阜阳市红旗中学 时其新
摘要：简谐运动问题是全国中学生物理竞赛考查的重点内容，本文对这类问题
的常见类型以及解决问题的思路作了比较详尽的阐述，希望对参加竞赛的同学有所裨益。
关键词：简谐运动 解题导引
简谐运动问题是历届全国中学生物理竞赛考查的重点内容之一。这类问题大体上可以分为三类：（1）判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期；（2）确定物体做简谐运动的振动方程；（3）确定物体在简谐运动过程中的时间、位移、速度、能量等。本文旨在就这几类问题求解的基本思路作些指导，希望对准备参赛的同学有所帮助。
1. 判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期 1.1 判断物体的运动是否是简谐运动的基本方法 简谐运动的基本判据：
（1） 动力学判据：判断物体所受回复力是否满足 F= －kx 其中k ——回复力系数
（2） 运动学判据：判断物体运动的加速度是否满足 a= －ω2x 其中ω——简谐运动的圆频率
无论采用那种方法判断，其基本步骤都是：首先确定振动物体的平衡位置，然后令物体偏离平衡位置一段位移x ，再求物体所受的回复力或物体具有的加速度。进而，可确定回复
力系数k 或圆频率ω，从而由T=2πm
k 或ω=T π2求出振动周期。
例1．如图1所示，一个质量为m 2的光滑滑轮由劲度系数为k 的轻弹簧吊
在天花板上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m 1的重物，另一端竖直固定在地板上。试证明重物沿竖直方向的振动是简谐运动，并求其振动周期。
解析：设：系统平衡时弹簧的伸长量是x 0。则有 kx 0=2m 1g+m 2g （1）
当重物m 1向下偏离平衡位置x 时，滑轮m 2向下偏离平衡位置（x 0+
2
x ），假设此时绳上的拉力是F ，m 1的加速度为a 1，m 2的加速度为a 2，则由牛顿第二定律得
对m 1： F －m 1g=m 1a 1 （2）
对m 2： k （x 0+
2
x
）－2F －m 2g=m 2a 2 （3） 由位移关系有： a 1=2a 2 （4） 由以上各式可得 F=m 1g+
2
11
4m m m +kx （5）
m 1 m 2
k
图—1
m 1所受的合力 F 合 = F －m 1g =
2
11
4m m m +kx （6）
可见 ，F 合∝x ，且方向与x 相反，因此，m 1的运动是简谐运动。回复力系数
'k =
2
11
4m m m +k
因此，振动周期T=2π
'1
k m =2πk
m m 2
14+ （7） 从上面的推导可见，重物和滑轮的重力m 1g 、m 2g 在运算中被抵消，对回复力的表达式没有影响。因此，我们可得到如下结论：物体在振动方向上所受的恒力只影响物体振动的平衡位置，一般不会改变物体的振动周期。 基于这一想法，如果我们忽略重物和滑轮的重力，则上面的运算可得到很大简化，读者不妨一试。
“刚体力学”是近年来新增加的考查内容。当刚体做微小振动时，常用转动定律求出刚体的角加速度β，再求出刚体上某点的切向加速度，进而由a= －ω2x 判断其做简谐运动，求出振动周期。
例2．如图2所示，质量均匀的杆AB 长为L ，质量为m ，其A 端用光滑铰链接在墙壁上，其B 端用一劲度系数为k 的轻弹簧悬挂，平衡时，杆水平而弹簧竖直，求此杆做上下微小振动时的振动周期。
解析：当杆水平时，设弹簧的伸长量为x 0，由力矩平衡条件，有
mg ·L
2 =k x 0·L （1）
当杆的B 端向下偏离平衡位置一微小位移x 时，弹
簧伸长量为x 0+x
由转动定律有
mg ·L
2
－k （x 0+x ）·L= I ·β （2）
其中 I = 1
3 mL 2 ——杆对A 轴的转动惯量
β——杆的角加速度 解得 β= －
mL
kx
3 所以，B 端运动的切向加速度为a =β·L= －
m
k 3x 可见，a ∝x ，且与x 方向相反。所以，杆的运动是简谐运动。 其圆频率为 ω2=
m
k 3 振动周期为 T=
ω
π2=2πk
m 3 A B x
L
θ 图—2
确定振动周期的两种特殊方法 1.2.1能量法
例3. 用能量的观点求例1中系统的振动周期。
解析：如果我们把滑轮和重物看成一个体系，这个体系在弹簧的拉力作用下振动，那么这个体系的动能可表示为
E K =
21m 1v 12+2
1
m 2v 22 因为 v 1=2v 2 所以E K = 2
1
（4m 1+m 2）v 22 和E K =
2
1'm v 22
比较，可知这个体系的等效质量为 'm = 4m 1+m 2
所以，系统的振动周期为 T=2π
k m '
=2πk
m m 2
14 例4.有一粗细均匀的U 形管中装有一定量的水（如图3），水柱的总长度为L ，受扰动后水在管内振动，如果忽略管壁对水的阻力，求振动周期。
解析：设：U 形管的横截面积为S ，水的密度为ρ，
管内水的总质量为m 。
当右边的水面升高x 时，系统增加的势能为
E p =ρgxSx=
L
mg x 2
与简谐运动系统所具有的势能E p =
2
1kx 2
对比可知，系统所受的回复力一定是弹性回复力，回复力系数为
k =
L
mg
2 所以，振动周期为 T=2π
k m =2πg
L 2 1.2.2等效法确定“异形单摆”的周期
单摆实质上是一个动点到某一定点的距离恒定，且受一个在平衡位置时沿定点和动点连线方向的恒力作用的物理模型。根据单摆的这一特点，对一些“异形单摆”，我们可以通过类比、等效求出振动系统的等效摆长、等效重力加速度，然后，利用单摆周期公式T=2πg
L ，求出异形单摆的振动周期。
例5.如图4所示是一种地震记录装置的水平摆，摆球m 固定在边长为L ，质量可忽略不计的等边三角形的顶点A 上，它的对边BC 跟竖直线成不大的夹角α，摆线可绕固定轴
BC
x
x
图— 3
α A
B
C
图——4
解析：在这个摆中，g 和L 同时都发生了异化。如图5所示，当m 做小角度摆动时，实际上是围绕AB 的中点O （定点）运动，所以，其等效摆长为
'L = Lcos300 =
2
3L 等效重力为 G 1 = mgsin α
因此，等效重力加速度为 'g =
m
G 1
= gsin α 故，此异形单摆的振动周期为 T=2π
'
'
g L = 2πα
sin 23g L
2.确定物体做简谐运动的振动方程
例6．如图6所示，在劲度系数为k 的弹簧下面悬挂一质量为M 的盘，盘不动时，一个质量为m 的质点自高h 处落入盘中，与盘发生完全非弹性碰撞，以碰后瞬时为计时起点，求盘的振动方程。
解析：当盘静止时，弹簧的伸长量为
k
Mg
当质点m 刚与盘相碰时，质点的速度 v 0=gh 2
然后它与盘发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可得，碰后两者的共同速度为
'
v =
M m m +v 0 = M
m m
+·gh 2
以这时盘底的位置为坐标原点、竖直轴为y 轴（向下为正），建立坐标系。由于碰后系统在新的平衡位置时，弹簧伸长量为
k
mg
Mg +，所以，新平衡位置的纵坐标为 y 0=
k
mg
此系统做简谐运动的周期为 T=2π
k
M
m + 角频率为 ω=
T π2=M
m k + 以碰后瞬时为计时起点，设振动方程为
y = y 0+Acos （ωt+φ0）
h
图—6
α
A
B
C
图——5
O mg
G 1
G 2
α 300
L
L
，
v = －ωAsin （ωt+φ0）
其中，振幅A 与初相位φ0为待定系数，当t=0时 0 = y 0 + Acos φ0
'v = －ωAsin φ
由此可解得 振幅 A=
2
'
2
)(ωv y +=k
gh
M m m k g m 2222?
