第一讲 极限与连续
一、数列的极限 1、数列极限的定义
定义1：如果对0>?ε，0>?N
，使得当N n >时，总有ε<-||a x n ，
则称a 为数列{n x }的极限，记作a x n n =∞
→lim ，或a x n
→（)∞→n .
2、计算数列极限常常需要用到的几个结论：
)0(01
lim >=∞→p n p n ；)1|(|0lim <=∞
→q q n n ；)0(1lim 1
>=∞→a a n n ；1lim 1
=∞→n n n . 3、收敛数列的相关性质
定理1：收敛数列必有界.
定理2：如果a x n n =∞
→lim ，且0>a （或0?N
，当N n >时，
有0>n x （或0 定理3：如果数列{n x }收敛于a ，那么其任一子数列{k n x }也收敛于a . 定理4：单调有界数列必收敛。 定理5：如果数列{n x }、{n y }、{n z }满足以下条件： （1）0>?N ，当N n >时，有n x （2）a z y n n n n ==∞ →∞ →lim lim ， 那么，a x n n =∞ →lim 二、函数的极限 （一）函数极限的定义 定义1：A x f x x =→)(lim 0 ?对0>?ε，0>?δ ，当δ<-<||00x x 时，总 有ε<-|)(|A x f ，则称A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作A x f x x =→)(lim 0 或 A x f →)(（0x x →）. 定义2：A x f x =∞ →)(lim ?对0>?ε， 0>?Z ，当Z x >||时，总有 ε<-|)(|A x f ，则称A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作A x f x =∞ →)(lim 或 A x f →)(（∞→x ）. （二）函数极限的性质 定理1：A x f x x =→)(lim 0 ?A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0 。 定理2：A x f x =∞ →)(lim ?A x f x f x x ==+∞ →-∞ →)(lim )(lim 。 定理3：如果极限A x f x x =→)(lim 0 ，{n x }为函数 )(x f 定义域内任一收敛于0 x 的数列，且0x x n ≠，那么数列)(n x f 必收敛，且)(lim n n x f ∞ →=A x f x x =→)(lim 0 。 定理4：如果函数)(x f 、)(x g 、)(x h 满足以下条件： （1）当),(0 δx x U o ∈ （或Z x >||）时，)()()(x h x f x g ≤≤； （2）A x h x g x x x x x x ==∞→→∞→→)(lim )(lim ) () (0 ， 那么极限A x f x x x =∞→→)(lim ) (0 。 定理5：两个重要极限 1sin lim 0=→x x x ；e x x x x x x =+=+∞→→)11(lim )1(lim 1 0。 定理6：有界函数乘以无穷小仍为无穷小。 定理7：在自变量的同一变化过程0x x →（或∞→x ）中，A x f x x x =∞→→)(lim ) (0 的充分必要条件是：存在这一变化过程中一无穷小α，使得α+=A x f )(。 定理8：当0x x →（或∞→x ）时，m ααα,,,21 、m ααα''',,,21 、n βββ,,,21 、n βββ''',,,2 1 均为无穷小，且i α~i α'、j β~j β'，那么 n m x x x n m x x x βββαααβββααα''?'''?'=??∞→→∞→→ 21 21)(2121)(0 lim lim 。 注意：当0→x ，下列无穷小等价： x x ~sin ；x x ~tan ； 2 2 1~cos 1x x -；x x ~arcsin ；x x ~arctan ；x e x ~1-；x x ~)1ln(+；x n x n 1 ~11-+；x x αα~1)1(-+。 定理9：罗必塔法则（求未定式的极限） 定理10：如果函数 )(x f 在含有0x 的某一开区间 (a ，b )内具有直到 n + 1 阶 的导数，则对任一∈x (a ，b )，有 n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(! )()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= +)(x R n ， 其中 10)1()()! 1() ()(++-+= n n n x x n f x R ξ，ξ介于0x 与x 之间。 当00 =x 时， )(! )0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n n n +++''+'+= 如果函数 )(x f 在含有0的某一开区间 (a ，b )内n 阶导数连续，则 )(! )0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= 常见的麦克劳林展开式： )(! 1 !2112n n x x o x n x x e ++++ += ； )(1 )1(3121)1ln(132n n n x o x n x x x x +-+-+-=+- ； )()! 12(1)1(!51!31sin 1212152---+--+-+- =n n n x o x n x x x x ； )()! 2(1)1(!41!211cos 2242n n n x o x n x x x +-+-+-= ； )(! ) 1()1(! 2) 1(1)1(2 n n x o x n n x x x ++--+ +-+ +=+ααααααα 。 三、函数的连续性 1、函数连续的定义 定义1：)()(lim 00 x f x f x x =→。 定义2：0)]()([lim lim 00000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 。 2、连续函数的性质 定理1：)()(lim 00 x f x f x x =→?)()(lim )(lim 00 x f x f x f x x x x ==+-→→。 定理2：如果)(x f 在闭区间[ a , b ]上连续，则)(x f 必有最大值与最小值。 