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第7讲命题及充分与必要条件.

第一章常用逻辑用语

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第1讲命题、充分条件与必要条件

考点1：命题

1. 定义：

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.

（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.

（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题

（3）命题“

”的真假判定方式： ① 若要判断命题“

”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出.

② 若要判断命题“

”是一个假命题，只需要找到一个反例即可. 注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.

例1 已知命题:p x R ?∈,23x x <;命题:q x R ?∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是: （）

A ．p q ∧

B ．p q ?∧

C ．p q ∧?

D ．p q ?∧?

例2.下列命题中的假命题．．．

是 A. ,lg 0x R x ?∈= B. ,tan 1x R x ?∈=

C. 3,0x R x ?∈>

D. ,20x x R ?∈>

【解析】对于C 选项x ＝1时，()10x -2=，故选C

变式1.下列命题是真命题的为

A ．若11x y =,则x y =

B ．若2

1x =,则1x = C ．若x y =,x y = D ．若x y <,则 22x y <

解析由11x y =得x y =,而由21x =得1x =±,由x y =,,x y 不一定有意义,而

x y <得不到22x y < 故选A.

例3.下列4个命题111:(0,),()()23x

p x ?∈+∞<

2:(0,1),p x ?∈㏒1/2x>㏒1/3x

p :(0,),()2

x x ?∈+∞>㏒1/2x

:(0,),()32x p x ?∈<㏒1/3x 其中的真命题是（）

A. 13,p p B .14,p p C. 23,p p D. 24,p p

解析取x ＝1

2,则㏒1/2x ＝1,㏒1/3x ＝log 32＜1,p 2正确

当x ∈(0,31)时,(12)x

＜1,而㏒1/3x ＞1.p 4正确

答案 D

考点2：四种命题

1. 四种命题的形式：

用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p 和q 分别表示p 和q 的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；

否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.

2. 四种命题的关系

①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.

②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径. 除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

例4. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:

(1) 若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；

(2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；

(3) 若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零.

解：(1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．

否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．

逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．

(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．

否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．

逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．

(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．

否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．

逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．

例5. “△ABC 中,若∠C=90°,则∠A.∠B 都是锐角”的否命题为: _______________，否定形式是_____________- 解：否定形式：△ABC 中,若∠C=90°,则∠A.∠B 不都是锐角”

否命题：△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A.∠B 不都是锐角”

例3.下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x +y =0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；②“两个

全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2+x +q =0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个

内角相等”的逆否命题。

解：①显然正确；②不正确；③不正确，因△=1-4q 未必大于0；④不对。

变式2.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________.

解：如果两条直线平行，那么它们同时与另一条直线垂直。

例6. 已知p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．

分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论．

解：p ：012=++mx x 有两个不等的负根．

???>?<->-=??200421m m m q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．

?31016)2(1622<

(ⅰ) 当p 真且q 假时，有??

?≥?≥≤>3312m m m m 或； (ⅱ) 当p 假且q 真时，有?

??≤

例7.命题“存在x R ∈，使得2250x x ++=”的否定是

变式3 命题“存在0x ∈R ，02

x ≤0”的否定是 A. 不存在0x ∈R, 02x >0 B. 存在0x ∈R, 02x ≥0

C. 对任意的x ∈R, 2x ≤0

D. 对任意的x ∈R, 2x >0

解析：由题否定即“不存在R x ∈0，使020≤x ”，故选择D 。

变式4 .命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）

A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

答案 B

解析因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。考点3：充分条件与必要条件

1. 定义：

对于“若p 则q ”形式的命题：

①若p q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；

②若p q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；

③若既有p q ，又有q p ，记作p q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）.

2. 理解认知：

（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，

再用结论推条件，最后进行判断.

（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.

“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.

3. 判断命题充要条件的三种方法

（1）定义法：

（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原

命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与；与；与的等价关系，对于

条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.

(3) 利用集合间的包含关系判断，比如A B 可判断为A B ；A=B 可判断为A B ，且 B A ，即A B.

如图：

“”“，且”是的充分不必要条件.

“”“”是的充分必要条件.

例8．在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由．

(1)． A ：R p p ∈≥,2，B ：方程+++p px x 203=有实根；

(2)．A ：132>-x ；B ：061

2>-+x x ；

解：(1) 当2≥p ，取4=p ，则方程0742=++x x 无实根；若方程+2x 03=++p px 有实根，则由0>?推出20)3(42-≤?≥+-p p p 或≥p 6，由此可推出2≥p ．所以A 是B 的必要非充分条件．

(2) 由21132>-x x x 或，由061

2>-+x x 解得23>-

B 的必要非充分条件．

变式5：指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.

（1）对于实数x 、y ，p ：x+y ≠8,q:x ≠2或y ≠6;

（2）非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；

解： (1)易知: ?p:x+y=8, ?q:x=2且y=6,显然?q ??p.但?p ?q,即?q 是?p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.

(2)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B,所以p 是q 的必要不充分条件.

例9. 已知p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什

么条件.

