,所以最大值不是在3处就是在6处,所以
有3232
3916361
x x x m x x x m ?+-+≤??+-+≤??对[]2,2x ∈-恒成立,易知87m <- 点评:对于一些双变量的函数最值问题,我们难以处理时,往往可以去看看本身的定义域,从而确定原函数的单调性,确定最值
4. 对满足2p ≤所有实数p ,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围
解答:看成是p 的一次函数
点评:对哪个参数恒成立,就看成是哪个参数的函数
5.已知
21
01
m x mx -<+对4x ≥恒成立,求m 的取值范围
解答:法1:看成乘积小于0恒成立,转变成二次函数恒成立 法2:必须有一正一负恒成立
变式:
21
01
m x mx ->-对4m ≥恒成立,求x 的取值范围 解答:如果看成是m 的函数,乘积后就变成关于m 的三次函数,所以我们可以转变思维,转变成两个式子同正或同负
6.若对于满足13t -≤≤的一切实数t ,不等式222(3)(3)0x t t x t t -+-+->恒成立,则x 的 取值范围为 .
解答:分解因式易知[]2()(3)0x t x t ---> 所以必须有同正或同负恒成立
点评:通过这几个题目的对比,所以我们发现虽然我们常说对哪个参数恒成立就看成是哪个参数的函数,但是有时候也需要转变思维,不能太死板
7.已知22
37
()345
x x f x a x ++=+-+,若对任意的[]1,3x ∈-,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围 类题:(10.江苏). 将边长为m 1正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一
块是梯形,记2
(S =梯形的周长)梯形的面积
,则S 的最小值是 .
点评:二次比二次型的值域问题,一定要熟练掌握,先分离常数,转变成一次比二次,设一次为t ,转变成关于t 的对勾函数,解决值域
另外一次比一次型的其实只是对称中心改变而已,可以直接画图,建议跟学生讲明白
8.22
8()1
mx x n
f x x ++=+的最大值是9,最小值是1,求m 与n 的值 解答:整理成关于x 的二次函数,由题意知二次函数一定有解,所以有0δ≥恒成立,转变成关于y 的一个二次函数恒成立,易知5和9是它的两个根,容易把,m n 求出来
点评:此题比较特殊,只要讲过,那么以后碰到这类题,就不再那么无从下手了
9.(08江苏)已知13)(3+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立,则a = 解:2()'33f x ax =-
法1:分离变量,求最值 法2:直接求导
10.若不等式|3ln ax x -|≥1对任意(0,1]x ∈都成立,则实数a 取值范围是 .
解析:显然1x =时,有||1,1,,1a a or a ≥≤-≥。令3
()ln ,g x ax x =-32
131
()3ax g x ax x x
-'=-=
①当1a ≤-时,对任意(0,1]x ∈,331
()0ax g x x
-'=
<,()g x 在(0,1]上递减, min ()(1)1g x g a ==≤-,此时()g x [,)a ∈+∞,|()g x |的最小值为0,不适合题意。
②当1a ≥时,对任意(0,1]x ∈,331()0ax g x x x -'==?=
()g x 的最小值为11ln(3)33g a =+≥1,解得:23e a ≥。故所求2
3
e
a ≥。 点评:当遇到恒成立问题,有参数时,或许可以看看定义域,先适当的压缩一下范围,或许可
以避免一些不必要的讨论
11.设常数0a ≥,函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.
(I )令()()g x xf x '=(0)x >,求()g x 的最小值,并比较()g x 的最小值与零的大小; (II )求证:当1x >时,恒有2ln 2ln 1x x a x >-+.
解(Ⅰ)∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-,(0,)x ∈+∞
∴112()1[ln (ln )]a
f x x x x x x
'=-?+?+, 2ln 21x a x x =-+,
∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+,(0,)x ∈+∞
∴22
()1x g x x x
-'=-=,令()0g x '≥,得2x ≥,
∴易知()f x 在(0,2)上单调递减,在(2,)+∞单调递增 ∴()g x 在2x =处取得极小值(2)22ln 22g a =-+,
即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+. (2)2(1ln 2)2g a =-+, ∵ln 21<,∴1ln 20->,又0a ≥,∴(2)0g >. 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知,()g x 的最小值是正数,
∴对一切(0,)x ∈+∞,恒有()()0g x xf x '=>, 从而当0x >时,恒有()0f x '>, 故()f x 在(0)+,∞上是增函数. ∴当1x >时,()(1)f x f >, 2(1)1ln 12ln110f a =-+-= ∴()0f x >,即21ln 2ln 0x x a x --+>, ∴2ln 2ln 1x x a x >-+ 故当1x >时,恒有2ln 2ln 1x x a x >-+.