定理3：如果)(x f 在闭区间[ a , b ]上连续，那么对于介于最小值m （)(a f ）与最大值M （)(b f ）之间的任何一个数C （m 定理4：如果)(x f 在闭区间[ a , b ]上连续，且)(a f 与)(b f 异号，那么在开区间 ( a , b ) 内最少存在一点ξ，使得0)(=ξf 。 3、函数的间断点 第一类间断点：)(0-x f 与)(0+ x f 均存在的间断点。 间断点 第二类间断点：)(0-x f 与)(0+ x f 中至少一个存在的间断点。 可去间断点：补充或修改函数)(x f 在0x 点的定义，使得函数)(x f 在0x 点处由不连续变为连续。 三、应用举例 例1：求极限x x x x x 40sin )]tan 1ln()[cos 1(lim +--→（答案41 ） 例2：设数列{n x }满足π<<10x ，),2,1(sin 1 ==+n x x n n 。 （1） 证明n n x ∞ →lim 存在，并求此极限； （2） 计算极限2 1 1lim n x n n n x x ??? ? ??+∞→。 （1） 证明：1|sin |||1≤=+n n x x ，且π<<10x ，即数列{n x }有界。 显然 112sin x x x <=，设1- →lim 存在。 设a x n n =∞ →lim ，即a a sin =，则0lim =∞ →n n x 。 （2） 解： 22 21sin 1sin 1 1 111sin 1lim sin lim lim n n n n n n n x x x x x n n n x n n n x n n n x x x x x x --∞ →∞→+∞→? ? ?????????????????? ??-+=??? ? ??=???? ??， 而 61 sin lim sin lim 1sin lim 3032-=-==-=-→=∞→∞→t t t x x x x x x t t x n n n n n n n n n 令。 因此 61 1 12 lim -+∞→=??? ? ??e x x n x n n n 。 例3：求极限x x x e x x x cos 3)31ln(1lim 223 3 202 -+-+→ 解： ??? ?????+???? ??++-????? ???????+-++=-+)(3!2131)()(!2)311(313111422242223 3 2 2 x o x x x o x x e x x =4446 1~)(61x x o x -+- ? ? ? ???+--??????+-=-+)(!2113)()3(213cos 3)31ln(222422222x o x x x o x x x x x =4 443~)(3x x o x -+- 则 .181361lim cos 3)31ln(1lim 440223 3 202 =--=-+-+→→x x x x x e x x x x 例4：试确定常数A 、B 、C ，使得)(1)1(3 2x o Ax Cx Bx e x ++=++。 解：由于)(! 31!21133 2x o x x x e x +++ +=，则 )1))((! 31!211()1(233 22Cx Bx x o x x x Cx Bx e x +++++ +=++ =)()2 61()21()1(13 32x o x C B x C B x B +++++++++ 于是，得 ?????? ???=++=++=+02610211C B C B A B ， 即???? ? ????=-==613231C B A 注意：（1）},min{), ()()(n m k x o x o x o k n m ==± （2）C x o x C o x o C n n n ),()()(=?=?为不为零的常数或常量 （3）),()(n m n m x o x o x +=? （4）).()()(n m n m x o x o x o +=? 例5：设函数)(x f 连续，且0)0(≠f ，求?? --→x x x dt t x f x dt t f t x 0 )()()(lim 。 解：由于 ?? =-===-x u t x x du u f dt t x f 0 )()(令 ，于是 ?????-=--→→x x x x x x x du u f x dt t tf dt t f x dt t x f x dt t f t x 0 )()()(lim )()()(lim ) ()()(lim x xf du u f dt t f x x x +=? ?→ =) ()() (lim 0x xf xf xf x +→ξξ .2 1 )0()0()0(=+= f f f （积分中值定理） : 例6：求极限??? ? ????-??? ??+→13cos 21lim 30x x x x （答案：61-） 例7：设函数)(x f =? ???? ? ?? ??? >--+=<-+.0,4sin 1 ,6,0,arcsin ) 1ln(2 3x x x ax x e x x x x ax ax 则a 为何值时，)(x f 在 0=x 处连续；a 为何值时，0=x 为)(x f 的可去间断点。 解：a x x ax x x ax x f x x x 6arcsin lim arcsin )1ln(lim )(lim 30300-=-=-+=-- -→→→ 421lim 44 sin 1lim )(lim 2220200+=--+=--+=+++→→→a x ax x e x x ax x e x f ax x ax x x 则 当64262 =+=-a a ，即1-=a 时，)(x f 在0=x 处连续； 当64262 ≠+=-a a ，即2-=a 时，点0=x 为)(x f 的可去间断点。 例8：求极限n n n n n n 2 22)1()21()11(ln lim +++∞ → 解：原式=n n n n n n 1 )]1ln()21ln()11[ln(2lim ?++++++∞→ =2n n i n i n 1 )1ln(lim 1 ∑=∞→?+ =2 ?+1 )1ln(dx x =)12(ln 2- 例9：求极限??? ??