离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与”
联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命可编辑范本
题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。
1
（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
（12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。
（13）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数，由于q是假命题，所以，p∨q为假命题。
（14）p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。
（15）p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。
分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。
1．3令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为
（1）p→q
（2）p→?q
（3）?p→q
（4）?p→?q
（5）p?q
（6）p??q
（7）?p→q
可编辑范本
（8）?p??q
以上命题中，（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。
分析本题要求读者记住p→q及p?q的真值情况。p→q为假当且仅当p为真,q为假,而p?q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题，在4个蕴含式中，只有（2）p→r，其中，p同（1），r：明天为3号。
在这里，当p为真时，r一定为假，p→r为假，当p为假时，无论r为真还是为假，p→r为真。
2
1．5（1）p∧q，其中，p：2是偶数，q：2是素数。此命题为真命题。
（2）p∧q，其中，p：小王聪明，q：小王用功
（3）p∧q，其中，p：天气冷，q：老王来了
（4）p∧q，其中，p：他吃饭，q：他看电视
（5）p∧q，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班
（6）p→q，其中，p，q的含义同（5）
（7）p→q，其中，p，q的含义同（5）
（8）?p??q，其中，p：经一事，q：长一智
分析1°在前4个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：p：他一边吃饭，q：他一边看电视。
2°后4个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，可编辑范本
关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。
p→q所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如，“因为p，所以q”，“只要p，
就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则?p”“没有q，就没有p”等都表达了q是p的必要条件，因而都符号化为p→q或?p??q的蕴含式。
在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为p→q，而在（6）（7）中，p成了q的必要条件，因而符号化为q→p。
在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符号化为蕴含式。
1．6（1），（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。
分析1°（1）中公式含3个命题变项，因而它应该有23=8个赋值：000，3
001，…，111题中指派p, q为0, r为1，于是就是考查001是该公式
p∧(q∧r)的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。
2°在公式（2），（3），（4）中均含4个命题就项，因而共有24=16个赋值：0000，0001，…，1111。现在考查0011是它的成假赋值。
1.7（1），（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。
一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。
可编辑范本
（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。
真值表法
表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。
p∨q∨rp→(p∨q∨r)
p q r
0 0 0 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
等值演算法
p→(p∨q∨r)
??p∨(p∨p∨r)（蕴含等值式）
?(?p∨p)∨p∨r（结合律）
?1∨q∨r（排中律）
?1（零律）
4
由最后一步可知，（1）为重言式。
可编辑范本
（2）用等值演算法判（2）为重言式。
(p→?p)→?p
?(?p∨?)→?p（蕴含等值式）
??p∨?p（等幂律）
?p∨?p（蕴含等值式）
?1（排中律）
（3）用等值演算法判（3）为矛盾式
?(p→q)∧q
??(p?∨q)∧q（蕴含等值式）
?p∨?q∧q（xx·摩根xx）
?p∨(?q∧q)（结合律）
?p∧0（矛盾律）
?0（零律）
由最后一步可知，（3）为矛盾式。
（5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。真值表法
p q ?p ?p→qq→?p(?p→q)→(q→?p)0 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0
由表1.3可知（5）为非重言式的可满足式。
主xxxx
可编辑范本
(?p→q)→(q→?p)
?(p∨q)→(?q∨?p)
5
??(p∨q)∨(?q∨?p)
?(?p∨?q)∨?q∨?p
??p∨?q
?(?p∧1)∨(1∧?q)
?(?p∧(?q∨q)∨((?p∨p)∧?q)
?(?p∧?q)∨(?p∨q)∨(?p∧?q)∨(p∨?q)
?(?p∧?q)∨(?p∨q)∨(?p∧?q)
?m0∨m1∨m2.
