自动控制原理（上）
习 题
3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。 考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。 解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为
/(1)()()111
K Ts K
s Kbs T Kb s Ts +Φ==
+++
+ 根据输入信号写出输出函数表达式：
111
()()()()()11/()
K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++
对上式进行拉式反变换有
1
()(1)t T bK
y t K e
-
+=-
当0b >时，系统响应速度变慢；
当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。
3-2 设用
1
1
Ts +描述温度计特性。现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。 考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差)
解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为：
()1t T r y t T e -⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
其中r T 为假设的实际水温，由题意得到：
60
0.961T
e
-
=-
推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。
由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为：
lim ()0.1 1.864t e t T →∞
==
3-3 已知一阶系统的传递函数
()10/(0.21)G s s =+
今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。
解 一阶系统的调节时间s t 与时间常数成正比，则根据要求可知总的传递函数为
10
()(0.2/101)
s s Φ=
+
由图可知系统的闭环传递函数为
000(10()()1()0.211010110()
0.2
1
110H H
H
H
K G s K Y s R s K G s s K K K s s K ==
++++==Φ++）
比较系数有
101011011010H
H
K K K ⎧=⎪
+⎨⎪+=⎩ 解得00.9,10H K K ==
3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为
1.5()1012sin(1.6+53.1t y t e t -=-）
试求系统的超调量%σ，峰值时间p t ，上升时间r t 和调节时间s t 。 解
1.51.5()1012sin(1.6+53.1=10[1 1.2sin(1.6+53.1]
t t y t e t e t --=--）
）
该二阶系统的放大系数为10。且注意到放大系数并不改变系统参数及动态性能指标。 根据二阶系统的单位阶跃响应为
)n t ζωωβ-+
有
1/ 1.21.5
n ζωω⎧=⎪⎪
=⎨⎪⎪⎩
解得=0.6
=2.5
n ζω⎧⎨
⎩
因0=0.61ζ<<，故系统为欠阻尼二阶系统。根据动态性能指标公式有
超调量%100%9.48%e
πζσ-==
峰值时间 1.57s p t =
=
上升时间 1.11s r t =
=
调节时间 3.5
2.33(5%s n
t ζω==∆=）
3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为
()(0.21)
K
G s s s =
+
试求开环增益K 分别为10和20时系统的阻尼比ζ、无阻尼自振频率n ω、单位阶跃响应的超调量%σ 和峰值时间p t ，并讨论K 的大小对系统的动态性能的影响。 解 系统的闭环传递函数为
2
()0.2K
s s s K
Φ=
++
根据典型的二阶系统有ζ
，n ω=
故当10K =时，0.35,7.07rad/s n ζω==，由欠阻尼单位阶跃响应的性能指标计算公式有
%100%30.9%e πζσ-=⨯=
0.47s p t =
=
当20K =时，0.25,10rad/s n ζω==，由欠阻尼单位阶跃响应的性能指标计算公式有
%100%44.4%e πζσ-=⨯=
0.32s p t =
=
可以看出，随着开环增益K 的增大，系统的阻尼比减小，无阻尼自然频率增大，而对应的超调量增大，到达峰值的峰值时间减小。
3-6 系统的结构图和单位阶跃响应曲线如图3-53所示，试确定12K K 、和a 的值。
解 由图可知()2,0.8s,() 2.18,%9%p p y t y t σ∞==== 又系统的闭环传递函数为
212
222
1()2n n n
K K K s s as K s s ωζωωΦ==++++ 由终值定理有
12220
11
()lim ()()lim 2s s K K y s s R s s K s
s as K →→∞=Φ=⋅
⋅==++
根据欠阻尼单位阶跃响应性能指标计算公式有
%100%9%e πζσ-==
可反解0.6083ζ==
0.8s p t =
=
反解 4.95rad/s n ω=
=
则2
2124.5(rad/s),2 6.02rad/s n n K a ωζω====。
3-7 设系统的闭环传递函数为
222
()
()2n n n
Y s R s s s ωζωω=++ 1）试求0.1,1rad/s;n ζω==0.1,4rad/s;n ζω==0.1,12rad/s n ζω==时对应的单位阶跃响应的超调
量%σ和调节时间s t (取误差带5%∆=)。
2）试求0.5,4rad/s n ζω==时单位阶跃响应的超调量%σ和调节时间s t 。 3）讨论ζ和n ω与过渡过程性能指标的关系。
解 1）由系统的闭环传递函数可知，该系统为典型的二阶系统， 那么根据欠阻尼单位阶跃性能指标公式有
%100%e πζσ-=， 3.5
3.5
(5%s n
t ζωσ
=
=
∆=）
故当0.1,1rad/s n ζω==时
，%100%=72.92%e πζσ-=， 3.5
35s(5%s n
t ζω=
=∆=）
当0.1,4rad/s n ζω==时
，%100%=72.92%e
πζσ-=， 3.5
8.75s(5%s n t ζω==∆=） 当0.1,12rad/s n ζω==
时，%100%=72.92%e
πζσ-=， 3.5
