习题二
3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；
（2） X 的分布函数并作图； (3)
133
{},{1},{1},{12}222
P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.
【解】
3
1331512213
3151133
150,1,2.
C 22
(0).
C 35C C 12(1).
C 35
C 1
(2).C 35
X P X P X P X ========== 故X 的分布律为
（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0
当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=
2235
当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435
当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数
0,
022
,0135()34,12351,2x x F x x x
(3)
1122()(),
2235333434
(1)()(1)0
223535
3312
(1)(1)(1)2235
341
(12)(2)(1)(2)10.
3535
P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=
<<=--==--=
4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.
312
32
2
3
3(0)(0.2)0.008
(1)C 0.8(0.2)0.096
(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512
P X P X P X P X ============
0,
00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x
=≤
≥??
(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==
5.（1） 设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=!
k a
k
λ，
其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .
（2） 设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，
试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知
1()e !
k
k k P X k a a k λλ∞∞
======∑∑
故 e
a λ
-=
(2) 由分布律的性质知
1
1
1()N
N
k k a
P X k a N
======∑∑
即 1a =.
6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)
(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+
(3,3)P X Y ==
331212
33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++
222
23333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+
0.32076=
(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==
123223
33C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 332212
33(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+
=0.243
7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，
则有
()0.01P X N ><
即 200
200200
1
C
(0.02)(0.98)0.01k k k k N -=+<∑
利用泊松近似
2000.02 4.np λ==?=
41
e 4()
0.01!k
k N P X N k -∞
=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.
8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则
14223
55C (1)C (1)p p p p -=-
故 1
3
p =
所以 4
4
51210(4)C ()
3
3243
P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）
5
553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k
k k k P X -=≥==∑
(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）
7
773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑
10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分
布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）3
2
(0)e
P X -== (2) 52
(1)1(0)1e P X P X -
≥=-==-
11.设P {X =k }=k
k
k
p p --22)
1(C , k =0,1,2
P {Y =m }=m
m
m
p p --44)
1(C , m =0,1,2,3,4
分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5
9
，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=
，故4(1)9
P X <=. 而 2
(1)(0)(1)P X P X p <===-
故得 2
4
(1),9p -=
即 1
.3
p =
从而 4
65
