中国科学技术大学2022年创新班招生考试复试
数学
注意事项：
1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷满分100分，需要写出必要的计算和证明过程。
一、求最小值的正整数n 使得存在一个实部和虚部都是正数的z 使得n n z z -=。
二、（1）已知12,T T 为()f x 周期，,a b 为正整数，证明12aT bT +为()f x 周期。
（2）()f x 为一个函数满足：x 为有理数()=1f x ，x 为无理数()=0f x ，证明任意正有理数都是()f x 周期。
（3）已知任意正有理数都是()f x 周期，且()()f x f y x y -≤-恒成立，证明：f 是常值函数。
三、记2(),()(())g x x k h x g g x =-=，k 为整数。
（1）写出()h x 的表达式。
（2）求集合{}()A x R h x x =∈=
（3）已知函数f A A →：满足(())()f f x g x =，证明：f 即是单射也是满射。
（4）是否存在函数()s x 使得2(())2s s x x =-？证明你的结论。
四、记1=2ω-为三次单位根。记集合{},X x y x y Z ω=+∈。
（1）()f x 是实系数多项式，证明：存在实数,a b 使得()=f a b ωω+；
（2）上一个小题中,a b 是不是唯一的？为什么？
（3）对,x y 整数，记22()=N x y x xy y ω+-+。
① 求所有X α∈，使得()1N α=；
② 证明：()0()N X αα≥∀∈。冰球所有X α∈，使得()0N α=。
③ 对任意的,X αβ∈，证明：存在,X γδ∈使得=+αγβδ，且()()N N βδ>
（4）对任意的,X αβ∈，证明：存在X δ∈使得下面两列两个条件成立： ① 存在,u v X ∈，使得=u v δαβ+；
② 存在12,X γγ∈，使得12=,αγδβγδ=
中国科学技术大学2022年创新班招生考试复试
数学试题参考答案
中国科学技术大学2022年创新班招生考试复试 数学 注意事项： 1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4. 本试卷满分100分，需要写出必要的计算和证明过程。 一、求最小值的正整数n 使得存在一个实部和虚部都是正数的z 使得n n z z -=。 二、（1）已知12,T T 为()f x 周期，,a b 为正整数，证明12aT bT +为()f x 周期。 （2）()f x 为一个函数满足：x 为有理数()=1f x ，x 为无理数()=0f x ，证明任意正有理数都是()f x 周期。 （3）已知任意正有理数都是()f x 周期，且()()f x f y x y -≤-恒成立，证明：f 是常值函数。 三、记2(),()(())g x x k h x g g x =-=，k 为整数。 （1）写出()h x 的表达式。 （2）求集合{}()A x R h x x =∈= （3）已知函数f A A →：满足(())()f f x g x =，证明：f 即是单射也是满射。 （4）是否存在函数()s x 使得2(())2s s x x =-？证明你的结论。 四、记1=2ω-为三次单位根。记集合{},X x y x y Z ω=+∈。
（1）()f x 是实系数多项式，证明：存在实数,a b 使得()=f a b ωω+； （2）上一个小题中,a b 是不是唯一的？为什么？ （3）对,x y 整数，记22()=N x y x xy y ω+-+。 ① 求所有X α∈，使得()1N α=； ② 证明：()0()N X αα≥∀∈。冰球所有X α∈，使得()0N α=。 ③ 对任意的,X αβ∈，证明：存在,X γδ∈使得=+αγβδ，且()()N N βδ> （4）对任意的,X αβ∈，证明：存在X δ∈使得下面两列两个条件成立： ① 存在,u v X ∈，使得=u v δαβ+； ② 存在12,X γγ∈，使得12=,αγδβγδ=
2023中科大创新班报名初审备考录取最全流程攻略 ——加速度优能教育解读 每年的9月中旬是有志于报考《中国科学技术大学创新试点班》（以下简称科创班或创班）的广大考生及家长最翘首以待的日子了，因为按照惯例，中科大会在9月中旬公布少年班和创新班的招生简章（2022年和2021年均为9月18日）。那么我们除了焦急等待，还有哪些事情需要提前准备呢？ 由于很多考生可能是刚刚接触中科大创新班，加之有不少家长反映说网上搜的东西比较杂乱，实在不知道该怎么准备。在强基计划大变样、新高考改革持续推进的大趋势下，如何把握中科大创新班这样一个提前进入“C9”名校的机会就显得格外重要了。为了帮助大家成功迈进科大，我们今天就来把申请报名备考录取整个流程一次性说清楚吧。 