2.92s(5%s n
t ζω=
=∆=） 2）当0.5,4rad/s n ζω==时
，%100%=16.30%e
πζσ-=， 3.5
1.75s(5%s n
t ζω=
=∆=）
3）通过上面的计算可以看出，系统单位阶跃响应的超调量只与阻尼比有关，并且，随着阻尼比的增加而减小，而调节时间与阻尼比和自然频率都有关，当阻尼比固定时，调节时间随自然频率的增加而减小，当自然频率固定时，调节时间随着阻尼比的增加而减小。
3-8 典型二阶系统单位阶跃响应超调量%30%σ=，峰值时间0.1s p t =，试求系统的开环传递函数。 解 根据欠阻尼单位阶跃性能指标公式有
%100%30%e πζσ-==
可反解0.3575ζ=
=，
0.1s p t =
=
可反解33.64rad/s n ω=
=
那么系统的开环传递函数为
2221132
(=2241132
n n G s s s s s ωζω=+++）
3-9 设二阶系统如图3-54所示，欲加负反馈使系统阻尼比由原来的ζ提高到ζ，且放大系数K 和自然频
率n ω保持不变，试确定()H s 。 解 由图可得系统的闭环传递函数为
22
22
()2()n
n n n
K s s s KH s ωζωωωΦ=+++ 根据题意可取1()H s K s = 此时，11
2
n KK ζζω=+可解得12()/n K K ζζω=- 故
2()()n
s
H s K ζζω-=
3-10 设系统结构如图3-55所示。如果要求系统阶跃响应的超调量等于20%，峰值时间等于1s ，试确定1K
和t K 的值，并计算此时调节时间s t 。
图 3-56 题3-11图
解 由图可得系统的闭环传递函数为
1
2
11
()(1)t K s s K K s K Φ=
+++
则
2
111,2t
n n
K K K ωζω+==
根据已知条件有
%100%20%e σ-==
可反解0.456ζ=
=，
1s p t =
=
可反解 3.538rad/s n ω=
=
故11
21
12.52,0.178n t K K K ωζ-=== 进而调节时间 3.5
2.169(5%s n
t ζω==∆=）
3-11 已知某控制系统如图3-56所示，要求该系统的单位阶跃响应()y t 具有超调量%15%σ=、峰值时间
0.8s p t =，试确定前置放大器的增益K 及内反馈系数t K 之值。
解 由图可得系统的闭环传递函数为
2
25()(125)25t K
s s K s K
Φ=
+++
则
2
125/25,2t
n n
K K ωζω+==
根据已知条件有
%100%15%e σ-==
可反解0.517ζ=
=，
0.8s p t =
=
可反解 4.588rad/s n ω=
=
故21
0.842,0.1525n t K K ωζ-==
= 进而调节时间 3.5
1.476(5%s n
t ζω==∆=）
3-12 设单位反馈系统开环传递函数为
(1)
()(1)
d K T s G s s s +=
+
式中K 为开环增益。已知系统在单位斜坡输入时的稳态误差()0.1rad,0.6ss d e ζ∞==，确定K 与d T 值，并估算系统在单位阶跃输入下的各项性能指标。
解 系统在单位斜坡输入时的稳态误差()1/ss e K ∞=，故10K =。 当0d T =时，系统的闭环传递函数为2()K
s s s K
Φ=
++
则可得13.16rad /s,0.1582n n
ωζω===
=
当0d T ≠时，由于0.6d ζ=，故2()
0.28s d d n
T ζζω-=
=
那么系统在单位阶跃输入下的各项性能指标分别为
超调量%100%9.48%e
πζσ-==
峰值时间
1.24s p t =
=
上升时间
0.88s r t =
调节时间 3.5
1.85s(5%s n
t ζω=
=∆=）
3-13 试用劳斯稳定判据确定具有下列闭环特征方程式的系统的稳定性。 1)(1)(21)(41)200s s s ++++= 2)4328181650s s s s ++++=
3)543263210s s s s s +++++= 4)54322244825500s s s s s +++--= 解
1）系统闭环特征方程为328147210s s s +++=，列出劳斯表，劳斯表第一列系数符号改变两次，系统有两个正实部根，系统不稳定；
2）列出劳斯表，劳斯表第一列系数全为正，系统稳定；
3）列出劳斯表，劳斯表第一列系数符号改变两次，系统有两个正实部根，系统不稳定； 4）方程存在共轭虚根，系统不稳定。
3-14 设单位反馈系统开环传递函数分别为
1) ()/(1)(2)G s K s s s =++ 2) 1
1()/(1)(1)36
G s K s s s =++
3) 2
()(1)/(24)G s K s s s =++ 试确定使系统稳定的K 值范围。 解
1）列出系统闭环传递函数3
2
()32D s s s s K =+++，根据劳斯判据解得06K <<； 2）列出系统闭环传递函数32
11()182
D s s s s K =
+++，根据劳斯判据解得09K <<； 3）列出系统闭环传递函数3
2
()24D s s s Ks K =+++，根据劳斯判据解得0K >。
3-15 系统结构图如图3-57所示。试就123123123,2,23T T T T T T T T T ======,三种情况求使系统稳定的
临界开环增益值。
解 据系统结构图得系统闭环特征方程为
32
123121323123()()()1D s TT T s TT TT T T s T T T s K =++++++++
分别就123123123,2,23T T T T T T T T T ======三种情况分别代入闭环特征方程，列出劳斯表 当123T T T ==时，使系统临界稳定的开环增益值8K = 当1232T T T ==时，使系统临界稳定的开环增益值8K = 当12323T T T ==时，使系统临界稳定的开环增益值10K =
3-16 试分析如图3-58示系统的稳定性，其中增益0K >。
解 根据系统结构图确定系统的闭环特征方程式3
()(1)D s s K s K =+--，从闭环特征方程中明显看出缺少
2s ，因此系统不稳定。注意在分析系统稳定性时， 开环传递函数具有相同的零点与极点，此时相同的零点
与极点不能对消，否则可能得到错误的结论。
3-17 设某系统如图3-59所示。若系统以3rad /s n ω=的频率作等幅振荡，试确定振荡时参数K 与a 之值。 解 系统处于临界稳定状态，闭环系统必有一对纯虚根
1,23n j j λω=±=±
图3-58
题3-16
图
对应在劳斯表中必然表现出某一行的第一列元素或该行全部元素为零的情况。系统闭环特征方程为
32()(2)1D s s as K s K =+++++
根据劳斯表可列1
