高等数学〔下〕试题集
t
在点(),0,0a 的切线方程为0x a y z a c -==. 22
122
z x y =+
上求出切平面，使所得的切平面与平面
},,1x y -应与平面平面42210x y z ---=的法向量平行，
11,2x =-=，由于切点在曲面上()2
211
21122
z ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ ()()21210,210y z x y z +--=---=
473
y z
+==-和平面:4223x y z ∏--=则〔 B 〕 、L 与∏平行，但L 不在∏内 、L 不与∏垂直，L 不与∏平行 23z xy +=在点()1,2,0处的法线方程是
直线1210:320
x y L x z +-=⎧⎨
+-=⎩和2112
:123x y z L -+-==，12,L L 所确定的平面方程。
()()0,1,2,1,1,1--，则{}11,2,3S =--是1L 的{}21,2,3S =-，
因为12//S S ，所以12//L L
设12,L L 所确定的平面方程为0Ax By Cz D +++=，它经过点()1,1,2-和点()()0,1,2,1,1,1--，所以
20220
00A B C D A D B C D B D A B C D C -++==-⎧⎧⎪⎪
++=⇒=-⎨⎨⎪⎪--+==⎩⎩
所求方程为210x y --+=
二。多元函数
[](){}221.201042,116,18.z x y gradz ==+9点的梯度
[]
()()44222.2010(,)21,1,1,1.f x y x y x xy y =+-----的极值点是
[
]()()2010:(,)0,0,
(0,0)(0,0),0,0.f x y f f x y
=3. 证明处连续与存在但在处不可微
(
)()()(
)()0
:10(0,0),(,)0,0(,0)(0,0)
2(0,0)lim (0,0)0,
(0,0)(0,0).(0,0)(0,0)3lim (,)0,0.
x y x y x x y x y f f x y f x f f f x
f f f f x f y f x y →→∆→∆→∆→===
∆-==∆⎡⎤∆-∆+∆解因为所以处连续.
=0,同理所以与存在因为,所以在处不可微[]()2010,cos ,sin ,
u x y x r y r u u
x y r y x
θθθ==∂∂-∂∂4. 设函数有连续偏导数,试用极坐标与 直角坐标的转化公式 将变换为,下的表达式.
cos ,sin arctan ,
sin cos cos ,sin ,,.
y
x r y r r x
r r x y x r y r u u u x y y x θθθθθθθθθθ====∂∂∂∂===-=∂∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂解:由得到从而于是
5.[2021]
0000991
6x x y y xy →→→→-+==-
6.[2021] ()()
()
2
3
32
22
22
2
001
1
0,1x x y y y xy
u du dx dy dx x
y
x
y
====-=
=
+
=++处
7.[2021] 设22,y z f x x ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求
2z x y ∂∂∂。 解：
2223
212
222122222232,
222422z y
f y x
z y y y y y y f f f f f f x y x x x x x x ∂'=∂⎛⎫∂''''''''''=-+-=-+- ⎪∂∂⎝⎭
8.[2021] 求函数()22,f x y x y =-在圆域224x y +≤的最大值和最小值。
解：方法一：当2
2
4x y +<时，找驻点 20,
20x f x f y ===-=，得唯一驻点()0,0
当2
2
4x y +=时，是条件极值，考虑函数
()()2222,,4F x y x y x y λλ=-++-，解方程组
()()22
22022040
x y F x F y F x y λλλ⎧=+=⎪=-=⎨⎪=+-=⎩可得02
,20x x y y ==±⎧⎧⎨⎨
=±=⎩⎩ 所求最大值为4，最小值为4-。
方法二：设2
2
,a x b y
==，则(),f x y a b =-且4,0,0a b a b +≤≥≥，这变成一个
简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为4-。 方法三：圆域2
2
4x y +≤可写成2cos 01,022sin x r r y r θθπθ
=⎧≤≤≤≤⎨
=⎩
()2,4cos2f x y r θ=
最大值为4，最小值为4-。
9.[2021] 〔化工类做〕 求由方程组22
222
2320
z x y
x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数dy dx 及
dz
dx
。 :,6,6213x dy xz x dz x
dx yz y dx z
+=-=++解每个方程两边同时对求导得到
10.[2021] 〔化工类做〕 求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-处沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？
()
()
{}1,11,1:
cos cos 3,3z
z z gradz x y l
αβ--∂∂∂=
+==-∂∂∂解
()
{}()
{}{}{}1,11,13,33,31,11,1,.
