第6章 塑性应力－应变关系
在20世纪50年代，经典塑性理论有了很大的发展，表现在：（1）极限分析的基本定理（Drucker 等，1952）；（2）Drucker 假设或稳定材料的定义（Drucker ，1951）；（3）正交性条件的概念或关联流动法则（Drucker ，1960）等的建立和发展。理想塑性体的极限分析理论产生了能更直接地估计结构和土体承载力的实际方法（Chen ，1982，Chen 和Liu ，1990）。稳定材料的概念提供了一个统一的方法和塑性体的应力－应变关系的广义观点。正交性条件的概念提供了塑性应力－应变关系的屈服准则或加载函数之间的必要联系。所有的这些进展导出了金属塑性经典理论严格的基础，也为后来土体、岩石和混凝土类的其他材料的更复杂的塑性理论发展打下了基础（Chen 和Han ，1988，Chen 和Mizuno ，1990）。
6.1 加载准则
在应力空间上的屈服面确定了当前的弹性区的边界。如果一个应力点在屈服面的里面，就称之为弹性状态而且只有弹性特性；如果一个应力点在屈服面上，其应力状态为塑性状态，产生弹性或者弹塑性特性。
在数学上，弹性状态和塑性状态作如下定义：
0 这里，f 就是在应力空间定义了屈服面的屈服函数。 对于强化材料，如果应力状态趋向于移出屈服面的趋势，则可获得一个加载过程，而且能观察到弹塑性变形；会产生附加的塑性应变且当前的屈服（或加载）面构形也会发生改变，使应力状态总保持在后继加载面上。如果应力状态有移进屈服面以内的趋向，则称为卸载过程，此时只有弹性变形发生，加载面仍然保持原样。应力从塑性状态开始改变的另一种可能就是应力点沿着当前屈服面移动，这个过程叫做中性变载，与其相关的变形是弹性的。 区分这些现象的数学表达式就叫做加载准则，可用下列式子表示 0=f 且 0>∂∂ij ij d f σσ时，加载 0=f 且 0=∂∂ij ij d f σσ时，中性变载 （6-1） 0=f 且 0<∂∂ij ij d f σσ时，卸载 通常，f 函数形式是这样定义的，使得梯度矢量 f ij ij n f =∂∂σ的方向总是沿着屈服面0=f 向外的法线方向。因此，这些加载准则能用图6-1作简单的说明。 （a ） （b ） 图6-1 加工强化材料的加载准则 （a ）单轴情况； （b ）多轴情况 对于理想塑性材料，当应力点沿着屈服面移动时，能观察到弹塑性变形。但是，它并不 总是引起塑性变形而有可能被归到中性变载情况，因此对这种材料的加载准则给出定义如下 0=f 且 0=∂∂ij ij d f σσ时，加载或中性变载 0=f 且 0<∂∂ij ij d f σσ时，卸载 （6-2） 应当指出，加载和中性变载过程不能用上述准则加以区别。 已经有人提出表述加载准则的不同的形式，可以用应变增量代替应力增量作出判断 0=f 且 0>∂∂kl ijkl ij d C f εσ时，加载 0=f 且 0=∂∂kl ijkl ij d C f εσ时，中性变载 （6-3） 0=f 且 0<∂∂kl ijkl ij d C f εσ时，卸载 在这里，ijkl C 是弹性刚度张量。在Chen 等（Chen 和Zhang ，1991）的论文中可以找到关于上述加载准则的进一步讨论。对于理想塑性材料来说，这种形式更具普遍性也更适用。例如即将在后面6.3.1节中看到的，对于理想塑性材料，即使当 0=∂∂ij ij d f σσ时也能找到塑性应变增量的值为零，也就是在式（6-4）中定义的0=λd 。这是在式（6-4）中定义的中性变载过程。 在有限元分析中，需要从给出的或已知的应变增量中算出应力增量，这个计算需要给出或知道发生的变形是哪种形式。式（6-1）和式（6-2）中惯用的准则并不很方便，因为要用他们就必须知道应力增量，而后面式（6-3）中的准则能使我们用很直接的方法去解决这个难点。 >ij d σ0 =ij n 'σ 6.2 流动法则 在加载过程中会产生塑性应变，为了描述弹塑性变形的应力—应变关系，必须定义出塑 性应变增量矢量p ij d ε的方向和大小，即：（1）各分量的比率；（2）它们相应于应力增量ij d σ的大小。 下面将以一个类似于理想流体流动问题的方式介绍塑性势能函数g 的概念，我们把流动法则规定如下： ij p ij g d d σλ ε∂∂= （6-4） 其中，λd 是一个贯穿于整个塑性加载历史的非负标量函数。梯度矢量ij g σ∂∂/规定了塑性应变增量矢量p ij d ε的方向，也就是势能面0=g 在当前应力点的法线方向，由于这个原因，该流动法则也称作正交条件。另一方面，塑性应变增量矢量的长度或大小由λd 确定。 如果塑性势能面与屈服面有相同的形状，也就是f g =，那么流动法则与屈服条件是相关联的，可用下式表示为 ij p ij f d d σλ ε∂∂= （6-5） 在这种情况下，塑性应变沿着当前加载面的法线方向产生。 式(6-5)中的正交条件虽很简单，但以此为基础建立的任何应力—应变关系，对一个给定的边界值问题有惟一解。 6.2.1 von Mises 形式的塑性势能函数 von Mises 函数在应力空间中表示为圆柱体，其偏截面如图6-2所示。这个塑性势能函数表示为 0)(2=-=k J g ij σ （6-6） 其中，k 为常数。因此，由流动法则可得 λεd s d ij p ij = （6-7） 此式表明，应力主轴和塑性应变增量张量相应主轴是一致的，从式（6-7）可得到 0==λεd s d kk p kk （6-8） 所以，对这种类型的材料，体积变化是纯弹性的，不能产生塑性体积变化。 σ3 σ' 图6-2 在偏平面上的Tresca 和von Mises 准则 由式（6-7）可推出 λτγτγτγεεεd d d d s d s d s d zx p zx yz p yz xy p xy z p z y p y x p x ======222 （6-9） 上述等量关系就是Prandtl —Reuss 方程。它是Prandtl 在1925年扩展了原先的Levy —Mises 方程（式6-10）得到的，而且第一次提出了理想弹塑性材料在平面应变情况下的应力－应变关系。Reuss 在1930年又把Prandtl 方程扩展到三维情况并给出式（6-9）的一般形式。 在大塑性流动的问题中，弹性应变可以忽略不计。在这种情况下，材料可以被认为是理 想刚性塑性体，总的应变增量ij d ε和塑性应变增量p ij d ε可以认为相等。这种材料的应力— 应变关系可以写成 λεd s d ij ij = （6-10a ） 或 λτγτγτγεεεd d d d s d s d s d zx zx yz yz xy xy z z y y x x ======222 （6-10b ） 这个等量关系式就是Levy －Mises 方程。在它们的发展过程中，St. Venant 在1870年第一个 提出了应变增量主轴与应力主轴重合，上面的应力－应变关系由Levy 在1871年和von Mises 在1913年分别提出。 6.2.2 Tresca 形式的塑性势能函数 在主应力空间，Tresca 函数表示为由六个平面组成的正六角棱柱体。这个棱柱的偏平面见图6-2。假设主应力的大小次序是321σσσ>>，那么就能定出相应的势能函数为 0231=--=k g σσ （6-11） 其中，k 为常数。根据式(6-5)，与Tresca 势能涵数相关联的主应变增量则为 )1,0,1(),,(321-=λεεεd d d d p p p （6-12） 对于主应力1σ、2σ、3σ大小的其他五种代数顺序的组合可以得出类似的结果。 )( a 1-σ2-σk 2d 22 ,εσp d 33,ε1-σk 2=) (b 图6-3 与Tresca 屈服准则函数相关的流动法则 （a ）塑性应变增量矢量的正则性 （b ）作为光滑面极限的顶点 A 在一个如图6-3(a )所示的主应力（主应变）增量组合空间里，塑性应变增量能用几何图形来讨论。可以看出在321σσσ>>的平面AB 上的任何地方，塑性应变增量的方向都互相平行且垂直于Tresca 六角棱柱体的AB 面。对于六角棱柱体的其他平面也能得到类似的关系。 在某些特殊情况下，比如321σσσ=>，情况就更复杂，因为最大剪应力值不仅在平行于2X 轴的0 45剪切面上，而且在平行于3X 轴的0 45剪切面上与屈服值k 相等。因此有两种塑性应变增量的可能： （1）1max σσ=，3min σσ= )1,0,1(),,(1321-=λεεεd d d d p p p ，对于01≥λd （2）1max σσ=，2min σσ= )0,1,1(),,(2321-=λεεεd d d d p p p ，对于02≥λd 在这种情况下，假定塑性应变增量矢量是前面所给两个增量的线性组合，即 )0,1,1()1,0,1(),,(21321-+-=λλεεεd d d d d p p p ，对于0,21≥λλd d （6-13） 这种假定适合于当前应力状态ij σ位于塑性势能面的顶点或奇异点的特殊情况。一般地，塑性应变增量矢量必须位于六边形两相邻边的法线方向之间（图6-3（b ））。 一般地，在几个光滑势能面相交的奇异点处，应变增量通常可以表示成，在这点相交的各面的法线方向所确定的增量的线性组合，即 ∑=∂∂=n k ij k k p ij g d d 1 σλε (6-14) 式（6-13）、式(6-14)表明，在顶点处，塑性应变增量的方向是不确定的，要克服这个难点的一个办法，就是使顶点处光滑而且把Tresca 势能面看作这个光滑面的极限情况。为此，我们采用Tresca 函数的另一种形式 031sin 2=-⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +=k J g πθ （6-15） 此处，θ在0与3/π之间取值。当0=θ或θ＝ 3 π 时，上式简化为 3 2σ= J （6-16） 实际上，上式就是von Mises 准则，而且表明顶点处的塑性应变方向由外接Tresca 面的von Mises 面来确定。相反地，塑性势能面的顶点能被看作光滑表面的极限情况，而且对于角点处仍作为光滑面可应用流动法则。如相应于Tresca 面的光滑面就是von Mises 面，如图6-2和图6-3（b ）中的点A 所示。 