一．随机抽样
1．随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：
⑴简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样． 抽出办法：①抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法．
②随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表．表中每一位置出现各个数字的可能性相同． 随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法．
简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法．
⑵系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．
抽出办法：从元素个数为N 的总体中抽取容量为n 的样本，如果总体容量能被样本容量整
除，设N
k n
=，先对总体进行编号，号码从1到N ，再从数字1到k 中随机抽取一个数s 作
为起始数，然后顺次抽取第2(1)s k s k s n k +++-L ，，，个数，这样就得到容量为n 的样本．如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样．
系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样．
⑶分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．
分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛．
2．简单随机抽样必须具备下列特点：
⑴简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N 是有限的． ⑵简单随机样本数n 小于等于样本总体的个数N ． ⑶简单随机样本是从总体中逐个抽取的． ⑷简单随机抽样是一种不放回的抽样．
⑸简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n
N
．
3．系统抽样时，当总体个数N 恰好是样本容量n 的整数倍时，取N
k n
=；
若N
n
不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量n 整除．因为每个个体被剔除的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍
知识内容
板块三.茎叶图
然相等，为N n
．
二．频率直方图
列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：
①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；
②决定组距与组数：取组距，用极差
组距
决定组数；
③决定分点：决定起点，进行分组；
④列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．
⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率
组距
的值为纵坐标绘制直方图，
知小长方形的面积＝组距×频率
组距
＝频率．
频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．
总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线()y f x =来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．
三．茎叶图
制作茎叶图的步骤：
①将数据分为“茎”、“叶”两部分；
②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线； ③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出．
四．统计数据的数字特征
用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差． 数据的离散程序可以用极差、方差或标准差来描述．
极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； 样本方差描述了一组数据平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根． 一般地，设样本的元素为12n x x x L ，，，样本的平均数为x ， 定义样本方差为2222
12()()()n x x x x x x s n
-+-++-=L ，
样本标准差222
12()()()n x x x x x x s n
-+-++-=L 简化公式：2222
2121[()]n s x x x nx n
=+++-L ．
五．独立性检验
1．两个变量之间的关系；
常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系． 2．散点图：将样本中的n 个数据点()(12)i i x y i n =L ，，，，描在平面直角坐标系中，就得到了散点图．
散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个
变量的关系．
3．如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时，散点图中的点在从左下角到右上角的区域．
反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．此时，散点图中的点在从左上角到右下角的区域．
散点图可以判断两个变量之间有没有相关关系．
4．统计假设：如果事件A 与B 独立，这时应该有()()()P AB P A P B =，用字母0H 表示此式，即0:()()()H P AB P A P B =，称之为统计假设． 5．2χ（读作“卡方”）统计量：
统计学中有一个非常有用的统计量，它的表达式为2
2
112212211212
()n n n n n n n n n χ++++-=，用它的大小可以
用来决定是否拒绝原来的统计假设0H ．如果2χ的值较大，就拒绝0H ，即认为A 与B 是有关的．
2χ统计量的两个临界值：3.841、6.635；当2 3.841χ>时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当2 6.635χ>时，有99%的把握说事件A 与B 有关；当2 3.841χ≤时，认为事件A 与B 是无关的．
独立性检验的基本思想与反证法类似，由结论不成立时推出有利于结论成立的小概率事件发生，而小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以认为结论在很大程度上是成立的． 1．独立性检验的步骤：统计假设：0H ；列出22⨯联表；计算2χ统计量；查对临界值表，作出判断．
2．几个临界值：222()0.10( 3.841)0.05( 6.635)0.01P P P χχχ≈≈≈≥2.706，
≥，≥．
22⨯联表的独立性检验：
