以下是一个一阶非齐次微分方程的例题及其解法：
例题：解一阶非齐次微分方程 y' + 2y = e^x
解法：
首先，对于一阶非齐次线性微分方程，我们可以使用待定系数法来求解。步骤如下：
1. 找到对应齐次方程的通解：对于方程 y' + 2y = 0，这是一个一阶线性齐次微分方程。它的特征根为 r = -2。因此，齐次方程的通解为 y_h = C*e^(-2x)，其中 C 是常数。
2. 设非齐次方程的特解为 y_p。为了找到特解，我们通常需要对非齐次项进行试探或猜测。由于非齐次项是 e^x，我们可以猜测特解的形式为 y_p = Ax^m * e^x，其中 A 和 m 是待定系数。
将 y_p = Ax^m * e^x 代入原方程，得：
(Ax^m * e^x)' + 2(Ax^m * e^x) = e^x
=> A(x^m * e^x)' + 2Ax^m * e^x = e^x
=> Amx^(m-1) * e^x + 2Ax^m * e^x = e^x
比较等式两边的指数和系数，我们可以得到：
Am(m-1)x^(m-1) + 2Amx^m = 1
令 m = 1，可以简化上述方程。于是，我们得到 A = 1/3。
所以，特解为 y_p = (1/3)x * e^x。
3. 最后，原方程的通解为 y = y_h + y_p = C*e^(-2x) + (1/3)x * e^x。
这就是一阶非齐次微分方程 y' + 2y = e^x 的解。
一阶微分方程
第二节 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F (x ,y ,y ′)＝0 或 y ′=f (x ,y )， 其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法． 一、 可分离变量的方程 形如 x y d d =f (x )g (y ) (10-2-1) 或 M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2) 的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数． 方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得
将 2 1y -作为分母时丢失了两个特解．故所求 方程的通解为： arcsin y ＝x +C （C 为任意常数）， 另外还有两个特解y ＝±1． 例2 已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性e ＝-3P 3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数． 解 需求量x 对价格P 的弹性e ＝p x x P d d ． 依题意，得 p x x P d d ＝-3P 3， 于是 x x d ＝-3P 2d P ， 积分得 ln x =-P 3+C 1， 即 x =Ｃ3 P -e (C =1 C -e )． 由题设知P ＝0时，x =1,从而C =1．因此所求的需求函数为 x =3 P -e ． 例3 根据经验知道，某产品的净利润y 与
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类 一、常系数法： 当$P(x)$为常数时，可以采用常系数法求解。具体步骤如下： 1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解 $y_0(x)$； 2.利用常数变易法，设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$； 3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$； 4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。 二、一阶线性微分方程的常数变易法： 对于一般的一阶线性非齐次微分方程 $\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)$，可以采用常数变易法求解。具体步骤如下： 1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解 $y_0(x)$； 2.设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$； 3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$； 4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。 三、常数变易法的特殊形式： 当非齐次方程的右端项$Q(x)$具有形式$Q(x)=P(x)F(x)$时，可以采用常数变易法的特殊形式求解。具体步骤如下：
1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解 $y_0(x)$； 2.设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$； 3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$； 4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。 四、拉普拉斯变换法： 该方法适用于解微分方程初值问题。通过拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，然后根据拉普拉斯变换的性质求解代数方程，最后利用拉普拉斯逆变换得到微分方程的解。 五、解法总结： 1.首先判断是否为一阶线性非齐次微分方程； 2.如果是常系数非齐次线性微分方程，可以用常系数法求解； 3.如果是非常数非齐次线性微分方程，可以用常数变易法求解； 4.如果非齐次方程的右端项具有特殊形式，可以用常数变易法的特殊形式求解； 5.如果初值问题，可以考虑使用拉普拉斯变换法求解。 总之，一阶线性非齐次微分方程的求解方法主要包括常系数法、常数变易法、常数变易法的特殊形式和拉普拉斯变换法等。具体采用哪种求解方法，需要根据具体问题的特点来确定。
