二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总
1、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一
个二元一次方程组。
2、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做
二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
3、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方
程组的解。
4、解法：
一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法
6、一元二次方程：1．定义及一般形式：2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）
⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0）3．根的判别式：4．根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：
7、可化为一元二次方程的方程：
分式方程：⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）⑷验根及方法
无理方程：⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法
3．简单的二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
8、代入消元法解二元一次方程组：
（1）基本思路：未知数又多变少。
（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如
y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，
即“变”
2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即
“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
5、把x、y的值用｛联立起来即“联”
5、加减消元法解二元一次方程组
（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫
做加减消元法，简称加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解
1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那
么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即
“乘”。
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，
即“加减”。
3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。
4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数
的值即“回代”。
5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
代入消元法：
例：解方程组x+y=5①
6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③
把③带入②，得6(5-y)+13y=89
y=59/7
把y=59/7带入③，
x=5-59/7
即x=-24/7
∴x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。
加减消元法：
例：解方程组x+y=9①
x-y=5②
解：①+②2x=14
即x=7
把x=7带入①
得7+y=9
解得y=-2
∴x=7
y=-2 为方程组的解
像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。 二元一次方程组的解有三种情况：
1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解
2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②， 因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
热身练习：
1、由方程组63x m y m +=⎧⎨-=⎩
可以得出,x y 的关系式是（ ） .3A x y += .3B x y +=- .9C x y +=- .9D x y +=
2、已知5x t =-，32y t -=，则可以得出,x y 的关系式是（ ）
.1013A x y += .213B x y -= .107C x y -= .107D x y +=
3、已知m 与n 互为相反数，且235m n -=，则20112012m n +的值是（ ）
.2A .2B - .1C .1D -
二、、解方程组
1、用代入法解方程组：
（1）33-814x y x y -=⎧⎨=⎩ ①② （2） 32528x y x y +=⎧⎨-=⎩ ① ② （3）21243y x x x y -++==
2、用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.
(1)
3215
5423
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
,消元方法_________.
(2)
731
232
m n
n m
-=
⎧
⎨
+=-
⎩_________.
3
(1)
42
436
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩(2)
321
47
x y
x y
+=-
⎧
⎨
+=-
⎩(3)
325
431
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩(4)
49
410
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
4、解下列方程组
（1）
6
23
2()3324
x y x y
x y x y
+-
⎧
+=
⎪
⎨
⎪+-+=
⎩（2）
2323
7
43
2323
8
32
x y x y
x y x y
+-
⎧
+=
⎪⎪
⎨
+-
⎪+=
⎪⎩
①
②
(3)
3)2()36
2()3()24
x y x y
x y x y
++-=
⎧
⎨
+--=
⎩
（
（4)
200920101
201120123
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
二元一次方程组应用题
一、解题步骤：
1、一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中
的两个未知数；
3、找：找出能够表示题意两个相等关系；
4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案
二、常用的相等关系：
1．行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt ⑴相遇问题(同时出发)：+ = ;
⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
⑶水中航行：;
2．配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂
3．增长率问题：
