3-1
（1） )(2)(2.0t r t c
= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c
=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。已知全
部初始条件为零。 解：
（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =
闭环传递函数s
s R s C s 10
)()()(==
Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010
)(≥=t t g
单位阶跃响应c(t) 2
/10)(s s C = 010)(≥=t t t c
（2）)()()124.004.0(2
s R s C s s =++ 1
24.004.0)
()(2
++=s s s R s C 闭环传递函数1
24.004.01
)()()(2
++==
s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01
)(2
++=
s s s C t e t g t 4sin 3
25)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16
)3(6
1]16)3[(25)(22+++-=++=
s s s s s s C
t e t e t c t t 4sin 4
3
4cos 1)(33----=
3-2 温度计的传递函数为1
1
+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的
98%的数值。若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？
解法一 依题意，温度计闭环传递函数
1
1
)(+=
ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为
Ts s s s G 1
)(1)()(=Φ-Φ= ⎩
⎨⎧==11v T K
用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T K
e ss ︒===
5.21010
。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1
111)()(1)()()(+=+-=-==
ΦTs Ts
Ts s R s C s R s E s e C T s Ts Ts s
s R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.21010
1lim )()(lim 2
3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为
)1.536.1sin(5.1210)(2.1o t
t e
t c +-=-
试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。 解：)1sin(111)(22
βωζζζω+---
=-t e t c n t n
ζβarccos = 2
1/%ζπζσ--=e n
p t ωζπ
2
1-=
n
s t ζω5
.3=
6.01.53cos cos 0===βζ
%5.9%2
2
2
6.01/
6.06.01/6.01/
====------ππζπζσe e e
)(96.16
.112
s t n
p ==
-=
π
ωζπ
)(92.22
.15
.35
.3s t n
s ==
=
ζω 或：先根据c(t)求出系统传函，再得到特征参数，带入公式求解指标。
3-4 机器人控制系统结构图如图T3.1所示。试确定参数21,K K 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0=p t s ，超调量%2%=σ。
图T3.1 习题3-4 图
解 依题，系统传递函数为
2
22
12121211
2)1()1()1(1)
1()(n n n s s K K s K K s K s s s K K s s K s ωζωω++=+++=+++
+=ΦΦ 由 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-===--5.0102
.0212n p o
o t e ωζπσζπζ 联立求解得 ⎩⎨⎧==1078.0n ωζ
比较)(s Φ分母系数得
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-===146.0121001221K K K n n ζωω 3-5 设图T3.2（a ）所示系统的单位阶跃响应如图T3.2（b ）所示。试确定系统参数
,1K 2K 和a 。
图T3.2 习题3-5 图
解 由系统阶跃响应曲线有
⎪⎩⎪
⎨⎧=-===∞o
o o o
p t c 3.33)34(1.03)(σ
系统闭环传递函数为
2
2
2
2122
12)(n
n n s s K K as s K K s ωξωω++=++=Φ （1） 由 ⎪⎩⎪⎨⎧
===-=--o o o
o n
p e t 3.331.012
12
ζζπσωζπ 联立求解得 ⎩⎨⎧==28.3333.0n ωζ
由式（1）⎩⎨⎧====22
21108
2
1n n a K ζωω
另外 3lim 1
)(lim )(21
22100
==++=⋅
Φ=∞→→K K as s K K s s s c s s
3-6已知单位反馈随动系统如图T3.3所示，K=16s -1
,T=0.25s,试求： （1）特征参数ζ和n ω； （2）计算σ%和t s ;
（3）若要求σ%=16%，当T 不变时K 应当取何值？
图T3.3 习题3-6 图
【解】：（1）求出系统的闭环传递函数为：
T
K s T s T
K K
s Ts K s /1
/)(22++=
++=
Φ
因此有：
25.021
2/1),(825.0161======
-KT T s T K n n ωζω
（2） %44%100e %2
-1-
=⨯=ζ
ζπ
σ %)
2)((2825.044=∆=⨯=≈s t n s ζω
（3）为了使σ%=16%，由式%16%100e %2
-1-=⨯=ζζπ
σ可得5.0=ζ，当T 不变时，有： )(425.04)(425.05.021
212/11221--=⨯===⨯⨯===s T K s T T n n ωζζω
3-7 系统结构图如图T3.4所示。已知系统单位阶跃响应的超调量σ%3.16=%，峰值时间1=p t s 。
图T3.4 习题3-7 图
（1） 求系统的开环传递函数)(s G ； （2） 求系统的闭环传递函数)(s Φ；
（3） 根据已知的性能指标σ%、p t 确定系统参数K 及τ； （4） 计算等速输入s t t r )(5.1)(︒=时系统的稳态误差。