点评:此题又是有那么一点点特殊,当我们难以处理导函数的正负情况时,我们或许可以想想是什么导致了我们难以处理,是否可以通过判断'()xf x 的正负来确定导函数的正负,但是本题由于题目一步步的提示你怎么做,所以就缺少了应有的美感
12.2()1f x x =-,对2,3x ???∈+∞????
,2()4()(1)4()x f m f x f x f m m -≤-+恒成立,求m 的取值范围 解答:化简易得22
22
123(4)x x m m x ---≤
点评:分离变量时不一定要分离成单个变量,要知道整体分离也是一样的,不能太死板 当然此题也可以转变成二次函数带参数在已知定义域上的最值讨论
13.()a f x x x =-,4()24x a g x x =-+,()
()()f x F x g x a =+若()2F x >恒成立,求a 的范围
解答:4111
()()24
a F x x x a -=+-+
法一:易知这题为:系数之积为正,肯定是对勾函数,系数之积为负,直接单调 所以只需对a 的临界点进行讨论即可 法二:求导,转变成二次函数根的讨论
14.22()1x f x x =+,37()38g x x ax =-+,若对111,22x ???∈-????,总存在211,22x ??
∈-????
,使得
21()()g x f x =成立,求正整数a 的最小值
解答:分析题目易知()f x 值域为()g x 值域的子集,转变成求()g x 的最值2'()33g x x a =-
15.函数ln ()x
f x x x
=-
,不等式()20f x b +≤在(0,)x ∈+∞上有解,求实数b 的取值范围。 解析:21ln ()1x
f x x
-'=-,即22ln 1()x x f x x +-'=,
点评:此题需要使用观察法,容易发现1是零点,然后讨论单调性
类题:(徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末)已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x (1) 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程; (2) 求函数)(x f 单调区间;
(3) 若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围. 解答:'()ln 2ln x f x a a x a =+- 容易发现0是零点,然后对a 范围,x 范围讨论
点评:通过这两题我们发现,有时候难以处理导函数的正负情况时,我们需要使用观察法去寻
找它的零点,从而进行讨论,看是否能确定单调性(零点通常是1
1,,e e
)等等
16.已知函数)0,(ln cos 2)(2φa N k x k a x x f *∈?-=π,讨论函数)(x f 的单调性; 解析:由已知得x >0且x
a x x f k
2)1(2)('--=. 当k 是奇数时,0)('φx f ,则)(x f 在),0(+∞上是增函数; 当k 是偶数时,则x
a x a x x a x x f ))((222)('-+=-=. 17.已知函数x x
x g ln 1
)(+=
在[1,+∞)上为增函数,且)
,(πθ0∈,,m ∈R . (1)若在[1,+∞)上为单调函数,求m 的取值范围;
(2)设,若在[1,e ]上至少存在一个,使成立,求的取值范围.
解析:(1)..
∵在其定义域内为单调函数,
∴或者在[1,+∞)恒成立.
等价于,即, 1()ln m f x mx x x -=--()()f x g x -2()e h x x
=0x 000()()()f x g x h x ->m ()()f x g x -=2ln m mx x x
--()222()()mx x m f x g x x -+'∴-=()()f x g x -220mx x m -+≥220mx x m -+≤2
20mx x m -+≥2(1)2m x x +≥2
21x
m x +≥
而
,()max =1,∴. 等价于,即在[1,+∞)恒成立, 而
∈(0,1],. 综上,m 的取值范围是. (2)构造,. 当时,,,,所以在[1,e ]上不存在 一个,使得成立.
当时,.
因为,所以,,所以在 恒成立.
故在上单调递增,,只要,解得.
故的取值范围是. 18.(2014.03苏锡常镇一调) 已知函数e ()ln ,()e x
x
f x mx a x m
g x =--=,其中m ,a 均为实数. (1)求()g x 的极值;
(2)设1,0m a =<,若对任意的1
2
,[3,4]
x x
∈12()x x ≠,212111
()()()()
f x f x
g x g x -<
-
恒成立,求a 的最小值;
(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得120()()()f t f t g x == 成立,求m 的取值范围.
