一阶微分方程
第二节 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F (x ,y ,y ′)＝0
或
y ′=f (x ,y )，
其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法．
一、 可分离变量的方程 形如
x
y
d d =f (x )g (y ) (10-2-1)
或
M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2) 的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数．
方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得
将
2
1y -作为分母时丢失了两个特解．故所求
方程的通解为：
arcsin y ＝x +C （C 为任意常数）， 另外还有两个特解y ＝±1．
例2 已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性e ＝-3P 3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数．
解 需求量x 对价格P 的弹性e ＝p
x
x P d d ． 依题意，得
p
x
x P d d ＝-3P 3，
于是
x
x d ＝-3P 2d P ，
积分得
ln x =-P 3+C 1，
即
x =Ｃ3
P -e (C =1
C -e )．
由题设知P ＝0时，x =1,从而C =1．因此所求的需求函数为
x =3
P -e ．
例3 根据经验知道，某产品的净利润y 与
广告支出x 之间有如下关系：
x
y d d ＝k (N -y ），
其中k ，N 都是大于零的常数，且广告支出为零时，净利润为y 0，0＜y 0＜N ，求净利润函数y =y (x )，
解 分离变量
y
N y -d =k d x ，
两边同时积分得
-ln ｜N -y ｜=kx +C 1 (C 1为任意常数)， 因N -y ＞0，所以
ln ｜N -y ｜=ln(N -y )，
上式经整理得
y =N -C e -kx (C =1
C -e ＞0）．
将x =0，y =y 0代入上式得C =N -y 0，于是所求的利润函数为
y =N -(N -y 0)e -kx ．
由题设可知x
y d d ＞0，这表明y (x )是x 的单调递增函数；另一方面又有)(lim x y x ∞
→=N ，即随着广告
支出增加，净利润相应地增加，并逐渐趋向于y =N ．因此，参数N 的经济意义是净利润的最大值．
二、 齐次微分方程 1． 齐次微分方程 形如
x
y d d =⎪⎭
⎫ ⎝⎛x
y f （10-2-3） 的一阶微分方程，称为齐次微分方程，简称齐次方程．
对于方程(10-2-3)，通常可通过变量替换
u =x y
将方程化为可分离变量的方程来解．具体过
程如下：
令 u =x y
(或y =ux )，
其中u 是新的未知函数．
对y =ux 两端关于x 求导，得
x
y
d d =u +x x
u
d d ． 代入(10-2-3)得
u +x x
u d d =f (u )． 分离变量并积分得
⎰
-u
u f u )(d =⎰x x d ，
即
Φ(u )=ln|x |+C (C 为任意常数)，
其中Φ(u )是⎰-u u f u )(d 的一个原函数，再将u =x
y
代入上式中，便得到方程(10-2-3)的通解
Φ(x y
)＝ln|x|+C ．
上面的推导要求f (u )-u ≠0，如果f (u )-u =0，
也就是⎪⎭
⎫ ⎝⎛x y f ＝x
y
．这时，方程(10-2-3)为 x y
d d ＝x y ．
这已是一个可分离变量的方程，不必作代换就可求出它的通解为y =Cx ．
例4 求微分方程xy x
y d d =x 2+y 2
满足条件y |x =e
＝2e 的解．
解 原方程可化为x y d d = y x +x
y
，这是一个齐次方程．作代换u =x y
，即y =ux ，则
x
y
d d ＝u +x x
u
d d ． 代入前一方程得
u +x x u d d =u 1+u 即 x x u d d =u
1
， 分离变量并积分得
u 2=2ln ｜x ｜+2C (C 为任意常数)，
将u 替换为x y
，便得原方程的通解：
