8.3.2 考虑交互作用的三水平正交试验的方差分析（因学时有限和正交表太大L27(313)，不讲解！只讲解二水平情况，因为二水平会，三水平自然也会！）
例8-4 运动发酵单细胞菌是一种酒精生产菌。为了确定其发酵培养基的最佳配方，进行了四因素三水平正交试验，试验指标为酒精浓度（g/ml）。表8-12给出了因素水平表，要求考察交互作用A×B、A×C和A×D。查附表7可得，本试验应选用L27(313)正交表，表头设计应按照“L27(313)二列间的交互作用表”进行。本例只考虑一级交互作用（p=1），所以每个三水平交互作用应占(m-1)P=(3-1)1=2列，即A ×B、A×C，和A×D在L27(313)正交表中各占二列。
表8-12 因素水平表
表头设计时应避免混杂，试验方案及试验结果见表8-13。
由交互作用表可知，将因素A、B安排在第1、2列之后，第3、4列为A×B交互作用列；再将C安排在第5列后，A×C交互作用在第6、7列；最后将D安排在第9列，则A×D交互作用类落在第8、10列（当然也可将D安排在第8列，则第9、10列为A×D交互作用列）。
表8-13 试验方案及结果分析 L27(313)
一、计算（计算过程省略）
1.计算各列各水平的K ij 值(K 1j ,K 2j ,K 3j )和K 2
ij (K 21j ,K 22j
,K 23j ) 各列各水平对应的试验数据之和K 1j ,K 2j ,K 3j ,及其平方和K 21j , K 22j ,
K 23j ,列于表8-13中,例如
K 1A =
∑=9
1
i i
X
=0.20+0.50*2+1.50+1.10+1.20*2+1.60*2=9.40=K 11 ，
K 2
11= 88.36
K 2A =∑=9
1i i X =0.40+0.50+……+6.15=33.05= K 21 ， K 221=1092.30
K 3A =∑=9
1
i i X =0.40+0.30+……+2.80=25.80= K 31 ， K 231 =665.64
表示A ×B 的有两列,即第3,4列,计算后可知 K 13 =32.75, K 23 =17.90; K 33 =17.60 K 14 =26.40; K 24 =24.55, K 34 =17.30
2.计算各列的偏差平方和(S j )及其自由度(f j ) 由式(8-4),可知:
S j =CT Q n
T K r j m i ij -=-∑=2
2
11 r=n/m=27/3=9;
CT=T 2/n=1/27×68.252=172.52
所以 S j =9
1
52.17291312=-∑=i ij K ( K 1j 2+K 2j 2+K 3j 2)-172.53
S A =S 1=9
1(K 112 +K 212+K 312)-172.52 =9
1(88.36+1092.30+665.64)-172.52 =32.62
S B =S 2=……=67.90, S 3=……=16.67 , S 4=……=5.14 所以S A ×B =S 3+S 4=21.81
S c =S 5=……=2.48, S 6=……=3.04, S 7=……=3.60 所以S A ×C =S 6+S 7=6.64
S 8=……=5.13 ; S 10=……=1.21 所以S A ×D =S 8+S 10=6.34 S D =S 9=……=7.43
S 11=……=2.33,S 12=……=0.35,S 13=……=0.55 所以S e =S 11+S 12+S 13=3.23
因为第j 列的自由度为 f j =m-1=3-1=2,(j=1,2,……13)，所以 f A = f B = f C =f D =2
f A ×B = f 3 +f 4=2+2=4, f A ×C = f 6 +f 7 =2+2=4 f A ×D = f 8 +f 10 =2+2=4, f e = f 11 +f 12 +f 13 =2×3=6 验算:
① S T 的验算
Q T =∑=n
i i x 12=0.2²+0.5²+…+2.8²=320.98
S T =Q T －CT=320.98-172.52=148.46
另外S T =∑=k
j j S 1
=32.62+67.90+…+0.55=148.45
② f T 的验算 f T =n-1=27-1=26
另外 f T =13f i =13×(m-1)=13×(3-1)=26 ∴计算过程无误.
3.计算方差 V j =j
j f S
V A =S A /f A =32.62/2=16.31 同理可得
V B =33.95,V C =1.24,V D =3.72 V A ×B =5.45,V A ×C =1.66,V A ×D =1.59 Ve=0.538 ∵e
j
V V 均大于2,且f e =6＞1, ∴无需校正Ve!
二、显著性检验 （计算过程省略） 1. 计算 F j
F A = V A /Ve=16.31/0.538=30.32, ∵F j =V j /Ve,
∴同理可得, F B =63.10, F A ×B =10.13, F C =2.30, F A ×C =3.09 2.查 F ɑ
F ɑ(f 因,fe)=f ɑ(2,6),F ɑ(f 交,fe)=F ɑ(4,6)
当ɑ=0.05时,查得 F 0.05(2,6)=5.14, F 0.05(4,6)=4.53; 当ɑ=0.01时,查得 F 0.01(2,6)=10.92, F 0.01(4,6)=9.15. 3.显著性检验
∵F A=30.32和F B=63.10均大于F0.01(2,6)=5.14,
∴因素A和B均高度显著(用**表示);
又∵F A×B=10.13＞F0.01(4,6)=9.15,
∴交互作用A×B也高度显著（用**表示）；
又∵F D=6.91,∵介于F0.05(2,6)和F0.01(2,6)之间,
∴因素D显著(用*表示);
又∵F C=2.30＜F0.05(2,6)=5.14,以及F A×C=3.09和F A×D=2.96均小于F0.05(4,6)=4.53,
∴因素C及交互作用A×C和A×D均不显著.
根据F值大小,可知各因素及交互作用对试验指标影响的主次顺序为:
B,A,A×B,D,A×C,A×D,C.