6.3 理想塑性材料的增量应力－应变关系 理想塑性材料的加载准则要求应力增量矢量ij d σ相切于屈服面，而流动法则要求塑性 应变增量矢量p ij d ε是在塑性势能面的法线方向。接着再确定p ij d ε的大小，即λd ，一旦λd 确定，就能建立ij d σ和p ij d ε之间的关系。 6.3.1 一般形式 设主应变增量为弹性应变增量与塑性应变增量之和，即 p ij e ij ij d d d εεε+= （6-17） 弹性应力增量与应变增量的关系通过虎克定律确定 e kl ijkl ij d C d εσ= （6-18） 塑性应变p ij d ε从式（6-4）中的流动法则可以得到。在式（6-18）中，ijkl C 是弹性刚度张量。那么对理想弹塑性材料来说，应力—应变关系可以表示成 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂-=kl kl ijkl ij g d d C d σλεσ （6-19） 其中，λd 是一个特定的非负标量。 在塑性变形时，应力点停留在屈服面上，这个补充的条件叫一致性条件。用数学式子表示成 0)()()(,0)(=+=+=ij ij ij ij ij df f d f f σσσσσ （6-20） 或者用增量的形式可以写成 0=∂∂= ij ij d f df σσ （6-21） 正如式（6-2）中所见，在加载或中性变载时上式是满足的。 把弹性应力－应变关系式（6-19）代入式（6-21）中解出λd ，有 kl ijkl ij d C f H d εσλ∂∂= 1 （6-22） 其中 kl ijkl ij g C f H σσ∂∂∂∂= （6-23） 这个等式表明，即使当应力增量ij d σ在屈服面上移动，0)(=∂∂ij ij d f σσ，λd 仍能为零。也就是说，只要0)(=∂∂ij ijkl ij d C f εσ，就不会产生塑性应变，这是理想塑性材料的中性加载过程，正如式（6-3）所分类的那样。 对于一个给定的应变增量ij d ε，可以利用式（6-19）、式（6-22）计算出应力增量ij d σ，联立式（6-19）和式（6-22）可以用数字方法推导出ij d σ和ij d ε之间的明确关系。 kl ep ijkl ij d C d εσ= （6-24） 这里，ep ijkl C 是弹塑性刚度张量，表示为 kl ij ijkl ep ijkl H H H C C * - =1 （6-25） 其中 pqkl pq kl mn ijkl ij C f H g C H σσ∂∂= ∂∂=*, （6-26） 注意到，ij f σ∂∂/与ij d σ和ij d ε无关，我们可以从式（6-21）中发现，应力增量ij d σ的分量之间存在线性关系，因为最终应力状态必须在屈服面上。利用式（6-24）中应力增量ij d σ可由应变增量ij d ε惟一确定。然而，我们不能惟一地建立逆关系，对于一个给定的应力增量 ij d σ，只是在待定因子λd 范围内才能定义应变增量ij d ε。这一点可以通过图6-4（a ）中 所示的单轴材料特性很好地解释。 （a ） （b ） 图6-4 理想弹塑性材料 （a ）单轴应力—应变关系； （b ）屈服面和加载、卸载准则的几何关系 6.3.2 Prandtl －Reuss 模型（2J 理论） 在von Mises 屈服准则和与它相关联的流动法则基础上导出的理想弹塑性应力－应变关系，就是大家所熟悉的Prandtl －Reuss 材料模型。在这种情况下，屈服函数f 和势能函数g 定义为 k J g f -==2 （6-27） 其中，k 为常数，这个模型可能是在工程实际中用得最广泛，也许是最简单的理想弹塑性材料的模型。 把式（6-27）代入式（6-25）就可以得到Prandtl －Reuss 模型的完整的应力－应变关系。设弹性状态是线性的和各向同性的，则有 卸载 σσ kl ij jk il jl ik kl ij ep ijkl s s k C 2 )(μ δδδδμδλδ- ++= （6-28） 其中，λ和μ都是Lame 常数。 如果我们用矢量的形式表示应力和应变增量，即分别为}{σd 和}{εd ，那么就可以用矩 阵的形式表示张量ep ijkl C 为 }]{[}{εσd C d ep = （6-29） 其中 {}{}⎪⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎪⎬⎫ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=zx yz xy z y x zx yz xy z y x d d d d d d d d d d d d d d γγγεεεετττσσσσ, ][][p ep C C C += []⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡ +-+--+=G G G G K G K G K G K G K G K C 0000003 4000323 400 323234对称 (6-30) [] ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ ⎡-=2222 2 2 2zx zx yz yz zx xy yz xy xy zx z yz z xy z z zx y yz y xy y z y y zx x yz x xy x z x y x x p s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s k G C 对称 K 和G 分别是体积模量和剪切模量。像前面所讨论的一样，应变增量ij d ε不能由应力增量 ij d σ惟一确定。这表明[ep C ]的逆阵不存在，或者说矩阵[ep C ]是奇异矩阵。 从式（6-4）和式(6-22)，也可得到 ij ij ij p ij d s k d d k s d ελλ ε1 2= = （6-31） 这些等式清楚地说明，塑性应变增量p ij d ε取决于偏应力状态的当前值，而不是达到新的状 态所需的应力（应变）增量。 对这种材料，可以导出 λλσεσd k J d s d dW ij ij p ij ij p 2 = == （6-32） 因此得 K dW d p =λ （6-33） 因此，由λd 确定的塑性应变增量的实际值与在塑性变形功p dW 中的实际增量大小有关。 把式（6-31）代入式（6-32）可得 ij ij p de s dW = 因此，p dW 也被看作是由于畸变所产生的塑性功增量，注意到塑性变形过程中，由于 ds de ij e ij =和02==ij ij ds s dJ ，所以p dW 也可以表示为 p ij ij p de s dW = 6.3.3 Drucker －Prager 模型 这里讨论具有关联流动法则的Drucker －Prager 材料模型。Drucker －Prager 屈服函数f 采用下面的形式： k J I f -+=21α 其中，α和k 均为正常数。在主应力面中的屈服面0=f 是一个正圆锥，其轴与每一个坐标 轴的倾斜相同而且顶点在静水轴上。 对于线性各向同性k J I g f -+ ==212的理想弹塑性材料，根据式（6-25）有 kl ij jk il jl ik kl ij ep ijkl H H G k G G K C +-++-=291 )()32(αδδδδδδ （6-34） 其中 ij ij ij s J G K H 2 3+ =αδ 弹塑性本构矩阵为 [] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡+-+--+=G G G G K G K G K G K G K G K C ep 0000003 4000323 400 323234对称 ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡+-2 313123223 311223 12212 3133233312 33233 31222322122233 222 22 311123111211331122112 11291 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H G K 对称α 根据流动法则可得 λαδεd J s d ij ij p ij ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+=22 （6-35） 这里利用式（6-22），可把λd 表示为 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++=kl kl kk d s J G d K G K d εεααλ2 2391 （6-36） 由式（6-35）导出 λαεd d p kk 3= （6-37） 因为，α和λd 在塑性变形时均为正值，所以这个等式显示了塑性状态的一个非常重要的特性，即塑性变形伴随着体积的增大，这个特性就是剪胀性。它是与静水压力有关的屈服函数的推论。对于一种在静水轴的负方向上屈服面张开和具有关联流动法则的材料来说，塑性体积膨胀就会在屈服时发生，如图6-5所示。 图6-5 与Drucker －Prager 屈服面相关的塑性体积膨胀 【例6-1】考察在单轴应变条件下Drucker －Prager 材料的特征。 1 pa 【解】在这种条件下，应变增量和应力状态如下： )0,0,(1εεd d ij =， ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=11131,31,32εεεd d d de ij ),,(221σσσσ=ij ， ),,(221s s s s ij = 因此屈服准则简化为 03 1)2(2121=--+ +k σσσσα （6-38） 在弹性范围内，应力－应变增量关系给定如下： 1 1121 133234εεσεσKd dI d G K d d G K d =⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ -=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ += （6-39） 从式（6-38）和式（6-39）可以很容易地确定初始屈服应力为 k K G G K k K G G K α σα σ396)23(3, 396)43(321±-= ±+= （6-40） 这里有 k K G d α ε396331±= 在上面的等式中，正号对应于单轴拉伸情况，负号对应于单轴压缩的情况。