初中数学人教版八年级上册实用资料
第十四章整式的乘法与因式分解
14．1整式的乘法
14．1.1同底数幂的乘法
1．理解同底数幂的乘法法则．
2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
重点
正确理解同底数幂的乘法法则．
难点
正确理解和应用同底数幂的乘法法则．
一、提出问题，创设情境
复习a n的意义：
a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．
(出示投影片)
提出问题：
(出示投影片)
问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？
[生]运算次数＝运算速度×工作时间，
所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.
[师]1015×103如何计算呢？
[生]根据乘方的意义可知
1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.
[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．
二、探究新知
1．做一做
(出示投影片)
计算下列各式：
(1)25×22；
(2)a3·a2；
(3)5m·5n.(m，n都是正整数)
你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．
[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)
＝27＝25＋2.
因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得
a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.
5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n.
[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？
(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；
(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议
(出示投影片)
[师生共析]
a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n
于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．
[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.
[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．
3．例题讲解
出示投影片
[例1]计算：
(1)x2·x5; (2)a·a6；
(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.
[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？
[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？
[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．
[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．
[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：
(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；
(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；
(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；
(4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1.
[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．
解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p
＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p；
解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p；
解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a m＋n＋p
归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是
直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．
[师]是的，能不能用符号表示出来呢？
[生]am1·am2·am3·…am n＝am1＋m2＋m3＋…m n.
[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．
2×24×23＝21＋4＋3＝28.
三、随堂练习
1．m14可以写成()
A．m7＋m7B．m7·m7
C．m2·m7D．m·m14
2．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为()
A．7 B．10 C．25D．52
3．计算：－22×(－2)2＝________；
(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．
4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；
(2)106·105·10；
(3)x2·(－x)5；
(4)(a＋b)2·(a＋b)6.
四、课堂小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．
五、课后作业
教材第96页练习．
本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．
14．1.2幂的乘方
1．知道幂的乘方的意义．
2．会进行幂的乘方计算．
重点
会进行幂的乘方的运算．
难点
幂的乘方法则的总结及运用．
一、复习引入
(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：
(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.
二、自主探究
1．思考：
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：
(1)(32)3＝32×32×32＝3()；
(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；
(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a()．(m是正整数)
2．小组讨论
对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？
幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个
＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))
＝a mn
字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
注意：
幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.
三、巩固练习
1．下列各式的计算中，正确的是()
A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6
C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x6
2．计算：
(1)(103)5; (2)(a4)4；
(3)(a m)2; (4)－(x4)3.
四、归纳小结
幂的乘方的意义：
(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)
五、布置作业
教材第97页练习．
运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．
14．1.3积的乘方
1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
重点
积的乘方运算法则及其应用．
难点
幂的运算法则的灵活运用．
一、问题导入
[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3cm3.
[师]这个结果是幂的乘方形式吗？
[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．
[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．
二、探索新知
老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．
(出示投影片)
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；
(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；
(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整数)
2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．
3．解决前面提到的正方体体积计算问题．
4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．
5．完成教材第97页例3.
学生探究的经过：
1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；
(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)
＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；
(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab
＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.
2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)
3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：
V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．
通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：
(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？
学生讨论后得出结论：
三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数) 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数)
分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：
a n·
b n＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义
＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律
＝(a·b)n——乘方的意义
5．[例3]
(1)(2a)3＝23·a3＝8a3；
(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；
(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；
(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.
(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)
[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：
(1)积的乘方法则：
积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)
(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)
(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n＝(abc)n.(n为正整数)
三、随堂练习
1．教材第98页练习．
(由学生板演或口答)
四、课堂小结
(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？
五、布置作业
(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.
本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。实际问题情境的设置，在于让学生感受到研究新问题的必要性，带着问题思考本节课，更容易理解重点、突破难点．
14．1.4整式的乘法(4课时)
第1课时单项式乘单项式和单项式乘多项式
1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．2．会进行整式的混合运算．
重点
单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则及其应用．
难点
灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算．
一、复习导入 1．知识回顾：
回忆幂的运算性质：
a m ·a n ＝a m ＋
n (m ，n 都是正整数)，
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (a m )n ＝a mn (m ，n 都是正整数)，
即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (ab)n ＝a n b n (n 为整数)，
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
口答：
幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述的内容作复习． 2．练一练
(a 2)2＝____________； (－23)2＝____________； [(－1
2)2]3＝____________；
(a 3)2·a 3____________； 23·25＝____________； (3
2
xy 2)2＝____________； (－53)5(－3
5
)5＝____________． 二、探究新知 问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米？ 注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．
地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米．问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢？学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：
(3×105)×(5×102)＝(3×5)×(105×102)＝15×107(为什么？)
在此处再问学生更加规范的书写是什么？应该是地球与太阳的距离约为1.5×108千米． 请学生回顾，我们是如何解决问题的．
问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac 5·bc 2，你会算吗？ 学生独立思考，小组交流． 注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．
学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac 5和bc 2分别看成a·c 5和b·c 2，再利用乘法交换律和结合律． ac 5·bc 2 ＝(a·c 5)·(b·c 2) ＝(a·b)·(c 5·c 2)
＝abc 5＋
2
＝abc7.
注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．
[探究一]
类似地，请你试着计算：
(1)2c5·5c2；(2)(－5a2b3)·(－b2c)．
ac5和bc2，2c5和5c2，(－5a2b3)和(－4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法？
注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3．算一算
例1：教材例4.
在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则．分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．例2小民的步长为a米，他量得家里卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米？
注：将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．
4．辩一辩
教材第99页练习2.
注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
[探究二]
1．师生共同研究教材第99页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．注：这个实际问题来源于学生的实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学习不难得到结论．
2．试一试
计算：2a2·(3a2－5b)．(根据乘法分配律)
注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．3．想一想
从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘？
学生发言，互相补充后得出结论：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
4．做一做
教材例5.(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号) 注：学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．
教材第100页练习．
三、课外巩固
1．必做题：教材第104～105页习题14.1第3，4题．
2．备选题：
(1)若(－5a m＋1b2n－1)(2a n b m)＝－10a4b4，则m－n的值为________；
(2)计算：(a3b)2·(a2b)3；
(3)计算：(3a 2b)2＋(－2ab)(－4a 3b)； (4)计算：(－52xy)·(23xy 2－2xy ＋4
3
y)．
本节课采用引导发现法．通过教师精心设计的问题链，引导学生将需要解决的问题转化成用已经学过的知识可以解决的问题，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用，学生始终处在观察思考之中．
第2课时 多项式乘多项式
经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则，灵活运用多项式乘以多项式的运算法则．
重点
多项式乘法的运算． 难点
探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“负号”的问题．
一、情境导入
教师引导学生复习单项式×多项式运算法则． 整式的乘法实际上就是： 单项式×单项式； 单项式×多项式； 多项式×单项式．
组织讨论：问题 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m ，宽p m 的长方形绿地，加长了b m ，加宽了q m ．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
如何计算？小组讨论，你从计算过程中发现了什么？ 由于(a ＋b)(p ＋q)和(ap ＋aq ＋bp ＋bq)表示同一个量， 即有(a ＋b)(p ＋q)＝ap ＋aq ＋bp ＋bq. 二、探索新知 (一)探索法则
根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：
在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法则并板书法则．
让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
(二)例题讲解与巩固练习
1．教材例6计算： (1)(3x ＋1)(x ＋2)； (2)(x －8y)(x －y)；
(3)(x ＋y)(x 2－xy ＋y 2)． 2．计算下列各题： (1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)(a －4)(a ＋1)； (3)(y －12)(y ＋13)；
(4)(2x ＋4)(6x －34
)；
(5)(m ＋3n)(m －3n)； (6)(x ＋2)2.
