一阶微分方程求解例题
今天分享一篇一阶微分方程求解的例题，也是在高中，初中阶段的微分方程中求解一阶微分方程的常用方法。因为一阶导数方程一般在函数中解，所以一阶导数方程很难被求解，尤其是初年级和高中阶段。接下来就用一阶不等式来解答这类几何问题。先看两道例题：例1,假设 X=4 b+2 k+1 k+1 m,此时一阶导数方程为()例2,若在函数(x, y)中定义为 x, y的一维微分方程是 m=5 x+1 k j表示的x轴对称解。
一、设微分方程为 a= b+ b+2 c+2 c,且 a和 b都是常数，那么 c是一个常数，那么此时方程应该为 a= b (c>0)+ b (c≤0)+ b (c≤1),其中 c是常数。
因为常数 c越大，方程的解就越难求解。但一般的问题中，往往要考虑到求导问题，一般需要先把常数 c降低。这里就需要把 c值降低到0或1。此时如果 a是常数，那么方程就是 a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c是常数；如果 a是常数，那么方程就是 a= a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c为常数。所以如果将这些常数取一个来求解一阶微分方程（多根方程）就不难了。再分析一下：假设方程中有两个常数分别为 y和 b (t>0),则这两个常数必然是一个最大值问题。那么这个最大值问题解决了吗？
二、求出 b的值后我们再利用几何中两种图形形式的简单变式就可以求出 b= b+2k-1 k的一阶不等式了，即 n是唯一解。
由于 a, b在函数中的值是未知的，所以可以通过变换 a, b的值来求出 a= b+2k-1 k。注意这道题中并没有解方法，因为 b只有一种基本的解法，即 m。于是我们只需要继续利用(x, y)中的简单变形即可取得正确的结果了。我们把 b= c+ b 2 k+ b 1 k转化为 b= b+2k-1 k就可以了。但要注意不能转化成 u= a/b或者 a= a/b/2了。所以我们需要注意在求出 b的值后再进行变换。而变换的主要方法就是将 u等于0转变为 x (0)的形式来求解。如果能将 u= b+2 k这个一阶不等式转化成一个 u-1-2 k或 u-2-2-1 k这个不等式或形式就更好了
三、如果 f (x)等于2 n时，方程不成立只有这一个结论，那么我们要用等式代替它们。
其实这个等式只是为了让更多的人能够理解方程的含义，从而使更多学习微分方程的人能够更加明白函数定义方法及应用，从而提高学习微分方程的效率以及应用知识解决问题的能力。本题的解题过程如下：先用公式进行计算，确定出求解方程的 x, y和 y轴的交点，用求出 a, b 和 c的值即得到 c为 y轴上的任意点的值域即 a、 b、 c、 d四个点之和；再用代入方程得到x的解，即 m=5 x+1 k j。注意：此处取了 n≥1,所以 m≠1,所以这道题不能用方程解析解的方式解出来。这里首先要说明一点：微分方程可在函数中解。而微分方程中可能存在解（或导）方程组（或导数方程组),若没有相应的函数，在数学解题中应该先将这个函数存在解（或导）方程组考虑在内。最后还要注意一点：这道题在初高中阶段是有难度的，建议大家在解题过程中不要直接用微分方程解析解来解题。
四、当 f (x)大于0时，我们要用函数(x)表示方程的解了。
因为 F表示的是一个常数，所以只要 F大于0,这个方程就可以解了。注意题中 f的值不一定代表是 f的解了，而是可以被 f消去。因为消去的部分如果是 f (x)值大，那么消去的部分就大有不同，需要进行适当分析。首先用函数(x)来表示就是要让 x值是负数，其次如果 k (x)大于0, k的值是-1也就是 k值大于0。要把 z取反了呢？当然也是为了求解析式中的 f (x)。然后将 y取反了么？如果不取反，则方程就没有解了。所以求解析式中的 y取反是不可能的一件事了。
五、利用函数(x)在x轴对称点处的对应关系来求解一阶导数方程就可以了。
若 f (x)在 x轴对称点处为零，则称该方程为一阶导数方程；若 f (x)在 y轴对称点处为正，则称该方程为一阶导数方程。以上是一阶微分方程求解的基本步骤，通过对例题的分析可知。利用该方法求解一阶导数方程是很简单的事情，但要注意本题中方程(x)的取值范围比较窄。因
为它的取值范围有三种情形:0=1<2+2+3。若选择求区间最小值就可以了。另外对于二阶函数(x)来说也有几种不同形式的函数区间最小值解，因此还要结合实际应用选择合适范围或形式进行求解。
总结一阶微分方程奇解的求法 摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用 Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples. 关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式 方法一：利用c-判别式求奇解 设一阶微分方程0, ,=?? ? ?? dx dy y x F ① 可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ② 如果()()???==0 ,,0,,' c y x c y x c φφ ③ 是微分方程①的解，且对③式满足：()()02 '2 '≠+y x φφ ④ 则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。 例1：方程() 2 2 2 x x y dy dx dy dx + -= 的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为2 2 2 c cx y x ++= 与4 2 x y = 其中c 为任意常数 当时2 2 2 c cx y x ++= ， ()y c cx x c y x -++= 2 2 2 ,,φ 其相应的c -判别式为 ? ??=+=-++02022x 2 c x y c cx 易得到： ? ??=-=2 2c y c x