y 2=2x 2ln ｜x ｜+2Cx 2，
再将初始条件代入通解得
4e 2=2e 2·ln e +2C e 2，
求得 C =1， 于是，所求的特解为
y 2=2x 2(ln ｜x ｜+1）．
例 5 设甲、乙两种商品的价格分别为
P 1,P 2，且价格P 1相对于P 2的弹性为2
1
d d P P P P 1
2
=1
2
1
2
P
P P P +-，求价格P 1与P 2的函数关系．
解 将所给方程整理为
2
1
d d P P =
2
12121
11P P P P P P +-
．
这是齐次方程．令u =2
1
P P ，即P 1＝uP 2，则2
1
d d P
P
＝u +P 22
d d P
u ，代入上式得 u +P 22
d d P u ＝u
u
+-11·u ． 整理得
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--211u u d u ＝22
2d P P
．
两边积分得
u
1-ln ｜u ｜＝2ln ｜P 2｜＋C 1 （C 1为任意常数）
． 将u 替换为2
1P P ，便得方程的通解(注意到u ＞0,P 22
＞０)
1
2P P e
＝CP 1P 2（C ＝1
C e ， C 为正数)．
2． 可化为齐次方程的微分方程
形如
x
y d d =⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++++2
221
1
1
C y b x a C y b x a f （10-2-4）
的微分方程，当C 1＝C 2＝０时，就是一个齐次方程．当C 1,C 2中至少有一个不为零时，尽管本身不是齐次方程，但经过适当的变量替换后，可化为齐次方程．下面分两种情况讨论：
(1) 若a 1b 2-a 2b 1≠0,这时方程组
⎩⎨
⎧=++=++0
,
0222111C y b x a C y b x a
有惟一解x =α，y =β．作变量替换
⎩⎨
⎧-=-=,
,βαy v x u
则
2
22111C y b x a C y b x a ++++＝2
2
2
1
1
1
)()()()(C v b u a C v b u a ++++++++βαβα＝v
b u a v b u a 2
2
111
++． 于是方程(10-2-4)化为
u v d d =⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++v b u a v b u a f 2
2
111
．
这是关于变量u 和v 的齐次方程．求出其通解后再换回原来的变量x 和y ，即得原方程的通解．
(2) 若a 1b 2-a 2b 1=0，这时令2
1
a a ＝2
1
b b
＝λ，即有
a 1=λa 2,
b 1=λb 2． 方程(10-2-4)可写为
x
y
d d ＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++++2
221
2
2
)(C y b x a C y b x a f λ．
作变量替换t =a 2x +b 2y ,此时x t d d ＝a 2+b 2
x
y
d d ，方程(10-2-4)化为
x
t
d d ＝a 2+b 21
2
()t C f t C λ++．
这是关于变量t 和x 的可分离变量的方程．
例6 求方程x
y
d d ＝51+++-x y x y 的解． 解 解方程组
⎩⎨
⎧=++=+-0
5,
01x y x y
得x =-2,y =-3．作变换x =u -2，y =v -3，原方程化为
u
v d d =u
v u v +-． 这是一个齐次方程，按齐次方程的解法可求得它
ln(u 2+v 2)+2arctan u v
=C ．
再将u =x +2，v =y +3代入上式，便得原方程的通解为．
ln ［(x +2)2+(y +3)2］+2arctan 2
3
++x y =C ． 三、 一阶线性微分方程 形如
y ′＋P (x )y =Q (x ) （10-2
-5）
的方程叫做一阶线性微分方程．其中P (x )，Q (x )为x 的已知连续函数，Q (x )称为自由项．
如果Q (x )≡0，方程(10-2-5)即为
y ′+P (x )y =0． （10-2-
6）
该方程称为一阶齐次线性微分方程．而当Q (x ) ≠0时，方程(10-2-5)称为一阶非齐次线性微分方程．也称(10-2-6)为(10-2-5)所对应的齐次方程．
