太阳影子定位模型
摘要
针对太阳影子定位问题，本文结合地理学和天文学的相关知识，建立了不同数据类型下的太阳影子定位模型，实现了视频拍摄地点和日期的快速精准确定。
对于问题一，首先从地理学角度，基于地理坐标，直杆长度，时间这三个影
响影子长度的参数，计算出时角，赤纬角，太阳高度角，进而给出了影子长度与
三个参数之间的关系式。结果显示，影长对日期和时刻都呈现出先减小后增大的
趋势；对杆长呈正比关系增长；对经度呈现先急剧增长到峰值再突变为0，而后
突变到峰值后再急剧下降；对纬度呈缓慢上升趋势。然后，根据附件1 中提供的
数据，画出了天安门广场上直杆的太阳影子分布曲线图。
对于问题二，基于问题一中对影响影子长度因素的分析，根据地理学知识建
∑i i∑归i 归i
20 21
立双目标规划模型，确立目标函数分别为：min | ?A - ?A' | , m in | S- S ' |。
i=1 i=1
然后在约束条件下对杆子的地点坐标应用网格逼近算法优化求解，得出最符合题目所提供数据的杆子地理位置为：(19.1?E,108.71?N ) ——海南东方市境内，此时，杆长为2.03米，太阳方向角残差比为1.8% ，影长残差比为0.9%，误差均很小。
对于问题三，首先建立了与问题二相似的目标规划模型，由于日期未知，模
型求解的时间复杂度较高。为提高计算速度，引入了粒子群算法。分别对附件2 和 3 中的数据进行分析，确定出的地点坐标分别为(80.51?E，32.13?N ) ，(110.20?E，24.83?N ) 和(81.43?E，32.24?N ) ，(111.56?E，23.68?N ) ，附件 2 为西藏阿里，日期为8 /14 或4 / 29 ，附件 3 为广西梧州市，日期为12 / 27或12 /14 。可以发现，两种算法的结果极为接近，但粒子群算法计算时间要远小于网格逼近算法。
对于问题四，首先对视频数据进行采集和预处理，由于视频拍摄角度的存在，从视频中直接得到的影长并不是实际长度，而是其投影长度，这里采用基于Hough变换和透视变换的图像矫正法，对斜视图像进行矫正，得出实际影长。然后将得到的数据带入问题二的模型中，给出视频拍摄地点为(110.70?E，42.31?N )——内蒙包头市境内；在拍摄日期未知的情况下，将变化而来的实际影长代入问
题三的基于粒子群算法的目标规划模型，求解出视频拍摄地点为(109.76?E，42.66?N ) ——内蒙包头市境内，拍摄日期为6 /11或7 /13 。
对于模型的推广，根据物体采集到的太阳地理信息进行计算，可以应用到求建筑物群合理间距问题。
关键词：双目标规划粒子群算法Hough 变换透视变换
一、问题的重述
1.1 问题的背景
“日长影移”是生活中人人熟知的自然现象，这个词说明地面上的影子变化与太阳活动有着密切的联系。而古代智慧的先民就利用了这个现象制作了日晷，是最早且最精确的计时工具之一。在图像信息充斥的当代，如何通过图像数据获得图像拍摄时的相关信息是图像分析学科的重要课题，而利用太阳光影变换获得时间和地理信息，是非常方便可靠的。
1.2 问题的提出
太阳影子定位技术，是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。针对上述背景和应用需求，提出以下问题：
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015 年10 月22 日北京时间9:00-15:00 之间天安门广场（北纬39 度54 分26 秒,东经116 度23 分29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2 和附件3 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．如果已有一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。若拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期。
二、问题的分析
2.1 问题一的分析
题目要求在固定地点，给定日期和杆长的条件下，求解出直杆投影长度的变化曲线。对于水平地面上的垂直直杆，直杆长度与影子的比值即为太阳高度角的正切值，因此需要知道此时间段内的太阳高度角变化。查阅资料[6] 可得，太阳高度角与当地地方时、经纬度密切相关，因此知道上述两个量就可确定直杆的变化过程。
2.2 问题二的分析
题目要求根据影子的变化情况和给出的日期求出直杆的位置，实际上是问题
一的逆求解过程。这里杆长和地点都是未知量，逆求解是非常困难的，于是将问题二转化为双目标规划问题。当太阳方位角与影长的实际值与理论值差值的绝对值之和达到最小时，所得经纬度即为杆子的地点坐标。
2.3 问题三的分析
与问题二不同的是，该问中日期是个未知量。首先考虑沿用上一问的模型。由于日期未知，所以要考虑一年365 天的所有情况，这将大大增加运算时间。从减少运算量的角度考虑，有必要改进算法。考虑引入现代优化算法之一的粒子群算法，将所有解视为粒子所要去的位置，由于适应度与目标函数相联系，选取合理的适应度函数，期望提高计算效率。
2.4 问题四的分析
本问的数据由视频给出，那么首先要对视频进行数据预处理。由于视频时间较长，所以不考虑将视频逐帧分析，而是每隔一段时间对视频进行获取分析，对图像所给出的影长和影子角度进行测量。考虑到视频拍摄角度的存在，从视频中直接得到的影长并不是实际长度，而是其投影长度，因而要对斜视图像进行矫正，得出实际影长。然后再分别利用问题二和问题三的模型进行求解。
三、问题的假设
1. 每年的太阳活动情况是相同的，均为“恒星年”。
2. 地球是一个完美的球形，不考虑海拔、地球扁率的影响。
3. 无光线衍射造成的影子减淡现象。
5. 在小尺度考虑直杆投影问题时，地表是绝对水平的。
6. 不考虑地球公转的影响。
7. 题目所给的数据是真实的，可靠的。
四、符号说明
当地纬度值
注：其他符号将在下文中给出具体说明。
五、
模型的建立与求解
5.1 问题一 5.1.1 模型的建立
本模型结合相关地理学知识，对影子的变化情况进行分析描述。下面将明确
一些地理学定义，以及重新定义一些本模型需要用到的参数。
太阳高度角，也称太阳高度，是指某地的太阳光线与当地地平面的所交的最 小线面角，这是以太阳视盘面的几何中心和理想地平线所夹的角度。在水平地面 上，直杆长度与影长的比值即为太阳高度角的的正切值：
tan θ = L
(1)
S
图 1 太阳方位角示意图 其
中 L 为杆长， S 为影长。 通过查阅 相关资料[6] ，得知太阳高度角的计算公式为：
sin θ = cos h cos δ cos φ + sin δ sin φ
(2)
其中θ 为太阳高度角， h 为地方时时角，δ 为当时的太阳赤纬，φ 为当地纬 度。
以一个地方太阳升到最高的地方的时间为正午 12 时，将连续两个正午 12 时 之间等分为 24 个小时，所成的时间系统，称为地方时。地球上每一个地点都有 其相应的地方时。由于题目只提供了当地时间的北京时间，因此在计算地方时时 角时，要先将北京时间换算为当地地方时 t ：
γ -120?