代入原微分方程，可知? ??=-=2 2c y c x 不是原微分方程的解； 当4 2 x y = 时，易求出2 ,1''x y x ==φφ，则有()()02 '2 '≠+y x φφ 故4 2 x y = 为原微分方程的奇解 例2：试求微分方程() () y y dy dx 9 42 2 1= -的奇解 解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式： ()()()? ??=--=---020 322c x y y c x 易求出：? ??==0y c x 或 ???==3y c x 当???==0y c x 时，代入原微分方程成立； 所以? ??==0y c x 为原微分方程的解 且有()02'=--=c x x φ；()()93232 '-=---=y y y y φ 满足(Φ‘ x )2 +(Φ‘ y )2≠0 易验证???==3y c x 不是原微分方程的解 故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。 方法二：利用p-判别法求奇解 在微分方程①中，设y ′=p,则此方程的p-判别式为： ()()?????==0,,0 ,,' p y x F p y x F p ⑤ 消去p 之后得到的函数y=?(x)是微分方程①身为解，
一阶微分方程求解例题 今天分享一篇一阶微分方程求解的例题，也是在高中，初中阶段的微分方程中求解一阶微分方程的常用方法。因为一阶导数方程一般在函数中解，所以一阶导数方程很难被求解，尤其是初年级和高中阶段。接下来就用一阶不等式来解答这类几何问题。先看两道例题：例1,假设 X=4 b+2 k+1 k+1 m,此时一阶导数方程为()例2,若在函数(x, y)中定义为 x, y的一维微分方程是 m=5 x+1 k j表示的x轴对称解。 一、设微分方程为 a= b+ b+2 c+2 c,且 a和 b都是常数，那么 c是一个常数，那么此时方程应该为 a= b (c>0)+ b (c≤0)+ b (c≤1),其中 c是常数。 因为常数 c越大，方程的解就越难求解。但一般的问题中，往往要考虑到求导问题，一般需要先把常数 c降低。这里就需要把 c值降低到0或1。此时如果 a是常数，那么方程就是 a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c是常数；如果 a是常数，那么方程就是 a= a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c为常数。所以如果将这些常数取一个来求解一阶微分方程（多根方程）就不难了。再分析一下：假设方程中有两个常数分别为 y和 b (t>0),则这两个常数必然是一个最大值问题。那么这个最大值问题解决了吗？ 二、求出 b的值后我们再利用几何中两种图形形式的简单变式就可以求出 b= b+2k-1 k的一阶不等式了，即 n是唯一解。 由于 a, b在函数中的值是未知的，所以可以通过变换 a, b的值来求出 a= b+2k-1 k。注意这道题中并没有解方法，因为 b只有一种基本的解法，即 m。于是我们只需要继续利用(x, y)中的简单变形即可取得正确的结果了。我们把 b= c+ b 2 k+ b 1 k转化为 b= b+2k-1 k就可以了。但要注意不能转化成 u= a/b或者 a= a/b/2了。所以我们需要注意在求出 b的值后再进行变换。而变换的主要方法就是将 u等于0转变为 x (0)的形式来求解。如果能将 u= b+2 k这个一阶不等式转化成一个 u-1-2 k或 u-2-2-1 k这个不等式或形式就更好了 三、如果 f (x)等于2 n时，方程不成立只有这一个结论，那么我们要用等式代替它们。 其实这个等式只是为了让更多的人能够理解方程的含义，从而使更多学习微分方程的人能够更加明白函数定义方法及应用，从而提高学习微分方程的效率以及应用知识解决问题的能力。本题的解题过程如下：先用公式进行计算，确定出求解方程的 x, y和 y轴的交点，用求出 a, b 和 c的值即得到 c为 y轴上的任意点的值域即 a、 b、 c、 d四个点之和；再用代入方程得到x的解，即 m=5 x+1 k j。注意：此处取了 n≥1,所以 m≠1,所以这道题不能用方程解析解的方式解出来。这里首先要说明一点：微分方程可在函数中解。而微分方程中可能存在解（或导）方程组（或导数方程组),若没有相应的函数，在数学解题中应该先将这个函数存在解（或导）方程组考虑在内。最后还要注意一点：这道题在初高中阶段是有难度的，建议大家在解题过程中不要直接用微分方程解析解来解题。 四、当 f (x)大于0时，我们要用函数(x)表示方程的解了。 因为 F表示的是一个常数，所以只要 F大于0,这个方程就可以解了。注意题中 f的值不一定代表是 f的解了，而是可以被 f消去。因为消去的部分如果是 f (x)值大，那么消去的部分就大有不同，需要进行适当分析。首先用函数(x)来表示就是要让 x值是负数，其次如果 k (x)大于0, k的值是-1也就是 k值大于0。要把 z取反了呢？当然也是为了求解析式中的 f (x)。然后将 y取反了么？如果不取反，则方程就没有解了。所以求解析式中的 y取反是不可能的一件事了。 五、利用函数(x)在x轴对称点处的对应关系来求解一阶导数方程就可以了。 若 f (x)在 x轴对称点处为零，则称该方程为一阶导数方程；若 f (x)在 y轴对称点处为正，则称该方程为一阶导数方程。以上是一阶微分方程求解的基本步骤，通过对例题的分析可知。利用该方法求解一阶导数方程是很简单的事情，但要注意本题中方程(x)的取值范围比较窄。因