注意这里所说的齐次方程与上段讨论的齐次方程是不同的．
下面来讨论一阶非齐次线性方程(10-2-5)
先考虑非齐次线性方程(10-2-5)所对应的齐次方程(10-2-6)的通解．显然y=0是它的一个解，当y≠0时分离变量得
y d=-P(x)d x．
y
两边积分得
ln｜y｜=⎰-x
x
(+C1，
P d)
即
y=C⎰-x x P d
e)(（C=±1C e）．
y=0也是方程(10-2-6)的解，这时在上式中取C=0即可．于是得到方程(10-2-6)的通解为
y=C⎰-x x P d
e)((C为任意常数)．(10-2-7)
再利用“常数变易法”求非齐次线性方程(10-2-5)的通解．由于方程(10-2-5)与(10-2-6)的左端相同，右端不同，方程(10-2-5)的左端比方程(10-2-6)的左端多了一项Q(x)，因此，我们猜想方程(10-2-5)的通解也具有(10-2-7)的形式，而其中的C不可能还是常数，而是x的某个函数C(x)．于是，可设方程(10-2-5)的解为
y=C(x)·⎰-x x P d
e)(，（10-2-8）其中C(x)是待定函数．
将(10-2-8)代入方程(10-2-5)，得
[C (x ) ⎰-x
x P d e )(]'+P (x )C (x )
⎰-x
x P d e )(=Q (x )．
化简，得
C '(x )＝Q (x )
⎰x
x P d e )(．
上式两端同时积分，得
C (x )=⎰)(x Q
⎰x
x P d e )(d x ＋C （C 为任意常数）．
将上式代入(10-2-8)式，得非齐次线性方程(10-2-5)的通解 y =⎰-x
x P d e
)([⎰)(x Q
⎰x
x P d e )(d x ＋C ] (C 为任意常
数)． （10-2-9）
这种将任意常数变成待定函数求解的方法，称为常数变易法．
将通解(10-2-9)改写为
y =C ⎰-x
x P d e
)(+⎰-x
x P d e
)(⎰⎰x
x Q x
x P d )e
(d )(．
不难看出： 通解由两部分构成，其中第一项是方程(10-2-5)所对应的齐次线性方程(10-2-6)的通解，第二项是方程(10-2-5)本身的一个特解［对应于通解(10-2-9)中C =0的特解］．这并不偶然，这是线性方程解的结构的一个重要性质．
例7 求方程xy ′+y =e x (x ＞0)的通解． 解 所给方程可化为
y ′+x
y
=x
x e ． （10-2-10）
先求得方程(10-2-10)对应的齐次线性方程的通解为
y =x
C ， 再利用常数变易法，设方程(10-2-10)的解为
y =x x C )(，
代入方程(10-2-10)得
2
2)()()(x
x C x x C x C x +-'＝x
x
e ，
化简，得
C '(x )=e x ，
积分得
C (x )=e x +C ，
故得方程(10-2-10)的通解为
y =x
1 (e x
+C )（C 为任意常数）． 这也就是所求方程的通解．
以上是按“常数变易法”的思路求解，本题也可直接利用通解公式(10-2-9)求解．但是，必须先将方程化为形如方程(10-2-5)的标准形式．
这里，P (x )=
x
1
，Q (x )＝
x
x e ，代入公式
(10-2-9)，得方程的通解为
y =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰-C x x x x x x x
d e e e
d d 11＝x
1(e x
+C )． 例8 求方程y ′＝3
y x y +满足初始条件
y (0)=1的特解．
解 先求出所给方程的通解．这个方程乍一看不像一阶线性方程，但把它改写成
y
x
d d -y
1x =y 2
， 则是以y 为自变量，x 为未知函数的一阶线性微分方程．
利用通解公式(10-2-9)得 x =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰-⎰C y y y y
y y
d e
e
d 2d 11
＝[]⎰+-C
y y y
y
d e
e 2ln ln ＝[]⎰+C y y y d =Cy +2
1y 3
， 将初始条件y (0)=1代入上述通解中，得C ＝21-，故所求 方程的特解为
x =21-y +2
1y 3
． 例9 已知连续函数f (x )满足条件f (x )＝
t f x t d ⎰
30
3
)(＋e 2x