因此，对于达到屈服面的单轴应变－应力路径，α必须满足下面的条件： K G 3320< <α （6-41） 注意到由于α总是正值，所以第一个条件总是满足的。从式（6-40）可以看出，α在屈服应力上的影响，就是在单轴拉伸试验（上面的正号）中降低屈服时垂直应力1σ的值；在单轴压缩试验（下面的负号）中增加屈服时1σ的值。 超出这个应力状态，材料既有弹性变形也有塑性变形。从式（6-34）中得到弹－塑性关系如下： 122122 1) 91(3) 33)(36(, 91)321(εααασεαασd G K K d d G K K d +±-=+±= 其中上面的正号对应于01>εd ，而下面的负号对应于01<εd 的情况。因为α是正值，所以在塑性变形时11εσ-曲线的斜率在01>εd 时大于01<εd 时的斜率。图6-6中描述了单轴应变－压缩试验中Prandtl －Reuss 和Drucker －Prager 材料模型的特性。对于Prandtl －Reuss 模型（图6-6a ），在应力与k 成比例情况下，达到屈服条件之前该曲线是弹性的。在塑性区域，斜率就是体积模量K 。卸载也是弹性的，直到达到屈服面的对立面为止，然后 又变为塑性，斜率为K 。当压缩应力过程完成时，也就留下一个永久（压）应变。对于加载不远离弹性区域的情况，Drucker －Prager 模型情况是类似的（图6-6b ）。但是若材料加载超过弹性区域之外（图6-6c ），则残余变形是伸长的，这就可以被看做是三维膨胀现象的一维情况。 （a ） （b ） （c ） 图6-6 Prandtl －Reuss 和Drucker －Prager 模型的单轴应变 （a ）Prandtl －Reuss ，弹塑性，k 大； （b ）Drucker －Prager ，应力小； （c ）Drucker －Prager ，应力大 利用式（6-36）和式（6-37），可得到单轴应变条件下的膨胀或塑性体积应变增量如下： 112 33299εαααεd K G G K K d p kk ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛±+= 其中的正号对应于01>εd ，而负号对应于01<εd ，注意到式（6-41），可以发现塑性体积应变总是在增加。 6.4 强化法则 在加载过程中，屈服面不断改变它的形状以使应力点总是位于它上面。然而，会有无数个屈服面的演化形式可以满足这个条件，因此，这不是一个简单地确定加载面如何发展的问题。实际上，这是一个塑性加工强化理论中的主要问题之一，这个控制加载面发展的规则被称为强化法则。在前面的塑性分析中提出了几个这样的法则，材料响应在初期屈服之后会很不相同，这取决于所使用的特定的强化法则。本节将详细讨论三个简单的强化法规则。 6.4.1各向同性强化 这个法则建立在以下假设的基础上，假设加载过程中的屈服面均匀膨胀，没有畸变和移动，如图6-7所示。因此屈服面的数学表达式可以写为如下形式： 0)()(),(0=-=κσκσk f f ij ij （6-42） 其中，)(κk 是一个强化函数或增函数，用来确定屈服面的大小，κ是一个强化参数，它的 值表示了材料的塑性加载历史。 例如，对于von Mises 材料，)(0ij f σ可以作为2J ，那么可以把屈服面表示为 0)(),(2=-=κκσk J f ij （6-43） 图6-7 各向同性强化材料的后继屈服面 【例6-2】利用具有初始单轴屈服应力0σ（0>）的von Mises 模型，随后的加载试验过程为 )2,2()2,0()0,2()0,0(),(0000σσσστσ→→→= 假设这种材料的性质遵守各向同性强化法则，画出初始屈服面和在加载路径结束时在τσ-空间中的后继屈服面。注意在每一个加载步骤中均为比例加载。 图6-8 在三个加载路径末的后继屈服面 【解】初始屈服面 03 1312022=-+=στσf （6-44） 后继屈服面 034312 022=-+=στσf 在)0,2(0σ 043 12022=-+=στσf 在)2,0(0σ 03 16312022=-+=στσf 在)2,2(00σσ 这些面表示在图6-8中。 6.4.2 随动强化 随动强化法则假设在塑性变形过程中，加载面在应力空间作刚体移动而没有转动，因此初始屈服面的大小、形状和方向仍然保持不变。这个强化法则提供了一个考虑Bauschinger 效应的简单方法，如图6-9所示。 一个随动强化材料的屈服面一般表示为 0)(),(0=--=k f f ij ij ij ij ασασ （6-45） 其中，k 是一个常数，ij α被称为反应力，它给出加载面中心的坐标。反应力在塑性加载过程中是变化的，以便说明强化响应，连同随动强化法则，经常为了方便起见而用折减应力 ij ij ij ασσ-=。 图6-9 随动强化材料的后继屈服面 ● Prager 强化法则 随动强化法则的关键就是确定反应力ij α。最简单的方法就是假设ij d α与p ij d ε线性相关，这就是所谓Prager 强化法则，其简单形式为 p ij ij cd d εα= （6-46） 这里，c 为材料常数，说明一个给定材料的性质，也可能是状态变量的函数，如κ的函数。 如6.2节中所讨论的，如果使用相关流动法则，p ij d ε平行于应力空间中屈服面上的当前应力点的法线矢量。在这种情况下，Prager 强化法则等于假设矢量ij d α是屈服面的法线，当Prager 强化法则用在应力子空间时就会产生一些矛盾，这一点可在下面的例题中看出。 【例6-3】对于遵守相关流动法则和Prager 强化法则的von Mises 材料，在τσ-空间把塑性变形刚开始之后的后继屈服面和最初的屈服面进行比较。 【解】初始屈服面表示为 k ij =)α 03 1 22=-+=k f τσ 根据式（6-46）可得 λαcd s d ij ij = 令刚好达到屈服面的应力状态为（a a τσ,），则后继屈服面表示为 092)(3231222 22 =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λσλττλσσd c k cd cd f a a a 结果表明，Prager 强化法则导致后继屈服面在加载过程中不仅有平移而且大小也改变，因此 这个法则不能遵从随动强化法则的定义。 ● Ziegler 强化法则 为了得到在子空间中也有效的随动强化法则，Ziegler 修改了Prager 强化法则，假设以如下形式沿折减应力矢量ij ij ασσ-=方向平移。 )(ij ij ij d d ασμα-= （6-47） 其中，μd 是一个正的比例系数，其与所经历的变形历史有关，为简单起见，这个系数可假 设有如下的简单形式 κμad d = （6-48） 其中，a 是正的标量，表示给定材料的性质，也可能是状态变量的函数，比如κ的函数。 【例6-4】用Ziegler 强化法则代替Prager 法则解例6-3中的问题。 【解】初始屈服可表示为 03 1 22=-+=k f τσ 令屈服面上的应力状态刚好达到（a a τσ-），采用式(6-47)，则后继屈服面表示为 0)()(3 12 2=--+-=k d d f a a μττμσσ 这些结果表明，利用Ziegler 强化法则时，屈服面的中心移动了应力点（μτμσd d a a ,）， 但初始屈服面的大小、形式和方向均不变。 6.4.3 混合强化 如果把随动强化和各向同性强化结合起来就会得出一个更具一般性的法则，称为混合强化法则： 0)(),(),,(0=-=κασκασk f f ij ij ij ij （6-49） 在这种情况下，加载面既有均匀膨胀又有平移，前者用)(κk 度量，后者用ij α确定（图6-10）。但它仍然保持最初的形状。采用混合强化法则，就可以通过调整)(κk 和ij α两个参数来模拟Bauschinger 效应的不同程度。 图6-10 混合强化模型的后继屈服面 在结合两种强化法则的同时，把塑性应变增量分为两个共线的分量 pk ij pi ij p ij d d d εεε+= （6-50） 其中，pi ij d ε与屈服面的膨胀有关，pk ij d ε与屈服面的平移有关。假设这两个应变分量为 p ij pk ij p ij pi ij d M d Md d εεεε)1(,-== （6-51） 其中，M 为混合强化参数，其大小范围为10≤≤M 。M 的值就是调节两种强化法则的贡献和模拟Bauschinger 效应的不同程度。当0=M 时，恢复为随动强化；而当1=M 时，恢复为各向同性强化。 6.5 有效应力和有效塑性应变 在产生塑性变形的过程中可以观察到强化反应，其强化程度取决于塑性加载的历史。为了描述强化性质，需要：①记录塑性加载的历史；②描述强化与塑性加载历史的关系。对于前者，已经引进了强化函数（或者增长函数）k ，而对后者，已经引进了被称为强化参数κ的单调增长标量。强化函数k 是关于强化参数κ的函数，它的函数形式是与材料有关的。 最普通的材料试验是单轴加载试验，我们经常用这类试验来识别在一般加载条件下描述强化性质的必要参数。因此，为方便计，我们定义有效应力e σ和有效塑性应变p ε，它们是分别折算为单轴应力试验中的应力和塑性应变。强化函数k 与有效应力e σ有关，有效塑性应变p ε可能被取为强化参数κ本身，e σ是p ε的函数，函数的具体形式决定于单轴试验数据。 6.5.1有效应力 对于一个各向同性强化材料，屈服函数的展开式用式（6-42）表示。换言之，此式与强化特性相关，因此很自然地利用)(0ij f σ以如下形式来定义有效塑性应力e σ，即 n e ij A f σσ=)(0 其中，A 和n 由e σ折算为单轴试验中应力1σ的条件来确定。 