二元一次方程知识点总结(总
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二元一次方程组知识点
1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是
1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一
起，就组成了一个二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未
知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，
叫做二元一次方程组的解。
5、代入消元法解二元一次方程组：
（1）基本思路：未知数又多变少。
（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这
个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个
未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，
即写成y=ax+b的形式，即“变”
2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元
一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
5、把x、y的值用｛联立起来即“联”
6、加减消元法解二元一次方程组
（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元
一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解
1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数
幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数
互为相反数或相等，即“乘”。
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个
一元一次方程，即“加减”。
3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。
4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出
另一个未知数的值即“回代”。
5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
二元一次方程组应用题
1、一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、
解、答”五步，即：
2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并
用字母表示其中的两个未知数；
3、找：找出能够表示题意两个相等关系；
4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案
二、典型例题讲解
题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题
1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的
衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
题型二、列二元一次方程组解决行程问题
2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相
向而行，1小时20分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？
3、
4、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小
时，那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间？
题型三、列二元一次方程解决商品问题
5、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8
折销售，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。求A、B商品打折前的价格。
题型四、列二元一次方程组解决工程问题
6、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外
的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？
7、
题型五：列二元一次方程组解决增长问题
8、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校
学生增加11%，这样全校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人在校高中生有多少人
9、
二元一次方程组（拓展与提优） 1、二元一次方程： 含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数の项の次数都是1，像这样の整式方程叫做二元一次方程， 它の一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠. 例1、若方程（2m-6）x |n|-1+(n+2)y m2-8 =1是关于x y 、の二元一次方程，求m 、n の值. 2、二元一次方程の解：一般地，能够使二元一次方程の左右两边相等の两个未知数の值，叫做二元一次方程の解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数の项の次数都是1，将这样の两个或几个一次方程合起来组成の方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组の解：二元一次方程组中の几个方程の公共解，叫做二元一次方程组の解.【二元一次方程组解 の情况：①无解，例如：16x y x y +=??+=?，1226x y x y +=??+=?；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=??+=?；③有无数组解，例如：1222x y x y +=??+=?】 例2、已知 是关于x 、y の二元一次方程组???1 ＝y +nx 2＝1)y -(m +2x の解，试求（m+n ）2016の值 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？ 5、二元一次方程组の解法：代入消元法和加减消元法。 例4、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x の代数式表示y . 例5、用适当の方法解二元一次方程组 ． 例6、若方程组162 ax y x by -=??+=?有无数组解，则a 、b の值分别为（ ） .A a=6,b=-1 .B 2,1a b == .C a=3,b=-2 .D 2,2a b ==- ???==1 2y x
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二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一 起，就组成了一个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未 知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解， 叫做二元一次方程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数又多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这 个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个 未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来， 即写成y=ax+b的形式，即“变” 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元 一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联” 6、加减消元法解二元一次方程组 （1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元 一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 （2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数 幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数 互为相反数或相等，即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个 一元一次方程，即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出 另一个未知数的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
二元一次方程组 一、二元一次方程及其解 （1）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠. （2）条件：1）含有两个未知数 2）所含未知数的项的次数是1 3）等号两边是等式 二、二元一次方程组及其解 （1）、二元一次方程组：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. （2）、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨ +=⎩，②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数 组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩.】 例1、若方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值. 例2、若23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值.