4.列方差分析表
表8-14 方差分析表
三、最优工艺条件确定
因素A、B及交互作用A×B都高度显著，但因在主次顺序中，A ×B排在A、B之后，因此应优先考虑A、B的优水平。A和B的优水平确定了，其搭配也就随之确定，不必再通过A、B的二元表确定A 与B搭配。通过比较试验指标和K值大小，可知A和B的优水平，分别为A2和B3。
因素D 作用显著，但D 与A 的交互作用A ×D 不显著,故可不考虑交互作用,通过比较K 值可知D 的优水平为D 3。
因素C 作用不显著，可以降低成本和操作方便等方面来考虑选取最适水平。对本例通过比较K 值确定C 的优水平为C 2。因此，最优水平组合为A 2B 3C 2D 3，即最优工艺条件为葡萄糖浓度15%，酵母膏浓度1.0%、培养温度30℃和培养基pH 值7.0。
最后，最好能在最佳条件A 2B 3C 2D 3下，再实施一次试验，测定试验指标值（即酒精浓度），在L 27（313）正交表中，没有A 2B 3C 2D 3这一组试验。在正常情况下，A 2B 3C 2D 3组合条件下的试验指标值，应大于表8—13中的最大x i 值，即第17号试验的x 17=7.70。
8.4 混合型正交表的方差分析
混合型正交表的方差分析与等水平正交表的方差分析无本质的
区别，只是用公式时，要注意各列水平数的差别。 例8-5 试对例7-2试验数据进行方差分析。
课本中为简化计算，对表7-5（p144）的试验数据x i 作了线性变换，实际上没有必要。在不对x i 作变换的情况，请同学们自己再做一次方差分析，作为课外作业去完成。且求S j 时，对二水平因素用通式和简化式分别计算！ 总的偏差平方和
S T =2
1)(∑=-n
i i x x =∑=n
i i x 1
2-CT
f T =n-1
因素的偏差平方和S j 分两种类型进行计算： 1、对于四水平因素
S j =
r
1
CT K
m
i ij
-∑=21
(对二水平因素,也可用这一通式计算，建议全部用通式计算，以免产生混乱！)
m=4,r=n/m=8/4=2 f j =m-1
2、对于二水平因素，简化计算公式为： S j =n
1
(K 1j -K 2j )2 ， n=8 f j =m-1， m=2
(方差分析和显著性检验，见书上p181) 讨论：
（1） 方差分析法与极差分析法得出的各因素主次顺序相同，都是A 、
C 、B;
（2） 由方差分析可知，因素A 显著，因素C 不显著，而因素B 对试
验结果无影响(即将S B 并入S e 中,及=∆e S S e +S B ，=∆e f f e +f B )； （3） 主要因素A 的优水平A 3；不显著因素C ，可根据具体情况确定
其水平，为缩短加工时间，可选C 1水平，但从指标值看，还的选C 2为好；对试验结果无影响的因素B ，选B 1或B 2均可，从试验的指标可知，A 3B 1C 2为最佳工艺条件，（即5号试验）。因此，此时指标值最大。（251cm 3/100g ） （极差分析结果：A 3B 1C 2或A 3B 2C 2
方差分析结果：A3B1C2或A3B2C2）
8.5 重复试验和重复取样的方差分析（因时间有限，不讲解！）
在实际工作中，用正交表安排试验时，为了提高试验及其统计分析的精确性和可靠性，往往采取重复试验和重复取样，在安排试验时，将同号试验重复做若干次，从而得到在同一条件下若干次试验的数据，叫做重复试验，若在一个试验中，同时抽取若干个样品进行测试，则叫做重复取样。
8.5.1重复试验的方差分析
在用正交表安排试验时，若表上各列已被因素及交互作用占满，没有空列，也无经验误差。这时，为了估计试验误差，一般选用更大的正交表以外，还可以重复试验，由于正交本身的需要，有时虽然正交表的所有列并未被因素及交互作用占满，但也要做重复试验。
重复试验的方差分析与无重复试验的方差分析比较，有以下几点不同：
（1）假设每号试验重复数为S，在计算K1j，K2j……K mj时，是以各号试验下“S个试验指标数据之和”进行计算；
（2）重复试验时，总偏差平方和S T及其自由度f T按下式计算：
S T=∑∑
==-
n i
s
t
it ns
T
x
1
2 1
2
f T=ns-1
式中：
n---试验条件数，即正交表的总试验号；
s---各号试验重复数
x it ---第i 号试验第t 次重复试验数据（i=1，2，……n ；t=1，2，……s ）；
T----所有试验数据之和（包括重复试验）； T=∑∑==n
i s
t it x 11
（3）重复试验时，各列偏差平方和（S j ）计算公式中的“水平重复数”改为“水平重复数乘以试验重复数”，修正项CT 也有变化，S j 的自由度f j 仍为水平数减1。
S j =CT K rs m i ij -∑=12
1 ， CT=ns T 2， r=m
n f j =m-1
（4）重复试验时，总误差平方和包括空列误差S e1和重复试验误差S e2，即
S e =S e1+S e2
其总的自由度f e 等于S e1的自由度f e1与S e2的自由度f e2之和，即：
f e =f e1+f e2
Se 2及fe 2的计算公式如下
Se 2=∑∑∑∑====-n
i n i s
t it s
t it
x s x 1121
1)(12
fe 2=n(S-1)
(5)重复试验时，用Ve=Se/fe 检验各因素及其交互作用的显著性。当正交表的各列都已排满因素及交互作用而无空列时（即Se 1=0和fe 1=0）用Ve 2=Se 2/fe 2 来检验因素及交互作用的显著性。
例8-6（p183） 四因素四水平正交试验，每号试验重复三次，由附表7可知，对四因素四水平试验，选L 16（45）正交表最合适，本例不考虑因素间的交互作用，因素水平如表8-17所示，而表8-18为试验方案与试验结果计算表。 一、计算（简略）
1.计算各列水平K ij 值（K 1j ，K 2j ，K 3j ，K 4j ）和K 2ij
如 K 11 =6+12.5+17.5+19.2=55.2
K 211
=55.22=3047.04
K 45 =19.2+19.5+18.9+19.2=76.8
K 245
=76.82
=5898.24 2计算各列偏差平方和（S j ）及其自由度（f j ）
S j =CT K rs m i ij -∑=12
1 ， CT=ns T 2， r=m n =3163033412412⨯-⨯∑=i ij K =69.191212141
2
-∑=i ij K 如
S A =S 1=
121( K 211
+ K 221 + K 312 + K 412)-1912.69 =12
1
×(3047.04+6528.64+7656.25+6320.25)-1912.6=49.99 同理可得 S B =S 2=33.42 Sc=S 3=29.01 S D =S 4=13.54 Se 1=S 5=9.65 Se 2=∑∑∑∑====-n
i n i s
t it s
t it
x s x 1121
1)(12
=∑∑∑∑====-16116123
1
3
1
)(12
i i t it t it
x s x =(22+22+……+6.52 +6.92)-1/3×(62 +12.52+……+20.42)=2050.32-2048.31=2.01 所以Se=Se 1+Se 2=9.65+2.01=11.66 f j =m-1=4-1=3 f A = f B = f C = f D=3 fe 1=f 5=4-1=3
fe 2=n(S-1)=16×(3-1)=32 f e =f e1+f e2=3+32=35 验算： ① S T
S T =ns T x n
i s
t it
2
11
2-
∑∑==
=3163032
16
13
1
2⨯-∑∑==i t it
x
=2050.32-1912.69=137.62 另外 S T =25
1
1
2
e e D C B A e j j S S S S S S S S +++++=+∑=
=49.99+33.42+29.01+13.54+9.65+2.01=137.62 ②f T
f T =ns-1=1647
13=-⨯
另外 f T =2125
1
e e D C B A e j j
f f f f f f f f +++++=+∑=
=347325=+⨯
计算无误∴
3. 计算方差 V J =j
j f S
V A =,66.16399.49==A A f S V B =,14.11342.33==B B f S V C =,67.9301.29==C C f S V D =
,51.43
54
.13==D D f S V e =33.035
66.11==e e f S
二、显著性检验
1.计算F 值 F j Ve
V j =
67.1333
.051
.430.2933.067.976.3333.041.1148.5033.066
.16===
===
===
===e D D e C C e B B e A A V V F V V F V V F V V F 2.查F ɑ值
)
5(41.4)35,3(,01.0)5(88.2)35,3(,05.0)
35,3()(01.005.0内查得到由附表时当内查得到由附表时当，大======F F F f f F e αααα
3.显著性检验
因为，F A 、F B 、F C 、F D 均大于F 0.01（3，35），所以，A 、B 、C 、D 四个因素均高度显著，方差分析表如表8-19所示（P186）。
三、确定最优条件
∵四个因素的作用均高度显著，且由F值大小可知因素作用的主次顺序为A、B、C、D
∴通过比较K ij值，可知各因素的优水平为A3、B4、C3、D3，故最优水平组合为A3B4C3D3，表8-18的试验方案中无该水平组合的试验，所以应在最优水平组合下，再安排实施一次试验，并且其试验指标值应大于表8-18中的最大指标值。
8.5.2 重复取样的方差分析
由于重复试验使试验次数成倍增加而增加试验费用，故在实际工作中，更常用的是采用重复取样方法来提高试验的可靠性，重复取样与重复试验在误差偏差平方和的计算上完全一样，但重复取样的误差，反映的是原材料和产品的不均匀性与试样的测量误差，即局部（试验）误差；而重复试验的误差，反映的是整个试验过程中的各种干扰引起的误差，即整体误差。
通常，局部误差比整体误差要小，原则上不能用来检验各因素水平间是否存在差异，否则，会得到几乎全部因素及交互作用都是显著的不正确结论。但是，若符合下面两种情况，则可以把重复取样得到的局部误差S e2当作试验误差Se，进行统计检验。
（1）正交表中各列已排满，无空列提供一次误差（S e1），这时，为了少做试验而用重复取样误差（S e2）作为试验误差（Se），检验各因
素交互作用的显著性，若检验结果有一半左右的因素及交互作用不显著，就可以认为这种检验是合理的；
（2）若重复取样得到的局部（试验）误差（S e2）与整体（试验）误差（S e1）相差不大，也就是说，要求两类误差的F 值：
2
21
1e e e e f S f S F =
对于给定的信度α，有F < F α（f e1，f e2），说明S e1与S e2的误差
不显著，这时，就可以将Se 2和Se 1合并作为试验误差，即 Se=Se 1+Se 2； Fe=fe 1+fe 2
但是，若F ＞F α(fe 1，fe 2)，则两类误差有显著差异，不能合并使用。 例8-7 三因素三水平正交试验，不考虑交互作用，因此，选用L 9（34）正交表最合适。因素水平表见表8-20，试验方案见表8-21（see p188）。重复取样三次，即s=3. 解： 一、计算
1.计算各列水平的K ij 值（K 1j ，K 2j 和K 3j ）和K ij 2
如:K 11=0.655+0.657+0.787=2.099,K 211=2.0992=4.406 K 13=0.760+1.305+0.657=2.722,K 213=2.7222=7.409
K 和K 的计算结果,列于表8-21中.