比如，对于von Mises 材料，可以假设20)(J f ij =σ，则有 k k k >=1) n e A J σ=2 对于在1X 方向的单轴加载试验，e σ等于1σ，而其他应力分量都为零，从这个条件可以得到31=A 和2=n ，因此 23J e =σ 因为在塑性变形中，00=-k f ，对这种材料的强化函数k 用e σ表示为 23 1 e k σ= （6-52） 【例6-5】求出Drucker －Prager 材料的e σ的表达式。 【解】因为210)(J I f ij + =ασ，所以有 n e A J I σα=+21 因为Drucker －Prager 模型经常用于岩石、土等材料，塑性变形一般都与压缩加载有关。因此，要确定A 和n 两个常数，就要使e σ折算成单轴压缩试验的应力。那么有 1,3 1=- =n A α 从这里得到 e e k J I σααασ⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-=-+= 31, 1 3)(321 （6-53） 在随动强化和混合强化准则中，我们不仅要涉及应力张量ij σ，也要涉及折算应力张量 ij σ。因此折减有效应力e σ也是必需的，且定义为 n e ij A f )()(0σσ= 其中，A 和n 两个常数简单取为关于e σ时一样的那些值，例如，对于von Mises 材料有 31=A 和2=n 。应当注意，折减有效应力与屈服面的膨胀有关。 6.5.2有效塑性应变 为记录（变形）历史提出两个假设：一个是假设强化依赖于塑性功p W ，即屈服的抗力取决于在材料上所做的总塑性功p W ，这被称为加工强化假设；另一个假设称作应变强化假设，假设强化与总的塑性变形有关，同时塑性变形经常被表示为所谓的有效塑性应变p ε。符合这两个假设的材料被分别称为加工强化材料和应变强化材料。p W 和p ε这两个参数均可以称为强化参数，通常由κ来表示。 从实用的观点来看，用p ε比p W 更容易。因此，在弹塑性分析中，p ε比p W 用得更多。 有效塑性应变p ε用塑性应变增量的简单组合来确定，p ε的值总是正的、增大的。最简 单的形式是 p ij p ij p d d C d εεε= （6-54） 其中，正的常数C 将由p d ε折算为在1X 方向单轴加载试验的p d 11ε的绝对值的条件来确定。 利用流动法则，得到 λσσελσεd g g C d d g d ij ij p p ∂∂∂∂=∂∂= ,11 11 （6-55） 在轴向加载条件下，按定义p d ε等于p d 11ε，因此从式（6-55）中可得 ij ij g g g C σσσ∂∂∂∂∂∂= 11 （6-56） 这里各项都应取轴向加载条件下的值。 【例6-6】采用关联流动法则求出von Mises 和Drucker －Prager 模型的p ε的表达式。 【解】考虑1X 方向的单轴加载试验，这里11σ是惟一一个非零应力分量。 von Mises 模型：k J g f -==2 由式（6-56）导出 2 112J s C = 对于单轴试验有 3 2= C （6-57） Drucker －Prager 模型：k J I g f --==21α 类似他，从式（6-56）有 211 2 11)213()31(σασα+-= C 对于单轴压缩试验，有 2 13)31(2 +-= ααC （6-58） 注意到上式在0=α时就退化为式（6-57）。 在混合强化法则中，如式（6-50）所述，我们把塑性应变总的增量分解为两部分，pi ij d ε和pk ij d ε。塑性应变增量的各向同性部分pi ij d ε与屈服面膨胀有关，用它来定义折算有效塑性 应变p d ε为 pi ij pi ij p d d C d εεε= 将式（6-51左）代入上式得 p p Md d εε= (6-59) 对这种形式的材料，强化函数k 是关于折减的有效塑性应变p d ε的函数。 同样地，塑性应变增量的随动部分pk ij d ε与屈服面的平移有关，被用来定义随动强化法 则。因此，考虑到式（6-51右）和（6-59），可以把式（6-46）和式（6-47）重新表示为对Prager 法则 p ij pk ij ij d M c cd d εεα)1(-== （6-60） 对Ziegler 法则 p ij ij p p ij ij ij d M a d d a d εασεεασα))(1())((--=--= （6-61） 6.5.3 有效应力－有效塑性应变关系 有效应力－有效应变关系表示了弹塑性材料强化过程的特性，现在用单轴应力试验来标定，它的一般形式为 )(p e e εσσ= （6-62） 微分法给出增量关系 p p e d H d εσ= （6-63） 其中，p e p d d H εσ/=称为塑性模量。对各向同性强化材料，p H 表示屈服面的膨胀率。 对于混合强化材料，e σ的变化归因于屈服面的膨胀和平移。假设屈服面的膨胀由折减的有效应力－应变关系来决定 )(p e e εσσ= （6-64） 对上面的方程进行微分可以得到屈服面的膨胀率 p p p p e d H M d H d εεσ== （6-65） 其中，p H 为与屈服面的膨胀有关的塑性模量。 )(p e εσ（或者塑性模量p H ）的函数形式将由试验数据来确定。对于一个混合强化材 料，)(p e εσ（或p H ）的函数形式和混合强化参数M 也需要确定。但是，这里应该注意到 )(p e εσ和M 并不是相互独立的，如果M 给定，就能根据)(p e εσ来建立函数)(p e εσ。 为了证明这一点，首先令 p e e d M B d d εσσ)1(--= （6-66） 其中，系数B 取决于随动强化法则和塑性势能函数的类型。由式（6-66）和式（6-63）、式（6-65）容易导出 B B H M H p p +-=)( （6-67） 塑性模量p H 能够由单调加载的试验结果确定。但是，只是进行单调加载试验的话，控制在反向加载试验中观察的Bauschinger 效应程度的混合强化参数M 则是不确定的或者说是任意的，因此M 的值不应该影响p H 的值。那么式（6-67）要求 p p p H H H B ==, （6-68） 利用式（6-63）和式（6-65），可以把e σ和e σ表示为 ⎰⎰+=+=p p p p e p p e d H d H εεεσσεσσ0 00, (6-69) 其中，0σ是在单轴加载试验中的屈服应力。根据式（6-59）和式（6-68右），可以把式（6-69右）重新表示为 ⎰+=p p p e d H M εεσσ0 (6-70) 考虑式（6-69左）和式（6-70），可得 )(00σσσσ-+=e e M (6-71) 式(6-71)显然表明，e σ和M 并不互相独立。一旦)(p e εσ的函数形式和混合强化参数M 由单轴试验数据确定了，e σ也就能通过式（6-71）得到。 6.6 加工强化材料的增量应力－应变关系 在这一节中，将推导强化材料的增量应力和应变关系。对于每一个强化法则，将得到两组本构方程：（1）一个是用应力增量ij d σ的形式表示应变增量ij d ε；（2）另一个是用应变增量ij d ε的形式表示应力增量ij d σ。 在6.3节中我们已经推导出了理想塑性材料的应力－应变增量关系。这里所采取的方法基本上是一样的。我们将利用式（6-4）（流动法则），式（6-17）（应变分解式）和式（6-18）或式（6-19）（虎克定律）。但一致性条件有点不同于式（6-21）。实际上，对不同的材料它采用的形式不同，因此这里没有给出它的数学表达式。另外，和理想塑性材料不同，应变增量ij d ε可以由应力增量ij d σ惟一确定。因此除式（6-18）之外，还需要虎克定律的如下形式： ij ijkl e ij d D d σε= （6-72） 其中，ijkl D 是弹性柔度强量。 1.简单立方晶体(100)面有1 个[]010=b 的刃位错 (a)在(001)面有1 个b =[010]的刃位错和它相截，相截后2 个位错产生扭折结还是割阶？ (b)在(001)面有1 个b =[100]的螺位错和它相截，相截后2 个位错产生扭折还是割阶？ 解：两位错相割后，在位错留下一个大小和方向与对方位错的柏氏矢量相同的一小段位错，如果这小段位错在原位错的滑移面上，则它是扭折；否则是割阶。为了讨论方便，设(100)面上[]010=b 的刃位错为A 位错，(001)面上b =[010]的刃位错为B 位错，(001)面上b =[100]的螺位错为C 位错。 (a) A 位错与B 位错相割后，A 位错产生方向为[010]的小段位错，A 位错的滑移面是(100)，[010]?[100]=0，即小段位错是在A 位错的滑移面上，所以它是扭折；而在B 位错产生方向为[ 010 ]的小段位错，B 位错的滑移面是(001)， [010]?[001]=0 ，即小段位错在B 位错的滑移面上，所以它是扭折。 (b)A 位错与C 位错相割后，A 位错产生方向为[100]的小段位错，A 位错的滑移面是(100)，[100]?[100]≠0 ，即小段位错不在A 位错的滑移面上，所以它是割阶；而在C 位错产生方向为[]010的小段位错，C 位错的滑移面是(001)，[] []0001010=?，即小段位错在B 位错的滑移面上，所以它是扭折。 2.下图表示在同一直线上有柏氏矢量相同的2 个同号刃位错AB 和CD ，距离为x ，他们作F-R 源开动。 (a)画出这2 个F-R 源增殖时的逐步过程，二者发生交互作用时，会发生什么情况？ (b)若2 位错是异号位错时，情况又会怎样？ 解：(a)两个位错是同号，当位错源开动时，两个位错向同一方向拱弯，如下图(b)所示。在外力作用下，位错继续拱弯，在相邻的位错段靠近，它们是反号的，互相吸引，如上图(c)中的P 处所示。两段反号位错相吸对消后，原来两个位错连接一起，即形成AD 位错，余下一段位错，即BC 位错，这段位错和原来的位错反号，如上图(d)所示。在外力作用下，BC 位错也作位错源开动，但它的拱弯方向与原来的相反，如上图(e)所示。