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。三注意语言与解析式的互化
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。
四注意从语言叙述中写出相等关系。
如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。
五注意单位换算
如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。
三、典型例题讲解
题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题
1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖
5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
题型二、列二元一次方程组解决行程问题
2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时
20分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？
3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏
由甲地漂流到乙地需要多长时间？
题型三、列二元一次方程解决商品问题
4、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20
件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。求A、B商品打折前的价格。
题型四、列二元一次方程组解决工程问题
5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水
引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修
0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？
题型五：列二元一次方程组解决增长问题
6、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，
这样全校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？
二元一次方程组（拓展与提优） 1、二元一次方程： 含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数の项の次数都是1，像这样の整式方程叫做二元一次方程， 它の一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠. 例1、若方程（2m-6）x |n|-1+(n+2)y m2-8 =1是关于x y 、の二元一次方程，求m 、n の值. 2、二元一次方程の解：一般地，能够使二元一次方程の左右两边相等の两个未知数の值，叫做二元一次方程の解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数の项の次数都是1，将这样の两个或几个一次方程合起来组成の方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组の解：二元一次方程组中の几个方程の公共解，叫做二元一次方程组の解.【二元一次方程组解 の情况：①无解，例如：16x y x y +=??+=?，1226x y x y +=??+=?；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=??+=?；③有无数组解，例如：1222x y x y +=??+=?】 例2、已知 是关于x 、y の二元一次方程组???1 ＝y +nx 2＝1)y -(m +2x の解，试求（m+n ）2016の值 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？ 5、二元一次方程组の解法：代入消元法和加减消元法。 例4、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x の代数式表示y . 例5、用适当の方法解二元一次方程组 ． 例6、若方程组162 ax y x by -=??+=?有无数组解，则a 、b の值分别为（ ） .A a=6,b=-1 .B 2,1a b == .C a=3,b=-2 .D 2,2a b ==- ???==1 2y x
二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程 叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一 个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方 程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数又多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式， 即“变” 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即 “代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联” 6、加减消元法解二元一次方程组 （1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫 做加减消元法，简称加减法。 （2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那 么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即 “乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程， 即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数 的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
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二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一 起，就组成了一个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未 知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解， 叫做二元一次方程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数又多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这 个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个 未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来， 即写成y=ax+b的形式，即“变” 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元 一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联” 6、加减消元法解二元一次方程组 （1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元 一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 （2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数 幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数 互为相反数或相等，即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个 一元一次方程，即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出 另一个未知数的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