20K K a
++-
= ① 根据劳斯判据的特殊情况的解决方法构造辅助方程210as K ++=
解得3s j =±=± ② 联立式①、②可解得87,9
K a ==
3-18 已知单位反馈系统开环传递函数()/(0.11)(0.251)G s K s s s =++。 1) 使系统稳定的K 值范围。
2) 若要求闭环系统的特征根全部位于垂线1s =-以左，试确定参数K 的取值范围。 解 1）求得该系统的特征方程320.0250.350s s s K +++= 要使系统稳定，根据赫尔维兹判据，应有
00.350.025K K >⎧
⎨
>⎩
即014K <<（也可根据劳斯稳定判据得出）
2）将1s z =-代入系统特征方程得，320.0250.2750.3750.6750z z z K +++-=
根据题意，要使闭环系统全部特征根都位于1s =-以左，即位于z 的左平面，根据劳斯-赫尔维兹稳定判据有
0.67500.3750.2750.025(0.675)K K ->⎧
⎨
⨯>-⎩
即0.675 4.8K <<
3-19 已知单位负反馈系统的开环传递函数为(1)
()(1)(12)
K s G s s Ts s +=++，确定使闭环系统稳定的K T 、的取
值范围。
解 系统特征方程为3
2
()2(2)(1)0D s Ts T s K s K =+++++= 根据劳斯-赫尔维兹稳定判据可得
2020(2)(1)2020T T T K TK T K >⎧
⎪+>⎪⎪
⎨++->⎪+⎪
>⎪⎩
因此可得2202
T T K T >⎧⎪
⎨+<<⎪⎩-
3-20 已知单位反馈系统开环传递函数*32
()1)/238G s K s s s s =++++（，试确定系统的临界稳定时的参数
*K 临值和系统的等幅振荡频率n ω。
解 系统处于临界稳定状态，闭环系统必有一对纯虚根1,2n s j ω=±
对应在劳斯表中必然表现出某一行的第一列元素或该行全部元素为零的情况。系统闭环特征方程为
32**()2(3)80D s s s K s K =+++++=
根据劳斯表的性质可得**
8302
K K ++-=，解得*2K =临
构造辅助方程22100s +=
，解得1,2n s j ω=±=±
n ω=
3-21 已知单位反馈系统开环传递函数如下 1) ()50/[(0.11)(21)]G s s s =++ 2) 2
()/[(4200)]G s K s s s =++
3) 2
2
()10(21)(41)/[(210)]G s s s s s s =++++
试求位置误差系数p K 、速度误差系数v K 、加速度误差系数a K 。 解 根据定义，
lim ()()p s K G s H s →=
lim ()()v s K s G s H s →=⋅
20
lim ()()a s K s G s H s →=⋅
现已知，单位反馈系统的()1H s =，便可由定义及给定的()G s ，求得p v a K K K 、、。 1）()50/[(0.11)(21)]G s s s =++，此系统为50K =的0型系统，查表即可得：
5000p v a K K K K ====、、
2）2
()/[(4200)]G s K s s s =++，此系统不是标准的系统形式，故有定义求解：
2
0lim ()()lim
(4200)
p s s K
K G s H s s s s →→===∞++
20
lim ()()lim 200
(4200)v s s K K
K s G s H s s s s s →→=⋅=⋅
=
++
222
lim ()()lim 0(4200)
a s s K
K s G s H s s s s s →→=⋅=⋅
=++ 3）22
()10(21)(41)/[(210)]G s s s s s s =++++，同理可由定义得
,1p v a K K K ==∞=
3-22 设控制系统如图3-60，其中干扰信号()1()n t t =，可否通过选择某一合适的1K 值，使系统在扰动作用下的稳态误差0.1ssn e =-。
解 根据干扰作用下稳态误差的定义计算，并代入0.1ssn e =-，
20
12011
()()
lim ()lim ()
1()()()
10
1
(0.11)(0.21)(0.51)lim 101(0.11)(0.21)(0.51)10ssn n s s s G s H s e sE s s
N s G s G s H s s s s s K s
s s s K →→→-==+-
+++=⋅+
+++=-
解得1100K =
3-23 已知系统如图3-61所示 1）当50K =时求系统的稳态误差。 2）当10K =时，其结果如何？
3）在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/s ，对结果有什么影响？在扰动作用点之后引入积分环节1/s ，结果又如何？
解 给定输入下的稳态误差有：
R
15
515
ssr e K K =
=++
给定干扰作用下的稳态误差有：
20
12()()
lim ()lim ()
1()()()
15ssn n s s G s H s e sE s s
N s G s G s H s K
→→-==+=-
+
因此系统误差为：4
5ss ssr ssn e e e K
=+=+ 1）50K =时，455
ss e = 2）10K =时，415
ss e =
结论：扰动作用点与误差之间的前向通道传递函数中的静态增益越大，稳态误差越小。 3）分别在扰动作用点之前和扰动作用点之后加入积分环节
1s
，同理用上述方法计算可得到相应的结论，即，扰动作用点之前()G s 中加入一个积分环节，可以消除给定输入和扰动引起的稳态误差；扰动作用点之后
()G s 中加入一个积分环节，能够消除给定输入引起的稳态误差，但不能消除扰动引起的稳态误差。
3-24 已知单位反馈系统的开环传递函数为： 1）100
()(0.11)(5)
G s s s =
++
2）50
()(0.11)(5)
G s s s s =
++
试求输入分别为()2r t t =和2
()22r t t t =++时系统的稳态误差。 解 1）10020
()(0.11)(5)(0.11)(0.21)
G s s s s s =
=
++++，故此系统为0型系统，且20K =。 根据线性叠加原理，该系统在输入为()2r t t =时的稳态误差1ss e =∞； 在输入2
()22r t t t =++信号作用下，系统的稳态误差21
221ss e K
=⋅+⋅∞+∞=∞+ 2）5010
()(0.11)(5)(0.11)(0.21)
G s s s s s s s =
=
++++，故此系统为1型系统，且10K =。 查表知，当输入()2r t t =时，系统的稳态误差为11
20.2ss e K
