抛物线专题复习
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率
焦半径
焦点弦公式
()
022
>=p px
y
x
y
O
F
l
()
0,0
x 轴 ??? ??0,2p 2
p x -= 1=e 0
2x p
PF +=
)(21x x p AB ++=
()
022>-=p px
y
x
y
O F l
()
0,0
x 轴 ?
??
??-0,2p
2
p x = 1=e 02
x p PF -=
)(21x x p AB +-=
()
022>=p py
x
()
0,0
y
轴
??? ??2,0p 2
p y -= 1=e 02y p
PF +=
)(21y y p AB ++=
()
022>-=p py
x
()
0,0
y
轴
?
?? ?
?
-2,0p
2
p y = 1=e 0
2
y p
PF -=
)(21y y p AB +-=
通径:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径:d 2=
AB 为抛物线px y 22
=的焦点弦，则=B A x x 4
2p ,=B A y y 2
p -,||AB =p x x B A ++
考点１ 抛物线的定义
[例1 ］已知点P 在抛物线x y 42
=上,则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程: (１)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质
[例3 ]设B A ,为抛物线px y 22
=上的点,且O AOB (2
π
=
∠为原点)，则直线AB 必过的定点坐标为＿_＿_＿__
[例４ ］设F 是抛物线2
:4G x y =的焦点.（Ｉ）过点(04)P -，
作抛物线G 的切线,求切线方程; (II)设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=?→
→
FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．
二.基本题型
1．过抛物线x y 42
=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ,那么||AB =( ) (A)10 （Ｂ）8 (Ｃ）6 （D ）4
２．已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，,333()P x y ，在抛物线上,且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ )
A ．321x x x =+? B. 3
21y y y =+
Ｃ．2312x x x =+ Ｄ． 2312y y y =+
３．已知M 为抛物线x y 42
=上一动点,F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ) （A)３ （B)4 (C)5 （Ｄ）6 ４.过抛物线()02
>=a ax
y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点,则
=+|
|1
||1QF PF ( ） （A ）a 2 （B)
a 21 (C)a 4 (D ）a 4 5．已知抛物线C :2
4y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线Ｃ上的点A 作准线l 的垂线，垂足为Ｍ，若△ＡＭＦ与△A
ＯＦ(其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1,则点A 的坐标为( )
A.(2，2错误!) ??B ．(2，－２错误!) C ．(2,±错误!)
D.（２,±2错误!)
6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B ，若A 、Ｂ在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A （ ） A.
45 Ｂ.
60 C ．
90 D.
120
7．两个正数a 、b 的等差中项是
92
,一个等比中项是且,b a >则抛物线2
()y b a x =-的焦点坐标为（ ) A.1(0,)4- B.1(0,)4 C ．1(,0)2- Ｄ.1(,0)4
-
8．抛物线,42
F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3
π
的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于( ）
A ．33?
B ．34
C ．36
D ．38
9．已知抛物线Ｃ:2
1
2
x y =
,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是( ）
A ．(,1)(1,)-∞-+∞
B ． 2
(,)(,)22
-∞-
+∞ Ｃ.(,(22,)-∞-+∞ D ．(,(2,)-∞-+∞ １0.如果1P ,2P ，…，8P 是抛物线2
4y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…,8x ，Ｆ是抛物线的焦点，若
)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =( ).
A.5 B ．6 C ． 7 D .9
11．设O 是坐标原点,F 是抛物线2
4y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60,则OA
为 .
１2．若直线10ax y -+=经过抛物线2
4y x =的焦点,则实数a =
13.若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线2
213
x y -=的右焦点重合,则p 的值 14.(文)如图,过抛物线y ２
=２px (ｐ＞0）的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点,且｜FA ｜=３,则抛物线的方程是_______＿．
? 1５．抛物线的顶点在原点，开口向上,F 为焦点M ,为准线与y 轴的交点A ,为抛物线上一点，且3||,17||==AF AM ,求此抛物线的方程．
16．在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标.
1７.设抛物线2
2y px =(0p >)的焦点为,F 经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点．点C 在抛物线的准线上,且
BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O .
1８.已知直线b x y +=与抛物线px y 22
=()0>p 相交于A 、B 两点,若OB OA ⊥,(O 为坐标原点)且52=?AOB S ,
求抛物线的方程．
1９．椭圆12222=+b y a x 上有一点)5
9,4(-在抛物线px y 22
=(p>0)的准线l 上,抛物线的焦点
也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程;
(2)若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离,求||||NQ MN +的最小值.