两根位错继续拱弯在如图(f)的O 及O'处再相遇，因为在相遇处它们是反号的，所以相吸对消。最后，放出一个大位错环，并回复原来的AB 和CD 两段位错，如上图(g)所示。这个过程不断重复增值位错。 第6章 金属及合金的塑性变形 6-1 金属的变形特性 金属在外力作用下的变形行为可用拉伸曲线来描述。设拉力为P ，试样伸长量为dl ，则应力σ和应变ε分别为： A P σ=； l dl ε= 式中，A 为试样的截面积。 在拉伸过程中，A 和l 是变化的，在工程上，为了简化问题，A 常用A 0来代替，ε也用平均值表示ε=(l －l 0)/l 0，这样测得的σ-ε曲线称工程σ-ε曲线。 一、工程σ-ε曲线 P161图1是低碳钢拉伸时的工程σ-ε曲线。 当应力低于σs 时，没有残留变形，大于σs 时， 开始发生塑性变形。所以，σs 是发生塑性变形的最小 应力，称屈服强度。屈服强度也是弹性极限σe （弹 性变形的最大应力）。 在弹性变形阶段，当应力小于σp 时，σ-ε呈线性，服从虎克定律： εE σ= 式中，E 是直线的斜率，称材料的弹性模量。开始偏离直线的应力σp 称比例极限。 当应力超过σs 时，开始发生塑性变形。随着塑性变形的增加，应力增大，这种现象称加工硬化。 当应力达到最大值σb 时，开始下降，直到断裂。最大值σb 称材料的抗拉强度。超过此值，试样发生局部颈缩，即发生了不均匀塑性变形。所以，σb 是材料发生均匀塑性变形的最大应力。 注意，应力超过σb 后下降，并不是加工硬化失效。 在结构材料中，我们关心的力学指标是σs 和σb ，它们和硬度一起称做强度指标。在实际应用中，σs 值是无法测量的，通常用发生0.2%塑性变形时对应的应力值来表示屈服强度，称条件屈服强度。 通常我们所说的材料的力学性能，除了上述强度指标外，还有两个塑性指标，延伸率、断面收缩率。 延伸率是指发生断裂时，试样的伸长率：%1000 0⨯-=l l l δ σσ 深入解析材料力学中的应变应力关系 材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏行为的学科，应变应力关系是 材料力学中的重要概念。本文将深入解析材料力学中的应变应力关系，从宏观和微观两个层面进行讨论。 一、宏观层面的应变应力关系 在宏观层面，我们常常使用应变和应力来描述材料的力学性能。应变是材料在 外力作用下发生的变形程度，而应力则是材料单位面积上所受的力。应变和应力之间的关系可以通过应力-应变曲线来描述。 应力-应变曲线通常包括弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段等不同阶段。在弹性阶段，材料受到外力后会发生弹性变形，即在去除外力后能够恢复原状。此时，应变与应力之间的关系符合胡克定律，即应力与应变成正比。 然而，在超过一定应力值后，材料会进入屈服阶段，此时应变不再与应力成正比，而是出现了非线性关系。这是因为材料开始发生塑性变形，晶体内部的位错开始运动并滑移，导致材料的形状发生改变。在塑性阶段，应变与应力之间的关系取决于材料的本构关系，不同材料具有不同的本构关系。 最终，当材料的应力达到其极限强度时，会发生断裂，即材料无法再承受更大 的应力而发生破坏。此时，材料的应力-应变曲线会突然下降。 二、微观层面的应变应力关系 在微观层面，我们需要考虑材料的晶体结构和原子之间的相互作用。晶体中的 原子通过键结合在一起，形成了晶格结构。当材料受到外力作用时，晶体内的原子会发生位移和滑移，从而导致材料的变形。 在弹性阶段，材料的变形主要是由原子之间的键的伸长和压缩引起的。当外力 去除后，原子会恢复到原来的位置，材料也会恢复到原来的形状。 然而，在塑性阶段，晶体内的位错开始运动并滑移，导致材料的形状发生改变。位错是晶体结构中的缺陷，它们能够在晶体中传递应力和吸收应变。位错的运动和滑移是材料发生塑性变形的基本机制。 位错运动和滑移导致了材料的塑性变形，同时也引起了材料的硬化现象。在塑 性变形过程中，位错会相互交互作用，形成更多的位错并堆积在晶体中。这些位错的堆积会导致晶体的内部应力增大，从而使材料更难发生塑性变形。 总结起来，材料力学中的应变应力关系涉及宏观和微观两个层面。在宏观层面，我们通过应力-应变曲线来描述材料的力学性能，包括弹性、屈服、塑性和断裂等 阶段。在微观层面，我们需要考虑材料的晶体结构和原子之间的相互作用，特别是位错的运动和滑移对材料的塑性变形和硬化现象的影响。 通过深入解析材料力学中的应变应力关系，我们可以更好地理解材料的力学性 能和变形行为，为材料设计和工程应用提供科学依据。 我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零， 六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载， 例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示： 理想线弹性模型 理想刚塑性模型 第六章 金属和合金的塑性变形和再结晶 金属材料（包括纯金属和合金）在外力的作用下引起的形状和尺寸的改变称为变形。去除外力，能够消失的变形，称弹性变形；永远残留的变形，称塑性变形。工业生产上正是利用塑性变形对金属材料进行加工成型的，如锻造、轧制、拉拔、挤压、冲压等。塑性变形不仅能改变工件的形状和尺寸，还会引起材料内部组织和结构的变化，从而使其性能发生变化。以再结晶温度为界，金属材料的塑性变形大致可分为两类：冷塑性变形和热塑性变形，在生产上，通常称为冷加工和热加工。 经冷塑性变形的金属材料有储存能，自由能高，组织不稳定。若升高温度，使原子获得足够的扩散能力，则变形组织会恢复到变形前的状态，这个恢复过程包括：回复、再结晶和晶粒长大三个阶段。 从金属材料的生产流程来看，一般是先进行热加工，然后才进行冷加工和再结晶退火。但为了学习的方便，本章先讨论冷加工，再讨论再结晶和热加工。 §6.1 金属材料的变形特性 一、 应力—应变曲线 金属在外力作用下，一般可分为弹性变形、塑性变形、断裂三个阶段。 图6.1是低碳钢拉伸时的应力—应变曲线，这里的应力和应变可表示为： 000,L L L L L A F ?=-==εσ 公式中F 是拉力，00,L A 分别是试样的原始横截面积和原始长度。 从图中可以得到三个强度指标：弹性极限e σ，屈服强度s σ，抗拉强度b σ。当拉应力小于弹性极限e σ时，金属只发生弹性变形，当拉应力大于弹性极限e σ，而小于屈服强度s σ时，金属除发生弹性变形外，还发生塑性变形，当拉应力大于抗拉强度b σ时，金属断裂。理论上，弹性变形的终结就是塑性变形的开始，弹性极限 和屈服强度应重合为一点，但由于它们不容易精确测定， 所以在工程上规定：将残余应变量为0.005%时的应力值作 为弹性极限，记为005.0σ，而将残余应变量为0.2%时的应 材料的力学性能应力应变关系 分别从静力学、几何学观点出发，建立了应力、应变的概念以及满足平衡和变形协调等条件时的方程。仅用这些方程还不足以解决受力构件内各点的受力和变形程度，因为在推导这些方程时，没有考虑到应力与应变间内在的联系。实际上它们是相辅相成的，有应力就有应变；有应变，就有应力（这里指等温情况）。应力与应变间的关系，完全由材料决定，反映了材料所固有的力学性质。不同的材料会反映出不同的应力应变关系。材料的力学性能和应力应变关系要通过实验得到。 4.1 材料的力学性能与基本实验 材料在外力作用下所表现出的变形和破坏方面的特性，称为材料的力学性能。材料的力学性能通常都是通过实验来认识的，最基本的实验是材料的轴向拉伸和压缩实验。常温、静载下的轴向拉伸试验是材料力学中最基本、应用最广泛的试 验。通过拉伸试验，可以较全面地测定 材料的力学性能指标，如弹性、塑性、 强度、断裂等。这些性能指标对材料力 学的分析计算、工程设计、选择材料和 新材料开发有极其重要的作用，特别对 建立复杂应力状态下材料的失效准则 提供最基本的依据。由于有些材料在拉 伸和压缩时所表现的力学性能并不相 同，因而必须通过另一基本实验，轴向 压缩实验来了解材料压缩时的力学性 能。 试验时首先要把待测试的材料加工 成试件，试件的形状、加工精度和试验 条件等都有具体的国家标准或部颁标 准规定。例如，国家标准GB6397-86《金属拉伸试验试样》中规定拉伸试件截面可采用圆形和矩形（见图4-1），并分别具有长短两种规格。圆截面长试件其工作段长度（也称标距），短试件l 0 = 5d 0（图4-1a）；矩形截面长试件 l0 = 11.3，短试件l 0 = 5.65，A 0为横截面面积（图4-1b）。金属材料的压缩实验，一般采用短圆柱形试件，其高度为直径的1.5~3倍（图4-1c）。除此之外，还规定了试验条件、试验内容及方法等。 4.2 轴向拉伸和压缩实验 4.2.1 低碳钢的拉伸实验 复习重点：名词、简答、各章课堂强调的重点及书后作业 第六章金属的塑性变形和再结晶 一、名词 强度：材料在外力作用下抵抗破坏的能力。 屈服极限：金属开始产生屈服现象时的应力。 延伸率：在拉伸试验中，金属试样断裂后标距长度伸长量?L(L k-L0)与原始标距长度L0的百分比。 断面收缩率：在拉伸试验中，金属试样断裂后原始横截面面积F0和断裂时横截面面积F k之差与原始横截面积F0的百分比。 滑移带：当表面抛光的单晶体金属试样经过适量塑性变形后，在金相显微镜下可以观察到，在抛光的表面上出现的相互平行的线条。 滑移线：经塑性变形后在试样表面上产生的一个个小台阶。 滑移：晶体的一部分相对于另一部分沿着某些晶面和晶向发生相对滑动的塑性变形方式。 滑移系：一个滑移面和此面上的一个滑移方向结合起来组成一个滑移系。 软取向：当外力与滑移面、滑移方向的夹角都是45°时所对应的取向称为软取向。 硬取向：当外力与滑移面平行(?＝90°)或垂直(λ=90°)时所对应的取向称为硬取向。 细晶强化：用细化晶粒增加晶界提高金属强度的方法。 孪生：在切应力作用下晶体的一部分相对于另一部分沿一定的晶面(孪晶面或孪生面)与晶向(孪生方向)产生一定角度的均匀切变过程。 孪晶：通过孪生形成的以孪晶界为分界面的对称的两部分晶体。 变形织构：因塑性变形导致的多晶体晶粒具有的择优取向的组织。 