如果对于某个群体有两种状态，对于每种状态又有两个情况，这样排成一张22⨯的表，如下：
状态B 状态B 合计 状态A 11n 12n 1n + 状态A
21n 22n 2n +
1n +
2n +
n
如果有调查得来的四个数据11122122n 4个数据来检验上述的两种状态A 与B 是否有关，就称之为22⨯联表的独立性检验．
六．回归分析
1．回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性． 回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．最小二乘法：
记回归直线方程为：ˆy a bx =+，称为变量Y 对变量x 的回归直线方程，其中a b ，叫做回归
系数．
ˆy
是为了区分Y 的实际值y ，当x 取值i x 时，变量Y 的相应观察值为i y ，而直线上对应于i x 的纵坐标是ˆi i y
a bx =+． 设x Y ，的一组观察值为()i i x y ，，12i n =L ，，，，且回归直线方程为ˆy
a bx =+，
当x 取值i x 时，Y 的相应观察值为i y ，差ˆ(12)i i y y i n -=L ，，，刻画了实际观察值i y 与回归
直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差．
我们希望这n 个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点．
记21
()n
i i i Q y a bx ==--∑，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那条．
这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法．
用最小二乘法求回归系数a b ，有如下的公式：
1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y
nxy b
x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-，其中a b ，上方加“^”，表示是由观察值按最小二乘法求得的
回归系数．
3．线性回归模型：将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数；y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差；将y a bx ε=++称为线性回归模型． 产生随机误差的主要原因有：
①所用的确定性函数不恰当即模型近似引起的误差； ②忽略了某些因素的影响，通常这些影响都比较小； ③由于测量工具等原因，存在观测误差． 4．线性回归系数的最佳估计值：
利用最小二乘法可以得到ˆˆa
b ，的计算公式为 1
1
2
22
1
1
()()
()()n
n
i
i i
i
i i n
n
i
i
i i x
x y y x y
nxy
b
x
x x
n x ====---==
--∑∑∑∑$，ˆˆa y bx =-，其中11n i i x x n ==∑，1
1n
i
i y y n ==∑ 由此得到的直线ˆˆy
a bx =+$就称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中ˆa ，
b $分别为a ，b 的估计值，ˆa
称为回归截距，b $称为回归系数，ˆy 称为回归值． 5．相关系数： 22
22221
1
1
1
()()
()()(())(())
n
n
i
i i i
n
n
n n
i
i i i i i i i x
x y y x y
nx y
r x
x y y x n x y n y ====---=
=
-⋅---∑∑∑∑∑∑
6．相关系数r 的性质：
⑴||1r ≤；
⑵||r 越接近于1，x y ，的线性相关程度越强； ⑶||r 越接近于0，x y ，的线性相关程度越弱．
可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关． 7．转化思想：
根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数． 8．一些备案 ①回归（regression ）一词的来历：“回归”这个词英国统计学家Francils Galton 提出来的．1889年，他在研究祖先与后代的身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高．Galton 把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”．后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析．
②回归系数的推导过程：
22222[()]222i i i i i i i i Q y a bx y a y na b x y ab x b x =--=-+-++∑∑∑∑∑∑ 22222()2i i i i i i na a b x y b x b x y y =+-+-+∑∑∑∑∑，
把上式看成a 的二次函数，2a 的系数0n >，
因此当2()2i i i i
b x y y b x a n n --=-=
∑∑∑∑时取最小值． 同理，把Q 的展开式按b 的降幂排列，看成b 的二次函数，当2i i
i
i
x y a x
b x
-=
∑∑∑时取最小值．
解得：1
2
22
1
()()()
n
i i
i
i i n
i
i
i x y
nxy
x x y y b x x x
nx
==---=
=--∑∑∑∑，a y bx =-， 其中1i y y n =
∑，1
i x x n
=∑是样本平均数． 9． 对相关系数r 进行相关性检验的步骤： ①提出统计假设0H ：变量x y ，不具有线性相关关系；
②如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05-=与2n -（n 是样本容量）在相关性检验的临界值表中查出一个r 的临界值0.05r （其中10.950.05-=称为检验水平）； ③计算样本相关系数r ；
④作出统计推断：若0.05||r r >，则否定0H ，表明有95%的把握认为变量y 与x 之间具有线性相关关系；若0.05||r r ≤，则没有理由拒绝0H ，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量y 与x 之间具有线性相关关系． 说明：
⑴对相关系数r 进行显著性检验，一般取检验水平0.05α=，即可靠程度为95%．
⑵这里的r 指的是线性相关系数，r 的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系．
⑶这里的r 是对抽样数据而言的．有时即使||1r =，两者也不一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释．
题型一 茎叶图
【例1】 （2010丰台二模）
甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示
7
乙甲639
2
6886877
设12,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）