3．某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S.
练习点评：根据学生的具体情况，教师可选择其中几题，分析并板书示范，其余几题，可由学生独立完成．在讲解、练习过程中，提醒学生对法则的灵活、正确应用，注意符号，不要漏乘．
注意 一定要用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在计算时要注意多项式中每个单项式的符号． 三、课堂小结
指导学生总结本节课的知识点，学习过程的自我评价．主要针对以下方面： 1．多项式×多项式．
2．多项式与多项式的乘法．
用一个多项式中的每项乘另一个多项式的每一项，不要漏项．在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是这两个多项式项数之积．
四、布置作业
教材第102页练习题．
本节课由计算绿地面积出发，通过几种不同的计算图形面积方法，得出多项式相乘的法则，整个教学过程的主线和重点定在学生如何自主地探索多项式乘法法则的过程以及如何熟练运用法则解决问题，充分调动了学生学习的积极性．教师不仅是教给学生知识，还要重视学习方法的指导和培养．
第3课时 同底数幂相除
1．掌握同底数幂的除法的运算法则． 2．会用同底数幂的除法的法则进行计算．
重点
准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．
难点
根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．
一、问题导入
1．叙述同底数幂的乘法运算法则．
同底数幂相乘，指数相加，底数不变．即a m·a n＝a m＋n.(m，n是正整数)
2．问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M(1M＝210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？
移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为26×210＝216K.所以它能存储这种数码照片的数量为218÷28.
218，28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？
二、探究新知
请同学们做如下运算：
1．(1)28×28；(2)52×53；(3)102×105；(4)a3·a3.
2．填空：
(1)()·28＝216；(2)()·53＝55；
(3)()·105＝107；(4)()·a3＝a6.
除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，所以这四个小题等价于：
(1)216÷28＝()；(2)55÷53＝()；
(3)107÷105＝()；(4)a6÷a3＝()．
再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：
(1)28；(2)52；(3)102；(4)a3.
其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、讨论．
(1)216÷28＝(2)55÷53＝
(3)107÷105＝(4)a6÷a3＝
从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？
a m÷a n＝a m－n.(a≠0，m，n都是正整数，且m≥n)
三、例题讲解
例1(教材例7)计算：
(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2.
解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6；
(2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3.
例2先分别利用除法的意义填空，再利用a m÷a n＝a m－n的方法计算，你能得出什么结论？
(1)32÷32＝()；(2)103÷103＝()
(3)a m÷a m＝()(a≠0)．
解：先用除法的意义计算．
32÷32＝1；103÷103＝1；a m÷a m＝1(a≠0)．
再利用a m÷a n＝a m－n的方法计算．
32÷32＝32－2＝30；
103÷103＝103－3＝100；
a m÷a m＝a m－m＝a0(a≠0)．
这样可以总结得a0＝1(a≠0)．
于是规定：
a0＝1(a≠0)，
即任何不等于0的数的0次幂都等于1.
四、课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
师生共同总结：(1)同底数幂相除，底数不变，指数相减；(2)任何不等于0的数的0次幂都等于1.
五、布置作业
教材第104页练习第1题．
同底数幂的除法的主要内容是根据除法是乘法的逆运算，从计算具体的同底数的幂的除法，到计算底数具有一般性的字母，逐步归纳出同底数幂除法的法则，并运用法则熟练、准确地进行计算．本节课是在学习了幂的乘方、积的乘方的基础上进行的，它们构成一个有机整体，为后续的整式除法的学习打下基础．
第4课时整式的除法
1．单项式除以单项式的运算法则及其应用．
2．多项式除以单项式的运算法则及应用．
重点
单项式除以单项式的运算法则及其应用；多项式除以单项式运算法则及其应用．
难点
探索多项式与单项式相除的运算法则的过程．
一、情境导入
问题：木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.08×1021吨，你知道木星的质量约是地球质量的多少倍吗？
重点研究算式(1.90×1024)÷(5.98×1021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．
二、探究新知
1．探索法则
(1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，说说你计算的根据是什么？
(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗？
8a3÷2a；6x3y÷3xy；12a3b2x3÷3ab2.
(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗？
教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．
2．归纳法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
3．应用新知
(1)28x4y2÷7x3y；
(2)－5a5b3c÷15a4b.
首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这里省去了括号，对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成．口述和板书都应注意展示法则的应用，计算过程要详尽，使学生尽快熟悉法则．
4．巩固新知
教材第104页练习第2题．
学生自己尝试完成计算题，同桌交流．
5．再探新知
计算下列各式：
(1)(am＋bm)÷m；
(2)(a2＋ab) ÷a；
(3)(12a3－6a2＋3a)÷3a.
①说说你是怎样计算的．
②还有什么发现吗？
在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同．6．归纳法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．你能把这句话写成公式的形式吗？
7．解决问题
计算：
(1)(21x4y3－35x3y2＋7x2y2)÷(－7x2y)；
(2)[(x＋y)2－y(2x＋y)－8x]÷2x.
幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．
8．巩固提高
教材第104页练习第3题．
利用投影仪反馈学生解题过程．
三、布置作业
1．必做题：教材第105页习题14.1第6题．
2．备选题：下列计算是否正确？如不正确，应怎样改正？
(1)－4ab2÷2ab＝2b；
(2)(14a3－2a2＋a)÷a＝14a2＝2a.
