初中数学解题方法之一：构造法之构造方程
例1.设＞＞且，，求的范围。
例2.已知实数、、满足=5，=，求的值。
例3.已知实数、、满足，，求的最大值。
例4.已知、为实数，且，求的最大值和最小值。
例5.已知实数分别满足和，求代数式的值
构造法巧解二元一次方程组 根据二元一次方程组和方程组解的特点，构造出新的方程组，从而把问题破解是二元一次方程组的一个经典型问题．下面就和同学们谈谈这个话题． 一．由原来方程组中的一个方程与ｘ＝ｙ构造新方程组，探求待定字母的值 例１ 已知二元一次方程组???=-+=+3 )1(73x 4y k kx y 的解ｘ，ｙ的值相等，求ｋ的值． 分析： 方程组的解一定是方程４ｘ＋３ｙ＝７的解，同时也一定是方程ｘ＝ｙ的解，这 样我么就可以构造出新的方程组? ??==+y x y 73x 4，这个方程组是可以直接求解的，这样我们就把不能求解问题转化成了可以求解的问题，问题自然就解决了． 解： 设方程组的解为???==n y m x ，因为二元一次方程组? ??=-+=+3)1(73x 4y k kx y 的解ｘ，ｙ的值相等，所以ｘ＝ｙ，所以得到方程组?? ?==+y x y 73x 4，解这个方程组得：???==11y x ，所以方程 组???=-+=+3)1(73x 4y k kx y 的解是???==1 1y x ，所以ｋ＋ｋ－１＝３，解得：ｋ＝２． 点评： 顺利构造出符合题意得新方程组是解题的关键． 二．由原来方程组中的一个方程与ｘ＝ｋｙ构造新方程组，探求待定字母的值 例２ 已知二元一次方程组???=+=8 232-x ky x y 的解满足ｘ是ｙ的５倍，求ｋ的值． 分析： 有解的特点可以构造出一个新的二元一次方程ｘ＝５ｙ，这样就可以与ｘ－２ｙ＝３构成一个新的可解的二元一次方程组． 解： 因为二元一次方程组???=+=8 232-x ky x y 的解满足ｘ是ｙ的５倍，所以ｘ＝５ｙ， 所以构造方程组得???==y x y 532-x ，解这个方程组得? ??==15y x ，所以二元一次方程组???=+=8232-x ky x y 的解是???==1 5y x ，所以１０＋ｋ＝８，解得ｋ＝－２． 点评：将原来方程组的解转化成可解新方程组的解是数学转化思想的重要体现．
初中数学常用几何模型及构造方法大全几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间… 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 角分线模型 往角两边作垂线 往角两边截取等线段 过角分线某点作垂线 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变换 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
1. 设实数122018,,..,x x x 满足任意的12018i j ≤<≤，均有(1)i j i j x x ++≥-，求2018 1 i i ix =∑ 求2018 1i i ix =∑最小值. 2. 设正实数12,,..,n x x x 满足12..1n x x x =，求证：{}{}{}1221 ...2 n n x x x -+++≤ ，其中 {}x 表示x 的小数部分.