一阶微分方程的解法 高数论文 小组成员：张鹏 学院班级：商学院工商管理（ 微分方程解法的研究 窦文博孙洪毅余雷 2）班第一节微分方程的基本概念 【考研大纲要求解读】 了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。 【重点及常考点突破】 1.一阶微分方程初值问题的几何意义：F(x，y，y’）=0 y（x0）=y0 寻求过点（X0 ,Y0) 且在该点出的切线斜率为y’的满足方程的那条积分曲 线。 2.带有未知函数的变上（下）限积分的方程称为积分方程，它通常可以通过一次或 多次求导化为微分方程求解。 3.验证函数是否是微分方程解的方法，可以由相应微分方程的阶数，求至n阶导数， 代入方程看是否恒等，若恒等，再进一步验证初始条件。 【典型例题解析】 基本题型一：验证所给函数是相应微分方程的通解或解. 【例1】判断y=x（∫e^x/xdx+C）是方程xy’- y=xe^x的通解。解：由y=x （∫e^x/xdx+C），两边对x求导得；y’=∫e^x/xdx+C+x*e^x/x，即 y’=∫e^x/xdx+C+e^x，两边同乘以x，得xy’=x（∫e^x/xdx+C）+xe^x=y+xe^x，将原 式代入即得即xy’- y=xe^x. 故y=x（∫e^x/xdx+C）是原方程的通解. 基本类型二：化积分方程为微分方程. 【例 2】设f(x)=sinx-?x0（x-t）f（t）dt，其中f为连续函数，求f（x）所 满足的微分方程. 【思路探索】如遇到积分方程，其求解问题可化为相应的微分方程初值问题求解方 法是对变上（下)线积分求导来确定微分方程，再利用原积分方程进一步确定初始条件解：对原积分方程关于x求导，得
欧拉法计算一元一阶微分方程例题 欧拉法是一种用于求解微分方程数值解的数值方法。在实际应用中，我们常常会遇到一些复杂的微分方程，这时候就需要借助欧拉法等数值方法来求得其数值解。在本文中，我将以一元一阶微分方程的例题为案例，通过欧拉法来进行计算和求解，并探讨其相关原理和应用。 1. 问题描述 假设我们有一个一元一阶微分方程: dy/dx = x + y 并且已知其初始条件为 y(0) = 1，我们希望利用欧拉法来求出在 x = 0.1 时的近似解。 2. 欧拉法原理 欧拉法是一种基本的数值解微分方程的方法，其核心思想是利用微分方程的定义，通过有限步长的逼近来求得微分方程的数值解。具体来说，欧拉法是通过在给定的初始条件下，利用微分方程的斜率来进行不断的累加，从而逼近微分方程的解析解。 3. 计算过程 根据欧拉法的原理，我们可以按照以下步骤来求解本例题: - 根据初始条件 y(0) = 1，确定初始点 (0, 1)。 - 利用微分方程 dy/dx = x + y，计算在 x = 0 时的斜率，即 k1 = 0
+ 1 = 1。 - 根据步长 h = 0.1，计算下一点的 y 值，即 y(0.1) = y(0) + k1 * h = 1 + 1 * 0.1 = 1.1。 - 重复上述步骤，直至求得 x = 0.1 时的近似解。 4. 计算结果 经过上述步骤，我们得到在 x = 0.1 时的近似解为 y(0.1) = 1.1。 5. 总结回顾 通过本例题的求解过程，我们可以看到欧拉法作为一种数值解微分方程的方法，能够通过简单的累加和逼近来求得微分方程的数值解。当然，在实际应用中，欧拉法也存在着一定的局限性，例如步长选择、数值稳定性等问题，需要我们在使用时进行合理的考量和处理。 6. 我的观点 个人认为欧拉法作为一种基本的数值解微分方程的方法，具有简单易懂、易于实现的特点，对于一些简单的微分方程求解是很有用的。但是在处理复杂的微分方程时，可能需要结合其他更高级的数值方法来进行求解，以提高求解的准确性和稳定性。 通过本文的讨论和实例分析，我相信读者对欧拉法计算一元一阶微分方程的方法和应用已经有了基本的了解。希望本文能够对大家在学习和应用微分方程时有所帮助。在实际应用中，欧拉法经常被用来求解
微分方程的求解方法例题 1. 基础概念简介 在数学中，微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。它是很多科学领域的基础理论，包括物理、工程、经济等。求解微 分方程可以帮助我们理解和预测自然界的现象。 常见的微分方程类型包括常微分方程和偏微分方程。常微分方 程仅涉及一个未知函数的变量和它的导数，而偏微分方程涉及多个 未知函数和它们的偏导数。 2. 常见的求解方法 2.1 分离变量法 分离变量法适用于一阶常微分方程。它的基本思想是将未知函 数和它的导数分离到等式的两边，然后对两边积分。 例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x/y，我们可以将其改写为 y dy = x dx。将两边同时积分得到：
