⎰ ⎰ 第 50 讲 一阶线性微分方程及其解法练习题解答
1、求解下列一阶线性微分方程的通解：
（1） d y = 1 ； 2） d y + 1 y = sin x . d x x + y d x x x
【解】（1）视 x 为因变量， y 为自变量，则有 d x = x + y ，由一阶线性方程
d y
的求解公式可得 x = Ce y - y -1。（也可以用分离变量方法求解）.
(2) 由一阶线性方程求解公式得到 y = e - 1 d x x (⎰ sin x e 1 d x x d x + C ) = 1 (⎰sin x d x + C ) = 1 (- cos x + C ) . x x x
2、求解一阶微分方程 y ' - 2xy = 2x 3 y 2 ．
【解】 这是伯努利方程 n = 2 情形．令 z = y -1 ，则原方程方程可化为 d z - 2xz = -2x 3 ．利用一阶线性微分方程通解公式得到
d x
z = e ⎰2 x d x (⎰
(-2x 3)e ⎰-2 x d x d x + C ) = (x 2 + Ce x 2 +1) ．再将 z = y -1 代入原方程后得到原方程的通解为(Ce
- x 2 - x 2 +1) y
= 1．
3、求连续函数 f (x ) ,使它满足 f (x ) + 2 x
f (t ) d t = x 2 .【92 年研究生入学考试题】 0
【解】注意到变上限函数当 x = 0 时为 0,即 f (0) = 0 .对方程两边求导后得到
f '(x ) + 2 f (x ) = 2x .
由一阶线性微分方程的通解公式可得
f (x ) = e -⎰2d x ⎛ ⎰ 2xe ⎰2d x d x + C ⎫ = e -2 x
(⎰ 2xe 2 x d x + C ) = Ce -2 x + x - 1 . ⎪ ⎝ ⎭ 2
将初值条件 f (0) = 0 代入后得到C = 1 .故所求的函数为
2 f (x ) = 1 e -2 x + x - 1 .
2 2 ⎰
常微分方程 [基本要求] 一阶微分方程的分类与求解；线性方程解的结构与性质；二阶微分方程的分类与求解；二阶齐次与非齐次线性常系数微分方程解的结构－－通解与特解[命题特点] 填空题与选择题一般考核基本概念，以及解的结构定理；计算题一般考核一阶（二阶）方程的求解，以及几何方面的应用题，并常与变上限定积分、无穷级数等联合出题。 [内容综述] 1．微分方程的基本概念 微分方程：凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，称为微分方程． 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶． 微分方程的解：将某函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的解．一般有隐式解与显示解之分． 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且互相独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．初始条件：为了确定微分方程的一个特定解，我们通常给出这个解必需满足的初始条件，用来确定微分方程的通解中任意常数的条件，称为初始条件．微分方程的特解：确定了通解中的任意常数后，得到的解，称为特解． 初值问题：求微分方程满足初始条件的问题，称为微分方程的初值问题．
2．三类一阶方程及求解方法： 可分离变量方程，齐次方程，线性方程为三个基本类型，可化为齐次方程的方程，贝努利方程等非标准方程的初等解法是通过变量代换转化为三类标准方程。这里分离变量法及线性方程的求解方法是求解微分方程的基本方法。 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤； 而变量代换法：代换自变量，代换因变量，代换某组合式 3．可降阶的高阶方程： 所谓高阶微方程是指二阶以上的微分方程，其求解方法一般是：通过变量代换化为低阶的方程或方程组来求解．具体解法（以二阶方程为例）如下表：
第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程 式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx (3.20)
其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1 T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2, ,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组 (3.20)化为 1 dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型 1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0 n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ ---= =- 的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.
第四讲 微分方程 考纲要求 1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法. 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程. 4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =，(,)y f x y '''=和(,)y f y y '''=. 5.理解线性微分方程解的性质及解的结构. 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程. 7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程. 8.会解欧拉方程. 9.会用微分方程解决一些简单的应用问题. 问题1 何谓微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题和微分方程的积分曲线？ 答 微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式. 微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数. 微分方程的解：满足微分方程的函数. 微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.