20．椭圆C 1:22
21(04x y b
+=＜b <2)的离心率e =3,抛物线Ｃ2：22(x py p =>0)的焦点在椭圆C 1的顶点上. (1)求抛物线Ｃ2的方程；
(2)若过(1,0)M -的直线l 与抛物线C ２交于Ｅ、F 两点，又过E 、F 作抛物线Ｃ2的切线l 1、ｌ2,当ｌ１⊥l 2时，求直线l 的方程．
21．已知抛物线C :2
4y x =的焦点为,F 过点(1,0)K -的直线ｌ与Ｃ相交于A 、B 两点,点Ａ关于x 轴的对称点为D .
(1)证明：,点F 在直线BD 上；(2)设8
.9
FA FB →
→
?=求BDK ?的内切圆M 的方程.
20.(文)［解析］ (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2,半焦距c =4-b 2,
(理)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．
由离心率e =ｃａ
＝
＼r(4－b 2)
2
＝错误!得,b 2=１.
∴椭圆的上顶点为(0,１),即抛物线的焦点为(0,1),∴p ＝２，抛物线的方程为x 2＝4ｙ.
(2）由题知直线l 的斜率存在且不为零,则可设直线l 的方程为ｙ=ｋ(ｘ＋1),E (x 1，ｙ1)，Ｆ(x 2，y 2)， ∵y ＝１
4
x 2,∴ｙ′=＼f(1,2)x ，
∴切线l １，l 2的斜率分别为＼f(1,2）x １,错误!x 2, 当l １⊥ｌ２时,＼f(1,２)x １·错误!x ２=-1，即x 1·x ２＝－4, 由错误!得：ｘ2-4kx －4k =０,
由Δ=（-4k ）２-4×(－4k )＞０，解得k ＜-１或k >0.又ｘ1·x 2＝－4ｋ＝－4，得k ＝１. ∴直线l 的方程为x －ｙ＋1=0.
21.[解析] 设Ａ(x 1,y 1),Ｂ(x 2,y ２），D （x １，-y 1）,l 的方程为x ＝my -1(m ≠０)
(1)将x =my －1（ｍ≠０)代入y ２=4x 并整理得y 2－４ｍｙ＋4＝0,从而y 1+y ２=4ｍ,ｙ1y 2=4① 直线ＢD 的方程为ｙ-y 2＝＼ｆ（y 2＋y １,x ２－x 1)(ｘ－x ２），即ｙ-y 2=错误!错误! 令y =0,得x =
ｙ1y ２
4
=１,所以点F （1,0)在直线B Ｄ上．
(2）由(１)知，x １+x 2＝(m ｙ1－１)+(my ２-１)=4m 2－2,x １ｘ2＝（my 1-1）(ｍｙ２－1)=1
因为错误!=(x 1-1,y 1），错误!=（ｘ2－1,y 2），错误!·错误!=（x 1－１,y １)·（ｘ2-1，ｙ２)＝x 1ｘ2－(x 1＋ｘ２)+１＋4＝8－4ｍ2,
故8-4m 2=错误!,解得m ＝±错误!,
直线l 的方程为3x +4y +３＝0,3x -4y +3=０. 从而y ２－y 1＝±＼ｒ（(4m )2－４×４)＝±错误!错误!,故错误!＝±错误!
因而直线BD 的方程为３x ＋错误!y -３＝０,3x －错误!y －3=0.
因为KF 为∠ＢKD 的角平分线,故可设圆心M (t,0),(-1 ＼f(３|t -1|,４)， 由错误!＝错误!得t =错误!或t =9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝错误!＝错误!, 所以圆Ｍ的方程为错误!2＋y 2=错误!. 例4(I)设切点2004x Q x ?? ??? ，.由2x y '=,知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ,故所求切线方程为2000()42x x y x x -=-. 即2 04 24 x x y x =-. 因为点(0)P -4，在切线上．所以2 044 x -=-，2 16x =,04x =±．所求切线方程为24y x =±-. (II ）设11()A x y ，,22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在,由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，,所以直线AC 的方程为1y kx =+． 点A C ，的坐标满足方程组2 14y kx x y =+??=?，，得2440x kx --=,由根与系数的关系知121244.x x k x x +=??=-?， 24(1)AC k ===+． 因为AC BD ⊥,所以BD 的斜率为1k - ，从而BD 的方程为1 1y x k =-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ??+??=+-= ? ? ????? ．222 2218(1)18(2)322ABCD k S AC BD k k k +===++≥． 当1k =时,等号成立.所以,四边形ABCD 面积的最小值为32.
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