展开之前，我们先来说下报考科创班有什么好处！ A.提前一年上科大可以避开高三竞争，给自己多一次机会。 B.少上一年高三，就少当一年刷题机器，早日进科大学习，试想下，当别人还在为拼搏的时候，您就已经被中科大录取了的感觉，是不是好嗨呦！这不就是传说中隔壁家的孩子吗？ C.万一考不上，也没有浪费时间，科创培训学习的数学物理，不光锻炼了思维，高考也用得上，只会比没有经过训练的同学有更大的优势冲击高考高分。 D.科创班相比强基计划，不能调剂专业，要好很多，考上科创，两年之内可以任选科大所有的专业，太科学了，在这必须点个赞哈。而且科创踏实准备了，就算没走，等到高三考强基校测也基本够应付了。 那么，这么好的事情我们是不是应该重视一下呢？好，让我们一起来看看：
一、科创班的报考需要什么条件吗？ 中科大创新班招生从2010年至今已经走过十余年，观察其每年的招生简章可以发现，简章中均对学生的年龄和年级提出了明确要求，也就是我们说的门槛，有两个硬性条件： A.现高一或高二学生（特别优秀的初三学生也可以报名）。 B.高考当年，年龄在17岁及以下、数学物理成绩突出，可报考创班；16周岁及以下、综合成绩优秀，可报少年班，也可少班、创班兼报。报考2023年创新班的考生年龄应该在2006年1月1日后出生，以此类推。 二、重要时间节点不能错过 以2021年为例，系统报名的截止时间是10月8日，邮寄材料需要在12号晚上前收到。20号初审结果公布后，需要在24号晚上前完成缴费。国庆放假前一定记得在系统点击提交！ 其次，成绩单要尽早找学校出具并盖章，如果国庆节前没有完成，很有可能要到节后才能拿到，这样的话，邮寄时间就非常紧张，如果快递又不靠谱，或是赶上疫情影响，那就……所以一定要尽早完成所有资料，尽可能在节前寄出。不用担心收件问题，即使在放假期间，中科大都有老师值班，负责收件。如果不得不在节后寄出，那么，强烈建议使用顺丰，而且要选最快的那种。 最后，要及时查看初审结果。如顺利通过，一定要及时缴费。千万不要因为疏忽了缴费而错失了这个宝贵机会！ 三、校荐和自荐有什么区别 关注中科大创新班的家长都知道，报考创新班有两种方式，校荐和自荐。校荐名额相对较少，往往由高中学校直接分配。 校荐在初审通过上比自荐略有优势，不过这几年很多学校推荐的并不是学校成绩最好的
2023年高考数学试卷全国一卷22题解法探究 年教育部教育考试院命制4套高考数学试卷，分别是全国甲卷(文、理科)、全国乙卷(文、理科)、新课标ⅰ卷、新课标ⅱ卷。高考数学全 国卷贯彻落实党的_精神，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展;反映新时代基础教育课程理念， 落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理 性思维，发挥数学学科在人才选拔中的重要作用。 一、发挥基础学科作用助力创新人才选拔 高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。 一是重点考查逻辑推理素养。如新课标ⅰ卷第7题，以等差数列为材料考查充要条件的推证，要求考生判别充分性和必要性，然后分别 进行证明，解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证。又如新课标ⅱ卷第11题，其本质是根据一元二次方程根的性质判定方程系数之间的关系，题中函数经过求导后既有极大值又有极小值 的性质，可以转化为一元二次方程的两个正根。再如全国乙卷理科第 21题，要求考生根据参数的性质进行分类推理讨论，考查考生思维的条理性、严谨性。
二是深入考查直观想象素养。如全国甲卷理科第15题，要求通过想象与简单计算，确定球面与正方体棱的公共点的个数。又如全国乙卷理科第19题，以几何体为依托，考查空间线面关系。再如新课标ⅱ卷第9题，以多选题的形式考查圆锥的内容，4个选项设问逐次递进，前面选项为后面选项提供条件，各选项分别考查圆锥的不同性质，互相联系，重点突出。 三是扎实考查数学运算素养。试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。如新课标ⅰ卷第17题，以正弦定理、同角三角函数基本关系式、解三角形等数学内容，考查数学运算素养。又如新课标ⅱ卷第10题，设置直线与抛物线相交的情境，通过直线方程与抛物线方程的联立考查计算能力。 二、创设自然真实情境助力应用能力考查 高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，在剪裁素材方面，注意控制文字数量和阅读理解难度;在抽象数学问题方面，设置合理的思维强度和抽象程度;在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次与考生认知水平的契合与贴切。 一是创设现实生活情境。数学试题情境取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，具有现实意义，具备研究价值。如全国甲卷理科第6题，取材于滑冰和滑雪两项典型的冰雪运动，具有时代气息，贴近考生，贴近生活，意在引导学生积极参加体育活动，健体强身，全面发展。又如全国甲卷理科第9题，以志愿者报名参加公益活动的情境