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ １１１ ①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘ ｘｘ１－ｘ １ ２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（） ｘ ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量 ３．下列说法正确的是（） ①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ） 内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（） ①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧 ５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（） ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ｄｄ ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ ｄｘｄｘ 1 ６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（） -1
非齐次线性微分方程 本章涉及知识点 1、微分方程的定义 2、一阶线性微分方程的定义 3、求齐次线性方程通解的算法 4、求非齐次线性方程通解的算法 5、伯努利方程的变化算法 6、案例微分方程的分析 7、纯数学算法推导案例的微分方程 8、Euler算法的推导 9、编程实战案例微分方程在不同算法下的计算结果和误差 一、微分方程的定义 在许多实际问题，尤其是金融问题，往往不能直接列出所需要研究的函数的具体表达式，但是根据使用场景，却可以列出待研究的函数与其导数的关系式，而关于函数和其导数的方程就称之为微分方程，那么从这个方程中找出未知函数，就是求解微分方程的解。 一般的，在满足初始条件下，微分方程包含未知函数的一阶导数 一阶微分方程 上述微分方程就叫做一阶微分方程
二、一阶线性微分方程的定义 方程是齐次的定义为 齐次 而方程是非齐次的定义为 非齐次 求解非齐次微分方程的解，我们需要 (1)、写出对应于非齐次线性方程的齐次线性方程，求出齐次线性方程的通解 (2)、通过常数易变法，求出非齐次线性方程的通解 三、求齐次线性方程通解的算法 对于齐次方程，我们用分离变量法，得到 求解齐次方程 提出常数C1化简得 齐次方程的通解 四、求非齐次线性方程通解的算法 得到齐次方程的通解后，我们使用常数易变法，将齐次方程通解中的常数C换做未知函数u(x)，变化得 常数易变法 我们对y进行求导，得到
y的导数 将导数带入非齐次线性方程中，得 两端积分得 将求解到的u带入y，就得到了非齐次方程的通解 非齐次方程的通解 我们将通解写成两项之和，得到 非齐次方程的通解意义 观察分析上式可以看到，一阶非齐次线性微分方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解 五、伯努利方程的变化算法 从一阶线性微分方程中可以看到，P(x)和Q(x)当只有P(x)是关联未知函数y，我们可以用上述算法求解该方程。但是当Q(x)也关联未知函数y，此时应该如何求解方程呢？ 伯努利方程 上述方程叫做伯努利方程，显然当n=0或n=1时，就是非齐次线性方程，而当n不等于0和1时，这个方程就不是线性的，为此，我们需要利用上述算法求解该方程，就需要通过变量的代换，将它转化为线性的即可我们将伯努利方程两端同时除以y^n得 伯努利方程变化-1 因为
微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节) 题10.1(A) 1.指出下列微分方程的阶数： 1) x(y')-2yy'+x=； 2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x； 3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S； 4) 2d^2S/dt^2+S=0. 解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。 2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？ 1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）； 2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe； 3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）； 4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。 解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。