t = t 0 +
15?
(3) 其中 t 0 为北京时间， γ 为当地经度。 根据某地地方时，可以换算出当地的
地方时时角。地方时时角 h 即为当地与 子午线之间相差的角度：
h = 15??(t -12)
(4)
太阳的赤纬等于太阳入射光与地球赤道之间的角度，由于地球自转轴与公转
平面之间的角度基本不变，因此太阳的赤纬随季节不同而有周期性变化。太阳赤 纬的最高度数为 23?26 '，夏至时太阳的赤纬为 +23?26' ，冬至时太阳的赤纬为
-23?26'。春分和秋分时太阳的赤纬为 0?。
由于地球公转轨道的偏心率非常低，可以看作是一个圆圈，太阳赤纬 δ 可用 下面这个公式来计算：
δ = 23.45?sin ? 2π (284 + n ) ? (5) 365 ?
? ?
其中 n 为当日日期序号，1 月 1 日时 n =1，以此类推得 10 月 22 日 n = 295 。 联立式子 (2) - (5) 得到方程组：
? L tan
θ = ?
?
?sin θ = cos h cos δ cos φ + sin δ sin φ ?? ?t = t 0 +
?
γ -120? 15? (6)
h = 15??(t -12) ?
?
+ ? ?δ = 23.45?sin
2π (284 n ) ?
??
求解上述方程组，得：
? 365 ? S = L / tan (
arcsin (
cos (15??(t -12))cos (δ )cos φ + s in (δ )sin φ
))
(7)
可见，影子长度的变化与当地地理位置 P (?,φ )，直杆长度 L ，时间 T (t , d ) 这三个参数有关。 5.1.2 模型的求解
首先计算题目所给条件下的 h ，δ 与φ ，再将上述参数值代入 (2) 式，得出从 9:00-15:00 的太阳高度角随时间的变化（具体值见附录）。相应地，可求得直杆 影长数据（具体见附录）。从结果中挑选出几个比较重要的时间点，将相应结果 制成下表以供参考：
表 1 影子长度分布
北京时间
太阳高度角/度
影长/m 9:00 21.18 7.74 12:00 37.88 3.85 12:14 37.99 3.84 15:00 25.35 6.33
将影长随时间变化的情况用 MATLAB 绘制成图像：
图 2 影子长度变化曲线
对于影子长度关于各个参数的变化规律，从时间，地点和杆长三个方面对其
S
进行分析，分析某一个参数时，将其他变量看做常量，只改变一个未知量。我们 将时间参数分为日期和时刻这两种情况进行运算求解，影长关于时刻的变化在图 2 中已经给出；对于地点，将其分为经度 γ 和纬度φ 这两个参数进行运算求解， 求解后的变化规律图如下：
图 3 影长与日期关系曲线 图 4 影长与杆长关系曲线
图 5 影长与经度关系曲线 图 6 影长与纬度关系曲线 5.1.3 结果分析
从图 3 中可以发现，影长随着时间的增加，呈现先减小后增大的趋势，影长 最
小点出现在12 :14 ，这是由于北京时刻为120?E 的地方时，换算到116?E 附近时， 会产生时差，显然是符合常理的。
从图 4 中可以发现，影长与杆长呈正比关系，这是由于 tan θ = L
，从而验证
S
了模型的准确性。
从图 5 中可以发现，影长随时间变化出现了两个明显的“脉冲”。这是因为 当太阳逼近地平线时，影长变化的速度非常快，影子也是最长的。而太阳一旦在 地平线以下，就不存在影子，影子长度也为 0。 从图 6 中可以发现，图 5 中的曲线随纬度增加，总趋势是增加的，这是随着 纬度的增加太阳高度角减小，从而导致了影长的增加。 5.2 问题二——基于网格逼近算法的双目标规划模型
? i
5.2.1 数据预处理
分析题目所给的数据（附件 1），可以发现这些数据不仅能计算出影长，还能 够得知影子方位角的变化，但是附件没有给出坐标系的方位朝向，故假设坐标系
x 轴的方位朝向角为 β (0? ≤ β < 360?) ，取正北方向时，x 轴的方位朝向角为 0?。
由此，可以得出 21 个时间点影子的太阳方位角。我们以每五个时间点为间隔，选 取部分呈现在下表中：
表 3 影子方位角数据表
5.2.2 模型的建立
首先引入太阳方位角的定义。太阳方位角是太阳在方位上的角度，它通常被 定义为从北方沿着地平线顺时针量度的角：
cos A =
sin δ ?cos φ - cos h ?cos δ ?sin φ cos α
(8)
上述公式可以用来计算近似的太阳方位角，不过因为公式是使用余弦函数，
所以方位角永远是正值，因此，角度永远被解释为小于 180 度，而必须依据时角 来修正。当时角为负值时 (上午)，方位角的角度小于 180 度，时角为正值时 (下 午)，方位角应该大于 180 度，即要取补角的值，故作如下修正：
?arccos ? sin δ ?cos φ - cos h ?cos δ ?sin φ ?, h < 0 ? cos α ?
