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近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编07 数列

1 + a n

， 4 2 8

4 2 8 近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

七、数列

一、单选题

（2021·全国（文））记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 S 2 = 4 ，S 4 = 6 ，则 S 6 =（

）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

2．（2021·浙江）已知a , b ∈ R, a b > 0 ，函数 f ( x ) = ax 2

+ b (x ∈ R) .若 f (s - t ), f (s ), f (s + t ) 成等比数列，则平面上点(s ,t ) 的轨迹是（

）

A ．直线和圆

B ．直线和椭圆

C ．直线和双曲线

D ．直线和抛物线

3．（2021·全国（理））等比数列{a n }的公比为 q ，前 n 项和为

S n ，设甲： q > 0 ，乙： {S n } 是递增数列，则（

）

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

4．（2021·浙江）已知数列{a } 满足

a = 1, a = a n (n ∈ N *

).记数列{a }的前 n

n +1

项和为

S n ，则（）

A ． 3

< S

< 3

B ．

3 < S < 4

C ． 4 < S

< 9

D ． 9

< S < 5

100

5．（2020·北京）在等差数列{a n }中，a 1 = -9 ，a 5 = -1 ．记T n = a 1a 2…a n (n = 1, 2,…) ，则数列{T n }（

）．

A ．有最大项，有最小项

B ．有最大项，无最小项

C ．无最大项，有最小项

D ．无最大项，无最小项

（2020·浙江）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0

n ∈ N * ，下列等式不．可．能．成立的是（）

a 1

≤ 1 ．记b 1=S 2，

b n+1=S 2n+2–S 2n ， d

A ．2a 4=a 2+a 6

B ．2b 4=b 2+b 6

C ． a 2

= a a D ． b 2

= b b

7．（2020·全国（文））设{a n } 是等比数列，且

a 1 + a 2 + a 3 = 1 ， a 2 + a 3 +a 4 = 2 ，则

a 6 + a 7 + a 8 = （

）

a k +1 k +2 k +10

A ．12

B ．24

C ．30

D ．32

S n 8．（2020·全国（文））记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和．若 a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则

（）

A ．2n –1

B ．2–21–n

C ．2–2n –1

D ．21–n –1

9．（2020·全国（理））数列{a n } 中，

a 1 = 2 ， a m +n = a m a n ，若

a + a ++ a = 215 - 25 ，则 k = （）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

10．（2020·全国（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加

9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) （）

A ．3699 块

B ．3474 块

C ．3402 块

D ．3339 块

11．（2020·全国（理））0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 a 1a 2 a n 满足

a i ∈{0,1}(i = 1, 2,

) ，且存在正整数 m ，使得 a i + m = a i (i = 1, 2,

) 成立，则称其为 0-1 周

期序列，并称满足 a i + m = a i (i = 1, 2,) 的最小正整数 m 为这个序列的周期.对于周期为 m C (k ) = 1 m

a a

(k = 1, 2,, m - 1)

的 0-1 序列 a 1a 2 a n ， ∑ i =1

i i + k 是描述其性质的重要指标，下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足C (k ) ≤ 1

(k = 1, 2, 3, 4) 的序列是（）

A ．11010

B ．11011

C ．10001

D ．11001

12．（2019·全国（理））已知各项均为正数的等比数列{a n } 的前 4 项和为 15，且

a 5 = 3a 3 + 4a 1 ，则 a 3 =

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2

2 n 13．（2019·全国（理））记

S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和．已知 S 4 = 0，a 5 = 5 ，则

A. a n = 2n - 5

B. a n = 3n -10

C. S n = 2n 2

- 8n

D. S n

= 1 n 2

- 2n

14．（2018·浙江）已知 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列，且 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = ln(a 1 + a 2 + a 3 ) ．若

a 1 > 1 ，则

A ． a 1 < a 3 , a 2 < a 4

C ．

a 1 < a 3 ,a 2 > a 4 B ． a 1 > a 3 ,a 2 <

a 4

D ．

a 1 > a 3 ,a 2 > a 4

15．（2018·北京（理））“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 .若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为

C ． 12 25 f

D ． 12 27 f

16．（2017·全国（理））等差数列{a n } 的首项为1，公差不为0 ．若

a 2 、a 3 、a 6 成等比数列，则{a n }的前6 项的和为（）

A ． -24

B. -3

C. 3

D ． 8

17．（2017·上海）已知 a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项 x = an 2

+ bn + c ，n

∈ N * ，

则“存在 k ∈ N * ，使得

x 100+k 、 x 200+k 、 x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（）

A. a ≥ 0

B. b ≤ 0

C. c = 0 D ． a - 2b + c = 0

18．（2017·全国（理））（2017 新课标全国 I 理科）记

S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和．若

a 4 + a 5 = 24 ， S 6 = 48 ，则{a n } 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

19．（2017·浙江）已知等差数列{a n }的公差为 d,前 n 项和为 S n ,则“d>0”是 " S 4 +S 6 > 2S 5 "的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

B ． 3 22 f

n 20．（2017·全国（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯

A ．1 盏

B ．3 盏

C ．5 盏

D ．9 盏

21．（2017·全国（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯

A ．1 盏

B ．3 盏

C ．5 盏

D ．9 盏

二、填空题

22．

（2020·海南）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }

的前 n 项和为

．

23．（2020·浙江）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如

⎧ n (n +1) ⎫ ⎧ n (n +1) ⎫ *

数列⎨ 2 ⎬ 就是二阶等差数列，数列 ⎨ 2 ⎬ (n ∈ N ) 的前3 项和是

．

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

24．（2020·江苏）设{a n }是公差为 d 的等差数列，{b n }是公比为 q 的等比数列．已知数

列{a n +b n }的前 n 项和 S = n 2 - n + 2n

-1(n

∈ N + ) ，则 d +q 的值是．

25．（2020·全国（文））数列{a n } 满足 a

n +2 + (-1)n

a = 3n -1，前 16 项和为 540，则 a 1 =

26．（2020·全国（文））记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和．若 a 1 = -2, 则

S 10 = ．

a 2 + a 6 = 2 ，

27．（2019·江苏）已知数列{a n }(n ∈ N *

) 是等差数列， S n 是其前 n 项和.若

a 2a 5 + a 8 = 0, S 9 = 27 ，则 S 8 的值是 . 28．（2019·全国（文））记

S n 为等差数列{a n }的前

n 项和，若 a 3 = 5, a 7 = 13 ，则 S 10 = . 29．（2019·全国（理））记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，

a 1≠0，a 2 = 3a 1 ，则 n

1 S 10

S 5

= .