∫y dy = ∫x dx 解这两个积分后得到： y^2/2 = x^2/2 + C 其中C为常数。 2.2 变量替换法 变量替换法适用于一阶或高阶常微分方程。它的思想是通过引入新的变量替换原方程，使得新方程容易求解。 例如，考虑二阶常微分方程 y'' + y = 0，我们可以引入新变量 v = y'，得到一阶常微分方程 v' + y = 0。我们可以用分离变量法解得v = -y + C1，再对 v = y' 进一步积分得到 y = -x + C2*e^x，其中 C1 和 C2 是常数。 2.3 特征方程法 特征方程法适用于线性常系数常微分方程。它的基本思想是将未知函数假设为指数函数形式，然后根据方程的特征求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + 3y' + 2y = 0，我们可以假设 y = e^(rx)，其中 r 是未知常数。将这个假设带入原方程得到特征方程 r^2 + 3r + 2 = 0。解这个特征方程得到 r1 = -1 和 r2 = -2。因此，通 解可以表示为 y = C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是常数。 2.4 数值方法 数值方法适用于无法用解析方法求解的微分方程。它的基本思 想是将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算逼近其解。 常用的数值方法包括欧拉法、改进的欧拉法和龙格-库塔法。 这些方法将方程的区间划分为小的步长，通过计算每个步长上的近 似值最终得到解。数值方法在实际问题中非常有用，尤其是对于复 杂的非线性微分方程。 3. 总结 微分方程的求解方法多种多样，适用于不同类型和难度的方程。在实际应用中，我们需要根据方程的特点选择合适的方法。熟练掌 握这些求解方法，可以帮助我们理解和解决复杂的现实问题。不断 研究和实践，我们会在微分方程求解上取得更大的进展。
数学课程微分方程求解练习题及答案微分方程是数学中非常重要的一门课程，它在许多科学领域中有着广泛的应用。为了更好地掌握微分方程的解题技巧，下面将给出一些微分方程求解的练习题及其答案。 练习一：一阶线性微分方程 1. 求解微分方程：dy/dx + y = 2x 解答： 首先将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = 2x - y 然后可以使用分离变量的方法进行求解，将变量分离得到：dy/(2x - y) = dx 对等式两边同时积分，得到：∫(1/(2x - y))dy = ∫dx 通过对右边的积分，得到：ln|2x - y| = x + C1 (其中C1是常数) 将等式两边取e的指数，得到：2x - y = Ce^x 其中C = e^C1是一个任意常数，所以方程的通解为：y = 2x - Ce^x （其中C为常数） 2. 求解微分方程：dy/dx + 2y = e^x 解答： 将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = e^x - 2y
然后使用分离变量的方法进行求解，得到：dy/(e^x - 2y) = dx 对等式两边同时积分，得到：∫(1/(e^x - 2y))dy = ∫dx 通过对右边的积分，得到：(1/2)ln|e^x - 2y| = x + C2 （其中C2是常数） 再次将等式两边取e的指数，得到：e^x - 2y = Ce^2x 其中C = e^C2是一个任意常数，所以方程的通解为：y = (1/2)e^x - (C/2)e^2x （其中C为常数） 练习二：二阶微分方程 1. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0 解答： 首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + 4r + 4 = 0 解特征方程，得到特征根为：r = -2 由于特征根为重根，所以方程的通解形式为：y = (C1 + C2x)e^(-2x) （其中C1和C2为常数） 2. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + dy/dx - 2y = 0 解答： 首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + r - 2 = 0 解特征方程，得到特征根为：r1 = 1，r2 = -2
一阶偏微分方程求解 偏微分方程是数学分析领域中的重要内容，对于研究各种现象和物理规律具有重要意义。在数学中，一阶偏微分方程是指方程中只包含到一阶偏导数的方程。解一阶偏微分方程的方法有很多，下面将介绍其中几种常见的方法。 一、分离变量法 分离变量法是解一阶偏微分方程常用的方法之一。它的基本思想是将方程中的未知函数按变量分离，然后对两边进行积分，从而得到原方程的解。 示例一：考虑一维热传导方程 $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$ 其中，$u(x, t)$ 是未知函数，$\alpha$ 是常数。 我们假设 $u(x, t)$ 可以分离变量，即 $u(x, t) = X(x)T(t)$，代入原方程得： $$ X(x) \frac{d T(t)}{d t} = \alpha T(t) \frac{d^2 X(x)}{d x^2} $$
两边同时除以 $X(x)T(t)$，得到： $$ \frac{1}{\alpha T(t)} \frac{d T(t)}{d t} = \frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X(x)}{d x^2} $$ 由于方程左边只含有 $t$ 的变量，而右边只含有 $x$ 的变量，所以两边等于一个常数 $k$： $$ \frac{1}{\alpha T(t)} \frac{d T(t)}{d t} = k = \frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X(x)}{d x^2} $$ 分别对两边进行积分，得到两个方程： $$ \frac{d T(t)}{d t} - k \alpha T(t) = 0 \quad (\text{1}) $$ $$ \frac{d^2 X(x)}{d x^2} - k X(x) = 0 \quad (\text{2}) $$ 再对方程（1）和（2）进行求解，可以得到 $X(x)$ 和 $T(t)$ 的表达式，进而得到一阶偏微分方程的解。