(1)1(0)1(1)0.8024781
P Y P Y p ≥=-==--=
≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中
恰有5册错误的概率.
【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,
20000.0012np λ==?=
得 25
e 2(5)0.00185!
P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为
34，失败的概率为1
4
.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,
,,
X k =
113
()()44
k P X k -==
(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+
321131313()()444444
k -=
++++
21314145
1()4
==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为
(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤
由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有
514
e 5(15)10.000069!k
k P X k -=>≈-≈∑
(2) P (保险公司获利不少于10000)
(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤
510
e 50.986305!k
k k -=≈≈∑
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%
P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤
55
e 50.615961!k
k k -=≈≈∑
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X 的密度函数为
f (x )=A e -|x |, -∞ 求：（1）A 值；（2）P {0 ()d 1f x x ∞ -∞ =? 得 ||0 1e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞ ---∞ ===?? 故 1 2 A = . (2) 11 011(01)e d (1e )22 x p X x --<<==-? (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==? 当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+??? 11e 2 x -=- 故 1e ,0 2 ()11e 0 2 x x x F x x -? ?-≥?? 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］ 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为 1 ,0()0, x a f x a ?≤≤?=???其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时0 1()()d ()d d x x x x F x f t t f t t t a a -∞ ====? ?? 当x >a 时，F （x ）=1 即分布函数 0,0(), 01, x x F x x a a x a ?? 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测 值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即 1 ,25 ()3 0, x f x ?≤≤?=???其他 53 12 (3)d 33 P X x >==? 故所求概率为 22333321220C ()C ()33327 p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1 ()5 E .某顾客在窗口 等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5 X E ，即其密度函数为 5 1e ,0 ()5 0,x x f x -?>?=??≤? x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为 25 101(10)e d e 5 x P X x -∞ ->==? 2~(5,e )Y b -,即其分布律为 225525 ()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5 (1)1(0)1(1e )0.5167 k k k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--= 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服 从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则 406040(60)(2)0.9772710 10x P X P Φ--?? <=<== ??? 若走第二条路，X~N （50，42），则 506050(60)(2.5)0.99384 4X P X P Φ--?? <=<== ???++ 故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X~N （40，102），则 404540(45)(0.5)0.691510 10X P X P Φ--?? <=<== ??? 若X~N （50，42），则 504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--?? <=<=- ??? 1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X ~N （3，22）， （1） 求P {2 <≤=<≤ ??? 11(1)(1)1220.841310.69150.5328 ΦΦΦΦ????=--=-+ ? ? ????=-+= 433103(410)2 22X P X P ----?? -<≤=<≤ ??? 