A = ? ? ? ?360? - arccos ? sin δ ?cos φ - cos h ?cos δ ?sin φ ?, h ≥ 0
(9) ? cos α ? ? ? ?
由上述推导可得，方位角 A 与坐标系方位朝向
β 的关系为： A i = β + εi , i = 1, 2, , 21
(10) 其中 εi 为每组数据影长与 x 坐标轴的夹角：
ε = arctan y
i , i = 1, 2, , 21 (11)
x i
将上一问题的某些参数关系与式 (8) - (11) 列成方程组：
? ?t = t 0 + ?15 0 ?
?εi ? = a rctan y
i , x i
i = 1, 2, , 21
? A i = β + εi , ? i = 1, 2, , 21 ?
+ ? ?δ = 23.45?sin 2π (284 n ) 365 ? (12)
?
? ? ?h = 15??(t -12) ?
?θ = cos (15??(t -12))cos (δ )cos φ + s in (δ )sin φ ?
?
γ -120? ? 15? 将上述求太阳高度角的方程化为如下关系式：
cos ( A ) =
(sin (δ )?cos φ - cos ?
??(t + ? γ -120? 15? -12)?? cos (δ )?sin φ) ?? (13)
? ? γ -120? ??
cos(arcsin(cos 15?? t 0 + -12 ??cos (δ )cos φ + s in (δ )sin
φ)) ?
? 15? ??
下面对各个参量进行影响因素的分析：
γ -120?
对于时角来说，由 t = t 0 +
15? ，h = 15??(t -12) 式子可知，时角的变化与
? 2π (284 + n ) ?
当地经度 γ 的变化以及时间 t 0 有关；对于赤纬角，由 δ = 23.45?sin ?
? 365 ?
式子可知，赤纬角的变化与当地日期有关，而在此模型中，日期为定值，故可认 为赤纬角 δ 为常量；对于太阳高度角，由
sin θ = cos h cos δ cos φ + sin δ sin φ 式子可 知，太阳高度角的变化，与时角的大小，纬度的大小有关，即与经纬度的大小有 关，我们可以将其理解为地点的变化；对于太阳方位角，由式子 (8)可知，太阳 方位角的变化，与时角的大小，纬度的大小以及太阳高度角有关，即与经纬度的 大小有关，同样可以将其理解为地点参数的变化。
综上，我们对参量的影响因素进行总结，可以得到下表：
表 4 影响因素分析
可以发现，在式 (13) 中，方程右端的未知量只有地点坐标 (γ ,φ ) 和北京时间 t 0 ，故可以将其简化为如下形式：
F (γ ,φ, t 0 ) = cos( A )
(14)
式中，映射 F 表示方程右端关于地点坐标 (γ ,φ ) 这两个自变量的函数。
i
' ' S = i
? ?? ? ?
因此，对于 21 个不同时刻对应的太阳方位角 A i (i = 1, 2,..., 21) ，我们可以得出
21 个不同的方程，将其列成方程组如下所示：
?F (γ ,φ, t 0 ) = cos( A 1 )
?
?F (γ ,φ, t 0 ) = cos( A 2 )
?
? ??F (γ ,φ, t 0 ) = cos( A 21 )
(15) 由式 (9) ，我们可以根据地点坐标
(γ ,φ ) 计算得出此处不同时刻的太阳方位角 A i ，将其去前一项作差，即可得到太阳方位角的差值 ?A i ；由式 (7) ，我们可以根
'
'
据地点坐标 (γ ,φ ) 算出此处不同时刻下的影子长度 S ' ，对其进行归一化处理，可 以得到：
S i -
21
∑ S i '
归i S
' 21 i =1 - S '
(16)
i m ax
i m in
对此我们可采用遍历算法对不同经纬度 (γ ,φ ) 下的太阳方位角的插值 ?A ' 以 及归一化后的影子长度 S 归i 优解。
进行求解，从而与实际值作差进行比较，进而得出最 故此，我们建立多目标规划模型：
20 ? ∑ i
i 目标函数： ? min | ?A - ?A ' | i =1
21 (17) ?min | S
- S ' | ∑ 归i 归i ? i =1
?-180? ≤ γ ≤ 180? 约束条件： ?
-90? ≤ φ ≤ 90? ?0? ≤ θ ≤ 90?