中科大创新班真题答案解析 2022年是众所周知的"创新之年"，而中国科学技术大学（以下简称中科大）作为国内一流的高等学府，也为追求卓越的学子们提供了 独特的平台--中科大创新班。作为这所知名学府的招牌项目，中科大 创新班的录取考试备受关注。在本文中，将为大家深入解析中科大创 新班真题答案，并探讨解题思路。 首先，我们从数学部分入手。中科大创新班的数学试题常常以难 度大、题目变形多为特点。例如，一道经典题目：“设函数f(x)在区 间[0,1]内连续，且有最小正周期T>0，且满足f(x+T)=\sqrt{3}f(x)。若f(\frac{1}{3})=2，则f(\frac{5}{6})的值为多少？”对于这道题，我们可以利用最小周期的概念，设T为函数f(x)的最小正周期，则 T=1，因此，f(\frac{5}{6})=f(\frac{5}{6}-1)=f(\frac{- 1}{6})=\sqrt{3}f(\frac{-1}{6}-1)=\sqrt{3}f(\frac{5}{6})，整理 后得到f(\frac{5}{6})=0。通过这个例子的分析，我们可以看到解题 的关键在于对函数性质和列方程的灵活运用，需要考生在考试过程中 有充分的思维准备和解题技巧的储备。 接下来，让我们转向化学部分。中科大创新班化学试题常常注重 考察学生的应用能力和综合分析能力。例如，一道常见的化学题目：“目前，许多工业生产及商业化的废水处理方法都采用生物技术，如 生物滤池等。请你指出以微生物作为污水处理的生物反应器较之于化 学反应器有哪些优势以及微生物的主要作用。”对于这道题，我们可 以从两个方面进行解答。首先，从优势方面讲，微生物作为污水处理 的生物反应器具有较高的效率、能耗低、投资成本低、处理后的废水 质量好等优点。其次，从微生物的主要作用角度解答，微生物通过分解、氧化等代谢过程，将废水中的有机物、氨氮等进行降解、转化， 使废水中的污染物得以去除。通过这个例子的分析，我们可以看到化
2022年中国科学技术大学创新班自主招生物理试卷 一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分） •1．一足够大的斜面倾角为θ，在其上部有一物块，物块于斜面之间的摩擦系数为μ=tanθ，在斜面内沿水平方向给物块一初速度V。试确定在经过足够长时间之后物块的速度，并对结果的合理性进行分析。
电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，底面与晶圆所在的水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打到晶圆上的离子经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有 sinα≈tanα≈α，cosα≈1-。求： （1）离子通过速度选择器后的速度大小和磁分析器出来离子的荷质比； （2）偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标（x，y）表示； （3）偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标（x，y）表示； （4）偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标（x，y）表示，并说明理由。 •4．（1）光在静止水中的传播速度为，n为水的折射率。今水以速度V沿X方向流动，则在岸上看到顺着水传播的光的速度是多少？ （2）黄山美景、冠盖中华。号称四绝，云海其一。小可同学考上中国科大后，一次有机会在天都峰顶上观察到云海的生成。开始时山下林海中一缕一缕白色的水汽袅袅升起，犹如炊烟。汽柱渐多，相互聚合成片，逐步形成一片江洋大海。海面隐隐上升，周围小山峰慢慢化为小孤岛而沉没。原来山下小屋里耀眼的灯光变得黯淡了。除了灯光的亮度变化外，请问小可观察到的灯光的频率有没有发生变化？设云海上升的速度为V，灯光的频率为v，云海对光的折射率为n s。