3. 设互不相等正整数12,,..,(2)n x x x n ≥，求证： (1)2221212231.......23n n x x x x x x x x x n +++≥++++-， (2) 222121221 ...(...)3 n n n x x x x x x ++++≥+++ 4.设[]2,(1),0,1i n i i n x ≥?≤≤∈，求证： 11 13n k l k k l n k n kx x kx ≤<≤=-≤∑∑，
5.设1233,...n n x x x x ≥<<<<，证明：111 (1) ()(1)2n n i j i j i j n i j n n x x n i x j x ≤<≤==->--∑∑∑ 6. 求证：12 n i π =
7.设函数211 ()1.....2!n n f x x x x n =++++，证明： (1) 当0x >,(),x n e f x n N +>∈； (2)当0x >，存在实数y,使得11 ()(1)! x n y n e f x x e n +=++，证明：0y x << ８.设()f n n =+，定义数列{}n a ，11,,()n n a m m N a f a ++=∈=，证明：对于每一个正整数m,数列{}n a 必有无穷多个完全平方数. ，
第一章习题 1-1求下列两个微分方程的公共解。 （1）422x x y y -+=' （2）2422y y x x x y --++=' 解 两方程的公共解满足条件 4224222x x y y y x x x -+=--++， 即 022224=-+-y x y x ， 0))(122(22=-++y x y x ， 所以2 x y =或2212 x y +-=。 代入检验可知2 212 x y +-=不符合，所以两方程的公共解为2x y =。 评注：此题是求解方程满足一定条件的解，即求两个微分方程的公共解。在求解时由于令其导数相等，很容易产生增解，因而要对所求结果回代原方程进行检验，舍去增解。 1-2 求微分方程02 =-'+'y y x y 的直线积分曲线。 解 设直线积分曲线为b ax y +=，则a y ='，代入原方程得 02≡--+b ax xa a ， 即0)()(2 ≡-+-b a a a x ， 所以 ???=-=-0 02b a a a ， 可得0==b a 或1==b a 。 因而所求直线积分曲线为0=y 或1+=x y 。 评注：此题是求解方程的部分解，采用的是待定系数法。待定系数法是求解常微分方程常用的方法之一，有待定常数法和待定函数法。本题首先设出满足题设条件的含有待定常数
的解，然后代入原方程来确定待定常数，解决此类问题的关键在于正确地设出解的形式。 1-3 微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线是关于坐标原点成中心对称的曲线。 证 设)(x y ?=满足微分方程，只须证明)(x y --=?也满足方程即可。 作变换x t -=，则证明)(t y ?-=满足方程即可，代入方程两端，并利用)(x y ?=满足此方程，得 左=)())((42222t dx dt t t ??-'， )()1)((42222t t t ??--'= )()(4222t t t ??-'=)(3t t ?==右 故)(t y ?-=也满足方程32224xy y y x =-'。 评注：为了验证)(x y --=?也满足方程，利用积分曲线的性质，进行变量代换x t -=，将)(x y --=?变换成)(t y ?-=后，问题就很容易解决了。 1-4 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比，如果物体在20分钟内由100℃冷却至60℃，那么，在多长时间内，这个物体由100℃冷却至30℃？假设空气的温度为20℃ 解 设物体在空气中时刻t 的温度为)(t T T =，则依牛顿冷却定理得 )20(--=T k dt dT ， 其中k 是比例常数。 两边积分，得通解为kt Ce T -+=20。 由于初始条件为：,100)0(=T 故得80=C ，所以kt e T -+=8020。 将60,20==T t 代入上式后即得：202ln = k ， 即 20202ln )2 1(80208020t t e T ?+=+=-。 故当30=T 时，有20)2 1(802030t ?+=，从中解出60=t （分钟），因此，在一小时内，可使物体由100℃冷却至30℃。