z gradz gradz
--=-=---函数在该点沿-方向减少最快,
沿与方向垂直的方向或函数值不变
11、[2021] 函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点偏导数
z x ∂∂与z
y
∂∂连续的 必要 条件〔填必要、充分或充要〕，又是它在该点有方向导数的 充分 条件〔填
必要、充分或充要〕
12、[2021] 设()(),,,z f x xy f u v =有连续偏导数，则dz =()122f yf dx xf dy '''++ 13、[2021]〔化工类做，即不学级数一章的同学做〕给定曲面
,0,,,x a y b F a b c z c z c --⎛⎫= ⎪--⎝⎭
为常数，其中(),F u v 有连续偏导数，证明曲面的切平
面通过一个定点
证：令(),,,x a y b G x y z F z c z c --⎛⎫= ⎪--⎝⎭
，则1211,x y G F G F z c z c ''==-- ()
()
22
2
z a x
b y
G F F z c z c --''=
+
--
从而曲面在点(),,x y z 处的切平面为
()()()12222
0X x Y y a x b y
F F F F Z z z c z c z c z c ⎡⎤----''''+++-=⎢⎥----⎢⎥⎣⎦
，其中(),,X Y Z 为动点。 显然()(),,,,X Y Z a b c =时成立，故切平面均过(),,a b c 。证毕
14、[2021]〔化工类做，即不学级数一章的同学做〕设l 是曲线22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在
点()1,2,1-处的切向量，求函数(),,f x y z xy yz zx =++在该点沿l 的方向导数
解：方程组22260
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩两端对x 求导，得2220
10x yy zz y z ''++=⎧⎨''++=⎩
把()1,2,1-代入得12010y z y z ''-+=⎧⎨''++=⎩，解得0
1y z '=⎧⎨'=-⎩，于是在点()1,2,1-处的切向量为
()()1,,1,0,1t y z λλ''==-
，单位切向量为1
2t ⎛=± ⎝
所求方向导数为
()()()1,2,11,,1,2,102x y z f f f f t -∂⎛=±⋅=±⋅--= ∂⎝ 15、[2021] 设z
e xyz =，求22z x
∂∂
解：两边取微分，得z e dz xydz xzdy yzdx =++
,z z
xzdy yzdx yzdx xzdy
e dz xydz xzdy yzdx dz e xy xyz xy
++-=+=
=-- 从而z z x xz x ∂=∂-，()
()
2222
11z z xz x z z x z z z x x x x x x xz x x z ∂∂⎛
⎫--+- ⎪∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫
⎝⎭=== ⎪ ⎪∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭
- ()()()()()()()22
222322332222
2
11221111z z z z x z z x z z z z x z z z z z x x x z x z x z x z ∂--------∂--∂====∂---- 16、[2021] 设()3322,339,0f x y x y x y x x =-++->，则它有极小值()1,05f =-
17、[2021] 设长方形的长x 、宽y 、高z 满足111
1x y z
++=，求体积最小的长方
体。
解：令1111L xyz x y z λ⎛⎫
=+++- ⎪⎝⎭
则222
1110,0,0x y z L yz L xz L xy x y z λ
λλ---=+==+==+=，从而x y z == 再由0L λ=即约束条件，可得
1111
3
x y z ===，从而3x y z === 由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。
18、[2007] 设432z x y x =+，则()1,2dz =3412dx dy +
19、[2007] ()()()
()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪
=⎩，则()0,x f y = 0
20、[2007] 函数22z x y =+在点()01,2P 处沿从点()01,2P
到点(12,2P 方向的方向导数
是1+
21、 [2007]设,x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂.