在（3）的主析取范式中不含全部（4个）极小项，所以（3）为非重言式的可满足式，请读者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。
其余各式的类型，请读者自己验证。
分析1真值表法判断公式的类别是万能。公式A为重言式当且仅当A的o 真值表的最后一旬全为1；A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1，又至少有一个0。真值表法不易出错，但当命题变项较多时，真值表的行数较多。
2o用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例，A为重言式当且仅当A与1等值；A为矛盾式当且仅当A与0等值，当A为非重言式的可满足式时，经过等值演算可将A化简，然后用观察法找到一个成真赋值，再找到一个成假赋
值，就可判断A为非重言式的可满足式了。例如，对（6）用等值演算判断它的类型。
可编辑范本
(p∧?p)?q
?0?q（矛盾律）
?(p→q)∧(q→0)（等价等值式）
?(?0∨q)∧(?q∨0)（蕴含等值式）
?(1∨q)∧?q（同一律）
?1∧?q（零律）
6
??q（同一律）
到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论p取0或1值，只要q 取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。
用主析取范式判断公式的类型也是万能的。A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n（n为A中所含命题变项的个数）个极小项；A为矛盾式当且仅当A 的主析取范式中不含任何极小项，记它的主析取范式为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含极小项，但不是完全的。
当命题变项较多时，用主析取范式法判公式的类型，运算量是很大的。
用主合取范式判断公式的类型也是万能的。A为重言式当且仅当A的主合取范式中不含任何极大项，此时记A的主合取范式为1；A为矛盾式当且仅当A 的主合取范式含2n个极大项（n为A中含的命题变项的个数）；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含含极大项，但不是全部的。
1.8（1）从左边开始演算
(p∧q)∨(p∧?q)
可编辑范本
?p∧(q∨?q)（分配律）
?p∧1（排中律）
?p.（同一律）
（2）从右边开始演算
p→(q∧r)
??p∨(q∧r)（蕴含等值式）
?(?p∨q)∧(?p∨r)（分配律）
?(p→q)∧(p→r).（蕴含等值式）
（3）从左边开始演算
?(p?q)
7
?((p→q)∧(q→p))
??((?p∨q)∨(?p∨q))
??((?p∧q)∨(?p∧)∨(q∧?q)∨(p∧q))??((?p∧?q)∨(p∧q))
?(p∨q)∧?(p∧q).
请读者填上每步所用的基本等值式。本题也可以从右边开始演算(p∨q)∧?(p∧q)
???((p∨q)∧?(p∧q)
??(?(p∨q)∨??(p∧q))
??((?p∨?q)∨(p∧q))
??((?p∧q)∧(?p∨q)∧(?q∨p)∧(?q∨q))??(1∧p∨q)∧(?q∨p)∧1
??((p→q)∧(q→p))
可编辑范本
??(p?q).
读者填上每步所用的基本的等值式。1.9（1）
?((p∧q)→p)
??(?(p∧q)∨p（蕴含等值式）??(?(p∧q)∨p)（德·摩根律）?p∧q∧?p（结合律、交换律）?(p∧?p)∧q（矛盾式）?0.（零律）
8
由最后一步可知该公式为矛盾式。
（2）((p→q)∧(q→p))→(p?q)
??(?(p∧q)∨p)（蕴含等值式）
由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。
（3）(?p→q)→(q→?p)
?(p∨q)→(?q∨?p)（蕴含等值式）
??(p∨q)∨(?q∨?p)（蕴含等值式）
?(?p∧q)∨?q∨?p（德·摩根律）
??q∨?p（吸收xx）
??p∨?q.（交换律）
由最后一步容易观察到，11为该公式成假赋值，因而它不是重言式，又00，01，10为成真赋值，因而它不是矛盾式，它是非重言式的可满足式。
1.10题中给出的F，G，H，R都是2元真值函数。给出的5个联结词集都是全功能集，可以用观察法或等值演算法寻找与真值函数等值的公式。
首先寻找在各联结词集中与F等值的公式。
可编辑范本
（1）设A=?(p→q)，易知A是{?,→}中公式且与F等值，即F?A.
（2）设B=p∧?q，易知B是{?,∧}中公式且与F等值，即F?B.
（3）设C=?(?p∨q)，易知C是{?,∧}中公式，且F?C.
（4）设D=(p↑(q↑q))↑(p↑(q↑q))，易知D为{↑}中公式，且F?D.（5）设E=(p↓p)↓q，易知E为{↓}中公式，且F?E.