构造法在初中数学中的应用 所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法： 一、构造方程 构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。 1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。 例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？ 解：原方程整理得（a-4）x=15-b ∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0 分别解得a=4，b=15 2、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。 例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。 20，18，5x，-6y的平均数是1。求 的值。 分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。 二、构造几何图形 1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。 例4：已知，则x 的取值范围是（）
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/8414963634.html, 构建初中数学高效课堂的几点建议 作者：罗玉兰 来源：《科教创新》2013年第07期 摘要：初中数学高效课堂的建设，是为了从根本上改变传统的教学模式、更新观念、更新教法，教学中，作为教师要勇于突破传统的教学理念，敢于创新，坚持以学生为本，强化师生间的合作互动，从而达到教学质量的提高。 关键词：初中数学高效课堂教学质量 引言 课堂教学是教育的基本组织形式与中心环节，也是学生提高各项学习技能、锻炼能力及获取知识的途径，关于建立初中数学高效课堂的问题，没有固定的答案，更没有统一的模式。 一、更新教育观念 初中数学高效课堂的建设首先表现在师生间数学理念的改变，根据近年来我们的教学实践，我们着重在教师为主导、学生为主体、训练为主线等方面做了探索，从而改变了师生间固有的数学学习观念，有效的促进了数学课堂学习的有效性。 发挥教师为主导的作用，要求教师作为领路人引导学生发现问题、分析问题、解决问题，课前教师要精心设计学案，重点处理好考点、难点、要点，教师要充分发挥自己的主导作用，唱好自己的角色。 调动学生的主体作用教师的教学为了学生，因此学生的主体位置毋庸置疑，教学中教师要引导学生做课堂学习的主人，引导学生充分发挥主体作用，鼓励学生主动学习、自主学习、合作学习、探究学习，教师要想方设法、千方百计的引导学生潜心思考，找思路、找方法，与老师积极配合，师生间互动。 二、精心设计导入 可能一提到数学，学生就会觉得太抽象了，学起来很困难，怕学不会，学生会有这种心理，其实是他们被数学表面的抽象定理、公式等遮盖了眼睛，没有发现数学的真谛。这就需要教师在新课导入时激发起学生热爱数学的兴趣，将有趣的数学历史、数学故事等融人数学教学中，让学生了解数学的光辉历史、发现数学在实际生活中的使用价值，逐步培养对数学的兴趣。在教学过程中，遇到学生难以理解的难题时，教师要以认真细致的态度，亲切、有启发性的话语，辅以生动的事例把这些难题变得浅显易懂，促进学生理解。
初中数学方法大全之构造法 构造法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁难的数学问题时，用常规解法，或是无从下手，或是解题过程异常繁杂，这时，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，往往可以化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效。 一、以概念为框架构造 【例1】已知方程 20(0)ax bx c a ++=≠的两根之和为1S ,两根平方和为2S ，两根立方和为 2)x + 90 ,. ac bd B D Rt ABC Rt CDA AC CA Rt ABC Rt CDA a d b c =? ?∠=∠=???????=? ????==∽≌
三、从公式特征构造 【例3】已知x 、y 、z 、r 都为正数，且满足2222,x y z z x +==。 求证：xy=rz 。 【思路分析】此题中，题设222x y z +=与勾股定理的结论非常相似，故可以从构造勾股定理入手进行本题的研究。 证明：如图，构造Rt △ABC ，使AC =x ，BC =y ，斜边AB =z 。作CD ⊥AB 于D 。 由射影定理可知：2AC AD AB =?，则有： 性解决周长与面积的最大值，但这样一来，本题的计算量就很大，而且也较麻烦。换一个思路，以矩形的一组邻边所在的直线为坐标轴，利用函数思想来解决本题，会有意料之外的效果。 解：以AB 、AD 所在的直线为坐标轴，建立平面直 角坐标系xOy 。 根据题意有：(24,0),(0,12)P Q ，易得PQ 所在的直线解 析式为：1122 y x =-+。