++ 初相位 tg 0?=00cos sin ??=y
v ω'
，注意到cos φ0 、sin φ0均应为负，所以，
g
M m hk
arctg
y v arctg )(20'0++=+=πωπ? 故，所求的振动方程为
y =k gh M m m k g m 2222?
++cos[M m k +t+π+arctg g
M m hk
)(2+] 从例6可以看出，确定物体振动方程的一般步骤是：
（1） 确定平衡位置。
（2） 确定回复力系数k ，由T=2π
k
m
求出振动周期T ，再由ω=2πT 求出圆频率ω。
（3） 建立坐标系，设定振动方程
x = Acos （ωt+φ0）
v = －ωAsin （ωt+φ0） a = －ω2Acos （ωt+φ0）
注意：坐标原点和计时起点选取不同，方程的形式也会不同。
（4） 待定系数法确定振幅A 和初相位φ0：将物体运动的初始条件（t=0时，x=x 0，v=v 0）代入振动方程得
sin 2φ0+cos 2φ0=（v 0 ωA ）2 + （x 0
A ）2 = 1
所以， A=
（v 0
ω
）2 + x 02 tan φ0=
cos sin ??
= － v 0 ωx 0 （5）写出所求的振动方程。
3.确定物体做简谐运动过程中的位移、速度、时间等
应该说，根据物体做简谐运动的方程，就可以确定物体在任一时刻的位移、速度，也可求出物体运动的时间。但是，这样做往往运算繁琐。借助参考圆可以使我们直观、方便、简洁地快速求出简谐运动的位移、速度、时间等物理量，是我们应该熟练掌握的方法。
例7．在两条柔软的弹性轻绳中间连接着一个小球，而这两条绳的另一端分别固定于同
O 、O ＇
点，如图7所示。已知上、下绳的劲度系数分别为k 1=8.0N/m 和
k 2=12.0N/m 。小球静止不动时位于图上C 点处，这时上、下绳相对于各自的自然长度分别伸长了L 1=0.080m 和L 2=0.030m 。现在将小球沿竖直方向下拉到与平衡位置C 的距离为L 3=0.080m 处，然后轻轻释放。求小球从释放开始到第一次回到该释放点所需要的时间。（计算时可取g=10.0m/s 2）
解析：（1）由小球在平衡位置C 处的受力，求出小球的质量。 设小球的质量为m ，则由力的平衡条件得：
mg +k 2L 2= k 1L 1 （1）
解得： m = g 1
（k 1L 1－k 2L 2）= 0.028㎏
（2）由于弹性绳只能被拉伸，不能被压缩，故小球从与C 相距L 3处的B 1点释放至到
达与C 相距L 2处的B 0点（即：下绳自然长度处）的过程中，下绳松弛，小球不受下绳的弹力，只在上绳的弹力和重力作用下做简谐运动。平衡位置位于上绳自然长度处A 0点下方y 0处的A 点。则，
y 0=
1
k m g
=0.035m 由于小球在竖直方向上振动，故小球的重力对回复力系数没有影响，所以，这一过程的回复力系数为k 1。
圆频率为
ω1=m k 1=207
5rad/s
振幅为 A 1=L 3+（L 1－y 0）= 0.125m
借助参考圆，可求出小球从B 1点运动到B 0点经历的时间t 1和到达B 0时的速度v 1。
由图8可知，AB 0= L 2+（L 1－y 0）=0.075m ，由参考圆（图9）知，
cos θ1= 10A AB =5
3
所以， θ 1 = ω1t 1 = 530 = 180
53π
从而可解得： t 1 = 0.055s
速度为v 1= －ω1A 1sin θ1 = －5
4
ω1A 1
（3）小球通过B 0点后，在上、下绳共同作用下做新的简谐运动，平衡位置位于C 点。易知回复力系数为k 1+k 2，园频率为
ω2=
m k k 21+=10014
1
rad/s · O
O ＇
C k 1 k 2
图—7 · O O
C 图—8
y
B
1 ·
· B 0 ·
A · A 0 y 0 L 1
L 2
L 3
O · ω1
θ 1
A 1
B 1
B 0
A
图—9
v 1
ω1A 1
t 2=0时，小球位于C 点下方的振幅A 2处，取C 点为坐标原点，则振动方程可写
为
y 2=A 2cos ω2t 2
v = －ω2A 2sin ω2t 2 当y 2= +L 2时，v 2= v 1 = －5
4
ω1A 1 所以 A 2=22
2
2
2)(
ωv L +=0.07m ＜L 1=0.08m
可见，小球通过B 0点以后，以C 点为平衡位置做简谐运动，运动到最高点时上绳仍然没有松弛。因此，由参考圆（图10）可求出小球从越过B 0点至上升到最高点，然后再返回到B 0点所经历的时间为
t 2 =
2
2
22ωθπ-≈0.15s
其中 θ= arccos
2
2A L = arccos 73≈
π360129
（4）小球从B 0点返回释放点B 1时的运动情况与（2）相同，
经历的时间也相同，即： t 3= t 1 = 0.055s
故，小球从释放到第一次返回释放点所经历的时间为 t=2t 1+t 2=0.26s 4.熟悉几个重要模型的处理方法
4.1在星球内部，物体沿某一条弦的运动是简谐运动
例8.有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想。其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处A 和B ，分别将质量为M 的物体和质量为m 的待发射卫星同时自由释放，只要M 比m 足够大，碰撞后，待发射的卫星就会从通道口B 冲出通道。然后，将卫星的速度方向变为沿地球切线方向即可。试证明：卫星在通道内的运动是简谐运动。
证明：设：地球质量为M ，半径为R ，建立如图11所示的坐标系，当卫星在距地心r 处时，卫星所受地球对它的引力，相当于半径为r 的球对它的万有引力。（这可以与均匀带电球体对点电荷的作用力类比得到，不要求证明。） 则 F r = 332343
4r R
M r Gm ππ??=r R GMm ?3
方向指向地心
该力在轨道方向上的分力 F x = F r ·
r
x = x R GMm ?3
方向指向'
O 点，
·
ω2
A 2
θ 2
L 2 图—10
B 0
· ω2t 2
·
x O
x
m 图——11
R O ′
r
A B
F x ∝x ，表明卫星的运动是简谐运动，回复力系数为k=
3
R GMm
，振动周期为 T=2π
k
m =2πGM
R 3
4.2无固定悬点的弹簧振子
通常，弹簧振子的一端是固定的，但有时振子的悬点可能是运动的。 例9.质量分别为m A 和m B 的两个木块A 和B ，用一根劲度系数为k 的轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上（如图12）。
（1） 现让两木块将弹簧压缩后同时由静止释放，求系统的振动周期。 （2） 如果将弹簧压缩后，先释放B ，这两个木块将怎样运动？ 解析：（1）设某时刻A 和B 各偏离了原来的平衡位置x A 和x B ，因为系统所受合力为零，由动量守恒定律得
m A x A =m B x B （1） A 和B 两个物体受力的大小为
F A = F B = k （x A + x B ） （2）
解得 F A = k
B
B
A m m m +x A
F B = k
A
B
A m m m +x B
可见，A 、B 两个物体都做简谐运动，周期都是 T=2π
)
(B A B
A m m k m m +
另解：因为两木块初动量为零，故系统质心是静止不动的。所以，可以将弹簧分成两段，如果弹簧总长为L 0，则左边一段的原长为
B A B m m m +L 0，劲度系数为B
B
A m m m +k ；右边一段
的原长为
B A A m m m +L 0，劲度系数为A
B