解：若方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1、x 2．

则0＜x 1＜1、0＜x 2＜1，∵x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n

∴0＜－m ＜2，0＜n ＜1 ∴－2＜m ＜0，0＜n ＜1 ∴p 是q 的必要条件．

又若－2＜m ＜0，0＜n ＜1，不妨设m ＝－1，n ＝21．

则方程为x 2－x ＋21＝0，∵△＝(－1)2－4×21＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p 是q 的非充分条件．

综上所述，p 是q 的必要非充分条件．

例10.“()24x k k Z π

π=+∈”是“tan 1x =”成立的（）

（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.

（C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件.

解析：14tan )42tan(==+π

πk ，所以充分；但反之不成立，如145tan

=π 例11. “a ＞0”是“a ＞0”的

[A] (A)充分不必要条件（B ）必要不充分条件

（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件

解析：本题考查充要条件的判断

00,00>?>>?>a a a a Θ，∴ a ＞0”是“a ＞0”的充分不必要条件

变式6.已知a>0，则x 0满足关于x 的方程ax=6的充要条件是

(A)220011,22x R ax bx ax bx ?∈-≥- (B) 220011,22x R ax bx ax bx ?∈-≤- (C) 220011,22x R ax bx ax bx ?∈-≥- (D) 220011,22x R ax bx ax bx ?∈-≤- 【解析】由于a >0,令函数22211()222b b y ax bx a x a a =-=--，此时函数对应的开口向上，当x=b a

时，取得最小值2

2b a

-，而x 0满足关于x 的方程ax=b,那么 x 0==b a ,y min =2200122b ax bx a -=-，那么对于任意的x ∈R,都有212

y ax bx =-≥22b a -=20012ax bx - 变式7 设0＜x ＜2

π，则“x sin 2x ＜1”是“x sinx ＜1”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件

解析：因为0＜x ＜2

π，所以sinx ＜1，故xsin 2x ＜xsinx ，结合xsin 2x 与xsinx 的取值范围相同，可知答案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题例11. “14

m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B.充分必要条件

C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件

【解析】由20x x m ++=知，2

114()024m x -+=≥?14

m ≤．例12.已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的

变式8. “

”是“且”的

A. 必要不充分条件

B.充分不必要条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析易得a b c d >>且时必有a c b d +>+.若a c b d +>+时，则可能有a d c b >>且，选A 。

变式9 .设””是“则“x x x R x ==∈31,的

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条件

解析因为1,1,0,3

-==x x x 解得，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。

例13.已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析显然，充分性不成立.又，若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a ＞b ,即由“a －c ＞b －d ”?“a ＞b ”

例14.已知p ：1123x --≤， q ：

222(1)0x x m -+-≤．若“?p ”是“?q ”的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．

【解法一】由p ：1123x --≤，解得210x -≤≤，

∴“?p ”： (,2)(10,)A =-∞-?+∞． ……………………3分

由q ：22

210x x m -+-≤ 解得：11 m x m -≤≤+

∴“?q ”： (,1)(1,)B m m =-∞-?++∞ ……………………6分

由“?p ”是“?q ”的必要而不充分条件可知：B A ?． ………………8分 12110m m ?-≤-???+≥? 解得9m ≥．

∴满足条件的m 的取值范围为(][),99,-∞-?+∞． ……………………12分

【解法二】由p ：1123x --≤，解得{}210P x x =-≤≤

由q ：22210x x m -+-≤, 解得：}{11 Q x m x m =-≤≤+

由“?p ”是“?q ”的必要而不充分条件可知： ?q ??p ? p ?q ，即：Q P ?