设1(,12)(024)2M m m m - +≤≤，则136,602 MF m ME m =-=-。 ∴周长12()2(3660)1922 MF ME m m m =+=++-=-+ 面积211(36)(60)(6)217822MF ME m m m =?=+-=-++ ∴当m =0时，周长最大等于192m ； 当m =0时，面积最大等于2160m 2。 六、其它构造 【例6】在锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D 、E 都落在BC 边上，F 、G 分别落在AC 、AB 边上。 【思路分析】要想作出这样的正方形，确实有些困 难，我们可以把条件放宽：求作一个正方形，使其有三个 顶点落在两边上，这样的正方形就比较好作了，我们可以 马上作出一个这样的正方形1111D E FG 。 这个正方形可以成为本题的一个跳板吗？实际上，我们得到的这个正方形，可以利用位似去作出需要的正方形DEFG 。 解：（略） 在学习数学的过程中，我们会遇到很多这样的题：有些题目有着深厚的“几何背景”，这样的题我们可以恰当地构造出几何图形，以形助数；有些题目有着浓厚的“代数氛围”，我们可以适时地构造出代数模型，以数解形；有些题目有着深刻的“函数味道”，我们可以合理地以函数为框架进行构造。这样不但能够达到另辟蹊径，巧思妙解的目的，而且对培养创造性思维也有很大的帮助。
构建初中数学高效课堂“合作探究”的几个重要环节 发表时间：2019-12-10T13:41:44.840Z 来源：《中小学教育》2020年第391期作者：邹晓敏[导读] 四川省筠连县筠连镇白花小学645250 一、教学目标设计环节：要体现层次需要，教师不能打着合作探究的旗号任由学生发挥，而自己撒手不管。 一节数学课能否充满激情和活力，在于数学教师课前能否正确、科学分析学生的学习需要，然后确定正确的教学目标。在教学工作中，我体会到在制定目标时，应该遵循需要层次学说理论，由低级需要向高级需要过渡，要考虑学生实际。需要层次学说认为，人的需要是逐级上升的，当低一级需要得到一定层次的满足以后，高一级的需要就会产生，越高级的需要产生的动机越强有力、越持久。作为教师，力求培养学生的高级需要是我们的努力方向和奋斗目标。那种认为合作学习就是减轻老师负担，学生有问题老师可以甩手不管，让学生自己去讨论解决，老师在课堂上好象是一个看客，遇到争执时不指导学生如何解决，只会耽误学生的时间，这种毫无目标设计的课堂绝对谈不上高效课堂。 满足层次需要的办法是组建课堂学习小组。科学组织好学习小组是学生合作探究学习的前提，也是符合学生实际、不同层次的体现。小组的人数一般以4-6人为宜，成员的组成既要考虑到学习成绩好、中、差的搭配，又要考虑他们原有的性格、情感特征等非智力型的合作基础。组内成员要有具体的明确分工，如小组讨论的组织人、记录员、资料员、首席发言人、第二发言人，甚至是专提反对意见的“反对人”，一定时间后角色互换，使每个成员都能从不同的位置上得到体验、锻炼和提高。同时我们还在积极地对分组的形式加以尝试与优化，而不局限于固定不变的分组模式，比如有时为了营造竞争的氛围，尝试按男女生进行分组，有时为了合作探究的密切按兴趣进行分组，也有时为了合作探究的便捷按座位实施小组合作成大组等多种做法。 二、教学内容设计环节：既要符合新课标要求，又要不拘泥于教材，教师应该具有娴熟驾驭课标、教材的整合能力。 课堂教学的内容，是一节课成败的关键所在。对学生而言，知识的理解、能力的培养、素质的提高，也要靠对课堂教学内容的理解、消化和吸收来达到。在教学内容的选择、确定上，教师的回旋余地比较小。因为教学内容在课标和教材上都有所规定。有的教师确定的教学内容远离目标，只打外围战，一节课下来，教师昏昏然，学生茫茫然，事倍而功半；也有些“老”教师对教学内容比较熟悉，往往从经验出发按惯例确定教学内容，并拘泥于课标、教材，不敢越雷池一步，照本宣科，搞得课堂死气沉沉，结果是初衷虽好，结局欠佳。 确定什么样的教学内容至关重要，恰当的教学内容能有效调动学生的合作探究欲望，能够较好地引导学生积极主动地参与到学习任务的探究中；浅显或粗糙的教学内容只是为合作而合作，不仅达不到预期的合作学习效果，而且很容易引起学生对合作学习的厌倦和反感。因此，设计课堂教学内容，首先应有一定的难度，问题应有一定的挑战性，要有利于激发学生的主动性与小组学习活动的激情；其次设计课堂教学的内容具有一定的生活价值，活动形式可以生活化，从而接近学生的生活，让学生在合作中感悟数学的运用性。同时也是保证合作学习更具实效性的关键之一。 比如在教学 “平方差公式”一课中，让学生通过多项式相乘的一些特殊形式的例子“(x+1)(x-1)、(a+5)(a-5)、(2x-1)(1+2x)”等等的计算，教师引导学生在简单回忆、思考多项式相乘是如何进行的，让学生小组合作进行讨论、探究。比一比，哪一组协作得最好？能否发现有什么规律？学生在这种具有激励性的问题情景下，兴趣倍增，情绪高涨。很快就全身心投入到数学探究活动中去。随后，教师就借助多媒体对学生合作的成果给予展示，让学生再补充完善，同时把小组的一些想法加以延伸，使每一个组员都切实体验到了自己的一份发现，感受着同学合作的相互作用。这种课堂才是真正体现以学生为主体、以教师为指导的高效课堂。 三、教学方法方式设计环节：要切记学生是教学的主体，充分发挥学生的主体作用，才是高效课堂的灵魂所在。 任何教学方法方式的设计都要以学生为主体，都要鼓励学生充分思考，相互质疑，并完成教学任务，最终实现教学目标。 “以学生为主体”应该是教师备课过程中的“备学生”环节。首先要对学生知识、能力水平进行分析，真正为学生着想，否则，教师按部就班地完成授课并没有让学生得到质疑，获得新知。