分析1°只要找到一个联结词集中与F等值的公式，经过等值演算就可以找出其他联结词集中与F等值的公式。例如，已知A=?(p→q)是{?,→}公式，且
F?A。进行以下演算，就可以找到F等值的其他联结词集中的公式。对A进行等值演算，消去联结词→，用?，∧取代，得
9
A=?(p→q)
??(?p∨q)
?p∧?q记为B.
则B为{?,∧}中公式，且F?B。再对A进行等值演算，消去→，用?，∧取代，得
A=?(p→q)
??(?p∨q)记为C.
则C为{?,∧}中公式，且F?C。再对B进行演算，消去?，→，用↑取代，在演算中，注意，对于任意的公式A，有
?A??(A∧A)?A↑A.
B=p∧?q
?p∧(q↑q)
可编辑范本
???(p∧(q↑q))
??(p↑(q↑q))
?(p↑(q↑q))↑(p↑(q↑q)记为D.
则D为{↑}中公式，且F?D.再对C进行演算，消去?,∨,用↓取代，在演算中注意，对于任意的公式A
?A??(A∨A)?A↓A.
C=?(?p∨q)
??p↓q
?(p↓p)↓q记为E.
则E为{↓}中公式，且F?E.
2°开始找一个与某真值函数等值的公式的方法，除观察法外，就是根据10
该真值函数的真值表，求它的主析取范式，而后进行等值演算即可。例如，由G的真值表可知G的主析取范式为m1∨m3，于是
G?m1∨m3
?(?p∧q)∨(p∧q)
?(?p∨p)∧q
?q.
由于公式q不带联结词，所以，它应该为任何联结词集中的合式公式。
3°在各联结词集中找到的与某真值函数等值的公式并不唯一。例如，取
A=?q→q.({?,→}中公式)
B=q∧q.({?,∧}中公式)
可编辑范本
C=q∨q.({?,∨}中公式)
D=(q↑q)↑(q↑q).({↑}中公式)
E=(q↓q)↓(q↓q).({↓}中公式)
则G?A?B?C?D?E,对于同一个真值函数G，找到与它等值的形式各异的公式。
对于H和R，请读者自己去完成。
1.11（1）对C是否为矛盾式进行讨论。
当C不是矛盾式时，A∨C?B∨C，则一定有A?B，这是因为，此时，
A∨C?A,B∨C?B，所以，有
A?A∨C?B∨?B
必有A?B
而当C不是矛盾式时，A∨C?B∨C，不一定有A?B，举反例如下：
设A,B,C均为含命题变项p,q的公式，A，B，C及A∨C,B∨C的真值表如表1.4所示，从表1.4可看出，A∨C?B∨C，但A?B。
表1.4
11
p q A B C AVC BVC
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1
(2)对C是否为重言式进行讨论:
可编辑范本
若C为重言式,则A∧C?A,C?B,于是
A?A∧C?B∧C?B.
因而有
A?B
当C不是重言式时,请读者举反例说明, A∧C?B∧C时,不一定有A?B.(3)若?A??B,则A?B.证明如下:
A???A(双重否定xx)
???B(?A??B)
?B(双重否定xx)
所以
A?B
1.12 (1)设(1)中公式为A.
A?(p∨(q∧r))→(p∧q∧r)
A??(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)
A??p∧(?q∧?r)∨(p∧q∧r)
A?(?p∧?q)∨(?q∧?r)∨(p∧q∧r)
A?(?p∧?q∧(?r∧r))∨(?p∧q∧r)∧?r)∨(p∧q∧r)
∨(?p∧q∧?r)∨(p∧q∧r)
A?m0∨m1∨m7
12
于是,公式A的主xx为
m0∨m1∨m2∨m7易知,A的主合取范式为
可编辑范本
M3∨M4∨M5∨M6A的成真赋值为
000, 001, 010, 111A的成假赋值为
011,100,101,110(2)设(2)中公式为B
B?(?p→q)→(?q∧p)
?(??p∨q)→(?q∧p)
?(p∨q)→(?q∧p)
??(p∨q)∨(?q∧p)
?(?p∨?q)∨?q∧p
??q∧p(吸收xx)
?((?p∨q)∧?)∨p∧(?q∧p)
?(?p∨?q)∨p∧(p∧?q)∨(p∧q)?m0∨m2∨m3
所以,B的主析取范式为m0∨m2∨m3.B的主合取范式为M1
B的成真赋值为00,10,11.