解 （1） )110(10)
1(101)1(10
)(++=++
+=ττs s K s s s s s K s G
（2） 2
2
22210)110(10)(1)()(n
n n s s K s s K
s G s G s ωζωωτ++=+++=+=Φ （3）由 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-===--113.16212ζωπσζζπn p o o o o t e 联立解出 ⎪⎩⎪⎨⎧===263.063.35.0τωζn 由（2） 18.1363.31022
===n K ω，得出 318.1=K
。
（4）
63.31
263.01018
.1311010)(lim 0
=+⨯=+=
=→τK s sG K s v
413.063
.35.1===
v ss
K A e
3-8 已知单位反馈系统的单位阶跃响应为
，求
（1）开环传递函数
； （2）s n %t σως； （3）在
作用下的稳态误差
。
3-9 已知系统结构图如图T3.5所示，
)
125.0)(11.0()(++=
s s s K
s G
试确定系统稳定时的增益K 的取值范围。
图T3.5 习题3-9 图
解：
3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为
)
22)(4()
1(7)(2++++=
s s s s s s G
试分别求出当输入信号t t t r ),(1)(=和2
t 时系统的稳态误差。
解 )22)(4()
1(7)(2++++=
s s s s s s G ⎩⎨⎧==1
7v K
由静态误差系数法
)(1)(t t r =时， 0=ss e
t t r =)(时， 14.17
8
===K A e ss
2)(t t r =时， ∞=ss e
3-11 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ()(0.11)(0.21)
K
G S s s s =
++，
若r(t) = 2t ＋2时，要求系统的稳态误差为0.25，试求K 应取何值。
3-12设系统结构图如图T3.6所示，
图T3.6 习题3-12 图
（1） 当025,0f K K ==时，求系统的动态性能指标%σ和s t ； （2） 若使系统ζ=0.5，单位速度误差0.1ss e =时，试确定0K 和f K 值。 （1）
%25.4%
1.75
ts σ== （5分） （2）0100,6f K K ==（5分）
3-13 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。 （1）01011422)(2
3
4
5
=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2
3
4
5
=+++++=s s s s s s D （3）022)(4
5
=--+=s s s s D
（4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D
解（1）1011422)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 εε
124- 10
S 6 S 0 10
第一列元素变号两次，有2个正根。
（2）483224123)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 12 32
S 4 3 24 48 S 3
3122434⨯-= 32348
3
16⨯-= 0
S 2
424316
4
12⨯-⨯= 48
S 121644812
0⨯-⨯= 0 辅助方程 124802s +=,
S 24 辅助方程求导：024=s
S 0 48
系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。 （3）022)(4
5
=--+=s s s s D
Routh ： S 5 1 0 -1
S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s S 3 8 0 辅助方程求导 083
=s
S 2 ε -2 S ε16
S 0 -2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224
=-s 可解出： ))()(1)(1(2224
j s j s s s s -+-+=-
))()(1)(1)(2(22)(4
5
j s j s s s s s s s s D -+-++=--+= （4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24 -25
S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s S 3 8 96 辅助方程求导 09683
=+s s
S 2 24 -50 S 338/3
S 0 -50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0504822
4=-+s s 可解出： )5)(5)(1)(1(2504822
4
j s j s s s s s -+-+=-+
)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=
3-14 某控制系统方块图如图T3.7所示，试确定使系统稳定的K 值范围。
图T3.7 习题3-14 图
解 由结构图，系统开环传递函数为：
)4()124()(232++++=s s s s s K s G ⎩⎨⎧==3
4
v K K k 系统型别开环增益
0244)(2
3
4
5
=+++++=K Ks Ks s s s s D Routh ： S 5 1 4 2K S 4 1 4K K
S 3 )1(4K -- K 1<⇒K
S 2 )
1(4)1615(K K K -- K 067.11516=>⇒
K
S )
1(41647322K K K --+- 933.0536.0<<⇒K
S 0 K 0>⇒K
