解析二元一次方程知识点及应用
二元一次方程是初中数学学习中的重要内容，上承一元一次方程，下接不等式组。之前的文章内容中我们先后讲述了有关一元一次方程和一元二次方程的内容，那么，我们接着来学习有关二元一次方程的知识点：
复习要求
1、认识二元一次方程（组）；
2、了解二元一次方程（组）的解以及求二元一次方程的正整数解；
3.解决二元线性方程组(组)的实际应用。
二元一次方程的基本内容
1 01二元一次方程
（1）二元一次方程的概念含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0）。
判定二元一次方程必须同时满足三个条件：
①方程两边的代数式都是整式——整式方程；
②含有两个未知数——“二元”；
③含有未知数的项的次数为 1——“一次”。
（2）二元一次方程的解
使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。
2二元一次方程组
（1）二元一次方程组的概念
由几个线性方程组组成的含有两个未知数的方程组称为二元线性方程组。
注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程）。
（2）二元一次方程组的解
二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。
（3）二元一次方程组的解法
●a.代入消元法
代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。
通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法。
步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y = ax + b 的形式；
② y = ax + b 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于x 的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出 x 的值；
④回代求解：把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值，从而得出方程组的解。
●b.加减消元法
加减法是消元法的一种，也是求解二元线性方程组的基本方法之一。加减法不仅适用于求解二元线性方程组，也是今后求解其他方程组(组)的常用方法。
步骤：
①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值。
●加减消元方法的选择：
1、一般选择系数绝对值最小的未知数消元；
2、当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；
3、某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；
4、当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解。
二元一次方程的应用
数学来源于生活，服务于生活。我们通过设置未知数，用一个二元一次方程来描述现实生活中的问题，把实际问题变成数学问题。这种解题就是数学中的建模思想，可以把困难化为具体，也是我们学习方程的重点。
方程组与一元线性方程组基本相似，只是在解一道应用题时，要从问题中找出两个独立的等式关系，并根据这两个等式关系求解方程组。尤其是七年级，没有学好一元线性方程的同学，需要及时有效的补缺。
1、列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。
所列方程必须满足：
(1) 方程两边表示的是同类量；
(2) 同类量的单位要统一；
(3) 方程两边的数值要相等。
2、二元一次方程组的应用步骤
（1）审题：弄清题意及题目中的数量关系
（2）设未知数：可直接设元，也可间接设元
（3）找等量关系：根据相关公式变量等，找出题目中的等量关系
（4）列方程组：根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组
（5）解方程组：利用消元法等方法解所列的方程组
（6）检验：检验解的正确性，是否满足实际问题
（7）答话：回答题目问题
3常用的基本等量关系1、行程问题：
(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。
其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程。
(2)相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3)航行问题：
①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2、利润问题：
(1)利润＝售价－成本(进价)；
(2)利润＝成本（进价）×利润率；
(3)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；
(4)实际售价＝标价×打折率；
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）
3、储蓄问题：
■(1)基本概念
①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和：本金与利息的和叫做本息和。
④期数：存入银行的时间叫做期数。
⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税：利息的税款叫做利息税。
■(2)基本关系式
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)
③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率
④税后利息＝利息× (1－利息税率)
⑤年利率＝月利率×12
注意：当题目中涉及免税利息时，需要明晰免税利息=利息
4、数字问题：
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等。
有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字
5、其他问题：
（1）工程问题：工作效率×工作时间=工作量
（2）增长率问题：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量
（3）和差倍分问题：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量
（4）几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
（5）年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的
老刘有话说
涉及二元一次方程需要注意以下要点：
(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称
(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
(4)列方程组解应用题应注意的问题：
①弄清各种题型中基本量之间的关系；
②审题时注意从文字，图表中获得有关信息；
③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；
④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；
⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；
⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总 1、二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的指数是都1的整式方程，叫二元一次方程。 2、二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 3、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 5、消元的方法有两种：（1）代入消元法（2）加减消元法 6、教科书中没有的几种解法 (一)加减-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1, y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法 例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5=6, y-4=2 所以x=1, y=6 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（三）另类换元 例3，x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 7、求方程组的解的过程，叫做解方程组。 一般来说，二元一次方程组只有唯一的一个解。 注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。 8、二元一次方程组的解有三种情况： （1）有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解（2）有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 （3）无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。 注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。 ★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题 （特别是行程、工程问题） 二、常用的相等关系 1．行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt ⑴相遇问题⑵追及问题⑶水中航行：; 2．配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂 3．增长率问题： 4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。 5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧 一，基本定义： 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。 二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 二，解的状况： 二元一次方程组的解有三种状况： 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24∕7y=59∕7为方程组的解 2.有多数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程事实上是一个方程（亦称作“方程 有两个相等的实数根”），所以此类方程组有多数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相冲突，所以此类方程组无解。 三，二元一次方程的解法： 1,一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 1,代入消元法2,加减消元法 3,教科书中没有的几种解法 （一）加减•■代入混合运用的方法. 例：i3x+14y=41（1） ^14x+13y=40（2） 解:（2）-⑴得x-y=-1x=y-1（3） 把（3）代入⑴得13（y-1）+14y=41 y=2 把y=2代入⑶得x=1 所以:x=1,y=2 特点:两方程相加减,单个X或单个y,这样就适用接下来的代入消元. （二）换元法 例3：rx:y=1:4 >5x+6y=29 令X=1y=41 则方程2可写为：5t+6×4（=29 29t=29 t=1所以x=1,y=4 四，列方程（组）解应用题 （一）,其详细步骤是： ⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。⑶用含未知数的代数式表示相关的量。⑷找寻相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及
解析二元一次方程知识点及应用 二元一次方程是初中数学学习中的重要内容，上承一元一次方程，下接不等式组。之前的文章内容中我们先后讲述了有关一元一次方程和一元二次方程的内容，那么，我们接着来学习有关二元一次方程的知识点： 复习要求 1、认识二元一次方程（组）； 2、了解二元一次方程（组）的解以及求二元一次方程的正整数解； 3.解决二元线性方程组(组)的实际应用。 二元一次方程的基本内容 1 01二元一次方程 （1）二元一次方程的概念含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0）。 判定二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”； ③含有未知数的项的次数为 1——“一次”。
（2）二元一次方程的解 使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。 2二元一次方程组 （1）二元一次方程组的概念 由几个线性方程组组成的含有两个未知数的方程组称为二元线性方程组。 注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程）。 （2）二元一次方程组的解 二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。 （3）二元一次方程组的解法 ●a.代入消元法 代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。 通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法。 步骤：
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总 把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 代入消元法 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③， x=5-59/7 即x=-24/7
∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。 加减消元法 例：解方程组x+y=9① x-y=5② 解：①+②2x=14 即x=7 把x=7带入① 得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解 像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtracti on)，简称加减法。二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x +y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案 把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 代入消元法 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴ x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。 加减消元法
例：解方程组x+y=9① x-y=5② 解：①+②2x=14 即 x=7 把x=7带入①得 7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解 像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因 为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方 程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组 无解。 注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。 教科书中没有的几种解法 (一)加减-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1, y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入 消元. (二)换元法 例2， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧 一、基本定义： 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。 二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 二、解的情况： 二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。 三、二元一次方程的解法： 1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 1、代入消元法 2、加减消元法 3、教科书中没有的几种解法 (一)加减-代入混合使用的方法. 例：13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1,y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法 例3：x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 则方程2可写为：5t+6×4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 四、列方程（组）解应用题 （一）、其具体步骤是： ⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。⑶用含未知数的代数式表示相关的量。⑷寻找相等关系（有