加工硬化：随着变形程度的增加，金属的强度、硬度显著升高，而塑性、韧性则显著下降的现象。 二、简答： 1. 低碳钢拉伸应力-应变曲线可分为哪几个阶段？ 答：弹性变形、塑性变形、断裂 2. 影响弹性模量的因素有哪些？ 答：金属的本性、晶体结构、晶格常数。 3. 滑移面与滑移方向选择晶体密排面与密排晶向的原因？ 答：密排晶面上原子间结合力最强，而密排晶面之间的原子间结合力最弱，滑移的阻力最小，因而最易滑移，密排晶向阻力最小。 4. 多晶体塑性变形的特点？ 答：各晶粒不同时变形、各晶粒相互协调变形、各晶粒及一个晶粒内部变形不均匀 5. 塑性变形后，金属内部残余应力有哪几种？ 答：宏观内应力、微观内应力、点阵畸变 6、根据组织，合金分为哪两种？ 答：1）单相固溶体合金，2）多相合金。 7、什么是柯垂尔气团？ 答：溶质原子偏聚于刃型位错周围，形成的溶质气团。 8、影响多相合金塑性的因素？ 答：1）固溶体基体的塑性；2）第二相的性质、形状、大小、数量及分布状况。 9、第二相强化有哪两种强化机制？ 答：1）位错绕过第二相粒子，2）位错切过第二相粒子。 10、由于加工方式的不同造成的两种不同类型的形变织构是什么？ 答：1）丝织构，2）板织构。 塑性力学 suxing lixue 塑性力学 plasticity 的一个分支，研究物体超过弹性极限后所产生的永久变形和作用力之间的关系以及物体内部和的分布规律。和的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形与时间有关。 塑性力学理论在工程实际中有广泛的应用。例如用于研究如何发挥材料的潜力，如何利用材料的塑性性质，以便合理选材，制定加工成型工艺。塑性力学理论还用于计算残余应力。 基本实验和基本理论对塑性变形基本规律的认识来自实验。从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性，将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极限后材料的，从而建立塑性力学的基本方程。解出这些方程，便可得到不同塑性状态下物体内的应力和应变。 基本实验基本实验有两个： ①简单拉伸实验对某些材料（如低碳钢）作简单拉伸实验，可得到如图1[简 单拉伸实验应力-应变曲线] 所示的应力-应变曲线。实验表明，应力-应变曲线上存在一个称为弹性极限的应力值，若应力小于 弹性极限，则加载和卸载的应力-应变曲线相同（段）;若应力超过弹性极限， 加载的应力-应变曲线有明显的转折,并出现一个水平的线段（），常称为屈服阶段，相应的应力称为屈服极限。弹性极限、屈服极限的值相差不大，在工程上常取为一个值，仍称屈服极限，记为[400-1]。材料中的应力达到屈服极限时，材料即进入塑性阶段。此阶段的最大特点是:加载和卸载的应力-应变曲线不同。例如由图1[简单拉伸实验应力-应变曲线] 中点卸载,应力与应 变不是沿[kg2]线而是沿[kg2]线退回[kg2]应力全部消失后，仍保留永久应 变。实验表明，在变形不大时，多数材料应力-应变曲线中的与接近平行, 以表示塑性应变，表示弹性应变，则点的应变为： 第四章应力和应变关系 一. 内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二. 重点 1. 应变能函数和格林公式； 2. 广义胡克定律的一般表达式； 3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系； 4. 各向同性材料的本构关系； 3. 材料的弹性常数。 §4.1 弹性体的应变能原理 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点： 1. 应变能； 2. 格林公式； 3. 应变能原理。 第六章高聚物的力学性能（3） 6.4 高聚物的塑性和屈服 6.4.1 应力—应变曲线的类型 应力：由外力或物体中的永久形变或物体受到非均匀温度等因素的影响，从而引起物体内部单位面积上产生的内力。 应变：当材料受到外力作用时，所处的条件使它不能产生惯性移动时，它的几何形状将发生变化，这种变化称为应变。 弹性模量：弹性模量= 应力/应变。对于理想的弹性固体，应力与应变关系服从虎克定律。模量愈大，愈不容易变形，材料刚度愈大。三种基本类型弹性模量：杨氏模量、剪切模量、体积模量。 拉伸强度：轴向拉伸直到试样被拉断为止，断裂前试样承受的最大载荷P与试样的宽度b和厚度d的乘积的比值。 硬度：衡量材料表面抵抗机械压力能力的一种指标。分为布氏、洛氏和邵氏等几种。 6.4.1.1 大应变的应力—应变曲线（拉伸试验） σ-ε曲线类型四个特征点：A、Y、D、B A－A点前σ-ε线性关系（σ<σL），E = σL /εL，E = tgα＝Δσ/Δε Y－屈服点屈服应力σy，屈服应变εy σ < σy ，弹性区（y点前）；σ > σy ，塑性区（y点后） D－冷拉点冷拉应力σd YD：应变软化：ε↑，σ↓，DC：颈缩阶段，CB：取向硬化 B－断裂点断裂强度σb：判断材料的强和弱； 断裂应变εb：判断材料的变形程度； 弹性模量：判断材料的刚和软； 断裂能：判断材料的脆和韧。 6.4.1.2 根据材料的σ-ε行为，材料的五种类型 （1）硬而脆：无屈服点，εb 小（2％）（PS，PMMA） （2）硬而韧：E σyσbεb大，无明显屈服点，有细颈（PA、PC） （3）硬而强：高 E σb εb 小（5％）（PVC ，HIPS） （4）软而韧：E小，无明显屈服点，εb 很大（橡胶、软PVC） （5）软而弱：凝胶、溶胶塑料 “软”和“硬”用于区分模量的低或高，“弱”和“强”是指强度的大小，“脆”是指无屈服现象而且断裂伸长很小，“韧”是指其断裂伸长和断裂应力都较高，有时可将断裂功作为“韧性”的标志。 6.4.1.3 试验温度和试验速率对σ-ε曲线的影响 （1）温度（在没有松弛转变的温度范围内） 复习纲要 第一章绪论 1．弹性与弹性变形 物体受到不大的外力作用后产生的变形，在外力除去后可以全部恢复，物体仍保持原有的形状和尺寸。这种性质称为材料的弹性，这种可以全部恢复的变形叫弹性变形。这时称物体处于弹性状态。 2．塑性与塑性变形 当外力超过一定限度后，在物体某些部分内，任意点上的应变将不随应力的消失而恢复。这种变形不可恢复的性质称为塑性，不随应力消失而恢复的那部分变形称为塑性变形。 3．弹性区与塑性区 在加载过程中，物体的一部分产生塑性变形时，称该部分已进入塑性状态，同时将该部分称为物体的塑性区，未进入塑性状态的区域则为弹性区。 4．塑性变形的特点 （1）塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系。塑性变形不仅与当前的应力状态有关，还与加载的历史有关。 （2）应力与应变（或应变率）之间呈非线性关系。 5．塑性力学研究的主要内容 （1）建立在塑性状态下应力与应变（或应变率）之间的关系。 （2）研究物体受外力作用进入塑性状态后产生的应力和变形，包括研究在加载过程中的每一时刻，物体内各点的应力和变形。以及确定弹性区与塑性区的界限。 （3）有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态（塑性变形无限制发展，物体已达到它对外力的最大承载能力）时的荷载，即极限荷载。这种研究方法通常称为极限分析。 6．塑性力学的基本假设 1、材料的塑性行为与时间、温度无关（在我们所研究的范围内，通常不考虑时间因素对变形的影响（如弹性后效、蠕变等），而且只限于考虑在常温下和缓慢变形的情形，所以也忽略温度和应变速度对材料性质的影响。） 2、材料具有无限的韧性 3、材料是均匀的、连续的，并在初始屈服前为各向同性，且拉伸和压缩的应力-应变曲线一致； 4、任何状态下的总应变可以分解为弹性和塑性两部分，且材料的弹性性质不因塑性变形而改变； 5、对应于塑性变形部分的体积变化为零，静水压力不产生塑性变形。 7．简单拉伸与压缩试验 （1）拉伸试验 由拉伸应力—应变曲线可知： 图1.1 图1.2 ①拉伸开始阶段σ和ε成正比，变形全是弹性的。P 点的纵坐标P σ称为比例极限。 ②应力超过P σ后，σ与ε不再成正比，但变形仍是弹性的。Q 点的纵坐标e σ称为弹性极限。 ③应力超过e σ后，在SA 段内应力不再增加，而应变继续增长，这种现象称为屈服现象。对应于R 点的应力称为上屈服极限，对应于SA 的应力称为下屈服极限。一般把下屈服极限称为屈服极限，以s σ表示。 ④对于没有明显的屈服阶段，常规定以产生某一指定的残余应变（例如0.2％时的应力作为屈服极限。记为2.0σ。 常常认为（P σ=e σ=s σ），在σ≤s σ阶段，服从虎克定律σ=εE 。这里E 是弹性模量，它也是σ—ε曲线初始直线段的斜率。 ⑤A 点以后如欲继续产生变形，则需继续加载，σ—ε关系如曲线ABF ，这一阶段称为强化阶段。在这一阶段中，任一点上曲线的斜率ε σ d d E = 1称为强化模量，一般E 1＜E 。 在进入塑性阶段（即应力σ≥s σ）以后，设从任一点B 处开始卸载，则σ—ε曲线为通过B 弹性力学： 1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。 2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。 3.体积力：作用在物体每一点的外力。比如每一点都有的重力。 4.面力：作用在物体表面的外力。比如水给大坝表面的压力。 5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。 6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。 7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。 8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。 9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。 