12101m m

-≤-≤+p （等号不同时成立），解得：9m ≥ ∴满足条件的m 的取值范围为(][),99,-∞-?+∞．

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一、选择题

1．对命题p ：A ∩?＝?，命题q ：A ∪?＝A ，下列说法正确的是（）

A ．p 且q 为假

B ．p 或q 为假

C ．非p 为真

D ．非p 为假

2．已知下列三个命题①方程x 2-x+2=0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，

其中真命题是（）

（A ）①和② （B ）①和③ （C ）②和③ （D ）只有①

3．下列结论中正确的是（）

（A ）命题p 是真命题时，命题“P 且q ”一定是真命题。

（B ）命题“P 且q ”是真命题时，命题P 一定是真命题

（C ）命题“P 且q ”是假命题时，命题P 一定是假命题

（D ）命题P 是假命题时，命题“P 且q ”不一定是假命题

4．使四边形为菱形的充分条件是（）

（A ）对角线相等（B ）对角线互相垂直

（C ）对角线互相平分（D ）对角线垂直平分

5．如果命题“非P 为真”，命题“P 且q ”为假，那么则有（）

（A ）q 为真（B ）q 为假（C ）p 或q 为真（D ）p 或q 不一定为真

6．如果命题“p 或q ”和命题“p 且q ”都为真，那么则有（）

（A ）p 真q 假（B ）p 假q 真（C ）p 真q 真（D ）p 假q 假

7．给出4个命题：①若0232=+-x x ，则x =1或x =2；②若32<≤-x ，则0)3)(2(≤-+x x ；

③若x =y =0，则022=+y x ；④若*∈N y x ,，x ＋y 是奇数，则x ，y 中一个是奇数，一个是偶数．那么：

（）

A ．①的逆命题为真

B ．②的否命题为真

C ．③的逆否命题为假

D ．④的逆命题为假

8．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（）

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件

9．“△ABC 中，若∠C=90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为（）

A ．△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠

B 都不是锐角

B ．△AB

C 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角

C ．△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 都不一定是锐角

D ．以上都不对

10．“220a b +≠”的含义是（）

A ．,a b 不全为0

B ． ,a b 全不为0

C ．,a b 至少有一个为0

D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0

11．下列说法正确的是（）

（A ）x ≥3是x>5的充分不必要条件（B ）x ≠±1是x ≠1的充要条件

（C ）若﹁p ?﹁q ，则p 是q 的充分条件

（D ）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形

12．如果命题“P 或Q ”是真命题，命题“P 且Q ”是假命题，那么（）

(A) 命题P 和命题Q 都是假命题 (B) 命题P 和命题Q 都是真命题

（C ）命题P 和命题“非Q ”真值不同 (D) 命题Q 和命题“非P ”真值相同

13.下列有关命题的说法正确的是 ( )

A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．

B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．

C ．命题“x R ?∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ?∈，均有210x x ++<”．

D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题． 14 若q p ,是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有（）

A ．p 真q 真

B ．p 假q 假

C ．p 真q 假

D ．p 假q 真 15 已知A 与B 是两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么A ?是B ?的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

16 已知全集U {}2,1,0=且{}2=A C U ，则集合A 的真子集共有（）

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

17 二次函数c bx ax y ++=2中，若0

A ．1个

B ．2个

C ．没有交点

D ．无法确定

18 设集合A {}13≤=x x ，32=a ，那么下列关系正确的是（）

A ．A a ?

B ．A a ∈

C ．A a ?

D ．{}A a ∈

19.如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么（）

（A ）命题p 不一定是假命题（B ）不一定是真命题

（C ）命题q 一定是真命题（D ）命题p 与命题q 真值相同

20.x 2+2x-8=0”是“x-2=x -2”的（）

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

21.命题“P 或Q ”是真命题，命题“P 且Q ”是假命题，那么（）

(A) 命题P 和命题Q 都是假命题 (B) 命题P 和命题Q 都是真命题

（C ）命题P 和命题“非Q ”真值不同 (D) 命题Q 和命题“非P ”真值相同

22设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的

（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

23.在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是

A.存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根

B.不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根

C.对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根

D.至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根

24.若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是

A.若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

B.若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

C.若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数

D.若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数

25.如果命题“)(q p 或?”为假命题，则

A.p ，q 均为真命题

B.p ，q 均为假命题

C.p ，q 中至少有一个为真命题

D.p ，q 中至多有一个为真命题

26.已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是

A.()p q ?∨

B.p q ∧

C.()()p q ?∧?

D.()()p q ?∨?

27. “0x >”是“0x ≠”的（）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件28. “12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的 ( )

A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

29． “x>1”是“x x >2”成立的（）

A ．充要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分不必要条件

D ．既不充分又不必要条件

30.命题：“若12

A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或

B.若11<<-x ，则12

C.若11-<>x x ，或，则12>x

D.若11-≤≥x x ，或，则12≥x

31.若集合{}2,1m A =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A I ”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C. 充要条件 D 既不充分也不必要条件

32.集合}21|{<-=x x M ，{|(3)0}N x x x =-<，那么“M a ∈”是“N a ∈”的( )

A ．必要而不充分条件

B ．充分而不必要条件

33. “2||

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

34.已知23:,522:>=+q p ,则下列判断中，错误的是（）

(A)p 或q 为真，非q 为假 (B) p 或q 为真，非p 为假

(C)p 且q 为假，非p 为真 (D) p 且q 为假，p 或q 为真

二、填空题

1．命题“若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是

2．命题“不等式x 2+x-6>0的解x<-3或x>2”的逆否命题是

3．写出命题“个位数是5的自然数能被5整除”的逆命题、否命题及逆否命题，并判定其真假。逆命题是_____________________________________________

否命题是_____________________________________________

逆否命题是___________________________________________

4．“△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题是

5．已知函数lg(4)y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =<，若P ：“x A ∈”是

Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围．

6．设集合A ＝｛x |1

1+-x x ＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ ” 的条件

7．“2

1=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直” 的条件

8．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：

①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件

③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件.