例3、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值. （变式训练）已知218(26)(2)0n m m x n y +--++=是关于x y 、的二元一次方程，当2y =-时， 求x 的值. 二元一次方程的变形：用一个未知数表示另一个未知数 例：已知二元一次方程５x-2y=10 ①将其变形为用含x 的代数式表示y 的形式。②将其变形为用含y 的代数式表示x 的形式 例4:已知在方程8x-6y=10中，请用含有x 的代数式表示y ，用含有y 的代数式表示x . 知识点1:二元一次方程及其解 1、下列各式是二元一次方程的是（ ）. .A 67x y -= .B 105x y -= .C 45x xy -= .D 210x x ++= 2、若32 x y =⎧⎨=⎩是关于x y 、的二元一次方程30x ay -=的一个（组）解，则a 的值为（ ） .A 3 .B 4 .C 4.5 .D 6 3、对于二元一次方程21x y -=有无数个解，下列四组值不是该方程的解的一组是（ ） .A 012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ .B 11x y =⎧⎨=⎩ .C 10x y =⎧⎨=⎩ .D 11x y =-⎧⎨=-⎩
二元一次方程知识点总结 在数学中，二元一次方程是一种含有两个变量且次数为一次的方程。它是解决实际问题和建立数学模型的基础，因此对于学习数学的学生 来说，掌握二元一次方程的知识点至关重要。本文将对二元一次方程 的基本概念、解法和应用进行总结。 一、基本概念 二元一次方程是指具有以下形式的方程： ax + by = c 其中a、b、c为已知实数，且a和b不同时为0，x和y为变量。方 程中含有两个变量x和y，且其次数均为1，因此称为二元一次方程。 二、解法 解二元一次方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解方程方法。 1. 消元法 消元法是指通过将方程经过某种变换改写为只含有一个变量的方程，从而解出该变量的方法。对于二元一次方程而言，我们通常采用消去 其中一个变量的方法。 以方程ax + by = c为例，我们可以通过以下步骤进行消元： 1) 将其中一个未知数的系数表示为其它未知数的系数的倍数，例如，如果a ≠ 0，则可将方程改写为： x = (c - by)/a。
2) 将该未知数的表达式带入原方程中，化简为只含有一个未知数的方程。 3) 解出该未知数的值，并带入原方程中求解另外一个未知数。 2. 代入法 代入法是指将方程中的一个未知数的表达式代入到另一个未知数的方程中，并继续求解的方法。 以方程ax + by = c为例，我们可以通过以下步骤进行代入： 1) 选择一个未知数的系数较小的方程，将该方程中的一个未知数的表达式代入到另一个方程中。 2) 化简得到只含有一个未知数的方程。 3) 解出该未知数的值，并代入原方程中求解另外一个未知数。 三、应用 二元一次方程在实际生活和工作中有着广泛的应用。下面将介绍二元一次方程在几个常见应用场景中的具体应用。 1. 比例问题 比例问题通常可以通过建立和解二元一次方程来解决。例如，已知甲乙两人年龄之比为3:5，现在甲的年龄增加了5岁，乙的年龄增加了10岁，求他们现在的年龄。我们可以设甲的年龄为3x岁，乙的年龄为5x岁，根据题目中的条件可以得到以下方程：
二元一次方程知识点总结 知识点一：二元一次方程的条件 （1）两个未知数;（2）整式方程;（3）未知项的次数为“1”;（4）化为一般式：（a≠0,且b≠0.）（5）判定一个方程是否是二元一次方程,先要化为一般式,再依据定义进行判断 知识点二：二元一次方程的解 （1）二元一次方程的解是一对数值; （2）已知二元一次方程的解，就能代入二元一次方程中求出另一个未知数的值。 （3）每一个二元一次方程都有无数个解.但整数解的有限的。 ⑷每个二元一次方程通过变形能转化成一次函数，会用含一个未知数的整式来表示另一个未知数. 知识点三：二元一次方程组 （1）它的一般形式为（其中a1与b1，a2与b2不同时为零）. （2）已知二元一次方程组的解就能代入方程组． （3）二元一次方程组的解是唯一的。 知识点四：二元一次方程组的解法 1．用代入消元法解题时,要注意强调： （1）首先从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来; （2）然后将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程; （3）解这个一元一次方程,求出x(或y)的值; （4）将求得的未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数的值; （5）把求得的x,y的值用“大括号”联立起来,就是方程组的解. 2．用加减消元法解二元一次方程组时应注意以下几点： （1）如果两个方程的系数相同用减法；如果系数互为相反数用加法，可以消去一个未知数. （2）如果两个方程的系数不同，可用最小公倍数转化成相同或相反，然后再将两个方程两边分别相加或相减,就可消去这个未知数。 （3）当方程组中两个未知数的系数为分数时，要每项都乘其分母的最小公倍数，转化成系数为整数的二元一次方程组，然后再用上述加减消元求解. ⑷整体代入法、换元法 3．解二元一次方程组常见的错误 （1）求解不完整，只求出一个未知数的值就以为解完了； （2）将两个方程相减时容易弄错符号； （3）方程两边同乘以一个不等于零的数时，容易出现漏乘的项 知识点五；三元一次方程组的解法 解三元一次方程组可类比解二元一次方程组的代入法和加减法，关键是“消元”，把“三元”变为“二元”再变为“一元”以求解. 知识点六：二元一次方程应用题 1．列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是找等量关系.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等.