3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是 方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。 解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x- C2xe^-x。 将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以 C1=2C2. 所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。 将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为 y=(4+2x)e^-x。 4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标 与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。 解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题 意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。 题10.1(B) 1.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 1) 曲线上点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方；
微分方程习题 一、选择题 1. 微分方程（x+y ）dy-(x-y)dx=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D.一阶线性非齐次微分方程 2．微分方程y ＇- y=x 2 +1是（ ） A ．一阶线性微分方程 B ．二阶线性微分方程 C ．齐次微分方程 D ．可分离变量的微分方程 3. 微分方程xy ′+y =x +3是（ ） A. 可分离变量的微分方程 B. 齐次微分方程 C. 一阶线性齐次微分方程 D. 一阶线性非齐次微分方程 4．下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为（ ） A ．（e x+y -e x ）dx+(e y -e x+y )dy=0 B ． )(ln xy dx dy = C ．xdy-(y+x 3)dx=0 D ．(x+y)dy-(x-y)dx=0 5. 下列微分方程中为线性微分方程的是( ) A.y x y dx dy sin += B.x e x xy dx y d )1(222+=- C.y x dx dy cos = D. x dx dy x dx y d 1)( 22 2=+ 6. 微分方程y ″+y=0的解是（ ） A ．y=1 B ．y=x C ．y=sinx D ．y=e x 7．下列函数中哪个不是微分方程y ″-4y ′+3y=0的解（ ） A ．e x B ．e 2x C ．e 3x D ．e x+1 8. 微分方程y y '=''的通解是y=（ ） A.Ce x B.C 1e x +C 2 C. C 1e x +C 2x D.Ce x +x 9．微分方程y ″-5y ′+6y=0的通解y=（ ） A ．C 1e -2x +C 2e -3x B ．C 1e 2x +C 2e 3x C ．C 1e 2x +C 1e 3x D ．C 1e -2x +C 1e -3x 10. 微分方程x sin y =''的通解为y=（ ） A.sinx+C 1x+C 2 B.sinx+C 1+C 2 C.-sinx+C 1x+C 2 D.-sinx+C 1+C 2 11. 微分方程1y y =-'的通解是（ ） A.y=Ce x B.y=Ce x +1 C.y=(C+1)e x D.y=Ce x -1 12．微分方程xy ″=y ′的通解为（ ） A ．y=C 1x+C 2 B ．y=x 2+C C ．y=C 1x 2+C 2 D ．y= C x 2 12 + 13．微分方程032=+'+''y y y 的通解为（ ） A ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=- B ．)2sin 2cos (21x C x C e y x +=- C ．)2sin 2cos (21x C x C e y x += D ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=
378 高数微分方程典型例题 例1 求通解为12x y c e c x =+的微分方程，其中1c 、2c 是任意常数． 分析 所给通解表达式中含两个任意常数，故所求的方程应该是二阶的． 解 由121,x x y c e c y c e '''=+=，解得12,x y c c y y e '' '''==-，将12,c c 代入12x y c e c x =+整 理得(1)0x y xy y '''--+=，此即为所求微分方程． 例2 试证2311c x y c e -=-是方程99y y ''-=的解，但不是它的通解，其中12,c c 是任意常数． 分析 这类题验证所给函数是相应微分方程的通解或解，只需求出函数的各阶导数，代入微分方程，看是否使微分方程成为恒等式． 证 2311c x y c e -=-可以写成 2311c x y c e e -=⨯-，记21c c c e =， 则有31x y ce -=-，将其代入方程99y y ''-=得 左端3(1)x ce -''=-39(1)x ce ---3(3)x ce -'=-399x ce --+ 339999x x ce ce --=-+=≡右端， 所以2311c x y c e -=-是方程的解，由于解中只含有一个独立的任意常数，故它不是该方程的通解． 注 需要弄清楚解、通解的定义，通解中独立常数的个数应与方程的阶数相同． 例3 求下列微分方程的通解： （1）()()xyy x a y b '=++； （2）[ln()1]0xy y xy '--=． 分析 在求解微分方程时，首先要判断方程的类型，然后根据不同类型，确定解题方法． 解 （1）方程两端同时除以()x y b +，则有 y x a dy dx y b x +=+， 积分得
一阶微分方程的通解 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢§2一阶微分方程的初等解法 第二章一阶微分方程的初等解法 §变量分离方程与变量替换§线性微分方程与常数变易法§恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。 §变量分离方程与变量替换 人口模型 dt 求解即 当是一个解. dy (2)当两边积分得ln y 故 一、变量分离方程 dy 1.变量分离方程的形式 f ( x)是x的连续函数是y的连续函数.
