正交试验设计实例分析
正交试验设计是使用正交表来安排多因素、多水平试表验，并采用统计学方法分析实验结果的一种实验设计方法［１］。对于多因素、多水平的问题，人们一般希望通过若干次的实验找出各因素的主次关系和最优搭配条件，用正交表合理地安排实验，可以省时、省力、省钱，同时又能得到基本满意的实验效果。因此，这种方法在改进产品质量、优化工艺条件及研发新产品等诸多方面广泛应用。但是，很多研究人员在使用该方法时，有些细节往往容易被忽视。作者以姜黄素的提取为例具体阐述这一方法的使用和注意事项。
1.实例：
姜黄素是姜黄中的主要活性成分，在优化其提取工艺时，首先应确定正交试验需要考察的因素和水平。尤本明等［２］考察了三个因素，因素A（作为溶媒的乙醇浓度）、因素 B（溶媒的量）、因素C（渗漉速度），每个因素取三个水平。试验设计时，一般还应考虑各因素间的交互作用，也就是因素之间的联合作用，这点不可忽视。根据以往经验可知，本例中因素之间的交互作用可以忽略，故采用 L９（３４）正交表来安排试验（见表１）。该表共有４列，将因素 A 、B 、C 分别安排在正交表的第２、３、４列上，第１列为空白列。在试验前，各因素及水平在正交表中的位置必须交待清楚，以确定各次试验的条件，避免不必要的错误。
1 正交试验设计与结果
2 .直观分析法：
表１中的 K１、K２、K３分别表示在各因素各水平下姜黄素提取量的总和，K分别表示在各因素各水平下姜黄素提取量的平均值。由于有时会遇到各因素水平数不等的情况，因此，一般用提取量的平均值大小来反映同一个因素的各个不同水平对试验结果（提取量）影响的大小，并以此确定该因素应取的最佳水平。用同一因素各水平下平均提取量的极差R（极差＝平均提取量
的最大值－平均提取量的最小值）来反映各因素的水平变动对试验结果（提取量）影响的大小。极差大就表示该因素的水平变动对试验结果的影响大，极差小就表示该因素的水平变动对试验结果的影响
小。由表１得到因素的主次顺序依次为乙醇浓度（因素A ）、渗漉速度（因素C）、提取溶媒的量（因素B）。主要因素应取最好的水平，而次要因素则可根据成本、时间、收益等方面的统筹考虑选取适当的水平。由此得到各因素的最佳搭配为A２B３C２，即最佳工艺为９倍体积的７０％乙醇，以３mL速度渗漉。按此条件的试验在正交表的９次试验中并没有出现，通过做补充试验，结果得到姜黄素的提取量达到４８１２mg ，大于正交试验结果中的最高值４６１．２５mg ，说明利用正交试验优化姜黄素的提取工艺是成功的。
3 .方差分析法：［3 ］
正交试验的直观分析法简便、直观、计算量小，但不能估计试验误差，即不能区分试验结果的差异是由各因素的水平变化而导致，还是由试验的随机波动而导致。很多正交试验都没能考虑这一问题。要解决此问题，可以对试验结果做方差分析。在对正交试验做方差分析时，必须估计随机误差，而随机误差是通过正交表上空白列得到的。由于空白列中没有因素作用，因此正好反映随机因素所引起的误差，该空白列在方差分析中常被称为误差列。因此，在做正交试验方差分析时，正交表的表头中必须留下空白列，以确定随机误差引起的离差平方和；若没有空白列，则需做重复试验，或者选择离差平方和中最小者做近似估计。当空白列多于一列时，随机误差平方和等于所有空白列的离差平方和之和，而其自由度也等于各空白列自由度的总和，见表2
由表２可知，因素A的P值＜０．０１，即因素A对试验结果影响极显著；因素C的P值＜0.05，即因素 C 对试验结果影响显著；因素 B 的P值＜0.10，即因素 B 对试验结果有一定影响。因此，因素 A 为主要因素，因素C 和因素 B 为次要
因素。按方差分析法的观点.只需对有显著影响的因素选择最佳水平，而其他对试验结果影响较小的因素，则可按实际需要选择适当的水平。因此，本例中试验各因素的最佳搭配为A２ B３ C２，即最佳工艺为９倍体积的７０％乙醇，以３m L ／ min 速度渗漉，结论与直观分析法相同。
４. 讨论［４］
在利用直观分析法分析正交试验结果后，由于所得的最佳搭配只是相对于被选因素和水平而言的，不是绝对的“最佳”，因此通常需作进一步讨论，而这一点恰恰容易被研究人员忽
视。从表１可看出：对因素 A 而言，乙醇浓度太大或太小，姜黄素提取量都不高，在以后的试验中，可考虑细化实验条件，选取适当乙醇浓度，比如乙醇浓度为６０％? 、８０％等，再观察姜黄素提取量的变化情况。对因素 B 而言，取９倍体积的溶媒，姜黄素提取量较高，而取４倍体积或６倍体积时，姜黄素提取量较低，在以后的试验中，溶媒的量可取１２倍或１５倍体积，姜黄素提取量也许还会提高。对因素 C 而言，渗漉速度太快或太慢，姜黄素提取量都不高，因此在以后的试验中，可适当选取渗漉速度，比如选取渗漉速度为2.5m L／min或3.5m L／min。通过上述分析能方便地得出一些改进的思路，为获得更优的工艺条件提供了线索。
参考文献：
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１７４唱１７５．
［４］祝国强，刘庆欧．医药数理统计方法［M ］．北京：高等教育出版社，２００４：２０１唱２２２．［收稿日期］２００７唱０８唱１５［修回日期］２００７唱１１唱０９［本文编辑］兰、姚春芳