其次，要对学生的学习风格进行观察和分析，现实中有依赖性的学生居多，当老师叫合作学习小组代表发言时往往都是自己的一家之言：一个人代替小组，小组的其他组员对此无动于衷。这种情况适合采用小组讨论、听讲、回答问题、学生讲授等相互穿插的授课方法。 分组研讨是合作探究成功的关键。这里的研讨时间大致可分为两个阶段，首先小组研讨前必须有一个较为充足的独立思考时间，即在自己原有的知识水平和能力基础之上感知新知，进行思考。第二阶段进行合作研讨，小组成员交流各自思考成果、互相启发、互相帮助、共同解决问题，达成初步的小组共识，并整理准备汇报。 我的尝试是：给予学生足够的空间与时间进行思考。在数学课堂教学中，我积极为学生创设展示思维的条件和机会，有充分的空间让学生展示思维，激励学生主动探究问题。同时也给予学生充足的时间进行创造思维活动。例如：在RT△ABC与RT△ADC中，∠B=∠DAC=90°问：增加什么条件能使△ABC与△DAC相似？这一题目为学生的创造思维提供了较大的空间。在学生的讨论、比赛、归纳中出现了多种增添方案，激起了学生思维的高峰和创造的兴趣，提高了课堂效益。
典型例题： 已知:AC 是正方形ABCD 的对角线，∠EMF 的顶点在线段AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，角的两边与CD 、BC 交于点F 、E.(点F 不与C 、D 重合）. (1)当∠EMF=90°时，试探究ME 与MF 的数量关系并说明理由.探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由. 变式1： (2)当点M 在直线AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，当角的两边交CD 、CB 的延长线于点F 、E,其余条件不变，结论是否成立？ 探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由.. A A A 变式3： (4)当点M 在直线AC 上，当∠FME=∠ABC,其他条件不变，结论是否成立？并说明理由. 旋转法构造全等 学习目标： 题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形. 活动一： 变式2： (3)将正方形ABCD 改为∠ABC=120°的菱形，当∠FME=120°结论是否成立？并说明理由.
分层练习： （A 层） 1. 把含15°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），则sin ∠ADE=_______。 （第1题） （第2题） （第3题） 2. 点p 是等边△ABC 内一点，若PA=13，PB=5，PC=12，∠BPA=_________. 3. 如图所示，把正方形ABCD 绕点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与 BC 交于点 H.(1)线段HG 与线段HB 相等吗？证明你的猜想.(2)若旋转角为30，HG 的长. （B 层） 1.如图，若把△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE ，那么对应边AB=___,BC=___,对应角∠CAB=____,∠B=____. （第1题） （第2题） （第3题） 2.已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，将△DCE 绕点D 按顺时针方向旋转，与△DAF 重合，那么旋转角等于____度. 3. 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△ A ’ B ’ C ’的位置，点B ’恰好落在边BC 的中点处，则旋转角_____度.
初中数学不等式知识点 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
不等式 性质 ①如果x>y，那么y 不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号） 不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（×÷负数要变号） 解集 确定： ①比两个值都大，就比大的还大(同大取大）； ②比两个值都小，就比小的还小(同小取小）； ③比大的大，比小的小，无解（大大小小取不了）； ④比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小取中间）。 三个或三个以上成的不等式组，可以类推。 数轴法 把每个不等式的解集在上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。注意实点与空点的区别。 在确定一元二次不等式时，a>0，Δ=b2-4ac>0时，不等式解集可用"大于取两边，小于取中间"求出。 证明方法 比较法 1.作差比较法：根据a-b>0a>b，欲证a>b，只需证a-b>0； 初中几何反证法专题 学习要求 了解反证法的意义，懂得什么是反证法。 