解析:1'
2(1)()()x x x x
e ex e e x g x e e
+-?-== 令'
()0g x ≥易得1x ≤ 所以()g x 在(,1)-∞上单调递增,在(1,)+∞上单调递减 所以当1x =时,()g x 有极大值,极大值为1 无极小值
22211x x x x =++2
1x x
+
1m ≥2
20mx x m -+≤2(1)2m x x +≤2
21x
m x +≤
221
x
x +0m ≤(][),01,-∞+∞U ()()()()F x f x g x h x =--2()2ln m e F x mx x x x
=---0m ≤[1,]x e ∈0m mx x -
≤22ln <0e
x x
--0x 000()()()f x g x h x ->0m >2222
2222(())'m e mx x m e
F x m x x x x -++=+-+=[1,]x e ∈220e x -≥20mx m +>(())'0F x >[1,]x e ∈()F x [1,]e max ()()4m
F x F e me e
==--40m me e -->241e m e >-m 2
4(
,)1
e
e +∞-
(2)1,0m a =<时,易证()f x 单增,
1
()
g x 单减 不妨设12x x < 所以有212111
()()()()
f x f x
g x g x -<
-恒成立 即212111
()()()()
f x f x
g x g x -
<-恒成立 由题易知必须有1()()f x g x -单减
求导整理得11
x x e a x e
x
--≥-+在[]3,4恒成立 易证右边这个函数单调减 所以有22
33
a e ≥-
(3)易知(]00,x e ∈时,00()1g x <≤
'()2ln (0)2()f x mx x m x e f x m x
=--<≤=-
由题可知0()()f x g x =在(]0,e 上有两根 1.0m ≤时,()f x 单调 不合题意 2.0m >时,由'()0f x ≥易得2x m ≥ 所以函数在20,m ?? ???单减,在2,e m ??
???
单增 画出()f x 简图如下
由题要有两个跟 于是我们有()12()02f e f m e m ?
?≥??≤???>??
容易得到31
2()0
m e f m ?
≥??-??≤??
31m e ≥
-时,21m > 所以显然有2()(1)0f f m <= 综上所述,3
1
m e ≥-
19.设函数2()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠. (I)当1
2
b >
时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (II)求函数()f x 的极值点;
(III)证明对任意的正整数n ,不等式23111
ln(1)n n n
+>-都成立.
解:(I) 函数2
()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.222'()211
b x x b
f x x x x ++=+=++, 令2()22
g x x x b =++,则()g x 在1,2??-+∞ ???上递增,在11,2?
?-- ??
?上递减,
min 11
()()22
g x g b =-=-+.
当12b >时,min 1
()02g x b =-+>,2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立.'()0,f x ∴>
即当1
2
b >时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。
(II )分以下几种情形讨论:
(1)由(I )知当1
2
b >时函数()f x 无极值点.
(2)当12b =时,2
12()2'()1x f x x +=+,11,2x ??∴∈-- ???时,'()0,f x >1,2x ??∈-+∞ ?
??
时,'()0,f x > 1
2
b ∴=
时,函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 (3)当1
2
b <
时,解'()0f x =
得两个不同解112x -=
,212x -=.
当0b <
时,1112x --=
<-
,2112
x -+=>-,()()121,,1,,x x ∴?-+∞∈-+∞
此时()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点2x =. 当1
02
b <<
时,()12,1,,x x ∈-+∞ '()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0 ,'()f x 在12(,)x x 上小于0 ,
此时()f x 有一个极大值点1x =
2x =.
综上可知,0b <时,()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点2x =
;
1
02
b <<时,()f x 有一个极大值点112x --=和一个极小值点212x -+=;
1
2
b ≥
时,函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 (III ) 当1b =-时,2()ln(1).f x x x =-+令332()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则
32
'
3(1)()1
x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正,
()h x ∴在[)0,+∞上单调递增,当()0,x ∈+∞时,恒有()(0)0h x h >=.