其中为真命题的是

9．若0)2)(1(=+-y x ，则1=x 或2-=y 的否命题是

三、解答题

1．已知)0(012:2|3

11:|22>≤-+-≤--

m m x x q x p ，；?p 是?q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．

2．已知关于x 的不等式(k 2＋4k －5)x 2＋4(1－k)x ＋3>0对任何实数x 都成立，求实数k 的取值范围。

数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲几何最值

第22讲几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。 2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理. 3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。例题求解【例1】如图，在锐角ABC ?中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值。（陕西省中考题）思路点拨画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。例1

例2 【例2】如图，在ABC ?中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（）。 A.24 B.4.75 C.5 D4.8 （兰州市中考题）思路点拨设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。【例3】如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm. (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2) 当4 1 = y cm 时，求x 的值. （河南省中考题）思路点拨利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值例3

一元一次不等式组(培优竞赛)

一元一次不等式（组）的应用例题求解【例题1】已知2007321,......,,a a a a 是彼此不相等的负数，且 M=)......)(,......(20074322006321a a a a a a a a ++++ N=)......)(,......(20064322007321a a a a a a a a ++++，请比较M 、N 的大小。【例题3】已知7654321,,,,,,a a a a a a a 是彼此不同的正整数，他们的和等于159，求其中最小的数1a 的最大值。【例题4】若a 、b 满足b a s b a 32,7532 2-==+，则s 的取值范围是_______________。

（1）符合题意搭配方案有哪几种？（2）若搭配一个A种造型成本为1000元，搭配一个B种造型成本为1200元，试说明选用（1）哪种方案成本最低

【例题7】、荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨。已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．（1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案请你设计出来，并求出最低的租车费用．【课堂练习】 1、一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）种。 2、1、（2010?温州）某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支元，则其中签字笔购买了_______支． 3、学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住4人，则余19人没有住处，如果每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，求有多少间宿舍多少名学生 4、某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位．则该校去参加春游的人数为________；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金 ________元。 5、已知关于x 的不等式组???->-≥-1 230x a x 的整数解有5个，则a 的取值范围是__________。

8年级数学培优竞赛试题1-25题(含详解)

八年级第1题：下列命题：（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；（2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；（3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；（4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确命题的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个答案：B 解析：（1）全等三角形的中线、高、角平分线对应相等，正确（2）可以先证明两边的夹角相等，再证明两三角形全等，正确（3）可以用AAS或ASA判定两个三角形全等，正确（4）参考等高模型，两三角形不一定全等，错误第2题：如图，在△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC和∠ACB，过点I作DE ∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形； ②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC，其中正确的是（） A．①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

答案：C 解析： ①因为IB 平分ABC ∠ 所以CBI DBI ∠=∠ 因为DE 平行BC 所以CBI DIB ∠=∠ 所以DIB DBI ∠=∠ 所以BD=DI 所以DBI ?是等腰三角形 ②因为BAC ∠不一定等于ACB ∠ 所以IAC ∠不一定等于ICA ∠ 所以ACI ?不一定是等腰三角形 ③因为三角形角平分线相交于一点，BI 、CI 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线所以AI 平分BAC ∠ ④因为DI BD =,同理可得EC EI = 所以ADE ?的周长AE EC BD AD AE EI DI AD +++=+++ 第3题：已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（） A ．6条 B.7条 C.8条 D.9条答案：B 解析：根据当11AC BC =，2CC AC =，3BC AB =，44CC AC =，5AC AB = 6AC AB =，77CC BC =时，都可以得到符合题意的等腰三角形所以共有7条

黄东坡数学培优竞赛新方法平行四边形与平移变换(答案)

例1 （1）本题先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线得出CN=MN，BM=DN=2NF，同时推翻AM=AC、S△AMB= S△ABC．

（2）用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果（三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）； ∴△BDF、△EFC均为RT三角形例2平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理．

解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种．例3熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC 后，证明AD∥BC，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论．证明：延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，则由已知可得PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形． ∴∠M=∠N，MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC，可证得△PAE≌△PCF，得PA=PC，再证△PED≌△PFB．得PB=PD． ∴ABCD为平行四边形．例4（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，CD∥GE，再有BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF．

14年高考数学基础+突破第3讲命题及其关系、充分条件、必要条件 (2)

＋b2＋c2≥3”的否命题是________________________．能力提升 5．“a＝2”是“函数f(x)＝x a－1 2 为偶函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列有关命题的说法中，正确的是( ) A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1” B．“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件 C．命题“?x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，都有x2＋x＋1>0”D．命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题 7．下列命题中，真命题的个数是( ) ①x，y∈R，“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题； ②“若a＋b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题； ③“若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0”的逆否命题． A．0 B．1