二元一次方程组 一、二元一次方程及其解 （1）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠. （2）条件：1）含有两个未知数 2）所含未知数的项的次数是1 3）等号两边是等式 二、二元一次方程组及其解 （1）、二元一次方程组：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. （2）、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨ +=⎩，②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数 组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩.】 例1、若方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值. 例2、若23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值.
例3、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值. （变式训练）已知218(26)(2)0n m m x n y +--++=是关于x y 、的二元一次方程，当2y =-时， 求x 的值. 二元一次方程的变形：用一个未知数表示另一个未知数 例：已知二元一次方程５x-2y=10 ①将其变形为用含x 的代数式表示y 的形式。②将其变形为用含y 的代数式表示x 的形式 例4:已知在方程8x-6y=10中，请用含有x 的代数式表示y ，用含有y 的代数式表示x . 知识点1:二元一次方程及其解 1、下列各式是二元一次方程的是（ ）. .A 67x y -= .B 105x y -= .C 45x xy -= .D 210x x ++= 2、若32 x y =⎧⎨=⎩是关于x y 、的二元一次方程30x ay -=的一个（组）解，则a 的值为（ ） .A 3 .B 4 .C 4.5 .D 6 3、对于二元一次方程21x y -=有无数个解，下列四组值不是该方程的解的一组是（ ） .A 012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ .B 11x y =⎧⎨=⎩ .C 10x y =⎧⎨=⎩ .D 11x y =-⎧⎨=-⎩
二元一次方程知识点总结 在数学中，二元一次方程是一种含有两个变量且次数为一次的方程。它是解决实际问题和建立数学模型的基础，因此对于学习数学的学生 来说，掌握二元一次方程的知识点至关重要。本文将对二元一次方程 的基本概念、解法和应用进行总结。 一、基本概念 二元一次方程是指具有以下形式的方程： ax + by = c 其中a、b、c为已知实数，且a和b不同时为0，x和y为变量。方 程中含有两个变量x和y，且其次数均为1，因此称为二元一次方程。 二、解法 解二元一次方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解方程方法。 1. 消元法 消元法是指通过将方程经过某种变换改写为只含有一个变量的方程，从而解出该变量的方法。对于二元一次方程而言，我们通常采用消去 其中一个变量的方法。 以方程ax + by = c为例，我们可以通过以下步骤进行消元： 1) 将其中一个未知数的系数表示为其它未知数的系数的倍数，例如，如果a ≠ 0，则可将方程改写为： x = (c - by)/a。
2) 将该未知数的表达式带入原方程中，化简为只含有一个未知数的方程。 3) 解出该未知数的值，并带入原方程中求解另外一个未知数。 2. 代入法 代入法是指将方程中的一个未知数的表达式代入到另一个未知数的方程中，并继续求解的方法。 以方程ax + by = c为例，我们可以通过以下步骤进行代入： 1) 选择一个未知数的系数较小的方程，将该方程中的一个未知数的表达式代入到另一个方程中。 2) 化简得到只含有一个未知数的方程。 3) 解出该未知数的值，并代入原方程中求解另外一个未知数。 三、应用 二元一次方程在实际生活和工作中有着广泛的应用。下面将介绍二元一次方程在几个常见应用场景中的具体应用。 1. 比例问题 比例问题通常可以通过建立和解二元一次方程来解决。例如，已知甲乙两人年龄之比为3:5，现在甲的年龄增加了5岁，乙的年龄增加了10岁，求他们现在的年龄。我们可以设甲的年龄为3x岁，乙的年龄为5x岁，根据题目中的条件可以得到以下方程：
二元一次方程知识点总结 知识点一：二元一次方程的条件 （1）两个未知数;（2）整式方程;（3）未知项的次数为“1”;（4）化为一般式：（a≠0,且b≠0.）（5）判定一个方程是否是二元一次方程,先要化为一般式,再依据定义进行判断 知识点二：二元一次方程的解 （1）二元一次方程的解是一对数值; （2）已知二元一次方程的解，就能代入二元一次方程中求出另一个未知数的值。 （3）每一个二元一次方程都有无数个解.但整数解的有限的。 ⑷每个二元一次方程通过变形能转化成一次函数，会用含一个未知数的整式来表示另一个未知数. 知识点三：二元一次方程组 （1）它的一般形式为（其中a1与b1，a2与b2不同时为零）. （2）已知二元一次方程组的解就能代入方程组． （3）二元一次方程组的解是唯一的。 知识点四：二元一次方程组的解法 1．用代入消元法解题时,要注意强调： （1）首先从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来; （2）然后将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程; （3）解这个一元一次方程,求出x(或y)的值; （4）将求得的未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数的值; （5）把求得的x,y的值用“大括号”联立起来,就是方程组的解. 2．用加减消元法解二元一次方程组时应注意以下几点： （1）如果两个方程的系数相同用减法；如果系数互为相反数用加法，可以消去一个未知数. （2）如果两个方程的系数不同，可用最小公倍数转化成相同或相反，然后再将两个方程两边分别相加或相减,就可消去这个未知数。 （3）当方程组中两个未知数的系数为分数时，要每项都乘其分母的最小公倍数，转化成系数为整数的二元一次方程组，然后再用上述加减消元求解. ⑷整体代入法、换元法 3．解二元一次方程组常见的错误 （1）求解不完整，只求出一个未知数的值就以为解完了； （2）将两个方程相减时容易弄错符号； （3）方程两边同乘以一个不等于零的数时，容易出现漏乘的项 知识点五；三元一次方程组的解法 解三元一次方程组可类比解二元一次方程组的代入法和加减法，关键是“消元”，把“三元”变为“二元”再变为“一元”以求解. 知识点六：二元一次方程应用题 1．列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是找等量关系.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等.