A m m m +k 。从而，也可求得前面的结果。
（2）设开始时弹簧被压缩x 0，则当弹簧恢复原长时，B 的速度为v 0，由机械能守恒得
21m B v 02=2
1
kx 02 所以，v 0=
B
m k x 0 以后，A 也将在弹簧力作用下开始运动，在质心参考系中观察，A 、B 都做简谐运动，且振动周期相同，均为T=2π
)
(B A B
A m m k m m +，但步调相反。质心系作匀速直线运动，其速
A
B 图——12
v C 可由动量守恒定律求出。 m B v 0= （m A +m B ）v C 即 v C =
B A B m m v m +0= B A B m m m +·B
m k
x 0
4.3同频双弹簧振子
例10.两个劲度系数为k 、质量均为m 的相同弹簧振子1、2置于光滑水平台面上，其固定端分别位于台面的两恻，两物体之间又用劲度系数为3
2
k
的弹簧相连，如图13所示，现两物块在台面上做频率相同
的简谐运动，试求此振动频率。并说明如何实现这样的振动？
解析：设两个振子偏离各自的平衡位置的位移分别为x 1和x 2，那么两个振子所受的合力各为
F 1 = －kx 1+
23
k （x 2－x 1） （1） F 2 = －kx 2－2
3
k （x 2－x 1） （2）
因为要求两振子做频率相同的简谐运动，所以它们所受的合力应该与各自的位移成正比。又因为两个振子的质量相同，所以，所受合力与各自位移的比例系数也应相同，即
F 1=－kx 1+23
k （x 2－x 1）= －αx 1 （3） F 2=－kx 2－2
3
k （x 2－x 1）= －αx 2 （4）
两式整理后可得
（25k －α）x 1=23
kx 2 （5） 23kx 1 =（2
5
k －α）x 2 （6）
两式相除得 （
25k －α）2 = （2
3
k ）2 解得 α1 =k α 2 = 4k
所以，有两种振子的角频率 ω1 =
m k ω2 = 2m k 将α1、α2代入（5）或（6）式，可知 当α1 =k 时，
1
2
x x =1 当α 2 = 4k 时，
1
2
x x = － 1 1
2
图—13
①两振子具有相同方向、相同大小的位移时，它们以相同的频率ω1振动；
②两振子具有相反方向、相同大小的位移时，它们以相同的频率ω2振动。
只要以符合这两种要求的初始条件使两振子振动，就能实现同频率的振动。
（全文完）
写于2005.5
阜阳市红旗中学 时其新 摘要：简谐运动问题是全国中学生物理竞赛考查的重点内容，本文对这类问题 的常见类型以及解决问题的思路作了比较详尽的阐述，希望对参加竞赛的同学有所裨益。 关键词：简谐运动 解题导引 简谐运动问题是历届全国中学生物理竞赛考查的重点内容之一。这类问题大体上可以分为三类：（1）判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期；（2）确定物体做简谐运动的振动方程；（3）确定物体在简谐运动过程中的时间、位移、速度、能量等。本文旨在就这几类问题求解的基本思路作些指导，希望对准备参赛的同学有所帮助。 1. 判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期 1.1 判断物体的运动是否是简谐运动的基本方法 简谐运动的基本判据： （1） 动力学判据：判断物体所受回复力是否满足 F= －kx 其中k ——回复力系数 （2） 运动学判据：判断物体运动的加速度是否满足 a= －ω2x 其中ω——简谐运动的圆频率 无论采用那种方法判断，其基本步骤都是：首先确定振动物体的平衡位置，然后令物体偏离平衡位置一段位移x ，再求物体所受的回复力或物体具有的加速度。进而，可确定回复 力系数k 或圆频率ω，从而由T=2πm k 或ω=T π2求出振动周期。 例1．如图1所示，一个质量为m 2的光滑滑轮由劲度系数为k 的轻弹簧吊 在天花板上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m 1的重物，另一端竖直固定在地板上。试证明重物沿竖直方向的振动是简谐运动，并求其振动周期。 解析：设：系统平衡时弹簧的伸长量是x 0。则有 kx 0=2m 1g+m 2g （1） 当重物m 1向下偏离平衡位置x 时，滑轮m 2向下偏离平衡位置（x 0+ 2 x ），假设此时绳上的拉力是F ，m 1的加速度为a 1，m 2的加速度为a 2，则由牛顿第二定律得 对m 1： F －m 1g=m 1a 1 （2） 对m 2： k （x 0+ 2 x ）－2F －m 2g=m 2a 2 （3） 由位移关系有： a 1=2a 2 （4） 由以上各式可得 F=m 1g+ 2 11 4m m m +kx （5） m 1 m 2 k 图—1
第九章 简谐振动 填空题（每空3分） 质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。（3:1,2A ） 9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。（0.05m ） 9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=×10-2cos(T π2t+4 π ) (SI) , X 2=×10-2cos(T π2t -43π) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=×10-2cos(T π2t+4 π ) (SI)) 9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。（ 12 T ） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )4 cos(1π ω+ =t A x m 、 )4 3 cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。(2 A) 9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。 ( 6 T ) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、)25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。 （0.01m ） 质量0.10m kg =的物体，以振幅21.010m -?作简谐振动，其最大加速度为2 4.0m s -?，通过平衡 位置时的动能为 ；振动周期是 。(-3 2.010,10s J π?) 9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。（3π） 9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -?作谐振动，其最大加速度为14.0m s -?，则通过最大位移处的势能为 。（3210J -?） 9-11一质点做谐振动，其振动方程为6cos(4)x t ππ=+（SI ），则其周期为 。