A ．12x x =，12s s <
B ．12x x =，12s s >
C ．12x x >，12s s >
D ．12x x =，12s s =
典例分析
【例2】 （2010宣武二模）
随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身
高数据的茎叶图如图 ，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是 （ ）
A ． 甲班同学身高的方差较大
B ． 甲班同学身高的平均值较大
C ． 甲班同学身高的中位数较大
D ． 甲班同学身高在175以上的人数较多
【例3】 （2010天津高考）
甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 ．
4
女甲
90
3
2221111
1
00
9
875
4321
【例4】 右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
57
1
267847945368553乙甲4
321
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ） A ．62 B ．63 C ．64 D ．65
【例5】 在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如右．下列说法正确的是
234021089
1乙
甲3
210
A ．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定
B ．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定
C ．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定
D ．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定
【例6】 （2009年福建12）
某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位
评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示，记
分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平
均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎
叶图中的x ）无法看清．若记分员计算无误，则数字x 应该是 ．
【例7】 （2010东城一模）
在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下．
⑴计算样本的平均成绩及方差； ⑵在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．
435468
736
789
【例8】 某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：
甲：512554528549536556534541522538
作品A
8 9 8 9 9
2 3 x 2 1 4
乙：515558521543532559536548527531 ⑴用茎叶图表示两学生的成绩；
⑵分别求两学生成绩的中位数和平均分．
【例9】 某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：
10283117232718152624201936271425152211242717，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
某报纸的一篇文章中，每个句子所含的字数如下： 27393324281932413327351236412713222318463222，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
⑴将两组数据用茎叶图表示； ⑵比较分析，能得到什么结论？
【例10】 （2009广东18）
随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图．
乙班
甲班
9
8
8
65
39
20198
8
93
18
20215
161718
⑴根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； ⑵计算甲班的样本方差．
⑶现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率．
题型一：函数的图象 【例1】 当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax 的图象只可能是( ) 【例2】 （1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =（ b a ）x 的图象只可能是（ ） 【例3】 （06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围 成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是（ ） 典例分析 板块四.函数的图象与数字特 征
【例4】定义域和值域均为[],a a -（常数0 a>）的函数() y f x =和() y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程()0 f g x= ?? ??有且仅有三个解； （2）方程()0 g f x= ?? ??有且仅有三个解； （3）方程()0 f f x= ?? ??有且仅有九个解； （4）方程()0 g g x= ?? ??有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是。 【例5】某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图 形是( ) A B C D
【例6】 （06江西 12）某地一年内的气温()Q t (单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如 图所示，已知该年的平均气温为10℃，令()C t 表示时间段[]0,t 的平均气温，()C t 与t 之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（ ） 【例7】 （2002上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定 的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ） A ．气温最高时，用电量最多 B ．气温最低时，用电量最少 C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