(完整word版)方差分析习题与答案统计学方差分析练习题与答案一、单项选择题 1．在方差分析中，（）反映的是样本数据与其组平均值的差异 A总离差 B组间误差 C抽样误差 D组内误差 2．是（） A组内平方和 B组间平方和 C总离差平方和 D因素B的离差平方和 3．是（） A组内平方和 B组间平方和 C总离差平方和 D总方差 4．单因素方差分析中，计算F统计量，其分子与分母的自由度各为（）
Ar，n Br-n，n-r Cr-1.n-r Dn-r，r-1 二、多项选择题 1．应用方差分析的前提条件是（） A各个总体报从正态分布 B各个总体均值相等 C各个总体具有相同的方差 D各个总体均值不等 E各个总体相互独立 2．若检验统计量F=近似等于1，说明（） A组间方差中不包含系统因素的影响 B组内方差中不包含系统因素的影响 C组间方差中包含系统因素的影响 D方差分析中应拒绝原假设 E方差分析中应接受原假设 3．对于单因素方差分析的组内误差，下面哪种说法是对的？（）A其自由度为r-1
B反映的是随机因素的影响 C反映的是随机因素和系统因素的影响 D组内误差一定小于组间误差 E其自由度为n-r 4．为研究溶液温度对液体植物的影响，将水温控制在三个水平上，则称这种方差分析是（） A单因素方差分析 B双因素方差分析 C三因素方差分析 D单因素三水平方差分析 E双因素三水平方差分析 三、填空题 1．方差分析的目的是检验因变量y与自变量某是否，而实现这个目的的手段是通过 的比较。 2．总变差平方和、组间变差平方和、组内变差平方和三者之间的关系是。3．方差分析中的因变量是，自变量可以是，也可以是。4．方差分析是通过对组间均值变异的分析研究判断多个是否相等的一种统计方法。 5．在试验设计中，把要考虑的那些可以控制的条件称为，把因素变化的多个等级状态称为。
正交试验设计 2 正交试验设计的基本程序（实例分析） 为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最佳工艺条件。 对本试验分析，影响山楂液化率的因素很多，如山楂品种、山楂果肉的破碎度、果肉加水量、原料pH 值、果胶酶种类、加酶量、酶解温度、酶解时间等等。经全面考虑，最后确定果肉加水量、加酶量、酶解温度和酶解时间为本试验的试验因素，分别记作A、B、C和D，进行四因素正交试验，各因素均取3个水平，因素水平表如下表所示。 试验因素 水平 加水量（mL/100g）A 加酶量（mL/100g）B 酶解温度（℃）C 酶解时间（h）D 110120 1.5 250435 2.5 390750 3.5 （3）选择合适的正交表正交表的选择原则是在能够安排下试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较小的正交表，以减少试验次数。试验因素的水平数=正交表中的水平数。因素个数（包括交互作用）小于等于正交表的列数。各因素及交互作用的自由度之和< 所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。 若各因素及交互作用的自由度之和=所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。 正交表选择依据列数（正交表的列数c≥因素所占列数+交互作用所占列数+空列） 自由度（正交表的总自由度（a-1）≥因素自由度+交互作用自由度+误差自由度。） 此例有4个3水平因素。若仅考察4个因素对液化率的影响效果，不考察因素间的交互作用，故宜选用L9（34）正交表。若要考察交互作用，则应选用L27(313)。 （4）表头设计所谓表头设计，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安排到正交表的各列中去的过程。在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各因素与交互作用，以防止设计“混杂”。此例不考察交互作用，可将加水量(A)、加酶量(B)和酶解温度(C)、酶解时间（D）依次安排在L9(34)的第1、2、3、4列上，如下表所示。 （5）编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互作用列）中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，便形成了正交试验方案。 试验号并非试验顺序，为了排除误差干扰，试验中可随机进行；安排试验方案时，部分因素的水平可采用随机安排。 2.2试验结果分析 3.1.1 不考察交互作用的结果分析