初始条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件. 微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解. 初值问题（Cauchy 问题）：微分方程连同初始条件. 一阶微分方程初值问题：(,,)0F x y y '=，00()y x y =. 二阶微分方程初值问题：(,,,)0F x y y y '''=，00()y x y =，00 ()y x y ''=. 微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）. 问题2 如何求解一阶微分方程？ 答 一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y '=，解出y '： (,)dy f x y dx =，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法. 1可分离变量的微分方程：()()dy g x h y dx = 解法 分离变量： ()()dy g x dx h y =；两端积分：()()dy g x dx h y =??. 2 齐次微分方程：dy y dx x ??? = ??? 解法 令y u x =，则y xu =，dy du u x dx dx =+，代入方程，得()du u x u dx ?+=并求解. 3 一阶线性微分方程： ()()dy P x y Q x dx += 若()0Q x ≡，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的. 解法（常数变易法） 先解对应齐次线性微分方程 ()0dy P x y dx +=，求得通解()P x dx y Ce -?=； 再令非齐次线性微分方程的解为()()P x dx y C x e -?=，代入方程求出()C x .
第一章函数及其图形 例1：（）. 1} A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤ 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（） . 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 例5： f(2)没有定义。
注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。 例 8：函数的反函数是（）。 A．B． C．D． 解： 于是，是所给函数的反函数，即应选C。 例 9：下列函数能复合成一个函数的是（）。 A．B． C．D． 解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f (u)的定义域，不能复合。在(D)中，u=g(x)=3也不满足f(u)的定义域，也不能复合。只有(C)中的定义域，可以复合成一个函数，故应选C。 例 10：函数可以看成哪些简单函数复合而成： 解：，三个简单函数复合而成。
高等数学Ⅰ（二）复习题 一、选择题 1．直线L ：?? ?=++=++0 21 z y x z y x 与平面π：1=+-z y x 的关系是（ ） A 、直线L 平行于平面π B 、直线L 在平面π上 C 、直线L 垂直于平面π D 、直线L 与平面π斜交 求出直线的方向向量，平面的法向量，它们的数量积为零，且直线与平面无交点。见教材P46,“直线与平面的夹角” 2．下列方程中为平面方程的是（ ） A ．5222=++z y x B ．321-=-=-z y x C ．? ??=++=++021z y x z y x D ．31422-= +=+z y x 见教材P39，“平面的一般方程” 3．在空间直角坐标系下，与平面1=++z y x 垂直的直线方程为（ ） A ．?? ?=++=++0 21z y x z y x B ．31422-= +=+z y x C ．5222=++z y x D ．321-=-=-z y x 以平面的法向量为方向向量的直线与平面垂直，见P46，“直线与平面夹角” 4．设有直线L ：? ??=+--=+++031020123z y x z y x ，及平面π：0224=-+-z y x ，则直线L （ ） A 、平行于π B 、在π上 C 、垂直于π D 、与π斜交 同第一题解法 5．微分方程x xe y y y 22=-'-''的一个特解应设为 （ ） A 、x e b ax x 22 )(+ B 、x e b ax x 2)(+ C 、x e b ax 2)(+ D 、x e b ax 22 )(+ 考察常系数非齐次线性微分方程解的结构，参见P343，例2的解法。 6．已知2 ,,1x y x y y ===是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为（ ） A ．)1()1(2 21-+-x C x C B ．2 221)1()1(x x C x C +-+- C ． 2 21x x C C ++ D ．12 21++x C x C 考察高阶线性微分方程解的结构，参见第七章第六节课件例3 7．已知x y =1，x e y =2，x e y 23=是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则 该方程的通解为（ ） A ．x x e C e C x 221++ B ．x x e C e C x C 2321++ C ．)()(221x x x e x C e e C x -+-+ D ．)()(2221x e C e e C x x x -+- 参见第七章第六节课件例4 8．考虑二元函数),(y x f 的下列四条性质：（02） ①),(y x f 在点),(00y x 处连续 ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续 ③),(y x f 在点),(00y x 处可微 ④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在