题型一：算法的含义 【例1】 下面对算法描述正确的一项是（ ） A ．算法只能用自然语言来描述 B ．算法只能用图形方式来表示 C ．同一问题可以有不同的算法 D ．同一问题的算法不同，结果必然不同 【例2】 关于算法的说法中，正确的是（ ） A ．算法就是某个问题的解题过程 B ．算法执行后可以产生不确定的结果 C ．解决某类问题的算法不是唯一的 D ．算法可以无限地操作下去不停止 【例3】 下面四种叙述能称为算法的是（ ） A ．在家里一般是妈妈做饭 B ．做米饭要需要刷锅．添水．加热这些步骤 C ．在野外做饭叫野炊 D ．做饭必需要有米 【例4】 下面的结论正确的是（ ） A ．一个程序算法步骤是可逆的 B ．一个算法可以无止境的运算下去 C ．完成一件事的算法有且只有一种 D ．设计算法要本着简单方便的原则 【例5】 算法的有穷性是指（ ） A ．算法最后包含输出 B ．算法的每个操作步骤都是可执行的 C ．算法的步骤必须有限 D ．以上都不正确 【例6】 指出下列哪一个不是算法 （ ） A ．解方程260x -=的过程是移项和系数化为1 B ．从济南到温哥华需要先乘火车到北京，再从北京乘飞机到温哥华 C ．解方程2210x x +-= D ．利用公式2πS r =，计算半径为3的圆的面积为2π3? 【例7】 看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（ ） A ．从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达 B ．解一元一次方程的步骤是去分母．去括号．移项．合并同类项．系数化为1 C ．方程210x -=有两个实根 D ．求12345++++的值，先计算123+=，再由于336+=，6410+=，10515+=，最终结 典例分析 板块一.算法的含义与描述
【教师备案】在初中的时候，我们就学过解直角三角形，解直角三角形是怎么回事呢？在直角三角形 知识切片 满分晋级 第1讲 我会解三角形 你会么？ 三角函数3级 三角函数的图象性质及简单应用 三角函数4级 我会解三角形你 会么 三角函数5级 三角函数公式 强化
中，除了告诉我们直角外，还有5个要素，我们发现，如果解这个三角形，把要素都求 出来，必须要知道至少2个要素，当然不能为2个角，换言之，解直角三角形就是知二 求三的过程.当然，在我们学习了任意角的三角函数之后，我们的视野不能这么小，如果 给我们一个一般的三角形，那我们应该如何解这个三角形呢？我们应该至少要知道几个 量？我们先来回顾一下初中边和角相关的东西，我们在初中学过尺规作图，而且学过三 角形全等的证明（SSS SAS ASA AAS ，，，），只要给出上述条件我们就能把三角形确定，也就是全等. 那么，为什么我们知道2条边1个夹角就能求出其他要素呢？而知道两条边 和一边的对角就无法证明三角形全等呢？三角形的边和角之间存在什么关系呢？尺规作 图毕竟是定性的感受，在高中阶段，我们可以给出一个严格的证明，就是今天我们要讲 的正余弦定理.正余弦定理的本质就是构造边与角之间的关系，由角就可以求出边，由边 就可以求出角.下面我们就先来介绍正弦定理. 在ABC △中的三个内角A，B，C的对边分别用a b c ，，表示： 1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即 sin sin sin a b c A B C ==． 【教师备案】 2 sin sin sin a b c R A B C ===，其中R为ABC △的外接圆的半径．建议老师用三角形的外接圆给学生证明，因为板块1.4中讲三角形面积的时候还会用到三角形的外接圆，所以 不如这时给学生讲了. 利用三角形中的线段关系证明正弦定理： ①在R t ABC △中（如图），有sin sin a b A B c c == ，， 因此 sin sin a b c A B ==，又因为sin1 C=，所以 sin sin sin a b c A B C == ②在锐角ABC △中（如图），作CD AB ⊥于点D，有sin CD A b =， 即sin CD b A =；sin CD B a =，即sin CD a B =，因此 sin sin b A a B =，即 sin sin a b A B =，同理可证 sin sin a c A C =，因 此 sin sin sin a b c A B C == 1.1正弦定理与其在解三角形中的应用 知识点睛 c b a D C B A C B A c b a
学而思高中完整讲义：统计.板块三.茎叶图.学生版 一．随机抽样 1．随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法： ⑴简单随机抽样：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样． 抽出办法：①抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法． ②随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表．表中每一位置出现各个数字的可能性相同． 随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法． 简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法． ⑵系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法． 抽出办法：从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本，如果总体容量能被样本容量整 除，设 N k n =，先对总体进行编号，号码从1到N，再从数字1到k中随机抽取一个数s作 为起始数，然后顺次抽取第2(1) s k s k s n k +++- ，，，个数，这样就得到容量为n的样本．如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样． 系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样． ⑶分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样． 分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛． 2．简单随机抽样必须具备下列特点： ⑴简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的． ⑵简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N． ⑶简单随机样本是从总体中逐个抽取的． ⑷简单随机抽样是一种不放回的抽样． ⑸简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n N ． 3．系统抽样时，当总体个数N恰好是样本容量n的整数倍时，取 N k n =； 若N n 不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容 量n整除．因为每个个体被剔除的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍 然相等，为N n ． 二．频率直方图 列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤： ①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； 知识内容