，求f (x )． 解 因原方程右端函数可导，所以f (x )可
导．对方程两端同时求导，得
f ′(x )=3f (x )+2e 2x ．
由一阶线性方程的通解公式，得 f (x )＝()⎰+⎰-⎰C
x x
x x
d e e
e d d 3232＝e 3x (-2e -x +C )=－２e 2x +C e 3x ．
例10 设y =f (x )是第一象限内连接点A (0，1)，B (1，0)的一段连续曲线，M (x ,y )为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点．若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为6
3x ＋31，求f (x )的表达式．
图10-2
解 参看图10-2，由题设得
2
x
［1+f (x )］+⎰
1
)(x
t
t f d ＝6
3x ＋3
1， 求导，得
2
1［1+f (x )］+2
1xf ′(x )-f (x )=2
2
x ，
即
f ′(x )-x
1f (x )=
x
x 12- (x ≠0)．
利用一阶线性微分方程的通解公式，得
f (x )＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⋅⎰⎰-⎰C x x x x x x x
d e e d d 1211＝e
＝x
221d x x C x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
⎰＝x 2+1+Cx ．
当x =0时，f (0)=1．说明上述解在x =0时有意义．将条件f (1)=0代入到通解中，得C =-2，于是有
f (x )=x 2-2x +1．
形如
x
y
d d +P (x )y =Q (x )y a （α≠0，1）
（10-2-11）
的方程称为伯努利(Bernoulli)方程．它不是线性方程，但是经过适当的变量替换，可将它化成线性方程求解．事实上，只要将方程(10-2-11)两端除以y α，得
y
-α
x
y d d +P (x )y 1-α＝Q (x )，
即
x
y d d -1αα-11＋P (x )y 1-α＝Q (x )．
若令y 1-α＝z ， 则上面这个方程为
x
z d d α-11+P (x )z ＝Q (x )． （10-2-12）
这是一个线性方程．求出这个方程的通解后，用y 1-α替换z ，便得到伯努利方程的通解．
例11 求方程y ′+
y x x
2
1- =2
1xy 的通解．
解 这是α＝2
1的伯努利方程．方程两边同时除以2
1y ，得
2
1
2
11y x
x
x y y -+d d ＝x ．
令z ＝y
1-α
＝2
12
11y
y
=-
，则上面的方程化为
x
z
d d +z x x )1(22
-＝2
x
． 这是一阶线性微分方程，其通解为
z ＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅⎰⎰
-⎰
-C x x x x x x x x
d e e
d d 22
1211212
＝
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+---C x x 4
3
24
2
)1(311
＝)
1(3
1
124
2x x C
---．
将2
1
y 替换z ，得原方程的通解为
y =
2
242)1(311⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---x x C （C 为任意常数)．
习题10-2
1． 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解：
(1) y ′＝x
y
-+11； (2) xy d x +
2
1x -d y =0;
(3) (xy 2+x )d x +(y -x 2y )d y =0; (4) sin x cos 2y d x +cos 2x d y =0;
(5)1
,0110
==+-+=x y y x
y
x y x d d ；
(6) yy ′+x e y =0, y (1)=0; (7) y ′=e 2x -y ， 00
==x y ．
2． 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T 0的物体放在保持常温为α的室内，求温度T 与时间t 的关系：