30．（2019·全国（文））记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a

= 1，S = 3

，则

S 4=

．

31．（2019·全国（理））记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和．若 a = 1

，a 2

= a ，则

S 5=

．

4 6

（2018·上海）记等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 3 = 0 ，a 6 + a 7 = 14 ，则 S 7 = ．

33．（2018·全国（理））记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，若 S n = 2a n +1，则 S 6 = ．

34．（2017·上海）已知数列{a } 和{b }，其中 a = n 2

， n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等

的正整数，若对于任意 n ∈ N * ，{b n } 的第 a n 项等于{a n } 的第b n 项，则

lg(b 1b 4b 9b 16 ) =

lg(b 1b 2b 3b 4 )

．2017·全

国（）2017 新课标全国 II 理科）等差数列{a n } 的前

n 项和为 S n ，a 3 = 3 ，

S = 10 ，则∑

1 = ．

4 k =1 S

36．

（2017·北京（理））若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足 a 1 = b 1 = -1，a 4 = b 4 = 8 ，则 a 2 = . b 2

37．（2017·江苏）等比数列{ a }的各项均为实数，其前

n 项为 S ，已知 S = 7

，

S = 63

，

则

a 8 = ．

n 3

38．（2021·全国）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20dm ⨯12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm ⨯12dm ，

20dm ⨯ 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S = 240dm 2 ，对折 2 次共可以得到

5dm ⨯12dm ，10dm ⨯ 6dm ， 20dm ⨯ 3dm 三种规格的图形，它们的面积之和 S 2 = 180dm 2 ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为

；如果

对折

n 次，那么∑ S

= dm 2 .

k =1

39．（2019·北京（理））设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 2=−3，S 5=−10，则 a 5=

，S n 的最小值为．

三、解答题

40．（2021·全国（文））设{a }是首项为 1 的等比数列，数列{b } 满足b =

na n

．已知 n

a 1 ， 3a 2 ， 9a 3 成等差数列．

（1）求

{a n } 和{b n }的通项公式；

n n

（2）记 S 和T 分别为

{a }和{b }的前 n 项和．证明： T <

S n

． n

41．（2021·浙江）已知数列{a }的前 n 项和为

S ， a = - 9

，且4S = 3S - 9 .

（1）求数列{a n } 的通项；

n +1

（2）设数列

{b n }满足3b n + (n - 4)a n = 0 ，记{b n }的前 n 项和为T

，若T n ≤ λ

b n 对任意 n ∈ N * 恒成立，求λ的范围.

42．（2021·全国（理））已知数列{a n }的各项均为正数，记

S n 为{a n }的前 n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{a n }是等差数列：②数列

{ S n

}是等差数列；③ a

= 3a 1 ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

43．（2021·全国（理））记 S n 为数列{a n }的前 n 项和， b n 为数列{S n } 的前 n 项积，已

知

2 + 1

b n = 2 ．

（1）证明：数列{b n }是等差数列;

（2）求

{a n } 的通项公式．

44．（2020·海南）已知公比大于1的等比数列{a n } 满足

a 2 + a 4 = 20, a 3 = 8 ．

（1）求{a n } 的通项公式；

（2）求 a a - a a

+⋯+ (-1)n -1 a a .

1 2

2 3

n n +1

45．（2020·天津）已知{a n }为等差数列， {b n }为等比数列，

a a

n a a 1 = b 1 = 1, a 5 = 5(a 4 - a 3 ), b 5 = 4(b 4 - b 3 ) ．（Ⅰ）求{a n } 和{b n }的通项公式；（Ⅱ）记{a }的前 n 项和为 S ，求证： S S

< S 2

(n ∈ N *

) ；

n n +2

⎧(3a n - 2)b n n +1

（Ⅲ）对任意的正整数n ，设c n

⎪

a n a n +2 ⎨ a

, n 为奇数, 求数列{c n } 的前 2n 项和． ⎪ n -1 , ⎩ b n +1

n 为偶数. 46．（2020·北京）已知{a n }是无穷数列．给出两个性质：

①对于{a }中任意两项 a i , a j (i > 2

j) ，在{a }中都存在一项a ，使 i

= a ；

n n m

m j

②对于{a n }中任意项a n (n 3) ，在{a n }中都存在两项

a k , a l (k > l ) ．使得 a n = k

．

a l

(Ⅰ)若 a n = n (n = 1, 2,) ，判断数列{a n } 是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 a = 2n -1

(n = 1, 2,

) ，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： {a n }为等比数列. 47．

（2020·浙江）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，

a =

b =

c = 1, c = a - a , c

= b n ⋅ c (n ∈ N * ) ．

n +1

n n +1

b n +2

（Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比 q > 0 ，且b 1 + b 2 = 6b 3 ，求 q 与{a n }的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差 d > 0 ，证明： c + c

++ c < 1 + 1

．

(n ∈ N * ) 1

48．（2020·山东）已知公比大于1的等比数列{a n } 满足

a 2 + a 4 = 20, a 3 = 8 ．

（1）求{a n } 的通项公式；

（2）记b m 为{a n } 在区间(0, m ](m ∈ N * ) 中的项的个数，求数列{b m } 的前100 项和 S 100 ．

49．（2020·全国（理））设数列{a n }满足 a 1=3，

a n +1 = 3a n - 4n ．（1）计算 a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前 n 项和 S n ．

50．（2020·全国（理））设{a n } 是公比不为 1 的等比数列， a 1 为 a 2 ， a 3 的等差中项．

（1）求{a n } 的公比；

n = ⎪

（2）若 a 1 = 1 ，求数列{na n }的前 n 项和．

a n 2

b n

51．（2020·全国（文））设等比数列{a n }满足

a 1 + a 2 = 4 ， a 3 - a 1 = 8 ．（1）求{a n }的通项公式；

（2）记 S n 为数列{log 3a n }的前 n 项和．若 S m + S m +1 = S m +3 ，求 m ．

52．（2019·江苏）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M －数列”.

（1）已知等比数列{a n }满足： a 2 a 4 = a 5 , a 3 - 4a 2 + 4a 1 = 0 ，求证:数列{a n }为“M －数

列”；

（2）已知数列{b }满足: b

= 1, 1

= 2 - 2 ，其中 S

为数列{b }的前 n 项和．

S n b n b n +1

①求数列{b n }的通项公式；

②设 m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数 k ，当 k ≤m 时，都有c k b k c k +1

成立，求 m 的最大值．

53．（2019·北京（文））设{a n }是等差数列，a 1=–10，且 a 2+10，a 3+8，a 4+6 成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）记{a n }的前 n 项和为 S n ，求 S n 的最小值．

54．（2019·浙江）设等差数列{a n } 的前

n 项和为 S n ，a 3 = 4 ，a 4 = S 3 ，数列{b n }满足：

对每 n ∈ N *

, S n + b n , S n +1 + b n , S n +2 + b n 成等比数列.

（1）求数列{a n },{b n } 的通项公式；

（2）记C =

, n ∈ N *, 证明： C + C +

+ C < 2 n , n ∈ N *.

1 2

55．（2019·天津（文））设{a n }是等差数列， {b n }是等比数列，公比大于0 ，已知

a 1 =

b 1 = 3 ， b 2 = a 3 ， b 3 = 4a 2 + 3 .

（Ⅰ）求{a n }和{b n } 的通项公式；

⎧⎪

n 为奇数,

（Ⅱ）设数列{c } 满足c

= ⎨b n 为偶数, 求a c + a c +

+ a c

(n ∈ N *

⎩

1 1

2 2

2n 2n

56．（2019·全国（文））已知{a n } 是各项均为正数的等比数列，

a 1 = 2, a 3 = 2a 2 +16 . n

（1）求{a n } 的通项公式；

n →∞

{ }

（2）设b n = log 2 a n ，求数列{b n } 的前 n 项和.