理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。 知识讲解 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 1．反证法的概念： 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 2．反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 3．反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正 确 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 例题： 例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。证明： 假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 （1） ∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得： OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。 故AB与CD不能互相平分。 例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的 中点，且MN＝（AD＋BC）。 求证：AD∥BC 待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。 使用待定系数法解题的一般步骤是:(1)确定所求问题含待定系数的解析式; (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程;. (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 例如:“已知x2-5=(2-A)·x2+Bx+C，求A，B，C的值.”解答此题，并不困难.只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值.这里的A，B，C是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法. 步骤: 一、确定所求问题含待定系数的解析式。上面例题中，解析式就是: (2-A)× x&2;+Bx+C 二、根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。在这一题中，恒等条件是:2-A=1 B=0 C=-5 三、解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。∴A=1 B=0 C=-5 浅谈构建初中数学高效课堂的方法 发表时间：2016-01-22T14:26:02.223Z 来源：《少年智力开发报》2014-2015学年第35期供稿作者：方国政 [导读] 九江市新港中学在当今这个充满挑战的时代，工业化要求不断改进产品的数量和质量。 九江市新港中学方国政 在具体教学中，提高数学课堂教学有效性的办法既没有现成的答案，也没有固定的模式。总的来说，首先要找准问题的症结所在，这样才能做到有的放矢，这是实现高效课堂的前提。 一、应让学生充分认识数学的应用价值 在当今这个充满挑战的时代，工业化要求不断改进产品的数量和质量，工作岗位也将较少体力劳动而更多脑力劳动，较少机械化更多电子化，较少例行公事更多随机应变，较少的稳定性和更多的易变性，这些都要求每个人为了生存而更多地思考，而且需要数学地思考。数学是思维的体操，学习数学可以培养、锻炼自己的逻辑思维能力，我们国家大学的基本常识课是马克思列宁主义的辩证唯物主义和历史唯物主义，而美国大学的基本常识课是微积分，据说美国总统尼克松在与中国建交谈判取得成功就得益于微积分的数学思想。按新课标的精神，不仅要让学生学会必要的知识，更重要的是让学生掌握一定的技能、为学生将来谋生打下一定的基础。这足以说明，数学并非真像有些学生说的那样无用。教师要想方设法提高数学的魅力和趣味，加强学好数学结果的诱惑力。要帮助学生充分认识数学的重要性并讲深讲透，只有让学生充分认识到掌握数学知识的重要性和必要性，学生平时才会刻苦学习并保持持久的动力。 二、应激发学生学习数学的兴趣 兴趣是最好的老师。在数学课堂教学中，数学因其本身的特殊性，让不少学生觉得它抽象难懂。要使学生产生学习动力，光讲大道理是远远不够的，关键是要想方设法使学生对数学学习产生兴趣。心理学告诉我们：学习兴趣是直接推动学生学习活动的心理因素，它是激发学生求知欲、探索欲的必要前提和主动学习的前导动力。大多数学生的数学成绩不好，乃是由于对数学缺乏兴趣所致。教师在教学中可根据教学内容，通过运用一些生动形象、直观有趣的教学手段，为学生创造运用数学的环境；引导学生动手参与，鼓励学生积极探讨。让课堂学习的每一个环节都能感受到学习步步为营的踏实，体会渐入佳境的喜悦，树立学习的信心。