专升本高等数学(一)-常微分方程(一) (总分：91.98，做题时间：90分钟) 一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00) 1.下列方程为一阶线性微分方程的是______ ∙ A. (y')2+2y=x ∙ B. y'+2y2=x ∙ C. y'+y=x ∙ D. y"+y'=x （分数：2.00） A. B. C. √ D. 解析：[解析] 本题主要考查微分方程的有关概念．一阶线性微分方程要求方程中所含有关未知函数的导数的最高阶数为一阶的，且未知函数及其一阶导数均为一次幂．(答案为C) 2.微分方程的通解是______ A. B. C. D. 其中C为任意常数) （分数：2.00） A. B. C. D. √ 解析：[解析] 利用直接积分法可求得给定线性微分方程的通解 [*]．(答案为D)． 3.微分方程y"=y的通解是______ ∙ A. y=C1+C2e x ∙ B. y=e x+e-x ∙ C. y=C1e x+C2e-x ∙ D. y=Ce x+Ce-x(其中C，C1，C2为任意常数) （分数：2.00） A. B. C. √ D. 解析：[解析] 已知微分方程y"=y为二阶线性微分方程，其通解中应含两个独立的任意常数C1，C2．选项B、D中的函数不含有任意常数或者只含有一个任意常数，所以选项B、D是错误的，应筛去． 选项A中，y=C1+C2e x中含有两个任意常数，通过求导可得y'=C2e x，y"=C2e x，代入微分方程y"=y，等式关系不成立，因此y=C1+C2e x不是微分方程y"=y的通解． 选项C中，y=C1e x+C2e-x中含有两个任意常数，通过求导得y'=C1e x-C2e-x，y"=C1e x+C2e-x，代入微分方程y"=y，等式关系成立，因此y=C1e x+C2e-x是微分方程y"=y的通解．(答案为C)
第三节一阶线性微分方程 分布图示 ★ 一阶线性微分方程及其解法 ★例1★例2★例3 ★例4★例5★例6 伯努利方程★例7★例8 ★例9★例10 内容小结★课堂练习 ★习题8-3 内容要点： 一、一阶线性微分方程 形如 业P(x)y =Q(x) (3.1) dx 的方程称为一阶线性微分方程.其中函数P(x)、Q(x)是某一区间I上的连续函数.当 Q(x)三0,方程(3.1)成为 dy / P(x)y =0 (3.2) dx 这个方程称为一阶齐次线性方程.相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程. 方程(3.2)的通解 y =Ce—P(x)dx. (3.3) 其中C为任意常数. 求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C变易为待定函数u(x)，并设一阶非齐次方程通解为 y =u(x)e-P(x)dx, 一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为 y -1Q(x)e P(x)dx dx C ^P(x)dx(3.5) 二、伯努利方程：形如 业P(x)y =Q(x)y n(3.7) dx 的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且n#0,1.
伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的.事实上, 在方程(3.7)两端除以y n,得 广乎P(x)y* =Q(x), dx 1 (y ) P(x)y = Q(x), 1 一n 于是，令z = y1^，就得到关于变量z的一阶线性方程 dz 一(1 -n)P(x)z =(1 -n)Q(x). dx 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程 (3.7)的通解 例题选讲: 1 -n y _ (1 _n)P(x)dx =e (1 H)P(x)dx I Q(x)(1「n)e dx C . 一阶线性微分方程 例1 ( E01)求方程y' + 1 y = S" x的通解. x x 解P(x) =1, Q(x)=号，于是所求通解为 eL dx dx+c'=eM 竺■e lnx d^^=1( 」V x J x cosx C). 例2 (E02)求方程也_-2^ = (x+1)5/2的通解. dx x 1 解这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解. 由也y =。= 也=_2^ =.如y =2 ln(x 1) ln C = y = C(x 1)2. dx x 1 y x 1 用常数变易法把C换成u,即令y =u(x +1)2，则有—=u '(x+1)2 +2u(x +1), dx 代入所给非齐次方程得u「=(x+1)2/1，两端积分得u =2(x十1)3/2 +C, 3 回代即得所求方程的通解为 y =(x 1)2 |(x 1)3/2 C 例3求下列微分方程满足所给初始条件的特解 xln xdy (y Tn x)dx =0, XH二 1.