高中物理：简谐运动的回复力和能量练习 1．(山东省临朐一中高二下学期月考)如图所示,对做简谐运动的弹簧振子m 的受力分析,正确的是( A ) A ．重力、支持力、弹簧的弹力 B ．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 C ．重力、支持力、回复力、摩擦力 D ．重力、支持力、摩擦力 解析：弹簧振子m 受重力、支持力、弹簧弹力三个力的作用,故选A 。 2．(陕西省西安一中高二下学期月考)在简谐运动中,振子每次经过同一位置时,下列各组中描述振动的物理量总是相同的是( B ) A ．速度、加速度、动量和动能 B ．加速度、动能、回复力和位移 C ．加速度、动量、动能和位移 D ．位移、动能、动量和回复力 解析：振子每次经过同一位置时,其加速度、动能、回复力和位移总相同,故选B 。 3．(内蒙古包头九中高二下学期期中)光滑的水平面上放有质量分别为m 和12 m 的两木块,下方木块与一劲度系数为k 的弹簧相连,弹簧的另一端固定在墙上,如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为f ,为使这两个木块组成的系统能象一个整体一样地振动,系统的最大振幅为( C ) A ．f k B ．2f k C ．3f k D ．4f k 解析：上面木块受到的静摩擦力提供其做简谐振动的回复力,故f ＝0.5ma ,kA ＝1.5ma ,由上两 式解得A ＝3f k 。 4．(吉林省八校高二下学期期中联考)一个在y 方向上做简谐运动的物体,其振动图象如图所示。下列关于图(1)～(4)的判断正确的是(选项中v 、F 、a 分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度)( C )
A．图(1)可作为该物体的v－t图象B．图(2)可作为该物体的F－t图象C．图(3)可作为该物体的F－t图象D．图(4)可作为该物体的a－t图象 解析：因为F＝－kx,a＝－kx m ,故图(3)可作为F－t、a－t图象；而v随x增大而减小,故v －t图象应为图(2)。
11.3、简谐运动的回复力和能量示范教案 一、教学目的 1．掌握简谐运动的定义；了解简谐运动的运动特征；掌握简谐运动的动力学公式；了解简谐运动的能量变化规律。 2．引导学生通过实验观察，概括简谐运动的运动特征和简谐运动的能量变化规律，培养归纳总结能力。 3．结合旧知识进行分析，推理而掌握新知识，以培养其观察和逻辑思维能力。 二、教学难点 1．重点是简谐运动的定义； 2．难点是简谐运动的动力学分析和能量分析。 三、教具：弹簧振子，挂图。 四、主要教学过程 （一）引入新课 提问1：什么是机械振动？ 答：物体在平衡位置附近做往复运动叫机械振动。 提问2：振子做什么运动？ 日常生活中经常会遇到机械振动的情况：机器的振动，桥梁的振动，树枝的振动，乐器的发声，它们的振动比较复杂，但这些复杂的振动都是由简单的振动的组成的，因此，我们的研究仍从最简单、最基本的机械振动开始。刚才演示的就是一种最简单、最基本的机械振动，叫做简谐运动。 提问3：过去我们研究自由落体等匀变速直线运动是从哪几个角度进行研究的？ 今天，我们仍要从运动学（位移、速度、加速度）研究简谐运动的运动性质；从动力学（力和运动的关系）研究简谐运动的特征，再研究能量变化的情况。 （二）新课教学 （第二次演示竖直方向的弹簧振子） 提问4：大家应明确观察什么？（物体） 提问5：上述四个物理量中，哪个比较容易观察？ 提问6：做简谐运动的物体受的是恒力还是变力？力的大小、方向如何变？ 小结：简谐运动的受力特点：回复力的大小与位移成正比，回复力的方向指向平衡位置 提问7：简谐运动是不是匀变速运动？ 小结：简谐运动是变速运动，但不是匀变速运动。加速度最大时，速度等于零；速度最大时，加速度等于零。 提问8：从简谐运动的运动特点，我们来看它在运动过程中能量如何变化？让我们再来观察。提问9：振动前为什么必须将振子先拉离平衡位置？（外力对系统做功） 提问10：在A点，振子的动能多大？系统有势能吗？ 提问11：在O点，振子的动能多大？系统有势能吗？ 提问12：在D点，振子的动能多大？系统有势能吗？ 提问13：在B，C点，振子有动能吗？系统有势能吗？ 小结：简谐运动过程是一个动能和势能的相互转化过程。 （三）总结： （四）布置作业：
简谐运动的对称性 在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。 下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用: 一、运动时间的对称性 例1.如下图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3s质点第一次过M点；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是（） A. 8s B. 4s C. 14s D. s 3 10 【解析】设图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动， O→M运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，由运动时间的对称性知： s 16 T,s4 4 T = = 质点第三次经 过M点所需时间：△s 14 s2 s 16 s2 T t= - = - =，故C正确；若开始计时时刻质点从O点向左运动，O →a→O→M，运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，有： s 3 16 T,s4 4 T 2 T = = + ，质点第三次经过M 点所需时间： △ s 3 10 s2 s 3 16 s2 T t= - = - = ，故D正确，应选CD。 二、速度的对称性 例2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，运动过程中的最大速率为v，从某一时刻算起，在半个周 期内（） A. 弹力做的功一定为零 B. 弹力做的功可能是0到 2 mv 2 1 之间的某一值 C. 弹力的冲量一定为零 D. 弹力的冲量可能是0到2mv之间的某一值 【解析】由速度的对称性知，无论从什么时刻开始计时，振子半个周期后的速度与原来的速度大小 相等，方向相反。由动能定理知，半个周期内弹力做的功为零，A正确；半个周期内振子速度变化量的 最大值为2mv。由动量定理知，弹力的冲量为0到2mv之间的某一值，故D正确，应选AD。 三、位移的对称性 例3.一弹簧振子做简谐动动，周期为T，则下列说法中正确的是（）
课时分层作业(八)简谐运动的回复力 和能量 (建议用时：25分钟) 考点一简谐运动的回复力 1．简谐运动的回复力() A．可以是恒力 B．可以是方向不变而大小变化的力 C．可以是大小不变而方向改变的力 D．一定是变力 D[由F＝－kx可知，由于位移的大小和方向在变化，因此回复力的大小和方向也在变化，一定是变力．] 2．如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图像是() A B C D B[由F＝－kx可知，回复力F与位移大小x成正比，方向与位移方向相反，故选项B正确．] 3．关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是() A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C．根据k＝－F x，可以认为k与F成正比 D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动 B[对弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，对于