B的成假赋值为01.
(3)设(3)中公式为C.
C??(p→q)∧q∧r
?(p∧?q)∧q∧r]
13?p∧(?q∧q)∧r
?p∧0∧r
?0.
所以,C的主xx为0.
C的主合取范式为M0∧M1∧M2∧M3
可编辑范本
C的成假赋值为00,01,10,11
C无成真赋值,C为矛盾式.
分析1°设公式A中含n(n≥1)个命题变项,且A的主析取范式中含l(0≤l≤2n)个极小项,则A的主合邓范式中含2n?l个极大项,而且极大项的角标分别为0到
2n?1这2n个十进制数中未在A的主析取范式的极小项角标中出现过的十进制数.
在(1)中,n=3,A的主析取范式中含4个极小项,所以,A的主合取范式中必含23?4=4个极大项,它们的角标为0到7中未在主析取范式的极小项角标中出现过的3,4,5,6.这样,只要知道A的主析取范式,它的主合邓范式自然也就知道了,在(2),(3)中情况类似.
2°A的主析取范式中极小项角标的二进制表示即为A的成真赋值.在(1)中,由于主析取范式中的极小项角标分别为0,1,2,7,它们的二进制表示分别为
000,001,010,111,所以,A的成真赋值为以上各值.类似地,A的主合取范式中所含极大项角标的二进制表示,即为A的成假赋值.
1.13 (1)首先求p→(q→r)的主析取范式.
p→(q→r)
??p∨(?q∨r)
??p∨?q∨r).
由于演算过程较长,可以分别先求出由?p,?q,r派生的极小项.注意,本公式中含3个命题变项,所以,极小项长度为3.
14
?p??p∧(?q∨q)∧(?r∨r)
可编辑范本
?(?p∧?q∧r)∨(?p∧?q∧r)
∨(?p∧q∧?r)∨(?p∧?q∧r)
?m0∨m1∨m2∨m3
?p?(?p∨p)∧?q∧(?r∨r)
?(?p∧?q∧?r)∨(?p∧?q∧r)
∨(?p∧?q∧?r)∨(p∧?q∧r)
?m0∨m1∨m4∨m5
r?(?p∨p)∧(?q∨q)∧r
?(?p∧?q∧r)∨(?p∧?q∧r)
?(p∧?q∧r)∨(p∧q∧r)
?m1∨m31∨m5∨m7
p→(q→r)?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7
类似地,可求出q→(p→r)主的析取范式也为上式,由于公式的主析取范式的唯一性,可知,
(p→(q→r))?(q→(p→r)).
(2)①
p↑q
??(p∧q)
??p∨?q
?(?p∧(?q∨q))∨((?p∨p)∧?q)
?(?p∧?q)∨(?p∧q))∨((?p∨?p)∨(p∧?q)
?(?p∧?q)∨(?p∧q)∨(p∨?p)
可编辑范本
15
?m0∨m1∨m2.
②p↓q
??(p∧q)
??p∨?q
?m0.
由于p↑q与p↓q的主析取范式不同.因而它们不等值,即p↑q?p↓q.
1.14设p:A输入;
设q:B输入;
设r:C输入;
由题的条件,容易写出FA,FB,FC的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的{↓}中的公式即可.
表1.5
p qrFFF
ABC
0 00 0 0 0
0 01 00 1
0 10 0 1 0
0 11 0 1 0
1 00 1 0 0
1 01 1 0 0
1 101 0 0
可编辑范本
1 11 1 0 0
FA?(p∧?q∧?r)∨(p∧?q∧r))∨(p∧q∧?r)∨(p∧q∧r)
?(p∧?q)∧(?r∨r)∨(p∧q)∧(?r∨r)
?(p∧?q)∨(p∧q)
?p
16
???(p∧q)
??(p↓q)
??(p↓q)
?(p↓q)↓(p↓p)
FB?(?p∧q∧?r)∨(?p∧q∧r)
?(?p∧q)∧(?r∨r)
?(?p∧q)
???(?p∧q)
??(p∧?q)
?p↓?q)
?p↓(q↓q).