∴使系统稳定的K 值范围是： 933.0536.0< 3-15 单位反馈系统的开环传递函数为 ) 5)(3()(++= s s s K s G 要求系统特征根的实部不大于1-，试确定开环增益的取值范围。 解 系统开环增益 15K K k =。特征方程为： 0158)(2 3 =+++=K s s s s D 做代换 1-'=s s 有： 0)8(25)1(15)1(8)1()(2323=-+'+'+'=+-'+-+-'='K s s s K s s s s D Routh ： S 3 1 2 S 2 5 K-8 S 5 18K - 18<⇒ K S 0 8-K 8>⇒ K 使系统稳定的开环增益范围为： 15 18 15158<= 3-16 单位反馈系统的开环传递函数为 ) 12)(1() 1()(+++= s Ts s s K s G 试确定使系统稳定的T 和K 的取值范围。 解 特征方程为： 0)1()2(2)(2 3 =+++++=K s K s T Ts s D Routh ： S 3 T 2 K +1 0>⇒T S 2 T +2 K 2->⇒T S T TK K +-+221 1 4 2-+ <⇒K T S 0 K 0>⇒ K 综合所得，使系统稳定的参数取值1 4 2-+<⇒K T ，k>0 3-17 船舶横摇镇定系统方块图如图T3.8所示，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。 图T3.8 习题3-17 图 （1） 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数 ) () (s M s N Θ； （2） 为保证N M 为单位阶跃时倾斜角θ的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求2K 、 1K 和3K 应满足的方程； （3） 取2K =1时，确定满足（2）中指标的1K 和3K 值。 解 （1） )5.01()5.02.0(5.01 2.05.012.05.0112.05 .0)()(213222 12322K K s K K s s s K K s s s K K s s s M s a N ++++=++++++++=Θ （2）令： 1.05.015 .0)()(1lim )() ()(lim )(2 100 ≤+=⋅⋅=⋅ =∞→→K K s M s s s s M s s M s N s N N s ΘΘθ 得 821≥K K 。 由 )() (s M s N Θ 有： ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧=+=+=5.025.02.05.013 23 1n n K K K K ωξω， 可得 21325.0125.02.0K K K K +=+ （3）12=K 时，81≥K ，525.02.03≥+K ，可解出 072.43≥K 。 3-18 系统方块图如图T3.9所示。试求局部反馈加入前、 后系统的静态位置误差系数、 静态速度误差系数和静态加速度误差系数。 图T3.9 习题3-18 图 解：局部反馈加入前，系统开环传递函数为 ) 1() 12(10)(2++= s s s s G ∞==∞ →)(lim s G K s p ∞==→)(lim 0 s sG K s v 10)(lim 20 ==→s G s K s a 局部反馈加入后，系统开环传递函数为 )20()12(1012011(10 12)(2+++=++ +⋅+=s s s s s s s s s s G ） （） ∞==→)(lim 0 s G K s p 5.0)(lim 0 ==→s sG K s v 0)(lim 20 ==→s G s K s a 3-19 系统方块图如图T3.10所示。已知)(1)()()(21t t n t n t r ===，试分别计算 )()(),(21t n t n t r 和作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下 的稳态误差的影响。 图T3.10 习题3-19 图 解 )1)(1()(21++= s T s T s K s G ⎩ ⎨⎧=1v K )(1)(t t r =时， 0=ssr e ； K s T s T s s T s T s T s K s T s s N s E s en ++++-=+++ +- ==Φ)1)(1()1() 1)(1(1)1(1)() ()(21121211 )(1)(1t t n =时， K s s s s N s s e en s en s ssn 11) (lim )()(lim 1110 10 -=Φ=Φ=→→ K s T s T s s T s s T s T s K s T s N s E s en ++++-=+++ +- ==Φ)1)(1()1() 1)(1(1)1(1 )() ()(21121222 )(1)(2t t n =时， 01 ) (lim )()(lim 2120 20 =Φ=Φ=→→s s s s N s s e en s en s ssn 在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时减小由输入和干扰因引起的稳态误差。 3-20 系统方块图如图T3.11所示。 图T3.11 习题3-20 图 （1） 为确保系统稳定，如何取K 值？ （2） 为使系统特征根全部位于s 平面1-=s 的左侧，K 应取何值？ （3） 若22)(+=t t r 时，要求系统稳态误差25.0≤ss e ，K 应取何值？ 解 )5)(10(50)(++= s s s K s G ⎩⎨⎧=1 v K （1） K s s s s D 505015)(2 3 +++= Routh ： 501515) 15(5050155010 1 2 3>→<→-K K s K K s K s s 系统稳定范围： 150< （2）在)(s D 中做平移变换：1-'=s s K s s s s D 50)1(50)1(15)1()(2 3 +-'+-'+-'=' )3650(231223-+'+'+'=K s s s Routh ： 72 .050 36 36 5024.650312 125031236 50122310 1 2 3=>→-'=< →-'-''K K s K K s K s s 满足要求的范围是： 24.672.0< 当 22)(+=t t r 时，令 25.02 ≤= K e ss 得 8≥K 。 综合考虑稳定性与稳态误差要求可得： 158<≤K 3-21 宇航员机动控制系统方块图如图T3.12所示。其中控制器可以用增益2K 来表示； 宇航员及其装备的总转动惯量2 25m kg I ⋅=。 图T3.12 习题3-21 图 （1） 当输入为斜坡信号t t r =)(m 时，试确定3K 的取值，使系统稳态误差ss e 1=cm ； （2） 采用（1）中的3K 值，试确定21,K K 的取值，使系统超调量σ%限制在10%以内。 解 （1）系统开环传递函数为 )()()()()(3212 132121I K K K s s I K K K K K s I s K K s E s C s G +=+== ⎪⎩⎪⎨⎧ ==113v K K t t r =)(时，令 01.01 3≤== K K e ss ， 可取 30.01K =。 （2）系统闭环传递函数为 I K K s I K K K s I K K s R s C s 2 132122 1)()()(++==Φ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧==I K K K I K K n 221321ζω 由 o o o o e 102 1≤=--ξξπ σ ，可解出 592.0≥ζ。