770.999622ΦΦ???? =--= ? ????? (||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<- 323323222215151122220.691510.99380.6977 X X P P ΦΦΦΦ-----????=>+< ? ? ???????????? =--+-=+- ? ? ? ?????????=+-= 333 (3)( )1(0)0.522 X P X P Φ->=>=-=- (2) c=3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品, 求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.06 0.06X P X P ?-? ->=> ??? 1(2)(2)2[1(2)]0.0456 ΦΦΦ=-+-=-= 23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200} ≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---?? <≤=<≤ ??? 404040210.8ΦΦΦσσσ-??????=-=-≥ ? ? ??????? 故 40 31.251.29 σ≤ = 24.设随机变量X 分布函数为 F （x ）=e ,0, (0),00.x A B x , x -?+≥>? （1） 求常数A ，B ； （2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）. 【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞ →+ →-=???=??得11A B =??=-? （2） 2(2)(2)1e P X F λ -≤==- 33(3)1(3)1(1e )e P X F λ λ-->=-=--= (3) e ,0 ()()0, 0x x f x F x x λλ-?≥'==? 25.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=,01,2, 12,0,x x x x ≤ -≤ 其他. 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）. 【解】当x <0时F （x ）=0 当0≤x <1时0 ()()d ()d ()d x x F x f t t f t t f t t -∞ -∞ = =+? ? ? 2 0d 2 x x t t ==? 当1≤x<2时()()d x F x f t t -∞= ? 1 1 1 1 22 ()d ()d ()d d (2)d 13222221 2 x x f t t f t t f t t t t t t x x x x -∞==+=+-=+--=-+-? ???? 当x ≥2时()()d 1x F x f t t -∞ = =? 故 22 0,0,01 2 ()21,1221, 2 x x x F x x x x x 26.设随机变量X 的密度函数为 （1） f (x )=a e -λ|x |,λ>0; (2) f (x )=? ????<≤<<. ,0,21,1 ,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由 ()d 1f x x ∞ -∞ =? 知||0 21e d 2e d x x a a x a x λλλ ∞∞ ---∞ === ?? 故 2 a λ = 即密度函数为 e ,02 ()e 02 x x x f x x λλλλ-?>??=??≤?? 当x ≤0时1()()d e d e 22 x x x x F x f x x x λλλ -∞ -∞===? ? 当x >0时0 ()()d e d e d 2 2 x x x x F x f x x x x λλλ λ --∞ -∞ = =+? ?? 11e 2 x λ-=- 故其分布函数 11e ,02 ()1e ,02 x x x F x x λλ-?->??=??≤?? (2) 由12 20 1 11 1()d d d 22 b f x x bx x x x ∞ -∞ = =+=+? ?? 得 b =1 即X 的密度函数为 2,011(),120, x x f x x x < =≤ 当x ≤0时F （x ）=0 当0 ()()d ()d ()d x x F x f x x f x x f x x -∞-∞ = =+? ? ? 2 d 2 x x x x = =? 当1≤x <2时0120 1 1()()d 0d d d x x F x f x x x x x x x -∞ -∞ ==++???? 312x = - 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为 20,0,01 2 ()31,1221,2 x x x F x x x x ≤???< 27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>= 即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得 1()0.003z αΦ-= 即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得 /21()0.0015z α-Φ= 即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α= 求Y =X 的分布律. 【解】Y 可取的值为0，1，4，9 1(0)(0)5 117(1)(1)(1)61530 1(4)(2)511 (9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X === = ===-+==+====-= ==== 故Y 的分布律为 29.设P {X =k }=( 2 )k , k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ?=?-? 当取偶数时当取奇数时 求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=+ +=+ 242111()()()222 111()/(1)443 k =++++=-= 2 (1)1(1)3 P Y P Y =-=-== 30.