即当()0,x ∈+∞时,有32ln(1)0,x x x -++>23ln(1)x x x +>-, 对任意正整数n ,取1x n =
得23111ln(1)n n n
+>-
总结:通过以上这么多例子,我们很容易发现,其实导数的本质都是要研究单调性,从而确定最值或者值域,但是单调性都是由导函数的正负情况决定的,而导函数的正负情况我们最终几乎都会转变成二次函数带参数在已知定义域上根的讨论,所以二次函数带参数的最值讨论以及零点的讨论至关重要,这部分内容在高一必须要搞清楚,脑子里一定要有二次函数的图像,这样才能为日后学习导数做铺垫,才能不被导数的千变万化所吓倒。
导数中恒成立问题(最值问题) 恒成立问题是高考函数题中的重点问题, 也是高中数学非常重要的一个模块, 不管是小题,还 是大题,常常以压轴题的形式出现。 知识储备(我个人喜欢将参数放左边,函数放右边) 先来简单的(也是最本质的)如分离变量后, a f (x )恒成立,则有a f (X )max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢,我会花很多时间来讲解一道二次函数,因为二次函数是最本质的, (甚至我提出这样 一个观点,所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论, 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论,2%!观察法得到零点,零点通常是1,-,e 之类),所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数,那么对于千变万化的导数题,我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型(通常方法是讨论对称轴,根据图像求最值) 例题1.已知f (x ) ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ,求a 的取值围 思考:①引入定义域(非R ) ② 参数在二次项,就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次(3次,4次,—,I nx , e x 等等) x ④ 引入a 2, a 3等项(导致不能分离变量) f (x )恒成立,则有a f ( x) min (若是存在性问题,那么最大变最小, 最小变最大) 如:化简后我们分析得到, a,b , f (x) 0恒成立,那么只需 f ( x) min a,b ,使得 f(x) 0,那么只需f (X )max 0 如:化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b , f(xj g(X 2),那么只需 f (X)min g ( X) max 如:化简后我们分析得到, X i a,b , x 2 c, d 使f (xj gg ),那么只需 如:化简后我们分析得到, X i a,b ,X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了,这里不一一列举, 一个变量,再处理另一个变量) 3.对于带绝对值的恒成立问题, 成立问题(2014.03锡常镇一模那题特别典型) 总之一句话 (双变量的存在性与恒成立问题,都是先处理 我们往往先根据函数的单调性,去掉绝对值,再转变成恒
导数中的恒成立和存在性问题
技巧传播 1.恒成立问题的转化:()a f x >恒成立max ()a f x ?>;()a f x ≤恒成立min ()a f x ?≤; 2.能成立问题的转化:()a f x >能成立min ()a f x ?>;()a f x ≤能成立max ()a f x ?≤; 3.恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立()a f x ?>的解集为R ()()a f x M M a f x C M >???≤?在上恒成立在上恒成立 ; 另一转化方法:若x D ∈,()f x A ≥在D 上恰成立,等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =, 若x D ∈,()f x B ≤在D 上恰成立,则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =; 4.设函数()f x 、()g x ,对任意的1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≥,则min min ()()f x g x ≥; 5.设函数()f x 、()g x ,对任意的1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≤,则max max ()()f x g x ≤; 6.设函数()f x 、()g x ,存在1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≥,则max min ()()f x g x ≥; 7.设函数()f x 、()g x ,存在1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≤,则min max ()()f x g x ≤; 8.若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方; 9.若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方;
《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》 达标检测 [A 组]—应知应会 1.已知函数f (x )=x +4 x ,g (x )=2x +a ,若?x 1∈????12,1,?x 2∈[2,3],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数a 的取值范围是( ) A .a ≤1 B .a ≥1 C .a ≤2 D .a ≥2 【解析】选A.由题意知f (x )min ??? ?x ∈????12,1≥g (x )min (x ∈[2,3]),因为f (x )min =5,g (x )min =4+a ,所以5≥4+a ,即a ≤1,故选A. 2.(2020·吉林白山联考)设函数f (x )=e x ????x +3x -3-a x ,若不等式f (x )≤0有正实数解,则实数a 的最小值为________. 【解析】原问题等价于存在x ∈(0,+∞),使得a ≥e x (x 2-3x +3),令g (x )=e x (x 2-3x +3),x ∈(0,+∞),则a ≥g (x )min ,而g ′(x )=e x (x 2-x ).