57．（2019·全国（文））记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，已知 S 9=－a 5．

（1）若 a 3=4，求{a n }的通项公式；

（2）若 a 1>0，求使得 S n ≥a n 的 n 的取值范围．

58．（2019·全国（理））

已知数列{a n }和{b n }满足 a 1=1，b 1=0，4a n +1 = 3a n - b n + 4 （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.

59．（2019·上海）已知数列{a n }，

a 1 = 3 ，前 n 项和为 S n . （1）若{a n } 为等差数列，且

a 4 = 15 ，求 S n ；（2）若

{a n } 为等比数列，且 lim S n < 12 ，求公比q 的取值范围.

，4b n +1 = 3b n - a n - 4 .

60．（2019·上海）已知等差数列{a n }的公差

d ∈(0,π] ，数列{b n }满足b n = sin (a n ) ，集合 S = {x | x = b n , n ∈ N *}.

（1）若 a 1

（2）若 a = 0, d =

2π

，求集合 S ； 3

= π

，求 d 使得集合 S 恰好有两个元素；

（3）若集合 S 恰好有三个元素： b n +T = b n ， T 是不超过 7 的正整数，求T 的所有可能的值.

61．（2019·天津（理））设{a n } 是等差数列， {b n }是等比数列.已知

a 1 = 4,

b 1 = 6 ，b 2 = 2a 2 - 2,b 3 = 2a 3 + 4 .

（Ⅰ）求{a n } 和{b n }的通项公式；

⎧1, 2k < n < 2k +1, （Ⅱ）设数列 c n 满足c 1 = 1, c n = ⎨ b , n = 2k ,

其中 k ∈ N * . ⎩ k

（i ）求数列

{a 2n

-1)}

的通项公式；

（ii ）求

∑ a i c

(n ∈ N *

i =1

62．（2018·江苏）设{a n } 是首项为 a 1 ，公差为 d 的等差数列，{b n } 是首项为b 1 ，公比

为 q 的等比数列．

（1）设 a 1 = 0,b 1 = 1, q = 2 ，若| a n - b n |≤

b 1 对 n = 1, 2,3, 4 均成立，求 d 的取值范围；

（2）若 a = b > 0, m ∈ N *, q ∈ (1, m 2] ，证明：存在 d ∈ R ，使得| a n - b n |≤ b 1 对

n = 2, 3,, m +1 均成立，并求 d 的取值范围（用b 1, m , q 表示）

．

63．（2018·江苏）设 n ∈ N * ，对 1，2，···，n 的一个排列i 1i 2 i n ，如果当 s i t ，

则称(i s , i t ) 是排列i 1i 2

i n 的一个逆序，排列i 1i 2 i n 的所有逆序的总个数称为其逆序

数．例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2．记 f n (k ) 为 1，2，···，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数．（1）求 f 3 (2), f 4 (2) 的值；

（2）求 f n (2)(n ≥ 5) 的表达式(用 n 表示)．

64．（2018·全国（文））记 S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和，已知 a 1 = -7 ， S 3 = -15 ．

（1）求{a n } 的通项公式；

（2）求 S n ，并求 S n 的最小值．

65．（2018·北京（文））设{a n } 是等差数列，且

a 1 = ln 2, a 2 + a 3 = 5 l n 2 .

（Ⅰ）求{a n } 的通项公式；

（Ⅱ）求e a 1 + e a 2 +

+ e a n .

66．（2018·全国（理））等比数列{a n }中，

a 1 = 1，a 5 = 4a 3 ．（1）求

{a n }的通项公式；

（2）记

S n 为{a n }的前

n 项和．若 S m = 63 ，求 m ． 67．（2018·浙江）已知等比数列{a n }的公比 q >1，且

a 3+a 4+a 5=28，a 4+2 是 a 3，a 5 的等差中项．数列{

b n }满足 b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前 n 项和为 2n 2+n ．（Ⅰ）求 q 的值；

（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．

68．（2018·全国（文））已知数列{a }满足

a = 1 ， na

= 2(n +1) a

，设b = a

．

（1）求b 1 ，b 2 ，b 3 ；

n 1 n +1

n n

（2）判断数列

{b n } 是否为等比数列，并说明理由；

n n k =1

⎩⎭

⎩ n n n （3）求

{a n } 的通项公式．

69．（2018·天津（理））设{a }是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 S (n ∈ N *

)

，

{b n }是等差数列.已知

a 1 = 1 ， a 3 = a 2 + 2 ， a 4 =

b 3 + b 5 ， a 5 = b 4 + 2b 6 . （I ）求

{a n }和{b n }的通项公式；

（II ）设数列{S }

的前 n 项和为T (n ∈ N *

) ，

（i ）求T n ；

(T k

+ b

k +2

)b k

2n +2 - ∈ *

（ii ）证明∑ (k +1)(k + 2)

n + 2

2 (n

N ) .

70．（2018·天津（文））设{a n }是等差数列，其前 n 项和为 S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 T n （n ∈N *）．已知 b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．（Ⅰ）求 S n 和 T n ；

（Ⅱ）若 S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数 n 的值．

71．（2017·全国（文））设数列{a n } 满足

a 1 + 3a 2 +⋯+ (2n -1)a n = 2n . （1）求

{a n } 的通项公式；

⎧ a n ⎫ （2）求数列

的前 n 项和． ⎨ 2n +1⎬

72．（2017·上海）根据预测，某地第

n (n ∈ N * ) 个月共享单车的投放量和损失量分别为

a n 和

b n （单位：辆），

⎧5n 4 +15, 1 ≤ n ≤ 3

其中 a n = ⎨-10n + 470, ，b n = n + 5 ，第n 个月底的共享单车的保有量是前 n 个

n ≥ 4

月的

累计投放量与累计损失量的差.

（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量 S = -4(n - 46)

+ 8800 （单

位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

73．（2017·天津（文））已知{a n } 为等差数列，前 n 项和为 S n

(n ∈ N * ) ，{b } 是首项为

2 的等比数列，且公比大于 0，

2n n n 1 n n +1 b 2 + b 3 = 12,b 3 = a 4 - 2a 1 , S 11 = 11b 4 .

（Ⅰ）求{a n } 和{b n } 的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a b } 的前 n 项和(n ∈ N *

) .

74．（2017·山东（理））已知{x n } 是各项均为正数的等比数列，且

x 1 + x 2 = 3，x 3 - x 2 = 2 （Ⅰ）求数列{x n } 的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点

P 1 ( x 1 ,1)，P 2 ( x 2 , 2)⋯ P n +1 ( x n +1 , n +1) 得到折线 P 1P 2 ⋯P n +1 ，求由该折线与直线

y = 0 ， x = x 1,x = x n +1 所围成的区域的面积T n .

75．（2017·浙江）已知数列{x } 满足： x =

1 ， x = x + ln (1+ x ) (

n ∈ N *

)

证明：当 n ∈ N * 时，

（I ）

0 < x n +1 < x n ；

（II ）

- x ≤ x n x n +1 ；

（III ） n +1

2n -1 n

≤x n ≤ 2

1 2

n -2 . 76．（2017·全国（文））记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，已知 S 2=2，S 3=-6.