1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数 ()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示， 即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式 定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这 知识内容 求展开式中的指定项
板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1 3 ，则三角形面积与原来的一 样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶ 6个面积相等的三角形． 例题精讲 三角形等高模型与鸟头模型
本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼． 本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力． 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割． 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考． 如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多． 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形． 如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的． 例题精讲 图形的分割与拼接
如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法． 板块一图形的分割 【例1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？ A O 【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条． 【例2】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【例3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形． 【例4】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．
学而思高中生物 摘要： 一、学而思高中生物简介 1.学而思教育集团背景 2.高中生物课程设计理念 3.高中生物课程体系概述 二、高中生物课程特点 1.注重学生实践能力培养 2.紧密结合高考大纲要求 3.丰富的教学资源和方法 三、学而思高中生物教学优势 1.优秀的教师团队 2.灵活多样的教学模式 3.显著的教学成果 四、学而思高中生物课程体系 1.高中生物必修课程 2.高中生物选修课程 3.高中生物竞赛课程 五、学而思高中生物助力学生发展 1.提升学生生物学科素养 2.培养学生创新思维能力
3.为学生未来发展奠基 正文： 学而思高中生物是学而思教育集团旗下的一个重要学科分支，致力于为高中生提供优质的生物学科教育。学而思高中生物课程紧密结合高考大纲要求，注重学生实践能力培养，丰富教学资源和教学方法，助力学生发展。 学而思高中生物课程的设计理念是以学生为中心，充分尊重和发挥学生的个性，关注学生的全面发展。课程采用灵活多样的教学模式，包括线上教学、线下辅导、小组讨论等，旨在激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率。 学而思高中生物拥有一支优秀的教师团队，他们具有丰富的教学经验，熟悉高考大纲要求，擅长引导学生探究学习。此外，学而思高中生物还为学生提供丰富的教学资源和方法，包括精选教材、在线题库、实验视频等，帮助学生全面提升生物学科素养。 学而思高中生物课程体系包括必修课程、选修课程和竞赛课程。必修课程按照高考大纲要求设置，涵盖高中生物所有核心知识点；选修课程则根据学生的兴趣和发展需求进行设计，为学生提供更多学习选择；竞赛课程旨在培养学生的创新思维能力，帮助他们在各类生物竞赛中取得优异成绩。 多年来，学而思高中生物凭借其卓越的教学质量和显著的教学成果，赢得了广大学生和家长的信任和好评。
循环小数的计算 教课目的 循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，波及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 知识点拨 1. 1 的“奥密” 7 1 0.142857 ， 2 0.285714 ， 3 0.428571 , , 6 0.857142 7 7 7 7 2. 推导以下算式 ⑴ 0.1 1 ； 0.12 12 4 ； 0.123 123 41 ； 0.1234 1234 ； 9 99 33 999 333 9999 ⑵ 0.12 12 1 11 123 12 37 1234 123 1111 90 ； 0.123 ； 0.1234 9000 ； 90 900 300 9000 ⑶ 0.1234 1234 12 611 ； 0.1234 1234 1 137 9900 4950 9990 1110 以 0.1234 为例，推导 0.1234 1234 12 611 ． 9900 4950 设 0.1234 A ，将等式两边都乘以 100，得： 100 A 12.34 ； 再将原等式两边都乘以 10000，得： 10000 A 1234.34 ， 两式相减得： 10000 A 100 A 1234 12 ，因此 A 1234 12 611 ． 9900 4950 3. 循环小数化分数结论 纯循环小数 混循环小数 循环小数去掉小数点后的数字所构成的数 分子 循环节中的数字所构成的数 与 不循环部分数字所构成的数的差 n 个 9，此中 n 等于循环节所 按循环位数添 9，不循环位数添 0，构成分 分母 母，此中 9在 0 的左边 含的数字个数 · a · · ab ·· ab 1 ab ·· abc a 0.a ； 0.ab ； 0.0ab 10 ； 0.abc ， 9 99 99 990 990 例题精讲 1