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，那么方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，那么方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 别离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ⎰ 或 y c e P x dx =⋅-⎰() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =⋅-⎰() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ⋅=-⎰ 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -⎰-⎰ ()() () 代入方程1得
'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+⎰⎰()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 [] y e c Q x e dx P x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()() 【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21 13 2 () 的通解。 解： ] 23 )1([121 2dx e x c e y dx x dx x ⎰⎰++⋅⎰ =+-+-- ] 23 )1([22 )1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+⎰⋅++⋅= =+⋅++- ⎰()[()]x c x dx 1121 2 =+⋅++()[()] x c x 12121 2 由此例的求解可知，假设能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节) 题10.1(A) 1.指出下列微分方程的阶数： 1) x(y')-2yy'+x=； 2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x； 3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S； 4) 2d^2S/dt^2+S=0. 解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。 2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？ 1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）； 2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe； 3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）； 4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。 解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。
3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是 方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。 解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x- C2xe^-x。 将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以 C1=2C2. 所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。 将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为 y=(4+2x)e^-x。 4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标 与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。 解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题 意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。 题10.1(B) 1.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 1) 曲线上点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方；
微分方程的例题分析及解法 本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。 一、常微分方程的概念 本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。 二、一阶常微分方程的解法 本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。 对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离； 对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式： ()()⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程 )(x y f y =' 令x y u =，则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。 三、二阶微分方程的解法 1．特殊类型的二阶常微分方程 本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法： （1）)(x f y =''，直接积分； （2）),(y x f y '=''，令p y ='， （3）),(y y f y '=''，令p y ='，则p dy dp y ='' 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。 2．二阶线性常系数微分方程 二阶线性常系数微分方程求解的关键是：
（1）特征方程 对于相应的齐次方程，利用特征方程 02=++q p λλ 求通解： （2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点 )()(x P e x f m x μ= 和 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~ cos )()(+= 设置特解* y 的形式，然后使用待定系数法。 四、微分方程的应用 求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。 一、疑难解析 （一）一阶微分方程 1．关于可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如 0)()()()(2211=+dy y g x f dx y g x f （1） 的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若0)()(12≠y g x f ，则方程（1）可化为变量已分离的方程 dx x f x f dy y g y g ) ()()()(2112-= 两端积分，即得（1）的通解： C x F y G +=)()( （2） （2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为)sin(c x y +=，但显然1±=y 也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。 有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。如齐次型微分方程。 )(x y f y ='或)(x y f dx dy = （3） 可用代换ux y =化为
一阶线性微分方程初值问题求解 引言 在微分方程的研究中，一阶线性微分方程初值问题是一个经典且常见的问题。 本文将介绍一阶线性微分方程初值问题的求解方法和相关概念。 什么是一阶线性微分方程初值问题 一阶线性微分方程初值问题指的是形如下述的微分方程问题： $$ \\frac{{dy}}{{dt}} + p(t)y = g(t), \\quad y(t_0) = y_0 $$ 其中，p(t)和g(t)是给定的已知函数，y(t)是未知函数，t0和y0是给定的初值。 求解方法 一阶线性微分方程初值问题的求解方法可以分为两个步骤：求解齐次线性微分 方程和利用常数变易法求解非齐次线性微分方程。 求解齐次线性微分方程 首先考虑齐次线性微分方程，即p(t)和g(t)均为零的情况。齐次线性微分方程 的一般解形式为$y_h(t) = Ce^{-\\int p(t)dt}$，其中，C是任意常数。 利用常数变易法求解非齐次线性微分方程 对于非齐次线性微分方程，我们可以利用常数变易法来求解。设非齐次线性微 分方程的特解为$y_p(t) = v(t)e^{-\\int p(t)dt}$，其中v(t)是待定函数。将特解代 入非齐次线性微分方程，化简后可得： $$ v'(t)e^{-\\int p(t)dt} = g(t) $$ 解上述方程，我们可以得到v(t)的表达式。最终，一阶线性微分方程的通解可 以表示为y(t)=yℎ(t)+y p(t)。 初值问题的求解 最后，我们考虑如何求解一阶线性微分方程初值问题。已知初值y(t0)=y0， 将t=t0代入通解y(t)=yℎ(t)+y p(t)，并令y(t0)=y0，我们可以得到初值问题的解C=y0。因此，初值问题的解为y(t)=yℎ(t)+y p(t)，其中，C=y0。 示例 为了更好地理解一阶线性微分方程初值问题的求解过程，考虑以下示例问题：
一阶常微分方程习题（一） 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x+c y=e+e=cex 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e. 2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 2 1+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有：
-1 12++u u du=x 1dx ln(u+1)x=c-2arctgu 即 ln(y+x)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e 2 e-3e=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln x y =cy. 10. dx dy =e