第5章 正交试验设计方法 5．1 试验设计方法概述 试验设计是数理统计学的一个重要的分支。多数数理统计方法主要用于分析已经得到的数据，而试验设计却是用于决定数据收集的方法。试验设计方法主要讨论如何合理地安排试验以及试验所得的数据如何分析等。 例5-1 某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表5-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件。 对此实例该如何进行试验方案的设计呢？ 很容易想到的是全面搭配法方案（如图5-1所示）： 此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33 ＝27次（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）。因素、水平数 愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个6因素3水平的试验，就需36＝729次实验，显然难以做到。因此需要寻找一种合适的试验设计方法。 试验设计方法常用的术语定义如下。 试验指标：指作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如得率、纯度等）。例1的试验指标为合格产品的产量。 因素：指作试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些原因。如例1的温度、压力、碱的用量。 水平：指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。如例1的温度有3个水平。温度用T 表示，下标1、2、3表示因素的不同水平，分别记为T 1、T 2、T 3。 常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计法等。可供选择的试验方法很多，各种试
验设计方法都有其一定的特点。所面对的任务与要解决的问题不同，选择的试验设计方法也应有所不同。由于篇幅的限制，我们只讨论正交试验设计方法。 5．2 正交试验设计方法的优点和特点 用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。其特点为：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。 从例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次实验。那么采用简单比较法方案又如何呢？ 先固定T1和p1，只改变m，观察因素m不同水平的影响，做了如图2-2（1）所示的三次实验，发现m＝m2时的实验效果最好（好的用□表示），合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素m应取m2水平。 固定T1和m2，改变p的三次实验如图5-2（2）所示，发现p＝p３时的实验效果最好，因此认为因素p应取p３水平。 固定p３和m2，改变T 的三次实验如图5-2（3）所示，发现因素T 宜取T2水平。 因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为T2p３m2。与全面搭配法方案相比，简单比较法方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，简单比较法方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变m值（或p值，或T值）的三次实验中，说m2（或p３或T2）水平最好是有条件的。在T≠T１，p≠p１时，m2水平不是最好的可能性是有的。②在改变m的三次实验中，固定T＝T２，p＝p３应该说也是可以的，是随意的，故在此方案中数据点的分布的均匀性是毫无保障的。③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的试验数据进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的干扰。 运用正交试验设计方法，不仅兼有上述两个方案的优点，而且实验次数少，数据点分布均匀，结论的可靠性较好。 正交试验设计方法是用正交表来安排试验的。对于例1适用的正交表是L9（34），其试验安排见表5-2。 所有的正交表与L9（34）正交表一样，都具有以下两个特点： （1）在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同。在表L9（34）中，每一列有三个水平，水平1、2、3都是各出现3次。 （2）表中任意两列并列在一起形成若干个数字对，不同数字对出现的次数也都相同。在表L9（34）中，任意两列并列在一起形成的数字对共有9个：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），每一个数字对各出现一次。
正交试验设计对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 1正交试验设计的概念及原理 1.1正交试验设计的基本概念 正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找岀最优的水平组合。 例如：设计一个三因素、3水平的试验 A因素，设A、A?> As3个水平；B因素，设B、B2、Bs3个水平； C因素，设G、G、G 3个水平，各因素的水平之间全部可能组合有27种。 全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选岀最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多（图示的27个节点），工作量大，在有些情况下无法完成。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试 验。 全面试验法示意图