=⋅
= 当输入为2
()22r t t t =++时，系统的稳态误差为2200.2ss e =⋅++∞=∞
3-25 考虑一个单位负反馈三阶系统，其开环传递函数()G s 的分子为常数，要求：①在()r t t =作用下的稳态误差为1.2；②三阶系统的一对闭环主导极点为1,211s j =-±；试求同时满足上述条件的系统开环传递函
数()G s 。
解 列出系统开环传递函数的基本形式2
()(11)(11)(22)K K
G s s s j s j s s s ==+-++++ 在输入()r t t =信号作用下，0
lim ()2v s K K sG s →==
，即查表知，251.23
ss e K K ==⇒= 因此，25/3
()(22)
G s s s s =++
3-26 设速度控制系统如图3-62所示。为消除系统的稳态误差，使斜坡输入通过比例-微分元件再进入系统。 1) 试计算该系统总的稳态误差。
2)适当选择d K 使系统总的稳态误差为零()e r y =-。
解 1）令扰动()0n t =，系统的实际输出量为(1)
()()(1)d K K s Y s R s s Ts K
+=++
系统误差为(1)()()()()(1)d s Ts KK s
E s R s Y s R s s Ts K
+-=-=
++
单位斜坡信号时，系统的稳态误差为
20
(1)11lim ()lim (1)d d
ssr r s s s Ts KK s KK e sE s s s Ts K K s →→+--==⋅
⋅=
++ 令输入()0r t =，扰动作用下系统的输出量为(1)
()()(1)1
n n K s Ts Y s N s s Ts K T s +=⋅⋅+++
此时系统误差为(1)()()()(1)1
n n n K s Ts E s Y s s s Ts K T s -+=-=
⋅⋅N +++
单位斜坡扰动作用时，系统的稳态误差为
2
20
(1)1
lim ()lim (1)()n n ssn n s s n K s Ts K e sE s s K T s Ts s K s
→→-+==⋅
⋅=-+++ 因此，系统的总误差为1d n
ss ssr ssn KK K e e e K
--=+=
2）令0ss e =，即可解得1n
d K K K
-=。
3-27 已知二阶系统的传递函数为
222
()
()()2n n n
Y s s R s s s ωζωωΦ==++ 分别取 2.5,00.20.40.60.8 1.25n ωζ==、、、、、，用MATLAB 绘制系统单位阶跃响应曲线，并进行分析。
学习利用Matlab 分析阻尼比对二阶系统阶跃响应及动态性能的影响 解 图中所示，系统分别处于零阻尼，欠阻尼和过阻尼的状态
3-28 已知系统的闭环传递函数为
1222104
4
();
()44
44
s s s s s s s +Φ=
Φ=
++++
用MATLAB 在同一坐标中作出两个系统的单位阶跃响应曲线，求其超调量%σ、峰值时间p t 、调节时间s t ，并进行比较。
学习利用Matlab 分析额外微分环节对二阶系统阶跃响应及动态性能的影响 解
3-29 已知两个闭环系统传递函数分别为
122
20.64
4.20.64
();
()0.80.64
( 4.2)(0.80.64)
s s s s s s s ⨯Φ=
Φ=
+++++
用MATLAB 在同一坐标上绘制它们的阶跃响应曲线，并比较系统的超调量%σ、上升时间r t 、调节时间s t ，
讨论极点 4.2-的影响。
学习利用Matlab 对高阶系统进行时域分析 解
3-1 设系统的微分方程式如下： （1） )(2)(2.0t r t c =& （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++&&& 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。已知全 部初始条件为零。 解： （1） 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数s s R s C s 10 )()()(== Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010 )(≥=t t g 单位阶跃响应c(t) 2 /10)(s s C = 010)(≥=t t t c （2）)()()124.004.0(2 s R s C s s =++ 1 24.004.0) ()(2 ++=s s s R s C 闭环传递函数1 24.004.01 )()()(2 ++== s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01 )(2 ++= s s s C t e t g t 4sin 3 25)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16 )3(6 1]16)3[(25)(22+++-=++= s s s s s s C t e t e t c t t 4sin 4 3 4cos 1)(33----= 3-2 温度计的传递函数为1 1 +Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的 98%的数值。若加热容器使水温按10oC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？ 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 1 1 )(+= ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 Ts s s s G 1 )(1)()(=Φ-Φ= ? ? ?==11v T K 用静态误差系数法，当t t r ?=10)( 时，C T K e ss ?=== 5.21010 。
3.1.已知系统的单位阶跃响应为 )0(2.1.0)(16≥-+=--t e e t c t t 0021 试求：（1）系统的闭环传递函数Φ(s)=？ (2) 阻尼比ζ=？无自然振荡频率ωn =？ 解：（1）由c (t )得系统的单位脉冲响应为t t e e t g 10601212)(--+-= 600 70600 6011210112 )]([)(2 ++=+-+==Φs s s s t g L s （2）与标准2 22 2)(n n n s s ωζωω++=Φ对比得： 5.24600==n ω，429.1600 270=?= ζ 3.2.设图3.36 (a )所示系统的单位阶跃响应如图3.36 (b )所示。试确定系统参数,1K 2 K 和a 。 (a) (b) 图3.36 习题3.2图 解：系统的传递函数为 2 221221211 2) (1) ()(n n n s K K as s K K K a s s K a s s K s W ωζωω++=++=++ += 又由图可知：超调量 431 33 p M -= = 峰值时间 ()0.1p t s =