(18) 式中， ?A i 表示实际的太阳方位角， S 归i 表示归一化后的实际影长。 5.2.1 模型的求解
为了方便计算机编程求解，我们对经纬度进行离散化处理，选取步长为 0.01， 对其进行 MATLAB 编程求解：
表 5 定点坐标数据
表 6 误差分析表
1
A题太阳影子定位 一，摘要 （宋体小四号，简明扼要的详细叙述，字数不可以超过一页，不要译成英文） 本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。 第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。 第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。 关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法 二，问题提出 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技 术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用 你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39 度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直 杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据， 给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个 可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 三，问题分析
太阳影子定位 摘要 太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子长度变化，来确定物体所在的时间和地理位置。本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系，采用几何关系和MATLAB编程等方法，对所给问题分别给出了数学模型及处理方案。 针对问题一，确立影长变化模型。首先以经度、纬度、日期、时间、杆长为参数分析影长的变化规律，通过中间变量太阳高度角、赤纬角、时角确立影长变化模型。其次利用影长变化模型，运用MATLAB进行编程，求解出天安门在9:00-15:00影长变化曲线类似一条凹抛物线，其中最短影长出现时刻为多少分，影长为多少m。
一、问题重述 1.1问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.2问题提出 问题一：建立影子长度变化与各个参数关系的数学模型，并应用所建模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 问题二：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点，据此确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点。 问题三：在前一问的基础上进一步确定影子顶点坐标与日期的变化关系，建立模型并确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点与日期。 二、问题分析 这属于竿影日照数学问题，把竿顶影子端点坐标移动轨迹， 2.1问题一的分析 针对问题一首先为了建立影子长度变化的数学模型，应先确定影响影子长度变化的因素，拟选取直杆所在经度、纬度、日期、时刻及杆长为参数建立数学模型。由于题设中未直接给出关于影长与五个参数的数据，所以拟通过中间量描述影长与上述五个参数之间的关系。查阅相关资料得到可以太阳高度角、太阳赤纬角、太阳时角及太阳方位角四个中间参量作为转换分析中间变量，再根据四个中间变量得到影长与 5 个参数的函数关系式，即影长长度变化的数学模型。最后将天安门广场的 5 个参数带入影长变化模型，可得到杆影的变化曲线，分析影子长度关于各个参数的变化规律。 2.2问题二的分析 针对问题二以直杆的太阳影子顶点为坐标数据建立数学模型，并应用于附件 1 的影子顶点坐标数据求解直杆位置。可视为已知影长坐标、日期和时刻，求影长所在的地点的问题。首先应根据影长坐标计算实际太阳影长，本文拟将附件 1
对太阳影子定位算法探究 摘要 本文是对2013年全国大学生数学建模竞赛A题的解答.随着人们对数据挖掘的深入，如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期已经成为视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，进而可以促进视频分析定位技术发展。 对于问题一，我们根据地球自转公转的自然规律，建立影子长度变化的数学模型，并且分析影子长度关于各个参数的变化规律。基于对问题的分析以及理论的学习研究，画出模拟概念图，然后计算相关量（如太阳高度角、赤纬角等）的表达式，并按照相关地理知识建立起模型，得到杆子影长与时间函数表达式，再将题目所给的数据代入求解方程，并用MATLAB作出曲线图，最后检验模型的准确性。 对于问题二，我们以问题一所求出的表达式和资料作为基础，继而利用球面天文学求算太阳视坐标的简化算法建立一模型直接求解出经度，纬度的估算值。再代进数据并用利用多项式拟合出更长的时间序列曲线，用函数的特征值（最低点）加上时角，时区计算相关知识，再推算出经度值。最后利用第一问模型，经度，加上曲线获得的几组影长数据联立求解出大致纬度，最后估算杆子所在的地区。 对于问题三，结合问题一问题二所建立的模型，将附件2，附件3的数据先画出散点图并以多项式拟合出两条相对完整的曲线，通过其曲线函数求得影长的最小值以及最小值所对应的时间求得经度，纬度，将经度和纬度代入赤纬角公式以及影长公式可求得相应的具体日期。 对于问题四，首先将视频数据利用MATLAB，并且编程处理视频得到每分钟一帧的图片，再把相关图片转化为灰度图矩阵，最后用语句转化为二值图（0为黑，1为白）。下一步把二值图集分析并且分析出杆子影长的变化规律，求出视频拍摄点经度，利用模型一求出纬度，即是位置。 关键字：影长位置 MATLAB编程多项式拟合最小二乘法二值图
基于实数离散逐级优化模型的太阳影子定位问题 摘要 本文研究了基于实数离散逐级优化模型的太阳影子定位问题 针对问题一，本文运用天文、地理知识和基本的几何关系，得到影长关于各个参数的函数关系子模型，并建立影长逐级代换模型。我们首先找出影响影子变化的因素，即时间、日期、地理位置、杆的高度；再根据定量分析的方法，得出影子变化与四种因素的变化规律；然后将不同地理位置均按120°E正午12点为0°时角计算当地时角，并通过构建太阳高度角与杆长的简单直角三角图形，利用MATLAB [1]软件计算得出北京时间9:00—15:00时间段内影子的变化曲线。根据曲线得出，该时间段内影长的变化范围在 3.674m—7.366m。每个整点影长如 标求出每个时刻所对应的方位角，将问题一和二中关系式联立，以1°为步长，通过编程遍历整个坐标系分别解出对应时刻不同地理位置所求出的方位角与理论方位角最接近的地理位置，每一点只对应一个时刻。再根据所给信息进行大致筛选，并通过求筛选出的任意一点同其他时刻理论方位角与实际方位角差的平方和最小时的点进行二次筛选。由于误差较大，我们需通过实数离散逐级求解模型，来分别以1分和1秒为步长对先前的二次筛选点进行小范围的遍历，遍历规则同上。最终求出最佳近似位置为： （39°29’30”N，120°29’30”E） 针对问题三，同样利用问题二中模型，增加了日期变量，此时所需遍历参数为经度、纬度、日期,用模型二的方法初步得到21个三维坐标，然后由此21个数据定出与它们方差最小的点的坐标，再进一步减小步幅，得到新的精度更高的21个坐标（精度达到分），重复以上步骤确定经纬精度达到1秒，日期精度达到1日，以此作为我们逐层优化得到的近似最优解，也就确定了坐标。最终求出最佳近似位置和日期分别为： 附录2：（35°29’29”N，31°29’29”E） ,日期为10月6日 附录3：（53°29’29”N，124°29’30”E）,日期为2月4日针对问题四，首先对视频进行截图，取时间间隔1min，对图片进行增大对比度处理，建立空间距离矩阵，确定影子长度，位置的变化，进行相应的处理，确定坐标系，坐标点，第一小问就转化为了问题二模型进行求解了，第二小问缺少日期，符合模型三，利用模型三求解即可 关键词：逐级遍历优化、近似最优位置、控制变量法、问题归并