三因素、三水平全面试验方案 卫具e 8G 正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那 样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能岀现交互作用的混杂。虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。 如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表1_9
利用SPSS进行方差分析以及正交试验设计方差分析是一种常见的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异。正交试验设计是一种实验设计方法，能够同时考虑多个因素对结果的影响。本文将利用SPSS进行方差分析和正交试验设计的步骤介绍，并讨论如何 解读分析结果。 首先，我们将介绍方差分析的步骤。方差分析的基本思想是比较组间 和组内的变异程度。假设我们有一个因变量和一个自变量，自变量有两个 或多个水平。下面是方差分析的步骤： 1.导入数据：将数据导入SPSS软件，并确保每个变量都已正确标记。 2.选择统计分析：点击SPSS菜单栏上的"分析"，然后选择"方差"， 再选择"单因素"。 3.设置因变量和自变量：在弹出的对话框中，将需要进行方差分析的 因变量拖放到因素列表框中，然后将自变量也拖放到因素列表框中。 4.点击"设定"按钮：点击"设定"按钮，设置方差分析的参数，例如是 否需要进行正态性检验、多重比较等。然后点击"确定"。 5.查看结果：SPSS将输出方差分析的结果，包括各组之间的F值、p 值等统计指标。可以根据p值判断各组之间是否存在显著差异。 接下来，我们将介绍正交试验设计的步骤。正交试验设计是一种多因 素独立变量的实验设计方法，可以在较小的实验次数内获得较高的信息量。下面是正交试验设计的步骤： 1.设计矩阵：根据研究目的和独立变量的水平，构建正交试验的设计 矩阵。
2.导入数据：将设计矩阵导入SPSS软件，并将每个变量的水平标注 为自变量。 3.选择统计分析：点击SPSS菜单栏上的"分析"，然后选择"一般线性 模型"，再选择"多元方差分析"。 4.设置因变量和自变量：在弹出的对话框中，将因变量拖放到因子列 表框中，然后将自变量也拖放到因子列表框中。 5.点击"设定"按钮：点击"设定"按钮，设置正交试验设计的参数，例 如交互作用是否显著、多重比较等。然后点击"确定"。 6.查看结果：SPSS将输出正交试验设计的结果，包括各因素的F值、p值以及交互作用等统计指标。可以根据p值判断各因素和交互作用是否 显著。 在解读方差分析和正交试验设计的结果时，需要注意以下几点： -如果p值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则可以认为结果 是显著的，即各组之间存在差异。 -如果p值大于设定的显著性水平，结果不显著，即各组之间没有差异。 -正交试验设计的交互作用是指自变量之间的影响程度是否相等。如 果交互作用显著，说明不同自变量的影响程度不同。 总结起来，使用SPSS进行方差分析和正交试验设计的步骤包括导入 数据、设置因变量和自变量、点击设定按钮设置参数，然后查看结果并解 读统计指标。方差分析和正交试验设计在实际应用中具有广泛的应用价值，能够帮助研究者更好地理解不同组别之间的差异和变量之间的相互作用。
正交试验设计中的方差分析 正交试验设计是一种常用的实验设计方法，用于研究多个因素对试验结果的影响。在正交试验设计中，方差分析是一种常用的统计工具，用于量化各个因素对试验结果的影响程度，从而帮助我们做出科学的决策。本文将介绍正交试验设计中方差分析的基本概念、方法和应用。方差分析是通过将数据的变异分解成各个因素或误差的效应，从而量化各个因素对试验结果的影响程度。方差分析的主要目标是确定因素效应的大小和显著性，以便在实验中剔除不显著的因素，并对显著因素进行进一步研究。 在正交试验设计中，方差分析可以按照以下步骤进行： 确定试验目的：在进行方差分析前，需要明确试验的目的和研究问题。例如，研究三种因素对产品产量的影响，以便优化生产工艺。 设计正交试验：根据试验目的，选择合适的正交表，确定实验方案。正交表是正交试验设计的基础，它是一张包括所有可能组合的表格，可以列出实验中需要考虑的所有因素和水平。 收集实验数据：按照实验方案进行实验，并记录各个组合下的实验结果。