二元一次方程组（拓展与提优） 1、二元一次方程： 含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数の项の次数都是1，像这样の整式方程叫做二元一次方程， 它の一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠. 例1、若方程（2m-6）x |n|-1+(n+2)y m2-8 =1是关于x y 、の二元一次方程，求m 、n の值. 2、二元一次方程の解：一般地，能够使二元一次方程の左右两边相等の两个未知数の值，叫做二元一次方程の解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数の项の次数都是1，将这样の两个或几个一次方程合起来组成の方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组の解：二元一次方程组中の几个方程の公共解，叫做二元一次方程组の解.【二元一次方程组解 の情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩】 例2、已知 是关于x 、y の二元一次方程组⎩⎨⎧1 ＝y +nx 2＝1)y -(m +2x の解，试求（m+n ）2016の值 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？ 5、二元一次方程组の解法：代入消元法和加减消元法。 例4、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x の代数式表示y . 例5、用适当の方法解二元一次方程组 ． 例6、若方程组162 ax y x by -=⎧⎨+=⎩有无数组解，则a 、b の值分别为（ ） .A a=6,b=-1 .B 2,1a b == .C a=3,b=-2 .D 2,2a b ==- ⎩⎨⎧==1 2y x
二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程 叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一 个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方 程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数又多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式， 即“变” 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即 “代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联” 6、加减消元法解二元一次方程组 （1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫 做加减消元法，简称加减法。 （2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那 么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即 “乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程， 即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数 的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
八年级下数学二元一次方程组知识点 梳理及例题解析 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11 分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 (1)解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= (2)解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方) 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2- 4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的.根。 例3.用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4.用因式分解法解下列方程： (1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0 (3)6x2+5x-50=0(选学)(4)x2-2(+)x+4=0(选学)
《二元一次方程组》知识讲解及例题解析 ◆知识讲解 1．二元一次方程组的有关概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程． 二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集． 二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 2．二元一次方程组的解法 代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法． 3．二元一次方程组的应用 对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤： （1）选定几个未知数； （2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； （3）解方程组，得到方程组的解； （4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解． ◆例题解析 例1 已知 2 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 是方程组 2(1)2 1 x m y nx y +-= ⎧ ⎨ += ⎩ 的解，求（m+n）的值． 【分析】由方程组的解的定义可知 2 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ，同时满足方程组中的两个方程，将 2 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩
八年级下数学二元一次方程组知识点梳理及例题解析 八年级下数学二元一次方程组知识点梳理及例题解析 对于初中学生朋友，学习是一个循序渐进的过程，需要日积月累。下面是店铺帮大家整理的社八年级下数学二元一次方程组知识点梳理及例题解析，仅供参考，大家一起来看看吧。 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如（x—m）2=n（n≥0）的方程，其解为x=±根号下n+m。 例1。解方程（1）（3x+1）2=7（2）9x2—24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式（3x—4）2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：（3x+1）2=7× ∴（3x+1）2=5 ∴3x+1=±（注意不要丢解） ∴x= ∴原方程的解为x1=，x2= （2）解：9x2—24x+16=11 ∴（3x—4）2=11 ∴3x—4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=，x2= 2、配方法： 用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0） 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=—c 将二次项系数化为1：x2+x=— 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+（）2=—+（）2