代入得 ????? ????? ???==-==--2 2112 1.0131 2K K e K n n ζωπωζζπ 解得： 213ln ζζπ -=；33.0≈ζ，3.331102 ≈-= ζπωn ，89.11082 1≈=n K ω， 98.213.3333.022≈??≈=n a ζω，32==K K 。 3.3. 给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量p σ5≤%，调节时间 s t 3n ζωπζ ω>-2 1n 由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示：
第三章 例3-1 系统的结构图如图3-1所示。 已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间t s 减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数K h 和K 0的数值。 解 首先求出系统的传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件 对照。 一阶系统的过渡过程时间t s 与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为 ) 110/2.0(10 )(+= s s φ 即 H H K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()()(00++=+= )()11012.0(101100s s K K K H H φ=+++= 比较系数得 ??? ??=+=+10 10110101100 H H K K K 解之得 9.0=H K 、100=K 解毕。 例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为： t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0） 已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。 解 因为 22111)(s s s s s R +=+= )10()1(10109.09.01)]([)(22 ++=+-+= =s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为
1 1.01 )()()(+== s s R s C s φ 解毕。 例3-3 设控制系统如图3-2所示。 试分析参数b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。 解 由图得闭环传递函数为 1 )()(++= s bK T K s φ 系统是一阶的。动态性能指标为 ) (3)(2.2)(69.0bK T t bK T t bK T t s r d +=+=+= 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。 解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1， 而是3。系统模型为 22 223)(n n n s s s ω ξωωφ++= 然后由响应的%p M 、p t 及相应公式，即可换算出ξ、n ω。 %333 3 4)()()(%=-=∞∞-=c c t c M p p 1.0=p t （s ） 1+Ts K bs 4 3 0 0.1 t 图3-34 二阶控制系统的单位阶跃 响应 h (t )
例3-1 系统的结构图如图3-1所示。 已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间t s 减小为原来的倍，并保证总放大系数不变。试确定参数K h 和K 0的数值。 解 首先求出系统的传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件 对照。 一阶系统的过渡过程时间t s 与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为 ) 110/2.0(10 )(+= s s φ 即 H H K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()()(00++=+= )()11012.0(101100s s K K K H H φ=+++= 比较系数得 ??? ??=+=+10 10110101100 H H K K K 解之得 9.0=H K 、100=K 解毕。 例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为： t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0） 已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。 解 因为
22111)(s s s s s R +=+= )10()1(10109.09.01)]([)(22 ++=+-+= =s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为 1 1.01)()()(+== s s R s C s φ 解毕。 例3-3 设控制系统如图3-2所示。 试分析参数b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。 解 由图得闭环传递函数为 1 )()(++= s bK T K s φ 系统是一阶的。动态性能指标为 ) (3)(2.2)(69.0bK T t bK T t bK T t s r d +=+=+= 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。 解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1， 4 3 0 t 图3-34 二阶控制系统的单位阶跃 h (t )