进行方差分析：利用统计软件进行方差分析，得出各个因素效应的估计值和显著性水平。 得出根据方差分析的结果，确定显著因素和非显著因素，从而得出优化方案或建议。 在正交试验设计中，方差分析的应用非常广泛。例如，在工业生产中，可以通过正交试验设计和方差分析来优化生产工艺，提高产品质量和产量。在医学研究中，可以用来研究多个药物剂量对疗效的影响，以便找到最佳治疗方案。正交试验设计和方差分析是解决多因素问题的有效工具。 正交试验设计中的方差分析是一种非常重要的统计工具，它可以帮助我们量化各个因素对试验结果的影响程度，从而找到优化方案或建议。通过方差分析的应用，我们可以更加科学地解决多因素问题，提高决策的准确性和效果。在实际应用中，需要结合实际情况和专业知识进行具体操作和解释，以充分发挥其作用和价值。 在进行科学实验或调查研究时，常常需要对不同的因素进行方差分析，以便确定哪些因素对实验结果有显著影响。为了简化分析过程和提高可靠性，可以借助正交试验方差分析程序进行分析。
正交设计实验结果的直观分析： 用Excel进行直观分析简单、实用，要求同学们掌握。 总计9848
1、看一看找条件，指标最好的点对应的实验条件为最佳条件 根据正交、析因设计数据可比的特点，表中指标最好的点为A3B3C2，所 对应的条件即为实验范围内的最佳工艺条件。 2、算一算极差，确定主次因素。极差大小顺序为因素主次顺序 K ij—第j个因素第i个水平的所有指标值的平均值； K11=（31+54+38）/3=41 K12=（31+53+57）/3=47 K23=（54+53+64）/3=57 MAX= MAX (K1j,，K2j，K3j) MIN= MIN (K1j,，K2j，K3j) 极差R= MAX－MIN 表中计算结果显示极差的大小顺序为A>C>B，主要影响因素为A，其次为 C，因素B影响最小。
Q j—均方和 Q j因素均方和：Q j=(K1j-K2j)2+(K1j-K3j)2+(K2j-K3j)2 Q1=（41-48）2+（41-61）2+（48-61）2=618 Q T总均方和：Q T=∑Q j+Q误差，如果不设计误差列，Q T=∑（y2）-（∑y）2/n Q误差误差均方和：Q误差= Q T-∑Q j f—自由度 f j因素自由度：f j=因素j的水平数-1 f T总自由度：f T=实验个数-1 f误差误差自由度：f误差= f T-∑f j MS—方差估计值 MS j因素方差值：MS j= Q j/ f j MS误差误差方差值：MS误差= Q误差/ f误差 F值—统计检验量 F j因素检验量：F j= MS j/ MS误差 Fα（f1，f2）标准检验量，根据检验水平和自由度查F表得到 （α为检验水平，f1，f2分别为因素自由度和误差自由度，） 显著性判断 F j > F0.01（f1，f2），高度显著因素 F j > F0.05（f1，f2），显著因素 F j > F0.1（f1，f2），较显著因素
正交试验方差分析 1. 引言 正交试验是一种基于统计学原理的实验设计方法，通过对多个变量进行组合，从而解决多因素对结果的影响。方差分析是一种常用的统计方法，用于比较不同组之间的差异。正交试验方差分析是将正交试验方法与方差分析相结合，用于分析多因素对结果的影响，并确定各因素的主要影响因子。 2. 正交试验的基本原理 正交试验是一种通过设计矩阵来确定各个变量组合的方法。其基本原理是将多个因素独立地进行变化，并通过正交设计矩阵来确定各个因素的取值组合。通过选择合适的正交设计矩阵，可以降低试验的次数，提高试验效率。 3. 正交试验方差分析的步骤 正交试验方差分析主要包括以下几个步骤： 3.1 确定试验因素 首先需要确定需要进行试验的因素。这些因素可以是产品的不同设计参数、工艺的不同操作条件等。 3.2 构建正交设计矩阵 根据确定的试验因素，构建正交设计矩阵。正交设计矩阵是一种特殊的矩阵，能够保证各个因素之间的相互独立性，从而减少试验次数，提高试验效率。 3.3 进行试验并记录结果 根据正交设计矩阵确定的因素取值组合，进行实际试验并记录试验结果。试验结果可以是产品的性能指标、工艺的生产效率等。 3.4 进行方差分析 根据试验结果，进行方差分析。方差分析是一种通过比较组间差异和组内差异来确定因素对结果的影响程度的方法。 3.5 确定主要影响因子 根据方差分析的结果，确定各个因素的主要影响因子。这些主要影响因子可以作为进一步优化产品设计或工艺操作的依据。
4. 正交试验方差分析的优势 正交试验方差分析具有以下几个优势： •减少试验次数，提高试验效率。 •可以同时考虑多个因素对结果的影响，更全面地评估产品或工艺的性能。 •通过方差分析确定主要影响因子，为进一步优化设计或操作提供指导。 5. 总结 正交试验方差分析是一种将正交试验方法与方差分析相结合的统计分析方法。 通过选择合适的正交设计矩阵，可以降低试验次数，提高试验效率。正交试验方差分析可以同时考虑多个因素对结果的影响，并通过方差分析确定主要影响因子，为进一步优化设计或操作提供指导。这种方法在产品设计和工艺优化中具有重要的应用价值。