， 第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()⎰ ⎰+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 . （1）齐次方程 ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-⎰⎰ ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得()()()[] ⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P 【 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
微分方程的例题分析及解法 本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。 一、常微分方程的概念 本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。 二、一阶常微分方程的解法 本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。 对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离； 对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式： ()()⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程 )(x y f y =' 令x y u =，则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。 三、二阶微分方程的解法 1．特殊类型的二阶常微分方程 本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法： （1）)(x f y =''，直接积分； （2）),(y x f y '=''，令p y ='， （3）),(y y f y '=''，令p y ='，则p dy dp y ='' 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。 2．二阶线性常系数微分方程 二阶线性常系数微分方程求解的关键是：
（1）特征方程 对于相应的齐次方程，利用特征方程 02=++q p λλ 求通解： （2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点 )()(x P e x f m x μ= 和 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~ cos )()(+= 设置特解* y 的形式，然后使用待定系数法。 四、微分方程的应用 求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。 一、疑难解析 （一）一阶微分方程 1．关于可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如 0)()()()(2211=+dy y g x f dx y g x f （1） 的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若0)()(12≠y g x f ，则方程（1）可化为变量已分离的方程 dx x f x f dy y g y g ) ()()()(2112-= 两端积分，即得（1）的通解： C x F y G +=)()( （2） （2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为)sin(c x y +=，但显然1±=y 也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。 有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。如齐次型微分方程。 )(x y f y ='或)(x y f dx dy = （3） 可用代换ux y =化为
高等数学常微分方程讲义,试题,答案 常微分方程 §4.1 基本概念和一阶微分方程 （甲）内容要点一、基本概念 1、常微分方程和阶 2、解、通解和特解 3、初始条件 4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 dy p(x)Q(y)dx (Q(y) 0) 2、齐次方程： dy dx y f x 三、一阶线性方程及其推广 1、 dydy P(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx ( 0,1) 四、全微分方程及其推广（数学一） 1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足 Q P
2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x 2 2 Q p (RQ) (RP) 但存在R(x,y)，使x y x y dydy xy的通解。dxdx 解：y (x xy) 22 dy 0dx y dyy2 x d__y x2 y 1 x 2 yduu2 令u,则u x udx x(1 u)du 0 xdxu 11 udx du u x C1 ln|xu| u C1
例2 C1 u ce, y ce dyy 的通解d__ y4 u yx 求微分方程 d__ y4dx1 解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶 dyydyy 11 dy 14 dy 133yy dy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e ye y 3 例3 设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解 x
x 解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为 dy (e x 1)y 1 dx x xdy (e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx 再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4 设 12 12 故所求解y e e x x e x 12 满 足 以 下
高等数学中的典型问题与解法 In higher mathematics, there are various typical problems that students encounter. These problems often require creative thinking and an understanding of the fundamental principles of mathematics. In this article, we will discuss some of these classic problems and explore their solutions. 高等数学中经典的问题之一是求极限。极限是数学中一个非常重要的概念，在许多领域都有应用。其中一个经典的例子是求函数在某点处的极限值。为了解决这个问题，我们可以使用导数或者泰勒级数展开来逼近极限值。这种方法在微积分课程中被广泛使用。 A classic problem in higher mathematics is finding limits. Limits are a crucial concept in mathematics and have applications in many fields. One typical example is finding the limit value of a function at a given point. To solve this problem, we can use derivatives or Taylor series expansions to approximate the limit value. This approach is widely used in calculus courses. 另一个典型的问题是求解微分方程。微分方程是描述连续变化的量