FC?(?p∧?p∧r)
??(p∨q)∧r
?(p↓q)∧r
???((p↓q)∧r
??(?(p↓q)∨?r
可编辑范本
??(p↓q)↓?r
?((p↓q)↓(p↓q))↓(r↓r)\
分析在将公式化成{↑}或{↓}中公式时,应分以下几步:(1)先将公式化成全功能集{?,∧,∨}中的公式.
(2)使用
?A??(A∧A)?A↑A,
17
或
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
离散数学（第五版）清华大学出版社第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令F(x):x是鸟 G(x):x会飞翔. 命题符号化为 ?x(F(x)→G(x)). (2)令F(x):x为人. G(x):x爱吃糖 命题符号化为 ??x(F(x)→G(x)) 或者 ?x(F(x)∧?G(x)) (3)令F(x):x为人. G(x):x爱看小说. 命题符号化为 ?x(F(x)∧G(x)). (4) F(x):x为人. G(x):x爱看电视. 命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)). 分析1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 27 ?x(F(x)∧G(x)) 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。
3°（2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 ?xF(x) 其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。 （2）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xG(x) 其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xH(x) 其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析1°命题的真值与个体域有关。 2°有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 ?xF(x) 这里，F(x):x呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ?x(F(x)→G(x)) 这里，F(x):x为人，且F(x)为特性谓词。G(x):x呼吸。 28 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。 （1）令：F(x):x是大学生，G(x):x是文科生，H(x):x是理科生，命题符号化为?x(F(x)→(G(x)∨H(x)) （2）令F(x):x是人，G(y):y是化，H(x):x喜欢，命题符号化为 ?x(F(x)∧?y(G(y)→H(x,y))) （3）令F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)), 或另一种等值的形式为 ?x(F(x)→G(x)
离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式
（5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ?(?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)
离散数学(屈婉玲)答 案
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 //最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r
《离散数学》模拟试题3 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A得幂集合p（A）=_____ _。 2. 设集合E ={a, b, c, d, e}, A= {a, b, c}, B = {a, d, e}, 则A∪B =___ ___， A∩B =____ __，A－B =___ ___，～A∩～B =____ ____。 3. 设A，B是两个集合，其中A= {1, 2, 3}, B= {1, 2}，则A－B =____ ___， ρ（A）－ρ（B）=_____ _ _。 4. 已知命题公式R Q P G→ ∧ ? =) (，则G的析取范式为。 5. 设P：2＋2＝4，Q：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A、B是两个集合，A＝{1,3,4}，B＝{1,2}，则A－B为（）. A.{1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X＝{x, y}，则ρ（X）＝（）。 A. {{x},{y}} B. {φ,{x},{y}} C. {φ,{x},{y},{x, y}} D. {{x},{y},{x, y}} 4. 设集合A＝{1,2,3}，A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R不具备（）. 三、计算题（共50分） 1. （6分）设全集E＝N，有下列子集：A＝{1，2，8，10}，B＝{n|n2<50 ，n∈N}，C＝ {n|n可以被3整除，且n<20 ，n∈N}，D＝{n|2i，i<6且i、n∈N}，求下列集合：（1）A∪(C∩D) （2）A∩(B∪(C∩D)) （3）B－(A∩C) （4）(～A∩B) ∪D 2. （6分）设集合A＝{a, b, c}，A上二元关系R1，R2，R3分别为：R1＝A×A， R2 ＝{(a，a)，(b，b)}，R3 ＝{(a，a)}，试分别用 定义和矩阵运算求R1·R2 ，22R，R1·R2 ·R3 ， (R1·R2 ·R3 )－1 。 3.（6分）化简等价式（﹁P∧（﹁Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）. 4.(8分) 设集合A＝{1,2,3}，R为A上的二元关系，且 M R＝ 写出R的关系表达式，画出R的关系图并说明R的性质. 5. （10分）设公式G的真值表如下. 试叙述如何根据真值表求G的 主析取范式和主合取范式，并 写出G的主析取范式和主合取范式. 1 0 0 1 1 0 1 0 0