dy 2. 变量分离方程的解法先分离变量当 再两边积分 ( x )dx dy G( y) F (P31例1) 例1 求解方程 2 y y 解: 先分离变量 dy 再两边积分, 2 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或 例2 求解方程解: 先分离变量 再两边积分, 2 dy
dx 2 解得 故通解为其中c为任意正常数. 例3 求解方程 例2) 解得 3 即 即 3 3 3 解: (1)当是一个解. (a 当 先分离变量, y x dx 再两边积分 解得 即 ( k为任意正常数) 综上, 通解为y a e
为任意常数) 故通解为其中c为任意常数. ( 此式含分离变量时丢失的解y = 0 ) (P33例4) 例4 求解方程 ( x ) y, 其中P ( x )是x 的连续函数. 解: (1)当是一个解. dy (2)当 先分离变量 再两边积分, 解得ln y dy (P42习题1(2)) 练习解方程y2dx 并求满足初值条件 的特解. 解当 0 : 是一个解. 再两边积分解得 即 为任意常数) 1 综上, 通解为 为任意常数), 另有解
一阶非齐次微分方程 解一阶非齐次微分方程的常用方法之一是变量分离法。具体步骤如下：Step 1: 将dy/dx + P(x)y = Q(x)移项，得到dy/dx = -P(x)y + Q(x)。 Step 2: 对于右侧Q(x)项，如果存在一个函数u(x)，使得u'(x) = Q(x)，则可以将方程写成dy/dx = -P(x)y + u'(x)。 Step 3: 对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫(-P(x)y + u'(x))dx。 Step 4: 对右侧第一项进行整理，得到∫dy = -∫P(x)ydx + ∫u'(x)dx。 Step 5: 对于第一项，可以利用乘法法则进行化简，得到∫dy = - y∫P(x)dx + ∫u'(x)dx。 Step 6: 对第一项利用积分的线性性质，得到∫dy = -y∫P(x)dx + u(x)。 Step 7: 对两边同时积分，得到y = -∫P(x)dx + ∫u(x)dx + C。 这就是一阶非齐次微分方程的通解。 需要说明的是，如果在求解途中无法找到合适的u(x)使得 u'(x)=Q(x)，则无法使用变量分离法求解，需要考虑其他的解法。 除了变量分离法外，常见的解法还包括常数变易法、指数函数解、一 阶线性微分方程解等等。这里不一一赘述。 下面以一个具体的例子来说明一阶非齐次微分方程的求解过程。 例题：求解微分方程dy/dx + y/x = cos(x)/x。
解：首先将方程改写为dy/dx = -y/x + cos(x)/x。 然后观察右侧项，发现可以取u(x) = sin(x)，则u'(x) = cos(x)。 将u'(x)带回方程，得到dy/dx = -y/x + u'(x)。 对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫(-y/x + u'(x))dx。 进行整理，得到∫dy = -∫(y/x)dx + ∫u'(x)dx。 利用积分的线性性质，得到∫dy = -y∫(1/x)dx + ∫u'(x)dx。 对右侧两个积分进行计算，得到y = -ln，x，+ ∫sin(x)dx。 对∫sin(x)dx积分，得到y = -ln，x， - cos(x) + C，其中C为积分常数。 所以，该微分方程的通解为y = -ln，x， - cos(x) + C。
常微分方程题（1） 习题 2.5 1. 求解下列方程的解 （1） ysinx+ dx dy cosx=1 解：移项得，dx dy cosx=1-ysinx 两边同除cosx 得dx dy =—x x cos sin y+x cos 1 所以，y=e ?x x d cos ) (cos 1（?x cos 1e ?-x x d cos )(cos 1dx+c ） y=cosx(2)cos 1(?x dx+c) y=cosx(? 2sec xdx+c) y=cosx(tanx+c) 所以 y=sinx+cosxc 为方程的通解 (2)ydx-xdy=x 2ydy 解：两边同除x 2得，2x xdy ydx -=ydy 则d （x y -）=d （22y ）所以，x y y +22=c 为方程的通解。（3）dx dy =4e -y sinx-1 解：两边同乘以e y 得，e y dx dy =4sinx-e y 所以dx e d y ) (=4sinx-e y 令u=e y 得， u x dx du -=sin 4 u=e ?-dx 1 (??dx xe sin 4dx+c) u=e -x (?x xe sin 4dx+c) 又因为?x xe sin 4dx=4?x xde sin =4sinxe x -4?x e dsinx=4sinxe x -4? x xe cos dx=4sinxe x -4 ?x xde cos =4sinxe x -4e x cosx+4?x e d （cosx ）=4sinxe x -4e x cosx-4? x xe sin dx