其他简谐运动k不是劲度系数，而是一个比例系数，故A错误，B正确；该系数由系统本身结构决定，与力F和位移x无关，C错误；“－”只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力，D错误．] 4．如图所示，在一倾角为θ的光滑斜板上，固定着一根原长为l0的轻质弹簧，其劲度系数为k，弹簧另一端连接着质量为m的小球，此时弹簧被拉长为l1.现把小球沿斜板向上推至弹簧长度恰好为原长，然后突然释放，求证小球的运动为简谐运动． [解析]松手释放，小球沿斜板往复运动——振动．而振动的平衡位置是小球开始时静止(合外力为零)的位置． mg sin θ＝k(l1－l0) 小球离开平衡位置的距离为x，受力如图所示，小球受三个力作用，其合力F合＝k(l1－l0－x)－mg sin θ，F合＝－kx.由此可证小球的振动为简谐运动．[答案]见解析 考点二简谐运动的能量 5．(多选)一弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，在t＝3.2 s时，振子的() A．速度正在增大，加速度沿正方向且正在减小
有关弹簧问题中应用简谐运动特征的解题技巧 黄 菊 娣 （浙江省上虞市上虞中学 312300） 弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到在振动过程中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出现的；而经过半个周期后一些物理量则是大小相等，方向相反．但是上面想法的逆命题是否成立的条件是：①此弹簧振子的回复力和位移符合kx F -=（x 指离开平衡位置的位移） ；②选择开始计时的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移处，若开始计时不是选择在这些位置，则结果就显而易见是不成立的． 在这里就水平弹簧振子和竖直弹簧在作简谐运动过程中应用其特征谈一谈解题技巧，把复杂的问题变简单化，从而消除学生的一种碰到弹簧问题就无从入手的一种恐惧心理． 一、弹簧振子及解题方法 在判断弹簧振子的运动时间，运动速度及加速度等一些物理量时所取的起始位置很重要，在解题方法上除了应用其规律和周期性外，运用图象法解，会使问题更简单化． 例1 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是………………………………………（ ） A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍 B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于 2 T 的整数倍 C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等 D ．若Δt ＝2T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹 簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置． 对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相 同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错． 对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是 2 T ，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选项C 正确． 对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为 2 T ，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ． 解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确． 图1
精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。
《１1.3 简谐运动的回复力和能量》
回忆前面学的判断物体是否做简谐运动的方法？ 课件展示:两种判断物体是否做简谐运动的条件: ①x-t 图像为正弦曲线 ②Ｆ-x 满足 F=-k ｘ的形式 下面用第二种方法来判断竖直的弹簧拉一个小球的 振动是不是简谐运动? 提醒:先找平衡位置。因为ｘ为振子到平衡位置的位 移。 规定向下为正方向 平衡位置：0kx mg = 振子在C 点受到的弹力为:()0' x x k F += 振子受的回复力 ()kx kx kx mg x x k mg F mg F -=--=+-=-=00' 回复力与位移的关系符合简谐运动的定义 问:此时弹簧振子的回复力还是不是弹簧的弹力?(不是）那是什么?指点受到的合力 重力和弹力的合力 所以说：回复力不一定是弹力可能是几个力的合力。 振动具有周期性和重复性,在振动过程中,相关物理量的变化情况分析：x ；a;F;ｖ 三、简谐运动的能量 因不考虑各种阻力,因而振动系统的总能量守恒。（用CAI 课件模拟弹簧振子的振动，分别显示分析x 、F 、a 、ｖ、E k 、E p 、E 的变化情况） 观察振子从A →Ｏ→B →O →Ａ的一个循环，这一循环可分为四个阶段：A →O 、O →B 、B →Ｏ、Ｏ→A ，分析在这四个阶段中上述各物理量的变化，并将定性分析的结论填入表格中。 分析：弹簧振子由C →Ｏ的变化情况 分步讨论弹簧振子在从C →Ｏ运动过程中的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能和总能量的变化规律。 ①从Ｃ到O 运动中,位移的方向如何？大小如何变化? 由C 到O 运动过程中，位移方向由O →C ，随着振子不断地向O 靠近，位移越来越小。 ②从C 到O 运动过程中,小球所受的回复力有什么特点? 小球共受三个力：弹簧的拉力、杆的支持力和小球的重力,而重力和支持力已相互平衡，所以回复力由弹簧弹力提供。
简谐运动的对称性 It was last revised on January 2, 2021
简谐运动的对称性在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。 下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用: 一、运动时间的对称性 例1.如下图所示，一个质点在平衡位置O 点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3s 质点第一次过M点；再继续运动，又经过2s 它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是（） A. 8s B. 4s C. 14s D. s 3 10 【解析】设图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动，O→M运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，由运动时间的对称性知： s 16 T,s4 4 T = = 质点第三次经过M点所需时间：△s 14 s2 s 16 s2 T t= - = - =，故C正确；若开始计时时刻质点从O点向左运动，O →a→O→M，运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，有： s 3 16 T,s4 4 T 2 T = = + ，质点第三次经过M点所需时间： △ s 3 10 s2 s 3 16 s2 T t= - = - = ，故D正确，应选CD。 二、速度的对称性 例2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，运动过程中的最大速率为v，从某一时刻算起，在半个周期内（） A. 弹力做的功一定为零