+++++++++∞→n n n n n n n n n 2 222 211lim 解：由于 1 222++≤++≤++n n i i n n i n n n i 则 1 2) 1(22112)1(22222+++≤+++++++++≤+++n n n n n n n n n n n n n n n n n 且 2 112) 1(lim 2)1(lim 22=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n n n 因此 21 2211lim 222=??? ? ?+++++++++∞→n n n n n n n n n 。 第二讲 导数与微分 一、导数 1、导数的定义 定义：0 00000 0)()(lim )()(lim lim )(0x x x f x f x x f x x f x y x f x x x x --=?-?+=??='→→?→? 。 2、导数的性质 定理1：函数)(x f 在点0x 出可导?)()(00x f x f +-'='。 定理2：函数)(u f y =可导，)(x u ?=可导，则复合函数)]([x f y ?=关于 x 可导，并且 )()(x u f dx du du dy dx dy ?''=?= 导数的几何意义（略） 3、隐函数与参数方程确定的函数的导数。 4、高阶导数的计算 )2sin() (sin ) (x n x n +=π； )2 cos()(cos ) (x n x n +=π ∑=-=n k k k u k n n v u C uv 0) ()() () ( 5、判断函数)(|)(|)(x g x f x F =不可导点的快捷方法 定理3：设函数)(x f 、)(x g 在点0x 处可导，则函数)(|)(|)(x g x f x F =在点0x 处不可导的充分必要条件是：0)(0=x f ，0)(0≠'x f 且0)(0≠x g 。 定理4：设函数)(x f y =的反函数为)(1 x f y -=，则反函数)(1 x f y -=的 不可导点是以下两种点： (1) 函数)(x f y =的导数不为无穷大的不可导点对应的函数值； (2) 函数)(x f y =的驻点。 二、微分 1、微分的定义 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ?+?=-?+=?，且 x x f dy ?'=)(0；dx x f dy )('= 三、应用举例 例1：求函数2 2 2)21ln()1(x x x x x x y +-++++=的导数。 例2：设函数 ??????? ??<-+=>++=.0,1tan ,0,,1,0,sin ) 1ln()(2 1 x e x x x x x x x x f x 求)(x f '。 解：当0>x 时，]sin ) 1ln([ )('++='x x x x f ,cos ) 1() 1ln()1(2 x x x x x x ++++-= 当0 1 '-+='x e x x x f ,2 1tan sec 21 2 2x e x x x x +-= 21 ]cos ) 1()1ln()1([ lim )0(2 =++++-='+→+x x x x x x f x ， ,21 ]21tan sec [lim )0(21 2 20=+-='-→-x x e x x x x f 则 21)0(='f ，于是 ??? ? ?????<+-=>++++-='.0,21tan sec ,0, 21,0,cos ) 1() 1ln()1()(2 12 22x e x x x x x x x x x x x x x f x : 例3：已知函数)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，求 3 320)(2)(lim x x f x f x x -→. 解： 3320) (2)(lim x x f x f x x -→ 3 3220)]0()([2)]0()([lim x f x f f x x f x x ---=→ =)0() 0()(lim 2)0()(lim 3300f x f x f x f x f x x '-=---→→。 例4：设)(x y y =由参数方程)1(., 21ln 211 2>?? ?? ?=+=?+t du u e y t x t u 所确定，求.22 dx y d 解：,) ln 21(24ln 212t e t t et xt dx dt dy y dx dy +=+=='= 于是 .) ln 21(42222t t e dt dx dt y d dx y d dx y d +-=' ='= 例5：已知函数)(x f 可导，求函数)(cos )(sin 22nx f nx f y +=的微分dy 。 例6：求函数|)1)((|)(2--=x e x x x x F 的不可导的点。 解：记)1)(()(2--=x e x x x f ，x x g =)(，显然0)(=x f 的根为1,0=x ， 很可能是)(x F 不可导的点。 由于0)0(=g ，则0=x 不是)(x F 不可导的点；而1)1(=g ，1)1(-='e f ，因此1=x 为函数)(x F 不可导的点。 例7：设函数 ??? ????>-≤≤--<-==.2,1612,21,,1,21)(3 2x x x x x x x f y 求反函数)(1x f y -=的不可导点。 解：显然函数 )(x f y =在),2()2,1()1,(+∞---∞ 上可导。 由于 4)4(lim )1(1 =-=-'--→-x f x ， 3)3(lim )1(21 ==-'+-→+x f x ， 即1-=x 为)(x f y =的不可导点， 从而1-=x 为函数)(1 x f y -=的不可导点。 显然，点0=x 为函数)(x f y =的驻点， 则0=x 为函数)(1 x f y -=的不可导点。 例8：已知函数x e x y 32=，求) 20(y 。 第三讲 中值定理及导数的应用 一、中值定理 1、罗尔中值定理； 2、拉格朗日中值定理； 3、柯西中值定理。 二、函数的单调性与极值、最大最小值 三、函数（曲线）的凹凸性与拐点 定义：设)(x f 在区间I 上连续，如果I x x ∈?21,，有 2 ) ()()2( 2121x f x f x x f +<+ 则称)(x f 在区间I 上是凹的；如果I x x ∈?21,，有 2 ) ()()2(2121x f x f x x f +>+ 则称)(x f 在区间I 上是凸的； 四、函数图像描绘 渐近线?? ???）斜渐近线。