所以dx xe x ? sin 4=2e x sinx-2e x cosx （分步积分法）即e y =e -x （2e x sinx-2e x cosx+c ）所以e y =2（sinx-cosx ）+ce -x 为方程的通解。 （4）dx dy =xy x y - 解：分子分母同除x 得，x y x y dx dy -=1 令u=x y ，则y=ux,由此u dx du x dx dy +=,代入原方程得，x dx du +u=u u -1 化简得，x dx du =u u u -1 当u u ≠0时，du u u u -1=x 1dx （dx x du u u u 1)11=- （dx x du u u 1)123 =-- c x u u +=--ln ln 2 1 1ln ln 2 c u x u ++=- )21(ln 2111c y u -+-= 令- c c =121 则c y u +-=ln 211 即c y y x +-=ln 21，2)ln 21(c y y x +-= 即x=y （-2)ln 2 1c y + 经验证，y=0也是方程的解。（5）（xye y x +y 2）dx-x 2e y x dy=0 解：原方程可写为2 2y xye e x dy dx y x y x +==1)(2+y x e y x y x e y x （分子分母同除y 2）令u=y x ，所以x=uy ，对y 求导得，u y dy du dy dx += 即1
非齐次微分方程通解的方法 一、前言 非齐次微分方程是微积分学中的重要内容，解非齐次微分方程的通解方法有很多种，本文将介绍其中两种常用的方法：常数变易法和特解叠加法。 二、常数变易法 1. 基本思想 常数变易法是通过假设非齐次微分方程的通解为其对应的齐次微分方程通解与一个特殊解之和，然后利用边界条件求出特殊解中的待定常数，从而得到非齐次微分方程的通解。 2. 具体步骤 （1）求出对应的齐次微分方程通解； （2）假设非齐次微分方程的通解为其对应的齐次微分方程通解与一个特殊解之和，即$y=y_c+y_p$；
（3）代入非齐次微分方程中，消去待定常数； （4）根据边界条件求出待定常数。 3. 举例说明 考虑一阶线性非齐次微分方程$y'+2y=x+1$，其对应的齐次微分方程为$y'+2y=0$，其通解为$y_c=Ce^{-2x}$。假设非齐次微分方程的通解为$y=y_c+y_p$，其中特殊解为$y_p=Ax+B$。将其代入非齐次微分方程中得到： $$ (Ax+B)'+2(Ax+B)=x+1 $$ 化简可得： $$ A=\frac{1}{2},B=\frac{3}{4} $$ 因此，非齐次微分方程的通解为：
$$ y=Ce^{-2x}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4} $$ 三、特解叠加法 1. 基本思想 特解叠加法是通过假设非齐次微分方程的特殊解为一组基础特解的线性组合，然后利用边界条件求出基础特解中的待定系数，从而得到非齐次微分方程的通解。 2. 具体步骤 （1）求出对应的齐次微分方程通解； （2）根据非齐次项形式选择一组基础特解； （3）假设非齐次微分方程的特殊解为基础特解的线性组合，即 $y=y_1+y_2+...+y_n$； （4）代入非齐次微分方程中，消去待定系数；
一阶非齐次微分方程的通解和特解 微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系。其中，一阶非齐次微分方程是指方程中含有非零常数项的微分方程。在求解一阶非齐次微分方程时，我们需要找到其通解和特解。 让我们来了解一阶非齐次微分方程的概念。一阶非齐次微分方程的一般形式为dy/dx = f(x) + g(x)，其中f(x)和g(x)分别是x的函数。这里，f(x)是方程的非齐次项，g(x)是方程的齐次项。 为了求解一阶非齐次微分方程，我们首先考虑其对应的齐次方程dy/dx = g(x)，其中g(x)为非零函数。对于齐次方程，我们可以使用分离变量的方法求解。将dy和dx分离开来，然后两边同时积分，最后得到齐次方程的通解。 然而，对于一阶非齐次微分方程，我们还需要找到其特解。特解是指满足方程的一个特定解，它与通解不同。为了求解一阶非齐次微分方程的特解，我们可以使用常数变易法。 常数变易法的基本思想是假设特解为一个常数乘以非齐次项的一个特解。我们假设特解为y = u(x) * v(x)，其中u(x)是未知函数，v(x)是非齐次项。然后，我们求出u(x)和v(x)的导数，代入原方程，从而得到一个关于u(x)和v(x)的代数方程。通过解这个方程，我们可以得到u(x)和v(x)的具体表达式。