二元一次方程【知识点梳理】 知识点1 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。 注：①方程中有且只有一个未知数。②方程中含有未知数的项的次数为1。③方程为整式方程。（三个条件完全满足的就是二元一次方程） ①含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。 即若ax m +by n =c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1 ：已知关于x,y 的二元一次方程（2m-4)x -3 +(n+3)y |n|-2 =6,求m,n 的值 知识点2 二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组（了解） 例2下列方程组中，是二元一次方程的是（ ） :A 228423119 (237) 54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=??? ? ? ?+=-==-=???? 知识点3方程的解的定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值。方程组的解的定义： 方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。 例3已知12x y =??=-?是关于x,y 的二元一次方程组26 35ax y x by -=??-=-? 的解，求２a+b 的值． 例4已知方程组44ax y -=?? ?，(1) 2x+by=14，(2) 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为 26x y =-?? =?，， 乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为44. x y =-??=-?， 若按正确的a 、b 计算， 求原方程组的解． m 2
知识点4：二元一次方程的变形：用一个未知数表示另一个未知数 例5：已知二元一次方程５x-2y=10 ①将其变形为用含x 的代数式表示y 的形式。②将其变形为用含y 的代数式表示x 的形式 知识点5：消元法 用代入消元法解二元一次方程组。 步骤１：选择一个未知数系数较简单的方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式。 步骤２：将其代入到另一个方程中消去一个未知数并求出另一个未知数的值。 步骤３：将求出的未知数的值代入方程中求出另一个未知数的值。 用加减消元法解二元一次方程组 步骤1：将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。 步骤2：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 步骤3：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。 步骤4：将求得的未知数的值代入原方程组中的任一方程，求得另一个未知数的值。 步骤5：写出方程组的解。 例6：解下列二元一次方程组 3410,490;x y x y +=??+-=? 3(1)5,5(1)3(5);x y y x -=+??-=+? 6,234()5() 2. x y x y x y x y +-?+=? ? ?+--=? 例7：已知? ??=-+=+-03250 2z y x z y x 求： z y x z y x 23324+--+的值 例8：已知关于x 、y 的二元一次方程组???=+=+354ny mx y x 和? ??=-=-11 23my mx y x 有相同的解。求m 、n 的值。
二元一次方程组 1.二元一次方程 （1）二元一次方程：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。如2x ＋3y ＝15，5x ＝10－0.2 y 等。 注意：①在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中只有两个未知数。②含有未知数的项（单项式）的次数是1，不可理解为两个未知数的次数都是1。如4xy 的次数是2，所以方程4xy ＋9＝0不是二元一次方程。 ③二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程2 x ＋y ＝7的左边不是整式，它就不是二元一次方程。 （2）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 注意：①一般情况下，一个二元一次方程有无数多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个解。②二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个。 2.二元一次方程组 （1）二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 注意：①组成方程组的各方程不必都同时含有两个未知数，只要共含两个未知数的几个一次方程组成的一组方程都是二元一次方程组。②方程组各方程中同一个字母必须代表同一个量，否则不能将两个方程合在一起。 （2）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 注意：①方程组的解必须满足方程组中的各个方程，而方程组中某一个方程的一个解不一定是方程组的解。②在同一方程组中，各个相同未知数应取相同的值。 3.二元一次方程组的解法 （1）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （2）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y ）用含另一个未知数（例如x ）的代数式表示出来，即写成y=ax+b 的形式，即“变”，将y=ax+b 代入到另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程，即“代”，解出这个一元一次方程，求出x 的值，即“解”，把求得的x 值代入y=ax+b 中求出y 的值，即“回代”，把x 、y 的值用｛联立起来，即“联”. 注意：①用代入法解题时，先比较两个方程的特点，选出一个系数较简单的方程，并用一个未知数表示另一个未知数。②代入时，不要将变形后的方程代入变形前的那个方程中，否则，只能得到一个恒等式，而解不出方程。③当求出一个未知数的值后，通常把这个值代入用这个未知数表示另一个未知数的那个方程中，去求另一个未知数的值；它远比把这个值代入原方程组中任意一个方程去求另一个未知数的值要简便得多。 （3）加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的解，方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”. 4.二元一次方程组应用题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