一阶非线性微分方程解法探析 一、前言 随着科学技术的发展，在很多领域出现了非线性问题，如对宇宙空间的研究、对地理环境的考查、对生物多样性的分析等，都会涉及非线性问题。在电力生产及电力系统，或者与数学分支有交叉的研究领域，也常需要用到非线性问题的求解来分析和计算电力系统的控制问题，为电力系统提供一些有价值的理论依据。在实际的生活中，也经常会碰到很多非线性问题。而要解决这些问题，就需要建立不同模型的非线性方程，通过求解计算了解他们之间的对应关系。所以，微分方程的求解过程对科学研究、社会生活和经济发展都有特殊的意义。数学作为理论联系实际的一种最为关键的工具，更应该发挥它的巨大作用。而众多非线性问题的高阶方程都是以一阶微分方程为基础，所以研究清楚一阶微分方程的解法，对其他问题的解决有重大的推动作用。本文列举一阶非线性微分方程中两种常见的解法，对其展开具体的讨论和分析。 二、微分方程的定义及特点 将一个未知数函数与该函数的导数以及自变量这三者联系起来建立的等式称为微分方程。而平时所说的微分方程的阶数就是指该方程中未知数导数的最高阶数。如像y′+P（x）y=f（x）这个方程，导数的最高阶数为一阶，所以就称之为一阶微分方程。 我们在解决一些非线性问题时第一步要做的就是建立微分方程，然后再找出能满足条件的对应函数，将这一函数代入原方程能使等式两边恒成立，这一个过程就是微分方程的求解过程，找到的这一函数就称为该微分方程的解。如函数y=f（x）存在n阶连续导数y（n），如果有等式F（x，y，y1，yn，…，y（n））=0，那么y=f（x）就称为该微分方程的解。而对于一阶微分方程，实际上就是该方程的一个特例，通常在寻找特解时需要规定方程的初始条件或者处值时：如x=x0
、一阶微分方程的可解类型 （一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程 1.（05,4分）微分方程xy 2y xlnx 满足 y （1） x 2y)= x 21 n x. 2.（ 06,4分）微分方程y = y （1 x ） 的通解为— x 分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得 理（丄 1）dx.积分得 In y In x x G ，即 |y e C 1 x e x y x 因此，原微分方程的通解为 y Cxe x ,其中C 为任意常数. （二）奇次方程与伯努利方程 1. （ 97,2,5 分）求微分方程（3x 2 2xy y 2）dx （x 2 2xy ）dy 0的通解 解：所给方程是奇次方程•令y=xu,则dy=xdu+udx.代入原方程得 3 （ 1+u- u 2） dx+x ：1-2 u ） du=0. 分离变量得 上生 du - dx, 1 u u x 积分得 In 1 u u 2 3In x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以u —代入得通解x 2 xy y 2 —. x x 2 （9927 分）求初值问题（y '•口）dx xdy 0 （x 0） ,的解. y x 1 0 常微分方程 积分得 x 2y=C+ x 2 In xdx C In xdx 3 1 1 由 y(1) 9得C 0 y 3xlnx 1 x. 9 1 -的解为 9 分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 鱼+ 2y dx x 2 In x,两边乘e x =x 2得
解：所给方程是齐次方程(因dx, dy 的系数(y+•，厂『)与(-x)都是一次齐次函数) 令dy xdu udx,带入得 x(u .1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12 u 2dx xdu 0. 分离变量得 dx du 门 ---------- =0. x 、1 u 2 积分得ln x ln(u .1 u 2) G,即 u 』1 u 2 Cx 以u —代入原方程通解为y+... —y 2 Cx 2. x “ 再代入初始条件y xi 0,得C = 1.故所求解为y+J x 2 y 2 x 2,或写成y *(x 2 1). (三) 全微分方程 练习题 (94,1,9分)设f (x)具有二阶连续导数，f(0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求f (x)以及全微分方程的通解 解：由全微分方程的条件，有 —[xy(x y) f(x)y] —[f (x) x y], y x 即 x 2 2xy f (x) f (x) 2xy,亦即 f (x) f (x) x 2. 2 (四) 由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程 4. (98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量y= J x ,当x 0时, 1 x 是x 的高阶无穷小，y(0)=，则y(1)等于() (A)2 .(B) .(C)e 〔(D) e 7. 分析：由可微定义，得微分方程 y 二.分离变量得 1 x dy ,两边同时积分得 In y arctanx C ,即y Ce arctanx . 因而f (x)是初值问题 y y x - 1 y x 0 0, y | x f (x) 2 cos x sin x 2 x 2. 原方程化为 [xy 2 y (2 cos x sin 先用凑微分法求左端微分式的原函数： 其通解为 1 x 2y 2 2xy y(cos x 的解，从而解得 1 2 x) y]dx (x y 2x 2sin x cosx) dy yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0. 0. 0, 1 2 2 1 2 2 (y dx x dy ) 2( ydx xdy) 2 2 1 : d [ x y 2xy y(cos x 2sin x)] 2
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 0 前言 (1) 1 预备知识 (1) 1. 1变量分离方程 (2) 1. 2恰当微分方程 (2) 1. 3积分因子 (2) 2 基本方法 (2) 2. 1一般变量分离 (3) 2. 2齐次微分方程 (3) 2. 2 .1齐次微分方程类型一 (3) 2. 2. 2齐次微分方程类型二 (4) 2. 3常数变易法 (5) 2.3.1常数变易法一 (5) 2.3.2常数变易法二 (6) 2.4积分因子求解法 (7) 2.5恰当微分方程求解法 (8) 3 基本方法的应用 (8) 3. 1一般变量分离方程应用 (8) 3.1.1应用举例 (9) 3.1.2应用举例 (9)