设X ~N （0，1）. （1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度. 【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤= 当y >0时，()()(e )(ln )x Y F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ ln ()d y X f x x -∞ = ? 故 2/2 ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -= ==> (2)2(211)1P Y X =+≥= 当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤= 当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+ ≤ 2 12y P X P X ?-??=≤=≤ ? ? ?? ()d X f x x = 故 d ()()d Y Y X X f y F y f f y ? ?==+? ??? (1)/4 ,1y y --=> (3) (0)1P Y ≥= 当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤= 当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d y X y f x x -= ? 故d ()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y = =+- 2/2 ,0y y -= > 32.设随机变量X 的密度函数为 f (x )=22,0π,π0, .x x ?< 试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<= 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤= 当0 (0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤< arcsin π220πarcsin 22d d ππy y x x x x -= +?? 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（） 2 arcsin π y = 当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为 2 2 ,01π()10,Y y f y y ?< 其他 33.设随机变量X 的分布函数如下： ??? ??≥ <+=. )3(, )2(, )1(,11 )(2 x x x x F 试填上(1),(2),(3)项. 【解】由lim ()1x F x →∞ =知②填1。 由右连续性+ 0lim ()()1x x F x F x →==知00x =，故①为0。 从而③亦为0。即 2 1 ,0()11, 0x F x x x ? =+??≥? 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X 的分布律. 【解】设A i ={第i 枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P (A i )= 1 6 .且A 1与A 2相互独立。再设C ={每次抛掷出现6点}。则 1 21212()()()()()()P C P A A P A P A P A P A ==+- 111111666636 = +-?= 故抛掷次数X 服从参数为11 36 的几何分布。 35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X 为0出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字，则 X~b (n ,0.1) 00(1)1(0)1C (0.1)(0.9)0.9n n P X P X ≥=-==-≥ 即 (0.9)0.1n ≤ 得 n ≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 F （x ）=???? ? ????≥<≤+<. 2 1,1,21 0, 21,0,0x x x x 则F （x ）是（ ）随机变量的分布函数. （A ） 连续型； （B ）离散型； （C ） 非连续亦非离散型. 【解】因为F （x ）在（-∞,+∞）上单调不减右连续，且lim ()0x F x →-∞ = lim ()1x F x →+∞ =,所以F （x ）是一个分布函数。 但是F （x ）在x =0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F （x ）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C ） 37.设在区间[a ,b ]上，随机变量X 的密度函数为f (x )=sin x ，而在[a ,b ]外，f (x )=0，则区间 [a ,b ] 等于（ ） (A ) [0,π/2]; (B ) [0,π]; (C ) [-π/2,0]; (D) [0,π2 3]. 【解】在π[0,]2 上sin x ≥0，且 π/2 sin d 1x x =? .故f (x )是密度函数。 在[0,π]上π sin d 21x x =≠? .故f (x )不是密度函数。 在π [,0]2- 上sin 0x ≤，故f (x )不是密度函数。 在3[0,π]2上，当3 ππ2 x <≤时，sin x <0，f (x )也不是密度函数。 故选（A ）。 38.设随机变量X ~N （0，σ2），问：当σ取何值时，X 落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为2 1 3 ~(0,),(13)( )X X N P X P σσ σ σ <<=< < 3 1 ()()()g σσσ =Φ-Φ令 利用微积分中求极值的方法，有 22 3 311 ()()()()g σσ σσσ '''=- Φ+Φ 22 2 2 9/21/21/28/2[13e ]0σσσσ----== -=令 得2 04ln 3σ= ,则 0σ= 又 0()0g σ''< 故0σ< 故当σ= X 落入区间（1，3）的概率最大。 