取 6.0=ζ进行设计。 将25=I ，01.03=K 代入6.022 13==I K K K ζ表达式，可得 36000021≥K K 3-22 大型天线伺服系统结构图如图T3.13所示，其中ξ=0.707，n ω=15，τ=0.15s 。 （1） 当干扰)(110)(t t n ⋅=，输入0)(=t r 时，为保证系统的稳态误差小于0.01º，试确 定a K 的取值； （2） 当系统开环工作（a K =0），且输入0)(=t r 时，确定由干扰)(110)(t t n ⋅=引起的系 统响应稳态值。 图T3.13 习题3-22 图 解 （1）干扰作用下系统的误差传递函数为 2 222 )2)(1()1()() ()(n a n n n en K s s s s s s N s E s ωωξωττω+++++-==Φ )(110)(t t n ⋅=时， 令 a en s en s ssn K s s s s s N s e 10 )(10lim )()(lim 0 =Φ⋅⋅ =Φ⋅⋅=→→01.0≤ 得： 1000≥a K （2）此时有 ) 2(10)()2()()(22 22222n n n n n n s s s s N s s s s C s E ωξωωωξωω++-=⋅++-=-= -∞==∞=→)(lim )(0 s sE e e s ss 3-23 控制系统结构图如图T3.14所示。其中1K ，02>K ，0≥β。试分析： （1）β值变化(增大)对系统稳定性的影响； （2）β值变化(增大)对动态性能（%σ，s t ）的影响； （3）β值变化(增大)对t a t r =)(作用下稳态误差的影响。 图T3.14 习题3-23 图 解 系统开环传递函数为 )(1 )(221221 K s s K K s K s K K s G ββ+=⋅+= ⎩ ⎨⎧==11v K K β 2 12221)(K K s K s K K s ++=Φβ ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧===1 22122 122K K K K K K K n β βξω 2122 )(K K s K s s D ++=β （1）由 )(s D 表达式可知，当0=β时系统不稳定，0>β时系统总是稳定的。 （2）由 βξ1 221K K = 可知， ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧↓==↓ →↑↑275.3K t n s o o βξωσξβ )10(<<ξ （3）↑== → ↑1 K a K a e ss β β 3-24 系统方块图如图T3.15所示 （1） 写出闭环传递函数)(s Φ表达式； （2） 要使系统满足条件：707.0=ξ,2=n ω, 试确定相应的参数K 和β； （3） 求此时系统的动态性能指标（s t ,0 0σ ）； （4） t t r 2)(=时，求系统的稳态误差ss e ； （5）确定)(s G n ，使干扰)(t n 对系统输出)(t c 无影响。 图T3.15 习题3-24 图 解 （1）闭环传递函数 2 2222 221)()()(n n n s s K s K s K s K s K s K s R s C s ωζωωββ++=++=++==Φ （2）对应系数相等得 ⎩⎨⎧=====2 224222 n n K K ζωβω ⎩⎨⎧==707.04 βK （3） 0010032.42 ==--ζζπ σe 475.22 5.35 .3== = n s t ζω （4）)(1)(2ββK s s K s K s K s G +=+ = ⎩⎨⎧==11v K K β 414.12=== βK ss K A e （5）令：0) () (11)()()(＝s s G s s K s N s C s n n ∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛+== Φβ 得：βK s s G n +=)( 3-25 复合控制系统方块图如图T3.16所示，图中1K ，2K ，1T ，2T 均为大于零的常数。 （1） 确定当闭环系统稳定时，参数1K ，2K ，1T ，2T 应满足的条件； （2） 当输入t V t r 0)(=时，选择校正装置)(s G C ，使得系统无稳态误差。 图T3.16 习题3-25 图 解 （1）系统误差传递函数 21211221212 12 2 )1)(1()1)(()1)(1() 1)(1(1) ()1(1)()()(K K s T s T s s T s G K s T s T s s T s T s K K s G s T s K s R s E s c c e ++++-++= +++ +- ==Φ 212 213 21)()(K K s s T T s T T s D ++++= 列劳斯表 2 10 212 121211212 12 2130 1K K s T T K K T T T T s K K T T s T T s +-++ 因 1K 、2K 、1T 、2T 均大于零，所以只要 212121K K T T T T >+ 即可满足稳定条件。 （2）令 212112212 00 )1)(1()1)(()1)(1(lim )()(lim K K s T s T s s T s G K s T s T s s V s s R s s e c s e s ss ++++-++⋅⋅ =⋅Φ=→→ 0)(1lim 22100 =⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-=→s s G K K K V c s 可得 2)(K s s G c = Matlab 习题 3-26 设控制系统的方框图如图3.4.2所示，当有单位阶跃信号作用于系统时，试求系统的暂态性能指标t p 、t s 和σ%。 