这节课可以说学生动的多，教师讲的少．学生的主体地位体现的还算可以．主要是以学生的活动为主的，基本符合新课改精神．课堂上教师的指导提示基本到位，学生能够在教师的指导下进行活动，完成了教学任务．
14．2乘法公式
14．2.1平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程．
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
重点
平方差公式的推导和应用．
难点
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
一、设问引入
探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？
(1)(x＋1)(x－1)；
(2)(m＋2)(m－2)；
(3)(2x＋1)(2x－1)．
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．
二、举例分析
再举几个这样的运算例子．
让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．
三、归纳概括
计算(a＋b)(a－b)．
让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式．
然后，教师系统总结平方差公式．
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
语言叙述：________________．
教师引导学生归纳这个公式的一些特点：如公式左、右两边的结构，教给学生记忆公式的方法．
四、应用新知
教材例1运用平方差公式计算：
(1)(3x＋2)(3x－2)；
(2)(－x＋2y)(－x－2y)．
填表：
(a＋b)(a－b) a b a2－b2最后结果
(3x＋2)(3x－2) 2 (3x)2－22
(x＋2y)(－x－2y)
小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．
教材例2计算：
(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；
(2)102×98.
此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．
五、巩固练习
教材第108页练习第1，2题．
第1题口述完成；
第2题采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成．
六、小结与作业
谈一谈：你这节课有什么收获？
作业：教材第112页习题14.2第1题．
平方差公式是特殊的整式的乘法，运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式的特征的多项式乘法的结果，运用公式计算一定要看是否符合公式的特征，这两个数分别是什么，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字母，单项式，也可以代表多项式．
14．2.2完全平方公式
1．完全平方公式的推导及其应用．
2．完全平方公式的几何解释．
重点
完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．
难点
理解完全平方公式的结构特征，并能灵活应用公式进行计算．
一、复习引入
你能列出下列代数式吗？
(1)两数和的平方；(2)两数差的平方．
你能计算出它们的结果吗？
二、探究新知
你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括；
举例：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________________；
(2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________________；
(3)(m＋2)2＝________________；
(4)(m－2)2＝________________．
通过几个这样的运算例子，让学生观察算式与结果间的结构特征．
归纳：公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍．这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式．
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因．
还可以引导学生将(a－b)2的结果用(a＋b)2来解释：
(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
三、举例应用
1．教材例3：运用完全平方公式计算：
(1)(4m＋n)2；(2)(y－1 2) 2.
解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2；
(2)(y－1
2)
2＝y2－2·y·
1
2＋(
1
2)
2
＝y2－y＋1 4.
可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率．
2．教材例4：运用完全平方公式计算：
(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22
＝10 000＋400＋4
＝10 404；
(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12
＝10 000－200＋1
＝9 801.
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
四、再探新知
1．现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－2ab＋b2.
五、思考讨论
(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？
组织学生进行讨论，通过自主推导，互相合作交流，共同解决难题．
六、巩固拓展
教材例5：运用乘法公式计算：
(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.
解：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)
＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]
＝x2－(2y－3)2
＝x2－(4y2－12y＋9)
＝x2－4y2＋12y－9；
(2)(a＋b＋c)2
＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照，其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公式．
在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．
七、课堂小结
谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差公式有什么区别和联系？
作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)，第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的左边，它是正确应用公式的前提．
14．3因式分解
14．3.1提公因式法
1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．
2．了解公因式概念和提取公因式的方法．
3．会用提取公因式法分解因式．
重点
会用提取公因式法分解因式．
难点
如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
一、问题导入
同学们，我们先来看下面两个问题：
1．630能被哪些整除，说说你是怎样想的？
2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值．
对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接把a＝101，b ＝99代入进行计算，但如果应用平方差公式应先把a2－b2变形成(a＋b)·(a－b)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得更加简捷．
通过对上面两个问题的解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便．
二、探究新知
1．教材第114页的“探究”．
要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出写成整式的积的具体含义，使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的，为因式分解概念的建立埋下伏笔．
2．提出因式分解的概念．
利用教材中的因式分解和整式乘法的关系图，说明因式分解和整式乘法是对一个多项式的两种不同的变形，并强调它们的特点．下列由左到右的变形，是否是因式分解，为什么？
(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；
(2)x2－4＝(x＋2)(x－2)；
(3)x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x.
[探究题使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系，对因式分解的概念的建立很有必要．通过这次练习强化因式分解的概念]
3．提公因式法
研究多项式pa＋pb＋pc各项中每个因式的特点，提出公因式的概念．
让学生体验：
pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)从左到右是怎样得到的，你能对ax＋2ay进行类似的变形吗？
三、举例分析
例1把8a3b2＋12ab3c分解因式．
分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的，然后依照教材进行分析，注意讲清确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；分解因式完成后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？从而把提公因式的“提”的具体含义深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证．
练习用提公因式法分解因式：
(1)3mx－6nx2；
(2)4a2b＋10ab－2ab3.
例2把2a(b＋c)－3(b＋c)因式公解．
分析：可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察，从而发现把b＋c看作一个“整体”时公因式就是b＋c，再用提公因式法进行分解．
例3计算：0.84×12＋12×0.6－0.44×12.
让学生观察并分析怎样计算更简单．
思考：说说例1、例2和例3的公因式有什么不同？
四、巩固练习
1．完成教材第115页练习第1，2，3题．
2．讨论：怎样检查因式分解是否正确？提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系？
五、小结提高
1．举一个例子说说什么是因式分解．
2．什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？ 3．说说提公因式法的一般步骤．
(1)确定提取的公因式；(2)用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；(3)把多项式写成这两个因式的积的形式．
六、布置作业
1．教材第119页习题14.3第1题．
2．备选题：(1)下列提公因式法分解因式是否正确，为什么？若不正确，请写出正确答案．
①－25a 2x 2－20a 3x 2＝－5ax(5x －4ax)；
②2a(x －y)3－3b(y －x)2＝(x －y)2[2a(x －y)＋3b]． (2)用提公因式法分解因式． ①a 2b －ab 2；
②－14x 2＋1
2
xy ；
③－2p 2(p 2＋q 2)＋6pq(p 2＋q 2)； ④5a(x －y －z)－2bx ＋2by ＋2bz.
在学习提取公因式时首先让学生通过小组讨论得到公因式的结构组成，并且引导学生得出提公因式法这一因式分解的方法其实就是将被分解的多项式除以公因式得到余下的因式的计算过程．此处的意图是充分让学生自主探索，合作学习，得出结论．接着通过例题讲解，最后让学生自主完成练习题，老师当堂讲评．
14．3.2 公式法(2课时) 第1课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点．
2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点
应用平方差公式分解因式． 难点
灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？ 问题2：你能将多项式x 2－4与多项式y 2－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点？
对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形，可引导比较它与整式乘法的关系．
对于问题2要求学生先进行思考，教师可视情况作适当的提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式．
即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是：
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．
例1分解因式：
(1)4x2－9；
(2)(x＋p)2－(x＋q)2.