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总 1、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一 个二元一次方程组。 2、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 3、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方 程组的解。 4、解法： 一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。 二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法 6、一元二次方程：1．定义及一般形式：2．解法：⑴直接开平方法（注意特征） ⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0）3．根的判别式：4．根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是： 7、可化为一元二次方程的方程： 分式方程：⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）⑷验根及方法 无理方程：⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法 3．简单的二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。 8、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数又多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式， 即“变” 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即 “代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联” 5、加减消元法解二元一次方程组 （1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫 做加减消元法，简称加减法。 （2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那 么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即
《二元一次方程组》 一、知识点总结 1、二元一次方程： 含有两个未知数（x 和y )，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程, 它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠。 2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组:含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是,将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方 程组解的情况：①无解,例如:16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组 解,例如:1222x y x y +=⎧⎨+=⎩】 5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。 6、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，； （2）设：找出能够表示题意两个相等关系；并用字母表示其中的两个未知数 （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组； （4)解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5)答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案。 二、典型例题分析 例1二元一次方程组437(1)3 x y kx k y +=⎧⎨ +-=⎩的解x ，y 的值相等,求k ． 例2、若23x y =⎧⎨=⎩ 是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值。 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？ 例4、将方程102(3)3(2)y x --=-变形,用含有的代数式表示. 例5、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求的值。 例6、若方程 213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求、的值. 例7:（1)用代入消元法解方程组: ⎩⎨⎧-=-=+42357y x y x 563640x y x y +=⎧⎨--=⎩ （2)、用加减法解二元一次方程组： ⎩⎨⎧=+=-8 312034y x y x ⎩⎨⎧=+=-932723y x y x 三、跟踪训练
二元一次方程组知识总结及训练 知识点一：二元一次方程定义和条件： 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程． 条件： 含有两个未知数；含有未知数的项的次数都是1•；必须是等式；未知数的项的系数不为0。 1．若2x m+n －1－3y m －n －3+5=0是关于x ，y 的二元一次方程，则m=_____，n=_____． 2．若3x 953++n m ＋4y 724--n m ＝2是关于x 、y 的二元一次方程，则n m 的值等于 。 3．已知b a y x +2与y x b a -531是同类项，则______=x ，_______=y 。 4．若2m x +（m+1）y=3m-1是关于x 、y 的二元一次方程，则m 的取值范围是（ ） A 、m ≠－1 B 、m=±1 C 、m=1 D 、m=0 5．若是关于的二元一次方程，则 （ ） A. B. C. D. 知识点二：二元一次方程的一般形式及其变形 一般形式：ax+by=c(a≠0,b≠0，c 为任意数) 变形：⑴ 用x 表示y 就是把x 看成已知数，求y 的值。⑵ 用y 表示x 就是把y 看成已知数，求x 的值。变形是解二元一次方程租的代入法的基础和关键所在。 1．由方程624=-y x ，用含x 的代数式表示y ，则_______=y 2．已知3x - 2y = 1,用含x 的代数式表示y 是_________，当x = -1时，y = _ 3．由2x －3y －4＝0，可以得到用x 表示y 的式子y ＝ 。 4．已知方程2x+3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y=_______；用含y 的代数式表示x 为：x=_______ _． 5．已知12 321=-y x ，用x 表示y 的式子是_____；用y 表示x 的式子是______。当1=x 时=y ____ _； 知识点三：二元一次方程的解和二元一次方程的解的求法。 ⑴．二元一次方程的解能代入二元一次方程，从而求出另一个求知数的值。 1．已知和是方程 mx+ny =10的两个解，则m = __, n = _ 2．已知y ＝kx ＋b ，如果x ＝4时，y ＝15；x ＝7时，y ＝24，则k ＝ ；b ＝ ． 3．若⎩⎨⎧-==21y x 是关于x 、y 的方程1=-by ax 的一个解，且3-=+b a ，则b a 25-＝ 。 4．当2=x 时，代数式13++bx ax 的值为6，那么当2-=x 时13++bx ax 的值为（ ） A 、6 B 、－4 C 、5 D 、1 ⑵．二元一次方程的解有无数组；它的整数解也是无数组；它的非负整数解是有限的；它的正整数解也 是有限的。审题时注意区分！ 1．二元一次方程 2x + 5y = 11的正整数解是________。 2.二元一次方程237x y +=的正整数解是 。 3.二元一次方程210x y +=的非负整数解是_____________。 4．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．二元一次方程1=+y x ( ) A.有一个解并且只有一个 B.有两个解并且只有两个 C.无解 D.有无数个解