西安交大少年班入学考试试题

数学：全国数学竞赛或联赛的题要做，黄东坡的《培优竞赛新方法》的竞赛内容。物理：省赛水平，力电为主，去年光声都没考。语文：古文要注意，作文关注社会热点。英语：看高中词汇，做高考阅读和完型填空。化学：去年没考，建议天原杯的原题。面试：10个科普，一个一分钟回答，一个动手能力操作，一个团队合作项目，再问你什么事情让你成长最多。面试时要努力争取发表意见的机会但不要让人觉得你爱出风头过于张扬，要把握一个度。科普：书香门第是什么意思？被蚊子叮了为什么痒？兔子上山快还是下山快为什么？NBA单场最高得分是多少？一分钟：砖块的用处？空城计被识破了会怎么样？团队合作：每人在一张纸上画一笔，并起一个名字。动手：如何把一张纸变得最长，要有创意。数学是最难的一门，甚至有好多高中奥赛的题，千万不要指望都做出来，重要的是心态，不要慌，能做多少做多少就行了。语文重要的是阅读量，都是初中生没看过的，如果你平常看的课外书比较多，应该不成问题。英语吗，我英语比较好，当时考了全河北省第一，所以觉得比较简单，呵呵，给不出什么建议，抱歉啦。物理不难，要做一本叫《初中生物理培优教程》，有大量原题。面试要落落大方，大胆些，抢到说话的主动权，无论发生什么紧急状况，千万不要怵，因为那是评委给你设的套！题目很多，我是去年的，我们先是自我介绍，然后专家会根据你的介绍向个人提问题。不过，呵呵，有的会问提前写好的问题，我们那一组有两道题挺好“如果照相时摄影师没有安排你位置，你会选择坐在哪里？”，“你如何看待学校里阴盛阳衰（女生比男生强势）的问题？”反正，我觉得这种题，你最好答的成熟一些，比如我前面有个人答第一个题，她竟说在最边上！当时我觉得她就挂掉了。不过因人而异，表达自己就好，专家通常能看出你是不是很真实，最忌讳虚假！！！然后就是看了一幅图片，我记得当时是一只母鸡喂养一只小狗，然后写下自己的感想，然后依次发言，我的建议，写的不要太详细，关键字写上就好，这样发言时自由空间比较大。然后是动手操作，我知道两道题：用一个纸杯，一根吸管，胶带，一根牙签（好像是），一个组做一个能下落时间最长的飞行器，一个组我记得是做能从斜面上滑下能直线运动且运动最远的模型。反正你只要做得比同组人做的好就行了。比较式的那种呵呵，你比同组强就行了。我是女生，我觉得女生其实挺占优势，至少我们做得差不多就行了，不过最后的环节，他们问你可不可以实验一下，一定要实验哦，否则我个人认为你的主动性得分就会大打折扣。还有最简单有效的模型有时就比奇异形状好。既省时间，又好想。最后一个环节，我们是集体合作将一个字改成画，“旮”。我们组做得超级好。因为我们提前就商量

命题及其关系教学讲义

命题及其关系、充分条件与必要条件教学讲义 1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的__陈述句__叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①若两个命题互为逆否命题，则它们有__相同__的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性__没有关系__. 3．充分条件、必要条件与充要条件若p?q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p是q的__充分不必要__条件p?q且q p p是q的__必要不充分__条件p q且q?p p是q的__充要__条件p?q p是q的__既不充分又不必要__条件p q且q p 1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A?B，则p是q的充分条件； (2)若A?B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若A B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A B，则p是q的必要不充分条件； (6)若A B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分条件与必要条件的两个特征： (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p?q”?“q?p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．注意：不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p ?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题． 1．下列语句为命题的是(D) A．对角线相等的四边形 B．a<5 C．x2－x＋1＝0 D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 [解析]只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D． 2．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆否命题是(A) A．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 B．不是平行四边形的四边形对角线不互相平分 C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形 D．不是平行四边形的四边形对角线互相平分 [解析]原命题即“若四边形是平行四边形，则其对角线互相平分”，故其逆否命题“若四边形的对角线不互相平分，则其不是平行四边形”，即“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”． 3．(教材改编题)“x＝2”是“x2－4＝0”的(A) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 [解析]x2－4＝0，则x＝±2，故是充分不必要条件．故选A． 4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的(A) A．逆否命题B．逆命题 C．否命题D．原命题

离散数学第一章命题逻辑知识点总结

数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明:

(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲几何定值

第23讲几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。例题求解【例1】（1）如图1，圆内接ABC ?中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径， BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ?的面积的 3 1 . （2）如图2，若DOE ∠保持?120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ?的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ?的面积的 3 1．（广东省中考题）思路点拨对于（1），连OC OA 、，则要证明ABC OAC S S ??=3 1 ，只需证明OCF OAG ???；对于（2），类比（1）的证明方法证明。

【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点．（1）求证：AC AB ⊥；（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．（沈阳市中考题）思路点拨按题意画出图形，充分运用角的知识证明若?=∠90DFE ，则EF DF ⊥这一位置关系不变。