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答 王慧兴;王雪芹 【期刊名称】《高中数理化》 【年(卷),期】2017(000)007 【总页数】3页(P20-22) 【作者】王慧兴;王雪芹 【作者单位】清华大学附属中学;北京师范大学第二附属中学 【正文语种】中文 从中科大这份自主招生试题看,我们得出以下4点结论: 1) 著名高校自主招生要求考生数学视野开阔,不局限于高考(考试大纲、考试说明),但不超过现行课标设定的知识与能力要求(只是当下常态教学搞全面应试教育,不以课标要求开展教学,譬如按课标编写的《初等数论》、《图论》等等,由于高考不考就不学); 2) 著名高校自主招生命题刻意追求与高考互补,也就是说高考刚刚考过的常态题型不再考查,坚持在课标范围内与高考形成互补; 3) 著名高校自主招生命题更突出对考生能力的考查,继续坚持(不回避)对过往竞赛试题推陈出新,譬如第1、2、3、6、7题在早些年全国高中数学联赛等试题中都有原型,第4题是三角形中的常态问题,另外第5题源于2007年全国高中数学联赛试题2,第8题源于2005年全国高中数学联赛试题加试3,第9题源于国外数学竞赛试题,第10题源于2010年国际数学奥林匹克(IMO)试题3,第11题源于2005年中国数学奥林匹克(CMO)试题6; 4) 对有志赢得更多机会的优秀学子,应把功夫放在平常,及早按课标要求,在常态学习中同时积淀与高考互补的内容,在高考之后登上才智展示的舞台. 以上都是笔者研究高校自主招生试题得
出的经验,这些经验已写入笔者著作《自主招生数学备考十二讲》中．下面与读者分享这份精彩思维体操. 例1 32 016除以100的余数是________. 因为所以340≡1(mod100),从而32016≡316(mod100).再用二进制计算如下：3≡3(mod100),32≡9(mod100), 34≡-19(mod100),38≡61(mod100), 316≡612=3 721≡21(mod100), 综上所述,32 016≡21(mod100). 应用欧拉定理可以给出满足3a≡1 (mod 100)的一个正整数a，也可以经枚举发现周期性找出一个这样的正整数.譬如：3a≡1 (mod 100)等价于因为{3n} (mod 22):3,1,3,1,…,所以a是偶数.记a=2b (b∈N*),代入3a≡1 (mod 52),得9b≡1 (mod 52)，必有9b≡1 (mod 5)，但{9n} (mod 5):4,1,4,1,…,所以b=2c (c∈N*),代回9b≡1 (mod 52)，得81c≡1 (mod 52)，但{81n} (mod 25):6,11,16,21,1,…,所以c是5的倍数，记c=5k (k∈N*),从而a=20k,这样得到一个更小的a=20.当然，本题也可应用二项式定理求解 例2 复数z1、z2满足|z1|=2,|z2|=3,|z1+z2|=4,则________. 由|z1+z2|=4,得即亦即 因为Δ=9-9×16=-9×15,所以,方程有2个共轭虚根i. 本题灵活应用共轭与模的性质给出解答,也可走代数形式求解途径.由得所以即).由可得故亦即所以i. 例3 用S(A)表示集合A的元素和,A⊂{1,2,3,4,5,6,7,8}且S(A)是3的倍数,但不是5的倍数,则集合A的个数是________. 先把集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中的8个元素按照同余作划分. 按模3同余划分:{1,4,7}∪{2,5,8}∪{3,6}.
2016年中国科学技术大学自主招生 数学试题解析 2016.6 一、填空题（每题6分，共48分） 1．20163除以100的余数为 . 2．复数12,z z 知足12||2,||3z z ==，12||4z z +=，那么12 z z 的值是 .
3．用()S A 表示集合A 的所有元素之和，且{12345678}A ⊆， ，，，，，，， ()S A 能被3整除，但不能被5整除，那么符合条件的非空集合A 的个数是 . 4．已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=，那么tan A 的最大值是 . 5．若对任意实数x 都有2|2||32|x a x a a -+-≥，那么a 的取值范围是 .
6．若(,)42ππα∈，(0,1)b ∈，log sin log cos (sin ),(cos )b b x y αααα==，那么x y (填,,>=<) 7． 梯形ABCD 中，//AB CD ,对角线,AC BD 交于1P ,过1P 作AB 的平行线交BC 于点1Q ， 1AQ 交BD 于2P ,过2P 作AB 的平行线交BC 于点2Q ，…，假设,AB a CD b ==，那么n n P Q = . （用,,a b n 表示）
8 ． 数列{}n a 中，n a 最接近的整数，那么2016 11n n a ==∑ . 二、解答题（第9小题总分值16分，第10、11小题总分值18分） 9．已知,,0a b c >，3a b c ++=2 2 2 3 2 ≥ 10．求所有函数:f N N **→，使得对任意正整数x y ≠，0|()()|2||f x f y x y <-<-.