简谐运动的回复力和能量 一、简谐运动的回复力 1．简谐运动 如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 2．回复力 使振动物体回到平衡位置的力。 3．回复力的方向 总是指向平衡位置。 4．回复力的表达式 F＝－kx。即回复力与物体的位移大小成正比，“－”表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由简谐运动系统决定。 二、简谐运动的能量 1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 1．回复力的来源 (1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。 (2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；还可能是某一力的分力。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。 2．关于k值：公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的
劲度系数，系数k由振动系统自身决定。 3．加速度的特点：根据牛顿第二定律得a ＝F m＝－k m x，表明弹簧振子做简谐运动时，振 子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。 4．回复力的规律：因x＝A sin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。 1．根据水平弹簧振子图，可分析各个物理量的变化关系如下： 图11-3-4 振子的运动A→O O→A′A′→O O→A 位移方向向右向左向左向右大小减小增大减小增大 回复力方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大 加速度方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大 速度方向向左向左向右向右大小增大减小增大减小 振子的动能增大减小增大减小 弹簧的势能减小增大减小增大 系统总能量不变不变不变不变 当堂达标 1、(多选)如图11-3-2所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O 为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是() 图11-3-2 A．物体做简谐运动，OC＝OB
简谐运动与弹簧问题 你需要知道并且熟记在心的几个点： 时间的对称性 加速度的对称性 合外力的对称性 速度对称性 能量对称性 1. 巧用时间的对称性 例1. 如图1所示，一质点在平衡位置O点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O出发向最大位移A处运动过程中经0.15s第一次通过M点，再经0.1s第2次通过M点。则此后还要经多长时间第3次通过M点，该质点振动的频率为多大？ 图1 解析：由于质点从M→A和从A→M的时间是对称的，结合题设条件可知M→A所需时间为0.05s，所以质点从平衡位置O→A的时间为 ，又因为，所以质点的振动周期为T＝ 0.8s，频率。 根据时间的对称性可知M→O与O→M所需时间相等为0.15s，所以质点第3次通过M点所需时间为 2. 巧用加速度的对称性 例2. 如图2所示，小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，全过程中弹簧为弹性形变。试比较弹簧压缩到最大时的加速度a和重力加速度g 的大小。
图2 解析：小球和弹簧接触后做简谐运动，如图2所示，点B为弹簧为原长时端点的位置。小球的重力与弹簧的弹力的大小相等的位置O为平衡位置。点A为弹簧被压缩至最低点的位置（也就是小球做简谐振动的最大位移处），点A”为与A对称的位移（也是最大位移处）。由对称性可知，小球在点A和点A”的加速度的大小相等，设为a，小球在点B的加速度为g，由图点B在点A”和点O之间，所以。 例3. 如图3所示，质量为m的物体放在质量为M的平台上，随平台在竖直方向上做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体m对平台的压力恰好为零，当m运动到最低点时，求m的加速度。 图3 解析：我们容易证明，物体m在竖直平面内做简谐运动，由小球运动到最高点时对M的压力为零，即知道物体m在运动到最高点时的加速度为g，由简谐运动的对称性知道，物体m运动到最低点时的加速度和最高点的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度大小为g，方向竖直向上。 例4. 如图4所示，轻弹簧（劲度系数为k）的下端固定在地面上，其上端和一质量为M的木板B相连接，在木板B上又放有一个质量为m的物块P。当系统上下振动时，欲使P、B 始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？ 图4 解析：从简谐运动的角度看，木板B和物块P的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力，即 ；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度a，即 ，由以上两式可解为。当P和B在平衡位置下方时，系统处于超重状态，P不可能和B分离，因此P和B分离的位置一定在上方最大位移处，且P和 B一起运动的最大加速度。由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为
专题：简谐运动的多解性和对称性 教学目标： 1．加深对简谐运动周期性和对称性的理解。 2．能运用周期性和对称性分析和解决简谐运动的有关问题。 教学重点和难点：周期性和对称性的应用。 教学方法：分析、讨论和总结。 教学过程 一、简谐运动的多解性和对称性 1．简谐运动的多解性：做简谐运动的质点，在运动方向上是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同。它是一个周期性的运动，若运动的时间是周期或半周期的整数倍，则质点运动的路程是唯一的，若不具备以上条件，则质点运动的路程是多解的。 2．简谐运动的对称性：做简谐运动的质点，在距平衡位置等距离的两点上时，具有大小相等的速度和加速度，由这两点运动到平衡位置或最大位移处的时间相等。 二、课堂讨论 【例1】一个做简谐运动的质点在平衡位置O 点附近振动，当质点从O 点向某一侧运动时，经3s 第一次过P 点，再向前运动，又经2s 第二次过P 点，则该质点再经 s 的时间第三次过P 点。（14s 或s 3 10） 【例2】一质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s 在位移最大处发现该质点，则此简谐运动的周期可能是（AB ） A.2s B. s 32 C.s 21 D.s 4 1 解：若质点先向发现点运动，则，t=T n )41(+，且n=0、1、2、3…… 由上式可知答案A 正确； 若质点先向背离发现点运动，则，t=T n )4 3(+，且n=0、1、2、3…… 由上式可知答案B 正确。 