图T3.17 习题3-26 图 【解】：求出系统的闭环传递函数为： 25625 )(2++= Φs s s 因此有： ) (93.01.531)(41,6.0),(52 1 121rad tg s s n d n ==-==-===--- ζ ζβζωωζω 上升时间t r ： )(55.0493 .014.3s t d r =-=-= ωβπ 峰值时间t p ： )(785.0414.3s t d p === ωπ 超调量σ%： %5.9%100095.0%100e %2 -1- =⨯=⨯=ζζπ σ 调节时间t s ： %)2)((33.156.04 4 =∆=⨯= ≈ s t n s ζω Matlab 程序：chpthree2.m num=[25];de n=[1,6,25]; %系统的闭环传递函数 sys=tf[num,den]; %建立系统数学模型 t=0:0.02:4; figure step(sys,t);grid %系统单位阶跃响应 R(s) )6(25+s s C(s) 3-27 单位反馈系统的开环传递函数为 ) 5(25 )(+= s s s G 试用MATLAB 判断系统的稳定性，并求各静态误差系数和2 5.021)(t t t r ++=时的稳态误差 ss e ； 解 （1）)5(25 )(+=s s s G ⎩ ⎨⎧==15v K ∞=+==→→) 5(25 lim )(lim 0 s s s G K s s p 55 25 lim )(lim 00=+==→→s s G s K s s v 0525lim )(lim 020=+==→→s s s G s K s s a )(1)(1t t r =时， 011 1=+= p ss K e t t r 2)(2=时， 4.052 2=== v ss K A e 235.0)(t t r =时，∞=== 1 3a ss K A e 由叠加原理 ∞=++=321ss ss ss ss e e e e 3-1设系统的微分方程式如下: (1) 0.2c(t) 2r(t) 单位脉冲响应：C(s) 10/s g(t) 10 3t 3 3t c(t) 1 e cos4t e si n4t 4 1 3-2 温度计的传递函数为 —，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的 Ts 1 98%的数值。若加热容器使水温按 10(C/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有 多大？ 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 由一阶系统阶跃响应特性可知： c(4T) 98 o o ，因此有 4T 1 min ，得出T 0.25 min 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 (s) 1 K 1T G(s) — 1 (s) Ts v 1 用静态误差系数法，当 r(t) 10 t 时，e ss 10 10T 2.5 C o K (2) 0.04c(t) 0.24c(t) c(t) r(t) 试求系统闭环传递函数① 部初始条件为零。 解： (s),以及系统的单位脉冲响应 g(t)和单位阶跃响应 c(t)。已知全 (1)因为 0.2sC(s) 2R(s) 闭环传递函数 (s) C(s) 10 R(s) s 单位阶跃响应c(t) C(s) 10/s 2 c(t) 10t t 0 (2) (0.04s 2 0.24s 1)C(s) R(s) C (s ) 闭环传递函数 (s) C(s) R(s) 1 2 0.04s 0.24s 1 单位脉冲响应: C(s) 1 2 0.04s 2 0.24s 1 g(t) 25 e 3 3t si n4t 单位阶跃响应h(t) C(s) 25 s[(s 3)2 16] 1 s 6 s (s 3)2 16 (s) 1 Ts 1 自动控制原理（上） 习 题 3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。 考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。 解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为 /(1)()()111 K Ts K s Kbs T Kb s Ts +Φ== +++ + 根据输入信号写出输出函数表达式： 111 ()()()()()11/() K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++ 对上式进行拉式反变换有 1 ()(1)t T bK y t K e - +=- 当0b >时，系统响应速度变慢； 当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。 3-2 设用 1 1 Ts +描述温度计特性。现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。 考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差) 解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为： ()1t T r y t T e -⎛ ⎫=- ⎪⎝⎭ 其中r T 为假设的实际水温，由题意得到： 60 0.961T e - =- 推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。 由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为： lim ()0.1 1.864t e t T →∞ == 3-3 已知一阶系统的传递函数 ()10/(0.21)G s s =+ 今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。 新教材第三章课后习题 例3-13若设计一个三阶控制系统，使系统对阶跃输入的响应为欠阻尼特性，且 %)2(6.0%,20%%10±=?<< s t s 6.0=的n ω值为：3.135 .06.04 n =?= ω 取14=n ω则：35145.0553=??==n p ξω 则闭环后传递函数为 ) )(22()() ()(3232p s s s p s R s C s n n n +++==Φωζωω[] )1029.0(107.0)07.0(122+++=s s s 开环传递函数为 [] 1 0446.078.02)0446.0(25 .8)(1)()(22+??+=Φ-Φ=s s s s s s G 3-18 系统的特征方程式如下，试求系统在s 的右半平面的根数及虚根数。 （1）322091000s s s ＋＋＋＝； （2）432310520s s s s ＋＋＋＋＝； （3）54323122432480s s s s s ＋＋＋＋＋＝； （4）6543244478100s s s s s s ＋－＋－－＋＝。 【解】：（1）劳斯表为 100 4100 20910 1 23s s s s 劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统三个特征根均位于s 的左半平面。 3-20 设单位负反馈系统的开环传递函数为()111136K G s s s s ???? ??????? ＝ ＋＋，求 （1）系统稳定的K 值范围； （2）若要求闭环特征方程根的实部分别小于12－、－，则K 值应如何选取？ 解 系统的闭环传递函数()B G s ： ()(1)(1)36 B K G s s s s K = +++ 参考答案 3-1. 