分析：注意引导学生观察这2个多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解．
能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式是否符合平方差的特征，即两个数的平方差，所以要强调多项式是否可化为()2－()2的形式．括号里的“东西”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多项式，如(2)题中应是多项式．
例2分解因式：
(1)x4－y4；(2)a3b－ab.
分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解；
(2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解．
学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用．
二、巩固练习
完成教材第117页练习第1，2题．
第1题对学生的观察能力和判断能力是一次很好的锻炼，要求学生讲出能否用公式的道理．
第2题是用提公因式法和应用平方差公式进行因式分解的综合应用，要求学生养成先观察多项式的特点的习惯．
注意：要将因式分解进行到不能再分解为止．
三、课堂小结
1．举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征．
2．谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤．
3．谈谈多项式分解的注意点．
四、布置作业
1．必做题：教材第119页习题14.3第2题，第4(2)题．
2．备选题：
(1)下面的因式分解是否正确，为什么？若不正确请写出正确答案．
①m2＋n2＝(m＋n)2；
②m2－n2＝(m－n)2.
(2)分解因式：
①x3－9x；②(a2＋b2)2－4a2b2；
③(y2－4)2－6(y2－6)＋9.
(3)用简便方法计算：
初中数学人教版八年级上册实用资料 第十四章整式的乘法与因式分解 14．1整式的乘法 14．1.1同底数幂的乘法 1．理解同底数幂的乘法法则． 2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． 重点 正确理解同底数幂的乘法法则． 难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 一、提出问题，创设情境 复习a n的意义： a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数． (出示投影片) 提出问题： (出示投影片) 问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ [师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [生]运算次数＝运算速度×工作时间， 所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103. [师]1015×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知 1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018. [师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法． 二、探究新知 1．做一做 (出示投影片) 计算下列各式： (1)25×22； (2)a3·a2； (3)5m·5n.(m，n都是正整数)
你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述． [师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题． [生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2) ＝27＝25＋2. 因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得 a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2. 5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n. [生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？ (1)这三个式子都是底数相同的幂相乘； (2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2．议一议 (出示投影片) [师生共析] a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n 于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为： “同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． [师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则． [生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n. [师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加． 3．例题讲解 出示投影片 [例1]计算： (1)x2·x5; (2)a·a6； (3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1. [例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？ [师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？ [生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则． [生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了． [师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演： (1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7； (2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7； (3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28； (4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1. [师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法． 解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p ＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p； 解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p； 解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a m＋n＋p 归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是
第十四章整式的乘法与因式分解 14.1.4 整式的乘法 第3课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算. 2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，理解整式除法运算的原理. 【过程与方法】 1.经历探究整式的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表达能力. 2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用. 【情感、态度与价值观】 感受数学法则、公式的简洁美、和谐美. 二、课型 新授课 三、课时 第3课时
四、教学重难点 【教学重点】 应用整式除法法则进行计算. 【教学难点】 根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则. 五、课前准备 教师:课件、直尺、计算器等。 学生:练习本、钢笔或圆珠笔。 六、教学过程 （一）导入新课 木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2） 木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍. 想一想:上面的式子该如何计算? （二）探索新知 1.师生互动，探究同底数幂的除法法则 教师问1:请完成下面的题目:(出示课件4) (1)25×23；(2)x6×x4；(3)2m×2n.
学生回答:（1）28；（2）x10；（3）2m+n. 教师问2:本题是直接利用什么乘法法则计算的？ 学生回答:同底数幂的乘法法则:底数不变，指数相加. 教师问3:思考下面的题该如何计算？ (1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10 (3)( )( )×2n=2m+n 学生回答:可以把乘法法则反过来利用. 教师问4:反过来就我们今天要学的同底数幂的除法，能不能先试着写成除法形式？ 学生讨论后解答:（1）28÷23=？；（2）x10÷x6=？；（3）2m+n÷2n=？ 教师问5:你是如何计算的呢？ 学生回答:本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算. 教师问6:能不能试着完成下列各题: 计算:(1)28÷23；(2)x10÷x6；(3)2 m+n÷2n 学生回答: (1) 28÷23=25； (2) x10÷x6=x4； (3) 2 m+n÷2n =2m 教师问7:观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5） (1)28÷23=25=28-3；(2) x10÷x6=x4=x10-6； (3) 2 m+n÷2n =2m =2m-n 学生回答:底数不变，指数相减.
第十四章整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 14.1.1 同底数幂的乘法 一、新课导入 1.导入课题： 一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103s 可进行多少次运算？你能对算式1015×103进行运算吗？该算式有何特点？ 2.学习目标： （1）知道同底数幂的乘法法则. （2）能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行化简和计算. 3.学习重、难点： 重点：同底数幂乘法法则及应用. 难点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：探究同底数幂的乘法运算法则(方法). （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：结合乘方的意义，从具体算式及运算探究归纳同底数幂的运算方法. （4）探究提纲： ①导学问题中该计算机工作103秒可进行运算的次数为1015×103. ②根据乘方的意义可知，1015表示15个10相乘，即10×10×…×10
15个10； 103表示3个10相乘，即10×10×10 3个10，那么1015×103的结果是 10×10×…×10（15+3）个10，即10（18）. ③根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1)25×22=2(7)（2）a3·a2=a(5) (3)5m×5n=5(m+n) ④由③的经验可知，a m·a n=a(m+n)，试用文字表述这个规律，并根据乘方的意义进行证明. 2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究. 3.助学： （1）师助生: ①明了学情：了解学生探究的方法和依据是否正确，收集存在的问题. ②差异指导：帮助、引导学困生复习回顾乘方的意义. （2）生助生：学生之间相互交流帮助. 4.强化： （1）总结：同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加. （2）计算： ①103×104；②a·a3；③a·a3·a5；④x·x2+x2·x =107 =a4=a9=x3+x3=2x3 1.自学指导： （1）自学内容：教材第96例1. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：认真看书，分别指出每题中的底数、指数各是
第14章整式的乘法与因式分解复习课【教材分析】 教学目标知识 技能 复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系.通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用. 过程 方法 根据本章知识的发生、发展过程，师生共同讨论，通过对本章的复习，帮助学生建立和完善本章的知识结构，使学生真正掌握本章各法则之间的内在联系.在运用知识结构图对本章小结的教学过程中，应注意培养学生整理、归纳、总结知识的能力. 情感 态度 通过计算和变形的复习，让学生体会整体带入和转化的思想方法，感受数学的应用价值． 重点整式的乘除运算与因式分解. 难点灵活进行整式的乘除运算和多项式的因式分解. 【教学流程】 环节导学问题师生活动二次备课 专题知识复习专题一幂的运算性质 【例1】计算计算(2a)3(b3)2÷4a3b4 【解析】幂的混合运算中，先算乘方，再算 乘除. 例1、原式=8a3b6÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2. 专题二整式的运算 【例2】计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷ 3x2y,其中x=1,y=3. 【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘 方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练 正确地运用运算法则. 例2解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y =(2x3y2-2x2y) ÷3x2y = 当x=1,y=3时，原式= 专题三整式的乘法公式的运用 【例3】先化简再求值： [(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x, 其中x=3,y=1.5. 教师提出问题，学生自主复习， 合作交流，回答，教师引导学生 归纳方法.总计规律 【归纳1、】幂的运算性质包括 同底数幂的乘方、幂的乘方、积 的乘方及同底数幂的除法.这四 种运算性质贯穿全章，是整式乘 除及因式分解的基础.其逆向运 用可以使一些计算简便，从而培 养一定的计算技巧，达到学以致 用的目的. 【归纳2】整式的乘除法主要包 括单项式乘以单项式、单项式乘 以多项式、多项式乘以多项式以 及单项式除以单项式、多项式除 以单项式，其中单项式乘以单项 式是整式乘除的基础，必须熟练 掌握它们的运算法则，整式的混 合运算，要按照先算乘方，再算 乘除，最后算加减的顺序进行， 有括号的要算括号里的.