【例3】一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，下述正确的是（C ） A.若t 时刻和(t+△t)振子运动位移的大小相等，方向相反，则△t 一定等于T 的整数倍。 B.若t 时刻和(t+△t)振子运动速度大小相等，方向相反，则△t 一定等于 2T 的整数倍。 C.若△t=T,则在t 时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度一定相等。 D.若△t ＝2 T ,则在t 时刻和(t+△t)时刻弹簧长度一定相等。 【例4】如图所示，质量为m 的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动。当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小弹力是多大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过多大？ F max －mg ＝ma ，因为F max ＝1.5mg ，所以a ＝0.5g 当木块运动到最高点时，对弹簧弹力最小，此时由牛顿第二定律得： mg －F min ＝ma ，由运动的对称性知，最高点与最低点的加速度大小相等，即 a ＝0.5g ，代入求得F min ＝mg/2
对称性在振动和波问题中的运用 对称性是简谐振动和简谐波的重要特性，而在处理实际问题时，这一特性往往会被它们的另一重要特性──周期性所冲淡，不被学生重视，以至于对一些考查对称性方面的问题，学生感觉很棘手。事实上对称性、周期性是反映振动和波本质的两大特性，两者相辅相成，相得益彰。对称性在简谐运动和简谐波中普遍存在，描述质点振动的一切表征量如回复力、加速度、速度、时间、能量等都具有对称性。下面列举几例来说明一下对称性在具体问题中的应用。 一、对称性在简谐振动中的应用 例1一弹簧振子做简谐运动，周期为，则（） A．若时刻和时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则一定等于的整数倍 D．若时刻和时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于的整数倍 C．若，则在时刻和时刻弹簧的长度一定相等 D．若，则在时刻和时刻振子运动的加速度一定相同 分析：此题是简谐运动中对称性运用的一个典型范例。分析过程中务必注意不能将考察点放在特殊位置，即平衡位置或端点处。 由过程的对称性可知，振子相邻两次经过同一点时，运动的速度大小相等、方向相反。如图可得A错。 或 如图，两位置关于平衡位置对称，振子运动的位移的大小相等、方向相反，可知B错。 同上图，前后弹簧可以分别处于压缩状态和伸长状态，弹簧实际长度并不相等。因此c错。 前后，振子恰好完成一次全振动，即t时刻和（t－△t）时刻振子的振动状态完全相同，所以D正确。解：选项正确。 说明：选择一般位置作为考察点，利用排除法进行分析，是处理此类振动问题的常用手段和方法。 例2如图所示，两木块的质量分别为、，中间弹簧的劲度系数为，弹簧下端与连接， 与弹簧不连接，现将下压一段距离后释放，它就上下做简谐运动，振动过程中始终没有离开弹簧，试求：
一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ ［ ］ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) )π21cos(2-+=αωt A x (C) )π23cos(2-+=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x ［ ］ 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 ［ ］ 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 ［ ］ 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T ' 。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' ［ ］ 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 )312cos(1042π+π?=-t x (SI)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 81 (B) s 61 (C) s 41 (D) s 31 (E) s 21 ［ ］ 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) )21/cos(π-=t m k A x (C) )π21/(cos +=t k m A x (D) )21/cos(π-=t k m A x (E) t m /k A x cos = ［ ］ v 21
简谐运动的对称性问题 简谐运动的四个二 两种特性对称性和周期性 两类图像 运动示意图和简谐运动图像两组物理量 位移力加速度势能 速度动能， 两个定律牛顿第二定律和能量守恒定律 1. 用运动示意图和简谐运动图像分析运动学量的对称性和周期性 例题1. 如图1所示，一质点在平衡位置O 点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O 出发向最大位移A 处运动过程中经0.15s 第一次通过M 点，再经0.1s 第2次通过M 点。则此后还要经多长时间第3次通过M 点，该质点振动的频率为多大？ 图1 解析：由于质点从M →A 和从A →M 的时间是对称的，结合题设条件可知M →A 所需时间为0.05s ，所以质点从平衡位置O →A 的时间为 ，又因为 ，所以质点的振动周期为T ＝ 0.8s ，频率。 根据时间的对称性可知M →O 与O →M 所需时间相等为0.15s ，所以质点第3次通过M 点所需时间为 例题2. 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是…（ ） A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍 B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于2T 的整数倍 C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等 D ．若Δt ＝2 T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置． 对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错．