3． 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解： (1) xy ′-y -
2
2y x +＝0；
(2) y ′=x y +sin x y ；
(3) 3xy 2d y ＝(2y 3-x 3)d x ; (4) x 2y ′+xy =y 2， y (1)=1； (5) xy ′=y (ln y -ln x ), y (1)=1; (6) (y -x +2)d x =(x +y +4)d y ; (7) (x +y )d x +(3x +3y -4)d y =0．
4． 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下
的特解： (1) y ′-y =sin x ;
(2) y ′-x
n y =x n e x
； (3) (x -2y )d y +d x =0; (4) (1+x sin y )y ′-cos y =0；
(5) y ′-1
+x y =(x +1)e x , y (0)=1; (6) y ′+
2
2
21212x x y x x +=+，y (0)=23
; (7) y ′-y x 1=-x
2
ln x , y (1)=1; (8) y ′+2xy =(x sin x )·2
x -e ，y (0)=1;
(9) y ′＝
2
3
4xy y x +；
(10) y ′＝xy y x +3
3
1．
5． 设函数f (x )在［1,＋∞］上连续，若由曲线y =f (x )，直线x =1,x =t (t ＞1)与x 轴所围成的 平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为
V (t )＝3
π［t 2
f (t )-f (1)］． 试求y =f (x )所满足的微分方程，并求该微分方程
满足条件y (2)=92
的特解．
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。 令n 维向量函数 Y )(x =? ??? ?? ??????)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=????????????),,,,( ),,,,(),,,,(21212 211n n n n y y y x f y y y x f y y y x f
三种形式的一阶线性微分方程 一阶线性微分方程是一种常见的微分方程，它可以在统计学、物理学、工程学和化学中发现并被广泛运用。它的形式可以分为三种：一阶常系数微分方程、一阶非常系数微分方程和变系数微分方程。 一阶常系数微分方程是指具有一阶微分项的微分方程满足常系数。它的基本形式是： y=ay+b 其中，a和b是常数，y是未知函数，y表示y的一阶导数。此外，如果a不等于0，则常系数微分方程也可以把y的导数写作： y=by/a 一阶非常系数微分方程是指具有一阶微分项的微分方程满足非常系数的一阶线性微分方程。它的形式是： y=f(t,y) 其中，t是时间变量，y是未知函数，f(t,y)是一个任意的函数，y表示y的一阶导数。 变系数微分方程是指具有一阶微分项的微分方程满足变系数的一阶线性微分方程。它的形式是： y=p(t)y+q(t) 其中，t是时间变量，y是未知函数，p(t)和q(t)是变系数函数，y是y的一阶导数。 解决一阶线性微分方程的一般方法是通过变换来得到其解。如
果固定系数不变，可以将该微分方程转换成一般形式，再将其转换为常系数微分方程，使用常系数微分方程的解法来解决。若不固定系数，直接将微分方程转换为常系数形式，再进行求解。 常系数微分方程的解法有多种，如分部积分法、特解法、逐步积分法和参数法。首先，在求解前，需要将原方程拆分成通解和特解，通解用分部积分法求解，特解通过特解法求解。其次，根据微分方程的系数分别选择对应的积分函数，然后进行解算。 一阶非常系数微分方程的求解方法有多种，如初值问题、逐步积分法和参数法。总的来说，要求解一阶非常系数微分方程，首先要将该方程转化为常系数微分方程，然后求解它。另外，如果方程中出现某些特定函数，那么就可以使用特殊方法。 变系数微分方程的求解方法也有多种，如拉普拉斯变换、特殊变换和特解法。拉普拉斯变换是一种常用的方法，它的基本思想是将变系数的微分方程转换成常系数形式，再使用常系数微分方程的解法求解。特殊变换用来解决特殊形式的变系数微分方程，例如对数形式、指数形式和余弦形式，特解法是求解特解的方法。 一阶线性微分方程是在多个学科领域中广泛应用的重要方程。上述三种形式的一阶线性微分方程，具有不同的形式、不同的解法，都可以用来求解一阶线性微分方程。在学习一阶线性微分方程的解法时，要注意根据它的形式选择相应的求解方法，以得出更准确的结果。