由g ′(x )>0可得x ∈(1,+∞),由g ′(x )<0可得x ∈(0,1).据此可知,函数g (x )在区间(0,+∞)上的最小值为g (1)=e.综上可得,实数a 的最小值为e. 3.(2020·西安质检)已知函数f (x )=ln x ,g (x )=x -1. (1)求函数y =f (x )的图象在x =1处的切线方程; (2)若不等式f (x )≤ag (x )对任意的x ∈(1,+∞)均成立,求实数a 的取值范围. 【解析】(1)因为f ′(x )=1 x , 所以f ′(1)=1. 又f (1)=0,所以切线的方程为y -f (1)=f ′(1)(x -1), 即所求切线的方程为y =x -1. (2)易知对任意的x ∈(1,+∞),f (x )>0,g (x )>0. ①当a ≥1时,f (x )≤g (x )≤ag (x ); ②当a ≤0时,f (x )>0,ag (x )≤0,所以不满足不等式f (x )≤ag (x ); ③当0<a <1时,设φ(x )=f (x )-ag (x )=ln x -a (x -1),则φ′(x )=1 x -a ,
用导数研究函数的恒成立与存在问题 1.已知函数23()2ln x f x x x a = -+,其中a 为常数. (1)若1a =,求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数,求a 的取值范围. 2.已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈,'()f x 是()f x 的导函数。 (1)当2a =时,对于任意的[1,1]m ∈-,[1,1]n ∈-,求()()f m f n '+的最小值; (2)若存在0(0,)x ∈+∞,使0()f x >0,求a 的取值范围。
3.已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. (1)若2=a ,求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程; (2)求)(x f 的单调区间; (3)设22)(2 +-=x x x g ,若对任意1(0,)x ∈+∞,均存在[]1,02∈x ,使得)()(21x g x f <, 求实数a 的取值范围.
4.(2016届惠州二模)已知函数()22ln f x x x =-+. (Ⅰ)求函数()f x 的最大值; (Ⅱ)若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点. ①求实数a 的值; ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数),不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立,求实数k 的取值范围.
5.已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈. (1)当1a =时,01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤,求实数m 的取值范围; (2)若在区间1(,)+∞,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方,求实数a 的取值范围.
导数中恒成立问题(最值问题) 恒成立问题是高考函数题中的重点问题,也是高中数学非常重要的一个模块,不管是小题,还是大题,常常以压轴题的形式出现。 知识储备(我个人喜欢将参数放左边,函数放右边) 先来简单的(也是最本质的)如分离变量后,()a f x ≥恒成立,则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立,则有min ()a f x ≤ (若是存在性问题,那么最大变最小,最小变最大) 1.对于单变量的恒成立问题 如:化简后我们分析得到,对[],x a b ?∈,()0f x ≥恒成立,那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈,使得()0f x ≥,那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如:化简后我们分析得到,对[]12,,x x a b ?∈,12()()f x g x ≥,那么只需min max ()()f x g x ≥ 如:化简后我们分析得到,对[]1,x a b ?∈,[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥,那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如:化简后我们分析得到,[]1,x a b ?∈,[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥,那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了,这里不一一列举,总之一句话(双变量的存在性与恒成立问题,都是先处理一个变量,再处理另一个变量) 3.对于带绝对值的恒成立问题,我们往往先根据函数的单调性,去掉绝对值,再转变成恒成立问题(201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型) 今天呢,我会花很多时间来讲解一道二次函数,因为二次函数是最本质的,(甚至我提出这样一个观点,所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论,3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论,2%是观察法得到零点,零点通常是1 1,,e e 之类) ,所以如果我们真正弄清楚了二次函数,那么对于千变万化的导数题,我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一.二次函数型(通常方法是讨论对称轴,根据图像求最值) 例题1.已知()f x =R ,求a 的取值范围 思考:① 引入定义域(非R ) ②参数在二次项,就需考虑是否为0 ③引入高次(3次,4次,1 x ,ln x ,x e 等等) ④引入2a ,3a 等项(导致不能分离变量)