2022年版数学新课标考试题（含答案） 一、填空题。 1.数学是研究（数量关系）和（空间形式）的科学。 2.（数学素养）是现代社会每一个公民应当具备的基本素养。数学教育承载着落实（立德树人）根本任务，实施素质教育的功能。 3.义务教育数学课程具有（基础性）、（普及性）和（发展性）。 4.学生通过数学课程的学习，掌握适应现代生活及进一步学习必备的（基础知识）、（基本技能）、（基本思想）和（基本活动经验）激发学习数学的兴趣，养成独立思考的习惯和合作交流的意愿；发展实践能力和创新精神，形成和发展核心素养。 5. 数学源于对（现实世界）的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系；基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。 6. 义务教育数学课程致力于实现义务教育阶段的培养目标，使得（人人都能获得良好的数学教育），（不同的人在数学上得到不同的发展），逐步形成适应终身发展需要的核心素养。 7.义务教育数学课程五大核心理念包括（确立核心素养导向的课程目标）、（设计体现结构化特征的课程内容）、（实施促进学生发展的教学活动）、（探索激励学习和改进教学的评价）、（促进信息技术与数学课程融合）。
8. 课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学“四基”即（基础知识）、（基本技能）、（基本思想）和（基本活动经验）发展，发展运用数学知识与方法“四能”即（发现问题的能力）、（提出问题的能力）、（分析问题的能力）和（解决问题的能力），形成正确的（情感、态度和价值观）。 9. 改变单一讲授式教学方式，注重（启发式）、（探究式）、（参与式）、（互动式）等，探索（大单元）教学，积极开展（跨学科的主题式学习）和（项目式学习）等综合性教学活动。 10.课程内容组织的重点应是对内容进行（结构化整合），探索发展学生（核心素养）的路径。 11. 小学数学课程内容的组织应重视数学结果的形成过程，处理好（过程）与（结果）的关系；重视数学内容的直观表述，处理好（直观）与（抽象）的关系；重视学生直接经验的形成，处理好（直接经验）与（间接经验）的关系。 12. 小学数学课程内容呈现应注重数学知识与方法的层次性和多样性，适当考虑（跨学科主题学习）；根据学生的年龄特征和认知规律，适当采取（螺旋式）的方式。 13. 有效的教学活动是（学生学）和（教师教）的统一，（学生）是学习的主体，教师是学习的（组织者）、（引导者）与（合作者）。 14. 学生的学习应是一个主动的过程，（认真听讲）、独立思考、（动手实践）、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式。 15. 教学活动应注重（启发式），激发学生学习兴趣，引发学生
2022年中国科学技术大学计算机科学与技术专业《数据结构与算法》 科目期末试卷A（有答案） 一、选择题 1、下列说法不正确的是（）。 A.图的遍历是从给定的源点出发每个顶点仅被访问一次 B.遍历的基本方法有两种：深度遍历和广度遍历 C.图的深度遍历不适用于有向图 D.图的深度遍历是一个递归过程 2、设有一个10阶的对称矩阵A，采用压缩存储方式，以行序为主存储， a11为第一元素，其存储地址为1，每个元素占一个地址空间，则a85的地址为（）。 A.13 B.33 C.18 D.40 3、以下与数据的存储结构无关的术语是（）。 A.循环队列 B.链表 C.哈希表 D.栈 4、下面关于串的叙述中，不正确的是（）。 A.串是字符的有限序列 B.空串是由空格构成的串 C.模式匹配是串的一种重要运算 D.串既可以采用顺序存储，也可以采用链式存储 5、已知串S='aaab'，其next数组值为（）。 A.0123 B.1123 C.1231 D.1211 6、下列关于无向连通图特性的叙述中，正确的是（）。 Ⅰ．所有的顶点的度之和为偶数Ⅱ．边数大于顶点个数减1 Ⅲ．至少有一个顶点的度为1 A．只有Ⅰ B．只有Ⅱ C．Ⅰ和Ⅱ D．Ⅰ和Ⅲ 7、已知关键字序列5，8，12，19，28，20，15，22是小根堆（最小堆），插入关键字3，调整后的小根堆是（）。
A．3，5，12，8，28，20，15，22，19 B．3，5，12，19，20，15，22，8，28 C．3，8，12，5，20，15，22，28，19 D．3，12，5，8，28，20，15，22，19 8、一个具有1025个结点的二叉树的高h为（）。 A.11 B.10 C.11至1025之间 D.10至1024之间 9、每个结点的度或者为0或者为2的二叉树称为正则二叉树。n个结点的正则二叉树中有（）个叶子。 A.log2n B.（n－1）/2 C.log2n+1 D.（n＋1）/2 10、下面关于B和B+树的叙述中，不正确的是（） A.B树和B+树都是平衡的多叉树 B.B树和B+树都可用于文件的索引结构 C.B树和B+树都能有效地支持顺序检索 D.B树和B+树都能有效地支持随机检索 二、填空题 11、以下程序的功能是实现带附加头结点的单链表数据结点逆序连接，请填空完善之。 12、下面程序的功能是用递归算法将一个整数按逆序存放到一个字符数组中。如123存放成321。请填空：