正交试验设计2正交试验数据方差分析和贡献率分析 正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择适当的试验水平组合和 设置统计模型，以减少试验阶段的试验次数和工作量，提高试验的效率和 准确性。正交设计通过对变量进行排列组合，使各变量的效应独立出现并 减少副效应的影响，从而使实验结果更加可靠。 正交设计数据分析方法 方差分析(ANOVA)是一种统计方法，用于测试在不同因素水平下的平 均值是否相等。在正交试验中，方差分析可以用于测试各个因子对试验结 果的影响是否显著。方差分析通常包括总体均值检验、各因子的效应检验 以及误差项的检验。通过方差分析可以确定哪些因子对试验结果的影响是 显著的，进而确定最佳的试验条件。 贡献率分析是一种用于确定各个因子对试验结果的贡献程度的方法。 贡献率分析可以通过计算各个因子的均方根(RMS)值来确定各个因子的贡 献程度。贡献率可以用来排除一些不显著的因子，从而进一步优化试验条件。 1.节省试验次数和工作量：由于正交设计能够减少变量之间的相关性，可以通过较少的试验次数得到可靠的结果。 2.减少误差项：正交设计通过考虑副效应的影响，减少了试验误差的 可能性，提高了数据的可靠性。 3.确定关键因素：正交设计通过方差分析和贡献率分析，可以确定对 试验结果有着显著影响的关键因素，从而进行进一步优化。
4.灵活性：正交设计可以根据实验需求进行灵活的调整和改变，以适应多样的试验条件和目标。 总结 正交试验设计是一种有效的实验设计方法，可用于减少试验次数和工作量，提高试验效率和准确性。方差分析和贡献率分析是对正交设计数据进行进一步分析和总结的重要工具，可以帮助确定关键因素和优化试验条件。正交试验设计能够在实验设计的早期阶段对各个因子进行全面考虑，从而为实验结果的有效性和可靠性打下基础。
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。 正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表11-1 33试验的全面试验方案
.. . . . . 实验报告 课程名称生物医学统计分析 实验名称方差分析1 专业班级 姓名 学号 实验日期 实验地点
2015—2016学年度第 2 学期
组内38.842 20 1.942 总数85.340 24 分析：表2是方差分析的统计结果，由此可知，F=5.986，P=0.002〈0.01，可认为5个品种猪存在极显著差异，故须进行多重比较。 表3 5个品种猪增重的多重比较（LSD法） (I) 品种(J) 品种均值差 (I-J) 标准误显著性 95% 置信区间下限上限 LSD 1 2 3.0000*.8046 .001 1.322 4.678 3 1.8667*.8439 .039 .106 3.627 4 .5417 .8996 .554 -1.33 5 2.418 5 3.5417*.899 6 .001 1.665 5.418 2 1 -3.0000*.8046 .001 -4.678 -1.322 3 -1.1333 .8439 .19 4 -2.894 .627 4 -2.4583*.8996 .013 -4.33 5 -.582 5 .5417 .899 6 .554 -1.335 2.418 3 1 -1.8667*.8439 .039 -3.627 -.106 2 1.133 3 .8439 .19 4 -.627 2.894 4 -1.3250 .9348 .172 -3.27 5 .625 5 1.6750 .9348 .088 -.275 3.625 4 1 -.5417 .8996 .554 -2.418 1.335 2 2.4583*.8996 .01 3 .582 4.335 3 1.3250 .9348 .172 -.625 3.275 5 3.0000*.9854 .00 6 .944 5.056 5 1 -3.5417*.899 6 .001 -5.418 -1.665 2 -.5417 .8996 .554 -2.418 1.335 3 -1.6750 .9348 .088 -3.625 .275 4 -3.0000*.9854 .006 -5.056 -.944 *. 均值差的显著性水平为 0.05。 分析：表3是选用LSD法作为均数间的两两比较的结果： 品种1与品种2的显著性P=0.001〈0.01，差异极显著； 品种1与品种3的显著性P=0.039〈0.05，差异显著； 品种1与品种4的显著性P=0.554〉0.05，差异不显著； 品种1与品种5的显著性P=0.001〈0.01，差异极显著； 以此类推 因为均值差与正数越接近说明其差异越好，表3中品种1的均值差都大于0，说明品种1的