（）垂直渐近线；（）水平渐近线；（321 五、应用举例 例1：如果函数 )(x f 在闭区间 [ a , b ] 上连续，在开区间 ( a , b ) 内可 导，且 f ( a ) = f ( b ) = 0，那么在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点ξ，使得 )()(ξξf f '=。 例2：已知 f ( x ) 在 [ 0，1] 上连续，在 ( 0，1 ) 内可导，对于点 x 0 满足 ),()1(0120 x f e f x ?=-]1 ,0[0 n x ∈，证明至少存在一点 )1,0(∈ξ ，使得)(2)(ξξξf f ='。 例3：设函数 )(x f 、)(x g 在闭区间 [ a , b ] 上连续，在开区间 ( a , b ) 内可导，且 f ( a ) = f ( b ) = 0，证明在 ( a , b ) 内至少存在一点ξ，使得 0)()()(='+'ξξξg f f 。 例4：已知函数 )(x f 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，在开区间 ( 0 , 1 ) 内可 导，证明：存在)1, 0(,∈ηξ，使得 )(1 2)(2 ξηηηf e e f '-= '。 例5：设函数 )(x f 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上可导，f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0，且存在 )1,0(∈c ，,)(c c f >证明存在)1,0(∈ξ，使得1)()(=+-'ξξξf f 。 例6：设函数)(x f 在 [a ，b ] 上连续，在 (a ，b ) 内可导，且0)(>'x f 。若 a x a x f a x --+ →) 2(lim 存在，证明： （1） 在 (a ，b ) 内0)(>x f ； （2） 在 (a ，b ) 内存在ξ，使得 ) (2)(2 2ξξ f dx x f a b b a = -? ； （3） 在 (a ，b ) 内存在与（2）中ξ相异的点η，使得 ?-=-'b a dx x f a a b f )(2))((2 2 ξξη。 例:7：如果函数 f ( x ) 在[0，1]上连续且单调增加，则对?)1,0(,∈βa ，且β≤a 有 ? ?≤a dx x f dx x f 0 )()(β αβ 。 例8：证明：当π<<++cos 2sin cos 2sin 。 证明：设函数x x x x x f π++=cos 2sin )( 由于 π+-='x x x x f sin cos )(，且0)(='πf 又 )0(0sin )(π<<<-=''x x x x f 则 )0(0)()(ππ<<='>'x f x f 从而，当π< 即 a a a a b b b b ππ++>++cos 2sin cos 2sin 。 例9：2 e b a e <<<，证明)(4 ln ln 22 2a b e a b -> -。 例10：讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4 ln 4+=的交点个数。 解：设函数x x k x x f 4 ln 4ln 4)(--+=)0(>x . 由于x x x x f ) ln 1(4)(3--='，令0)(='x f 得驻点1=x ，且当10< 0)(>'x f ，当+∞< 区间),0(+∞上的最大值。于是，有 当0)1( 当0)1(=f ，即4=k 时，)(x f 有唯一零点，从而两曲线只有一个交点； 当0)1(>f ，即4>k 时， -∞=--+=++→→)ln 4ln 4(lim )(lim 40 x x k x x f x x ； -∞=--+=+∞ →+∞ →)ln 4ln 4(lim )(lim 4x x k x x f x x ， 则)(x f 有两个零点，从而两曲线有两个交点。 第四讲 不定积分与定积分 一、不定积分 1、原函数与不定积分 如果)()(x f x F ='，则C x F dx x f +=?)()(。 2、不定积分的换元积分法 （1）第一类换元积分法 C x F x d x f dx x x f dx x g +=='=???)]([)()]([)()]([)(????? C x F C t F dt t t f dx x f +=====+='=====-?? )]([)()()]([)(1ψψψ （2）分部积分法 ??-=vdu uv udv （3）有理函数及三角函数有理式的积分 万能代换：令u x =2tan ，212sin u u x +=，2211cos u u x +-=，du u dx 2 12+= 二、定积分 1、定积分的定义与性质 （1）? ∑=?=→b a i n i i dx x f x f )()(lim 1 0ξλ （2）)()()(a F b F dx x f b a -=? （3） ??? +=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）)()()(a b M dx x f a b m b a -≤≤-? （5） )()()(ξf a b dx x f b a -=? （6） 若)()(x f x f -=-，则 0)(=? -a a dx x f ， 若)()(x f x f =-，则 ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)(。 三、定积分在几何上的应用 1、平面图形的面积 2、旋转体的体积 ) (t x ψ=) (1 x t -=ψ令 代 四、应用举例 例1：求 ? -dx x x 2 1 例2：求 ?+-dx x e x x x x x ) cos 1(cos sin cos 22 （2 2)sin cos 2()cos (x x e x x x x e -='） 例3：求?+dx x 4 11 例4：求?+dx x xe x 2 /32arctan ) 1( 例5：求? ++dx x x )1(ln 2 2 例6：求?-+-+++dx x x x x x x 2 3 422 3234 解：由于 21 33)1(23422 3223234-+-+++=-+-+++x x x x x x x x x x x 2 23211)22)(1(133213322 2232++++-=++--+=-+-+x x x x x x x x x x x x x 于是 ?