有了u(x)和v(x)的表达式后，我们就可以得到特解y = u(x) * v(x)。将这个特解代入原方程，我们可以验证特解是否满足原方程。如果满足，那么我们就找到了一阶非齐次微分方程的特解。 我们将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，就得到了一阶非齐次微分方程的通解。这个通解包含了齐次方程的通解和特解，它能够满足原方程的所有解。 总结一下，一阶非齐次微分方程的求解过程包括求解齐次方程、求解特解和得到通解三个步骤。通过齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，我们可以得到一阶非齐次微分方程的通解。这个通解能够满足原方程的所有解。 在实际问题中，一阶非齐次微分方程的求解具有重要的应用价值。例如，在物理学中，一阶非齐次微分方程可以用来描述弹簧振子的运动、电路中的电流变化等。通过求解微分方程，我们可以得到关于物理系统的重要信息。 一阶非齐次微分方程的通解和特解是求解微分方程的重要步骤。通过求解齐次方程和特解，我们可以得到一阶非齐次微分方程的通解，从而得到方程的所有解。这个过程在数学和物理学中都有广泛的应用。
非齐次方程求解题技巧 非齐次方程通常由齐次方程和特解两部分组成，解这类方程的一般思路是先解齐次方程得到通解，再找到一个特解，最后将齐次方程和特解合并得到非齐次方程的通解。以下将介绍求解非齐次方程的常见方法和技巧。 一、待定系数法 待定系数法是解非齐次线性常微分方程的常用方法。假设非齐次方程为 \\[y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n- 1}y^{(1)}+a_ny=g(x) \\] 其中$g(x)$为已知函数，$y^{(k)}$表示$y$的$k$阶导数。用$y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$表示齐次方程的$n$个线性无关的解，则非齐次方程的通解可设为 \\[y=C_1y_1+C_2y_2+...+C_ny_n+y_p \\] 其中$C_1,C_2,...,C_n$为待定常数，$y_p$为特解。 先求齐次方程的通解：对于$n$阶齐次方程$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n- 1}y^{(1)}+a_ny=0 $，假设它的特征方程的根为$r_1,r_2,...,r_n$，则齐次方程的通解为 \\[ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+...+C_ne^{r_nx} \\] 其中$C_1,C_2,...,C_n$为常数。
再求特解：将待定系数法所设的非齐次方程代入原方程，化简并比较系数，得到待定系数的值。常用的待定系数的选取方法有： （1）如果$g(x)$是多项式，则$y_p$也选为多项式，且$y_p$的次数不高于$g(x)$的次数。 （2）如果$g(x)$是三角函数的线性组合或指数函数$e^{ax}$与三角函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。 （3）如果$g(x)$是多项式与指数函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。 （4）如果$g(x)$是多项式与三角函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。 二、常数变易法 常数变易法也是求解非齐次线性常微分方程的一种方法。对于二阶线性非齐次方程$y''+a_1y'+a_2y=g(x)$，设其通解为$y=C_1y_1+C_2y_2$，其中$y_1,y_2$为齐次方程的两个线性无关的解，$C_1,C_2$为待定常数。令$C_1=C_1(x),C_2=C_2(x)$为待定的函数并将其代入原方程中，通过求导求得$C_1(x)$和$C_2(x)$的表达式，进而得到非齐次方程的通解。 三、常系数非齐次线性微分方程的特解求法 对于一般形式的常系数非齐次线性微分方程$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n- 1}y^{(1)}+a_ny=b(x)$，特解的求解方法如下：