2.计算各列偏差平方和（S j ）及自由度（f j ）检验：
866.29139797.8331131
2
2312212-=⨯-⨯=-=∑∑∑===i ij i ij m i ij s j k k ns T k r S
S A = S 1=1/9×(7.684+15.413+4.406)-2.866=0.190
同理可得: S B = S 2 =0.00889, S c = S 3 =0.0188 S e1 = S 4 =0.00622
∑∑∑∑∑∑∑∑========-=-=9
1
2
1
9
13
1
12
111e2)(3/1)(/1 S 22
i s
t it i t it n i s
t it n i s t it x x x s x n=9,s=3
=(0.2782+0.2512+……+0.2592)-1/3*(0.7602+1.1622+……+0.7872)
=3.100-3.089=0.0110
f j = m-1=3-1=2 f A = f B =f C =2 f e1 = f 4 =3-1=2
f e2= n(s-1)=9×(3-1)=18 验算： ○
1S T S T =ns T x n i s
t it /2
112-∑∑===3.100-2.866=0.234
=+=∑=24
1
e j j T S S S S A+ S B + S C + S e1 + S e2=……=0.234
○
2f T f T =ns-1=9×3-1=26 f T = ∑==+4
12
j e f
j f f A +f B +f C + f e1+ f e2 =……=26
所以计算无误 3.比较两类误差
F=(Se1/fe1)/(Se2/fe2)=(0.00622/2)/(0.0110/18)=5.09 因为 F0.01(2,18)=6.01＞5.09，所以两类误差可以合并使用。
Se=Se1+Se2=0.00622+0.0110=0.01722
Fe=fe1+fe2=2+18=20
4.计算方差
V i=S i/f i
V A=S A/f A =0.190/2=0.095
同理,V B=0.00445, V C =0.0094 ,V e=0.000861
二、显著性检验
F j=V j/Ve
1.求F j
F A =V A /Ve=0.095/0.000861=110.34
F B=V B/Ve=0.00445/0.000861=5.168
F C=V C/Ve=0.0094/0.000861=10.92
2.查Fα
Fα=( f因,fe)= Fα(2,20)
α=0.01 时,F0.01(2,20)=5.85
α=0.05时,F0.05(2,20)=3.49
3.显著性检验
因为 F A ＞F 0.01 所以因素B 高度显著;
又因为F 0.05＜F B ＜F 0.01,所以B 显著; 又因为F C ＞F 0.01所以因素C 高度显著 方差分析表见表8-22(p.190) 三、最优工艺条件的确定
由表8-22可见,因素A,C 高度显著,因素B 显著,根据F j 值的大小可知,因素的主次顺序为ACB.通过比较K ij 值可知各因素的最优水平为A 2B 2C 2故最优水平组合为A 2,B 2,C 2。
表8-21的试验方案中,没有A 2B 2C 2水平组合的试验,故最好能够再实施一次最优水组合A 2B 2C 2的试验,并且其试验指标值应大于表8-21中的最大指标值.
8.6 不饱和正交表的方差分析简介
一、饱和表与不饱和表
在讨论“正交表的分类及特点”时，我们已经讲过，对于等水平正交表L n (m k )，若满足
n=1+∑∑===-k
j k
j j j f m 1
1
)1(
则称该正交表为饱和正交表,相应的试验称为饱和正交试验。
上式可改写为
n-1=∑∑===-k
j k
j j j f m 1
1
)1( 因为 f j =m-1=m j -1；
一般情况下，设有等水平正交表L n (m k )或混合水平正交L n (m 1k1*m 2k2)，若其自由度满足
f=∑=-=k
j j n f 11
或
f=
∑+=-=211
1k k j j
n f
则称正交表为饱和正交表；若自由度 f=
∑+=211
k k j j
f
＜n-1 或 f=
∑+=211
k k j j
f
＜n-1
则称该正交表为不饱和正交表
标准正交表(see p124)全部是饱和表.在非标准表中,二水平非标准表都是饱和表(∵f j =m j -1=2-1=1,f=∑=k
j fj 1=k*1=k=n-1即n=k+1),其
它水平非标准表都是不饱和表,如L 18(37)L 50(511)等.
混合型正交表无标准表与非标准表之分。混合型正交表中有些是饱和表，如L 16（4×212）：
在k 1=1，m 1=4，k 2=12，m 2=2时，
f=
∑+=211
k k j j
f
=
∑+=-211
)1(k k j j
m
=k 1×（m 1-1）+k 2×（m 2-1） =15
因为n=16, 所以f=n-1=15.