八年级上册科学《溶液》单元培优训练试题

八年级上册科学《溶液》单元培优训练试题 1．20 ℃时，在三个各盛有100 g水的容器中加10 g甲、乙、丙三种纯净物(不含结晶水，不与水反应)，待充分溶解后，情况如表所示，正确的是() A． C．丙溶液的溶质的质量分数最大D．20 ℃时，甲的溶解度最大 2．分离混合物要根据各成分不同的性质选用不同的方法，是人们改造、利用自然界物质的重要方法。下列说法不正确的是() A．结晶法是利用混合物各成分在水中的溶解性不同 B．化学沉淀法是根据混合物各成分的化学性质不同 C．过滤法是根据混合物各种成分的粒子大小不同 D．蒸馏法是利用混合物各成分的沸点不同 3．30 ℃时将等质量的两份饱和石灰水一份冷却到20 ℃，另一份加入少量生石灰，温度仍保持在30 ℃。则两种情况下均不改变的是() A．溶剂的质量B．溶质的质量C．溶质的溶解度D．溶质的质量分数 4．下列有关实验操作的叙述，不正确的是() A．把烧杯置于铁架台的铁圈上直接加热 B．给试管中液体加热时，液体体积不超过试管容积的1/3 C．用量筒量取液体时，视线与量筒内液体的凹液面的最低处保持水平 D．实验剩余的药品，不能放回原试剂瓶 5．能证实20℃时，原硝酸钾溶液是饱和溶液的事实是() A．降温到10℃时有硝酸钾晶体析出 B．蒸发掉10g水，有硝酸钾晶体析出 C．加热到30℃后，再加入硝酸钾晶体仍能继续溶解 D．在20℃的硝酸钾溶液中加入少量硝酸钾晶体，溶液的质量不变 6．下列物质与水混合，在室温时难以形成饱和溶液的是() A．硝酸钾B．酒精C．二氧化碳D．氯化钠 7．配制硝酸钾溶液时得到下表数据，根据表中数据分析，不正确的是() A．28℃时10g水中最多能溶解硝酸钾4g B．60℃时等质量水中能溶解的硝酸钾比28℃时多 C．①②所得溶液溶质的质量分数相等 D．③所得溶液一定是硝酸钾的饱和溶液 8．如图所示，甲、乙试管中分别盛有硝酸钾、氢氧化钙的饱和溶液，试管底部均有未溶解的固体．向烧杯中加入一定质量的氢氧化钠固体后，下列分析正确的是()

第一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件 1．了解命题的概念． 2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．一、基础知识 A ．命题 1．命题可以判断真假的陈述句，叫做命题．注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等．（2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点．例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③213x +=；④若a b =，c d =，则a c b d +=+．以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假．“天气不错”的标准不明确．②是陈述句，且能判断正确，因此是命题．对于③，当1x =时，为真；当1x ≠时，为假．这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. ④显然是命题． 2．假命题、真命题真命题：可以判断为真的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题．假命题：可以判断为假的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题．注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握）（1）开句、命题函数形如“213x +=”、“32x +>”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言．这些语句在数理逻辑上叫做开句．开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的x ）取不同的个体的时候，就得到不同的命题．开句常记作()P x 、()Q y ，其中变元,x y 是在一定范围里变化.当x 取某个个体a 时，开句()P x 就变成了命题()P a （与开句相对，有的书上把命题叫做句）．如：对于“32x +>”而言，当1x >-时，为真；当1x ≤-时，为假．（2）开句的取真集对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假．例如，对于“32x +>”而言，“”时为真，“”时为假.使开句()P x 取真的x 的范围叫做的取真集，记作{|()}x P x ．对开句来说，取真集为{|32}{|1}x x x x +>=>-．解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集．（3）将命题函数()P x 变成命题命题函数()P x 变成命题的方法有两个．方法一：将命题函数()P x 中的x 用特殊个体a 代入，从而得到对特殊个体a 进行判断的命题，这种命题叫做单称命题()P a ．例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词．再如，命题函数():32P x x +>，对x 赋值1,3-，可得到命题(1)P 和(3)P -，即(1):132P +>，和(3):(3)32P --+>．当然(1)P 是真命题，(3)P -是假命题．方法二：利用量词来限制个体的范围

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题11 巧解二元一次方程组

专题11 巧解二元一次方程组专题解读】解二元一次方程组的基本思路是“消元”，常用的解法有两种：“代入法”与“加减法”，这两种解法的基本思想是通过消元把二元一次方程组化为一元一次方程.对于一些特殊形式的方程组，如果我们能够通过观察发现其结构特征与规律，比如其未知数的系数、常数项的特征，那么我们就可采用灵活、巧妙的方式进行变式，从而最终达到消元的目的. 思维索引例1.解方程组：（1）9779212, 7997140; x y x y +=??+=?①② （2）()()3536, 3436; x x y y x y ?++=??++=?? ①② 例2.解方程组：（1）23237, 43 23238; 32x y x y x y x y +-?+=???+-?+=??①② （2）12, 57 12; 7 5 x y x y ?+=??? ?+=??①② 例3.（1）当a 取什么值时，方程组5331x y a x y +=??+=?的解是正数？（2）要使方程组21x ky k x y +=??-=? 的解都是整数，k 应取哪些整数值？