备课各环节，如情境创设应与学生已有的知识、经验相适应，造成学生的认知冲突，激发学生的参与欲望，使学生迅速沉浸于自主探究、欲罢不能的境地；达标检测注重基础练习，让每个学生都能通过训练感受到学习渐入佳境的喜悦，题目设计应注意难度梯度，让每个学生都能通过训练真正领悟到快乐的学习境界，树立起学习的信心。 三、应让学生经历一个“学习——思考——实践”循环反复的过程 同学们在课本上学到的知识都是前人总结出来的间接经验，我们必须把间接经验变成属于自己的直接经验才有用，而直接经验是无法取代的，如何把间接经验转化为直接经验，就要经历一个“学习——思考——实践”循环反复的过程，思考的过程是将他人的知识吸收内化的过程，是“反刍”的过程。对学生来说，最有效的学习方法就是做题，通过做题来检测知识与能力的掌握程度和理解程度，做题后，将已会的知识和能力储存起来，不会的或还没有完全掌握的知识再通过教材重新学习和思考。那么，思考后就要实践，为什么有的同学“一看就会，一做就错”呢？其主要原因是懒得做题，缺乏实践这一环节。学习是“知不知”的问题，实践是“做不做”的问题。 四、应构建新型师生关系 作为师生间双向信息交流的教学活动，这种交流是以信任为基础，以情感为载体的。师生间关系融洽，就会让学生感觉到课堂气氛轻松，不但教师乐意“教”，学生也乐意“学”，从而使课堂教学的有效性大大提高。教师要放下架子，既做关心学生的朋友，又做学生心灵、智慧的双重引路人。为此，教师应花更多的时间和学生进行情感交流，走进他们的学习和生活，让学生既“敬”你、又“怕”你，“敬”能达到爱屋及乌，“怕”能达到按要求完成你布置的学习任务。 五、应因势利导，抓住青少年特点 中学生精力充沛、接受新事物快、好奇心强，有强烈的“趋新”心理，有些学生对图形观察不到位，语言概括不全面。因此，教学中教师要予以适当的点拨，同时初中学生好动，注意力易分散，好奇心重，表现欲强，在教学中要抓住学生这一生理特点创造条件和机会，让学生发表见解，发挥其学习的主动性。同时，教学中尽可能让学生自主探究。充分利用一些好时机，恰当运用青少年对时尚追求、“追新”等特点，大力宣传和弘扬勇敢拼搏精神、为国争光精神，帮助他们摈弃狭隘自闭的思想。通过抓住这些青少年的特点，因势利导，学生对数学知识更乐于学习，也更容易接受和掌握。 数学高效课堂教学模式 前面提到，提高数学课堂教学有效性的办法既没有现成的答案，也没有固定的模式。但有些地方推行的“问题式导学法”、“3510循环大课堂” 等值得同行学习和借鉴。 “问题式导学法”的基本流程是：“展标设疑——自主学习——探究拓展——教师指导——训练提升——达标应用”，问题引领，学生自学，生生互动，师生互动，避免了学生自主学习漫无目的，使学生的自主学习有针对性，学生可以凭着自己的能力解决大部分问题，解决不了的再由小组合作解决，创设思维的火花得到碰撞的情境、机会，既培养了学生的主动思维能力，又培养了学生的合作意识。绝大部分时间留给了学生，让学生解决问题，让学生进行训练，使每个学生每堂课都有收获，在不同层次上有所提高，大大增强了课堂教学的效果。 “3510循环大课堂”，即一课分两段，35分钟展示+10分钟预习，谓之“3510”，三步为一课；课前、课中、课后，谓之三步；形成了课上——课下——课上的循环结构，谓之循环。其前35分钟必须通过展示、交流、纠错落实本节课的学习目标，35分钟必须将上一节的导学案收回，后10分钟发新的导学案，最后1分钟必须分配任务。整个学案共分8个环节：学习目标、重点难点、知识链接、学法指导、问题逻辑、学习反思、作业布置、归纳小结。课中六个环节：重申目标、学情调查、问题注意、精讲点拨、当堂检测、小结作业。课堂教学模式基本流程为：创设情境——自主探究——合作交流——建构知识——拓展运用——反思归纳。 以上两种模式的几个环节并非一种机械、僵化的模式，根据几个环节的特点可以灵活调节、变换运用。自主探究、合作交流、反思归纳是贯穿整个教学过程的有机传动整体。笔者所在学校都在尝试，实践证明效果较好。 总之，数学教学改革是逐步累积的，提高初中数学课堂教学的有效性工作也不能一蹴而就，但只要每个数学教师积极投身于课堂教学 4.6 反证法 ◆基础练习 1．“a 8．如图，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠E=360°． 9．请举一个在日常生活中应用反证法的实际例子． ◆综合提高 10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，?应先假设这个三角形中（ ） A ．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 11．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应假设______________． 12．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补． 132是一个无理数．（说明：任何一个有理数均可表示成 b a 的形式，且a ，b 互质） 14、试写出下列命题的反面： （1）a 大于2 _____________;（2）a⊥b _______________. 