3-1 设系统的微分方程式如下： 1) 0.2c(t) 2r(t) 1 温度计的传递函数为 1 ，用其测量容器内的水温， 1min 才能显示出该温度的 Ts 1 98%的数值。 若加热容器使水温按 10oC/min 的速度匀速上升， 问温度计的稳态指示 误差有多 大？ 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 由一阶系统阶跃响应特性可知： c(4T) 98 o o ，因此有 4T 1min ，得出 T 0.25 min 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 (s) 1 K 1T G(s) 1 (s) Ts v 1 用静态误差系数法，当 r(t) 10 t 时， e ss 10 10T 2.5 C 。 K 2) 0.04c(t) 0.24c(t) c(t) r(t) 试求系统闭环传递函数Φ 部初始条件为零。 解： (s), 以及系统的单位脉冲响应 g(t) 和单位阶跃响应 c(t) 。已知全 1) 因为 0.2sC(s) 2R(s) 闭环传递函数 (s) C R((s s )) 1s 0 单位脉冲响应： C(s) 10/s g(t) 10 单位阶跃响应 c(t) C(s) 10/ s 2 c(t) 10t t0 2) (0.04s 2 0.24s 1)C(s) R(s) C(s) R(s) 2 0.04s 2 0.24s 1 闭环传递函数 (s) C R ( (s s )) 1 2 0.04s 2 0.24s 单位脉冲响应： C(s) 1 2 0.04s 2 0.24s 1 g(t) 25 e 3 3t sin4t 单位阶跃响应 h(t) C(s) 25 s[(s 3)2 16] 1 s (s 3) 2 16 s6 2 c(t) 1 e 3t cos4t 3 e 4 3t sin4t 3-2 (s) 1 Ts 1
第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案 3-1 已知系统脉冲响应t 25.1e 0125.0)t (k -=，试求系统闭环传递函数)s (Φ。 解 [])25.1s /(0125.0)t (k L )s (+==Φ 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程)t (r )t (r )t (c )t (c T +τ=+? ? 近似描述，其中，1)T (0<τ-<。试求系统的调节时间s t 。 解 设单位阶跃输入s s R 1)(= 当初始条件为0时有： 1 Ts 1 s )s (R )s (C ++τ= 1Ts T s 1s 11Ts 1s )s (C +τ--=?++τ= ∴ T /t e T T 1)t (h )t (c -τ--== T )0(h τ=，1)(h =∞，20T T )]0(h )(h [05.0τ -=-∞=? 求 s t T /t s s e T T 1)0(h )]0(h )(h [95.0)t (h -τ-- =+-∞= 3T 05.ln0T t s ==∴ 3-2 一阶系统结构如图所示。要求单位阶跃输入 时调节时间4.0t s ≤s （误差带为5%），稳态 输出为2，试确定参数21k ,k 的值。 解 由结构图写出闭环系统传递函数 1k k s k 1k k s k s k k 1s k )s (212211211 +=+=+ =Φ 闭环增益2k 1 k 2 == Φ， 得：5.0k 2= 令调节时间4.0k k 3 T 3t 2 1s ≤= =，得：15k 1≥。
3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 下图（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。 解 （1）对（a ）系统： 1 s 101 1s 10K )s (G a += += ， 时间常数 10T = 632.0)T (h = （a ）系统达到稳态温度值的63.2%需要10秒； 对（b ）系统：1s 10110 101100 101s 10100 )s (b +=+=Φ， 时间常数 10110T = 632.0)T (h = （b ）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099秒。 （2）对（a ）系统： 1) s (N ) s (C )s (G n == 1.0)t (n =时，该扰动影响将一直保持。 对（b ）系统： 101s 101 s 101 s 1010011) s (N ) s (C )s (n ++=++ == Φ 1.0)t (n =时，最终扰动影响为001.0101 1 1.0≈? ，比开环控制好得多。 3-5 给定典型二阶系统的设计指标：超调量0<%32.4%≤σ，调节时间 s 5.0t s <，峰值时间s 1t p <，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特 性。 解 依题 %5%≤σ， )45(707.0?≤≥?βξ； (1) 若)t (1)t (r =，0)t (n =两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需 多长时间？(2) 当有阶跃扰动1.0)t (n =时，求扰动对两种系统的温度的影响。
自动控制原理习题分析第三章3-1(1) 以知单位反馈系统的开环传递函数，试用捞斯判据判断系统的稳定性。 50 ()(1)(5) G s s s s = ++ 自动控制原理习题分析第三章3-1(4 = ++ 3已知位反系的函,用思判据判系的定性.4 G(s)s (s 2)(s 3)
自动控制原理习题分析第三章3-2(3) +++++= 5432已知系特征方程,用思判据判定系定性.若系不定,指出右半s平面特征根的目. s s 3s 9s 16s 100 自动控制原理习题分析第三章3-2(4) ++++= 543已知系特征方程,用思判据判定系定性.若系不定,指出右半s平面特征根的目.s 3s s 2s 100
自动控制原理习题分析第三章3-3(2) ++++= 432已知系特征方程,用思判据判定使系定取值范.s Ks s s 10 自动控制原理习题分析第三章3-6 ;==+++ 32 已知位反系的函,用思判据判系是否定和是否具有σ1的定裕度..4 G(s)2s 10s 13s 5
=--+-+-+=+-=∴= 323 2 (2).用s z 1代入特征方程:2(z 1)10(z 1)13(z 1)50 展得新特征方程:2z 4z z 0;缺常,且一次方系,系不具σ1定裕度. 自动控制原理习题分析第三章3-8 ?= n s 已知系如.K 8,求:(1)系的特征量和ω;(2)系的性能指σ%和t . 自动控制原理习题分析第三章3-9 ?-= s 38系,若加入速度反,求使0.5, (1)τ的取值;(2)σ%和t .