西安邮电大学 (理学院) 数学建模报告 题目：太阳影子定位问题 班级：信息工程1403班 学号：03144079 姓名：侯思航 成绩： 2016年6月30日
一、摘要 本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。 关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法 二、问题提出 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 三、问题分析 第一问：根据物体在太阳光照射下将产生影子的自然现象,研究物体影子的形成原理, 通过分析太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化来建立数学模型。利用Matlab软件绘出影子长短随时间变化的图像。将问题中所给参数带入，解决问题。由于太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化。 第二问：通过对附件所给的影子坐标的数据，求出影子的长度，然后通过第一问的相关公式，对影长和时间的关系进行拟合，得到一个二次方程，得出影长的最低值，从而可知正午时间，再算出经度。
太阳影子确定位置 太阳影子定位摘要太阳影子定位摘要太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子长度变化，来确定物体所在的时间和地理位置。 本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系，采用几何关系及MATLAB软件编程、数学建模等方法，对问题一、问题二、问题三分别给出了数学模型及处理方案。 对于问题一，根据题目所给的时间，日期，地理位置，杆长等条件，首先确定影响影子长度的各个因素，然后再根据几何知识确定它们之间的数学关系，建立相关的数学模型。 再运用MATLAB软件进行编程及绘出影长与时间点的变化曲线图。 对于问题二，根据题目可知，在时间点，日期，影子坐标已知的条件下，需要求出所测点的地理位置，即经纬度。 在问题一的基础上，我们根据问题一的相关结论，做出合理的假设。 用MATLAB软件拟合出所求点的影长与当地时间的关系曲线，确定各个影长所对应的当地时间。 根据附件1中所给点求出影长，找到对应的北京时间。 得到所求地与北京的时间差，即可用时间差和经度的关系求得当地的经度。 在问题二中，我们运用相关公式转换了坐标系，分析各个公式之间的相互转换，计算出题目所求地点的纬度。
从而，确定当地的位置。 对于问题三，给定时间与影子的坐标，确定日期及地理位置。 经度的确定与问题二中求得经度的方法一样，都是通过MATLAB 软件、时间差等方法求得的。 对于纬度的求解，则是运用相关因素之间的公式，转换变化得出日期与纬度之间的关系。 再用MATLAB软件进行穷举，得出所有的纬度，来确定的。 最后，对于论文的优缺点做出了评价，还给出了客观的改进建议。 关键词MATLAB 公式一．问题重述二．问题分析1.3问题三的分析三．模型建设1.假设题目中所给的数据全都真实可靠四．符号说明五．模型的建立与解决5.1 问题一：1.模型的准备2模型的建立3模型的求解5.2 问题二：1.模型的准备2.模型的建立（1）直角坐标系的转换原直角坐标系：根据附件1给出的一系列点的坐标，用Matlab软件编写程序，输入附件1中给定的点，得到偏转角度θ。 新直角坐标系：根据原直角坐标系得到的角度θ,以此角度θ为旋转角度，建立起新的坐标系。 公式1：公式1中，θ为旋转角度，x,y分别为原直角坐标系中的横、纵坐标，x1,y1分别是新直角坐标系的横、纵坐标。
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题太阳影子定位 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 太阳影子定位 摘要 本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。 针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度λ、纬度?、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N)等，引入地理学参数：太阳
赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数 间关系的模型：??? ????=?? ?? ????-+-=h l h l t 000tan )cos cos sin sin sin arccos(300151δ?δ?λ；其次以实例对模 型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度12时15分是最短，大约3.674米（表3）。影子长度的变化曲线（图5），9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分之15时影子长度呈现上升趋势；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。 针对问题二， 关键词 一、问题重述： 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
A题太阳影子定位 摘要
一.问题重述 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 二.问题分析 本题第一问是研究太阳影子长度随各个参数的变化规律，影响太阳影子长度的因素主要有时间以及地点，也就是当地的经纬度和时间来影响太阳高度角来影响太阳影子长度。 太阳高度角：对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。根据太阳高度角的计算公式： sin h=sin φ sin δ+cos φ cosδ cos t 即求出太阳高度角就能算出太阳影子长度。 本题第二问是根据第一问的模型通过最小二乘法拟合来判断大致的经纬度，从而确定地点。
第35卷第1期2017年2月 陕西科技太摩摩裉 Journal of Shaanxi University of Science & Technology Vol.35 No.1 Feb.2017 关 文章编号：1000-5811 (2017)01-0193-05 基于并列选择遗传算法的太阳影子定位方法 于鹏\刘泽锋2，郭改慧\陆金巧\吕杨1 (1.陕西科技大学文理学院，陕西西安710021: 2.陕西科技大学机电工程学院，陕西西安710021) 摘要：根据“立竿见影”和竿影日照图的原理，提出了一种太阳影子定位方法.首先结合太阳 高度角、太阳赤綷角，以理论影长和实际影长的相关系数最大和其误差平方和最小为目标函数 建立了求太阳影子定位的多目标优化模型，并以测量地的经綷度作为设计变量，运用并行选择 的遗传算法进行求解，实现了对测量地的精准定位.最后通过实例分析，指出与传统的枚举算 法相比，本文采用的遗传算法的求解结果无论在精度还是在收敛速度上都优于传统的枚举算法. 