第十四章整式的乘法与因式分解 14.1.1 同底数幂的乘法 教学目的： 1、能归纳同底数幂的乘法法则，并正确理解其意义； 2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算，对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识，并能与加减运算加以区分；了解公式的逆向运用； 教学重点：同底数幂的乘法法则 难点：底数的不同情形，尤其是底数为多项式时的变号过程 一、创设情境，激发求知欲 课本第页的引例 二、复习提问 1．乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫乘方 2.指出下列各式的底数与指数： (1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23． 其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与-24呢？三、讲授新课 1．（课本页问题）利用乘方概念计算：1014×103． 2、计算观察，探索规律：完成课本第141页的“探索”，学生“概括” a m×a n=…=a m+n； 3、观察上式，找出其中包含的特征：左边的底数相同，进行乘法运算； 右边的底数与左边相同，指数 相加 4、归纳法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 三、实践应用，巩固创新 例1、计算： (1)x2·x5 (2)a·a6 (3) 2×24×23 (4) x m·x3m + 1
练习： 1．课本第页：(学生板演过程，写出中间步骤以体现应用法则）2．随堂巩固：下面计算否正确？若不正确请加以纠正。 ①a6·a6＝2a6②a2+a4＝a6③ a2·a4 =a8 例2、计算： 要点指导：底数中负号的处理；能化为同底数幂的数字底数的处理；多项式底数及符号的处理。 例3、（1）填空：⑴若x m+n×x m-n=x9；则m= ； ⑵2m=16，2n=8，则2m+n = 。 四、归纳小结，布置作业 小结：1、同底数幂相乘的法则； 2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形； 3、相同的底数可以是单项式，也可以是多项式； 4、要注意与加减运算的区别。 教学反思
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1.1 同底数幂的乘法 教学目标 1. 理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算． 2. 体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用． 教学重、难点 同底数幂的乘法运算法则及其应用. 教学过程设计 一、创设问题，激发兴趣 问题 一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s 可进行多少次运算？ （1） 如何列出算式？ （2） 1015的意义是什么？ （3） 怎样根据乘方的意义进行计算？ 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1） 5 2222() ⨯= ； （2）32()a a a ⋅= ； （3）5 55()m n ⨯= ． 你能将上面发现的规律推导出来吗？ 教师板演: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：a m ×a n ＝a m+n （m 、n 都是正整数）. 二、知识应用，巩固提高 m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）表述了两个同底数幂相乘的结果，那么，三个、 四个…多个同底数幂相乘，结果会怎样？ 这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情况：m n p m n p a a a a ++ +⋅⋅⋅= （m ， n ，p 都是正整数）． 例1(教科书第96页) 三、应用提高、拓展创新 课本96页 练习 m n a a ⋅ m n a a a a +=⋅⋅⋅（）个 m n a += m a n a a a a a a a =⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅个个 （）（）
四、归纳小结 （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？ 五、布置作业： 习题14.1第1（1）、（2）题 教后反思： 14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方 教学目标 1．理解幂的乘方与积的乘方性质的推导根据． 2．会运用幂的乘方与积的乘方性质进行计算． 3．在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法． 教学重、难点 幂的乘方与积的乘方的性质． 教学过程设计 一、 创设问题，激发兴趣 问题1 有一个边长为a 2 的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 问题2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: （1） （2） （3） 3 m m m m a a a a a ⋅⋅（ ） （）== （m 是正整数）． 在解决问题后，引导学生归纳同底数幂的乘法法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：（a m ）n ＝a mn （m 、n 都是正整数）． 多重乘方可以重复运用上述法则： 二、知识应用，巩固提高 计算 （1）（102）3； （2）（b 5）5； （3）（a n ）3； （4）－（x 2）m ； （5）（y 2）3·y ； （6）2（a 2）6－（a 3）4． 问题4 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：（n 是正整数） 你能发现有何运算规律吗？ 能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？ 2322233333⨯⨯（ ） （）==； 23222a a a a a ⋅⋅（ ） （）==； =p m n mnp a a ⎡⎤⎣⎦ （）
人教版初中数学八年级上册第14章整式的乘除与因式分解单 元复习与巩固教案 整式的乘除与因式分解单元复习与巩固 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●经历探索整式运算法则和因式分解方法的过程，体会数学知识之间的内在联系． ●了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质；了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，体会事物之间 可以相互转化的思想． ●会进行简单的整式乘除运算；会用提公因式法、公式法进行因式分解． ●会推导乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a±b)2＝a2±2ab＋b2；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算及其逆向变形． ●理解因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握什么是公因式，掌握提公因式（字母的指 数是数字）和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。 重点： ●整式的乘除法 ●因式分解的两种基本方法. 难点： ●乘法公式的灵活运用. ●因式分解方法的综合应用。 学习策略：