??-+= =+++++== ++++= ==+++++++=+==??=?==?= ' 2 n n 1 1s(0.5s 1)局部:Φ(s)1 s(0.5s 1)τs 1τs s(0.5s 1) 系88/(1τ) :G(s)函s(0.5s 1)τs s(0.5s/(1τ)1) G(s)816 Φ(s)1G(s)s(0.5s 1)τs 8s 2(1τ)s 16 ω4不;2(1τ)2ω20.544τ1 此:σ%e 100% 1??≈ =≈=s s n n 6.3% 311t 1.5秒,或t ln 1.57秒 ωω 自动控制原理习题分析第三章3-11(1) += +++-++-=--=--=--=-±-=-?∴≈ ++- 7.6(s 2.1) Φ(s)(s 8)(s 2)(s 0.5j0.866)(s 0.5j0.866) 零s 2.1和极s 2很靠近(构成偶极子)可忽略其影.又另一极s 8的模(8)比共复极s 0.5j0.866的模(1)大8倍,故s 8非主极, 可忽略其性能影.7.6 2.1 Φ(s)2(s 8)(s 0.5 j0.866)(s ???++?≈====?++++≈=≈== n 22 s s n n 0.5j0.866)7.6 2.10.9975;主极ω1,0.5,σ%16.3%,82(s s 1)s s 1 311t 6秒,或t ln 6.28秒(Δ0.05) ωω 自动控制原理习题分析第三章3-11(1
3-1 （1） )(2)(2.0t r t c = （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。已知全 部初始条件为零。 解： （1） 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数s s R s C s 10 )()()(== Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010 )(≥=t t g 单位阶跃响应c(t) 2 /10)(s s C = 010)(≥=t t t c （2）)()()124.004.0(2 s R s C s s =++ 1 24.004.0) ()(2 ++=s s s R s C 闭环传递函数1 24.004.01 )()()(2 ++== s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01 )(2 ++= s s s C t e t g t 4sin 3 25)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16 )3(6 1]16)3[(25)(22+++-=++= s s s s s s C t e t e t c t t 4sin 4 3 4cos 1)(33----= 3-2 温度计的传递函数为1 1 +Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的 98%的数值。若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？ 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 1 1 )(+= ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 Ts s s s G 1 )(1)()(=Φ-Φ= ⎩ ⎨⎧==11v T K 用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T K e ss ︒=== 5.21010 。
3-1 设系统特征方程式： 4322101000s s Ts s ++++= 试按稳定要求确定T 的取值范围。 解：利用劳斯稳定判据来判断系统的稳定性，列出劳斯列表如下： 43 2 10 1100 2105 100 (10250)/(5) 100 s T s s T s T T s --- 欲使系统稳定，须有 50 25102500 T T T ->??>? ->? 故当T>25时,系统是稳定的。 3-2 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为, 21(),t t t 和 时，系统的稳态误差(),()().ssp ssv ssa e e e ∞∞∞和 2210 7(1)8(0.51) (1)()(2)()(3)()(0.11)(0.51) (4)(22)(0.11) s s D s D s D s s s s s s s s s ++= = = ++++++ 解：（1）根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： ()(0.11)(0.51)100.050.6110D s sz s s s =+++=++= 由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。由G(s) 可知，系统是0型系统，且K=10，故系统在21(),t t t 和输入信号作用下的稳态误差分别为： 11 (),(),()111 ssp ssv ssa e e e K ∞= =∞=∞∞=∞+ (2)根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： 432()6101570D s s s s s =++++= 由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，且 2212032143450,/16.8a a a a a a a ?=-=>?>=以及，因此系统是稳定的。 227(1)(7/8)(1) ()(4)(22)s(0.25s+4)(0.5s 1) s s D s s s s s s ++= =+++++