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?，在（a ）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快
命题符号化为: )) F x G x→ ∧ ? ? y y ( )) ( ) , x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) x x F y y→ ?? ∧ ? G (y H ( , ( ) ( ( x ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素错误！未找到引用源。=0. (c) 特定函数错误！未找到引用源。(x,y)=x错误！未找到引用源。y,x,y D ∈错误！未找到引用源。. (d) 特定谓词错误！未找到引用源。(x,y):x=y,错误！未找到引用源。(x,y):x 离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案 4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如 果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。 （2）设有序对 离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们 都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来 的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许 多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结 的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→ｑ。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真 命题，因而p→ｑ为假命题。 （7）p→ｑ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命 题，q为真命题，因而p→ｑ为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不 知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。 第一章命题逻辑基本概念 课后练习题答案 1.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 2.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 4.因为p与q不能同时为真. 5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 返回 第二章命题逻辑等值演算 本章自测答案 5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11； (2)：0，矛盾式，无成真赋值； (3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值； 7.(1)：∨∨∨∨?∧∧； (2)：∨∨∨?∧∧∧； 8.(1)：1?∨∨∨,重言式； (2)：∨?∨∨∨∨∨∨； (3)：∧∧∧∧∧∧∧?0，矛盾式. 11.(1)：∨∨?∧∧∧∧； 《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑) 1.答：（2），（3），（4） 2.答：（2），（3），（4），（5），（6） 3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 4.答：（4） 5.答：?P ，Q→P 6.答：P(x)∨?yR(y) 7.答：??x(R(x)→Q(x)) 8、 c、P→(P∧(Q→P)) 解：P→(P∧(Q→P)) ??P∨(P∧(?Q∨P)) ??P∨P ? 1 (主合取范式) ? m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式） d、P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) 解：P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) ? P∨(P∨(Q∨(Q∨R))) ? P∨Q∨R ? M0 (主合取范式) ? m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、 b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S) 证明： （1） P 附加前提 （2） Q 附加前提 （3） P→(Q→R) 前提 （4） Q→R （1），（3）假言推理 （5） R （2），（4）假言推理 （6） R→(Q→S) 前提 （7） Q→S （5），（6）假言推理 （8） S （2），（7）假言推理 d、P→?Q，Q∨?R，R∧?S??P 证明、 (1) P 附加前提 （2） P→?Q 前提 （3）?Q （1），（2）假言推理 （4） Q∨?R 前提 (5) ?R （3），（4）析取三段论 (6 ) R∧?S 前提 （7） R （6）化简 （8） R∧?R 矛盾（5），（7）合取 所以该推理正确 10.写出?x(F(x)→G(x))→(?xF(x) →?xG(x))的前束范式。 解：原式??x(?F(x)∨G(x))→(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ??(?x)(?F(x)∨G(x)) ∨(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ? (?x)((F(x)∧? G(x)) ∨G(x)) ∨ (?x) ?F(x) 离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。 （7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命可编辑范本 题，q为真命题，因而p→q为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。 