39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X 服从泊松分布P （λ），每个顾客购买某种物 品的概率为p ，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y 的分布律. 【解】e (),0,1,2,! m P X m m m λλ-== = 设购买某种物品的人数为Y ，在进入商店的人数X =m 的条件下，Y ~b (m ,p )，即 (|)C (1) ,0,1,,k k m k m P Y k X m p p k m -===-= 由全概率公式有 ()()(|)m k P Y k P X m P Y k X m ∞ ======∑ (1)e C (1)!e (1)!()!()[(1)]e ! ()!()e e ! ()e ,0,1,2, ! m k k m k m m k m k m k m k k m k m k k p k p p p m p p k m k p p k m k p k p k k λλ λ λλλλλλλλλ-∞ -=∞ --=-∞ -=---=-=---=-===∑∑ ∑ 此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp. 40.设随机变量X 服从参数为2的指数分布.证明：Y =1-e -2X 在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X 的密度函数为 22e ,0 ()0, 0x X x f x x -?>=? ≤? 由于P （X >0）=1，故0<1-e -2X <1，即P （0 当y ≤0时，F Y （y ）=0 当y ≥1时，F Y （y ）=1 当0 1 ln(1)220 1 (ln(1)) 22e d y x P X y x y ---=≤--==? 即Y 的密度函数为 1,01 ()0,Y y f y < ?其他 即Y~U （0，1） 41.设随机变量X 的密度函数为 f (x )=???? ?????≤≤≤≤., 0,63,9 2 ,10,31 其他x x 若k 使得P {X ≥k }=2/3，求k 的取值范围. (2000研考) 【解】由P （X ≥k ）= 23知P （X 3 若k <0,P (X 若0≤k ≤1,P (X d 333k k x =≤? 当k =1时P （X 3 若1≤k ≤3时P （X d d 39933 k x x k +=-≠?? 若k >6,则P （X 故只有当1≤k ≤3时满足P （X ≥k ）=2 3 . 42.设随机变量X 的分布函数为 F (x )=???????≥<≤<≤--<.3, 1,31,8.0,11,4.0,1, 0x x x x 求X 的概率分布. （1991研考） 【解】由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率分布为 43.设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率为19/27，求A 在一次试验中出现的概率. 【解】令X 为三次独立试验中A 出现的次数，若设P （A ）=p ,则 X ~b (3,p ) 由P （X ≥1）=1927知P （X =0）=（1-p ）3=827 故p = 1 3 44.若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程y 2+Xy +1=0有实根的概率是多少？ 【解】 1 ,16 ()5 0,x f x ?< 24(40)(2)(2)(2)5 P X P X P X P X -≥=≥+≤-=≥= 45.若随机变量X ~N （2，σ2），且P {2 P {X <0}= . 【解】22 2 42 0.3(24)( )X P X P σ σ σ ---=<<=< < 22 ()(0)()0.5σσ =Φ-Φ=Φ- 故 2 ( )0.8σ Φ= 因此 2 02 2 (0)( )()X P X P σ σ σ --<=< =Φ- 2 1()0.2σ =-Φ= 46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调 试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n (n ≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率α； （2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β； （3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A ={需进一步调试}，B ={仪器能出厂}，则 A ={能直接出厂}，A B ={经调试后能出厂} 由题意知B =A ∪AB ，且 ()0.3,(|)0.8 ()()(|)0.30.80.24()()()0.70.240.94 P A P B A P AB P A P B A P B P A P AB ====?==+=+= 令X 为新生产的n 台仪器中能出厂的台数，则X ~6（n ，0.94）, 故 22 2()(0.94)(2)C (0.94) (0.06)(2)1(1)() n n n P X n P X n P X n P X n P X n αβθ-=====-==≤-=-=--= 1 1(0.94) 0.06 ( 0.94)n n n -=-- 47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72 分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X 为考生的外语成绩，则X ~N （72，σ2） 729672240.023(96)1()X P X P σ σσ--?? =≥=≥=-Φ ? ?? 故 24 ()0.977σ Φ= 查表知 24 2σ =,即σ=12 从而X~N （72，122） 故 6072728472(6084)12 1212X P X P ---?? ≤≤=≤≤ ??? (1)(1)2(1)10.682 =Φ-Φ-=Φ-= 48.在电源电压不超过200V 、200V~240V 和超过240V 三种情形下，某种电子元件损坏的概 率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X 服从正态分布N （220，252））.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V 的概率β 【解】设A 1={电压不超过200V}，A 2={电压在200~240V}， A 3={电压超过240V}， B ={元件损坏}。 