题型二：导数与不等式综合 不等式的证明： 【例1】 当0x ≠时，有不等式（ ） A ．e 1x x <+ B ．当0x >时，e 1x x <+；当0x <时，e 1x x >+ C ．e 1x x >+ D ．当0x <时，e 1x x <+；当0x >时，e 1x x >+ 【例2】 设0a b <<，且11()x f x ++ ） A ．()()2a b f a f f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B ．()()2a b f f b f ab +⎛⎫ << ⎪⎝⎭ C ． ()()2a b f ab f f a +⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D ．()()2a b f b f f ab +⎛⎫ << ⎪⎝⎭ 【例3】 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+． ⑴若2()1x xf x ax '++≤，求a 的取值范围； ⑵证明：0(1)()x f x -≥． 【例4】 已知函数32()f x mx nx =+（m 、n ∈R ，0m ≠），函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线 与x 轴平行． ⑴ 用关于m 的代数式表示n ； ⑵ 求函数()f x 的单调递增区间； ⑶ 若12x >，记函数()y f x =的图象在点1(())M x f x ，的切线为l ，设l 与x 轴的交点为2(0)x ，，证明：2x ≥3． 【例5】 设函数()2f x x a =-． ⑴ 求函数()()g x xf x =在区间[]0,1上的最小值； ⑵ 当0a >时，记曲线()y f x =在点()()11,P x f x (1x a >处的切线为l ，l 与x 轴交于点()2,0A x ，求证：12x x a >> 【例6】 已知函数(1) ()ln 1 a x f x x x -=- +． ⑴若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； ⑵设,m n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2 m n m n m n -+< -． 【例7】 已知函数2()ln f x x x ax =+-． ⑴若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； ⑵设11n a n =+（*n ∈N ），求证：222 1212 3()ln(1)2n n a a a a a a n n +++----<++L L ．
1．函数定积分： 设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +∆=-=-L ，，，，，． 记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1 0()n n i i i I f x ξ-==∆∑． y=f (x ) O y x b a n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b a f x dx ⎰，即10 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==∆∑⎰． 其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积． 2．曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形． 根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，上的定积分，即()b a S f x dx =⎰． 求曲边梯形面积的四个步骤： 第一步：分割．在区间[]a b ， 中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =L ， ，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -∆=-， 第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯 形面积的近似值． 第三步：求和． 第四步：取极限． 3．求积分与求导数互为逆运算． ()()()b a F x dx F b F a '=-⎰ ，即()F x '从a 到b 的积分等于()F x 在两端点的取值之差． 4．微积分基本定理 如果()()F x f x '=，且()f x 在[,]a b 上可积，则()()()b a f x dx F b F a =-⎰，其中()F x 叫做()f x 的一个 原函数． 由于[()]()F x c f x '+=，()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数． 知识内容 板块五.微积分 与定积分的应用
题型一：数学归纳法基础 【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111 1111 12()234 124 2n n n n -+-+ + =+++-++时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立 C ．22+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立 【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命 题为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当 1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 【例4】利用数学归纳法证明 “*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 3 2++k k 【例5】用数学归纳法证明),1(1112 2 *+∈≠--=++++N n a a a a a a n n ，在验证n=1时，典例分析 板块三.数学归纳法
1n a +，证明：当题型三：证明恒等式与不等式
版块一：古典概型 1．古典概型： 如果一个试验有以下两个特征： ⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义： 随机事件A 的概率定义为()P A = A 事件包含的基本事件数 试验的基本事件总数 ． 版块二：几何概型 几何概型 事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 几何概型中，事件A 的概率定义为()A P A μμΩ =，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量． 题型一 基础题型 【例1】 在第136816，，，，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽 车），有一位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可 能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____ 【例2】 （2010崇文一模） 从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为 _______． 【例3】 （2010上海卷高考） 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B =U （结果用最简分数表示）． 知识内容 典例分析 板块一.古典概型