而有些混合型正交表则是不饱和表，如L 18（2×37）： 在k 1=1，m 1=2，k 2=7，m 2=3时，
f=
∑+=211
k k j j
f
=
∑+=-211
)1(k k j j
m
=k 1×（m 1-1）+k 2×（m 2-1） =15
∵n=18，∴ f ＜n-1=17
二、注意事项 1、∵f 不饱和＜f 饱和
∴选用不饱和正交表进行正交试验时，只能安排较少的因素或只能安排水平较少的因素，故试验效率降低。 2、我们前面讨论的都是饱和的方差分析
（1）尽量不选用不饱和表，即尽可能选用饱和表安排试验。 （2）对于不饱和表的方差分析，即使因素间无交互作用，也不能用空列直接计算试验误差。
有关不饱和正交表的方差分析方法，在实际工作中应用较少，这里不作介绍。
【西北农林科技大学试验设计与分析复习题】员海燕版 一、名词解释(15分) 1．重复：一个条件值的每一个实现。或因素某水平值的多次实现。 2．因素：试验中要考虑的可能会对试验结果产生影响的条件。常用大写字母表示。 3．水平：因素所处的不同状态或数值。 4．处理：试验中各个因素的每一水平所形成的组合 5．响应：试验的结果称为响应； 响应函数：试验指标与因素之间的定量关系用模型 ε+=),,(1n x x f y 表示，其中 ),,(1n x x f y =是因素的值n x x ,,1 的函数，称为响应函数。 6 78912．试验设计的基本流程是什么？ 1明确试验目的 2选择试验的指标，因素，水平 3设计试验方案 4实施试验 5对获得的数据进行分析和推断。 3．试验设计的相关分析有哪几种？ 一是相关系数，即用数理统计中的两个量之间的相关程度来分析的一种方法。 二是等级相关，是把数量标志和品质标志的具体体现用等级次序排序，再测定标志等级和标志等级相关程度的一种方法。有斯皮尔曼等级差相关系数和肯德尔一致相关系数） 4．为什么要进行方差分析？ 方差分析可检验有关因素对指标的影响是否显著，从而可确定要进行试验的因素； 另外，方差分析的观点认为，只需对显著因素选水平就行了，不显著的因素原则上可在试验范围内取任一水平，或
由其它指标确定。 5．均匀设计表与正交表，拉丁方设计的关系 6．产品的三次设计是什么？ 产品的三次设计是系统设计，参数设计，容差设计。 三、(15分) 1．写出所有3阶拉丁方格，并指出其中的标准拉丁方格和正交拉丁方格123 再将这六个的第一行不动，分别交换第二，三行又得到六个，共12个。 用的试验 3．说明均匀设计表 ) 6(6 * 6 U是如何构造的？略 五、分析题(30分) 1由张护士和实习生刘某记录的七个病人的收缩压数据如下：
总体:根据研究目的确定的研究对象的全体集合称为总体，每一个研究单位称为个体。 样本:依据一定方法由总体中抽取的部分个体组成的集合称为样本（n ≦30的样本叫小样本） 参数:用来描述总体特征的量称为参数（μ表示总体平均数，σ表示总体标准差） 统计量:用来描述样本特征的量称为统计量（x 表示样本平均数，S 表示样本标准差，R 表示极差） 准确性（准确度）:指观测值与其真值接近的程度 精确性（精确度）:指重复观测值之间彼此接近的程度 随机误差（抽样误差）:由无法控制的内在和外在的偶然因素所造成的。不可避免，但可减少。影响实验的精确性 系统误差（片面误差）:由于实验对象相差较大，实验周期较长，试验条件未控制相同，测量仪器不准等所引起的。可避免，影响实验的准确性。 平均数:反映观测值集中性的统计量。可分为算术平均数、几何平均数、调和平均数、中位数（Md ）、众数(Mo) 变异数:度量数据离散性的统计量。可分为极差(min max x x R -=极差反映了 数据变化的范围 )、方差、标准差、变异系数 n x f SS n x i i ∑∑-= = -=2 2 2)(,)(μσμσ标准差误差自由度误差平方和总体方差 1 )(,1 )(222--==--= ∑∑n x x s f SS n x x s i i 标准差误差自由度误差平方和样本方差
Σ 2 )(x x i -称为离均差平方和，记为SS;n －1称为自由度，记为df 。 方差反映的是数据的离散程度 标准差(S):方差S2的平方根称为标准差 变异系数(CV):当单位不同且平均数差异很大时，须用标准差与平均数的比值来比较，这个比值称为变异系数。可以比较不同样本相对变异程度的大小。 数据真值 总体标准差总体变异系数= =μσv C 数据平均值 样本标准差样本变异系数= =x s C v ? 平均数的性质: ①变量x 对其平均数x 的偏差和为零，即 Σ（Xi －x ）＝0 ②样本各观测值与平均数之差的平方和最小，即离均差平方和最小。 标准差的性质: ①常数的标准差为零 ②变量x 加上或减去一个常数a,各变数对x 也将增加或减少一个常数a ，各变数对x 的偏差保持不变，故标准差也不变 ③当每个观测值乘以或除以同一个常数a,则所得的标准差是原来标准差的a 倍或1/a 倍。 ④标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。 注:标准差越小，平均数代表性越大，代表性越高。 资料的分类:由观察、测量所得的数据按其性质的不同，可分为数量
1、简述正交试验设计的基本步骤。 答：正交试验设计总的来说包括两部分：一是实验设计，二是数据处理。基本步骤可简单归纳如下。 (1) 明确实验目的，确定评价指标 (2) 确定因素和水平 (3) 选择适当的正交表 (4) 明确试验方案进行试验，对试验结果进行统计分析 (5) 进行验证试验，作进一步分析 2、以合成某有机化合物的产率为试验指标。该有机化合物的合成主要影响因素为反应温度、时间及催化剂，现对其合成工艺进行优化，以提高产率。根据前期条件试验，确定的因素与水平如表1所示，假定因素间无交互作用。试用正交设计和极差分析确定各因素的最优水平及组合。 表1 因素水平表 解：本题中试验的目的是提高产品的产率，试验的指标为单指标产率，因素和水平是已知的，所以可以从正交表的选取开始进行试验设计和极差分析。 ①选正交表。本题为一个3水平的试验，因此要选用L n(3m)型正交表，共有3个因素，且不考虑因素间的交互作用，所以要选一张m≥3的表，而L9(34)是满足条件m≥3最小的L n(3m)型正交表，故选用正交表L9(34)来安排试验。 ②表头设计。见表1-1。 表1-1表头设计
④按规定的方案做试验，得出试验结果。如表1-3。 表1-3 试验方案及实验结果分析 ⑥通过极差确定优方案。试验指标是产率，指标越大越好，所以应挑选每个因素的K1，K2，K3(或k1，k2，k3)中最大的值对应的那个水平，由于： A因素列：K2＞K3＞K1 B因素列：K2＞K3＞K1C因素列：K2＞K3＞K1 所以优方案为A 2B 2 C 2 ，即反应温度80℃，反应时间1 h，催化剂为乙。 通过极差分析得到的优方案A 2B 2 C 2 ，并不包含在正交表中已做过的9个试验 方案中，这正体现了正交试验设计的优越性。 3、现代药理学研究表明，红景天具有抗心律失常、调节免疫功能、镇静、抗疲劳、抗缺氧、抗衰老、抗癌等作用。其化学成分中，红景天苷及其苷元酪醇是红
8.3.2 考虑交互作用的三水平正交试验的方差分析（因学时有限和正交表太大L27(313)，不讲解！只讲解二水平情况，因为二水平会，三水平自然也会！） 例8-4 运动发酵单细胞菌是一种酒精生产菌。为了确定其发酵培养基的最佳配方，进行了四因素三水平正交试验，试验指标为酒精浓度（g/ml）。表8-12给出了因素水平表，要求考察交互作用A×B、A×C和A×D。查附表7可得，本试验应选用L27(313)正交表，表头设计应按照“L27(313)二列间的交互作用表”进行。本例只考虑一级交互作用（p=1），所以每个三水平交互作用应占(m-1)P=(3-1)1=2列，即A ×B、A×C，和A×D在L27(313)正交表中各占二列。 表8-12 因素水平表 表头设计时应避免混杂，试验方案及试验结果见表8-13。 由交互作用表可知，将因素A、B安排在第1、2列之后，第3、4列为A×B交互作用列；再将C安排在第5列后，A×C交互作用在第6、7列；最后将D安排在第9列，则A×D交互作用类落在第8、10列（当然也可将D安排在第8列，则第9、10列为A×D交互作用列）。 表8-13 试验方案及结果分析 L27(313)
一、计算（计算过程省略） 1.计算各列各水平的K ij 值(K 1j ,K 2j ,K 3j )和K 2 ij (K 21j ,K 22j ,K 23j ) 各列各水平对应的试验数据之和K 1j ,K 2j ,K 3j ,及其平方和K 21j , K 22j , K 23j ,列于表8-13中,例如 K 1A = ∑=9 1 i i X =0.20+0.50*2+1.50+1.10+1.20*2+1.60*2=9.40=K 11 ， K 2 11= 88.36 K 2A =∑=9 1i i X =0.40+0.50+……+6.15=33.05= K 21 ， K 221=1092.30 K 3A =∑=9 1 i i X =0.40+0.30+……+2.80=25.80= K 31 ， K 231 =665.64 表示A ×B 的有两列,即第3,4列,计算后可知 K 13 =32.75, K 23 =17.90; K 33 =17.60 K 14 =26.40; K 24 =24.55, K 34 =17.30 2.计算各列的偏差平方和(S j )及其自由度(f j ) 由式(8-4),可知: S j =CT Q n T K r j m i ij -=-∑=2 2 11 r=n/m=27/3=9; CT=T 2/n=1/27×68.252=172.52
习题五 1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g) 日期重旦量 1 5500 5800 5740 5710 2 5440 5680 5240 5600 4 5400 5410 5430 5400 9 5640 5700 5660 5700 10 5610 5700 5610 5400 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05) 解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5. 2 假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5 检验的问题：H。：i 2 L 5, H i : i不全相等. 计算结果： 注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为 查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所 以拒绝H。，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 解 根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 . 2 假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 .