解：21212122222231111,z z x x
f f f f f f f x y x y y y y y y
⎛⎫∂∂∂=⋅+⋅=+=--- ⎪∂∂∂∂⎝⎭
22、[2007]〔化工类做〕证明函数()(
)2222
220,0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩
在
原点()0,0处可微，但(),x f x y 在点()0,0处不连续
解：由定义()()()
00,00,00,0lim
00
x x x f x f f x →→-'===-
同理()0,00y f '= 由于
000
0x x y y →→→→==
从而函数(),f x y 在原点()0,0
处可微。 当220x y +
≠
()()()3
22
222
1,2sin 22x f x y x x y x y x -⎡⎤'=+
-+⋅⎢⎥
⎣⎦
(
),2x f x y x
'=+
由于(
)()0
,02,0x x x f x x f x →''=+不存在，因此(),x f x y 在点
()0,0处由于()0
lim ,x x y f x y →→'不存在而不连续。 23、[2007]〔化工类做〕设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中()x ϕ可导，求dz
解：对方程两边取微分得()22xdx ydy dz dx dy dz ϕ'+-=⋅++
即()()()()12222dz dz dz xdx ydy dx dy x dx y dy ϕϕϕϕϕ'''''+=+⋅=+-⋅+=-+-
()()221x dx y dy dz ϕϕϕ''-+-=
'
+ 24、[2007]求22u x y z =-+在约束条件2221x y z ++=下的最大值和最小值 解：令()222221L x y z x y z λ=-++++-
则222111120233
2201322,,,233220122133x y z x x x L x L y y y or y L z x y z z z z λλλλλλλ--⎧⎧
⎧====+=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=-+=-⎪⎪⎪⎪
⇒=⇒=±==⎨⎨⎨⎨=+=⎪⎪⎪⎪--⎪⎪⎪
⎪++=⎩===⎪⎪⎪⎩⎩⎩
122144122144,,3,,,3333333333333
u u ⎛⎫⎛⎫--=---=--=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为3-
25.[2006] 假设(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则以下结论错误的选项是〔 B 〕
A 、(),f x y 在点()00,x y 处连续
B 、()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续
C 、()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在
D 、曲面(),z f x y =在点()()0000,,,x y f x y 处有切平面
26.[2006] 二重极限2
24
00
lim x y xy x y →→+值为〔 D 〕 A 、0 B 、1 C 、1
2
D 、不存在 27.[2006] arctan x z y
=，则dz =
2222
y x
dx dy
x y x y -++
28.[2006] 函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数
为
29. [2006] 设函数()⎪⎩⎪
⎨⎧=+≠++=0
0,22222
2y x y x y x xy y x f
证明：1〕(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 2〕(),f x y 在点()0,0处不可微
证明：1〕因为()()()0
0,00,000
0,0lim lim 0x x x f x f f x
x ∆
→∆→∆--===∆∆ ()()()0
00,0,0000,0lim
lim 0y y y f y f f y y
∆→∆→∆--===∆∆ 所以(),f x y 在点()0,0处偏导数存在
2〕因为
()()
22
00
0,00,0lim
lim