重复正交实验的方差分析 1.简介 正交表的各列都已安排满因素或交互作用，没有空列，为了估价实验误差和进行方差分析，需要进行重复实验；正交表的列虽未安排满，但为了提高统计分析精准性和靠得住性，往往也进行重复实验。重复实验，确实是在安排实验时，将同一处置实验重复假设干次，从而取得同一条件下的假设干次实验数据。 重复实验的方差分析与无重复实验的方差分析没有本质区别，除误差平方和、自由度的计算有所不同，其余各项计算大体相同。 (本文内容来自于网络资料的整理，希望能帮忙到在寻觅重复正交实验的方差分析方式的同窗) 1.1无重复实验计算表格 表头设计A B……试验数据 列号12…k x i x i2 试验号 11 (x1x12) 21 (x2x22) ………………… n m………x n x n2 K1j K11K12 (1) K2j K21K22 (2) …………… K mj K m1K m2…K mk K1j2K112K122…K1k2 K2j2K212K222K2k2 …………… K mj2K m12K m22…K mk2 SS j SS1SS2…SS k CT ＝Q SS r 1 ＝ Q CT ＝Q SS x Q n T CT x T＝ j j i＝ j T T n i＝ i T 2 n i＝ i - - = ∑ ∑ ∑ m 1 2 ij 1 2 1 K ＝ 表10-21 L n（m k）正交表及计算表格
1.2 有重复实验计算方式 （1）假设每号实验重复数为s ，在计算K 1j ，K 2j ，…时，是以各号实验下“s 个实验数据之和”进行计算。 （2）重复实验时，总误差平方和SS T 及自由度df T 按下式计算。 式中，n －正交表实验号 S －各号实验重复数 X it －第i 号实验第t 次重复实验数据 T －所有实验数据之和（包括重复实验） ∑∑===n i s t it x T 11 （3）重复实验时，各列误差平方和计算公式中的水平重复数改成“水平重复数乘以实验重复数”，修正项CT 也有所转变，SS j 的自由度df j 为水平数减1。 （4）重复实验时，总误差平方和包括空列误差SS e1和重复实验误差SS e2，即 自由度dfe 等于df e1和df e2之和，即 2 1SSe SSe SSe +=2 1dfe dfe dfe +=
回首页 正交试验设计法 正交试验设计法的基本思想 正交表 正交表试验方案的设计 试验数据的直观分析 正交试验的方差分析 常用正交表 1.正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 ［例1］为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A: 80-90 E B: 90-150 分钟 C: 5-7 % 试验目的是搞清楚因子A、B C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A,在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平: A: Al = 80°C，A2= 85°C，A3=90C B: Bl = 90 分，B2= 120 分，B3=150分 C: Cl = 5%，C2= 6% C3= 7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各 水平间的距离可以相等，也可以不相等。这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (I )取三因子所有水平之间的组合，即 AIBIC1，A1BIC2, A1B2C1 ……，A3B3C3
共有 33=27次 试验。用图表示就是图1立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当 因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56二15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 图1全面试验法取点........ (n )简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B C于Bl、Cl，使A变化之： / A1 B1C1 —A2 \ A3 (好结果) 如得出结果A3最好，贝U固定A于A3, C还是Cl，使B变化之： / B1 A3C1 —B2 (好结果) \ B3 得出结果以B2为最好，则固定B于B2, A于A3,使C变化之： / C1 A3B3C2 (好结果) \ C3 试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2 这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单 比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。 简单对比法的最大优点就是试验次数少，例如六因子五水平试验，在不重复时， 只用5+(6- 1) X (5-1) = 5+5X 4= 25次试验就可以了。 考虑兼顾这两种试验方法的优点，从全面试 验的点中选择具有典型性、代表性的点，使 6 试验点 在试验范围内分布得很均匀，能反映全面情况。但我 们又希望试验点尽量地少，为此还要具体考虑一些问 题。 如上例，对应于A有Al、A2、A3三个平面，对应于 BC也各有三个平面，共九个平面。 则这九个平面上的试验点都应当一样多，即对每个因 子的每个水平都要同等看待。具体来说，每个平面