-+-+++dx x x x x x x 23 422 3234=???++++-++dx x x x dx x dx x 223211)1(2 =?+++++-++dx x x x x x 2 21)22(|1|ln )1(212 2 =??++++++++-++dx x dx x x x x d x x 2222) 1(1122)22(|1|ln )1(21 =C x x x x x +++++-++)1arctan(22|1|ln )1(212 2 例7：求?++dx x x x x x x 2 24224cos sin 4sin cos sin cos 解：原式=??+=++x d x x dx x x x tan ) 4(tan tan 1 )4(tan tan tan 122222 =?+-x d x x tan )4 tan 1tan 1(412 2 =C x x +--- )tan 2 1 arctan(81cot 41 例8：求?-++1 12 341sin 1dx x x x 例9：求 ? - 2 2 arctan |sin |π π dx e x x 例10：求? +20 cos sin sin π dx a a a x x x 注意： 性质1：若函数)(x f 在 [0，1] 上连续，则 （1） ??=20 20 )(cos )(sin π π dx x f dx x f ； （2） ? ? = π π π )(sin 2)(sin dx x f dx x xf 。 性质2：设)(x f 是连续的周期函数，周期为T ，则 （1） ??=+T T a a dx x f dx x f 0 )()(； （2）)()()(0 N n dx x f n dx x f T nT a a ∈=?? +。 例11：设函数)(x f 在 [a ，b ] 上有连续的导数，且0)()(==b f a f ，证明 |)(|max 4 )(|)(|2 x f a b dx x f b x a b a '-≤≤≤? 例12：设函数)(x f 、)(x g 在 [a ， b ] 上连续，证明 ????≤?? ? ??b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222 例13：求曲线x y sin =在区间[ 0, π] 上与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积。 五、反常积分 1、无穷限的反常积分： ? ? +∞→+∞ =t a t a dx x f dx x f )(lim )( 2、无界函数的反常积分：?? +→=b t a t b a dx x f dx x f )(lim )( 3、反常积分的审敛法 介绍（1）P —积分 ? +∞ a p dx x 1 的敛散性； （2）q —积分 ? -b a q dx a x )(1 的敛散性。 例1：判别积分 ? +∞ +1 3 4 1 1dx x 敛散性。 例2：判别积分 ? +∞ +1 2 11dx x x 敛散性。 例3：判别积分?+∞ 1arctan dx x x 敛散性。 例4：判别积分)0(sin 0 >? +∞ -a bxdx e ax 敛散性。 例5：判别积分 ? 3 1 2 ln 1 dx x 敛散性。 例6：判别积分 )1|(|) 1)(1(11 2 2 2 <--? k dx x k x 敛散性。 第五讲 微分方程 一、微分方程的概念 二、变量可分离的微分方程 )()(y g x f dx dy ?= 三、一阶线性微分方程 )()(x Q y x p dx dy =+ 四、齐次方程 )(x y f dx dy = 五、可降阶的高阶微分方程 1．)() (x f y n = 2．),(y x f y '='' 3．),(y y f y '='' 六、二阶常系数线性微分方程 )(x f qy y p y =+'+'' 1．x e x P x f λ)()(= 2．]cos )(cos )([)(x x p x x p e x f l m x ωωλ+= 七、应用举例 例1：设)(x f 为一连续函数，它由方程 )()(20 x f x dt t tf x +=? 确定，求 函数)(x f 。 例2：解方程x y xy x y x y d d d d 2 2=+。 备注：作变换u x y =，原方程可化为 1 d d -=u u x u x 。 考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x??? 当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时 为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0 f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内 基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1- 第一部分函数极限连续 历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = . 第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理 极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又) 则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。 驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ， 使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示） 第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→； 《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义 导论 一、管理类联考数学考试大纲 管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力. 综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试. 