（1）求

{a n } 的通项公式；

（2）求 S n ，并判断 S n +1，S n ，S n +2 是否成等差数列．

77．（2017·山东（文））已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且

a 1 + a 2 = 6, a 1a 2 = a 3 . (I) 求数列{a n }通项公式；

n +1

(II){b }为各项非零的等差数列,其前n 项和S ,已知S=b b ⎧b n ⎫

,求数列的前n 项n n 2n+1n n+1⎨a ⎬

⎩n ⎭

和T

78．（2017·北京（理））设{a n}和{b n}是两个等差数列，记

c n = max{b

-a

n,b

-a

n,⋅⋅⋅,b

-a

n} (n = 1, 2, 3,⋅⋅⋅) ，

其中max{x1, x2 , ⋅⋅⋅, x s} 表示x1 , x2 ,⋅⋅⋅, x s 这s 个数中最大的数．

（Ⅰ）若a n =n ，b n = 2n -1，求c1 , c2 , c3 的值，并证明{c n }是等差数列；

（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c

n >M ；或者存在正

整数m ，使得c m , c m+1, c m+2 , ⋅⋅⋅是等差数列．

（2017·北京（文））已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）求和：b1 +b3 +b5 +…+b2 n-1 ．

80．（2017·全国（文））已知等差数列{a n }的前n 项和为S n，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，且 a1 = 1 ，b1 =1，a2 +b2 = 4 .

（1）若a3+b3=7，求{b n }的通项公式；

（2）若T3 = 13 ，求S5 .

81．（2017·江苏）对于给定的正整数k,若数列{a n}满足

a +a +...a +a +...a +a = 2k a

n-k n-k+1 n-1 n+1 n+k-1 n+k n

对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{a n} 是“P(k)数列”.

(1)证明：等差数列{a n}是“P(3)数列”；

（2）若数列{a n}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n}是等差数列.

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编七、

数列（答案解析）

1．A

【解析】∵S n 为等比数列{a n}的前n项和，∴S2 ，S4 -S2 ，S6 -S4 成等比数列

∴S2 = 4 ，S4 -S2 = 6 - 4 = 2 ，∴S6 -S4 = 1，∴S6 = 1+S4 = 1+ 6 = 7 .

故选：A.

2．C

【解析】由题意得f (s -t) f (s +t) = [ f (s)]2 ，即⎡⎣a(s-t)2+b⎤⎦⎡⎣a(s+t)2+b⎤⎦=(as2+b)2，对其进行整理变形：

(as2+at2-2ast+b)(as2+at2+2ast+b)=(as2+b)2，

(as2+at2+b)2-(2ast)2-(as2+b)2=0，

(2as2+at2+2b)at2-4a2s2t2=0，-2a2s2t2+a2t4+2abt2=0，

s 2

-t 2

所以-2as2 +at 2 + 2b = 0 或t = 0 ，其中b 2b = 1

为双曲线，t = 0 为直线.

a a

故选：C.

3．B

【解析】由题，当数列为-2, -4, -8,时，满足q > 0 ，

但是{S n }不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若{S n }是递增数列，则必有a n>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q > 0 成立，所以甲是乙的必要条

件．故选：B．

4．A

【解析】因为a= 1, a=

n (n ∈ N*)，所以a > 0 ，S >1 ．

1 n+1n 100 2

1 +a

a n a n a n +1 a n

a n + 1

a n

2 2 ⎝

⎭ ⎝ ⎭ < 1 2 a 1 1 1

⎛ 1 1 ⎫ 1 由a n +1 = n ⇒ = + = + ⎪ -

∴ 1 ⎛ 1

+ 1 ⎫ 2 ⎪ a n +1 2

⇒

a n ⎝ 1 < 1 + 1 2 2 ⎭ 4

，即

1 < 1

n +1 ⎝ ⎭

1 根据累加法可得，

≤ 1+

n -1 = n +1

，当且仅当 n = 1 时取等号，

∴a ≥ 4 ∴a = a n ≤ a n

= n +1 a n (n +1)2 n +1 1+ 2 n +1

n + 3 n ∴

a n +1 ≤ n +1 ，

a n n + 3

由累乘法可得 a n ≤ 6

(n +1)(n + 2)

，当且仅当 n = 1 时取等号，

由裂项求和法得：

所以 S ≤ 6

⎛ 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ++ 1

1 ⎫ = 6 ⎛ 1 -

1 ⎫ < 3 ，即 1

< S

< 3 ．

100

2 3 3 4 4 5 101 102 ⎪ 2 102 ⎪

2 100

故选：A ．

【小结】

本题解题关键是通过倒数法先找到

a n ,

的不等关系，再由累加法可求得

a ≥

，由题目条件可知要证 S 小于某数，从而通过局部放缩得到

a , a 的不等 n

(n +1)2

100 n n +1

关系，改变不等式的方向得到 a n ≤

(n +1)(n + 2)

，最后由裂项相消法求得 S 100 < 3 ．

5．B 【分析】

首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【解析】

由题意可知，等差数列的公差d =

a 5 - a 1 = -1+ 9

= 2 ， 5 -1 5 -1

则其通项公式为： a n = a 1 + (n -1)d = -9 + (n -1)⨯ 2 = 2n -11 ，

a n a n a n

1+ a n a n +1

注意到a1

i 由

i-1 =a

>1(i≥7,i∈N)可知数列{T n }不存在最小项，

由于a1 =-9, a2 =-7, a3 =-5, a4 =-3, a5 =-1, a6 = 1，

故数列{T n }中的正项只有有限项：T2= 63 ，T4= 63⨯15 = 945 .

故数列{T n }中存在最大项，且最大项为T4.

故选：B.

【小结】

本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

6．D

【分析】

根据题意可得，b n+1 =S2n+ 2 -S2n =a2n+1 +a2n +2 ，而b1 =S2 =a1 +a2 ，即可表示出题中

b 2 , b

, b

，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．

【解析】

对于A，因为数列{a n}为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4 + 4 = 2 + 6 可得，

4 =a

，A 正确；

对于B，由题意可知，b n+1 =S2n+ 2 -S2n =a2n+1 +a2n +2 ，b1 =S2 =a1 +a2 ，∴b2 =a3 +a4 ，b4 =a7 +a8 ，b6 =a11 +a12 ，b8 =a15 +a16 ．

∴2b4=2(a7+a8)，b2+b6=a3+a4+a11+a12．

根据等差数列的下标和性质，由3 +11 = 7 + 7, 4 +12 = 8 + 8 可得

b 2+b

=2(a7+a8)=2b4，B正确；

对于C，a2-a a=(a+3d)2-(a+d)(a+7d)=2d2-2a d=2d(d-a)，

4 2 8 1 1 1 1 1

4 2 8 1 1 n 1 2 3 1 2 3 4 1 1 1 1 6 7 8 1 1 1 1

⎪a q a q 12 ⎨ 当a 1 = d 时， a 2

= a a ，C 正确；

对于 D ， b 2 = (a + a )2 = (2a + 13d )2

= 4a 2 + 52a d + 169d 2 ，

b b = (a + a )(a + a ) = (2a + 5d )(2a + 29d )= 4a 2 + 68a d + 145d 2 ，

2 8

b 2 - b b = 24d 2 - 16a d = 8d (3d - 2a ) ．

2 8

当 d > 0 时， a ≤ d ，∴ 3d - 2a = d + 2 (d - a ) > 0 即b 2 - b b > 0 ；

2 8

当 d < 0 时，a ≥ d ，∴ 3d - 2a = d + 2 (d - a ) < 0 即b 2 - b b > 0 ，所以b 2 - b b > 0 ，

2 8

D 不正确．故选：D.