●经历观察、思考、交流、探究等数学活动过程，体验解决问题的方法，进一步发展归纳、类比、概括能力和有条理 地思考与表达能力． 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识网络 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。 知识点一：幂的运算性质： （一）同底数幂的乘法：（m,n为正整数）； 注：此性质可以逆用，即。如：已知2a＝5,2b＝7，则2a＋b＝_________＝5×7＝35。另外三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即a m·a n·a p ＝（m、n、p都是正整数） （二）幂的乘方：（m,n为正整数）； 注：注意不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，前者是指数，后者是指数。 （三）积的乘方：（n为正整数）； 注：在积的乘方运算中很容易将底数中某一项或几项不乘方而出现错误，所以在进行积的乘方运算时应先确定底数有几项，然后将这几项全都乘方，再将结 果。 （四）同底数幂的除法：(a≠0, m,n为正整数，并且m＞n). 注：根据同底数幂除法的运算性质(a≠0, m,n为正整数，并且m＞n)，当指数相同时，则有，从而诠释了“任何不等于0的数的0次幂都等于__”的道理，同时，又将同底数幂除法的运算性质中m＞n 的
整式的乘法与除法 1单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为（m ，a ，b ，c 都是单项式）． 3多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，就是用多项式的每一项依次去乘另多项式的每一项，再把所得的积相加． 4单项式除以单项式 单项式除以单项式，系数除以系数，相同字母进行除法运算． 5多项式除以单项式 先把多项式每一项分别除以单项式，再求单项式除以单项式． 例1．计算： （1）（3ay 2）×（2b x 3）×（4a 3by ）； （2）（－3x ）3 (5x 2y)． 1．计算： （1）· ； （2）· ； 例2．计算：（1）﹣3x•（2x 2﹣x+4）； （2） ab( ab 32ab+1) ． 1．计算：（1） ； （2）·． 2．若()()()6571051021010n a ⨯⨯⨯=⨯，则a 、n 的值分别为 ( ) ． A ．7,11a n == B ．a = 5，n = 12 C ．a =7，n =13 D ．a =2，n =13 例3．计算：（1）(3)(+4)； （2）． 1．计算：． 2．在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律． （1）计算后填空：（x+1）（x+2）= ；（x+3）（x ﹣1）= ； ()m a b c ma mb mc ++=++()223m n -()23mn =23a b ()3 2ab -=()22531xy xy xy +-()22a bc -()2 2ab -x x (31)(42)xy x y -+()()()()2121x x x x -+-+-
14.2 乘法公式（第1课时）【教材分析】
自主探究 合作交流()()() 222 m m +-=； ()()() 32121 x x +-=； 仔细观察分析上面每小题的两个因式与计 算结果，你能发现什么规律，用自己的语言 叙述出来. 两个数的和与这两个数的差的积等于这两 个数的平方差。 2、你能用具有一般性的字母表示这一规律 吗？ (a+b)(a－b)=a2－b2 （二）探究平方差公式的正确性 1、公式的代数验证。 思考：由特殊到一般的不完全归纳法得出 的规律是需要验证的，你能用我们学过的整 式乘法的知识说明(a+b)(a－b)=a2－b2这一 公式的成立吗？ 我们把这个规律（a+b）(a－b)=a2－b2叫做 平方差公式 2、几何意义的验证。 将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形， 剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方 形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面 积关系． 教师出示问题1. 学生自主探究、合作交流、发现规 律： 式子左边是两个数的和与这两个 数的差的积，右边是这两个数的平 方差， 即：两个数的和与这两个数的差的 积，就等于这两个数的平方差. 这就是：平方差公式. 并猜想出： ()()22. a b a b a b +-=- 教师提出问题，学生讨论解决： ∵(a+b)(a－b) =a2－ab+ab－b2 =a2 －b2 , ∴(a+b)(a－b)=a2－b2 教师出示问题的第2题.学生小组 合作，完成剪拼游戏活动,利用这 些图形面积的相等关系,进一步从 几何角度验证平方差公式的正确 性. 教师引导学生学会从多角度、多方 面来思考问题．对于任意的,a b都 有 ()()22. a b a b a b +-=-
章末复习 【知识与技能】 1。掌握整式的乘法运算方法并运用于计算。 2。掌握因式分解的方法并运用于分解因式。 【过程与方法】 1.引导学生有序地总结归纳本章概念与基本方法。2。应用例题讲解帮助学生形成解题能力. 【情感态度】 1.体验转化思想。 2。培养从特殊到一般，从一般到特殊的思维能力.【教学重点】 整式的乘法运算与因式分解。 【教学难点】 根据实际问题选择合适方法解题。 一、知识框图，整体把握
【教学说明】引导学生一起表述概念法则,并适当归类，完成框架图。教学中以学生的发言为主，教师予以评判与补充，重在提醒学生找到知识点间的联系与区别。 二、释疑解惑，加深理解 1.整式的乘除及混合运算 整式的乘除及混合运算是本章核心内容，是计算重点。解决此类问题的一般步骤是①审题确定运算顺序，即按先算乘方,再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或去掉括号）;②运用各种计算法则准确地计算每一步，这是计算化简核心步骤,计算应仔细认真，防止出错，否则前功尽弃；③检查结果的正确性。 例1先化简,再求值:x(x—4）（x+4）—（x+3）（x2—6x+9）+5x3y2÷x2y2，其中x=-3. 【分析】此题主要考查整式的运算以及运算的顺序。
解：原式=x（x2—16）-x3+6x2-9x-3x2+18x—27+5x =x3—16x-x3+6x2-9x-3x2+18x—27+5x =3x2—2x-27. 当x=—3时，原式=3x2—2x—27=3×（-3）2—2×(-3）-27=27+6—27=6. 例2解方程：［2x3(2x-3）-x2］÷(2x2）=x（2x—1）。 【分析】将整式的各种运算融入方程中，因此解方程问题实质上转化为整式的计算问题。 2.乘法公式 教材中的乘法公式有两个：一是平方差公式，二是完全平方公式。只要掌握了公式的基本结构特点就可以快捷高效地解题.两个公式即可以正用，也可以逆用，有时逆用公式会使计算更加简捷，使用公式时要注意五点:（1）a、b的广泛代表性；（2）公式中各项的关系及整个公式的结构特点；(3）要有连续使用
单项式与单项式相乘 教学内容：人教版八年级上册14.1.4整式的乘法 教学目标： 1、让学生通过适当的尝试，获得直接的经验，体验单项式与单项式的乘法运算规律，总结运算法则； 2、使学生能正确区别各单项式中的系数，同底数幂和不同底数幂的 因式； 3、让学生感知单项式法则对两个以上单项式相乘同样成立，知道单 项式乘法的结果仍是单项式。 教学重点：对单项式运算法则的理解和应用。 教学难点：尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律。 教学方法：讲授法 教学用具：多媒体课件、黑板 课时安排：一课时 教学过程： 一、复习回顾：（查漏补缺和复习并指名学生回答） 1、指出下列名称的公式及运算法则 同底数幂相乘： 幂的乘方： 积的乘方： 2、只要认真，你就能全部判断正确，看谁一遍做对。 (1)632.m m m = (2)725)(a a = (3)632)(ab ab = n m n m a a a +=⋅mn n m a a =)(n n n b a ab =)(