关键词：太阳影子定位；多目标优化；并行选择；遗传算法 中图分类号：TP391 文献标志码：A Positioning method by the shadow of the sun based on parallel selected genetic lgorithm YU Peng1，LIU Ze-feng2，GUO Gai-hui1，LU Jin-qiao1，LV Yang1 (1. School of Arts and Sciences,Shaanxi University of Science Technology,Xi^an 710021, China；2. Col- lege of Mechanical and Electrical Engineering,Shaanxi University of Science Technology,X i’an 710021，China) Abstract：According to the natural phenomenon that produces a shadow of objects under di-rect sunlight and the formation principle of stick sunlight shadow chart,the positioning method by the shadow of the sun is https://www.doczj.com/doc/de14601240.html,bined with relevant knowledge such as solar altitude and declination of sun.The multiple object optimization model,whose objective fun-ction is the maximum of correlation coefficient and the minimum of error sum of squares a-bout practical and theoretical shadow7s length,is built.Regarding longitude and latitude of measure area as design variables,the measure area is confirmedwith parallelism selection ge-netic algorithm.In the analysis of case,compared with enumeration method，there is the truth that,the result by genetic algorithm is more accurate and the solution speed is faster than enumeration method. Key words：positioning by the shadow of the sun；multiple object optimization；parallelism selection；genetic algorithm 收稿日期=2016-07-21 基金项目：国家自然科学基金项目（11401356) 作者简介：于鹏（1981 —），男，宁夏永宁人，讲师，硕士，研究方向：不确定推理
摘要 通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS 和mathematica 等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。 针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。 1*tan (arcsin(cos cos cos sin sin ))l L ?θ?θ-=Ω+ 然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB 编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。其次根据我们建立的模型，利用MATLAB 编程画出了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。 针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长l 为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS 进行拟合得到多组数据，再用MATLAB 进行检验得到符合的两组经纬度。 (19.251,109.645),(24.579,98.1)N E N E 然后我们又以太阳方位角K 为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长l 做回归目标时一样。我们分步做了两次拟合，先用MATLAB 拟合出经度，再做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度(18.74 ,109.35)N E 和杆长 1.993L m =。综 上可知，肯定有一地点是在海南，还有一个地点可能在云南。 针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20） 利用附件二得到的经纬度为(32.83N,110.25E)和杆长L 3.03m = ，得到天数307n =。利用附件三得到的经纬度为(39.19N,79.5E) 和杆长L 1.962m = ，得到天数=140n 针对问题四，首先运用MATLAB 软件，根据画面灰度，运用MATLAB 软件，把视频转化成二值图，求得影子端点的像素坐标，然后根据相似原理，把像素坐标转化成水平面上的坐标（消去了视角的影响），进而求得影子的长度。用以上方法求得的数据，运用多次拟合的方法，得到该地的经纬度为(34.32,108.72)N E ，日期未知时，得到的经纬度与其相似。 【关键字】 影子长度 多项式拟合 太阳方位角 画面灰度
太阳影子定位技术2015高教社杯数学建模获奖论文
太阳影子定位技术 摘要 本文以太阳影子定位技术为背景，结合直杆影子轨迹的变化规律建立数学模型。并运用视频数据分析的方法，确定拍摄地点及日期等地理信息条件。 第一问给出了北京时间、拍摄日期，以及拍摄地点的经纬度。我们可以结合太阳赤纬、时角、直杆的经纬度与太阳高度角之间的关系建立模型，求出符合时间条件要求的太阳高度角，再根据已知的杆的高度和三角公式求出影长关于时间的变化曲线。 第二、三问在第一问的基础上增加难度，使部分变量未知。通过文献查阅和方程推导，得出阴影运动轨迹形状是双曲线的一支，并且具体形状和当地的纬度以及赤纬有关，本文根据这点进行模型假设与建立。附件中给出的坐标并不一定是标准地理坐标，通过对其进行坐标变换，引入了实际坐标系与标准地理坐标系的偏角。 在拟合多项高次变量组成的隐函数方程的过程中，为增加精确度，运用最小二乘法进行拟合求解未知参量时，可以利用直杆阴影顶点轨迹的形状，建立参量和变量之间的关系，简化需拟合的隐函数方程。 这样就可以根据太阳影子顶点横纵坐标以及对应的时刻，把偏角、纬度、经度、日期作为未知参数进行拟合，得出要求的地理位置和相应的日期。如通过对附件1数据的拟合求解可得到一组地理坐标（东经104.425度，北纬15.6578度），对附件2数据的拟合求解可得一个可能的日期6月21日，坐标（东经116度，北纬26度），由附件3得到的可能的日期地点为：6月21日，（东经164.55度，北纬71.26度）。
为了便于定位，根据一般工程的实际需求，对美国天文学家纽康（New Comb）提出的太阳公式作了综合、简化，舍去了一些高阶微小量。结合测量学的理论，用数学模型进行非线性拟合求得直杆所处的经纬度。 第四问给出一段视频，实际是对前三问模型的实际应用。本问对一些已有的论文以及专利进行借鉴，创新与简化。首先对视频中的图像进行取帧，在灰度处理中因为技术限制，改为运用Matlab二值化处理。并根据简单测量画出运行轨迹。 运用主元分析法求得阴影尖端坐标与杆底坐标的关系。确定影子的运动轨迹。之后借鉴已有成熟理论将2D图像去畸变，恢复仿射的度量属性，通过对3D图形转变2D过程的逆向推导，将坐标恢复为符合现实要求的坐标。之后回归前几问建立的的日晷数学模型进行求解，得到一个可能的地理坐标为（东经104.9度，北纬25.33度）。并在最后进行误差修正。 关键词：日晷投影原理、杆影端点轨迹、非线性最小二乘法、主元分析法、二值化处理、Floodfill图论算法