【例4】 （2010湖北高考） 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A ．512 B ．12 C ．712 D ．34 【例5】 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ） A ．1 2 B ．1 3 C ．1 4 D ． 16 【例6】 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班 的概率是（ ） A ．16 B ． 14 C ．13 D ．12 【例7】 今后三天每一天下雨的概率都为50%，这三天恰有两天下雨的概率为多少？ 【例8】 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案， 该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【例9】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123,,A A A 通晓日语，123,,B B B 通晓俄语， 12,C C 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个 小组． ⑴求1A 被选中的概率； ⑵求1B 和1C 全被选中的概率．
题型三：函数的极值 【例1】 设函数32()1f x x ax bx =++-，若当1x =时，有极值为1，则函数32()g x x ax bx =++的单调递减区间为 ． 【例2】 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【例3】 设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ， 有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．e a 1-< 【例4】 函数2()(1)f x x x =-的极大值与极小值分别是___________． 【例5】 函数31()443 f x x x =-+的极大值是 ；极小值是 ． 【例6】 函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43 -，则a = ；b = ． 【例7】 曲线3223y x x =-共有____个极值． 【例8】 求函数43()4f x x x =-的单调区间与极值点． 【例9】 函数31()43 f x x ax =++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 ． 【例10】 函数3()3(0)f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2，则()f x 的单调递减区间是 ． 【例11】 若函数[]32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是______． 典例分析 板块三.导数的应用
【例12】 若函数322y x x mx =-+，当13 x =时，函数取得极大值，则m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．23 【例13】 若函数3()63f x x bx b =-+在(01)，内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(01)， B ．(1)-∞， C ．(0)+∞， D ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【例14】 有下列命题： ①0x =是函数3y x =的极值点； ②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ． 【例15】 已知函数32()f x x px qx =++的图象与x 轴切于非原点的一点，且()4f x =-极小，那么 p = ，q = ． 【例16】 求函数3()3f x x x =-的单调区间与极值． 【例17】 求函数32()32f x x x =-+的单调区间与极值． 【例18】 求函数42()23f x x x =-+的单调区间与极值． 【例19】 用导数法求函数()(0)b f x x b x =+>的单调区间与极值． 【例20】 已知函数32()393f x x x x =-++-， ⑴求()f x 的单调递减区间与极小值； ⑵求()f x 过点(18)，的切线方程． 【例21】 求函数22 ()(0100)1a b f x x a b x x =+<<>>-，，的单调区间与极小值． 【例22】 已知函数2221()()1 ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． ⑴当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； ⑵当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．
1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类 计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合． 组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)! C !!()! m n n n n n m n m m n m ---+= =-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 知识内容 排列组合问题的常用方法总 结1
1．利用导数判断函数的单调性的方法： 如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数． 2．利用导数研究函数的极值： 已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点． 如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点． 极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 3．求函数()y f x =的极值的方法： 第1步 求导数()f x '； 第2步 求方程()0f x '=的所有实数根； 第3步 考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变 负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值． 4．函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． 求函数最大（小）值的方法： 第1步 求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点； 第2步 计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值， 最小的为最小值． 题型一：原函数与导函数的图象 【例1】 函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上（ ） O y x B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点 【例2】 函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在 知识内容 典例分析 板块三.导数的应用