素养提升 1.若2310x y z ++=，43215x y z ++=，则x y z ++的值为（） A.2 B.3 C.4 D.5 2.解方程组32 3 2411 75 1 x y z x y z x y z -+=?? +-=??+-=?①②③，若要使运算简便，消元的方法应选取（） A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都可 3.若237 a b c ==，且12a b c -+=，则23a b c -+等于（） A. 3 7 B.2 C.4 D.12 4.若201720182016 201820172019 x y x y +=??+=?①② ，则()()23 x y x y ++-的值是（） A.28 B.0 C.10 D.19 5.今有上等谷子三捆，中等谷子二捆，下等谷子一捆，共得谷子三十九斗；如果有上等谷子二捆，中等谷子三捆，下等谷子一捆，共得谷子三十六斗：上等谷子一捆，中等谷子二捆，下等谷子三捆，共得谷子三十三斗，则上、中、下三等谷子一捆各有斗数是（） A.3，3，4 B.8，5，5 C.7，9，12 D.12，13，14 6.已知代数式2ax bx c ++，当1x =-时，其值为4；当1x =时，其值为8；当2x =时，其值为25；则当3x =时，其值为 . 7.一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，这对夫妇共有子女个. 8.在解关于x 、y 的方程组()()2 1 21 4 ax b y b x ay ?+-=??--=??① ②时，可以用2?-①②消去未知数x ，也可用 4?+?①②3消去未知数y .则a = ，b = . 9.当2x =-，1y =，或1x =-，2y =，或0x =，1y =时，等式220x y Dx Ey F ++++=都成立，则D = 、E = 、F = 10.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套. 11.解方程组：（1）361463102 463361102 x y x y +=-??+=? ① ② （2）73890 2367180 x y x y -=??-=? ① ②

高考数学一轮复习方案第3讲命题及其关系、充分条件、必要条件课时作业新人教B版

课时作业(三) [第3讲命题及其关系、充分条件、必要条件] (时间：35分钟分值：80分) 基础热身 1．[2012·重庆卷] 命题“若p ，则q ”的逆命题是( ) A ．若q ，则p B ．若綈p ，则綈q C ．若綈q ，则綈p D ．若p ，则綈q 2．[2012·佛山模拟] 已知非零向量a ，b ，则“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x >1，则x 2 >1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 4．[2013·扬州中学月考] 已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________________．能力提升 5．“a ＝2”是“函数f (x )＝x a －12 为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．下列有关命题的说法中，正确的是( ) A ．命题“若x 2>1，则x >1”的否命题为“若x 2>1，则x ≤1” B ．“x >1”是“x 2＋x －2>0”的充分不必要条件 C ．命题“?x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“?x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0”

D．命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题7．下列命题中，真命题的个数是( ) ①x，y∈R，“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题； ②“若a＋b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题； ③“若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0”的逆否命题．A．0 B．1 C．2 D．3 8．[2012·郑州模拟] 设p：|2x＋1|>a， q：x－1 2x－1 >0，使p是q的必要不充分条件的实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) B．(－∞，－2] C．[－2，3] D．(－∞，3] 9．[2012·焦作质检] 写出一个使不等式x2－x<0成立的充分不必要条件________．10．已知命题“若a>b，则ac2>bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________． 11．“x＝2”是“向量a＝(x＋2，1)与向量b＝(2，2－x)共线”的________条件．12．(13分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c 且b＝d. (1)写出命题p的否定并判断真假； (2)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假； (3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论．难点突破 13．(12分)已知集合A＝y错误!y＝x2－错误!x＋1，x∈错误!，2，B＝{x|x＋m2≥1}．条件p：x∈A，条件q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

数学培优竞赛新方法(九年级)-配方法

配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。熟悉以下基本等式： 1.222)(2b a b ab a ±=+± 2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[] 2222 2 2 )()()(2 1 a c c b b a ca b c ab c b a ±+±+±= ±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 44222 2 -+ ??? ? ?+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为（镇江市中考题）思路点拨把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。【例2】已知c b a 、、，满足722 =+b a ，122 -=-c b ， 1762 -=-a c ，则c b a ++的值等于（） A.2 B.3 C.4 D.5 （河北省竞赛题）思路点拨由条件等式的特点，从整体叠加配方入手【例3】已知a 是正整数，且a a 2004 2 +是一个正整数的平方，求a 的最大值。（北京市竞赛题）思路点拨设2 2 2004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422 =-+=-c ab b a ，求c b a ++的值（浙江省竞赛题）

第7讲--命题及充分与必要条件

第一章常用逻辑用语知识点网络第1讲命题、充分条件与必要条件考点1：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题. （1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“ ”的真假判定方式： ① 若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出.② 若要判断命题“ ”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题. 例1已知命题:p x R ?∈,23x x <;命题:q x R ?∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是:（） A ．p q ∧ B ．p q ?∧ C ．p q ∧? D ．p q ?∧? 例2.下列命题中的假命题．．．是 A. ,lg 0x R x ?∈= B. ,tan 1x R x ?∈= C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈> 【解析】对于C 选项x ＝1时，()10x -2=，故选C 变式1.下列命题是真命题的为 A ．若11x y =,则x y =B ．若21x =,则1x = C ．若x y =,x y = D ．若x y <,则 22x y < 解析由11x y =得x y =,而由21x =得1x =±,由x y =,x y ,而 x y <得不到22x y < 故选A. 例3.下列4个命题11 1 :(0,),()()23x x p x ?∈+∞<