太阳影子定位模型建立 摘要 本文讨论求解了在直杆影子随时间变化过程中，在知道日期、杆位置、影子坐标、时间等参数条件中的某几个前提下，设计了确定型模型进行求解。 分析太阳方位与直杆影子关系，首先，将地球自转公转视为地球不动太阳动，利用立体几何知识得出太阳高度角与影子长度关系。问题一的关键在于太阳高度角与日期、竿位置、时间参数的关系。问题二中我们将立体平面化，把太阳与地球的运动关系转化为平面上的角度关系，使模型简明直接。在模型求解时，我们把各解看为离散型随机变量，对解进行权重处理，最后求得较精准的解。问题三，先结合前两题的模型预处理，再利用matlab据最小二乘法原理，来对目标函数进行曲线拟合求解。对问题四中视频进行分段截取照片处理，用photoshop软件测量影子长度与时间关系，再结合前几题模型与求解方法，可求得结果。问题被函数化，模型简明直接，提高了确定性。 关键词：太阳高度角，立体平面化，权重处理，matlab曲线拟合 问题重述 确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 通过影子长度变化建立数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出某时间段某地某固定直杆的太阳影子长度的变化曲线。 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。并利用模型对附件1的影子顶点坐标数据进行求解，求出若干个可能的地点。
根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件的影子顶点坐标数据，求出若干个可能的地点与日期。 根据一根直杆在太阳下的影子变化的视频，直杆的高度为2米。建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。日期未知下再尝试求解。 问题分析 根据影子变化来确定时间地点和时间，我们把地球自转看成太阳绕地球转，可以转化为太阳方位与地球各地点和时间的关系问题。 对于问题一：可以把影子长度变化规律转化为光线与水平面夹角的变化规律。我们根据地球自转公转规律和立体几何知识建立模型，且该模型得能体现光线和地面的夹角与日期时间、地理位置的关系，最后通过matlab画出影子长度随时间的变化曲线。 对于问题二：问题二相比问题一缺少一个已知量，无法通过问题一中的模型来求解，我们把太阳与直杆影子的关系转化为了平面角度关系，进而简便有效地求出杆的位置。 对于问题三：已知量较前一问更少，故我们先结合问题一和二建立的模型，再应用matlab进行曲线拟合求得参数解。 对于问题四：通过提取视频特定帧，测量出杆的影子随时间变化的实际长度数据，与问题三类似，结合模型用matlab曲线拟合求解即可，或者取多组数据用lingo软件求解方程组。 模型假设 1.假设地球公转轨迹近似为圆。 2.忽略太阳光线进入大气层时的折射误差。 3.假设地面是水平的且直杆垂直地面。 4.忽略太阳直射点纬度一天内的变化。 5.假设所给数据准确可靠。 定义和符号说明 H：杆长
太阳影子定位的模型建立 摘要 太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。为了准确地确定视频拍摄的地点和日期，从而为视屏数据的分析作铺垫，本文基于太阳影子定位技术，运用天体物理学理论和数学几何知识，建立了影子长度变化的数学模型，及其参数的变化规律，并应用此模型画出了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线是二次函数；利用遗传算法、三次样条插值和图像调整坐标系，建立了任一固定直杆位置的数学模型，并得到了直杆所处的地点；投影角度与太阳角速度之间的关系，以及参数估计算法，建立了任一固定直杆位置的数学模型，并得到了直杆所处的地点与日期；利用Matlab r2014b，确定了视频拍摄地点的数学模型和可能的拍摄地点。 问题一，基于天体物理学理论和数学几何知识，利用太阳高度角公式、时角公式和赤纬角公式，计算得到了影子长度变化的数学模型及其参数的变化规律，通过Matlab软件模拟仿真得到了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线图。从图中可以看到，太阳影长随时间的变化先缩短后伸长，呈现出一个较为对称的图像，并可清晰看出在中午12点左右，图像有一个最低点，此时影长大致为3.8米左右。 问题二，基于遗传算法，利用三次样条插值和图像调整坐标系，建立了直杆所处地点轨迹的数学模型。再利用二次多项式拟合影子轨迹求出当地正午时间，即可根据北京时间求出大致经度。最后建立太阳影子定位的优化模型，从而得出若干可能的地点。 问题三，基于某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，利用投影角度和太阳角速度之间的关系，参数估计算法，建立模型直杆所处的观测日期和经纬度，从而求出直杆所处地点的参数方程。运用Matlab软件编程数据拟合了附件1的影子顶点的坐标数据，得到了直杆影子的轨迹图和其长度的变化图。 问题四，利用Matlab r2014b工具箱中的视频查看器播放视频获得截图，使用图片查看器中的测距工具测量视频中的直杆长度为680，从而得到视频中尺度和实际尺度的比例尺为340：1。从北京时间8:54:20每间隔3051帧（2分钟）截取图片，测量出对应时刻的视频影长l，利用Excel记录数据并计算出实际影长L。建立模型时采用最小二乘法拟合出方程，最终得出视频拍摄点的若干可能位置。 关键词：太阳影子定位遗传算法三次样条插值法图像调整坐标系最小二乘法Matlab软件
A题太阳影子定位 令狐文艳 一，摘要 （宋体小四号，简明扼要的详细叙述，字数不可以超过一页，不要译成英文） 本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。 第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。 第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的
地点。关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法 二，问题提出 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影 子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规 律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间 天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的 太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型 确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出 若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模 型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影 子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式 估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们 的模型给出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 三，问题分析 第一问：根据物体在太阳光照射下将产生影子的自然现象,研究物体影子的形成原理, 通过分析太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化来建立数学模型。利用Matlab软件绘出影子长短随时间变化的图像。将问题中所给参数带入，解决问题。由于太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化第二问：通过对附件所给的影子坐标的数据，求出影子的长度，然后`1通过第一问的相关公式，对影长和时间的关系进行拟合，得到一个二次方程，得出影长的最低值，从而可知正午时间，再算出经度 四，建模过程 第一问 1．模型假设