日产量 操作工 查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05， 所以接受H 。，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 3 试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另 一个是温度 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？ （ =0.05 ） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用 设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12. 2 假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j , ）,i 1,2,3, j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应； 检验的问题：（1） H i 。： i 全部等于零，H i — i 不全等于零； （2） H 20 : j 全部等于零，H 21： j 不全等于零； 计算结果： 查表F 0.95（2,6） 5.143 ,局.95（3,6） 4.757 ,显然计算值F A , F B 分别大于查表值, 或p = 0.0005 , 0.0009均显著小于0.05，所以拒绝H i°,H 20，认为含铜量和试验温度 都会对钢的冲击值产生显著影响作用 . 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量: 检验的问题：H 0： 1 计算结果： H i : i 不全相等
正交试验方差分析例题正交试验方差分析第三节正交试验设计及其方差分析 在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验(即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验)，多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果. 1.正交试验设计的基本方法正交试验设计包含两个内容:(1)怎样安排试验方案;(2)如何分析试验结果.先介绍正交表. 1 正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L 表示正交，它的3个数字有3种不同的含义: 列数 ? L4 (23) ? ? 行数水平数 (2) L4(23)表的用法:做4次试验，最多可安排2水平的因素3个. 最多能安排的因素数 ? L4 (23) ? ? 试验次数水平数 (3) L4(23)表的效率:3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的. L4 (23) ? ?
实际试验数理论上的试验数 正交表的特点: (1) 表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次. (2) 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4(23)中任意两列， 2 (1) L4(23)表的结构:有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2. 数字1，2间的搭配是均衡的. 凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table). 常用的正交表有L9(34)，L8(27)，L16(45)等，见附表.用正交表来安排试验的方法，就叫正交试验设计.一般正交表Lp(nm)中，p=m(n-1)+1.下面通过实例来说明如何用正交表来安排试验. 例9.7 提高某化工产品转化率的试验. 某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两种原料之配比C 和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此考虑对A，B，C，D这4个因素进行试验.根据以往的经验，确定各个因素的3个不同水平，如表9-18所示. 分析各因素对产品的转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件. 解本题是4因素3水平，选用正交表L9(34). 把表头上各因素相应的水平任意给一个水平号.本例的水平编号就采用表9-18的形式;将各因素的诸水平所表示的实际状态或条件代入正交表中，得到9个试验方案，如表9-20所示. 从表9-20看出，第一行是1号试验，其试验条件是: 反应温度为60?，反应时间为2.5小时，原料配比为1.1?
【西北农林科技大学实验设计与分析温习题】员海燕版 一、名词说明(15分) 1．重复：一个条件值的每一个实现。或因素某水平值的多次实现。 2．因素：实验中要考虑的可能会对实验结果产生阻碍的条件。经常使用大写字母表示。 3．水平：因素所处的不同状态或数值。 4．处置：实验中各个因素的每一水平所形成的组合 5．响应：实验的结果称为响应； 响应函数：实验指标与因素之间的定量关系用模型 ε+=),,(1n x x f y 表示，其中 ),,(1n x x f y =是因素的值n x x ,,1 的函数，称为响应函数。 6．正交表：是依照均衡分散的思想，运用组合数学理论在拉丁方和正交拉丁方的基础上构造的一种表格。 7．实验指标：衡量实验结果好坏的指标 8．随机误差：在实验中总存在一些不可操纵的因素，它们的综合作用称为～ 9．交互作用：一样地说，若是一个因素对实验指标的阻碍与另一个因素所取的水平有关，就称这两个因素有交互作用。 10．实验设计：是研究如何合理地安排实验，取得数据，然后进行综合的科学分析，从而达到尽快取得最优方案的目的。 11．实验单元：在实验中能施以不同处置的材料单元。 12．拉丁方格：用拉丁字母排列起来的方格，要求每一个字母不论在方格的行内仍是列内都只显现一次。 13．综合平稳法：先对各项指标进行分析，找出其较优生产条件，然后将各项指标的较优生产条件综合平稳，找出兼顾各项指标都尽可能好的生产条件的方式。 14．综合评分法：是用评分的方式，将多个指标综合成单一的指标---得分，用每次实验的得分来代表实验的结果，用各号实验的分数作为数据进行分析的方式。 15．信噪比：信号功率与噪声功率之比。 16．并列法：是由相同水平正交表构造水平数不同的正交表的一种方式。 17．拟水平法：是对水平数较少的因素虚拟一些水平使之能排在正交表的多水平列上 的一种方式。 18．直和法：是先把一部份因素和水平放在第一张正交表上进行实验，若是实验结果 达不到要求，再利用第一时期实验结果提供的信息，在第二张正交表上安排下一 时期的实验，最后再对两张正交表上的结果进行统一分析的方式。 19．直积法: 在某些实验设计中，实验因素常可分为几类，为了考察其中某两类因素 间的交互作用，常采纳的把两类因素所用的两张正交表垂直叠在一路进行设计和 分析的一种方式。 20．稳健设计：为了减少质量波动,寻觅使得质量波动达到最小的可控因素的水平组合 二、简答题(10分) 1．实验设计的大体原那么是什么？ 答：一是重复，即一个条件值的每一个实现。作用是提高估量和查验的精度 二是随机化，是通过实验材料的随机分派及实验顺序的随机决定来实现的 三是区组化，也确实是局部操纵。 2．实验设计的大体流程是什么？ 1明确实验目的 2选择实验的指标，因素，水平 3设计实验方案 4实施实验 5对取得的数据进行分析和推断。 3．实验设计的相关分析有哪几种？ 一是相关系数，即用数理统计中的两个量之间的相关程度来分析的一种方式。 二是品级相关，是把数量标志和品质标志的具体表现用品级顺序排序，再测定标志品级和标志品级相关程度的一种方式。有斯皮尔曼品级差相关系数和肯德尔一致相关系数） 4．什么缘故要进行方差分析？ 方差分析可查验有关因素对指标的阻碍是不是显著，从而可确信要进行实验的因素； 另外，方差分析的观点以为，只需对显著因素选水平就好了，不显著的因素原那么上可在实验范围内取任一水平，或由其它指标确信。 5．均匀设计表与正交表，拉丁方设计的关系 6．产品的三次设计是什么？ 产品的三次设计是系统设计，参数设计，容差设计。