一阶微分方程解题方法指导 刘 兵 军 在高数下册中，微分方程一章是独立性很强的内容，和积分与级数这些内容没有什么联系，故可以灵活安排讲授时间，即使在讲多元函数偏导数之前讲授本章内容也是可以的. 所谓微分方程就是由未知函数及其导数构成的等式. 方程中所含未知函数导数的最高阶叫作微分方程的阶. 如果方程的解中含有任意常数且其个数与方程阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 满足确定任意常数初始条件的解为特解. 求解微分方程就是求其通解或进一步求满足某条件的特解. 本文主要讨论一阶微分方程 ),(y x f dx dy =的求解问题. 一、可分离变量的方程 一个一阶微分方程能变形为如下形式： dx x f dy y g )()(= （1） 则称其为可分离变量的方程. 假定方程（1）中)(y g 和)(x f 是连续的，则在（1）两边积分可得方程的解. 经过变形把方程变为（1）的形式，是解题的关键所在. 例1．求微分方程 xy dx dy 2=的通解. 解：分离变量得 xdx y dy 2= 两边积分得 ⎰⎰=xdx y dy 2 即 12ln C x y += 2112x C C x e e e y ==+ 令1C e C =可得2x Ce y = 例2．求微分方程的通解0)()(=-+-++dy e e dx e e y y x x y x . 解：分离变量得 dx e e dy e e x x y y 1 1+-=- 两边积分得 ⎰⎰+-=-dx e e dy e e x x y y 1 1 即 C e e x y ln )1ln()1ln(++-=- 得 C e e x y =+-)1)(1( 二、齐次方程 若一阶微分方程 ),(y x f dx dy =中的),(y x f 可写为x y 的函数)(x y ϕ，则称其为齐次方程.
第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如学= m)g(y) dx 当g(y)HO时，得到 ^ = f(x)dx,两边积分即可得到结果：g(y) 当g(〃°) = o时，则y(A) = 也是方程的解。 例、^- = xy dx 解：当yHO时，有牛=沁,两边积分得到ln|y| = + + C (C为常数) 所以y = (G为非零常数址=±/) y = 0显然是原方程的解： 综上所述，原方程的解为y = C^T(G为常数) ②、形如M(x)N(y)dx+ P(x)Q(y)dy = 0 当P(x)N(y)HO时，可有空2心=纟丄1〃八两边积分可得结果； PM N(y) 当N(y" = 0时，y = y°为原方程的解，当P(x0) = 0时，x = 为原方程的解。例、- \)dx + y(x2 - \)dy = 0 解：当(X2-l)(r-l)^O时，有—= 心两边积分得到 ]_y・ f _] ln|x2-l| + ln|y2-l| = hi|C| (C H O),所以有(x2-1)(/-1) = C (CHO)； 当(x2-l)(y2-l) = 0时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为(x2-l)(y2-l) = C (C为常数)。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如— = ^(2) dx x
解法：令n = 则dy = xdi t + udx.代入得到x — + u = g （u ）为变量可分离方程，得到 x dx f （mx.C ） = O （C 为常数）再把u 代入得到/（丄,0 = 0 （C 为常数）。 x ②、形如 ^ = G （ax + by ）^ib^0） dx 解法：令u = ax + by ,则dy = 6/^A ,代入得到- = G （u ）为变量可分藹方程, b b dx b 得到/（“,x,C ） = 0 （C 为常数）再把u 代入得到f （ax + h y>x,C ） = 0 （C 为常数）。 —“ dv a x x + b.y + c. s ③、形如丁=f( 一严一L) dx a 2x + b 2y + c 2 z/y =0>转化为一 =G （俶+ by ）.下同①; dx z v a l + b l - ) = ^(-)>下同②: t v u G + b 、— 还有几类：yf(xy}dx + xg(xy)dy = 0上=xy M (x, y)(xdx + ydy) + N (A \ y)(xdy - ydx) = 0, x = /• cos&, y =厂 sin & 以上都可以化为变 量可分离方程。 解：令u = x-y-2 ,则〃y = dx-cht,代入得到1一竺=殳上？，有仇他=一7心 dx u 所以£ = _7X + C （C 为常数），把u 代入得到IV ~V ~2； -+7A - = C （C 为常数）。 2 2 例、空=兰土1 dx x - 2 v +1 * 2\ «1 b \ HO, < g 严*社的解为（3。）, 4 a 2 b 2 a 2x + b 2y + c 2 = 0 u= x- x () v = >?-)?o 解法：1° 得到，牛=/(冲!)=/( du a 2u +b 2v dx x-y+ 5 x-y-2 dx