二元一次方程组知识点归纳总结 一、知识网络结构 二、知识要点 1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。 2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为c by ax =+(c b a 、、为常数，并且00≠≠b a ，)。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。 3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。 4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。 5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程 的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数； （3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； （4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程 组的解。 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧三元一次方程组解法问题二元一次方程组与实际加减法代入法二元一次方程组的解法方程组的解定义二元一次方程组方程的解定义二元一次方程二元一次方程组
二元一次方程组知识总结及典型例题 ◆知识要点 知识点1： 二元一次方程的变形： 用一个未知数表示另一个未知数 知识点2： 二元一次方程的定义： 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。 （注：①方程中有且只有两个未知数。②方程中含有未知数的项的次数为1。 ③方程为整式方程。） 知识点3： 二元一次方程组的定义： 由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组: 知识点4： 二元一次方程的解的定义： 使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。 方程组的解的定义： 方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。 知识点5： 二元一次方程组的解法 代入消元法： 在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法． 加减消元法： 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法． 知识点6： 二元一次方程组的应用 对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤： （1）选定几个未知数； （2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； （3）解方程组，得到方程组的解； (4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解。 ◆例题解析 例1：已知二元一次方程５x-2y=10 ①将其变形为用含x的代数式表示y的形式。 ②将其变形为用含y的代数式表示x的形式 例2：(1)下列方程中是二元一次方程的是（） A．3x-y2=0 B．2 x +y 1 =1 C． 3 x-5 2 y=6 D．4xy=3
第1页 共1页 二元一次方程组知识点归纳总结 一、知识网络结构 二、知识要点 1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。 2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为c by ax =+(c b a 、、为常数，并且00≠≠b a ，)。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。 3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。 4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。 5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程 的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数； （3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； （4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程 组的解。 6、解三元一次方程组的一般步骤： ①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数； ②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组； ③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧三元一次方程组解法问题二元一次方程组与实际加减法代入法二元一次方程组的解法方程组的解定义二元一次方程组方程的解定义二元一次方程二元一次方程组
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧 把两个一次方程联立在一起,那么这两个方程就构成了一种二元一次方程组。 有几种方程构成旳一组方程叫做方程组。假如方程组中具有两个未知数， 且含未知数旳项旳次数都是一次,那么这样旳方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义:一种具有两个未知数,并且未知数旳都指数是１旳整式方程,叫二元一次方程。二元一次方程组定义:两个结合在一起旳共具有两个未知数旳一次方程,叫二元一次方程组。 二元一次方程旳解:使二元一次方程两边旳值相等旳两个未知数旳值, 叫做二元一次方程旳解。 二元一次方程组旳解:二元一次方程组旳两个公共解,叫做二元一次方程组旳解。 一般解法,消元:将方程组中旳未知数个数由多化少,逐一处理。 消元旳措施有两种: 代入消元法 例：解方程组 x+y=5①
6x+１3y＝89② 解:由①得 x=5-y③ 把③带入②,得 6(5－y+13y=8９ ｙ=５９/７ 把ｙ=５９/7带入③, x=５-59/7 即x=-24/7 ∴ x＝-24/７ y=59/7 为方程组旳解 我们把这种通过“ 代入” 消去一种未知数,从而求出方程组旳解旳措施叫做代入消元法(eliｍinａtioｎｂｙｓubｓtｉtution ,简称代入法。 加减消元法 例：解方程组x+ｙ=９① x－ｙ＝5②