第三章_正交试验设计中的方差分析2- 例题分析 第三章中的例题分析是关于正交试验设计中的方差分析的。本例题分析主要涉及到两个因素和一个响应变量，通过正交试验设计的方法，对这两个因素的影响进行分析。 首先，我们需要了解正交试验设计的基本原理。正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择合适的试验因素和水平，使得每个试验条件都能够得到充分的信息，从而降低试验误差，提高试验效率。在正交试验设计中，试验因素之间是相互独立的，这样可以更好地分析每个因素对响应变量的影响。 在本例题中，我们有两个因素，分别记作因素A和因素B，每个因素有两个水平。我们还有一个响应变量Y，需要确定因素A、因素B和Y之间的关系。 接下来，我们需要进行方差分析。方差分析是一种用于比较不同因素对响应变量的影响的统计方法。在本例题中，我们可以使用两因素方差分析来分析因素A和因素B对响应变量Y的影响。 首先，我们需要计算总平方和（SST），表示响应变量的总变异。然后，我们需要计算因素A的平方和（SSA），表示因素A对响应变量的影响，以及因素B的平方和（SSB），表示因素B对响应变量的影响。同时，我们还需要计算交互作用的平方和（SSAB），表示因素A和因素B之间的交互作用对响应变量的影响。 接下来，我们可以计算各个平方和的自由度和均方差，从而得到F值。F值可以用来判断因素对响应变量的影响是否显著。如果F值大于临界值，则说明该因素对响应变量的影响是显著的。 最后，我们可以进行多重比较，比较每个因素水平之间的差异。多重比较可以帮助我们确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
通过以上的分析，我们可以得出因素A、因素B和响应变量Y之间的关系。同时，我们还可以根据多重比较的结果，确定哪些因素水平之间的差异是显著的。 总结起来，本例题分析主要涉及到正交试验设计中的方差分析。通过对两个因素和一个响应变量进行分析，我们可以确定因素对响应变量的影响是否显著，并确定哪些因素水平之间的差异是显著的。这样可以帮助我们更好地理解试验结果，并做出相应的决策。
正交试验设计的R语言实现 正交设计利用部分处理组合代表全面试验，能够大大减少试验实施的人力物力。但由此也减少了方差分析时的误差自由度，降低了均值检验的灵敏度。因此正交设计统计分析的重点不是方差分析，而是选择最优组合。本文以一个实例，介绍正交设计统计分析的一般方法。 例题：为解决花菜留种问题，提高种子产量，对四个因素各两个水平设计了正交试验，结果列于下表，试进行方差分析并筛选最优组合。 1. 方差分析 首先对所有因素效应进行初步方差分析，R语言函数为aov()。R代码： a=factor(c(1,1,1,1,2,2,2,2)) b=factor(c(1,1,2,2,1,1,2,2)) ab=factor(c(1,1,2,2,2,2,1,1)) c=factor(c(1,2,1,2,1,2,1,2)) ac=factor(c(1,2,1,2,2,1,2,1)) d=factor(c(1,2,2,1,2,1,1,2)) yield=c(350,325,425,425,200,250,275,375) data=data.frame(a,b,c,d,ab,ac,yield) result=aov(yield~a+b+c+d+ab+ac) summary(result) 程序运行结果：
由上表可知，各项变异来源的F值均不显著，这是由于各因素均为2水平，导致试验误差的自由度过小，仅为1，因此达到显著的临界F值过大。解决这个问题的根本办法是增加试验的重复数，也可以将小于1的变异项（即D和A×B）合并为误差项，从而提高假设检验的灵敏度。具体操作如下： result_1=aov(yield~a+b+c+ac) summary(result_1) 程序运行结果： 以上结果可知，A、B和AC互作达到显著水平，而C因素不显著。一般只有达到显著时才有必要选择最优组合。 2. 选择最优组合 由于产量越大越好，因此选择方差分析显著的因素中产量较大的处理。虽然C因素不显著，但AC互作表现显著，因此可在选择A处理的基础上进一步选择C。D因素由于不显著，故不做选择。 Freq_a <- tapply(yield, data[,1], mean) Freq_b <- tapply(yield, data[,2], mean) data=data[data$a==1,] Freq_ac <- tapply(data$yield, data[,6], mean) freq=c(Freq_a,Freq_b,Freq_ac)
正交试验设计数学模型 一．背景及问题 正交试验设计是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，是分式析因设计的主要方法，是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。 一.正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。正交表是一整套规则的设计表格，用 L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如L9(34)，它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。 正交表的性质: (1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。 (2)任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。例如在两水平正交表中，任何两列(同一横行内)有序对子共有4种： (1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。每种对数出现次数相等。在三水平情况下，任何两列(同一横行内)有序对共有9种，1.1、1.2、 1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每对出现数也均相等。 二.正交试验设计的极差分析 在完成试验收集完数据后，将要进行的是极差分析(也称方差分析）。极差分析就是在考虑A因素时，认为其它因素对结果的影响是均衡的，从而认为，A因素各水平的差异是由于A因素本身引起的。
用极差法分析正交试验结果应引出以下几个结论： ①在试验范围内，各列对试验指标的影响从大到小的排队。某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，使试验指标数值的变化最大。所以各列对试验指标的影响从大到小的排队，就是各列极差D的数值从大到小的排队。 ②试验指标随各因素的变化趋势。 ③使试验指标最好的适宜的操作条件（适宜的因素水平搭配）。 ④对所得结论和进一步研究方向的讨论。 二．数学模型的建立 首先，考虑进行一个三因素、每个因素有三个水平的试验。 步骤：1)确定试验因素及水平数 2)选用合适的正交表 3)列出试验方案及试验结果 4)对正交试验设计结果进行分析，包括极差分析和方差分析 5)确定最优或较优因素水平组合 例题：某研究部门向利用烟头做砖头，砖的质量指标是折断力。折断力越大越好。实验目的是寻找提高折断力的新工艺。主要考虑三个因素： 1.成型水分的多少 2.碾压时间的长短
正交试验设计法简介 正交试验设计法是一种科学有效的实验方法，广泛应用于各个领域，如工业、医学、农业等。它通过精心设计的正交表，将多个因素和水平组合在一起进行实验，以获得最优解决方案。本文将介绍正交试验设计法的基本概念、优点、适用范围以及应用实例。 一、正交试验设计法简介 正交试验设计法是一种基于正交表的实验方法，它通过将多个实验因素和水平组合在一起，利用正交表进行精心设计，从而完成一系列实验。正交试验设计法的特点在于其能够同时对多个因素进行考察，并且每个因素的水平变化不会相互干扰，从而能够更加准确地获得最优解决方案。 二、正交试验设计法的优点 1、便于选择最佳解决方案 正交试验设计法通过同时考察多个因素，可以更加准确地找到最优解决方案。在实验过程中，每个因素的不同水平都会得到平等的考察机会，从而避免了单因素实验中可能出现的偏差。