(4)1055m m m =+ (5)523)()(x x x -=-- 3、单项式中的数字因数叫做这个单项式的__系数__。 二、创设情境，导入新课： 问题：光的速度约为5103⨯千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是2105⨯秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？ 启发思考：在这里，求距离，会遇到什么运算呢？ 导入新课： 因式都是单项式，它们相乘，就是我们今天要学习的“单项式与单项式相乘”。 出示课题和教学目标。 三、探索研究： （１）怎样计算(5103⨯)×(2105⨯)? 计算过程中用到哪些运算律及运算性质？ （２）如果将上式中的数字改为字母， 比如() 25)(bc ac ⨯，怎样计算这个式子？ 地球与太阳的距离约是： 87105.11015⨯=⨯（千米） ()25)(bc ac ⨯是两个单项式5ac 与2 bc 相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算： ()25)(bc ac ⨯＝(a ⋅b)⋅(25c c ⋅) = 25+abc = 7abc 。 例1、把下面的计算表示成更简单的结果。 )3(4)1(2552bx a x a -⋅
同底数幂的乘法 学习目标： 1、理解同底数幂的乘法法则； 2、运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题； 3、在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力； 4、通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊到一般，一般到特殊的认知规律。结论。 学习重点：同底数幂的乘法法则及其简单应用，同底数幂的乘法运算性质 学习难点：理解同底数幂的乘法法则的推导过程。 课前知识回顾： n a 表示 ，这种运算叫做 ，这 种运算的结果叫 ，其中叫做 ， 是 。 (观察右图，体会概念) 问题：一种电子计算机每秒可进行1210次运算，它工作3 10秒可进行多少次运算？ 应用乘方的意义可以得到： 1012×103 =121010)⨯⨯个(10×（10×10×10）=15101010)⨯⨯⨯个(10=1015． 通过观察可以发现1012、103这两个因数是底数相同的幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数．．． 幂的乘法．．．． 。 学习过程： 课前预习 （预习教材P141—142，找出疑惑之处）用学过的知识做下面的习题，在做题的过程中，认真观察，积极思考，互相研究，看看发现了什么。 检测一 1计算（1）25×2 2 （2）a 3·a 2 （3）5m ·5n （m 、n 都是正整数） （1）5222(22222)(22)⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= （2）32a a ⨯= （3） 把指数用字母m 、n （m 、n 为正整数）表示，你能写出a m • a n 的结果吗？ a m • a n ＝ 个）) ( a a a a a a (⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个 ）) (a a a a a (a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
单项式除以单项式 一、教学目标 (一)知识目标 1.探索单项式除以单项式的运算法则，并掌握其应用. 2.明白单项式除以单项式的运算算理. (二)过程与方法 1.经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程，会进行单项式除以单项式的除法运算. 2.理解单项式除以单项式的除法算理，发展有条理的思考及其表达能力. (三)情感、态度与价值观 1.经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验. 2.鼓励多样化的算法，培养学生的创新能力. 二、教学重难点 （一）教学重点 单项式除以单项式的运算法则的探索及其应用. （二）教学难点 探索单项式除以单项式的运算法则的过程. 三、教具准备 投影片. 四、教学方法 自主探索法. 五、教学安排 2课时. 六、教学过程 Ⅰ.创设情景，引入新课 计算下列各题，并说说你的理由 （1）（x5y）÷x2； （2）（8m2n2）÷（2m2n）； （3）（a4b2c）÷（3a2b） 同学们观察上式，可知它们属于哪一种运算？ [生]这三个算式都是单项式与单项式相除. [师]我们前面学习了整式的加法、减法、乘法，从今天开始我们来学习整式的除法，先来学习单项式与单项式的除法. Ⅱ.讲授新课
1.探求单项式除以单项式的除法法则 ［师］在除法运算中，我们都有意个限制条件，是什么呢？ ［生］除法不能为零. ［师］非常正确，在整式除法的运算中，涉及到的除式也有同样的条件限制：除式恒不为零. 下面就请同学们凭借自己的数学经验计算上面的三个算式，可以用多种算法. ［生］我们已学习了整式的乘法运算，而乘法的运算法则大多是练习整式的运算法则和运算律得出的. （1）我们可想象：x2·（）=x5y，根据单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，是把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的因式，可继续联想，所求单项式系数肯定为1：x2·( )=x5,由此可知：x2·（x3y）=x5y， 同样分析（2）、（3）. 议一议：如何进行单项式除以单项式的运算？你能用自己的语言有条理的描述出来吗？ ［生］从上述分析的过程，可得出： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． ［师］同学们用很条理的语言描述出了单项式相除的运算法则，下面我们就来具体做几个单项式的除法： 例1：计算 （1）；（2）（10a4b3c2）÷（5a3bc）； （3）； （4）. 注：让学生独立解决该问题，根据学生的解答，选择有代表性的学生作品，进行交流，然后组织学生相互评价，让学生在相互评价中进一步理解同底数幂的乘法和同底数幂的除法的意义，领会单项式除以单项式的意义. Ⅲ.随堂练习 地球到太阳的距离约是1.5×108千米，光的速度约是每秒3.0×105千米，那么太阳光从太阳到地球需要多少时间呢？ （让学生通过解决一些实际问题，进一步体验单项式除以单项式和同底数幂相除的运算性质，通过本例还可以让学生进一步感受大数目，发展学生的数感.）Ⅳ.课时小结
第十四章整式的乘除与因式分解复习 教学目标 1．知识与技能 能熟练掌握整式的概念、运算性质和因式分解的概念、分解方法，逐步形成知识结构． 2．过程与方法 通过图形的变化，从直观认识的角度领会整式运算及因式分解的知识，渗透数形结合的思想． 3．情感、态度与价值观 提高学生解决问题的能力，发展推理思维，体会数学的应用价值，增强自信心． 重、难点与关键
1．重点：熟练掌握整式，因式分解的解题方法． 2．难点：灵活地应用乘法公式进行运算或因式分解． 3．关键：系统把握知识点，从互逆的思想弄清整式运算与因式分解的关系． 教学方法 采取对知识系统“演绎”、“提升”的教学方法． 教学过程 一、数形结合，直观演绎 【解释与比较】 观察下列图形，写出相关的整式乘法公式： （1）如图1所示． （2）如图2所示． （3）如图3所示． （4）如下图在宽为a的正方形空地上修两条互相垂 直宽度为b的水泥路，•其余的部分种植草坪，你能 计算出草坪的面积吗？ 【教师提问】a2－2ab+b2=（a－b）2，请你用图形 反映（a－b）2的结果，由图5•可得等式（a+b） 2=（a－b）2+______． 【辨析与理解】 （1）（x－y）2=x2－y2；
（2）（x+y）（y－x）=x2－y2； （3）（x+3y）（x－3y）=x2－3y2； （4）（x－3y）2=x2－3xy－3y2． （5）分解因式：x2－4=（x－2）2； （6）分解因式：a2±2ab+b2=（a±b）（a b） 【运算与方法】 1．把图6左框里的等式分别乘以（x+3y），所得的 积分别写在右框相应的位置上． 2．利用乘法公式计算： （1）102（2）301×299 （3）（m+n）2（m－n）2 3．已知：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，利用这个等式计算：（x－3）（x+7）=_______． （x+5）（x+9）=_______． 【运用与探究】 1．一个正方体的边长为3cm，则它的体积为多少？表面积为多少？ 2．一块长方形花坛的面积为2a2x－4ax3m2，长为2axm，求它的宽． 3．长方形花坛的宽为m米，长比宽多4米，若将长和宽分别增加3米，则增加后长方形的面积为多少？如果已知增加后面积增加了15平方米，请计算出原来的长和宽来． 4．有一个正方形的边长为正整数，现将它的边长逐次增加