15、用反证法证明“若22a b ≠，则a b ≠”的第一步是______________. 16、填空：在△ABC 中，若∠C 是直角，那么∠B 一定是锐角. 证明：假设结论不成立的，则∠B 是__________或_________. ①当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾； ②当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾. 如何构建初中数学高效课堂 课堂教学是学校教育的主阵地，教育思想的渗透引导，教学过程的科学展开，教育目标的实现，大多是在课堂教学这一特定的时空中完成的。在课堂教学规定的时间中，学生知识掌握的多少，分析解决问题能力是否形成，就直接反映了课堂教学的效率。高效课堂是针对课堂教学的有效性、低效性而言的。因此，提高课堂效率，构建高效课堂，是一个深刻的问题。那么，如何构建初中数学高效课堂呢？ 一、建立新型的师生关系，营造宽松的课堂交流氛围 平等、和谐的师生关系是组织高效课堂交流的前提。虽然是在新课程背景下，教师还是在有意无意中带有权威性和指令性，许多学生因害怕出错而使课堂交流指向单一，仅仅局限于几个优等生。这样使学生心理受到压抑，个性发展和创造空间受到限制。课堂交流强调教师和学生都是平等的对话主体和课堂参与合作的伙伴，它视交流为数学课堂师生生存的方式和获得生命的手段。课堂交流不只是语言和外在行为上的你来我往，而是发生在交流双方自主的探索中或自发的讨论中，发生在交流双方相互精神上的真正回应与相互“撞击”中，发生在交流双方认识视野的真正融合之中。因 此为了能够实现这样的“课堂交流”，我们必须及时地进行观念转变，重新定位师生关系：学生是发现问题、学习知识、接受信息的知识探求者，而我们只是他们学习知识的引导者，是他们智慧的启迪者。因而我们要关注每一位学生，引导他们，努力消除师生之间的障碍和逆反心理。承认并尊重学生的个性差异，承认并尊重个体在群体学习中的地位和作用，在这种氛围中一方面学生均有足够的时间与机会来表达自我，另一方面可产生一种无形的力量促使学生愿意大胆、真实地表达自己的思想和情感。这就是课堂交流所需要的自由的氛围，适宜的课堂人文环境。 二、从生活中走进数学，最大化每节数学课的思维空间 “让生活走进数学，让数学走进社会。”知识源于生活，要让我们的学生在数学课堂的学习中兴趣盎然，主动投入，就要求我们更有效地利用生活知识组织好数学的课堂教学。 最大化学生的思维空间，最关键的是激起学生思维的欲望。所以我们要精心准备，上好每一节数学课。设置一些促使学生去思考、去探究的问题，吸引学生主动地学习，让学生在问题中产生求知欲，最后告诉学生这些问题都将在我们的数学课中得到解答，把学生真正带入学习数学的热情中。例如，现有两根木条 a和b，a长10cm，b长3cm，如 【人教版初中数学知识结构图】 1、有理数（正数与负数） 2、数轴 6、有理数的概念3、相反数 4、绝对值 5、有理数从大到小的比较 7、有理数的加法、加法运算律 17、有理数8、有理数的减法 9、有理数的加减混合运算 10、有理数的乘法、乘法运算律 16、有理数的运算11、有理数的除法、倒数 12、有理数的乘方 13、有理数的混合运算 21、代数式14、科学记数法、近似数与有效数字 22、列代数式15、用计算器进行简单的数的运算 23、代数式的值18、单项式 27、整式的加减20、整式的概念19、多项式 24、合并同类项 25、去括号与添括号 26、整式的加减法 28、等式及其基本性质 29、方程和方程的解、解方程 198 32、一元一次方程30、一元一次方程及其解法 初31、一元一次方程的应用33、代入（消元）法 中35、二元一次方程组的解法34、加减（消元）法 数193 36、相关概念及性质 学数39、二元一次方程组37、三元一次方程组及其解法举例 与38、一元方程组的应用40、一元一次不等式及其解法 代45、一元一次不等式43、一元一次不等式41、不等式的解集 数和一元一次不等式组44、一元一次不等式组42、不等式和它的基本性质 46、同底数幂的乘法、单项式的乘法 47、幂的乘方、积的乘方 51、整式的乘法48、单项式与多项式相乘 49、多项式的乘法 56、整式的乘除50、平方差与完全平方公式 52、多项式除以单项式 55、整式的除法53、单项式除以单项式 54、同底数幂的除法 57、提取公因式法 61、方法58、运用公式法 63、因式分解59、分组分解法 62、意义60、其他分解法66、含字母系数的一元 65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算一次方程 72、分式69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用67、分式方程解法、 70、分式的意义和性质增根 71、分式的加减法68、分式方程的应用 75、数的开方73、平方根与立方根 74、实数 86、二次根式的意义76、最简二次根式 79、二次根式的乘除法77、二次根式的除法初中几何反证法专题(编辑)
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