2、成本低 正交试验设计法可以在较短时间内完成大量实验，从而减少了实验次数和成本。同时，由于每个因素的水平变化不会相互干扰，因此可以更快地获得实验结果。 3、具有通用性 正交试验设计法可以广泛应用于各个领域，无论是工业、医学、农业还是其他领域，都可以通过正交试验设计法来获得最优解决方案。 三、正交试验设计法的适用范围及局限性 1、适用范围 正交试验设计法适用于多因素、多水平的实验，尤其适用于那些需要同时考察多个因素、且各因素水平之间相互独立的实验。此外，正交试验设计法也适用于那些需要找出最优解决方案的实验。 2、局限性 正交试验设计法只能适用于那些因素之间相互独立的情况。如果实验中存在某些因素之间存在交互作用，那么就需要采用其他实验设计方法来进行分析。此外，正交试验设计法也无法适用于那些需要特定顺
正交试验设计实例分析 正交试验设计是使用正交表来安排多因素、多水平试表验，并采用统计学方法分析实验结果的一种实验设计方法［１］。对于多因素、多水平的问题，人们一般希望通过若干次的实验找出各因素的主次关系和最优搭配条件，用正交表合理地安排实验，可以省时、省力、省钱，同时又能得到基本满意的实验效果。因此，这种方法在改进产品质量、优化工艺条件及研发新产品等诸多方面广泛应用。但是，很多研究人员在使用该方法时，有些细节往往容易被忽视。作者以姜黄素的提取为例具体阐述这一方法的使用和注意事项。 1.实例： 姜黄素是姜黄中的主要活性成分，在优化其提取工艺时，首先应确定正交试验需要考察的因素和水平。尤本明等［２］考察了三个因素，因素A（作为溶媒的乙醇浓度）、因素 B（溶媒的量）、因素C（渗漉速度），每个因素取三个水平。试验设计时，一般还应考虑各因素间的交互作用，也就是因素之间的联合作用，这点不可忽视。根据以往经验可知，本例中因素之间的交互作用可以忽略，故采用 L９（３４）正交表来安排试验（见表１）。该表共有４列，将因素 A 、B 、C 分别安排在正交表的第２、３、４列上，第１列为空白列。在试验前，各因素及水平在正交表中的位置必须交待清楚，以确定各次试验的条件，避免不必要的错误。 1 正交试验设计与结果 2 .直观分析法： 表１中的 K１、K２、K３分别表示在各因素各水平下姜黄素提取量的总和，K分别表示在各因素各水平下姜黄素提取量的平均值。由于有时会遇到各因素水平数不等的情况，因此，一般用提取量的平均值大小来反映同一个因素的各个不同水平对试验结果（提取量）影响的大小，并以此确定该因素应取的最佳水平。用同一因素各水平下平均提取量的极差R（极差＝平均提取量
正交设计实验结果的直观分析： 用Excel进行直观分析简单、实用，要求同学们掌握。 总计9848
1、看一看找条件，指标最好的点对应的实验条件为最佳条件 根据正交、析因设计数据可比的特点，表中指标最好的点为A3B3C2，所 对应的条件即为实验范围内的最佳工艺条件。 2、算一算极差，确定主次因素。极差大小顺序为因素主次顺序 K ij—第j个因素第i个水平的所有指标值的平均值； K11=（31+54+38）/3=41 K12=（31+53+57）/3=47 K23=（54+53+64）/3=57 MAX= MAX (K1j,，K2j，K3j) MIN= MIN (K1j,，K2j，K3j) 极差R= MAX－MIN 表中计算结果显示极差的大小顺序为A>C>B，主要影响因素为A，其次为 C，因素B影响最小。
Q j—均方和 Q j因素均方和：Q j=(K1j-K2j)2+(K1j-K3j)2+(K2j-K3j)2 Q1=（41-48）2+（41-61）2+（48-61）2=618 Q T总均方和：Q T=∑Q j+Q误差，如果不设计误差列，Q T=∑（y2）-（∑y）2/n Q误差误差均方和：Q误差= Q T-∑Q j f—自由度 f j因素自由度：f j=因素j的水平数-1 f T总自由度：f T=实验个数-1 f误差误差自由度：f误差= f T-∑f j MS—方差估计值 MS j因素方差值：MS j= Q j/ f j MS误差误差方差值：MS误差= Q误差/ f误差 F值—统计检验量 F j因素检验量：F j= MS j/ MS误差 Fα（f1，f2）标准检验量，根据检验水平和自由度查F表得到 （α为检验水平，f1，f2分别为因素自由度和误差自由度，） 显著性判断 F j > F0.01（f1，f2），高度显著因素 F j > F0.05（f1，f2），显著因素 F j > F0.1（f1，f2），较显著因素
西北农历科技大学2010—2011学年第一学期 《实验设计与分析》农学院考试试卷 班级姓名学号命题教师员海燕审题教师廖允成 一、选择题（每题1分，共10分） 1. 在正交实验设计中，试验指标是（） A. 定量的 B. 定性的 C. 两者皆可 2. 在正交实验设计中，定量因素各水平的间距是（） A. 相等 B. 不相等 C. 两者皆可 3. U7（74）中括号中的7表示（） A. 最多允许安排因素的个数 B. 因素水平数 C. 正交表的横行数 D. 总的实验次数 4. 以下不属于简单比较法的缺点的是（） A. 选点代表性差 B. 无法考察交互作用 C. 提供信息不够丰富 D. 实验次数多 5. L8（27）中的7代表（） A. 最多允许安排因素的个数 B. 因素水平数 C. 正交表的横行数 D. 总的实验次数 6. 在L9（34）表中，有A，B，C三个因素需要安排。则它们应该安排在（）列 A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 任意3列 7. 三水平因素间的交互作用在正交表中需占用（）列。 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 交互作用对实验结果的影响是（） A. 增强 B.减弱 C.两者皆可能 D.无影响 9. 在一个正交实验中，因素A和B的水平数都为3，那么A和B的交互作用的自由度为（） A. 6 B. 1 C. 4 D. 2 10. 用L8（27）进行正交实验设计，若因素A和B安排在第1、2列，则A×B，应排在第（）列。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、判断题（每题1分，共10分） 1. 在确定工艺条件时，对主要因素和次要因素均选取最优条件。（） 2. 某列算出的极差的大小，反映了该列所排因素选取的水平变动对指标影响的大小。（） 3. 在正交试验中，为了便于分析试验结果，凡遇到定性指标总把它加以定量化处理。（） 4. 要考虑的因素及交互作用的自由度总和必须不大于所选正交表的总自由度。（） 5. 正交实验中，若某号实验根据专业知识可以肯定其实验结果不理想，则可以略去不做。（） 6. 多项式回归分析中，阶数越高，回归方程的精度越高。（） 7. 在多元线性回归中，偏回归系数本身的大小直接反映了自变量的相对重要性。（） 8. 对于拟水平正交试验，即使没有空白列，误差的离差平方和与自由度也不为零。（） 9. 在同样的误差程度下，测得数据越多，计算出的离差平方和就越大。（） 10. 拟水平法既可以对一个因素虚拟水平，也可以对多个因素虚拟水平。（） 三、填空题（每空1分，共20分） 1. 数据6.0×104μm的有位有效数字，测量仪器的最小刻度单位为。 2. 误差根据其性质或产生的原因，可分为、和。 3. 用正交表安排试验具有和的特征。 4. 多指标正交实验的分析方法有两种：和。 5. 单因素试验方差分析中，组间离差平方和反映了，组内离差平方和是反映。 6. 在一元线形回归分析中，回归平方和表示的是，残差平方和表示的是。 7. 某试验考虑A，B，C，D四个因素，每个因素取3个水平，并且考虑3个交互作用A×B，A×C，A×D，则应选择的合适正交表为，误差自由度为。 8. 在因素数为3，水平数为5的试验中，若采用正交设计来安排试验，则至少要做次试验，若采用均匀设计，则只需做次试验，若采用全面试验法，则需做次试验。 9. 精度为1.5级，量程为0.2MPa的弹簧管式压力表的最大绝对误差为kPa，今用其测得大约8kPa（表压）的空气压力，则其最大相对误差为。 四、计算题（共60分） 1. 一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关，在不同温度下测得吸附的重量及相关计算值如表所示。试求：（1）吸附量y关于温度x的一元线性回归方程；（2）相关系数，回归平方和以及残差的标准误差；（3）若实际中需把y控制在区间（10，13）内，则变量x应控制在什么区间内？