由X ~N （220，252）知 1()(200)P A P X =≤ 2202002202525(0.8)1(0.8)0.212 X P --??=≤ ??? =Φ-=-Φ= 2()(200240)P A P X =≤≤ 200220220240220252525(0.8)(0.8)0.576 X P ---??=≤≤ ??? =Φ-Φ-= 3()(240)10.2120.5760.212P A P X =>=--= 由全概率公式有 3 1 ()()(|)0.0642i i i P B P A P B A α====∑ 由贝叶斯公式有 222()(|) (|)0.009() P A P B A P A B P B β== ≈ 49.设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y =e 2X 的概率密度f Y (y ). 第一章复习题 一、名词解释 1、微观经济学 2、生产可能性曲线 3、机会成本 二、选择题 1．经济问题本质上是决定如何去最好的使用（）。 A.几乎无限的资源来满足无限的欲望 B.有限的资源来满足无限的欲望 C.无限的资源来满足有限的欲望 D.有限的资源来满足有限的欲望 2.经济学可定义为（）。 A．政府对市场制度的干预 B.企业赚取利润的活动 C.研究稀缺资源如何有效配置的问题 D.个人的生财之道 3.学习经济学（） A．帮助一个人变成一个见多识广的市民 B.对一个人成为好市民是有害的，因为经济学强调利己主义 C.是浪费时间，因为无论我们是否懂经济，我们都参与其中 D.很重要，因为经济学是“赚钱的科学”。 4.学习经济学（） A．对一个人成为好市民是有害的，因为经济学强调利己主义 B.对雇主是有帮助的，但对工人和消费者是无用的 C.很重要，因为经济学是“赚钱的科学” d.帮助学生提高分析技巧，这在工作中是很需要的 5. 对经济学的研究（） A．与管理、营销以及金融相似，因为它强调如何赚钱 B.对企业有帮助，但对做出个人购买决策没有明显帮助 C.主要是学术的，而不是职业科目 D．从一个人自己的经济来源角度着眼经济，而不是从社会利益角度 6.对经济学的研究主要关注 A．防止私有公司亏损 B.证明社会主义经济优于资本主义经济 C.在有效使用稀缺资源时所做的选择 D．决定对社会产品的最公平的分配 7．“资源是稀缺的”是指（） A．资源是不可再生的 B.资源必须留给下一代 C.资源终将被耗费殆尽 D.相对于需求而言,资源总是不足的 8.失业问题如果反映在生产可能性曲线图上，可记为（）。 A．生产可能性曲线内的一点 B.生产可能性曲线上的一点 C.生产可能性曲线以外的一点 D.不在该平面直角坐标系上 9.下列哪一项会导致一国生产可能性曲线的外移？（） A．股市持续走强 B.通货膨胀 C.有用资源被发掘或技术进步 D.消费品生产增加,资本品生产下降 10.一个经济体系必须作出的基本选择是（）。 A．生产什么，生产多少 B.如何生产 C.为谁生产 D.以上都包括 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= CH02 8086／8088指令系统 习题与思考题 1．假定DS=2000H，ES=2100H，SS=1500H，SI=00A0H，BX=0100H，BP=0010H，数据变量VAL 的偏移地址为0050H，请指出下列指令源操作数是什么寻址方式？源操作数在哪里？如在存储器中请写出其物理地址是多少？ （1）MOV AX，0ABH （2）MOV AX，[100H] （3）MOV AX，VAL （4）MOV BX，[SI] （5）MOV AL，VAL[BX] （6）MOV CL，[BX][SI] （7）MOV VAL[SI]，BX （8）MOV [BP][SI]，100 解答： （1）MOV AX，0ABH 寻址方式：立即寻址；源操作数在数据线上；物理地址：无 （2）MOV AX，[100H] 寻址方式：直接寻址；源操作数在存储器中；物理地址：DS＊16+100H＝2000H*16+100H＝20100H （3）MOV AX，VAL 寻址方式：直接寻址；源操作数在存储器中；物理地址：DS＊16+VAL＝2000H*16+0050H＝20050H （4）MOV BX，[SI] 寻址方式：寄存器间接寻址；源操作数在存储器中；物理地址：DS＊16+SI＝2000H*16+00A0H＝200A0H （5）MOV AL，VAL[BX] 寻址方式：变址寻址；源操作数在存储器中；物理地址：DS＊16+VAL+BX＝2000H*16+0050H+0100 ＝20150H （6）MOV CL，[BX][SI] 寻址方式：基址加变址寻址；源操作数在存储器中；物理地址：DS＊16+BX+SI＝2000H*16+0100H+00A0H ＝201A0H （7）MOV VAL[SI]，BX 寻址方式：寄存器寻址；源操作数在寄存器中；物理地址：无 （8）MOV [BP][SI]，100 寻址方式：立即寻址；源操作数在；物理地址：无 2．设有关寄存器及存储单元的内容如下： 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 第二章习题及答案 化工原理练习题 五.计算题 1. 密度为1200kg.m的盐水，以25m3.h-1的流量流过内径为75mm的无缝钢管。两液面间的垂直距离为25m，钢管总长为120m，管件、阀门等的局部阻力为钢管阻力的25％。试求泵的轴功率。假设：（1）摩擦系数λ＝0.03；（2）泵的效率η＝0.6 1.答案***** Z1＋ｕ2/2ｇ＋P1/ρｇ＋He＝Z2＋ｕ2/2ｇ＋P2/ρg+∑H f Z＝0，Z＝25m，ｕ≈0，ｕ≈0，P ＝P ∴H＝Z＋∑H＝25＋∑H ∑H＝（λ×ｌ/d×ｕ/2ｇ）×1.25 ｕ＝Ｖ/A＝25/（3600×0.785×（0.07 5）） ＝1.573m.s ∑H＝（0.03×120/0.075×1.573/（2×9.81）×1.25 ＝7.567m盐水柱 H＝25＋7.567＝32.567m N＝Q Hρ/102＝25×32.567×120 0/ （3600×102） ＝2.66kw N轴＝N/η＝2.66/0.6＝4.43kw 2.(16分) 如图的输水系统。已知管内径为d=50mm, 在阀门全开时输送系统的Σ(l+le ) =50m,摩擦系数可取λ=0.03,泵的性能曲线,在流量为6 m3.h-1至15 m3.h-1范围内可用下式描述: H=18.92-0.82Q2.，此处H为泵的扬程m,Q为 泵的流量m3.h-1,问: (1)如要求流量为10 m3.h-1，单位质量的水所需外加功为多少? 