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ⎰-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ⎰=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=⎰， ⎰⎰ +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数 b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值 a ab b 21 2= 。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法 摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。 关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equation Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first
order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method 1. 引言 一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解. 2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = （1.1） 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程[1]. (1) 显式变量可分离方程的解法 在方程（1.1）中， 若()0g y ≠，（1.1）变形为 ()() dy f x dx g y = 积分得 ()()dy f x dx C g y =+⎰⎰ （1.3） 此为（1.1）的解． 若()0g y =，0y ∃使0()0g y =，则0y y =也是（1.1）的解． 注：当0y y =不包含于（1.3）时要特别补上解0y y =．
一阶微分方程
第二节 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F (x ,y ,y ′)＝0 或 y ′=f (x ,y )， 其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法． 一、 可分离变量的方程 形如 x y d d =f (x )g (y ) (10-2-1) 或 M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2) 的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数． 方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得
) (y g y d =f (x )d x ， g (y )≠0， 根据一阶微分形式的不变性，再对上式两端分别积分 ⎰) (y g y d =⎰x x f d )(, 得通解 G (y )=F (x )+C ， 其中G (y )和F (x )分别是)(1y g 和f (x )的一个原函数，C 为任意常数．若有实数y 0使得g (y 0)=0,则y =y 0也是方程(10-2-1)的解，此解可能不包含在通解中． 例1 求解方程 x y d d ＝ 2 1y -． 解 分离变量得 2 1y y -d ＝d x ． 两边积分得 arcsin y =x +C 或 y =sin(x +C )． 注意 对于给定的C ，上述解中x ∈ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡---C C 2,2ππ．此外，y =±1也是方程的两个特解， 但它未包含在通解之中．这是由于分离变量时，
1.经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组 1.1运用四阶龙格库塔法解一阶微分方程组算法分析 ),,(1k k k y x t f f =， )2,2,2(112g h y f h x h t f f k k k +++= )2 ,2,2(223g h y f h x h t f f k k k +++= ),,(334hg y hf x h t f f k k k +++= ),,(1k k k y x t g g = )2,2,2(112g h y f h x h t g g k k k +++= )2,2,2(223g h y f h x h t g g k k k +++= ),,(334hg y hf x h t g g k k k +++= ) 22(6 )22(6 43211 43211g g g g h y y f f f f h x x k k k k ++++=++++=++ 1k k t t h +=+ 经过循环计算由 推得 …… 每个龙格-库塔方法都是由一个合适的泰勒方法推导而来，使得其最终全局误差为() N O h ,一种折中方法是每次进行若干次函数求值，从而省去高阶导数计算。4阶龙格-库塔方法(RK4)是最常用的，它适用于一般的应用，因为它非常精 准，稳定，且易于编程。 000,,t x y ()()111222,,,,t x y t x y （1-1） （1-2） （1-3） （1-4） （1-5） （1-6） （1-7） （1-8） （1-9） （1-10）
1.2经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图 图1-1 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图 1.3经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程程序代码： #include