数学部分试题涉及的数学知识范围有： (一)算术 1．整数 (1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、 合数 2. 分数、小数、百分数 3．比与比例 4．数轴与绝对值 (二)代数 1．整式 (1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解 2．分式及其运算 3．函数 (1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数 4．代数方程 (1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组 5．不等式 (1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等 式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式. 6. 数列、等差数列、等比数列 (三)几何 1．平面图形 (1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形 2．空间几何体 (1)长方体(2)柱体(3)球体 3．平面解析几何 (1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的 距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理 (1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述 (1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率 (1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型 二、数学基础两种考查题型 数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分； 第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下： 1. 问题求解题型说明 联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案. 该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明： 【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是( ). (A)5x =-或1x = (B)5x =或1x =- (C)3x =或53x =- (D)3x =-或5 3x = (E) 不存在 【答案】C 2. 条件充分性判断题型说明 第六章 定积分的应用 ?? ??? ?? ??? ????????? ????????????? ???? 基本方法—微元法平面图形的面积与旋转体的体积一元几何应用—平面曲线的弧长，旋转体的侧面积函数平行截面面积已知的立体体积（数一数二）定积应用—分的变力做功、引力、侧压力、质心（形心）应用物理应用—函数平均值（数一数二） 简单的经济应用（数三） 第一节定积分的元素法 微元法:把一个所求量分解，近似，求和，取极限，最后表示成定积分的分析方法。 复习上一章第一节中的引例： 求由曲线() y f x =及直线x a =，x轴所 =，x b 围成的图形（曲边梯形）的面积A。 步骤：1、分割：1 n i i A A ==?∑ 2、取近似：1()()i i i i i i A f x x x ξξ-?≈??≤≤ 3、求和得：1()n i i i A f x ξ=≈??∑ 4、求极限：0 1 lim ()()n b i i a i A f x f x dx λξ→==??=∑? 取消这里的下标i ,同时[][,],i i i x x dx x x x +?+?； x ξ?；dA A ??。事实上，因为A A =?∑且 ()A f x dx dA ?≈=，所以()A f x dx ≈∑，即： lim ()()b b a a A f x dx f x dx dA ===∑?? 一般地，若所求量A 满足： 1）A 是一个与变量x 的变化区间[],a b 有关的量； 2）A 对于区间[],a b 具有可加性； 3）A 的部分量i A ?可近似地表示为()i i f x ξ??，其差 别是i x ?的高阶无穷小，则A 可用定积分 ()b a A f x dx =?计算. 2021考研数学各章节备考基础知识点盘点 第一章函数、极限与连续 1、函数的有界性 2、极限的定义(数列、函数) 3、极限的性质(有界性、保号性) 4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界有极限定理) 5、函数的连续性 6、间断点的类型 7、渐近线的计算 第二章导数与微分 1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数) 2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程高阶导数) 3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理 1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存 在定理) 2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西) 3、积分中值定理 4、泰勒中值定理 5、费马引理 第四章一元函数积分学 1、原函数与不定积分的定义 2、不定积分的计算(变量代换、分部积分) 3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二)) 4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理) 5、定积分的计算 6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力) 7、变限积分(求导) 8、广义积分(收敛性的判断、计算) 第五章空间解析几何(数一) 1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积) 2、直线与平面的方程及其关系 3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法 第六章多元函数微分学 1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义 2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系 课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日 公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。 