单位重量的水所需外加功为多少?此泵能否完成任务? (2)如要求输送量减至8 m3.h-1 (通过关小阀门来达到)，泵的轴功率减少百分之多少?(设泵的效率变化忽略不计) 答案***** ⑴u=10/(3600×0.785×0.05)=1.415[m.s-1] Σhf =λ[Σ(l+le )/d](u2/2) 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： 第2章人工智能与知识工程初步 1. 设有如下语句，请用相应的谓词公式分别把他们表示出来：s (1)有的人喜欢梅花，有的人喜欢菊花，有的人既喜欢梅花又喜欢菊花。 解：定义谓词d P(x)：x是人 L(x,y)：x喜欢y 其中，y的个体域是{梅花，菊花}。 将知识用谓词表示为： (?x )(P(x)→L(x, 梅花)∨L(x, 菊花)∨L(x, 梅花)∧L(x, 菊花)) (2) 有人每天下午都去打篮球。 解：定义谓词 P(x)：x是人 B(x)：x打篮球 A(y)：y是下午 将知识用谓词表示为：a (?x )(?y) (A(y)→B(x)∧P(x)) (3)新型计算机速度又快，存储容量又大。 解：定义谓词 NC(x)：x是新型计算机 F(x)：x速度快 B(x)：x容量大 将知识用谓词表示为： (?x) (NC(x)→F(x)∧B(x)) (4) 不是每个计算机系的学生都喜欢在计算机上编程序。 解：定义谓词 S(x)：x是计算机系学生 L(x, pragramming)：x喜欢编程序 U(x,computer)：x使用计算机 将知识用谓词表示为： ? (?x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer)) (5)凡是喜欢编程序的人都喜欢计算机。 解：定义谓词 P(x)：x是人 L(x, y)：x喜欢y 将知识用谓词表示为： (?x) (P(x)∧L(x,pragramming)→L(x, computer)) 2 请对下列命题分别写出它们的语义网络： (1) 每个学生都有一台计算机。 解： (2) 高老师从3月到7月给计算机系学生讲《计算机网络》课。 解： (3) 学习班的学员有男、有女、有研究生、有本科生。 解：参例2.14 (4) 创新公司在科海大街56号，刘洋是该公司的经理，他32岁、硕士学位。 解：参例2.10 (5) 红队与蓝队进行足球比赛，最后以3：2的比分结束。 解： 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 第2章习题及参考答案要点 一、名词解释 1、心理 2、反射 3、无条件反射 4、条件反射 5、第一信号系统 6、第二信号系统 7、条件抑制 二、单项选择 ⒈脑是心理活动的器官，心理活动是脑活动的（） a. 产物 b.产品 c.前提 d.基础 2. 中央沟的前方是（）。 a. 额叶 b. 顶叶 c. 枕叶 d. 颞叶 3.中央沟后方至顶枕裂间为( ) a. 额叶 b. 顶叶 c. 枕叶 d. 颞叶 4.脑神经一共有（）对 a.10 b. 12 c. 13 d. 14 5. 神经冲动在神经纤维之间的传递实现的依靠是（） a. 神经纤维 b. 突触 c. 髓鞘 d. 条件反射 6．根据细胞的形状，皮质神经元中数目最多的是( )。 A．视杆细胞B．梭形细胞C．星形细胞D．锥体细胞 7. 大脑外侧裂下方为颞叶，这是（）。 a. 额叶 b. 顶叶 c. 枕叶 d. 颞叶 8.顶枕裂后较小部分是( ) a. 额叶 b. 顶叶 c. 枕叶 d. 颞叶 9.边缘系统的功能不仅与嗅觉及其联合反射有关，且与一系列的内脏活动、躯体活动及（）有密切关系。 a.认知活动 b.意志活动 c.行为活动 d.情绪活动 10.中性刺激与无条件刺激在时间上的结合称为（）。 a. 惩罚 b. 强化 c. 操作 d. 联想 11. “ 谈虎色变” 与“ 谈梅生津” 都是( )的表现形式。 A 、无条件反射 B 、第一信号系统的条件反射 C 、第二信号系统的条件反射 D 、 条件反射 12.下列哪一选项属于条件反射( ) A. 眨眼反射 B. 吮吸反射 C. 防御反射 D. 信号反射 13. 下列哪一选项属于第二信号系统的条件反射( ) A. 望而生畏 B. 谈梅生津 C. 望梅止渴 D. 尝梅生津 14.最早对条件反射进行研究的是( ) 。 A 、谢切诺夫 B 、巴甫洛夫 C 、斯金纳 D 、冯特 三、多项选择 1. 组成脑的主要部分是（）。 a. 大脑 b. 间脑 c. 脑干 d. 小脑 2．大脑按照叶来划分，主要可以分为( )。 A．枕叶B．顶叶C．颞叶D．额叶 3. 神经冲动传导特征主要有（） A．神经纤维的完整性B．绝缘性传导 C．双向传导D．相对不疲劳性 4.反射包括（） A．感受器B．传入神经 C．神经中枢D．效应器 5．根据细胞的形状，皮质神经元主要包括( )。 A．锥体细胞B．梭形细胞C．星形细胞D．视杆细胞 6. 脑干主要的组成部分是（） A．小脑B．延髓 C．脑桥D．中脑 7. 突触的主要类别分为（） A．轴突--胞体型B．轴突--树突型 C．树突-树突型D．轴突--轴突型 8.新生儿的无条件反射主要有（） A．微笑反射B．食物反射 C．朝向反射D．防御反射 四、填空 1 ．从心理产生的物质基础来看，心理是( )脑的机能；从心理反映的内容来看，心理是对( )的反映。 2 ．一个神经元的末梢与另一个神经元的胞体或树突相接触，接触的部位叫( )。在神经元之间，神经冲动的传导是通过( )而实现的。 3 ．神经系统是指由神经元构成的一个非常复杂的机能系统。由于结构和机能的不同， 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P微观第1-2章习题(含答案)
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
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微机原理及应用-第2章-习题及答案
概率论与数理统计试题库
第二章习题及答案
概率论与数理统计期末考试题及答案
华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题
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第二章课后习题与答案
概率统计试题和答案
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
第2章习题及答案
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