3. 2齐次微分方程应用 (10) 3.2.1类型一应用举例 (10) 3.2.2类型一应用举例 (11) 3.2.3类型二应用举例 (11) 3.2.4类型二应用举例 (12) 3.3常数变易法应用 (13) 3.3.1常数变易法应用举例 (13) 3.3.2伯努利微分方程应用举例 (14) 3. 4利用积分因子求解 (14) 3. 5 利用恰当微分方程求解 (15) 参考文献 (16) 一阶常微分方程初等解法 摘要: 本文对一阶微分方程的初等解法进行归纳与总结,同时简要分析了变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法.并且结合例题演示了如何把常微分方程的求解问题化为积分问题,进行求解. 关键词: 一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子 The Fundamental methods of the first-order ordinary differential equation Abstract:In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation of variables, integrating factor and the exact differential equation. Combined with examples, we show . Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integrating factor 0 前言
第十一章 微分方程 一、内容分析及教学建议 微分方程是本门课程的三个组成部份之一，是微积分的具体应用。实际上微分方程问题， 早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，能够说是与微积分同时进展起来的。在二十世纪前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学；而此刻，几乎在自然科学、工程技术，乃至于生物、医学、经济学领域的各个部门都会出现，它已成为研究科学技术、解决实际问题不可缺少的有力工具。 （一） 微分方程的概念 从实例引入微分方程的主要概念，要着重指出通解中常数个数与阶数的关系，而且要注意： ① 通解中所含任意常数的个数不是形式上，而是实质上的； ② 微分方程解中并非只有通解和特解，还存在既非通解又非特解的解。 例如：函数2 21ln ln x c x c y +=是微分方程02 ='+''y x y x 的解， x c x c c x c x c y ln ln )2(ln ln 21221=+=+=,)2(21c c c += ∴ 此解不是通解，也不是特解。 (二) 一阶微分方程的解法 1、一阶微分方程类型较多，教学中应让学生能掌握正确判断方程的类型，按方程所属类型采用适当的方式求解； 如 322y x y dx dy -=，改写为221y x y dx dy -=-（关于x 的一阶线性微分方程等）； 二、一阶微分方程中分离变量法是最大体的，要有足够的训练，让学生牢固掌握，必要时让学生温习不定积分的大体内容； 3、可通过齐次方程的求解，引入一般的变量代换解法，要求学生了解其思想，对于具体代换，只介绍简单的代换，如y x u +=，xy u =即可； 4、关于一阶线性微分方程，必然要交待常数变易法的想法及步骤，导出通解公式后，指出其通解结构，为以后高阶线性微分方程奠定基础；
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第12章-微分方程
内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第十二章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解 的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解 法 2、 可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和 (,)y f y y '''= 3、 二阶常系数齐次线性微分方程； 4、 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及 它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程； 教学难点： 1、 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、 线性微分方程解的性质及解的结构定理；
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内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1 时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数. 把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C , 由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1. 例 2 列车在平直线路上以20m/s(相当于
三峡大学高等数学课程建设组 第七章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可别离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解以下微分方程：()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组〔或方程组〕解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可别离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
三峡大学高等数学课程建设组 §7. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足以下条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ⎰ =xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数. 把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C , 由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1. 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.02 2-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足以下条件:
第十二章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程
§12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ⎰ =xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数. 把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C , 由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1. 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件: t =0时, s =0, 20==dt ds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5)