设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数T 。如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以10/min C ?的速度线性变化，求温度计的误差。 解：()()98%c t c =∞?，41min t T ==，0.25T =； ()10r t t =，()10()t T c t t T e -=-+，()()()10()t T e t r t c t T e -=-=-，lim ()10 2.5ss t e e t T →∞ === 3-2．已知单位负反馈系统的开环传递函数为 4()5 G s s = + 求系统的单位阶跃响应。 解：24()54s s s φ= ++，1 ()R s s = ， 2 14 44133()()()(54)(4)(1)41 C s s R s s s s s s s s s s φ=?===+-++++++； 414 ()133 t t c t e e --=+- 3-3. 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 1 ()(1) G s s s = + 求系统的上升时间r t 、峰值时间p t 、超调量%σ和调整时间s t 。 解：2 ()1()1G s R s s s =++，2121n n ωωξ?=? ?=??，10.5 n ωξ=??=?， 0.866d ω=，arccos 60βξ?== 2.42r d t πβω-==s ， 3.63p d t πω==s ，%100%16%e σ=?=，4 8s n t ξω= =s 3-4. 已知系统的单位阶跃响应:为6010()10.2 1.2t t c t e e --=+-，试求： （1）系统的闭环传递函数； （2）系统的阻尼比ξ和无阻尼自然振荡频率n ω。 解：10.2 1.2600()6010(60)(10)C s s s s s s s =+-= ++++，1()R s s =， 2 ()600()70600C s R s s s =++，2600270n n ωωξ?=? ?=??，24.51.43n ωξ=??=? 3-5. 已知单位负反馈系统的开环传递函数为： ()(1) K G s s Ts =+ 当()()r t t ε=时，系统的动态性能指标%30%σ=，0.3(5%)s t s ≤?=，求系统K 、T 值以满 3-1设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数T 。如果将温 度计放在澡盆内，澡盆的温度以10 C/min 的速度线性变化。求温度计的误差。 解： c(t)=c(∞)98%t=4T=1 min r(t)=10t e(t)=r(t)-c(t)c(t)=10(t-T+e )-t/T =10(T-e ) -t/T =10T =2.5 T=0.25 3-2电路系统如图所示，其中F C k R k R μ5.2,200,20110=Ω=Ω=。设系统初始状态为零，试求：系统的单位阶跃响应8)()(1=t u t u c c 以及时的1t 值； 解:R 1Cs+1R 1/R 0G (s )= u c (t)=K(1–e t T -)K Ts +1 =T=R 1C=0.5 K=R 1/R 0=10 =10(1–e -2t ) 8=10(1–e -2t ) 0.8=1–e -2t e -2t =0.2 t=0.8 g(t)=e -t/T T K t 1=0.8=4u c (t)=K(t-T+T e -t/T )=4R(s)=1s 2 R(s)=1R(s)=1s 3T 2=K(s s+1/T +T s 2-1s 3-T 2)=1.2Ts 1s 3 K +1U c (s)= -0.5t+0.25-0.25e -2t )12 t 2u c (t)=10( 3-3已知单位反馈系统的开环传递函数为) 5(4 )(+= s s s G 试求该系统的单位阶跃响应。 解: C(s)=s 2+5s+4 R(s)4s(s+1)(s+4)C(s)=4R(s)=s 1s+41+1/3s =4/3s +1 -c(t)=1+ 4e 13-4t -t 3 -e 3-4已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ) 1(1 )(+=s s s G 试求该系统的上升时间r t 。、峰值时间p t 、 超调量%σ和调整时间s t 。 第三章习题答案 名词解释 1．超调量:系统响应的最大值与稳态值之差除以稳态值。定义为 ) ()(max ∞∞-=c c c σ 2．开环传递函数中含有2个积分因子的系统称为II 型系统。 3．单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。 4．指响应达到并保持在终值5%内所需要的最短时间。 5. 稳态误差：反馈系统误差信号e(t) 的稳态分量(1分)，记作e ss (t)。 6．开环传递函数中不含有积分因子的系统。 7．上升时间:○ 1响应从终值10%上升到终值90%所需的时间；或○2响应从零第一次上升到终值所需的时间。 简答 1. 在实际控制系统中，总存在干扰信号。 1） 时域分析：干扰信号变化速率快，而微分器是对输入信号进行求导，因此干扰 信号通过微分器之后，会产生较大的输出； 2） 频域分析：干扰信号为高频信号，微分器具有较高的高频增益，因此干扰信号 易被放大。 这就是实际控制系统中较少使用纯微分器的原因。 2．系统稳定的充分条件为：劳斯阵列第一列所有元素不变号。若变号，则改变次数代表正 实部特征根的数目。 3．二阶临界阻尼系统特征根在负实轴上有两个相等的实根，其单位阶跃响应为单调递增曲 线，最后收敛到一个稳态值。 4. 闭环特征根严格位于s 左半平面；或具有负实部的闭环特征根。 5．欠阻尼状态下特征根为一对具有负实部的共轭复数，单位阶跃响应是一个振荡衰减的曲 线，最后收敛到一个稳态值。 6．阻尼小于-1的系统，特征根位于正实轴上，单位阶跃响应是一个单调发散的曲线。 7. 无阻尼状态下特征根为一对虚根，响应为等幅振荡过程，永不衰减。 8．图4(a)所示系统稳定，而图4(b)所示系统不稳定。原因是图4(b)所示系统的小球收到 干扰后将不能恢复到原来的平衡状态。 9．不能。原因是：两个一阶惯性环节串联后的极点为实极点；而二阶振荡环节的极点为复 数极点。 计算题 1. 解：r(t)=2t. v=1,系统为I 型系统 k v =2, 例3-1 系统的结构图如图3-1所示。 已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间t s 减小为原来的倍，并保证总放大系数不变。试确定参数K h 和K 0的数值。 解 首先求出系统的传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件 对照。 