太阳影子定位技术 摘要 本文以太阳影子定位技术为背景，结合直杆影子轨迹的变化规律建立数学模型。并运用视频数据分析的方法，确定拍摄地点及日期等地理信息条件。 第一问给出了北京时间、拍摄日期，以及拍摄地点的经纬度。我们可以结合太阳赤纬、时角、直杆的经纬度与太阳高度角之间的关系建立模型，求出符合时间条件要求的太阳高度角，再根据已知的杆的高度和三角公式求出影长关于时间的变化曲线。 第二、三问在第一问的基础上增加难度，使部分变量未知。通过文献查阅和方程推导，得出阴影运动轨迹形状是双曲线的一支，并且具体形状和当地的纬度以及赤纬有关，本文根据这点进行模型假设与建立。附件中给出的坐标并不一定是标准地理坐标，通过对其进行坐标变换，引入了实际坐标系与标准地理坐标系的偏角。 在拟合多项高次变量组成的隐函数方程的过程中，为增加精确度，运用最小二乘法进行拟合求解未知参量时，可以利用直杆阴影顶点轨迹的形状，建立参量和变量之间的关系，简化需拟合的隐函数方程。 这样就可以根据太阳影子顶点横纵坐标以及对应的时刻，把偏角、纬度、经度、日期作为未知参数进行拟合，得出要求的地理位置和相应的日期。如通过对附件1数据的拟合求解可得到一组地理坐标（东经104.425度，北纬15.6578度），对附件2数据的拟合求解可得一个可能的日期6月21日，坐标（东经116度，北纬26度），由附件3得到的可能的日期地点为：6月21日，（东经164.55度，北纬71.26度）。 为了便于定位，根据一般工程的实际需求，对美国天文学家纽康（New Comb）提出的太阳公式作了综合、简化，舍去了一些高阶微小量。结合测量学的理论，用数学模型进行非线性拟合求得直杆所处的经纬度。 第四问给出一段视频，实际是对前三问模型的实际应用。本问对一些已有的论文以及专利进行借鉴，创新与简化。首先对视频中的图像进行取帧，在灰度处理中因为技术限制，改为运用Matlab二值化处理。并根据简单测量画出运行轨迹。 运用主元分析法求得阴影尖端坐标与杆底坐标的关系。确定影子的运动轨迹。之后借鉴已有成熟理论将2D图像去畸变，恢复仿射的度量属性，通过对3D 图形转变2D过程的逆向推导，将坐标恢复为符合现实要求的坐标。之后回归前几问建立的的日晷数学模型进行求解，得到一个可能的地理坐标为（东经104.9度，北纬25.33度）。并在最后进行误差修正。 关键词：日晷投影原理、杆影端点轨迹、非线性最小二乘法、主元分析法、 二值化处理、Floodfill图论算法
高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题太阳影 子定位 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
摘要 通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS和mathematica等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。 针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。 然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。其次根据我们建立的模型，利用MATLAB编程画出了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。 针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长l为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS进行拟合得到多组数据，再用MATLAB进行检验得到符合的两组经纬度。 然后我们又以太阳方位角K为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长l做回归目标时一样。我们分步做了两次拟合，先用MATLAB拟合出经度，再 N E和杆长 做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度(18.74,109.35) =。综上可知，肯定有一地点是在海南，还有一个地点可能在云南。 1.993 L m 针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20） =，得到天数 利用附件二得到的经纬度为(32.83N,110.25E)和杆长L 3.03m =，得到天n=。利用附件三得到的经纬度为(39.19N,79.5E)和杆长L 1.962m 307 n 数=140 针对问题四，首先运用MATLAB软件，根据画面灰度，运用MATLAB软件，把视频转化成二值图，求得影子端点的像素坐标，然后根据相似原理，把像素坐标转化成水平面上的坐标（消去了视角的影响），进而求得影子的长度。用以上方法求得
太阳影子定位 摘要：太阳影子定位技术就是通过分析物体影子变化，确定物体所在经纬度的技术。本文根据几何关系，结合穷举算法和相似度算法对给定大致经纬度范围内的物体进 行精确经纬度定位的研究。我们首先通过太阳高度角与各个参数之间的关系，确立了影子长度与经纬度、日期、时间以及杆高之间的函数关系。接着，我们探讨建立了日期已知的经纬度定位模型，优化了之前的影长变化模型，将其结合了遍历算法。先通过影子顶点变化曲线特性分析缩小遍历范围，再遍历了不同杆长所有可能的经纬度。利用欧式距离算法衡量影长与遍历计算出的影长之间的相似度，欧氏距离最小的地点为最可能的直杆所处地点。最后，我们探讨了日期未知下的经纬度定位模型。对之前的模型进行了进一步的优化：引入影子方位角变化量作为描述影子方位随时间变化特性 的参数，与影长结合共同描述影子变化特性。以影长相似度最高作为目标进行一次遍历，接着以影子方位角变化量相似度最高作为目标，对一次遍历结果进行二次遍历，以求得与其相似度最高的地点的经纬度和对应的日期，并用欧式距离检验。 关键词：经纬度、遍历算法、欧氏距离
DOI：10.16640/https://www.doczj.com/doc/de14601240.html,ki.37-1222/t.2016.09.218 1 影长变化模型的建立 我们设直杆影子长度为l，直杆长度为z。 太阳高度角是太阳射到地面的平行光线与地面的夹角，设其为h，范围为（0°，90°）。 因为太阳光射到地面为平行光，又假设地面平整，固定直杆垂直于地面，则有影长与直杆长度z和不同时刻的太阳高度角h的三角关系。 其中，h是太阳高度角，为当地纬度，规定北纬度数为正，南纬度数为负，所以范围为（-90°，90°），δ为太阳赤纬角，即太阳直射点所在的纬度，范围为（-23°26’，23°26’），Ω为太阳时角。 由图1可以看出，太阳赤纬角就是太阳直射点所在的纬度。太阳在地球上的直射点的纬度变化以年为周期，直射点在北纬23°26’到南纬23°26’的范围内移动，太阳赤纬由日期确定，夏至时太阳照射在北回归线，即北纬23°26’，冬至时太阳照射在南回归线，即南纬23°26’。一天之中赤纬角的变化可忽略不计。因此固定日期的赤纬角δ可以当做常数。 赤纬角的计算公式可以查阅资料（资料名称见参考文献[2]）得到，如下： δ=0.006918-0.399912×cos（β）+0.0070257×sin（β）