二元一次方程组 （拓展与提优） 1、二元一次方程： 含有两个未知数（ x 和 y ），并且含有未知数の项の次数都是 1，像这样の整式方程叫做二元一次方程， 它の一般形式是 ax by c （a 0,b 0）. 例 1、若方程 （ 2m-6）x |n|-1 +（n+2）y m2-8 =1是关于 x 、y の二元一次方程，求 m 、n の值. 2、二元一次方程の解： 一般地，能够使二元一次方程の左右两边相等の两个未知数の值，叫做二元一次方程の解 . 【二元一次方程有 无数组 解】 3、二元一次方程组： 含有两个未知数（ x 和 y ），并且含有未知数の项の次数都是 1，将这样の两个或几个一次方 程合起来组成の方 程组叫做二元一次方程 组 . 4、二元一次方程组の解： 二元一次方程组中の几个方程の公共解，叫做二元一次方程组の解 . 【二元一次方程组解 x y 1 x y 1 x y 1 x y 1 の情况：①无解，例如： x y 6，2x 2y 6；②有且只有一组解， 例如： 2x y 2 ；③有无数组解，例如： 2x 2y 2】 例 2、已知 2x +（m -1）y ＝2 nx+ y ＝1 の解，试求 （m+n ） 2016 の值 例 3、 方程 x 3y 10 在正整数范围内有哪几组解？ 5、二元一次方程组の解法： 代入消元法和加减消元法。 例 4、 将方程 10 2（3 y ） 3（2 x ） 变形，用含有 x の代数式表示 y . 例 5、用适当の方法解 二元一次方程组 ax y 1 例 6、若方程组 有无数组解，则 a 、 b の值分别为（ ） 6x by 2 B. a 2,b 1 C.a=3,b=-2 D. a 2 b, 2 x2 x 2 是关于 x 、 y の二元一次方程 组 A. a=6,b=-1
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元 一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一 次方程组。 注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次 方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧 一、基本定义： 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。 二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 二、解的情况： 二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。 三、二元一次方程的解法： 1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 1、代入消元法 2、加减消元法 3、教科书中没有的几种解法 (一)加减-代入混合使用的方法. 例：13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1,y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法 例3：x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 则方程2可写为：5t+6×4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 四、列方程（组）解应用题 （一）、其具体步骤是： ⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。⑶用含未知数的代数式表示相关的量。⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。⑹答案。 （二）、常用的相等关系 1．行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt ⑴相遇问题(同时出发)： ⑵追及问题（同时出发）：⑶水（风）中航行： 2．配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂 3．增长率问题： 4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。 5.数字表示问题：如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为
完整版)二元一次方程组知识点归纳 二元一次方程组是数学中的基本概念，它包含了两个未知数，且未知数的项次数都是1.这样的方程被称为二元一次方程。 当两个二元一次方程具有相同的未知数时，它们可以被合并成一个二元一次方程组。需要注意的是，一个或多个二元一次方程也可以单独组成一个方程组。 二元一次方程组的解是指使方程组中两个未知数相等的值。一个二元一次方程有无数个解。 二元一次方程组的解是指满足方程组中两个方程的公共解。例如，方程组x+y=5和6x+13y=89有解x=-24/7，y=59/7. 有些方程组没有解，例如x+y=4和2x+2y=10.这是因为方 程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾。 消元是解决方程组的一种常用方法，它可以将方程组中的未知数个数由多化少。代入消元法是一种常见的消元方法，它
可以将一个方程中的未知数用另一个未知数的式子表示出来，然后代入另一个方程中，消元求解。 加减消元法是另一种解二元一次方程组的方法，它可以将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数，从而得到一个关于另一个未知数的一元一次方程。最后解出这个方程，求出未知数的值。 1.理解问题，明确未知量和已知量之间的关系； 2.根据问题中的条件，列出方程（组）； 3.解方程（组），求出未知量的值； 4.检验解是否符合实际情况； 5.给出问题的答案，并附上解题过程。 七、注意事项 1.在解题过程中，要注意符号的运用，避免出现计算错误； 2.在列方程（组）时，要注意把问题中的信息全部转化为 数学语言，避免遗漏； 3.在解方程（组）时，要注意检查解的合理性，避免出现 无解或多解的情况；
4.在解应用题时，要注意理解问题的实际意义，避免出现 解出的答案与实际情况不符的情况。 解二元一次方程组的方法主要有加减消元法和代入法。在同一个方程中，如果同一未知数的系数不相等或不互为相反数，就可以用适当的数乘方程两边，使同一未知数的系数相等或互为相反数，即“乘”。将两个方程的两边相加或相减，可消去一个未知数，得到一个一元一次方程，即“加减”。解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值，即“回代”。最后，将求得的两个未知数的值联立起来，即“联”。 除了常规的解法，还有加减-代入混合使用的方法和换元法。加减-代入混合使用的方法适用于两个方程中含有单个x 或单个y的情况，先用加减法消元，再用代入法求解。换元法适用于两个方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5，y-4 之类，换元后可简化方程。 在解题过程中，要注意符号的运用，避免出现计算错误。在列方程（组）时，要注意把问题中的信息全部转化为数学语