2023年中国科学技术大学创新班初试数学试题 1. 复数满足202310z z --=，求证：1z ≤当且仅当1()2 z ℜ≤-． 2.设(15)i i α≤≤为 3 中的五个非零向量．求证：存在非零向量3 β∈ ，使得存在 123415j j j j ≤<<<≤，满足β与k j α的夹角均不超过 (1,2,3,4)2 k π =． 3.甲、乙两盒中各放2只兔子，一雌一雄．称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记n 次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为n p ．求n p 及lim n n p →∞ ． 4.(1)0x >，证明3 sin 6 x x x x -<<． (2)10a <<1sin 1 n n n a a a n +=-+．证明：对任意正整数n ，都有12133n a na a <-． 5.将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作12,, .a a ．比如 1232,3,5, .a a a ===求证：对任意正整数n ，都有1 2 n a n -<．
2023年中国科学技术大学创新班初试数学试题答案 1.复数满足202310z z --=，求证：1z ≤当且仅当1()2 z ℜ≤- 证明： 由题意知：20231z z =+，两边取模得：2023 1z z =+．于是 4046 2 2 1(1)(1)2()1z z z z z z =+=++=+ℜ+ 即2 2022 2022 2()1(1)(1)z z z z ℜ+=+-． 于是 2 2022 2022 1()2 2()10(1)(1)0 1 z z z z z z ℜ≤- ⇔ℜ+≤⇔+-≤⇔≤ 2.设(15)i i α≤≤为 3 中的五个非零向量．求证：存在非零向量3 β∈ ，使得存在 123415j j j j ≤<<<≤，满足β与k j α的夹角均不超过 (1,2,3,4)2 k π =． 证明： 从O 点做i i OA α=，以12OA A 得到平面x （若12O A A 、、共线，则过该线任做一个平面） 过O 做垂直于x 的直线l 在O 两侧各取一个点,M N ，这个x 由平面将空及分为2个部 分，345A A A 、、中必存在2个点为同一侧（x 平面上的点既属于M 所在侧也属于N 所 在侧），不妨假设34A A 、在M 一侧，则取OM β=， 1230,0,0, βαβαβα⋅=⋅=⋅≥40βα⋅≥，即β存在． 3.甲、乙两盒中各放2只兔子，一雌一雄．称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记n 次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为n p ．求n p 及lim n n p →∞ ． 解答： 若交换前笼子里均为一雄一雌，则一共有种交换情况，其中两种交换后仍均为一雄一雌（雄换雄或雌换雌），另两种交换后笼子里为两雄和两雌．而两雄和两雌的情况交换后必然回到均为一雄一雌．于是有递推关系： 1011 (1)1,122 n n n n p p p p p += +-=-= 于是1212 ()323n n p p +- =--，可得 211()332 n n p =+- 于是2 lim 3 n n p →∞=．
江苏省丹阳高级中学 2021-2022学年度第一学期期中考试 高一数学（创新班） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置） 1、函数f (x )＝cos 2 x －sin 2 x 的最小正周期为 ▲ ． 2、在等差数列{}n a 中，若a 1 + a 2 + a 3 + a 4 =30，则a 2 + a 3 = ▲ . 3、已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝ ▲ ． 4、在等差数列}{n a 中，6510,5 a s ==，求 n a ＝ ▲ ． 5、在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则∠B ＝ ▲ ． 6、若sin(π)2cos(π+)αα-=，则sin(π)5cos(2π) 5π33cos()sin() 22ααπ αα++----= ▲ ． 7、一扇形的周长为6，当扇形的弧长为 ▲ 时，它有最大面积？ 8．已知函数()sin()(00[0))f x A x A ωϕωϕ=+∈π＞＞， ，，的 图象如图所示，则函数()f x 表达式为 ▲ 9、 11 sin 2cos 5αα+= ， tan α= ▲ 10、函数 () sin y x x R π=∈的图象如图所示，设O 为坐标原点， P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则 tan OPB ∠的 值为 ▲ 11、5cos 2cos 2,tan(1)tan(1)θθθ=+-则的值为 ▲ 12.等差数列{}n a 中，公差0d ≠，13 12 3a a a =，若 ,,,,31n k a a a 成等比数列，则n k = ▲ 13.“无字证明”就是将数学命题用简洁、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ▲ 14.如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC=1，A=0120，E ，F 分别是边AB ，AC 上 的点， 且,AE mAB AF nAC ==其中,(0,1)m n ∈若EF ，BC 的中点分别为M ，N ，且 41m n +=则MN 的最小值是 ▲ 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤) 15、（本题满分14分） （1）已知(3,3),(cos ,sin )a b θθ=-=（(0,)2 π θ∈），求 |2|a b -的取值范围； （2）已知a 和b 相互垂直，且 ||2,||3a b ==，求向量a 与2a b +的夹角的余弦值. x y O 3 -3 3 (第8题图)