正交试验结果的方差分析方法 计算公式和项目 试验指标的加和值= , 试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的 (1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和 (2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和 (3)…… (4) k j——同一水平出现的次数。等于试验的次数除以第j列的水平数. (5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均” (6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值 (7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节 (8)偏差平方和 (4-1) (9) f j ——自由度.f j 第j列的水平数－1. (10）V j ——方差. Vj =S j /f j (4-2) （11）V e ——误差列的方差。 (4-3) （12）F j ——方差之比 (4-4)
（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。 （14）总的偏差平方和 (4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。即 (4-6) 式中，m为正交表的列数。 若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和 应引出的结论。 与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。在数理统计上，这是一个很重要的问题。显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。 方差分析方法应用举例 例4-6为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平见表4-18。 表4-18例4-6的因素水平表
方差分析方法 方差分析是统计分析方法中，最重要、最常用的方法之一。本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。 1. 方差分析的意义、用途及适用条件 1.1 方差分析的意义 方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部分，再作分析。即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部分，其自由度也分为相应的部分，每部分表示一定的意义，其中至少有一个部分表示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS组间）；另一部分表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性差异。 方差分析在环境科学研究中，常用于分析试验数据和监测数据。在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果产生不同程度的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的程度和性质。 1.2 方差分析的用途 1.2.1 两个或多个样本均数的比较。 1.2.2 分离各有关因素，分别估计其对变异的影响。 1.2.3 分析两因素或多因素的交叉作用。 1.2.4 方差齐性检验。 1.3 方差分析的适用条件 1.3.1 各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）。 1.3.2 各抽样总体的方差齐。 1.3.3 影响数据的各个因素的效应是可以相加的。 1.3.4 对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。一般属Poisson分布的计数资料常用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。 2. 单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较） 根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数。 用方差分析比较多个样本均数的目的是推断各种处理的效果有无显著性差异，如各组方差齐，则用F检验；如方差不齐，用近似F值检验，或经变量变换后达到方差齐，再用变换值作F检验。如经F检验或近似F值检验，结论为各总体均数不等，则只能认为各总体均数之间总的来说有差异，但不能认为任何两总体均数之间都有差异，或某两总体均数之间有差异。必要时应作均数之间的两两比较，以判断究竟是哪几对总体均数之间存在差异。 在环境科学研究中，常常要分析比较不同季节对江、河、湖水中某种污染物的含量