一阶电路的零状态响应 一阶电路的零状态响应 零状态响应：储能元件的初始状态为零，仅由外加激励作用所产生的响应，称为零状态响应（ zero-state response ）。 一、 RC 电路的零状态响应 图 5.4-1 所示 RC 电路，开关闭合之前电路已处于稳态，且电容中无储能，即。时开关闭合，讨论时响应的变化规律。 t=0 时开关闭合，则由换路定则得 这时直流电压源 Us 与 R 、 C 构成回路，由 KVL 得 这是一阶非齐次微分方程，它的解由对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解组成。采用常数变易法来解，得 RC 电路的零状态响应为 当 t →∞时，电路已达到新的稳态，电容又相当于开路，则， 因此，电容电压的零状态响应为 式中，为 RC 电路的时间常数。
二、 RL 电路的零状态响应 图 5.4-3 所示电路，时开关 S 处于闭合状态，电感的初始状态，时开关打开。讨论开关打开后响应的变化规律。 t=0 时，开关 S 打开，直流电流源 Is 开始对电感充电，这时 这也是一阶非齐次微分方程，解得 式中，为 RL 电路的时间常数。当 t →∞时，这时电路已达到新的稳态，电感相当于短路。 ， 因此，电感电流的零状态响应为
三、一阶电路零状态响应的计算 计算步骤 1 、求 t →∞时的稳态值。 对于 RC 电路，求；对于 RL 电路，求。 2 、求电路的时间常数τ。 对于 RC 电路，，对于 RL 电路，。其中， R 为从电容 C 或电感 L 两端看进去的戴维南等效电阻。 3 、求出零状态响应 RC 电路： RL 电路： 4 、如需求其它响应，再根据已求得的或去求解。 例 5.4-1 图 5.4-5 所示电路，已知时开关 S 处于位置 2 ，且电感中无储能， t=0 时开关 S 拨到位置 1 ，求时的，。 解：电感的初始储能为 0 ，则 电路换路后， t →∞时，电路进入新的稳态，电感又相当于短路，则 换路后，从电感两端看进去的等效电阻是 4 Ω和 8 Ω两个电阻串联，即R=4 ＋ 8=12 Ω
第三节一阶线性微分方程 分布图示 ★ 一阶线性微分方程及其解法 ★例1★例2★例3 ★例4★例5★例6 伯努利方程★例7★例8 ★例9★例10 内容小结★课堂练习 ★习题8-3 内容要点： 一、一阶线性微分方程 形如 业P(x)y =Q(x) (3.1) dx 的方程称为一阶线性微分方程.其中函数P(x)、Q(x)是某一区间I上的连续函数.当 Q(x)三0,方程(3.1)成为 dy / P(x)y =0 (3.2) dx 这个方程称为一阶齐次线性方程.相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程. 方程(3.2)的通解 y =Ce—P(x)dx. (3.3) 其中C为任意常数. 求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C变易为待定函数u(x)，并设一阶非齐次方程通解为 y =u(x)e-P(x)dx, 一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为 y -1Q(x)e P(x)dx dx C ^P(x)dx(3.5) 二、伯努利方程：形如 业P(x)y =Q(x)y n(3.7) dx 的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且n#0,1.
伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的.事实上, 在方程(3.7)两端除以y n,得 广乎P(x)y* =Q(x), dx 1 (y ) P(x)y = Q(x), 1 一n 于是，令z = y1^，就得到关于变量z的一阶线性方程 dz 一(1 -n)P(x)z =(1 -n)Q(x). dx 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程 (3.7)的通解 例题选讲: 1 -n y _ (1 _n)P(x)dx =e (1 H)P(x)dx I Q(x)(1「n)e dx C . 一阶线性微分方程 例1 ( E01)求方程y' + 1 y = S" x的通解. x x 解P(x) =1, Q(x)=号，于是所求通解为 eL dx dx+c'=eM 竺■e lnx d^^=1( 」V x J x cosx C). 例2 (E02)求方程也_-2^ = (x+1)5/2的通解. dx x 1 解这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解. 由也y =。= 也=_2^ =.如y =2 ln(x 1) ln C = y = C(x 1)2. dx x 1 y x 1 用常数变易法把C换成u,即令y =u(x +1)2，则有—=u '(x+1)2 +2u(x +1), dx 代入所给非齐次方程得u「=(x+1)2/1，两端积分得u =2(x十1)3/2 +C, 3 回代即得所求方程的通解为 y =(x 1)2 |(x 1)3/2 C 例3求下列微分方程满足所给初始条件的特解 xln xdy (y Tn x)dx =0, XH二 1.