2022年中国科学技术大学数据科学与大数据技术专业《数据库系统原 理》科目期末试卷A（有答案） 一、填空题 1、SQL语言的数据定义功能包括______、______、______和______。 2、在关系数据库的规范化理论中，在执行“分解”时，必须遵守规范化原则：保持原有 的依赖关系和______。 3、设某数据库中有作者表（作者号，城市）和出版商表（出版商号，城市），请补全如 下查询语句，使该查询语句能查询作者和出版商所在的全部不重复的城市。SELECT城市FROM作者表_____ SELECT城市FROM出版商表； 4、数据仓库创建后，首先从______中抽取所需要的数据到数据准备区，在数据准备区中 经过净化处理______，再加载到数据仓库中，最后根据用户的需求将数据发布到______。 5、使某个事务永远处于等待状态，得不到执行的现象称为______。有两个或两个以上的 事务处于等待状态，每个事务都在等待其中另一个事务解除封锁，它才能继续下去，结果 任何一个事务都无法执行，这种现象称为______。 6、安全性控制的一般方法有____________、____________、____________、和____________视图的保护五级安全措施。 7、采用关系模型的逻辑结构设计的任务是将E-R图转换成一组______，并进行______处理。 8、关系模型由______________、______________和______________组成。 9、关系数据库中基于数学的两类运算是______________和______________。 10、“为哪些表，在哪些字段上，建立什么样的索引”这一设计内容应该属于数据库设计中的______阶段。 二、判断题
绝密★考试结束前 衢温5+1联盟创新班2021-2022学年高一上学期期末联考 数学学科 试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分,考试时间120分钟; 2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名;考场号、座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷土无效; 4.考试结束后,只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A ={-1,0,1,2},集合{} |,B y y x x A ==∈,则B =（ ） A.{}1- B. {}1,2 C. {}0,1,2 D. {}1,0,1,2- 2.在复平面内,复数 1i i -对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和估计抽取的高中生近视人数分别为（ ） A. 180,40 B. 180,20 C. 180,10 D.100,10 4.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ） A.若m ⊥α,n ⊥α,则m //n B.若m ⊥n ,n //α,则m ⊥α C.若m //β,β⊥α,则m ⊥α D.若m //n ,m //β,则n //β 5.为庆祝中国共产党成立100周年,深入推进党史学习教育,某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动,其中初中部 20 名党员竞赛成绩的平均分为a ,方差为2;高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b ,方差为14 5.若a =b ,则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ） A. 336 35 B. 2110 C.125 D.187 6.若O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足()(2)0OA OB OA OB OC -⋅+-=,则△ABC 的形状为( )
2022年中国科学技术大学数据科学与大数据技术专业《计算机网络》 科目期末试卷B（有答案） 一、选择题 1、在n个结点的星形拓扑结构中，有（）条物理链路。 A.n-l B.n C.n×（n-1） D.n×（n+l）/2 2、当一台计算机从FTP服务器下载文件时，在该FTP服务器上对数据进行封装的5个转换步骤是（）。 A.数据、报文、IP分组、数据帧、比特流 B.数据、IP分组、报文、数据帧、比特流 C.报文、数据、数据帧、IP分组、比特流 D.比特流、IP分组、报文、数据帧、数据 3、在因特网中，IP分组的传输需要经过源主机和中间路由器到达目的主机，通常（）。 A.源主机和中间路由器都知道IP分组到达目的主机需要经过的完整路径 B.源主机知道IP分组到达日的主机需要经过的完整路径，而中间路由器不知道 C.源主机不知道IP分组到达目的主机需要经过的完整路径，而中间路由器知道 D.源主机和中间路由器都不知道IP分组到达目的主机需要经过的完整路径 4、路由器的路由选择部分，包括了（）。 A.路由选择处理器 B.路由选择协议 C.路由表 D.以上都是