同底数幂的除法 各位同仁大家好：今天我说课的内容是义务教育课程标准教科书新人教版八年级数学上册教材《第14章整式的乘法与因式分解》中的第1节“整式的乘法”第7课时《同底数幂的除法》，下面我就教材、教法、学法、教学程序、板书设计几方面做以简要说明。 一、说教材： 1、教材地位和应用： 《同底数幂的除法》是《第14章整式的乘法与因式分解》中的第1节“整式的乘法”第7课时的内容。在此前，学生通过学习，已经掌握了《同底数幂乘法》，《幂的乘方与积的乘方》，这为进一步学习《同底数幂的除法》做了很好的铺垫。《同底数幂的除法》是整式的乘法和幂的意义的综合应用，是整式的四大基本运算之一，这节课是以培养学生学习能力为重要内容，对进一步培养学生的逻辑思维能力有着重要意义。从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动地进行学习。通过合作、讨论、动手操作等方式使学生探究同底数幂除法法则。从而感受数学源于生活，用于生活，更好地理解数学知识的意义，体现“人人学有价值的数学”的新课程理念。整个数学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。 2、学情分析： 教学对象是八年级学生，在学习本章前，学生已经掌握了用字母表示
数、列简单代数式，会把一些简单的实际问题中的数量关系用代数式表示出来，并会进行整式加减运算和乘法运算，对一次方程（组）、一次不等式（组）有了全面系统地认识；虽然通过全等三角形、对称变换学习，积累了初步的理性思辨及推理论证经验，但思维水平仍以经验型为主，理论型思维尚处于萌芽阶段，因此，在推理论证方面须坚持遵循“特殊——一般——特殊”规律。 个别学生计算能力较差，符号感不强，以至于他们在运用性质计算的时候出现符号上的错误，因此，教学中尽量采用问题诱导和积极鼓励学生大胆尝试的方式帮助学生进一步提高幂的运算能力和符号感。 3、知识分析 同底数幂的除法是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第十四章第一单元第四节内容，是在学生已经学习了有理数的概念及其运算、整式加减运算和乘法运算的基础上引入的，同底数幂的除法性质是幂的运算性质之一，是整式除法的基础。本章重点是整式乘除法以及乘法公式，整式乘除可通过化归转化为同底数幂的乘除，而同底数幂的除法又可以通过乘除运算之间的互逆关系探获；同底数幂的运算法则的探获过程是一个从特殊到一般、从具体到抽象的有层次的递进上升的概括抽象、归纳原理的过程，有利于发展学生的理性思辨能力，整个推理过程以学生已熟知的除法意义为出发点和归宿点，这不仅有利于深化学生对整式乘除法的理解，而且有利于提升学生举一反三、触类旁通能力，积累一定的学习经验，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、
第十四章《整式的乘法与因式分解》教案 一.教材分析： 本章主要包括整式的乘法、乘法公式以及因式分解等知识。整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后进一步学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义。同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识. 二.主要内容： 本章共包括4节： 14.1整式的乘法•整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。本节分为四个小节，主要内容是整式的乘 法，这些内容是在学生掌握了有理数运算.整式加减运算等知识的基础上学习的。 14.2乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。乘法公式是整式乘法的特殊情 形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题 14.3因式分解因式分解是解析式的一种恒等变形，因式分解不但在解方程等问题中极其重要，在数学科 学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用，是重要的数学基础知识。 三.教学目标 1・掌握正整数專的乘.除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。掌握单项式乘（或除以）单项式.多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。 2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运 3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。 4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接 运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。 四.教学重点： '整式的乘金，包括乘法公式。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键。 五.教学难点： 乘法公式的灵活运用，添括号时，括号内符号的确定，因式分解。 六.方法措施 1、要有针对性地加强练习，务必使学生对整式的乘除运算，包括其中运用乘法公式进行计算达到熟练的 程度。 2、在教学中要引导学生分析公式的结构特征，并在练习中与所运用公式的结构特征联系起来，对所发生 的错误多做具体分析，以加深学生对公式结构特征的理解。 3、掌握添括号法则的关键是要把添上括号后括号内的多项式与括号前面的符号看成统一体，对于这一点 学生不易理解，要结合例题进行分析。 4、教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容 要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公戎法，教学中则应让学生牢固地掌握。 5、注意安排学生对选学内容的学习 七.教具准备：电子白板远程教育资源网课件 六.课时安排 本章共安排了3个小节，教学时间约需14课时： 14.1整式的乘法6课时 14.2乘法公式3课时 14.3因式分解3课时 数学活动 小结2课时 14.1. 1同底数幕的乘法 一.教学目标^ 1、知识与技能： ①理解同底数幕的乘法法则・
八年级数学教案：整式的乘除与因式分解 以下是查字典数学网为您推荐的整式的乘除与因式分解，希望本篇文章对您学习有所帮助。 整式的乘除与因式分解 一、学习目标： 1.掌握与整式有关的概念; 2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则; 3.掌握单项式、多项式的相关计算; 4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。 5..掌握因式分解的常用方法。 二、知识点总结： 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：的系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如：，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升(降)幂排列： 如： 按的升幂排列： 按的降幂排列： 按的升幂排列： 按的降幂排列： 5、同底数幂的乘法法则： ( 都是正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如： 6、幂的乘方法则： ( 都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： 幂的乘方法则可以逆用：即 如： 7、积的乘方法则： ( 是正整数) 积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：( = 8、同底数幂的除法法则： ( 都是正整数，且 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 9、零指数和负指数;