方差分析表(无重复试验) (适用二水平) 方差 来源 离差平方和 自由度 方差 F 值 临界值 结论 SS 因 () 8 II I 2 i i - P203（9-3） 1 1/S S S 2 因因= 2e 2 S S F 因= ),1(e f F α SS e e f e e e f SS S =2 方差分析表 (无重复试验) (适用各水平) 来源 SS 因 试验次数 试验结果 列水平重复数第:n :y j :) 19(203........................1) 49(203.......... i 2 12 22j n i i j j j j j n P y n CT P CT n III II I SS -⎪⎭⎫ ⎝⎛=--+++= ∑= 因f 水平数-1 因 因 因 f SS S =2 2e 2 S S F 因 = ) ,(e f f F 因α SS e e f e e e f SS S =2
方差分析表(有重复试验) (适用各水平) 方差 来源 离差平方和 自由度 方差 F 值 临界值 结论 SS 因 试验次数 试验结果 同一试验的重复数 列水平重复数第:n :y :j :207........................ 1208 ................. ij 2 112 22m n P y m n CT P CT m n III II I SS j n i m k ij j j j j j ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯+++= ∑∑== f 因= 水平数-1 因因因f SS S = 2 2e 2 S S F 因 = ),(e f f F 因α SS e1 f e1= 水平数-1 2 1212e e e e e f f SS SS S ++= SS e2 合计试验数据 每一个试验数据 ::)2(207 (112) 11 2i ij n i i n i m k ij y y p y m y ∑∑∑===- )1(2-=m n f e
一、名词解释：（20分） 1.准确度和精确度：同一处理观察值彼此的接近程度同一处理的观察值与其真值的接近程度 2.重复和区组：试验中同一处理的试验单元数将试验空间按照变异大小分成若干个相对均匀的局部，每个局部就叫一个区组 3回归分析和相关分析：对能够明确区分自变数和因变数的两变数的相关关系的统计方法：对不能够明确区分自变数和因变数的两变数的相关关系的统计方法 4.总体和样本：具有共同性质的个体组成的集合从总体中随机抽取的若干个个体做成的总体 5.试验单元和试验空间：试验中能够实施不同处理的最小试验单元所有试验单元构成的空间 二、填空：（20分） 1.资料常见的特征数有：（3空）算术平均数方差变异系数 2.划分数量性状因子的水平时，常用的方法：等差法等比法随机法（3空） 3.方差分析的三个基本假定是（3空）可加性正态性同质性 4.要使试验方案具有严密的可比性，必须（2空）遵循“单一差异”原则设置对照 5.减小难控误差的原则是（3空）设置重复随机排列局部控制 6.在顺序排列法中，为了避免同一处理排列在同一列的可能，不同重复内各处理的排列方式常采用（2空）逆向式阶梯式 7.正确的取样技术主要包括：（）确定合适的样本容量采用正确的取样方法 8.在直线相关分析中，用（相关系数）表示相关的性质，用（决定系数）表示相关的程度。 三、选择：（20分） 1试验因素对试验指标所引起的增加或者减少的作用，称作（C） A、主要效应 B、交互效应 C、试验效应 D、简单效应 2•统计推断的目的是用（A） A、样本推总体 B、总体推样本 C、样本推样本 D、总体推总体 3•变异系数的计算方法是（B） 4•样本平均数分布的的方差分布等于（A） 5.t检验法最多可检验（C）个平均数间的差异显著性。 6•对成数或者百分数资料进行方差分析之前，须先对数据进行0B） A、对数 B、反正弦 C、平方根 D、立方根 7•进行回归分析时，一组变量同时可用多个数学模型进行模拟，型的数据统计学标准是（B） A、相关系数 B、决定性系数 C、回归系数 D、变异系数 8•进行两尾测验时，u0.10=1.64,u0.05=1.96,u0.01=2.58那么进行单尾检验，uO.O5=（A） 9•进行多重比较时，几种方法的严格程度（）B 10.自变量X与因变量Y之间的相关系数为0.9054，则Y的总变异中可由X与Y的回归关系解释的比例为（C） A、0.9054 B、0.0946 C、0.8197 D、0.0089 四、简答题：（15分） 1•回归分析和相关分析的基本内容是什么？（6分）配置回归方程，对回归方程进行检验，分析多个自变量的主次效益，利用回归方程进行预测预报：计算相关系数，对相关系数进行检验 2•一个品种比较试验，4个新品种外加1个对照品种，拟安排在一块具有纵向肥力差异的地块中，3次重复（区组）,各重复内均随机排列。请画出田间排列示意图。（2分） 3•田间试验中，难控误差有哪些？（4分）土壤肥力，小气候，相邻群体间的竞争差异，同一群体内个体间的竞争差异。4随即取样法包括哪几种方式？（3分）简单随机取样法分层随机取样法整群简单随机取样法 五、计算题（25分） 1•研究变数x与y之间的关系，测得30组数据，经计算得出：x均值=10，y均值=20，l=60,l=300,r=0.6。根据所得数据建立直线回归方程。（5分）a=2b=1.8y=2+1.8x 2•完成下列方差分析表，计算出用LSR法进行多重比较时各类数据填下表：
1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围：A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平： A：A l＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：B l＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：C l＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法：
(Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即A l B l C1，A1B l C2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C 于B l、C l，使A变化之： ↗A1 B1C1→A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是C l，使B变化之： ↗B1
第三节-多因素正交实 验设计
第三节多因素正交实验设计 引言 ⏹多因素实验存在的矛盾 1.第一是全面实验的次数与实际可行的实验次数之间的矛盾； 2.第二是实际所做的少数实验与全面掌握内在规律的要求之间的矛盾。 ⏹正交实验设计 ◆正交实验设计，能帮助我们在实验前借助于事先已制好的正交表科学地 设计实验方案，从而挑选出少量具有代表性的实验做，实验后经过简单的表格运算，分清各因素在实验中的主次作用并找出最好的运行方案，最终得到正确的分析结果。 一、正交实验设计的基本原理 （一）正交表 1、定义：正交表，是依据数学原理，从大量的全面试验点中，为挑选少量具有代 表性的试验点，所制成的排列整齐的规范化表格。 三因素二水平正交表
2、正交表符号的含义 常用正交表L8（27） 常用正交表L9（34）
3、正交表的特点 1.每一列中，不同数字（如：1或2）出现的次数相等； 2.任意两列中，将同一横行的两个数字看成有序数对（如：数对 （1，1）、（1，2）（2，1）等）时，每种数对出现的次数相等 （二）正交表的类型 ⏹同水平正交表： 即各因素水平数相等的表格； ⏹混合水平正交表： 即各因素水平数不相等的表格。 1、同水平正交表L9（34） 2、混合水平正交表L8（4×24）
混合水平正交表L8（4×24） （三）正交性原理 ⏹正交性原理是设计正交表的科学依据，主要表现为均衡搭配性。 ⏹均衡搭配是指用正交表所安排的试验方案，能均衡的分散在水平 搭配的各个组合方案中，因而其试验具有代表性。 回顾例题： ⏹为了提高某化工产品的转化率，试验者选择了3个有关的因素： 反应温度A，反应时间B，用碱量C，并且选择如下的试验范 围：A：80~90℃；B：90~150min；C：5~7%。 要求确定最佳工艺条件（即转化率达到最高时的反应条件）。 1、分析条件