10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。 11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。 12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。 13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。 14.线弹性：材料变形性质是弹性，且应力应变关系是线性的。 15.应力函数：用于计算应力的函数，该函数满足无体力的平衡微分方程。用应力函数求解弹性力学问题可以减少基本方程的数目，但缺点是方程升阶。 16.平面问题:任何弹性体都是具有一定空间的，但忽略一些次要因素而按平面问题分析，使分析过程变得简单且能满足工程的精度要求，就可以简化为平面问题。 17.平面应力问题：薄板受板面方向的外力且外力沿厚度方向不变，这类问题可以简化为平面应力问题， ABAQUS混凝土应力-应变关系选择共 3篇 ABAQUS混凝土应力-应变关系选择1 混凝土是建筑工程中常用的材料之一，其力学性能的研究对于建筑结 构的设计和分析具有重要意义。ABAQUS是一款常用的有限元分析软件，可以通过ABAQUS对混凝土的力学性能进行模拟和分析。在ABAQUS中，混凝土的应力-应变关系选择对于模拟结果的准确性和可靠性有很大的 影响，下面将从混凝土材料的基本力学性质、混凝土应力-应变关系的 分类、ABAQUS中混凝土应力-应变关系选择等方面进行阐述。 1.混凝土材料的基本力学性质 混凝土是通过水泥、骨料、水等材料的混合而成的建筑材料，其暴露 在外界环境中易受到各种载荷的作用，因此，了解混凝土材料的基本 力学性质是进行结构分析和设计的基础。混凝土的基本力学性质包括 弹性模量、泊松比、拉伸强度、抗压强度、剪切强度等。 其中，弹性模量是衡量混凝土抗拉、抗压等载荷的变形能力的参数。 泊松比是衡量混凝土加载时横向变形与纵向变形之比的参数。拉伸强 度是衡量混凝土在受拉载荷作用下的最大承载能力的参数。抗压强度 是衡量混凝土在受压载荷作用下的最大承载能力的参数。剪切强度是 衡量混凝土在受剪载荷作用下的最大承载能力的参数。 2.混凝土的应力-应变关系分类 混凝土的应力-应变关系是描述混凝土在受载荷作用下，应变与应力之 间的关系的参数。根据混凝土的应力-应变关系的特点、分析对象等不同，可以将混凝土的应力-应变关系分为以下几类。 （1）线性弹性应力-应变关系 线性弹性应力-应变关系是指在小应变范围内，混凝土的应力与应变之间呈线性关系。这种应力-应变关系只考虑弹性变形，不考虑混凝土的不可逆变形。这种情况下，混凝土的应力-应变关系可以用胡克定律描述。 （2）非线性弹性应力-应变关系 当混凝土受到大于弹性极限的载荷作用时，混凝土的应力-应变关系将不再呈线性规律。此时，混凝土会发生一定程度的塑性变形。此时的应力-应变关系可以用弹塑性模型描述。 （3）屈服后应力-应变关系 在混凝土材料中，当应力超过一定的临界值时，混凝土材料将进入屈服阶段，此时混凝土的应力-应变关系将发生明显的变化。应力-应变关系的变化取决于混凝土处于屈服状态下的材料性质。 （4）破坏后应力-应变关系 当混凝土受到大于其破坏能力的载荷作用时，混凝土将发生破坏。此时的应力-应变关系与之前的应力-应变关系有很大的差别。 3.ABAQUS中混凝土应力-应变关系选择 在ABAQUS中，可以通过选择合适的材料参数和材料模型来确定混凝土的应力-应变关系。混凝土的弹性模量、泊松比、抗拉强度、抗压强度等材料参数可以根据不同的混凝土材料进行选择。同时，不同的混凝土应力-应变关系模型也适用于不同的混凝土类型和应力范围。 塑性变形：材料在一定外力作用下，利用其塑性而使其成型并获得一定力学性能的加工方法。塑性：在外力作用下使金属材料发生塑性变形而不破坏其完整性的能力。 滑移：晶体在力的作用下，晶体的一部分沿一定的晶面和晶向相对于晶体的另一部分发生相对移动或切变。 滑移面：滑移中，晶体沿着相对滑动的晶面。滑移方向：滑移中，晶体沿着相对滑动的晶向。孪生：晶体在切应力作用下，晶体一部分沿着一定的晶面和一定的晶向发生均匀切变。 张量：由若干个当坐标改变时，满足转换关系的分量所组成的集合。 晶粒度：金属材料晶粒大小的程度。 变形织构：在塑性变形时，当变形量很大，多晶体中原为任意取向的各个晶粒，会逐渐调整其取向而彼此趋于一致。这种由于塑性变形的结果而使晶粒具有择优取向的组织。 动态再结晶：在热塑性变形过程中发生的再结晶。 主应力：切应力为0的微分面上的正应力。 主方向：主应力方向，主平面法线方向。 主应力空间：由三个主方向组成的空间 主切应力：切应力达到极值的平面上作用得切应力。 主切应力平面：切应力达到极值的平面。 主平面:应力空间中，可以找到三个互相垂直的面，其上均只有正应力，无切应力，此面就称为主平面。 平面应力状态：变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关的应力状态。 平面应变状态：物体内所有质点都只在同一个坐平面内发生变形，而该平面的法线方向没有变形的变形状态。 理想刚塑性材料：研究塑性变形时，既不考虑弹性变形，又不考虑变形过程中的加工硬化的材料。 理想弹塑性材料：塑性变形时，需考虑塑性变形之前的弹性变形，而不考虑硬化的材料。 弹塑性硬化材料：塑性变形时，既要考虑塑性变形前的弹性变形，又要考虑加工硬化的材料。刚塑性硬化材料：研究塑性变形时，不考虑塑性变形之前的弹性变形，需考虑变形过程中的加工硬化的材料。 屈服轨迹：两相应力状态下屈服准则的表达式在主应力坐标平面上的几何图形，一条封闭的曲线。 屈服表面：屈服准则的数学表达式在主应力空间中的几何图形是一个封闭的空间曲面称为屈服表面。 应变增量：以物体在变形过程中某瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上发生的无限小应变。全量应变：反映张量在某一变形过程或变形过程中的某个阶段结束时的应变。 比例加载：在加载过程中，所有的外力一开始就按同一比例加载。 干摩擦：当变形金属与工具之间的接触表面上不存在任何外来的介质，即直接接触时所产生的摩擦。 流体摩擦：当变形金属与工具表面之间的润滑剂层较厚，两者表面完全被润滑剂隔开，这种状态下的摩擦称为。 磷化：塑性成形时润滑前在坯料表面上用化学方法制成一层磷酸盐或草酸盐薄膜，呈多孔吸附润滑剂。 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 二X = E ； X 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 er, +C l^ + C1^+C l4/…+C li/^ + C l6^ 6 =口局+G6 人+3用+G必 f = C41< +c尹+C, +G 人+3,€航 巧严G局+ QE + G应+ 5打+ 3显+ 4人 右=+ c^£y +C晟 +C M X> + G必+4 九 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下 b 賞—U[ 16 + + U]3 勺 + b m x 十 0影£站十C yy £z 十予乙运 J = U 斗齐 + U 4Qu (2) 正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 =「局 + G 适$ + Gs 气 = Gw+c 12e y + ⑶各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容 易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性 弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足： 一 Gl ；x • C i2；y • C l3；z r “21 x - C 22； y C 23 Z Z = C 31 ；x ' C32 ；y ' C 33 ；z ；x 对二x 的影响与；y 对r 以及；z 对二z 的影响是相同的，即有 C11=C2=C 33 、和上对匚x 的影响相同，即 C12=C 13 ，同理有C 21=C 23和 =C 和乙,十C 66 ^ (2-3) T xz = CQh 第1篇塑性变形力学基础 第1章应力分析与应变分析 §1.1 应力与点的应力状态 1.1.1 外力 塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料发生塑性变形，制备具有一定外形尺寸及组织性能产品的一种加工方法。外力是塑性加工的外因，它可以分成表面力和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力，它有集中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积力则是作用于工件每一质点上的力，如重力、磁力、惯性力等等。在一般的加工过程中，体积力的作用远远小于表面力，因此往往忽略不计。但在加速度较大的场合，体积力不能忽略。例如锤上模锻，工件所受的惯性力向上，有利于材料填充上模，故常把形状复杂的型腔设置在上模。 对外力的研究，一般采用理论力学的静力平衡法来分析，即使是体积力如惯性力，也可转化为一种等效“静力”，仍可采用静力平衡法来分析。 1.1.2 内力 内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整性的力。外界作用可以是外力，也可以是物理作用、化学作用，如冷热不均。内在力则来自于组成物体的众多原子，它们总是试图保持相互之间的距离不变。当外界作用于物体时，迫使原子间距发生变化，而原子则以力的形式与外界抗衡，以恢复稳定位置，保持原有的间距。所以内力是物体抵抗外界作用而产生的于内部各部分之间相互平衡的力。 研究内力时，首先须用假想截面剖切物体，暴露出内力，视其为外力，然后再运用理论力学的静力平衡方法来求解。 