5、PPP中的LCP帧起到的作用是（）。 A.在建立状态阶段协商数据链路协议的选项 B.配置网络层协议 C.检查数据链路层的错误，并通知错误信息 D.安全控制，保护通信双方的数据安全 6、对于无序接收的滑动窗口协议，若序号位数为n，则发送窗口最大尺寸为（） A.2n -1 B.2n C.2n-1 D.2n-1 7、一个UDP用户数据报的数据字段为8192B。在链路层要使用以太网来传输，那么应该分成（）IP数据片。 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 8、下面信息中（）包含在TCP首部中而不包含在UDP首部中。 A.目标端口号 B.序号 C.源端口号 D.校验号 9、传输层中的套接字是（）。 A.IP地址加端口 B.使得传输层独立的API C.允许多个应用共享网络连接的API D.使得远端过程的功能就像在本地一样 10、FTP客户机发起对FTP服务器的连接建立的第一阶段建立（） A.控制传输连接 B.数据连接 C.会话连接 D.控制连接 11、在TCP/IP协议簇中，应用层的各种服务是建立在传输层提供服务的基础上的。下列协议组中（）需要使用传输层的TCP建立连接。
2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（白卷）试 题 一、单选题 1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}3,4,5A =，{}2,3,4B =，则()U A B =（ ） A ．{}1,3,5 B ．{}1,2,5 C ．{}1,5 D ．{}2,5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用交集、补集的定义直接计算作答. 【详解】集合{}3,4,5A =，{}2,3,4B =，则{3,4}A B =，而全集{}1,2,3,4,5U =， 所以 (){1,2,5}U A B ⋂=. 故选：B 2．若数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为1s ，数据1y ，2y ，3y ，4y ，5y 的方差为2s ，1n n y x =+()1,2,3,4,5n =,则（ ） A ．12s s > B ．12s s < C ．12s s = D ．1s ，2s 关系不确定 【答案】C 【分析】根据方差的性质判断即可； 【详解】解：依题意111y x =+，221y x =+，331y x =+，441y x =+，551y x =+， 且数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为1s ，数据1y ，2y ，3y ，4y ，5y 的方差为2s ， 所以12s s =； 故选：C 3．设复数z 满足()2 1i 42i z +=-，则z ＝（ ） A ．－1－2i B ．－1＋2i C ．1＋2i D ．1－2i 【答案】A 【分析】本题考查复数乘除运算，注意2i 1=-． 【详解】∵()2 1i 42i z +=-，则可得：() 2 42i 2i 12i i 1i z --= = =--+．
2022年全国普通高等学校招生统一模拟考试数学试卷（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合A ={a ,4}，B ={1，2，3}，A B ={2}则 A B =（ ） A ．{2,3,4} B ．{3} C ．{1,2,3,4} D ．{2,4} 2．已知复数2i 34i z +=-，i 为虚数单位，则||z =（ ） A B ．15 C ．12 D 3．将一个半圆沿它的一条半径剪成一个小扇形和一个大扇形，其中小扇形的圆心角为π 3 ，则小扇形围成的圆锥的高与大扇形围成的圆锥的高之比为（ ） A ．2:1 B C ．4:1 D ．32 4．函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上的最大值是 A ．1 B C ．32 D ．5．以椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的右焦点F 为圆心､c 为半径作圆，O 为坐标原点， 若圆F 与椭圆C 交于A ，B 两点，点D 是OF 的中点，且AD OF ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ） A B ．3 C 1 D 2 6．已知()11cos 3cos cos 42πππαα⎛⎫⎛⎫ +=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ） A B ．13- C ．23- D ．13 7．若()f x 是幂函数，且满足 ()()442f f =，则12f ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ （ ） A ．4- B ．4 C ．1 2 - D ．14 8．分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A ，“第二枚为正面”记为事件B ， “两枚结果相同”记为事件C ，那么事件A 与B ，A 与 C 间的关系是（ ） A ．A 与B ，A 与C 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥 C ．A 与B ，A 与C 均互斥 D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立 二、多选题 9．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是（ ）