一阶微分方程组矩阵求解方法 引言： 微分方程组是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理、工程、经济等领域。一阶微分方程组矩阵求解方法是解决微分方程组的一种有效途径。本文将介绍一阶微分方程组矩阵求解的基本原理和方法。 一、基本概念： 1. 线性微分方程组：由一系列线性微分方程组成的方程组。 2. 矩阵：由一组数按一定规律排列成的矩形阵列。 3. 矩阵乘法：矩阵A与矩阵B相乘得到的新矩阵C，满足C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。 二、一阶微分方程组矩阵表示： 对于一个含有n个未知函数的一阶微分方程组，可以将其表示为矩阵形式，即： dx/dt = Ax 其中，x是一个n维列向量，A是一个n×n的矩阵，t是自变量。 三、一阶微分方程组矩阵求解方法： 1. 特征值与特征向量法： 通过求解矩阵A的特征方程和特征向量，可以得到一阶微分方程组的通解。具体步骤如下：
（1）求解矩阵A的特征方程：det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。 （2）求解特征方程得到的特征值。 （3）对每个特征值，求解(A-λI)x=0得到对应的特征向量。（4）将特征向量按照一定规律组合，得到一阶微分方程组的通解。 2. 线性代数方法： 利用矩阵的行列式、逆矩阵和矩阵乘法等基本性质，可以求解一阶微分方程组。具体步骤如下： （1）将一阶微分方程组表示为矩阵形式dx/dt = Ax。 （2）求解矩阵A的行列式，若行列式不为零，则矩阵可逆。（3）若A可逆，则方程组的通解为x = e^(At)C，其中C为任意常数列向量。 （4）若A不可逆，则方程组的通解为x = e^(At)(C1 + tC2)，其中C1和C2为任意常数列向量。 四、实例分析： 考虑一个简单的一阶微分方程组： dx/dt = 2x + y dy/dt = -3x + 4y 将其表示为矩阵形式，得到： dX/dt = AX 其中，X = [x, y]是一个二维列向量，A是一个2×2的矩阵，具体形
一阶微分方程解题方法指导 刘 兵 军 在高数下册中，微分方程一章是独立性很强的内容，和积分与级数这些内容没有什么联系，故可以灵活安排讲授时间，即使在讲多元函数偏导数之前讲授本章内容也是可以的. 所谓微分方程就是由未知函数及其导数构成的等式. 方程中所含未知函数导数的最高阶叫作微分方程的阶. 如果方程的解中含有任意常数且其个数与方程阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 满足确定任意常数初始条件的解为特解. 求解微分方程就是求其通解或进一步求满足某条件的特解. 本文主要讨论一阶微分方程 ),(y x f dx dy =的求解问题. 一、可分离变量的方程 一个一阶微分方程能变形为如下形式： dx x f dy y g )()(= （1） 则称其为可分离变量的方程. 假定方程（1）中)(y g 和)(x f 是连续的，则在（1）两边积分可得方程的解. 经过变形把方程变为（1）的形式，是解题的关键所在. 例1．求微分方程 xy dx dy 2=的通解. 解：分离变量得 xdx y dy 2= 两边积分得 ⎰⎰=xdx y dy 2 即 12ln C x y += 2112x C C x e e e y ==+ 令1C e C =可得2x Ce y = 例2．求微分方程的通解0)()(=-+-++dy e e dx e e y y x x y x . 解：分离变量得 dx e e dy e e x x y y 1 1+-=- 两边积分得 ⎰⎰+-=-dx e e dy e e x x y y 1 1 即 C e e x y ln )1ln()1ln(++-=- 得 C e e x y =+-)1)(1( 二、齐次方程 若一阶微分方程 ),(y x f dx dy =中的),(y x f 可写为x y 的函数)(x y ϕ，则称其为齐次方程.