第三章习题答案 名词解释 1．超调量:系统响应的最大值与稳态值之差除以稳态值。定义为 ) ()(max ∞∞-=c c c σ 2．开环传递函数中含有2个积分因子的系统称为II 型系统。 3．单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。 4．指响应达到并保持在终值5%内所需要的最短时间。 5. 稳态误差：反馈系统误差信号e(t) 的稳态分量(1分)，记作e ss (t)。 6．开环传递函数中不含有积分因子的系统。 7．上升时间:○ 1响应从终值10%上升到终值90%所需的时间；或○2响应从零第一次上升到终值所需的时间。 简答 1. 在实际控制系统中，总存在干扰信号。 1） 时域分析：干扰信号变化速率快，而微分器是对输入信号进行求导，因此干扰 信号通过微分器之后，会产生较大的输出； 2） 频域分析：干扰信号为高频信号，微分器具有较高的高频增益，因此干扰信号 易被放大。 这就是实际控制系统中较少使用纯微分器的原因。 2．系统稳定的充分条件为：劳斯阵列第一列所有元素不变号。若变号，则改变次数代表正 实部特征根的数目。 3．二阶临界阻尼系统特征根在负实轴上有两个相等的实根，其单位阶跃响应为单调递增曲 线，最后收敛到一个稳态值。 4. 闭环特征根严格位于s 左半平面；或具有负实部的闭环特征根。 5．欠阻尼状态下特征根为一对具有负实部的共轭复数，单位阶跃响应是一个振荡衰减的曲 线，最后收敛到一个稳态值。 6．阻尼小于-1的系统，特征根位于正实轴上，单位阶跃响应是一个单调发散的曲线。 7. 无阻尼状态下特征根为一对虚根，响应为等幅振荡过程，永不衰减。 8．图4(a)所示系统稳定，而图4(b)所示系统不稳定。原因是图4(b)所示系统的小球收到 干扰后将不能恢复到原来的平衡状态。 9．不能。原因是：两个一阶惯性环节串联后的极点为实极点；而二阶振荡环节的极点为复 数极点。 计算题 1. 解：r(t)=2t. v=1,系统为I 型系统 k v =2,
第三章 线性系统的时域分析与校正习题 及答案 3-1已知系统脉冲响应k(t) = 0.0125 e'1251,试求系统闭环传递函数①(s)。 解 ①(s) = L[k(t)]= 0.0125 /(s + 1.25) 3-2 一阶系统结构如图所示。要求单位阶跃输入 时调节时间t $ <0.4s (误差带为5%),稳态 输出为2,试确定参数k p k 2的值。 得：kr = 0.5 令调节时间t —命如，得：哄‘ 3-3给定典型二阶系统的设计指标：超调量0< Q%4.32% , 调节时间 t s <0.5s,峰值时间tpVls,试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特 性。 解 依题 b% <4.32% ・ => ^ > 0.707 (/7 < 45°)； tp = I ——V1, n J1-严％ > 3.14 综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图所示。 "釜 <0.5, n 孰 >7； 解由结构图写出闭环系统传递函数 闭环增益k® =丄=2,
(2) 若期望心速为60次/min,并突然接通起博器，问 为多少？瞬时最大心速多大？ 解 依题，系统传递函数为 K ①G)= —— 晋 =十各—=< s 2 , 1 s | K S ・+2g%S + 3； 0.05 0.05 将t = ls 代入二阶系统阶跃响应公式 h(t) = 1- 可得 h(l) = 1.000024 次/s = 60.00145 次/nin g = 0.5时，系统超调量o%=16.3%,最大心速为 h(Q = 1 + 0.163 = 1.163 次/s = 69.78 次/inin 解依题，系统传递函数为 3-5机器人控制系统结构如图所示，试确定 参数k 】,k ］值，使系统阶跃响应的峰值时间 ］砖十1卜一 t p =0.5s,超调量o% = 2%。 令g = 0.5可解出 K = 20 Is 钟后实际心速 _ P K - ① _ V0^05 討- 0.05x2% 3-4电了心脏起博器心律控制系统结构如图所示，苴中模仿心脏的传递函数相当 于一纯积分环节。 起博器 心脏 (1) 若^ = 0.5对应最佳响应，问起博器增益K 应取多大？ Sin(jl — Fco 」+
自动控制原理（上） 习 题 3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。 考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。 解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为 /(1)()()111 K Ts K s Kbs T Kb s Ts +Φ== +++ + 根据输入信号写出输出函数表达式： 111 ()()()()()11/() K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++ 对上式进行拉式反变换有 1 ()(1)t T bK y t K e - +=- 当0b >时，系统响应速度变慢； 当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。 3-2 设用 1 1 Ts +描述温度计特性。现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。 考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差) 解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为： ()1t T r y t T e -⎛ ⎫=- ⎪⎝⎭ 其中r T 为假设的实际水温，由题意得到： 60 0.961T e - =- 推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。 由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为： lim ()0.1 1.864t e t T →∞ == 3-3 已知一阶系统的传递函数 ()10/(0.21)G s s =+ 今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。