7．D

【解析】设等比数列{a } 的公比为q ，则 a + a + a

= a (

1+ q + q

) = 1 ，

a + a + a = a q + a q 2 + a q 3 = a q (1+ q + q 2 ) = q = 2 ，

因此， a + a + a = a q 5

+ a q 6

+ a q 7

= a q 5

(1+ q + q 2

) = q 5

= 32 .故选：D.

8．B

【解析】设等比数列的公比为q ，

⎧ 4 - 2

= 由a -a =12,a -a =24可得： ⎨

1 1

⇒⎧q = 2 ，

⎪⎩a q

5 - a q 3

= 24 a (1- q n ) 1- 2n ⎩a 1 =1 S 2n

-1

1-n 所以 a = a q n -1 = 2n -1, S =

1 = = 2n -1，因此 n = =

2 - 2 . n 1 n

1- q 1- 2 a 2n -1

故选：B.

9．C

【解析】在等式 a

= a a

中，令 m = 1，可得 a

= a a = 2a ，∴

a n +1

= 2 ，

m +n

m n

n +1

n 1

所以，数列{a n } 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则

a n = 2 ⨯ 2n -1

= 2n ，

2 ⋅(1- 2 ) 5 i =1 5 5

∴a + a

++ a

a k +1 ⋅(1- 210 ) k +1

= = 2k +1 (210 -1) = 25 (210 -1)，

k +1

k +2

k +10

1- 2 1- 2

∴ 2k +1 = 25 ，则 k +1 = 5 ，解得 k = 4 .故选：C.

10．C

【解析】设第 n 环天石心块数为 a n ，第一层共有 n 环，

则{a n } 是以 9 为首项，9 为公差的等差数列， a n = 9 + (n - 1) ⨯ 9 = 9n ，设 S n 为{a n } 的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 S n , S 2n - S n , S 3n - S 2n ，因为下层比中层多 729 块，所以 S 3n - S 2n = S 2n - S n + 729 ，即

3n (9 + 27n ) - 2n (9 + 18n ) = 2n (9 + 18n ) - n (9 + 9n ) + 729 2 2 2 2

即9n 2 = 729 ，解得n = 9 ，所以 S 3n = S 27

= 27(9 + 9 ⨯ 27)

= 3402 .故选：C 2

11．C

1 5

【解析】由a i +m = a i 知，序列 a i 的周期为 m ，由已知，m = 5 ，

C (k ) = ∑a i a

i +k

, k = 1, 2,3, 4

i =1

对于选项 A ，

1 5

1 1 1 1

C (1) = 5 ∑a i a i +1 = 5 (a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = 5 (1 + 0 + 0 + 0 + 0) = ≤

i =1 5 5 1 5

1 1 2

C (2) = 5 ∑a i a i +2 = 5 (a 1a 3 + a 2a 4 + a 3a 5 + a 4a 6 + a 5a 7 ) = 5 (0 +1 + 0 +1 + 0) = 5

，不满足；

对于选项 B ，

1 5 C (1) = ∑a i a i +1 = i =1

对于选项 D ，

(a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = ，不满足；

1 5

C (1) = ∑a i a i +1 = i =1

(a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6

) = ，不满足； 1 1 3

5 5 (1 + 0 + 0 +1 +1) = 5

(1 + 0 + 0 + 0 +1) =

5 5 5

1 1 1 ⎩

故选：C

12．C

⎧a + a q + a q 2 + a q 3 = 15,

【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则⎨ ⎩

1 1 1 1 ， a q 4 = 3a q 2

+ 4a

解得⎧a 1 = 1, ，∴ a = a q 2

= 4 ，故选 C ．

⎨q = 2 3 1 13．A 【解析】

⎧

S = 4a + d ⨯ 4 ⨯ 3 = 0

⎧a = -3 ⎪ 4 1 由题知， 2

，解得⎨ 1

，∴ a = 2n - 5 ，故选 A ． ⎨ ⎪⎩a 5 = a 1

+ 4d = 5 ⎩d = 2 n

14．B 【解析】

令 f (x ) = x - ln x -1, 则 f ' (x ) = 1- 1

，令 f '(x ) = 0, 得 x = 1 ，所以当 x > 1 时， f '(x ) > 0 ，

当0 < x < 1 时， f '(x ) < 0 ，因此 f (x ) ≥ f (1) = 0,∴ x ≥ ln x +1 ，

若公比 q > 0 ，则 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 > a 1 + a 2 + a 3 > ln(a 1 + a 2 + a 3 ) ，不合题意；

若公比q ≤ -1 ，则 a + a + a + a = a (1+ q )(1+ q 2

) ≤ 0,

但ln(a + a + a ) = ln[a (1+ q + q 2

)] > ln a > 0 ，

即a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ≤ 0 < ln(a 1 + a 2 + a 3 ) ，不合题意；

因此-1 < q < 0, q 2 ∈(0,1) ，∴ a > a q 2 = a , a < a q 2

= a

< 0 ，选 B.

【小结】

构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 x ≥ ln x +1,

e x ≥ x +1, e x ≥ x 2 +1(x ≥ 0).

15．D

全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)全国卷历年高考数列真题归类分析（含答案）（10个小型和3个大型，分析型）一、等差、等比数列的基本运算（8小1大） 1.（2022年第3卷第1卷）已知的算术序列？一前9项的总和是27，A10？8，那么100？（a） 100（b）99（c）98（d）97 【解析】由已知,??9a1?36d?27,所以a1??1,d?1,a100?a1?99d??1?99?98,选c. A.9d？8.一 2．（2021年1卷4）记sn为等差数列{an}的前n项和．若a4?a5?24，s6?48，则{an}的公差为 a、一, 【解析】：s6? b、二, c．4 d、八, 48a1a616a4a5a1a824， 2. 作差a8?a6?8?2d?d?4故而选c. ， 3．（2021年3卷9）等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则 6.a1？a6？？一前六项之和为（） a．?24 b、 ?。？三 c．3

d、八, 2?a2?a6，即【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.则 a3?a1?2d? 2.a1？Da1？5d∵ A1？1.用上述公式代入D2？2d？0，以及∵ D0，然后是d？？二 6?56?5d?1?62???24，故选a.∴s6?6a1?224.（2021年2卷15）等差数列?an?的前项和为sn，则a3?3，s4?10， sk？1n1k？。 a12d3a11【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，所以?，解得?， 4?3d?14a1?d?102所以an?n,sn?nn?1?n?121??1，那么，那么??22snn?n?1??nn?1?1??1??11?1??1?2n?1?.?21?......21??nn? 1n?1?n?1k?1sk??2??23? 5.（2022年第17卷第2卷）Sn是一个等差序列吗？一A1呢？1，s7？28.注BN？？莱根其中呢？十、表示不超过x的最大整数，例如？0.9?? 0 lg99？？1.（I）找到B1、 B11、B101；（ⅱ）求数列?bn?的前1000项和． a4？a1？1，3∴一a1？（n？1）d？n。∴b1？？lga1lg1？？0，b11？？ lga11lg11？？1. 【解析】⑴设?an?的公差为d，s7?7a4?28，∴a4?4，∴d?b101??lga101lg101??2．（2）记录？bn？如果前n项之和为TN，那么T1000？b1？b2b1000？？ lga1lga2lga1000？。当0≤lgan?1时，n?1，2，，9；当1≤lgan?2时，n?10，11，，99；当2≤ 阿尔甘？三点钟，n？100，101，， 999；lgan什么时候？三点钟，n？1000． ∴t1000?0?9?1?90?2?900?3?1?1893． 6.（2022年第3卷、第2卷）中国古代数学名著《算术的统一》中有以下问题：“望着高塔的七层，红灯加倍，总共381盏灯。塔尖有多少盏灯？”7层塔楼共悬挂381盏灯，相邻两层下一层的灯数是前一层的两倍，然后塔楼顶层有灯（） a．1盏b．3盏c．5盏d．9盏