x x y y z f x f y
x y
x y ∆→∆→∆→∆→∆-∆-∆∆∆=∆+∆
当取y k x ∆=∆时
()()
22
22
22000
lim
lim 11x x y x y
k k k k
x y ∆→∆→∆→∆∆==++∆+∆ 随k
之不同极限值也不同，即0,00,0lim 0x y z f x f y
∆→∆→∆-∆-∆≠
所以此函数在()0,0处不可微。
30. [2006] 设,y z xf xy x ⎛
⎫= ⎪⎝⎭
，f 具有连续二阶偏导数，求2,z z y y x ∂∂∂∂∂
解：
121z x xf f y x ∂⎛⎫''=+ ⎪∂⎝⎭ ，122z y f x yf f x x ∂⎛⎫
''=+- ⎪∂⎝⎭
2221111221221112222222z y y y xf x yf f yf f xf x yf f y x x x x ∂⎛⎫
''''''''''''''=+-+-=+- ⎪∂∂⎝⎭
31. [2006] 在第一卦限内作椭球面222
2221x y z a b c
++=的切平面，使该切平
面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。 解：设()000z y x ,,为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为
()()()0222020
020020=-+-+-z z c
z y y b y x x a x 化成截距式方程
122
02202200
20202=++=++c z b y a x z c z
y b y x a x 此切平面与坐标面围成四面体的体积为()0
002
61z y x abc V =。〔下面我们去掉
下标0〕
要求()xyz
abc V 2
61=满足条件()0z 0y 0x 1222222>>>=++,,c z b y a x 的最小值，只需求()xyz z ,y ,x f =满足条件()0z 0y 0x 122
2222>>>=++,,c
z b y a x 的最
大值。
由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+++=1222222c z b y a x λxyz λ,z ,y ,x F
()()()()
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧
=++=+==+==+=4130
220
210222
222
2222c z b y a x c z
xy F b y
xz F a x
yz F z y x λλλ
()()()z y x ⨯+⨯+⨯321得023xyz =+λ
由此得33
322
22
22
c z ,b y ,a x ===，所以c z ,b y ,a x 3
3
3333===
当c z ,b y ,a x 333333===
时，有最小体积，最小体积为abc 2
3。
切点坐标为,,3
33b c ⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭。 三。二重积分
1. [2021] 交换二次积分的积分次序：
()()()(
)2
1
1
3
31
3220
10
,,,x x y dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰
⎰⎰
⎰。
2.[2021]
求锥面z =被柱面222x y x +=割下局部曲面面积。
解：
D
D
==
3. [2021]〔化工类做〕 计算二重积分
D
xy dxdy ⎰⎰
，其中D 为圆域222x y a +≤。
1
4
:,442
a
D
D a xy dxdy xydxdy xdx ydy ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰
解利用对称性
4、[2021] 交换二次积分的积分次序()2
22
,y
y dy f x y dx =⎰⎰(
)4
2
,x f x y dy ⎰
5、[2021] 求球面2224x y z ++=含在圆柱面222x y x +=内部的那局部面积
解：上半球面的局部为221::2z D x y x ∑=+≤
x y z z dS =
=
=
()1
1
2cos 2
22882S dS d πθ
θ
π∑∑====-⎰⎰⎰⎰
6、[2007] 计算二重积分2
22,x y D
xy e d D σ⎰⎰.