【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。 （2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A； （2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B； （3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率： 基本初等函数及图形 (1) 常值函数(也称常数函数) y =c(其中c 为常数) (2) 幂函数 μ x y =,μ就是常数; (3) 指数函数 x a y = (a 就是常数且01a a >≠，),),(+∞-∞∈x ; (4) 对数函数 x y a log =(a 就是常数且01a a >≠，),(0,)x ∈+∞; 1、 当u 为正整数时,函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ,她们的图形都经过原点,并当u>1 时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时,图形关于原点对称;u 为偶数时图形关于Y 轴对称; 2、 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3、 当u 为正有理数m/n 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞+∞)。函数的图形均经过原点与(1 ,1)、 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m (5) 三角函数 正弦函数x y sin =,) , (+∞ -∞ ∈ x,]1,1 [- ∈ y, 余弦函数x y cos =,) , (+∞ -∞ ∈ x,]1,1 [- ∈ y, 正切函数x y tan =,2 π π+ ≠k x ,k Z ∈,) , (+∞ -∞ ∈ y, 余切函数x y cot =,πk x≠,k Z ∈,) , (+∞ -∞ ∈ y; 1.她的图形为于y轴的右方、并通过点(1,0) 2.当a>1时在区间(0,1),y的值为负、图形位于x的下 方,在区间(1, +∞),y值为正,图形位于x轴上方、在 定义域就是单调增函数、 a<1在实用中很少用到/ 考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的 辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。 总复习题二: 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (数 13 (数 考研高数同济七版必做课后习题 第一章 习题1-1： 2, 5, 6, 13; 习题1-2： 2, 3, 6, 7, 8; 习题1-3： 1, 2, 3, 4, 7, 12; 习题1-4： 1, 5, 6; 习题1-5： 1, 2, 3, 4, 5; 习题1-6: 1： (5： ）, (6), 2 , 4; 习题1-7： 1, 2, 3, 4, 5: (2), (3), (4); 习题1-8： 2, 3, 4, 5, 6; 习题1-9: 1, 2, 3, 4, 5; 总复习题一： 1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 12, 13。 第二章 习题 2-1： 5，6，7，8，9, 11，13，16, 17，18，19，20; 习题 2-2： 2，3，6, 7，8, 9，10, 11，13, 14; 习题 2-3： 1, 2, 3, 4, 10, 12; 习题 2-4： 1, 2, 3, 4, 5 （数一、二），6 （数一、二），7 （数一、二），8 （数 二）; 习题 2-5： 3, 4; 第三章 习题3-1: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15; 习题3-2: 1, 2, 3, 4； 习题3-3：6, 10； 习题3-4：1, 3：（3）,（4）,（6）,（8）, 4, 5 , 7, 8 , 9, 10 , 11； 习题3-5：1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9； 习题3-6: 2 , 3 , 5； 习题3-7 （数一,二）：1 , 2 , 3 , 4 , 5； 总复习题三：1-15, 16 （数一，二），18, 19 , 20。 第四章 习题4-1：1 , 2 , 3； 习题4-2：1 , 2； 习题4-3：1-24; 习题4-4：1-24; 习题4-5：1-25; 总复习题四：1 , 2 , 3 , 4。 第五章 习题5-1：2 , 3 , 4 , 7 , 11 , 12 , 13； 习题5-2：1 , 2 （数一、二）,3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14； 高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！ 目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 2013考研数学高数定积分公开课讲义(汤家 凤) 课程配套讲义说明 1、配套课程名称 2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月 27日 公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?