离散数学（第五版）清华大学出版社第6章习题解答 6.1 A:⑨; B:⑨; C:④; D:⑥; E:③ 分析对于给定的集合和运算判别它们是否构成代数系统的关键是检查集合对 给定运算的封闭性,具体方法已在 5.3节做过说明. 下面分别讨论对各种不同代数系纺的判别方法. 1°给定集合S和二元运算°,判定 4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如 果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。 （2）设有序对 离散数学（第五版）清华大学出版社第7章习题解答 7.1 (1),(2),(3),(5)都能构成无向图的度数列,其中除(5)外又都能构成无向简单图的度数列. 分析1°非负整数列d,d ,L,d 能构成无向图的度数列当且仅当n di为 1 2n∑ i=1偶数,即d1,d2,L,dn中的奇数为偶数个.（1）,(2),(3),(5)中分别有4个,0个,4个,4 个奇数,所以,它们都能构成无向图的度数列,当然,所对应的无向图很可能是非简 单图.而(4)中有 3 个奇数,因而它不能构成无向图度数列.否则就违背了握手定理的推论. 2°(5) 虽然能构成无向图的度数列,但不能构成无向简单度数列.否则,若存在无向简单图G,以1,3,3,3 为度数列,不妨设G 中顶点为v1,v2,v3,v4,且d(vi)=1,于是d(v2)=d(v3)=d(v4)=3.而v1只能与v2,v3,v4之一相邻,设v1与v2相邻,这样一来,除v2能达到3度外, v3,v4都达不到3度,这是矛盾的. 在图7.5所示的4个图中,(1) 以1为度数列,(2)以2为度数列,(3)以3为度数列,(4)以4为度数列(非简单图). 7.2 设有几简单图D以2,2,3,3为度数列,对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4,由于d(v)=d+(v)+d_(v),所示,d+(v)-d-(v)=2-0=2,d+(v )=d(v )-d-(v ) 11222=2-0=2,d+(v)=d(v)-d-(v)=3-2=1,d+(v)=d(v)-d-(v)=3-3=0 333444 81 由此可知,D 的出度列为2,2,1,0,且满足d+(v)= d-(v).请读者画出 ∑i∑ｉ 一个有向图.以2,2,3,3为度数列,且以0,0,2,3为入度列,以2,2,1,0为出度列. 7.3 D 的入度列不可能为1,1,1,1.否则,必有出度列为2,2,2,2(因为d(v)=d+(v)+d-(v)),)此时,入度列元素之和为4,不等于出度列元素之和8,这违背握手定理.类似地讨论可知,1,1,1,1也不能为D的出席列. 7.4 不能. N阶无向简单图的最大度Δ≤n-1.而这里的n个正整数彼此不同,因而这n个数不能构成无向简单图的度数列,否则所得图的最大度大于n,这与最大度应该小于等于n-1矛盾. 离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案 1.2 映射的有关概念 习题1.2 1. 分别计算?1. 5?，?-1?，?-1. 5?，? 1. 5?，?-1?，?-1. 5?. 解?1. 5?=2，?-1?=-1，?-1. 5?=-1，?1. 5?=1，?-1?=-1，?-1. 5?=-2. 2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由. (1)f :Z →Z , f (x ) =3x . (2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1. (3)f :R →R , f (x ) =x 3+1. (4)f :N ?N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1. (5)f :N →N ?N , f (x ) =(x , x +1). 解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z ，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z ，f (x ) ≠2∈Z ，因此f 不是满射，进而f 不是双射. (2)由于2, -2∈Z 且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N ，而任意x ∈Z 均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射. (3)对于任意对x 1, x 2∈R ，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R ，取x =(y -1) ，这时 1??3f (x ) =x +1=?(y -1) 3?+1=(y -1) +1=y ， ??33313 所以f 是满射. 进而f 是双射. 离散数学(第五版)清华大学出版社第 4章习题解答 离散数学清华大学出版社第4章习题解答4．1 A：⑤；B：③；C：①；D：⑧；E：⑩4．2 A：②；B：③；C：⑤；D：⑩；E：⑦4．3 A：②；B：⑦；C：⑤；D：⑧；E：④分析题都涉及到关系的表示。先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题中的Is ={,}, Es ={,,,} Is ={,,}; 而题中的R={,,,,}. 为得到题中的R须求解方程x+3y=12，最终得到R={,,}. 求RoR有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。下面题的关系分别加以说明。1°集合表达式法将domR,domRUran,ranR的元素列出来，如图所示。然后检查R的每个有序对，若∈R，则从domR中的x到ranR中的y画一个箭头。若danR中的x 经过2步有向路径到达ranR中的y，则∈RoR。图可知RoR={,,,,,}. 如果求FoG，则将对应于G中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F中的有序对的箭头画在右边。对应的三个集合分别为domG,ranUdomF,ranF，然后，同样地寻找domG到ranF的2步长的有向路径即可。