是由1,0y x x ==所围成的闭区域
解：作图知:01,0D y x ≤≤≤
()
2222
1
1
1
220
2112
x y
x y
x y
y D
e xy e d xy e dx y e dx y e dy σ⎡===-=-⎣
⎰⎰⎰⎰⎰
7.[2006] 交换积分次序后，()ln 10,e x
dx f x y dy =
⎰⎰()1
,y e
e
dy f x y dx
⎰
⎰
8. [2006] 计算二重积分D
xyd σ⎰⎰其中D 是由抛物线2y x =及直线
2y x =-所围成的闭区域。
解：原式()2
522
2
2111222y y
y dy xydx y y dy +--⎡⎤==+-⎢⎥⎣
⎦⎰⎰⎰2
4362
12115831224y y y y -⎡⎤=+
+-=⎢⎥⎣⎦
四。三重积分
1.[2021]
计算三重积分
()
222222,1.x y z dv x y z ++Ω++=⎰⎰⎰Ω
其中是由所围成的闭球体
21
220
4sin 5
d d r r dr πππθϕϕ=⋅=
⎰
⎰⎰解:原式
2.[2021]
计算2
a
dx ⎰⎰。
解：此三重积分积分区域在xoy
面上的投影为02,0x y ≤≤≤≤
，即圆域
222x y x +≤的上半局部，设此局部为xy D ，则
原式22
2
2cos 23
220
0416cos 23
9xy
D a a a
d r dr d π
π
θ
θθθ====⎰⎰
⎰⎰
⎰
3、[2021] 计算三重积分()2
x y z dv Ω
--⎰⎰⎰，其中Ω.是由单位球面2221x y z ++=围
成的闭区域
解：由对称性0xydv yzdv zxdv Ω
Ω
Ω
===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
从而()()21
2
2
2
2
22
sin x y z dv x y z dv d d r r dr ππθϕϕΩ
Ω
--=++=
⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()1
1
540
04
2sin 2cos 55
r d r dr ππ
πϕϕπϕπ==-⋅=⎰⎰ 4、[2007] 计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω.由22222
2
x y z z x y ⎧++≤⎪⎨≥+⎪⎩所确定 解：由交线222
2
1222
220,1,2x y z z z z z z x y
⎧++=⎪⇒+-===-⎨=+⎪⎩〔舍去〕 于是投影区域为22:1D x y +≤，Ω
柱坐标下为202,01,r r z θπ≤≤≤≤≤≤
()2
21
21
4624
20
00
11172124612r zdv d d r r r dr π
ππθθπΩ
⎛⎫==--=--= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
5. [2006] 计算三重积分zdv Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面221x y +=及平面
0,1z z ==围成的闭区域。
解：方法一：利用柱面坐标计算,原式211
0002
d rdr zdz ππ
θ==⎰⎰⎰
方法二、截片法,原式1
02
zdz π
π==
⎰
五。曲线积分
[
]22221.2010.L x y a a π+==⎰假设为圆周的右半部分,则
[]()
()
222.2010sin 201,,.01x A e yi xy z j xzy k divA
+=设=++,则
3.[2021]计算2
2
,:L xdy ydx
L x y -+⎰其中为 ()()
()()()()2
2
1111;21x y x y -+-=+=圆周按反时针方向闭曲线按反时针方向
()()()()()()()()2
2
22
2222222
:1111,0,0,0.
21:,,2L L l Q P x y x y x y
xdy ydx
x y x y l x y xdy ydx xdy ydx
x y x y
ε
εεπ-∂∂
-+-=≠
∂∂-=++
=+
=--=
=++⎰
⎰⎰
解圆周按反时针方向,由于
=,,利用格林公式闭曲线按反时针方向作小圆取顺时针方向则在复连通区域上用格林公式有
4.[2021]
(
化
工
类
做
)
计
算
2.,L
xds L y x y x ==⎰
其中为直线及抛物线所围成区域的整个边界
()
1
1:1112L
xds x ==
⎰⎰⎰
解+
5. [2021]
2222222,:L
L
x y ds a ds a L x y a π+=
=+=⎰
⎰
其中
6.[2021] 计算曲线积分
()()22
11L
x dy ydx
x y ---+⎰，其中L 表示包含点()1,0在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。
解：在L 的内部作圆()2
22