2021年高考数学试题分类练习汇编-数列(含答案)

2021年高考数学试题分类汇编-数列一、选择题 1.已知等比数列 } {n a 的公比为正数，且3a · 9 a =22 5 a ，2a =1，则1a = A.21 B. 2 2 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得 () 2 2841112a q a q a q ?=,即22q =,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以2q =,故 21222 a a q = ==,选B 2.（2021模拟广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且 25252(3) n n a a n -?=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -++ += A. (21)n n - B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n - 【解析】由25252(3) n n a a n -?=≥得 n n a 22 2=， >n a ，则 n n a 2=， +???++3212log log a a 2 122)12(31log n n a n =-+???++=-，选C. 3.（2021模拟安徽卷文）已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C . 3 D .7 【解析】∵1 35105 a a a ++=即3 3105 a =∴3 35 a =同理可得4 33 a =∴公差 432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-?=.选B 。【答案】B 4.（2021模拟江西卷文）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为 n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832 S =,则10S 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编07 数列

1 + a n ， 4 2 8 4 2 8 近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编七、数列一、单选题（2021·全国（文））记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 S 2 = 4 ，S 4 = 6 ，则 S 6 =（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 2．（2021·浙江）已知a , b ∈ R, a b > 0 ，函数 f ( x ) = ax 2 + b (x ∈ R) .若 f (s - t ), f (s ), f (s + t ) 成等比数列，则平面上点(s ,t ) 的轨迹是（） A ．直线和圆 B ．直线和椭圆 C ．直线和双曲线 D ．直线和抛物线 3．（2021·全国（理））等比数列{a n }的公比为 q ，前 n 项和为 S n ，设甲： q > 0 ，乙： {S n } 是递增数列，则（） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（2021·浙江）已知数列{a } 满足 a = 1, a = a n (n ∈ N * ).记数列{a }的前 n n 1 n +1 n 项和为 S n ，则（） A ． 3 < S < 3 B ． 3 < S < 4 C ． 4 < S < 9 D ． 9 < S < 5 2 100 100 100 2 2 100 5．（2020·北京）在等差数列{a n }中，a 1 = -9 ，a 5 = -1 ．记T n = a 1a 2…a n (n = 1, 2,…) ，则数列{T n }（）． A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项（2020·浙江）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0 n ∈ N * ，下列等式不．可．能．成立的是（） a 1 ≤ 1 ．记b 1=S 2， b n+1=S 2n+2–S 2n ， d A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ． a 2 = a a D ． b 2 = b b 7．（2020·全国（文））设{a n } 是等比数列，且 a 1 + a 2 + a 3 = 1 ， a 2 + a 3 +a 4 = 2 ，则 a 6 + a 7 + a 8 = （）

全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案) 1.（2016年1卷3）已知等差数列{an}前9项的和为27， a10=8，则求a100. 解析：由已知，9a1+36d=27，a1+9d=8，解得a1=-1，d=1，a100=a1+99d=-1+99=98，选C。 2.（2017年1卷4）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为多少？解析：S6=48，即a1+a6=16，a4+a5=24，代入公差d的通项公式an=a1+(n-1)d，得到a8-a6=8=2d，故d=4，选C。 3.（2017年3卷9）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2、a3、a6成等比数列，则{an}前6项的和为多少？解析：设公差为d，则a3(a1+2d)=(a1+d)(a1+5d)，代入 a1=1解得d=-2，故a6=a1+5d=-9，前6项和为S6=6a1+15d=-24，选A。

4.（2017年2卷15）等差数列{an}的前项和为Sn，则 1=∑k=1nSk，求an。解析：设a1=1，d=2，Sn=n(2a1+(n-1)d)/2=n(n+1)，代入an=a1+(n-1)d=2n-1，故1=∑k=1nSk=∑k=1n(k+1)-(k-1)=2n，故n=1/2，代入an=2n-1=-1，选D。 5.（2016年2卷17）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=[lga1+2Sn-1]/[lga1+2]，求b7. 解析：由等差数列前n项和的通项公式Sn=n(2a1+(n-1)d)/2=n(2+(n-1)d)/2，代入a1=1，S7=28，得到d=4， an=1+4(n-1)=4n-3，代入bn=[lga1+2Sn-1]/[lga1+2]，得到 b7=[XXX(2×28-1)]/[lg3]=2，选B。题目一：求等比数列中的数值要求：改写成完整的句子，避免使用符号表示 1.求b1，b11，b101； 2.求数列{bn}的前1000项和。解析： 1.设{an}的公差为d，已知a4-a1=1，3，所以an=a1+(n-1)d=n。所以b1=[lga1]=0，b11=[lga11]=1，b101=[lga101]= 2.

2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(真题测试)含详解

专题7.5 数列的综合应用（真题测试）一、单选题 1．（2021·山西·高二阶段练习）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积木”就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为an ，则a 22=（） A ．275 B ．277 C ．279 D ．281 2．（2022·全国·高二课时练习）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活个数是（） A ．33 B ．64 C ．65 D ．127 3.（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n -中， 14a =，211a =，则()4a Ω=（） A ．21 B ．20 C ．41 D ．40 4．（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（文））已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +=++，令n n a b n =，若对于任意*N n ∈，不等式142t n b +<-恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．3,2⎛ ⎤-∞- ⎥⎝ ⎦ B ．(],1-∞- C ．(],0-∞ D ．(],1-∞ 5．（2022·青海·模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足190S >，200S <，若数列{}n a 满足10m m a a +⋅<，则m ＝（） A ．9 B ．10 C ．19 D ．20 6．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2022项和为（） A ．2698 B ．2697 C ．2696 D ．2695 7．（2016·浙江·高考真题（文））如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 *1122,,n n n n n n A A A A A A n N ++++=≠∈，*1122,,n n n n n n B B B B B B n N ++++=≠∈.（P Q P Q ≠表示点与不重合）

2021年高考数学5年真题备考题库第五章第1节数列的概念与简单表示法理(含解析)