应用导数研究函数的恒成立与存在性问题 例已知函数()()()21,ln 12 f x x x g x x a =+=+-. (1)若存在[]0,2x ∈,使得()()f x g x =,求实数a 的取值范围; (2)若存在[]0,2x ∈,使得()()f x g x >,求实数a 的取值范围; (3)若对任意[]0,2x ∈,恒有()()f x g x >,求实数a 的取值范围; (4)若对任意[]12,0,2x x ∈,恒有()()12f x g x >,求实数a 的取值范围; (5)若对任意[]20,2x ∈,存在[]10,2x ∈,使得()()12f x g x >,求实数a 的取值范围; (6)若对任意[]20,2x ∈,存在[]10,2x ∈,使得()()12f x g x =,求实数a 的取值范围; (7)若存在[]12,0,2x x ∈,使得()()12f x g x >,求实数a 的取值范围; (8)若存在[]12,0,2x x ∈,使得()()12f x g x =,求实数a 的取值范围;
(1)恒成立问题 ①. ①x①D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A; ①. ①x①D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)ma xg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,① F(x)min >0; ①. ①x①D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,① F(x) ma x <0; (2)存在性问题 ①. ①x0①D,使得f(x0)>A成立,则f(x) ma x >A; ①. ①x0①D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x) min g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),① F(x) ma x >0; ①. ①x0①D,使得f(x0)
学习过程 一、复习预习 考纲要求: 1.理解导数和切线方程的概念。 2.能在具体的数学环境中,会求导,会求切线方程。 3.特别是没有具体点处的切线方程,如何去设点,如何利用点线式建立直线方程。4.灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数:0'=C (C 为常数);1 )'(-=n n nx x (Q n ∈); x x cos )'(sin =; x x sin )'(cos -=;1(ln )x x '= ; 1(log )log a a x e x '=, ()x x e e '= ; ()ln x x a a a '= 求导法则:法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'.
法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3: ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数:设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'=',函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '=',则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数,且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法(高中范围内三种) (1) tan k α=(α为倾斜角); (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -,两点1122(,()),(,())x f x x f x ; (3)0()k f x '= (在0x x =处的切线的斜率); 3.求切线的方程的步骤:(三步走) (1)求函数()f x 的导函数()f x '; (2)0()k f x '= (在0x x =处的切线的斜率); (3)点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-; 4.用导数求函数的单调性: (1)求函数()f x 的导函数()f x '; (2)()0f x '>,求单调递增区间; (3)()0f x '<,求单调递减区间; (4)()0f x '=,是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】:求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】:最大值为18,最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ,∴3,121==x x ,由函数的单调性,当11=x ,2=y , 取得极大值;当32=x ,2-=y ,取得极小值;当5=x ,18=y 。所以最大值为18,最小值为-2.
利用导数解决恒成立能成立问题
利用导数解决恒成立能成立问题 一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法) (1)恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 1.若在x∈[1,+∞)上恒成立,则a 的取值范围是 ______ . 2.若不等式x 4﹣4x 3>2﹣a 对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围 _________ . 3.设a >0,函数,若对任意的x 1,x 2∈[1,e],都有f (x 1)≥g(x 2)成立,则a 的取值范围为 _________ . 4.若不等式|ax 3 ﹣lnx|≥1对任意x∈(0,1]都成立,则实数a 取值范围是 _________ .
15.设函数f(x)的定义域为D,令M={k|f(x)≤k恒成立,x∈D},N={k|f(x)≥k恒成立,x∈D},已知 ,其中x∈[0,2],若4∈M,2∈N,则a 的范围是_________ . 6.f(x)=ax3﹣3x(a>0)对于x∈[0,1]总有f(x)≥﹣1成立,则a的范围为_________ . 7.三次函数f(x)=x3﹣3bx+3b在[1,2]内恒为正值,则b的取值范围是_________ . 8.不等式x3﹣3x2+2﹣a<0在区间x∈[﹣1,1]上恒成立,则实数a的取值范围是__ . 9.当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=e x的图象始终在直线y=kx+1的上方,则实数k的取值范围是_________ .10.设函数f(x)=ax3﹣3x+1(x∈R),若对于任意的 x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0成立,则实数a的值为 _________ .