二元一次方程组（拓展与提优） 1、二兀一次方程： 含有两个未知数（x和y）,并且含有未知数①项①次数都是1，像这样①整式方程叫做二元一次方程, 它①一般形式是ax by c（a 0,b °）. 例1、若方程（2m-6）x|n|-1 +（n+2）y m2-8=1是关于 x 、 y ①二元一次方程，求m、n①值. 2、二元一次方程①解：一般地，能够使二元一次方程①左右两边相等①两个未知数①值，叫做二元一次方程①解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x和y）,并且含有未知数①项①次数都是1,将这样①两个或几个一次方 程合起来组成①方程组叫做二元一次方程组• 4、二元一次方程组①解：二元一次方程组中①几个方程①公共解，叫做二元一次方程组①解•【二元一次方程组解 x y 1 x y 1 x y1x y 1 O情况：①无解，例如： x y 6, 2x 2y 6;②有且只有一组解，例如：2x y 2；③有无数组解，例如：2x 2y 2】 是关于x、y O二元一次方程组2x+（m-1）y=2 nx+ y=1 O解，试求（m+r）2016O值 例3、方程x 3y 10在正整数范围内有哪几组解? 5、二元一次方程组O解法：代入消元法和加减消元法。 例4、将方程10 2（3 y） 3（2 x）变形，用含有x O代数式表示y. 例5、用适当O方法解二元一次方程组 x+1 + 3 2 例6、若方程组 ax y 1 有无数组解，则a、b O值分别为（） 6x by 2 例2、已知 x 2 y 1
B. a 2,b 1 C.a=3,b=-2 D. a 2,b 2 A. a=6,b=-1
初中数学知识点归纳：二元一次方程 初三学习的知识是初中三年学习的汇总，为了方便大家更好地复习，中国教育在线整理了初三数学关于二元一次方程的知识点，希望对大家的学习有所帮助。 一、二元一次方程概念 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组 成了一个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元 一次方程组的解。 二、二元一次方程解答方法 1、代入消元法解二元一次方程组： 基本思路：未知数又多变少。 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入法解二元一次方程组的一般步骤： (1)从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)用含另一个未知数(例如x)的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”
(2)将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 (3)解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 (4)把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” (5)把x、y的值用{联立起来即“联” 2、加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的解 (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。 (2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。 (3)解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 (4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。 (5)把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。 3、换元法 例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为
第1页 共1页 二元一次方程组知识点归纳总结 一、知识网络结构 二、知识要点 1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。 2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为c by ax =+(c b a 、、为常数，并且00≠≠b a ，)。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。 3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。 4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。 5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程 的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数； （3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； （4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程 组的解。 6、解三元一次方程组的一般步骤： ①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数； ②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组； ③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧三元一次方程组解法问题二元一次方程组与实际加减法代入法二元一次方程组的解法方程组的解定义二元一次方程组方程的解定义二元一次方程二元一次方程组
二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程 叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一 个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方 程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数又多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式， 即“变” 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即 “代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联” 6、加减消元法解二元一次方程组 （1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫 做加减消元法，简称加减法。 （2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那 么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即 “乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程， 即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数 的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