上物体走过的路程。 （1）取?Skip Record If...?，?Skip Record If...?， 其中?Skip Record If...?； （2）任取?Skip Record If...?，?Skip Record If...?； （3）取?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? 2、曲边梯形的面积—设曲线?Skip Record If...?，由?Skip Record If...?及?Skip Record If...?轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取?Skip Record If...?，?Skip Record If...?， 其中?Skip Record If...?； （2）任取?Skip Record If...?，?Skip Record If...?； （3）取?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设?Skip Record If...?为?Skip Record If...?上的有界函数， （1）取?Skip Record If...?，?Skip Record If...?， 其中?Skip Record If...?； （2）任取?Skip Record If...?，作?Skip Record If...?； 第一部分函数极限连续 函数、极限、 连续 函数极限连续 函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质 函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质 函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点 性性唯一性 函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断 性有界性局部有界性点 收敛数列的函数极限的 保号性局部保号性 数列极限四函数极限与数 则运算法则列极限的关系 极限存在准函数极限四 则则运算法则 夹逼准则两个重要极 限 单调有界准无穷小的比 则较 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 历年试题分类统计及考点分布 考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计 运算法则极限准则阶 年份 1987 1988 5 3 8 1989 1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998 1999 2000 5 5 2001 2002 2003 4 4 8 2004 4 4 2005 2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 深圳人事考试网温馨提示您关注深圳公务员考试网，随时掌握2018年深圳公务员考试公告、考试时间、报名时间和报名入口、准考证打印时间以及笔试成绩查询、资格审核公告和面试公告等信息，提供深圳公务员考试培训、方法技巧、行测、公基、面试、时事政治等备考资料！ 第一章函数、极限与连续 1、函数的有界性 2、极限的定义(数列、函数) 3、极限的性质(有界性、保号性) 4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理) 5、函数的连续性 6、间断点的类型 7、渐近线的计算 第二章导数与微分 1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数) 2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数) 3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理 1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理) 2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西) 3、积分中值定理 4、泰勒中值定理 5、费马引理 第四章一元函数积分学 1、原函数与不定积分的定义 2、不定积分的计算(变量代换、分部积分) 3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二)) 4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理) 5、定积分的计算 6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数 一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力) 7、变限积分(求导) 8、广义积分(收敛性的判断、计算) 第五章空间解析几何(数一) 1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积) 2、直线与平面的方程及其关系 3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法 第六章多元函数微分学 1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义 2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系 3、多元函数偏导数的计算(重点) 4、方向导数与梯度 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研数学：高数重要公式总结（曲线积 分） 考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。 曲线积分 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。考研高数基础练习题及答案解析
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