一阶和二阶微分方程的区别 微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系以及变量的变化规律。在微分方程中，一阶微分方程和二阶微分方程是两种常见的形式。它们在表达方式、解法和物理意义等方面都存在一定的区别。 一阶微分方程是指含有未知函数的导数的方程，它的一般形式可以表示为dy/dx = f(x, y)。其中，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)表示已知函数。一阶微分方程一般可以通过分离变量、齐次方程、线性方程和可降阶的方程等方法进行求解。一阶微分方程的解通常包含一个任意常数，这是由于在求解过程中出现的积分常数。 而二阶微分方程是指含有未知函数的二阶导数的方程，它的一般形式可以表示为d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)。其中，d²y/dx²表示y对x 的二阶导数，f(x, y, dy/dx)表示已知函数。二阶微分方程一般可以通过特征方程、待定系数法、变量代换等方法进行求解。与一阶微分方程不同的是，二阶微分方程的解通常包含两个任意常数，这是由于在求解过程中出现的两次积分常数。 一阶微分方程和二阶微分方程在物理意义上也存在一定的差异。一阶微分方程通常用于描述一维运动中的速度和加速度的关系，例如自由落体运动的速度和加速度之间的关系。而二阶微分方程通常用于描述二维或三维运动中的加速度和位移之间的关系，例如质点在
受力作用下的运动轨迹。 在解法上，一阶微分方程相对较简单，常见的解法方法已经相对成熟和完备。而二阶微分方程的解法相对更加复杂，需要根据具体的方程形式选择不同的解法方法。一阶微分方程的解法通常可以通过直接积分得到，而二阶微分方程的解法则需要经过多次积分才能得到最终的解。 总结起来，一阶微分方程和二阶微分方程在表达方式、解法和物理意义等方面存在一定的区别。一阶微分方程适用于描述一维运动中的速度和加速度的关系，解法相对简单；而二阶微分方程适用于描述二维或三维运动中的加速度和位移的关系，解法相对复杂。对于初学者来说，了解它们的区别对于学习微分方程理论和解题方法都具有一定的帮助。
一阶微分方程 1. 简介 微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了函数与它的导数之间的关系。一 阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。在物理、工程、经济等领域中，许多问题都可以通过一阶微分方程来建模和解决。本文将介绍一阶微分方程的基本概念、求解方法以及一些应用。 2. 基本概念 在介绍一阶微分方程之前，我们需要先了解一些基本概念。 2.1 导数 导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。对于函数f(x)，它的导数可以表示为： f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x))/h 其中，h表示一个无限小的增量。导数可以理解为函数在某一点的斜率，它的 值越大，表示函数在该点的变化越快。 2.2 一阶微分方程 一阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。通常形式为： dy/dx = f(x, y) 1
其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知的函数。这个方程描述了未知函数y的导数与x和y之间的关系。 3. 求解方法 解一阶微分方程的方法有很多种，这里介绍两种常见的方法：分离变量法和常系数线性微分方程的求解。 3.1 分离变量法 分离变量法是一种常用的求解一阶微分方程的方法。它的基本思想是将方程中的变量分离开来，分别对x和y进行积分。具体步骤如下： 1.将一阶微分方程写成dy/dx=f(x, y)的形式； 2.将方程两边关于x和y进行分离； 3.对两边同时进行积分，得到一个含有常数C的通解； 4.如果给定了一个初始条件y(x0) = y0，则可以通过代入初始条件来确 定常数C，得到一个特解。 3.2 常系数线性微分方程的求解 常系数线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。它的求解方法基于特解与齐次方程解的叠加原理。 1.首先求解对应的齐次方程dy/dx + P(x)y = 0，得到一个通解； 2.再寻找一个特解，使得它满足原方程dy/dx + P(x)y = Q(x)； 2
一阶微分方程的解法 一、分离变量法： 分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。 例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。 二、齐次方程法： 齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。 设y = vx，其中v是未知函数。将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。将这两个式子代入原方程，得到v + x*dv/dx = f(v)。将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。 三、一阶线性方程法： 一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。 设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y = Q(x)μ(x)。左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成