二元一次方程组知识点梳理 1、把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 2、有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 3、二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。 4、二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 5、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 6、二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 7、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。 例：解方程组x+y=5 ①6x+13y=89 ②解：由①得x=5-y ③把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带 入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 加减消元法利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数化为相等或相反，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解，再代入方程组的其中一个方程。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 一般：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数； ②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程； 例：解方程组x+y=9①x-y=5② 解：①+②2x=14 即x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解 8、二元一次方程组的解有三种情况： 1）有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2）有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解
二元一次方程组（拓展与提优） 1 、二元一次方程： 含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程， 它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠. 例1、若方程（2m-6）x |n|-1 +(n+2)y m2-8 =1是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值. 2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方 程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解 的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨ +=⎩，1 226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩】 例2、已知 是关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨ ⎧1 ＝y +nx 2 ＝1)y -(m +2x 的解，试求（m+n ）2016的值 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？ 5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。 例4、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y . 例5、用适当的方法解二元一次方程组 ． 例6、若方程组1 62 ax y x by -=⎧⎨ +=⎩有无数组解，则a 、b 的值分别为（ ） .A a=6,b=-1 .B 2,1a b == .C a=3,b=-2 .D 2,2a b ==- ⎩⎨⎧==1 2 y x
二元一次方程组知识总结及训练 知识点一：二元一次方程定义和条件： 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程． 条件： 含有两个未知数；含有未知数的项的次数都是1•；必须是等式；未知数的项的系数不为0。 1．若2x m+n －1－3y m －n －3+5=0是关于x ，y 的二元一次方程，则m=_____，n=_____． 2．若3x 953++n m ＋4y 724--n m ＝2是关于x 、y 的二元一次方程，则n m 的值等于 。 3．已知b a y x +2与y x b a -531是同类项，则______=x ，_______=y 。 4．若2m x +（m+1）y=3m-1是关于x 、y 的二元一次方程，则m 的取值范围是（ ） A 、m ≠－1 B 、m=±1 C 、m=1 D 、m=0 5．若是关于的二元一次方程，则 （ ） A. B. C. D. 知识点二：二元一次方程的一般形式及其变形 一般形式：ax+by=c(a≠0,b≠0，c 为任意数) 变形：⑴ 用x 表示y 就是把x 看成已知数，求y 的值。⑵ 用y 表示x 就是把y 看成已知数，求x 的值。变形是解二元一次方程租的代入法的基础和关键所在。 1．由方程624=-y x ，用含x 的代数式表示y ，则_______=y 2．已知3x - 2y = 1,用含x 的代数式表示y 是_________，当x = -1时，y = _ 3．由2x －3y －4＝0，可以得到用x 表示y 的式子y ＝ 。 4．已知方程2x+3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y=_______；用含y 的代数式表示x 为：x=_______ _． 5．已知12 321=-y x ，用x 表示y 的式子是_____；用y 表示x 的式子是______。当1=x 时=y ____ _； 知识点三：二元一次方程的解和二元一次方程的解的求法。 ⑴．二元一次方程的解能代入二元一次方程，从而求出另一个求知数的值。 1．已知和是方程 mx+ny =10的两个解，则m = __, n = _ 2．已知y ＝kx ＋b ，如果x ＝4时，y ＝15；x ＝7时，y ＝24，则k ＝ ；b ＝ ． 3．若⎩⎨⎧-==21y x 是关于x 、y 的方程1=-by ax 的一个解，且3-=+b a ，则b a 25-＝ 。 4．当2=x 时，代数式13++bx ax 的值为6，那么当2-=x 时13++bx ax 的值为（ ） A 、6 B 、－4 C 、5 D 、1 ⑵．二元一次方程的解有无数组；它的整数解也是无数组；它的非负整数解是有限的；它的正整数解也 是有限的。审题时注意区分！ 1．二元一次方程 2x + 5y = 11的正整数解是________。 2.二元一次方程237x y +=的正整数解是 。 3.二元一次方程210x y +=的非负整数解是_____________。 4．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．二元一次方程1=+y x ( ) A.有一个解并且只有一个 B.有两个解并且只有两个 C.无解 D.有无数个解