《简谐运动的回复力和能量》教学案 北京 蔡雨翔 2013.04 教学目标： 1．掌握简谐运动回复力的特征。 2．对水平的弹簧振子，能定量地说明弹性势能与动能的转化。 教学过程： 一、简谐运动的回复力 在已学的知识当中，我们知道不同的运动受的力也是不同的，例如：物体静止或匀速直线运动，所受合力为零；物体匀变速直线运动，所受合力为大小和方向都不变的恒力；物体匀速圆周运动，所受合力大小不变，方向时刻都在改变，但方向总指向圆心。那么物体简谐运动时，所受合力有何特点呢 ？ 当把弹簧振子从它静止的位置O 拉开一小段距离到A 再放开后，它会在A －O －B 之间振动。为什么会振动？ 物体做机械振动时，一定受到指向中心位置的力，这个力的作用总能使物体回到中心位置，我们把这个 力叫做简谐运动的回复力。 1、定义：受到总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力 2、方向：始终指向平衡位置 3、特点：回复力是根据力的效果命名的，不是什么新的性质的力， 4、来源：振动方向的合力，可以是重力，弹力，摩擦力，还可以是几个力的合力或某个力的分力 ，对于水平方向的弹簧振子，回复力就是弹簧的弹力。 振子由于惯性而离开平衡位置，当振子离开平衡位置后，振子所受的回复力总是使振子回到平衡位置，这样不断地进行下去就形成了振动。振动的平衡位置O 也可以说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。 5．回复力与位移关系 弹簧振子的位移总是相对于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，位移可以用振子的位置坐标x 来表示，方向始终从平衡位置指向振子（外侧）。回复力的方向始终指向平衡位置，因而回复力的方向与振子的位移方向始终相反。对于水平方向的弹簧振子，回复力就是弹簧的弹力。在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子的回复力F 跟振子偏离平衡位置的位移x 成正比，方向跟位移的方向总是相反。 二、简谐运动的动力学特征： F=-kx 式中F 为回复力，x 为偏离平衡位置的位移，k 是劲度系数，负号表示回复力与位移的方向总相反。 大量理论研究表明：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 做简谐运动的质点，回复力总满足F=-kx 的形式。式中k 是比例常数。这就是简谐运动的动力学特征。 这也是判断物体是否做简谐运动的方法。
第9章 振动学基础 复习题 1.已知质点的振动方程为)cos( ?ω+=t A x ，当时间4 T t =时 (T 为周期)，质点的振动速度为: （A ）?ωsin A v -= （B ）?ωsin A v = （C ）?ωcos A v = （D ）?ωcos A v -= 2．两个分振动的位相差为2π时，合振动的振幅是： A.A 1+A 2; B.| A 1-A 2| C.在.A 1+A 2和| A 1-A 2|之间 D.无法确定 3．一个做简谐运动的物体，在水平方向运动，振幅为8cm ，周期为0.50s 。t =0时，物体位于离平衡位置4cm 处向正方向运动，则简谐运动方程为 . 4.一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 )3 2cos(10 42 π π+ ?=-t x m 。从t = 0时刻起， 到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 . 5．一个简谐振动在t=0时位于离平衡位置6cm 处，速度v =0，振动的周期为2s ，则简谐振动的振动方程为 . 6.一质点作谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 . 7.一个质量为0.20kg 的物体作简谐振动，其振动方程为)2 5cos(6.0π -=t x m ，当振动动 能和势能相等时振动物体的位置在 A ．3.0±m B ．35.0± m C ．42.0±m D ．0 8．某质点参与)4 3cos(41π π+ =t x cm 和)4 3cos(32π π- =t x cm 两个同方向振动的简谐 振动，其合振动的振幅为 9. 某质点参与)2 2cos(101π π+ =t x cm 和)2 2cos(41π π- =t x cm 两个同方向振动的简谐 运动，其合振动的振幅为 ; 10．一个作简谐振动的物体的振动方程为cm t s )3 cos(12π π-=,当此物体由cm s 12-=处 回到平衡位置所需要的最短时间为 。 11.一个质点在一个使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作简谐运动？ 12.简谐振动的周期由什么确定？与初始条件有关吗？ 14. 两个同方向同频率的简谐振动合成后合振动的振幅由哪些因素决定？ 15.两个同方向不同频率的简谐振动合成后合振动是否为简谐振动？ 教材习题 P/223: 9-1，9-2，9-3，9-4 9-10，9-12，9-18
第三节简谐运动的回复力和能量 教学目标： （一）知识与技能 1、理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律。 2、掌握简谐运动回复力的特征。 3、对水平的弹簧振子，能定量地说明弹性势能与动能的转化。 （二）过程与方法 1、通过对弹簧振子所做简谐运动的分析，得到有关简谐运动的一般规律性的结论，使学生知道从个别到一般的思维方法。 2、分析弹簧振子振动过程中能量的转化情况，提高学生分析和解决问题的能力。 （三）情感、态度与价值观 通过物体做简谐运动时的回复力和惯性之间关系的教学，使学生认识到回复力和惯性是矛盾的两个对立面，正是这一对立面能够使物体做简谐运动。 教学重点： 1、简谐运动的回复力特征及相关物理量的变化规律。 2、对简谐运动中能量转化和守恒的具体分析。 教学难点： 1、物体做简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度等变化规律的分析总结。 2、关于简谐运动中能量的转化。 教学方法: 实验演示、讨论与归纳、推导与列表对比、多媒体模拟展示 教学用具： CAI课件、水平弹簧振子 教学过程： （一）引入新课教师：前面两节课我们从运动学的角度研究了简谐运动的规律，不涉及它所受的力。 我们已知道：物体静止或匀速直线运动，所受合力为零；物体匀变速直线运
动，所受合力为大小和方向都不变的恒力；物体匀速圆周运动，所受合力大小不变，方向总指向圆心。那么物体简谐运动时，所受合力有何特点呢？ 这节课我们就来学习简谐运动的动力学特征。 （二）新课教学 1、简谐运动的回复力 （1）振动形成的原因（以水平弹簧振子为例） 问题：（如图所示）当把振子从它静止的位置O 拉开一小段距离到A 再放开后，它为什么会在A －O －A ＇之间振动呢？ 分析：物体做机械振动时，一定受到指向中心位置的力，这个力的作用总能使物体回到中心位置，这 个力叫回复力。回复力是根据力的效果命名的，对于水平方向的弹簧振子，它是弹力。 ①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。 回复力是根据力的作用效果命名的，不是什么新的性质的力，可以是重力、弹力或摩擦力，或几个力的合力，或某个力的分力等。 振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。 ②形成原因：振子离开平衡位置后，回复力的作用使振子回到平衡位置，振子的惯性使振子离开平衡位置。 （2）简谐运动的力学特征 问题：弹簧振子振动时，回复力与位移是什么关系？ 分析：由振动过程的分析可知，振子的位移总是相对于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，位移可以用振子的位置坐标x 来表示，方向始终从平衡位置指向外侧。回复力的方向始终指向平衡位置，因而回复力的方向与振子的位移方向始终相反。 对水平方向的弹簧振子来说，回复力就是弹簧的弹力。在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子的回复力F 跟振子偏离平衡位置的位移x 成正比，即 F=-kx