一阶系统的过渡过程时间t s 与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为 ) 110/2.0(10 )(+= s s φ 即 H H K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()()(00++=+= )()11012.0(101100s s K K K H H φ=+++= 比较系数得 ??? ??=+=+10 10110101100 H H K K K 解之得 9.0=H K 、100=K 解毕。 例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为： t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0） 已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。 解 因为 22111)(s s s s s R +=+= )10()1(10109.09.01)]([)(22 ++=+-+= =s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为 1 1.01)()()(+== s s R s C s φ 解毕。 例3-3 设控制系统如图3-2所示。 试分析参数b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。 解 由图得闭环传递函数为 1 )()(++= s bK T K s φ 系统是一阶的。动态性能指标为 ) (3)(2.2)(69.0bK T t bK T t bK T t s r d +=+=+= 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。 解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1， 4 3 0 t 图3-34 二阶控制系统的单位阶跃 h (t ) 3-1 设系统的微分方程式如下： 1) 0.2c(t) 2r(t) 1 温度计的传递函数为 1 ，用其测量容器内的水温， 1min 才能显示出该温度的 Ts 1 98%的数值。 若加热容器使水温按 10oC/min 的速度匀速上升， 问温度计的稳态指示 误差有多 大？ 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 由一阶系统阶跃响应特性可知： c(4T) 98 o o ，因此有 4T 1min ，得出 T 0.25 min 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 (s) 1 K 1T G(s) 1 (s) Ts v 1 用静态误差系数法，当 r(t) 10 t 时， e ss 10 10T 2.5 C 。 K 2) 0.04c(t) 0.24c(t) c(t) r(t) 试求系统闭环传递函数Φ 部初始条件为零。 解： (s), 以及系统的单位脉冲响应 g(t) 和单位阶跃响应 c(t) 。已知全 1) 因为 0.2sC(s) 2R(s) 闭环传递函数 (s) C R((s s )) 1s 0 单位脉冲响应： C(s) 10/s g(t) 10 单位阶跃响应 c(t) C(s) 10/ s 2 c(t) 10t t0 2) (0.04s 2 0.24s 1)C(s) R(s) C(s) R(s) 2 0.04s 2 0.24s 1 闭环传递函数 (s) C R ( (s s )) 1 2 0.04s 2 0.24s 单位脉冲响应： C(s) 1 2 0.04s 2 0.24s 1 g(t) 25 e 3 3t sin4t 单位阶跃响应 h(t) C(s) 25 s[(s 3)2 16] 1 s (s 3) 2 16 s6 2 c(t) 1 e 3t cos4t 3 e 4 3t sin4t 3-2 (s) 1 Ts 1 3-1 （1） )(2)(2.0t r t c = （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。已知全 部初始条件为零。 解： （1） 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数s s R s C s 10 )()()(== Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010 )(≥=t t g 单位阶跃响应c(t) 2 /10)(s s C = 010)(≥=t t t c （2）)()()124.004.0(2 s R s C s s =++ 1 24.004.0) ()(2 ++=s s s R s C 闭环传递函数1 24.004.01 )()()(2 ++== s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01 )(2 ++= s s s C t e t g t 4sin 3 25)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16 )3(6 1]16)3[(25)(22+++-=++= s s s s s s C t e t e t c t t 4sin 4 3 4cos 1)(33----= 3-2 温度计的传递函数为1 1 +Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的 98%的数值。若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？ 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 1 1 )(+= ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 Ts s s s G 1 )(1)()(=Φ-Φ= ⎩ ⎨⎧==11v T K 用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T K e ss ︒=== 5.21010 。 第三章3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为 1.20 ()1012.5sin(1.653.1) t h t e t - =-+ 试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp和调节时间ｔs。 