2021年高考数学5年真题备考题库第五章第1节数列的概念与简单表示法理（含解析） 1．（xx新课标全国Ⅰ，5分）若数列{a n}的前n项和S n＝2 3 a n ＋ 1 3 ，则{a n}的通项公式是a n＝________. 解析：本题考查等比数列的定义、S n与a n之间的关系，意在考查考生利用分类讨论思想和等比数列的定义求解a n的能力．求解本题时，按照n＝1和n≥2两种情况分类解答，当n≥2时，由已知得到S n－1＝2 3 a n－1 ＋ 1 3 ，然后作差得a n的表达形式，再利用等比数列的定义和通项公式求解．当n＝1时，由已知S n＝2 3 a n ＋ 1 3 ，得a1＝2 3 a 1 ＋ 1 3 ，即a1＝1；当n≥2时，由已知得到S n－1＝ 2 3 a n－1 ＋ 1 3 ，所以a n＝S n－ S n－1＝ ⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 2 3 a n ＋ 1 3 － ⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 2 3 a n－1 ＋ 1 3 ＝ 2 3 a n － 2 3 a n－1, 所以a n＝－2a n－1，所以数列{a n}为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以a n＝(－2)n－1. 答案：(－2)n－1 2．（xx江西，5分）正项数列{a n}满足：a2n－(2n－1)a n－2n＝0. (1)求数列{a n}的通项公式a n； (2)令b n＝ 1 n＋1a n ，求数列{b n}的前n项和T n. 解：本题主要考查数列的概念、一元二次方程、裂项求数列的和，旨在考查

考生的转化、化归能力与运算求解能力． (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，b n ＝ 1 n ＋1 a n ，则b n ＝ 12n n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1 n － 1n ＋1. T n ＝12⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋ 1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝ 12⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1－1n ＋1＝ n 2n ＋1 . 3．（xx 安徽，5分）设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B.16 C ．49 D ．64 解析：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案：A 4．（xx 湖北，5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：

2021年高考数学高考数学压轴题数列多选题分类精编附解析

2021年高考数学高考数学压轴题数列多选题分类精编附解析一、数列多选题 1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021 11 1212a a ++≤+（） A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥ B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤ C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T > D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a < 【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11 ()212 x f x = -+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】由 202021111212a a ++≤+，得 202021111 0212212 a a +-+-≤+，令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121 ()212212 x x x f x --=-=-++， ∴12()()102121 x x x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数， ∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且 2202020212021() 02 a a S += ≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，2018 20202a a q =，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200 a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号. 2．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，* n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和，则下列结论中正确的是（）

易错点07 数列(原卷版) -备战2021年新高考数学一轮复习易错题

易错点07 数列 —备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】例1 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．例2 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．【易错警示】易错点1．已知n S 求n a 时, 易忽略1n =致错．【例1】已知数列{}n a 的前项和为n S ＝12n 2＋1 2n ＋1，求{}n a 的通项公式．易错点2．利用等比数列前n 项和公式时，忽略公比1q =致错．【例2】求数列231 1,3,5,7,......(21),.....(0)n a a a n a a --≠的前n 项和．易错点3．忽略数列与函数的区别致错．【例3】已知函数5,6 ()(4)4,62 x a x f x a x x -⎧≥⎪ =⎨-+<⎪⎩，数列{}n a 满足()n a f n =（*N n ∈），且数列{}n a 是单调递增数列，则的取值范围是_______．【例4】已知数列2 2n a n tn =-+在[2,)+∞是递增数列，则实数的取值范围是_______．

易错点4．数列的定义域是全体的正整数．【例5】已知数列133n a n =-，其前项和为n S ，则n S 的最大值是________．易错点5．乱用结论致错．【例6】已知等差数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ，若 230,90m m S S ==，求3m S ．易错点6．乱设常量致错．【例7】数列{}n a 与{}n b 的前项和分别为,n n S T ，且:(513):(45)n n S T n n =++，则1010:a b =_______ 易错点7．用归纳代替证明致错．【例8】已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0， *n N ∈ ，若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；易错点8．数列加绝对值后，认为其还是等差数列．【例9】在等差数列{}n a 中，331n a n =-，记||n n b a =，求数列{}n b 的前30项和. 易错点9．使用构造法求数列通项公式时，弄错首项致错．【例10】已知数列{a n }满足11=a ，121n n a a +=+，求n a 的通项公式．【变式练习】 1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》真题汇编附答案解析

新高中数学《数列》专题解析一、选择题 1．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（） A ．20 B ．30 C ．44 D ．88 【答案】C 【解析】【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16，得810 2 16a q a = =，得q 2＝2. ∴4 624a a q ==，即a 6＝b 6＝4，又S n 为等差数列{b n }的前n 项和， ∴()111116 1111442 b b S b +⨯= ==. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题. 2．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为 n S ，则下列结论正确的是（） A ．201920202S a =+ B ．201920212S a =+ C ．201920201S a =- D ．201920211S a =- 【答案】D 【解析】【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】因为 1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L

新课标全国卷五年高考数列汇编附答案

1.[2021·新课标全国卷Ⅰ] 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ. (2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列.并说明理由． 2.[2021·新课标全国卷2] 数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. 〔Ⅰ〕证明{ } 12 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕证明：1231112 n a a a ++<…+. 3.[2021·新课标全国卷1] 设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =() A.3 B.4 C.5 D.6 4.[2021·新课标全国卷1] 设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3, n =，假设 11111,2b c b c a >+=，111,,22 n n n n n n n n c a b a a a b c +++++== =，则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列 C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 5.[2021·新课标全国卷1] 假设数列{n a }的前n 项和为S n ＝ 21 33 n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______. 6.(2021课标全国Ⅱ，理3) 等比数列{a n }的前n 项和为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝()． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 7.(2021课标全国Ⅱ，理16) 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________． 8.[2021新课标全国卷] {}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=〔〕 9.[2021新课标全国卷] 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 10.[2021新课标全国卷] 设数列{}n a 满足21 112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；

2021届高考数学一轮复习第七章数列数学归纳法第5节数学归纳法选用含解析

第5节数学归纳法(选用) 考试要求 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 知识梳理 1。数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0（n0∈N＊）时命题成立；（2)（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N＊)时命题成立，证明当n ＝k＋1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。 2。数学归纳法的框图表示［常用结论与易错提醒] 1。数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法. 诊断自测 1。判断下列说法的正误。（1）用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验

证n＝1时,左边式子应为1＋2＋22＋23.（） (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(） (3）用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.() (4）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项。() 解析对于（2），有些命题也可以直接证明；对于(3）,数学归纳法必须用归纳假设；对于(4),由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项. 答案(1）√(2）×（3）×（4)× 2。（选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n(n－3）条时，第一步检验n等于（） A.1 B.2 C。3 D.4 解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3。答案C 3。已知f（n)＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则(） A.f(n)中共有n项,当n＝2时，f（2)＝错误!＋错误! B.f（n）中共有n＋1项,当n＝2时，f(2)＝错误!＋错误!＋错误! C.f(n）中共有n2－n项,当n＝2时,f（2）＝错误!＋错误! D。f（n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时,f（2)＝错误!＋错误!＋错误!解析f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时,错误!＝错误!，错误!＝错误!，故f(2）＝错误!＋错误!＋错误!. 答案D

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》单元汇编含答案

【最新】数学《数列》期末复习知识要点一、选择题 1．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（） A ．20 B ．30 C ．44 D ．88 【答案】C 【解析】【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16，得810 2 16a q a = =，得q 2＝2. ∴4 624a a q ==，即a 6＝b 6＝4，又S n 为等差数列{b n }的前n 项和， ∴()111116 1111442 b b S b +⨯= ==. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题. 2．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS << C ．140,0a d dS >< D ．140,0a d dS <> 【答案】B 【解析】 ∵等差数列，，，成等比数列，∴ ， ∴，∴ ，，故选B. 考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念