d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。对上述方程进行积分后，再除以 μ(x)，即可得到未知函数y(x)。 四、可化为可分离变量的方程： 有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。 例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。然后对方程两边进行求导，并代入 y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。 以上是一阶微分方程的四种常见解法，涵盖了大部分的情况。然而，一阶微分方程的解法是一个广泛的课题，还有其他的方法和技巧可以用来求解特殊的方程。对于特定的一阶微分方程，我们可能需要结合具体的性质和方法，来选择合适的解法。要掌握一阶微分方程的解法，需要理解这些解法的原理和应用条件，并进行实践和练习。
一阶微分方程组矩阵求解方法 一阶微分方程组是指由多个一阶微分方程组成的方程组。解一阶微分 方程组的一种常用方法是矩阵求解法。矩阵求解法是一种有效的求解线性 常微分方程组的方法，它通过将微分方程组转化为矩阵的运算，从而简化 求解的过程。 设一阶微分方程组为： dx1/dt = a11*x1 + a12*x2 + ... + a1n*xn + b1 dx2/dt = a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn + b2 ... dxn/dt = an1*x1 + an2*x2 + ... + ann*xn + bn 其中，x1, x2, ..., xn为未知函数，t为自变量，a11, a12, ..., ann为系数函数，b1, b2, ..., bn为常数项。 令X = [x1, x2, ..., xn]T为未知函数的向量，A = [a11, a12, ..., ann]为系数矩阵，B = [b1, b2, ..., bn]T为常数项的向量，得到一阶微分方程组的矩阵形式为： dX/dt = AX + B 对于矩阵求解法，我们首先需要求解矩阵的特征值和特征向量。 特征值方程为：det(A - λI) = 0 其中，I为单位矩阵，λ为特征值。 求解特征值方程得到特征值λ1,λ2,...,λn。
对于每个特征值λi，我们求解齐次方程组的解Xi(t)。 (A-λiI)Xi(t)=0 其中，Xi(t) = [x1i(t), x2i(t), ..., xni(t)]T为特征向量。 根据齐次方程组的解Xi(t)，我们可以得到矩阵的特征向量矩阵X， 其中每一列为一个特征向量。 X=[X1,X2,...,Xn] 将特征值和特征向量代入原方程组，可得非齐次方程组的解： X(t) = X0 + ∑ci(xi(t) * exp(λit)) 其中，X(t)为非齐次方程组的解，X0为常数项的解，ci为待定系数，xi(t)为特征向量，λi为特征值。 通过求解非齐次方程组的解，我们可以得到一阶微分方程组的通解。 根据初值条件，可以确定特定的解。 矩阵求解法的优点在于可以通过矩阵运算统一求解多个一阶微分方程，简化了求解过程。同时，矩阵方法也可以应用于高阶微分方程组的求解。 需要注意的是，在应用矩阵求解法时，需要确保各阶微分方程均可解，并且满足求解的条件。同时，对于非齐次方程组，需要根据初始条件来确 定待定系数，得到特定的解。 总结一阶微分方程组矩阵求解方法，主要包括以下几个步骤： 1.将微分方程组转化为矩阵形式。 2.求解特征值方程，得到特征值和特征向量。
第4章一阶线性微分方程组一内容提要 1．基本概念 一阶微分方程组：形如 （3.1）的方程组，（其中 是关于 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数 使得在[a,b]上有恒等式 成立，则 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n任意常数 的解
称为(3.1)通解。如果通解满方程组 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件 的解，叫做初值问题的解。 令n维向量函数 Y = ，F（ ，Y）=
， 则（3.1）可记成向量形式 (3.2) 初始条件可记为 Y( )= ,其中 则初值问题为:
(3.3) 一阶线性微分方程组:形如 (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组. 令 A( )= 及F( = 则(3.4)的向量形式: (3.5)
F( 时 (3.6) 称为一阶线性齐次方程组, (3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。 在（3．5）式A( 即A( (3.7) 叫做常系数线性非齐次微分方程组. (3.8) 叫做常系数线性齐次微分方程组. 2．一阶线性微分方程组的通解结构. 定理1（一阶线性微分方程组解存在唯一性定理）：如果线性微分方程组
中的A 及F 在区间I= 上连续，则对于 上任一点 以及任意给定的Y ，方程组 的满足初始条件的解在 上存在且唯一。 1)向量函数线性相关性及其判别法则 定义：设 是m个定义在区间I上的n维向量函数。如果存在m个不全为零的常数 使得 恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则它们在区间I上线性无关。 判别法则：①定义法 ②朗斯基（Wronski）行列式判别法： 对于列向量组成的行列式