解：依题意 p t t= 时 ()0 p h t'= ，并且p t 是使 () p h t' 第一次为零的时刻( p t≠ ) 1.20 ()1012.5sin(1.653.1) t h t e t - =-+ 1.200 1012.5(cos53.1sin1.6sin53.1cos1.6) t e t t - =-+ 1.20 1.20 1.2 ()15sin(1.653.1)20cos(1.653.1)25sin1.6 t t t h t e t e t e t --- '=+-+= 可见，当 () h t'第一次为0时，1.6 1.96 p p t t π =⇒= ，所以 1.21.960 180 ()1012.5sin(1.6 1.9653.1)10.95 p h t e π -⨯ =-⨯⨯+= ()()10.9510 %100%100%9.5% ()10 p h t h h σ -∞- =⨯=⨯= ∞ 根据调节时间s t 的定义： 0.95()() 1.05() s h h t h ∞<<∞ ，即 1.2 9.51012.50.5 t e- <-<，得 ln0.04 3.212 2.68 1.2 1.2 s t>-== 所以： %9.5% 1.96 2.68 p s t s t s σ=== 3-5设图3-3是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K１和Kt，使系统ωｎ＝６、ζ＝１。 图3-3 飞行控制系统 分析：求出系统传递函数，如果可化为典型二阶环节形式，则可与标准二阶环节相对照，从而确定相应参数。 解对结构图进行化简如图所示。 第三章 例3-1 系统的结构图如图3-1所示。 已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间t s 减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数K h 和K 0的数值。 解 首先求出系统的传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件 对照。 一阶系统的过渡过程时间t s 与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为 ) 110/2.0(10 )(+= s s φ 即 H H K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()()(00++=+= )()11012.0(101100s s K K K H H φ=+++= 比较系数得 ⎪⎩⎪ ⎨⎧=+=+10 10110101100 H H K K K 解之得 9.0=H K 、100=K 解毕。 例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为： t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0） 已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。 解 因为 22111)(s s s s s R +=+= )10()1(10109.09.01)]([)(22 ++=+-+= =s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为 1 1.01 )()()(+== s s R s C s φ 解毕。 例3-3 设控制系统如图3-2所示。 试分析参数b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。 解 由图得闭环传递函数为 1 )()(++= s bK T K s φ 系统是一阶的。动态性能指标为 ) (3)(2.2)(69.0bK T t bK T t bK T t s r d +=+=+= 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。 解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1， 而是3。系统模型为 22 223)(n n n s s s ω ξωωφ++= 然后由响应的%p M 、p t 及相应公式，即可换算出ξ、n ω。 %333 3 4)()()(%=-=∞∞-=c c t c M p p 1.0=p t （s ） 1+Ts K bs 4 3 0 0.1 t 图3-34 二阶控制系统的单位阶跃 响应 h (t ) 3-1 设系统的微分方程式如下： （1） )(2)(2.0t r t c = （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。已知全部初 始条件为零。 解： （1） 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数s s R s C s 10 )()()(== Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010 )(≥=t t g 单位阶跃响应c(t) 2 /10)(s s C = 010)(≥=t t t c （2）)()()124.004.0(2 s R s C s s =++ 1 24.004.0) ()(2 ++= s s s R s C ` 闭环传递函数1 24.004.01 )()()(2 ++== s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01 )(2 ++= s s s C t e t g t 4sin 3 25)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16 )3(6 1]16)3[(25)(2 2+++-=++= s s s s s s C t e t e t c t t 4sin 4 3 4cos 1)(33----= 3-2 温度计的传递函数为1 1 +Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的 98%的数值。若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 1 1 )(+= ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 Ts s s s G 1 )(1)()(=Φ-Φ= ⎩ ⎨ ⎧==11v T K ！自动控制原理第三章课后习题答案(最新)汇总
自动控制原理第3章 习题及解析
自动控制原理部分课后题答案
ξω。主导极点的配置位置如图3-5阴影部分所示。 图3-5 例3-15 （2）为了保证3p 对动态特性不会有大的影响取。5.3353=≥n p ξω （3）由于实数极点3p 会减小系统的超调量，为使系统为欠阻尼状态，取，5.0=ξ满足自动控制原理 邢春芳 第3章习题参考答案
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