方程左边成为一个完全平方式：（x+）2= 当b^2—4ac≥0时，x+=± ∴x=（这就是求根公式） 例2。用配方法解方程3x^2—4x—2=0（注：X^2是X的平方）解：将常数项移到方程右边3x^2—4x=2 将二次项系数化为1：x2—x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2—x+（）2=+（）2 配方：（x—）2= 直接开平方得：x—=± ∴x= ∴原方程的解为x1=，x2=。 3、公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2—4ac的值，当b2—4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式x=[—b±（b^2—4ac）^（1/2）]/（2a），（b^2—4ac≥0）就可得到方程的根。 例3。用公式法解方程2x2—8x=—5 解：将方程化为一般形式：2x2—8x+5=0 ∴a=2，b=—8，c=5 b^2—4ac=（—8）2—4×2×5=64—40=24>0 ∴x=[（—b±（b^2—4ac）^（1/2）]/（2a） ∴原方程的解为x1=，x2=。 4、因式分解法： 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4、用因式分解法解下列方程： （1）（x+3）（x—6）=—8（2）2x2+3x=0 （3）6x2+5x—50=0（选学）（4）x2—2（+）x+4=0（选学）
二元一次方程组解法及运用 一、知识点回顾 知识点一：二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。 注：1.①方程中有且只有一个未知数。②方程中含有未知数的项的次 数为1。③方程为整式方程。（三个条件完全满足的就是二元 一次方程） 2. ①含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。 即若ax m+by n=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1,n=1 例1：下列方程中是二元一次方程的是（） A．3x-y2=0 B．2 x + 1 y =1 C． 3 x - 5 2 y=6 D．4xy=3 例2 ：已知关于x,y的二元一次方程（2m-4)x -3 +(n+3)y|n|-2 =6,求m,n的值 知识点二：二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组（不必记） 注：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组中每个方程均为整式方程。 例1．下列方程组中，是二元一次方程是 ( ) A 2 2 8 423119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y += +=-=⎧⎧ = ⎧⎧ ⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩ 知识点三：方程的解的定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值。 方程组的解的定义：方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。 例1已知 1 2 x y = ⎧ ⎨ =- ⎩ 是关于x,y的二元一次方程组 26 35 ax y x by -= ⎧ ⎨ -=- ⎩ 的解，求２a+b的值． 例２已知方程组 44 ax y -= ⎧ ⎨ ⎩ ，(1) 2x+by=14，(2) 由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 m2
二元一次方程应用----知识点归纳总结 重点：列方程解应用题 知识要点梳理： 知识点一：列二元一次方程解应用题的方法和一般步骤列方程解实际应用题的关键是从问题中找出一个相等关系，然后恰当地设出未知数，把相等关系中的各个量用含有数和未知数的代数式表示，这样就可列出方程，这一过程可以简单表述为： 问题方程解答．在设未知数和解答时，应注意量的单位．综上所述，列方程解应用题的方法步骤可概括为： 〔1〕审题，分析题中什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． 〔2〕设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． 〔3〕列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．〔4〕解方程． 〔5〕检验，看方程的解是否符合题意． 〔6〕写出答案． 注意：①设未知数和写答案时，单位要写清楚． ②列方程时，方程两边所表示的量应该一样，并且各项的单位要一致． ③对于求得的方程的解，还要看它是否符合题意． 知识点二：常见的一些等量关系 1. 销售中的盈亏问题： 〔1〕 〔2〕标价＝本钱(或进价)×(1＋利润率)； 〔3〕实际售价＝标价×打折率； 〔4〕利润＝售价－本钱(或进价)＝本钱×利润率； 注意：“商品利润＝售价－本钱〞中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。 2. 积分问题：积分问题多出现在球赛和知识竞赛中，赛事的规那么不同，得分也不一样，一般地，球赛总得分＝胜场得分＋平场得分＋负场得分；知识竞赛得分＝对题得分＋错题得分＋不做题得分。 注意：从比赛的规那么入手正确找出相等关系是列方程的关键。
3．行程问题： 〔1〕路程=速度×时间〔2〕相遇路程=速度和×相遇时间 〔3〕追及路程=速度差×追及时间〔4〕顺流速度=静水速度+水流速度 〔5〕逆流速度=静水速度－水流速度 〔6〕顺水速度－逆水速度＝2×水速。 4．形积变化中的方程 (1)相关公式 ①长方体体积＝长×宽×高。②圆柱体体积＝底面积×高。 ③长方形面积＝长×宽；长方形周长＝2×(长＋宽)。 ④圆的面积＝π×半径2；圆的周长＝直径×π。 (2)“等积变形〞中常见的情况 ①形状发生了变化，而体积没变。②形状、面积发生了变化，而周长没变。 ③形状、体积发生了变化，但根据题意能找出体积之间的关系， 把这个关系作为等量关系。 ④形状、周长发生了变化，但概括题意能找出周长之间的关系，求面积。 (3)形积变化问题 形积变化，即图形的形状改变时，面积也随之发生变化。 注意：在形积变化时，图形的形状和面积都发生了变化，应注意在题目中找出不变的，也就是找出等量关系列出方程。 5．工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．根本关系式：〔1〕总工作量=工作效率×工作时间；〔2〕总工作量=各单位工作量之和． 6．银行存贷款问题： 〔1〕利息=本金×利率×期数〔2〕实得利息=利息-利息税 〔3〕利息税=利息×利息税率〔4〕年利率＝月利率×12 〔5〕本息和〔本利和〕＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) 7．数字问题：各数位上的数字。写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：a，b分别为一个两位数的个位上，十位上的数字，那么这个两位数可以表示为10b+a．8．调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系，注意弄清调配对象流动的方向和数量．9．浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量 浓度=溶质质量=溶液质量×浓度． 知识点三：设计方案的选择问题 选择设计方案的一般步骤： 〔1〕运用二元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． 〔2〕用特殊值试探法选择方案，取小于〔或大于〕一元一次方程解的值，比拟两种方案的优劣性后下结论．
二元一次方程组小结与复习 一、知识梳理 （一）二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。任何一个二元一次方程都有无数个解。 3．方程组和方程组的解 （1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。 （2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。 4．二元一次方程组和二元一次方程组的解 （1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。 （2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。 （二）二元一次方程组的解法： 1．代入消元法 2．加减消元法 二、典例剖析 题型一1．二元一次方程及方程组的概念。 二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成0=++c by ax （a,b,c 为已知数，且a ≠0，b ≠0）的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。 练习1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？ 练习2、若方程的值。 