3．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r + B ．17[(1)(1)]a r r r +-+ C ．18(1)a r + D ．18[(1)(1)]a r r r +-+ 【答案】D 【解析】【分析】由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +，同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +， ⋯⋯ 孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数： 1717 16 18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r ++-=++++⋯⋯++==+-++-；故选：D ．【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题. 4．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（）

三年 (2020-2022 ) 新高考数学真题汇编专题07数列

新高考专题07数列【2022年新高考2卷】 1．图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（） A ．0.75 B ．0.8 C ．0.85 D ．0.9 【答案】D 【解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且1111 1111 0.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以 30.530.3 0.7254 k +-=，故30.9k =，故选：D 【2021年新高考1卷】

2．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和2 1240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯， 10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和2 2180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1 n k k S ==∑______2dm . 【答案】 5 ()4 1537202n n -+- 【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：53 12561032022 ⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )；故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3 102 ⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为1 2的等比数列，首项为120()2 dm ,第n 次对折后的图形面积为 1 11202n -⎛⎫ ⨯ ⎪ ⎝⎭ ，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1 n +种（证明从略），故得猜想1 120(1) 2n n n S -+= ，设()0121 1 1201120212031204 2222n k n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑，则12 1112021203120120(1) 22222n n n n S -⨯⨯+= +++ +，两式作差得： () 211201111 1240120222 22n n n S -+⎛⎫=++++ - ⎪⎝⎭ ()11601120122401212n n n -⎛ ⎫- ⎪ +⎝⎭=+-- ()()112011203120360360222 n n n n n -++=- -=-，

2023年新高考数学一轮复习7-4 数列求和(真题测试)含详解

专题7.4 数列求和（真题测试）一、单选题 1．（2021·宁德市第九中学高二月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7614,10S a ==，则{}n a 的公差为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，11010S =，则120S =（） A ．－10 B ．－20 C ．－120 D ．－110 3．（2017·浙江·高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.（2019·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 5．（2018·全国·高考真题（理））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =（） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 6．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N ，总存在*m ∈N ，使得n m S a =，则n a 可能等于（） A ．2022n B ．2022n C ．22022n D ． 2022 n 7．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()() * 41N n S n n n =+∈，若数列{}n b 满足3 4 n n a b +=，则 122320212022111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（） A ． 505 2021 B ． 20202021 C ． 2021 2022 D ． 2021 8088 8．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2 14n n a S +=，记 ()11sin sin 22 n n n n n b S S ππ ++=⋅+⋅，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =（） A ．400- B ．200- C ．200 D ．400 二、多选题9．（2022·河北沧州·二模）已知数列{}n a 满足()1 121,(1)n n n a a a n n ++==--+，记{}n a 的前n 项和

专题07 2021高考数学基础训练卷七(解析版)-2021高考数学模拟卷与训练卷(新高考卷)

2021高考数学基础训练卷七（解析版）第I 卷（选择题）一、单选题 1．集合{ }2 |ln(1)M y y x ==+，{ } |24x N x =<，则M N ⋂等于（） A ．[]0,2 B ．()0,2 C ．[)0,2 D ．(] 0,2 【答案】C 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求出集合,M N ，再由集合的交运算即可求解. 【详解】 ( ){ } {}2|ln 10M y y x y y ==+=≥， {} {}|242x N x x x =<=<，所以[ )0,2M N ⋂=. 故选：C 2．已知命题p ：关于x 的方程2x m =没有实数根，命题q ：函数()1 m f x x =+在函数(0)+∞，上单调递增，则p 是q 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】由2x m =没有实数根解和()1 m f x x =+分别得m 的范围，然后根据必要不充分条件条件定义可得答案. 【详解】由2x m =没有实数根解得1m <，由()1 m f x x =+在函数(0)+∞，上单调递增解得0m <，因为{}{}|0|1m m m m <<，所以则p 是q 的必要不充分条件，故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 3．已知复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且()13i i 42z =--，则2z =（） A ．2i - B ．2i + C ．2i -+ D ．2i -- 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算、复数模的运算以及复数的几何意义即可求解. 【详解】 () ()() 143i 52i 2i 2i 2i 2i z -+= = =+-+-，又复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以22z i =-+. 故选：C. 4．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数， 1,2,3i =．记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则1p ，2p ，3p 中最大的是（） A ．1p B ．2p C ．3p D ．无法确定

北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模等)精华汇编专题07数列(含详解)

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题07数列 1．【2022年北京卷06】设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n >N 0时，a n >0”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．【2021年北京6】{a n }和{b n }是两个等差数列，其中a k b k (1≤k ≤5)为常值， a 1=288，a 5=96， b 1=192，则b 3=（） A ．64 B ．128 C ．256 D ．512 3．【2021年北京10】数列{a n }是递增的整数数列，且a 1≥3，a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =100，则n 的最大值为（） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 4．【2020年北京卷08】在等差数列{a n }中，a 1=−9，a 3=−1．记T n =a 1a 2…a n (n =1,2,…)，则数列{T n }（）． A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 5．【2015年北京理科06】设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是（） A ．若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0 B ．若a 1+a 3＜0，则a 1+a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞√a 1a 3 D ．若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＞0 6．【2014年北京理科05】设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．【2022年北京卷15】己知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和S n 满足a n ⋅S n =9(n =1,2,⋯)．给出下列四个结论： ①{a n }的第2项小于3； ②{a n }为等比数列；③{a n }为递减数列； ④{a n }中存在小于1 100的项．真题汇总

2017-2021年高考真题数列解答题全集 (学生版+解析版)

2017-2021高考真题数列解答题全集（学生版+解析版） 1．（2021•天津）已知数列{a n }是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n }是公比大于0的等比数列，b 1＝4，b 3﹣b 2＝48．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）记c n ＝b 2n +1 b n ，n ∈N *．（i ）证明：{c n 2﹣c 2n }是等比数列；（ii ）证明：∑ n k=1√ a k a k+1 c k 2−c 2k ＜2√2（n ∈N *）． 2．（2021•北京）定义R p 数列{a n }：对p ∈R ，满足： ①a 1+p ≥0，a 2+p ＝0；②∀n ∈N *，a 4n ﹣1＜a 4n ；③∀m ，n ∈N *，a m +n ∈{a m +a n +p ，a m +a n +p +1}．（1）对前4项2，﹣2，0，1的数列，可以是R 2数列吗？说明理由；（2）若{a n }是R 0数列，求a 5的值；（3）若S n 是数列{a n }的前n 项和，是否存在p ∈R ，使得存在R p 数列{a n }，对任意n ∈N *，满足S n ≥S 10？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由． 3．（2021•新高考Ⅱ）记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝S 5，a 2a 4＝S 4．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ；（Ⅱ）求使S n ＞a n 成立的n 的最小值． 4．（2021•浙江）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=−9 4，且4S n +1＝3S n ﹣9（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足3b n +（n ﹣4）a n ＝0（n ∈N *），记{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围． 5．（2021•甲卷）记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n ＞0，a 2＝3a 1，且数列{√S n }是等差数列，证明：{a n }是等差数列． 6．（2021•乙卷）记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2 S n + 1b n =2．（1）证明：数列{b n }是等差数列；（2）求{a n }的通项公式． 7．（2021•甲卷）已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中

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