函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结: 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想: 例题1: 讨论下列函数单调性: 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2:已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,求参数a 的取值范围. 解:要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,则只须满足: (1)???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 (2)?? ???<-=-=-040)2(202a a 解(1)得???<<-<2 22a a ,解(2)a =2 ∴参数a 的取值范围是-2<a ≤2. 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 三、分离法参数: 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法,通过分离参数,用函数观点讨论主变量的变化情况,由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即: (1) 对任意x 都成立()min x f m ≤ (2)对任意x 都成立。 例3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 利用导数解决恒成立能成立问题 一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法) (1)恒成立问题 若不等式A x f 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上min f x A 若不等式B x f 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上max f x B 1.若在x ∈[1,+∞)上恒成立,则a 的取值范围是______ . 2.若不等式x 4﹣4x 3>2﹣a 对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围_________ . 3.设a >0,函数,若对任意的x 1,x 2∈[1,e],都有f (x 1)≥g (x 2)成立,则a 的取值范围为_________ . 4.若不等式|ax 3﹣lnx|≥1对任意x ∈(0,1]都成立,则实数a 取值范围是_________ . 15.设函数f (x )的定义域为D ,令M={k|f (x )≤k恒成立,x ∈D},N={k|f (x )≥k恒成立,x ∈D},已知,其中x ∈[0,2],若4∈M ,2∈N ,则a 的范围是_________ . 6.f (x )=ax 3﹣3x (a >0)对于x ∈[0,1]总有f (x )≥﹣1成立,则a 的范围为_________ . 7.三次函数f (x )=x 3﹣3bx+3b 在[1,2]内恒为正值,则b 的取值范围是_________ . 8.不等式x 3﹣3x 2+2﹣a <0在区间x ∈[﹣1,1]上恒成立,则实数a 的取值范围是__ . 9.当x ∈(0,+∞)时,函数f (x )=e x 的图象始终在直线y=kx+1的上方,则实数k 的取值范围是_________ . 10.设函数f (x )=ax 3﹣3x+1(x ∈R ),若对于任意的x ∈[﹣1,1]都有f (x )≥0成立,则实数a 的值为_________ . 11.若关于x 的不等式x 2+1≥kx 在[1,2]上恒成立,则实数k 的取值范围是_________ . 12.已知f (x )=ln (x 2+1),g (x )=()x ﹣m ,若?x 1∈[0,3],?x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是() A .[,+∞) B .(﹣∞,] C .[,+∞) D .(﹣∞,﹣] 13.已知,,若对任意的x 1∈[﹣1,2],总存在x 2∈[﹣1,2],使得g (x 1)=f (x 2),则m 的取值范围是() A .[0,] B .[,0] C .[,] D .[,1] 二利用导数解决能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式A x f 成立,则等价于在区间D 上max f x A ;若在区间D 上存在实数x 使不等式 B x f 成立,则等价于在区间D 上的 min f x B.如14.已知集合A={x ∈R|≤2},集合B={a ∈R|已知函数f (x )=﹣1+lnx ,?x 0>0,使f (x 0)≤0成立},则A ∩B=() 1 第 讲 导数中的恒成立问题 时间: 年 月 日 刘满江老师 学生签名: 一、 兴趣导入 二、 学前测试 §1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率 ,相应的切线 方程是 . §2.几种常见函数的导数 ①'C = ;②'()n x = ; ③'(sin )x = ; ④'(cos )x = ; ⑤'()x a = ; ⑥'()x e = ; ⑦'(log )a x = ;⑧'(ln )x = §3.导数的运算法则 (1)'()u v ±= . (2)'()uv = . (3)' ()u v = .(0)v ≠ §4.复合函数求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=?,即y 对x 的 导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. §5.函数的极值 (1)极值定义: 极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f <)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极 值; 极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f >)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极 值. (2)判别方法: ①如果在0x 附近的左侧)('x f >0,右侧)('x f <0,那么)(0x f 是极 值; ②如果在0x 附近的左侧)('x f <0,右侧)('x f >0,那么)(0x f 是极 值. 三、 方法培养 导数与不等式的恒成立问题 规范答题示专题 典例 (12分)设函数f (x )=e mx +x 2-mx . (1)证明:f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增; (2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围. 审题路线图 (1)求导f ′(x )=m (e mx -1)+2x ―→讨论m 确定f ′(x )的符号―→证明结论 (2)条件转化为(|f (x 1)-f (x 2)|)max ≤e -1 ―――――→结合(1)知 f (x )min =f (0) ? ?? ?? f (1)-f (0)≤e -1,f (-1)-f (0)≤e -1―→? ?? ?? e m -m ≤e -1,e -m +m ≤e -1―→ 构造函数g (t )=e t -t -e +1―→研究g (t )的单调性―→寻求? ???? g (m )≤0, g (-m )≤0的条件―→ 对m 讨论得适合条件的范围利用导数解决恒成立能成立问题
高二数学导数中的恒成立问题专题学案(含答案)
导数与不等式的恒成立问题