高中数学命题与条件

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互浦东新王牌高一数学第02讲命题与条件（学案）教学目标： 1. 理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义； 2. 理解四种命题及其相互关系； 3. 理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；教学重点：命题的四种基本形式，充分性与必要性教学难点：否定词与等价命题一. 知识点总结 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、常用正面词语的否定如下表： 3、四种命题的形式：原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p . 4、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 5、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。若p ?q 且q ?p ,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q . 辩一辩：p 是q 的充分不必要条件；q 的充分不必要条件是p

二. 例题讲解例1. 写出下列命题的的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：（1）若a =0，则ab =0；（2）若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形；（3）全等三角形的对应边相等；（4）四条边相等的四边形是正方形。例2. 判断下列命题的真假：（1）质数都是奇数；（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角；（3）若>0x ，>0y ，则0xy > 。（4）若A B ,A C ,≠?≠?则B C ≠?。例3. 已知命题：若>1,>-1x y 且，则+>0x y ，写出它的四种形式并判断真假。例4. 已知(){} (){}1,| |1|0,,|1y A x y y B x y x =-=+===或，则A B （选填，刭）；例5. |1|0,:11y x y αβ+===-且，则α β（选填???，,）例6. 设{}(){} 22|20,,|20,M x x ax b c R N x bx a x b x R =-+=∈=+++=∈,则12M N ?? =?? ?? 的充要条件是．

第1章命题逻辑

习题1 1．下列句子中那些是命题？ (1) 4是无理数. (2) 2+5＝8. (3) x+5＞3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话. 解：(1)(2)是命题。(7)是悖论。 2．判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。（1）北京是中华人民共和国的首都。（2）陕西师大是一座工厂。（3）你喜欢唱歌吗？（4）若7+8＞18，则三角形有4条边。（5）前进！（6）给我一杯水吧！解：(1)(2)(4)是命题，真值分别是1,0,1。 3．写出下列命题的否定式：（1）存在一些人是大学生；（2）所有的人都是要死的；（3）并非花都有香味。解：(1) 不存在一些人是大学生。（2）并非所有的人都是要死的；（3）花都有香味。 4．设P：我生病，Q：我去学校，符号化下列命题。 (1) 只有在生病时，我才不去学校。 (2) 若我生病，则我不去学校。 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校。 (4) 若我不生病，则我一定去学校。解：（1）Q→P （2）P→Q （3）P Q （4）P→Q 5．设p：李平聪明，q：李平用功。符号化下列命题。 (1) 李平既聪明又用功。 (2) 李平虽然聪明，但不用功。 (3) 李平不但聪明，而且用功。

(4) 李平不是不聪明，而是不用功。 (5) 张三或李四都可以做这件事。解：（1）p ∧q （2）p ∧q （3）p ∧q （4）(p)∧q ，或p ∧q （5）设p ：张三可以做这件事，q ：李四可以做这件事。命题符号化为p ∨q 。 6．设p ：天下雨，q ：我骑车上班。符号化下列命题。 (1) 如果天不下雨，我就骑车上班。 (2) 只要天不下雨，我就骑车上班。 (3) 只有天不下雨，我才骑车上班。 (4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。 (5) 如果天下雨，我就不骑车上班。解：（1）p →q （2）p →q （3）q →p ，p →q （4）q →p ，p →q （5）p →q 7．将下列命题符号化。 (1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。解：设p ：小王是游泳冠军，q ：小王是百米赛跑冠军。原语句化为p ∨q 。 (2) 小王现在在宿舍或在图书馆。解：设p ：小王在宿舍，q ：小王在图书馆。原语句化为p ∨q 。 (3) 选小王或小李中的一人当班长。解：设p ：选小王当班长，q ：选小李当班长。但因为p,q 不可能同时为真, 故应符号化为： (p ∧q)∨(p ∧q) (4) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。解：设ｐ：我上街，ｑ：我去书店看看，ｒ：我很累。原语句化为ｒ→(ｐ→ｑ)或(ｒ∧ｐ)→ｑ。 (5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，她是三好生。解：设p ：小丽是计算机系的学生，q ：小丽生于1982年，r ：小丽生于1983年，s ：小丽是三好生。原语句化为p ∧(q ∨r)∧s 。 (6) 我去镇上，当且仅当我有时间且天不下雪。解：设p:我去镇上，q:我有时间，r:天下雪。原语句化为p ?q ∧r 。 (7) 我若去镇上则我有时间，并且我若有时间则去镇上。解：设p:我去镇上，q:我有时间。原语句化为p ?q 。 (8) 我有时间或我去镇上，此话不对。解：设p:我去镇上，q:我有时间。原语句化为(p ∨q)。 8.求下列命题公式的真值表。 (1)()p p q ∧→? (2)()()p q q p ?→→→?

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第7讲 命题及充分与必要条件.

数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲 几何最值