解:①＋②２x=14 即ｘ＝7 把ｘ＝7带入① 得 7+ｙ=９ 解得 y＝－2 ∴ x=7 ｙ＝-2 为方程组旳解 像这种解二元一次方程组旳措施叫做加减消元法 (elimｉnaｔion by ａｄditiｏn-subtracｔion ，简称加减法。二元一次方程组旳解有三种状况： 1. 有一组解如方程组x+ｙ＝5① 6x+1３y=８9②ｘ=-2４/7y=５9／7为方程组旳解 2. 有无数组解如方程组ｘ+y=6①２x+２y=12②由于这两个方程实际上是一种方程 (亦称作“ 方程有两个相等旳实数根” ,因此此类方程组有无数组解。
九年级数学二元一次知识点 九年级数学是学生们升入高中前的最后一年数学学习阶段，其 中二元一次方程是一个重要的知识点。在这篇文章中，我们将探 讨二元一次方程的基本概念、解题方法以及其在现实生活中的应用。 一、二元一次方程的基本概念 二元一次方程是由两个未知数和一次项的方程。通常的形式可 以表示为：ax + by = c，其中a、b、c为已知系数，x、y为未知数。二元一次方程的解是满足方程的x和y的值。 在解二元一次方程时，我们通常采用联立方程组的方法。联立 方程组即将两个方程同时考虑，通过消元或代入的方式求解。 二、解题方法 解二元一次方程的方法有很多种，其中较常用且常用的方法有 代入法和消元法。 代入法是指从其中一个方程中解出其中一个未知数，然后将其 代入另一个方程中得到另一个未知数的值。例如，给定方程组：
2x + 3y = 5 5x - 4y = 18 我们可以从第一个方程中解出x，得到x = (5 - 3y)/2，然后将这个值代入第二个方程中，得到5(5 - 3y)/2 - 4y = 18，再求解得到y 的值，最后再将y的值代入第一个方程中求解得到x的值。 消元法是指通过线性组合的方法将方程组中的某个未知数的系数抵消掉。例如，给定方程组： 3x + 2y = 7 2x - y = 4 我们可以将第一个方程的2倍加到第二个方程上，从而消除y 的系数。得到： 3x + 2y = 7 7x = 15 解这个方程组可以得到x的值，然后将x的值带入任意一个方程求解得到y的值。
三、应用举例 二元一次方程不仅在数学中有应用，还在现实生活中有丰富的 应用场景。以下是几个例子： 1. 经济学中的供需方程 在经济学中，供需方程是描述商品市场平衡的重要工具。供需 方程可以表示为： 需求方程：Qd = a - bP 供应方程：Qs = c + dP 其中，Qd和Qs分别表示需求量和供应量，P表示价格，a、b、c、d为常数。通过联立供需方程，可以求解出价格和数量的平衡点，从而得到市场的均衡状态。 2. 物理学中的牛顿第二定律 经典力学中，牛顿第二定律描述了物体运动的加速度和施加力 之间的关系。牛顿第二定律可以表示为： F = ma
初二数学上册知识点总结归纳 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!
二元一次方程组知识点总结与经典练习 七年级数学《二元一次方程组》辅导材料1 一、知识点概述1。二元基本方程： 含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax?by?c(a?0,b?0).2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.【二元一 次方程有无数组解】3、二元一次方程组：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的 项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程 组.4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一 二次方程组的解[二元线性方程组的解：① 没有解决方案，例如：？十、Y1.十、Y 十、Y6. 1?2x?2y?6；??x?y?1?x?y?1②有且只有一组解，例如：?2x?y?2；③有无数组解， 例如：??2x?2y?2】 5.二元一阶方程的求解：代换消元法和加减消元法。 6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数 都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元→二元→一元7、列二元一次方程组解应用 题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步。列方程（组）解应用题是中学数学 联系实际的一个重要方面。 1.行程问题（匀速运动）的基本关系：S=vt⑴ 遇到问题（同时出发）：⑵ 追踪问题（同时出发）：⑶ 水上航行（风）：2。配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂3。增长率问题：4。工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（工作量通常被视为 单位“1”）。5.数字表示问题：例如，如果一个三位数、百位数是a、十位数是B、一位 数是C，那么三位数是100A+10B+C，而不是ABC 5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质量等。 二、典型例题分析 例1。方程式 x2m?1?5y3n?2?7是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值.例2、将方程 10?2(3?y)?3(2?x)变形，用含有x的代数式表示y.例3、方程x?3y?10在正整数范围内有
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫 做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1,系数不为零的 整式方程叫做二元一次方程。 注意：二元一次方程组应同时满足以下两点 1、两个方程都是一次方程， 2、方程组中共含有两个未知数。 也就是说二元一次方程组一共含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数。 2、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二 元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程 组的解。 1有一组解如方程组x+y=5①x=-24/7 6x+13y=89②y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①因为这两个方程实际上是一个方程 2x+2y=12②(亦称作“方程有两个相等的实数根”)， 所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①因为方程②化简后为x+y=5
2x+2y=10②，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 1、代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式 子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二 元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 x=-24/7 y=59/7 为方程组的解