的二元一次方程，求、是关于）（n n m m y x y x m 43195=+-- 练习3、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82 -m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________． 专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。 （一）、代入消元法： 1、直接代入 例1 解方程组② ①y x x y ⎩⎨⎧=--=. 134, 32 跟踪训练：解方程组： （1）90152x y x y +=⎧⎨ =-⎩ （2）⎩⎨ ⎧-==+73825x y y x 2、变形代入 例2 解方程组② ①y x y x ⎩⎨ ⎧=+=-. 1043, 95 跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354, 42y x y x （2）⎩⎨ ⎧=+=+② ①7 7322y x y x (3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨ ⎧=-=+② ① 5 231284y x y x （二）、加减消元法 例题、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩ ⎨⎧=+=+.1034, 1353y x y x 跟踪训练：（1） （2） （3）
二元一次方程组 知识清单 （一）二元一次方程组的概念 1.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 2、把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。（①共有两个未知数；②每个方程都是一次方程。） 3、使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。（特点：①一对数值；②无数个解。） 4、二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。（二）消元——二元一次方程组的解法 1、将未知数的个数有多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。 2、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 3、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：选择其中一个方程，把它变形为用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式； ②代入求解：把变形后的另一个方程带入另一个方程中，消元后求出未知数的值； ③回代求解：把求得的未知数的值代入到变形的方程中，求出另一个未知数的值；
④写解：用 的形式写出方程组的解. 4、两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 5、两方程相加减前，应先使要消去的未知数的系数相反或相等。 6、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形；②加减求解；③回代求解；④写解。 7、何时选用代入消元法？何时选用加减消元法？ ①当一个方程中某个未知数的系数绝对值是1时，用代入法比较简便； ②当两个未知数在两个方程中的系数绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较简便。 （三）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： ①弄清题意，找出两个等量关系； ②设未知数； ③根据等量关系，列出方程组； ④解方程组； ⑤写答。 典例剖析 题型一1．二元一次方程及方程组的概念。 二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成0=++c by ax （a,b,c 为已知数，且a ≠0，b ≠0）的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。 x a y b =⎧⎨=⎩，
七下数学--第八章 二元一次方程组 要点一：二元一次方程组的解法 【知识要点】 1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程。 ①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式；(不是整式的化成整式) ②二元一次方程必须含有两个未知数； ③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数。 2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解任何一个二元一次方程都有无数解。 3．二元一次方程组： ①由两个或两个以上的整式方程组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量； ③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程， 4．二元一次方程组的解： 注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。 5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解 6．二元一次方程组的解法：（1） 代入消元法 （2）加减消元法 三、理解解二元一次方程组的思想 转化 消元一元一次方程 二元一次方程组 四、解二元一次方程组的一般步骤 （一）、代入法一般步骤：变形——代入——求解——回代——写解 （二）、加减法一般步骤：变形——加减——求解——代入——写解 【典型例题】 一、选择题 1、（2009·福州中考）二元一次方程组2,0x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 （ Ｃ ） A ．0,2.x y =⎧⎨=⎩ B ．2,0.x y =⎧⎨=⎩ C ．1,1.x y =⎧⎨=⎩ D ．1, 1.x y =-⎧⎨=-⎩
2、（2009·百色中考）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组7 1ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解， 则a b -的值为（ B ）． A ．1 B ．－1 C ． 2 D ．3 3、(2009·内江中考)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n my x m y x 2的解是⎩ ⎨⎧==12 y x ，则n m -为（ D ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．2 4、(2009·日照中考)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩ ⎨⎧=-=+k y x k y x 9, 5的解也是二元一次方程 632=+y x 的解，则k 的值为 （B. ） （A ）43 - （B ）43 （C ）34 （D ）3 4- 5、（2009·绵阳中考）小明在解关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=⊗-=⊗+1 33, y x y x 时得到了正确结果 ⎩ ⎨⎧=⊕=.1, y x 后来发现“⊗”“ ⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出⊗、⊕ 处的值分别是（ B ） A ．⊗ = 1，⊕ = 1 B ．⊗ = 2，⊕ = 1 C ．⊗ = 1，⊕ = 2 D ．⊗ = 2，⊕ = 2 6、（2009·青海中考）已知代数式133m x y --与52 n m n x y +是同类项，那么m n 、的值分别是（C ） A ．21m n =⎧⎨=-⎩ B ．2 1m n =-⎧⎨=-⎩ C ．21m n =⎧⎨=⎩ D ．2 1m n =-⎧⎨=⎩ 7、（2007·丽水中考）方程组5 210x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，由②-①，得正确的方程是（ B ） （A ）310x = （B ） 5x = （C ）35x =- （D ）5x =- 8、若5x -6y =0，且xy ≠0，则y x y x 3545--的值等于（ ） （A ）3 2 （B ）2 3 （C ）1 （D ）-1 二、填空题 9、（2009·定西中考）方程组25211x y x y -=-⎧⎨+=⎩ ， 的解是 ．34x y =⎧⎨=⎩， 10、（2008·临沂中考）已知x 、y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+, 42, 52y x y x 则x －y 的值为___1_____．