1.1.3 应力 应力是单位面积上的内力（见图1-1），其定义式为： Sn=dP/dA （1.1） 图1-1 应力示意图图1-2 平行于坐标面上应力示意图 其中dA 为假想截面某处的微面积，d P 为微面积上“作用”的内力。Sn 为力矢量。可以将 分解成平行于dA 外法线n 向的正应力n σ和“作用”在dA 内的切应力 n τ或者二个正交的切应力。特别是，当dA 分别为平行于直角坐标系下三个坐标面时，其应力分解如图1-2所示。每个应力分量的符号带有两个下角标。第一个角标表示该应力分量所在的面（以外法线命名），第二个角标表示该应力所指的方向。正应力分量的两个角标相同，一般可用一个下角标表示，如xx σ可简写成x σ。 切应力分量的正负号规定如下：外法线指向坐标轴正向的面为正面，反之为负面。在正面上，指向坐标轴正方向上的切应力分量为正；在负面上，指向坐标轴负方向上的切应力分量也为正。即两个角标同号为正，异号为负。正应力分量则以拉为正，压为负， 由于单元体处于平衡状态，故绕单元体各坐标轴的合力矩为零，由此可得剪应力互等，即yx xy ττ=，xz zx ττ=，zy yz ττ=。 1.1.4 点的应力状态 应力是某点某方位单位作用面上所受的力，而过一点可以有无穷多个方位的面。这些方位作用面上的应力如何，这正是一点的应力状态所反映的问题。 现考察变形体内任一点M 某一斜面上的应力情况。设过M 点三个坐标面上的应力为已知。设斜面与三个坐标轴的截距为dx 、dy 、dz ，以四面体近似表示点，从而斜面近似通过M 点（见图1-3）。斜面外法线n 的方向余弦分别为： ⎪⎪ ⎭ ⎪ ⎪⎬⎫ z y x l z n l y n l x n 令令令),cos(),cos(),cos( （1. 2） 设斜面上的全应力为，它在三个坐标轴上的投影为S x ， S y ， S z 。在n 上的分量为n σ，在作用面上的分量为n τ。列四面体的力平衡方程，即0,0,0=∑=∑=∑z y x 有： ⎪ ⎭ ⎪ ⎬⎫ ++=++=++=z z y yz x xz z z zy y y x xy y z zx y yx x x x l l l S l l l S l l l S στττστττσ （1. 3） 或用矩阵形式表达成 图1-3 四面体受力示意图 图14-1 任意斜切微分面上的应力 复习资料：第6章 塑性成形力学基础 1. 什么叫张量？张量有什么性质？ 答：张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合，称为张量，需要 用空间坐标系中的三个矢量，即9个分量才能完整地表示。 它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。 基本性质： 1） 张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数 ) (ij P f ，这些函数值与坐标轴 无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变量。二阶张量存在三个独立的不变量。 2） 张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。 3） 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量 若张量具有性质ji ij P P =，就 叫对称张量；若张量具有性质ji ij P P -=，且当i=j 时对应的分量为0，则叫反对称张 量；如果张量 ji ij P P ≠，就叫非对称张量。任意非对称张量可以分解为一个对称张量 和一个反对称张量。 4） 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如果以主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主值。 2. 如何表示任意斜微分面上的应力？ 答：若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助静力平衡条件， 该点任意方向上的应力分量可以确定。 如图14-1所示，设过Q 点任一斜切面的法线N 与三个坐标轴的方向余弦为 l ，m ，n ， l=cos(N,x); m=cos(N,y); n=cos(N,z)。 若斜微分面ABC 的面积为dF ， 微分面OBC(x 面)、OCA(y 面)、OAB(z 面)的微分面积分别为dFx 、dFy 、dFz ， 则各微分面之间的关系为 dFx ；dFy= mdF ； dFz=ndF 又设斜微分面ABC 上的全应力为S ，它在三坐标轴方向上的分量为Sx 、 Sy 、Sz ，由静力平衡条件∑ =0 x P ，得： 0d d d d zx yx x =---Fz F F F S y x x ττσ 整理得 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ++=++=++=n m l S n m l S n m l S z yz xz z zy y xy y zx yx x x στττστττσ （14-6） 用角标符号简记为 ()z y x j i l S i ij j ，，，==σ 显然，全应力 2 222z y x S S S S ++= 斜微分面上的正应力σ为全应力S 在法线N 方向的投影，它等于x S ,y S ,z S 在N 方向上 的投影之和，即 n S m S l S z y x ++=σ ) (2222nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσ+++++= （14-7） 斜切微分面上的切应力为 2 22στ-=S （14-8） 所以，已知过一点的三个正交微分面上9个应力分量，可以求出过该点任意方向微分面上的应力，也就是说，这9个应力分量可以全面表示该点应力状况，亦即可以确定该点的应力状态。 3. 应力张量不变量如何表达？ 答：应力张量的三个不变量为 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ =++-=++=321313322123211)(σσσσσσσσσσσσJ J J 页脚内容127 第六章 弹塑性平面问题 任何一个弹塑性体实际上都是空间(三维)物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题，即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数。但是，当所考察的物体(结构)及其所承受的载荷具有某些特点时，则可将它们近似地看作平面(二维)问题，即所有的力学量都是两个坐标(如y x ,)的函数，从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度。 由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。 6.1 弹性平面问题的基本方程 由第二章己经知道，两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。 1.1平衡方程 无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为 ⎪⎪ ⎭ ⎪ ⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x y xy xy x σττσ (6.1-1) 1.2几何方程 由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 x v y u ，y v ，x u xy y x ∂∂+∂∂= ∂∂= ∂∂= γεε (6.1-2) 页脚内容128 由式(6.1-2)可得到平面问题的变形协调方程为 y x x y xy y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2 2 222 (6.1-3) 1.3本构关系 两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同，因此，由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同。 (1) 平面应力问题 对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ，根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。因此本构方程为 ⎪ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎬⎫ +=+-=-=-= xy xy y x z x y y y x x E E E E τνγσσν ενσσενσσε) 1(2)()(1 )(1 (6.1-4a) 或 ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎬⎫+=+-=+-= xy xy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(12 2 (6.1-4b) (2) 平面应变问题第六章 塑性变形习题集-附部分答案
(整理)第6章金属及合金的塑性变形
深入解析材料力学中的应变应力关系
我所认识的应力应变关系讲解
第六章 金属和合金的塑性变形
材料的力学性能 应力应变关系
金属学与热处理第六章
塑性力学
弹塑性力学04应力和应变关系汇总
06-3-第六章-力学性能-塑性和屈服-断裂和强度-增韧-疲劳-磨耗-110919 (3)
塑性力学复习纲要讲解
弹塑性力学名词解释
ABAQUS混凝土应力-应变关系选择共3篇
塑性成形重要知识点总结
应力应变关系
塑性变形力学基础
复习资料：第6章 塑性成形力学基础
弹塑性力学-第6章 弹塑性平面问题
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