2°矩阵方法若M是R的关系矩阵，则RoR的关系矩阵就是M·M，也可记作M，在计算2 48 乘积时的相加不是普通加法，而是逻辑加，即0+0=0，0+1=1+0=1+1=1，根据已知条件得?1 0 0 1? ?1 0 0 1? ?1 0 0 1? ?1 0 0 0? ?1 0 0 0? ?1 0 0 1? 2 ?? ?? ?? M =?????=?? ?0 0 0 1? ?0 0 0 1? ?1 0 0 0? ?1 0 0 0? ?1 0 0 0? ?1 0 0 1? M2中含有7个1，说明RoR中含有7个有序对。图图3°关系图方法n’’ 设G是R的关系图。为求R 的关系图G ，无将G 的结点复制到G 中，然后依次检查G的 1.2 映射的有关概念 习题1.2 1. 分别计算??5.1，??1-，??5.1-，??5.1，??1-，??5.1-. 解 ??25.1=，??11-=-，??15.1-=-，??15.1=，??11-=-，??25.1-=-. 2.下列映射中，那些是双射? 说明理由. (1).3)(,Z Z :x x f f =→ (2).1||)(,N Z :+=→x x f f (3).1)(,R R :3+=→x x f f (4).1),(,N N N :2121++=→?x x x x f f (5)).1,()(,N N N :+=?→x x x f f 解 (1)对于任意对∈21,x x Z ，若)()(21x f x f =，则2133x x =，于是21x x =，所以f 是单射. 由于对任意∈x Z ，∈≠2)(x f Z ，因此f 不是满射，进而f 不是双射. (2)由于∈-2,2Z 且3)2()2(=-=f f ，因此f 不是单射. 又由于∈0N ，而任意∈x Z 均有01||)(≠+=x x f ，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射. (3)对于任意对∈21,x x R ，若)()(21x f x f =，则113231+=+x x ，于是21x x =，所以f 是单射. 对于任意∈y R ，取3 1)1(-=y x ，这时 y y y x x f =+-=+??????-=+=1)1(1)1(1)(3313， 所以f 是满射. 进而f 是双射. (4)由于∈)1,2(),2,1(N ?N 且)1,2()2,1(≠，而4)1,2()2,1(==f f ，因此f 不是单射. 又由于∈0N ，而任意∈),(21x x N ?N 均有01),(2121≠++=x x x x f ，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射. (5)由于∈21,x x N ，若)()(21x f x f =，则)1,()1,(2211+=+x x x x ，于是21x x =，因此f 是单射. 又由于∈)0,0(N ?N ，而任意∈x N 均有)0,0()1,()(≠+=x x x f ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射. ………………………………………………最新资料推 荐……………………………………… 1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略 1.10．略 1.11．略 1.12．将下列命题符号化,并给出各命题的真值: (1)2+2＝4当且仅当3+3＝6.(2)2+2＝ 4的充要条件是3+3≠6.(3)2+2≠4与 3+3＝6互为充要条件.(4)若2+2≠4, 则 3+3≠6,反之亦然. (1)p?q,其中,p: 2+2＝4,q: 3+3＝6, 真值为 1.(2)p??q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为0. (3)?p?q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为 0.(4)?p??q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为1. 1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1) 若今天是星期一,则明天是星期二.(2)只有今天 是星期一,明天才是星期二.(3)今天是星期一当 且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一,则明 天是星期三. 令p: 今天是星期一;q:明天是星期二;r:明天是星期三.(1) p→q ? 1. (2) q→p ? 1. (3) p?q? 1. (4)p→r当p ? 0时为真; p ? 1时为假. 1.14．将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快,跳得高.(2) 老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小 组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃 饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨,他就乘 班车上班.(9)只有天下大雨,他才乘班车上 班.(10)除非天下大雨,他才乘班车上班.(11) 下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数,这是不对的. (13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的.离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案
离散数学(第五版)清华大学出版社第1章习题解答
高等教育出版社《离散数学》屈婉玲 耿素云 张立昂版最全答案
离散数学版屈婉玲(答案)
离散数学(第五版)清华大学出版社第
离散数学(第五版)清华大学出版社第6章习题解答
离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案
离散数学(第五版)清华大学出版社第7章习题解答
离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案
离散数学(第五版)清华大学出版社第4章习题解答
离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案
离散数学最全课后答案(屈婉玲版)
相关主题
文本预览