:1C x y r -+=并取逆时针方向，
C 的参数方程为1cos 02sin x r y r θ
θπθ
=+⎧≤≤⎨
=⎩
由格林公式有
()()()()222220
11211L C
x dy ydx x dy ydx d x y x y πθπ
----===-+-+⎰⎰⎰ 7、[2021] 计算曲线积分
()
2
L
ydx xdy
x y --⎰，其中L 表示第四象限内以(0,1)A -为起点
(1,0)B 为终点的光滑曲线。
解：由于()()()()()2
243
2x y x x y x x y
x x y x y x y ⎛⎫--⋅-∂-+=-= ⎪ ⎪∂---⎝⎭， ()()()()()()2
24321x y y x y y x y
y x y x y x y ⎛⎫--⋅--∂+== ⎪ ⎪∂---⎝⎭
从而只要路径不经过直线y x =，该曲线积分就与路径无关 取路径1,:0
1y x x =-，()
11
2
2
00
111L
ydx xdy
x x
dx dx x y ---==-=--⎰
⎰⎰ 8、[2007] 设L 为取逆时针方向的圆周229x y +=，则曲线积分
()()2
22
4L
xy y dx x x dy -+-=⎰18π- 9、
[2007]设L 为直线y x =上由点()0,0A 到点()
1,1B 之间的一段，则曲线积分
2L
xy ds =⎰. 10.[2006] 曲线L 为原点到点()1,1的直线段，则曲线积分L
⎰的
值等于
1-
11. [2006] 计算()()3133xy xy L
ye x y dx xe x y dy +-+++-+⎰，其中L 为从点
(),0a -沿椭圆y =-(),0a 的一段。
解：原式()()3134xy xy L
L
ye x y dx xe x y dy xdy =+-++--++⎰⎰
()22314cos 22a a
x dx ab d a ab π
πθθπ-=++=+⎰
⎰
12. [2006] 设曲线积分()2L
xy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ连续
可导，且()00ϕ=，计算()(
)
()
1,120,0xy dx y x dy ϕ+⎰。
解：()2,P xy Q y x ϕ==，
()()()222P Q xy y x x x x x C y x
ϕϕϕ∂∂''===⇒=⇒=+∂∂ 由()00ϕ=得0C =，所以()2x x ϕ=
()(
)
()
()
()
1,11,11
2
22
0,00,00
1
2
xy dx y x dy xy dx yx dy ydy ϕ+=+==
⎰⎰
⎰
六。曲面积分
1.[2021] 计算2
2.4ydS x y z x y ∑
∑++=+⎰⎰,是平面被圆柱面=1截出的有限部分
22::4,,:0()
D
z x y dS xoy x y ydS ∑
∑=--=∑+≤==⎰⎰解在面的投影区域为D 1则对称性
2.[2021] 计算曲面积分
2,.I yzdzdx dxdy z ∑
=+∑=⎰⎰其中为上半球面
{}()()2
2
22::,,,,cos ,cos :4
22212D
z n x y z y
dzdx dxdy dxdy z
xoy D x y I yzdzdx dxdy y dxdy y dxdy αγπ
∑
∑
∑===
=∑+≤=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解取上侧即法向量利用对坐标的转换,在面的投影区域为则
3. [2021] 向量场()()()2232A x y i xz y j y z k =
+-+++的散度为
3。
4.[2021] 计算曲面积分I xyzdydz ydzdx zdxdy ∑
=++⎰⎰，其中∑是半球
面
z =
解：设1∑为2
2
2
0,z x y R =+≤，并取下则，Ω是1,∑∑围成的区域，由高斯公式得 原式()1
2yz dv xyzdydz ydxdz zdxdy Ω
∑=
+-++⎰⎰⎰⎰⎰
()222
22233
440323x y R y R x y R R dxdy ππ+≤--=+-=⎰⎰
5、[2021] 向量场()2cos xy A e i xy j xz k =++的散度为()sin 2xy ye x xy xy -+. 向量场()()()2332B z y i x z j y x k =-+-+-的旋度为{}2,4,6.
6、[2021] 设曲面∑为柱面221x y +=介于平面0z =与1z =局部的外侧，则曲面积分()22x y dxdy ∑
+=⎰⎰ 0 ，()22x y dS ∑
+=⎰⎰2π
7、[2021]计算曲面积分()()()23z x dydz x y dzdx y z dxdy ∑
+-+-+⎰⎰，其中∑是圆
锥面z =位于平面之间下方局部的下侧 解：取221:2,:4z D x y ∑=+≤上侧 则
原
式
()()()()11
22
20
1
3112222sin 23dv y dxdy dv y dxdy d r rdr π
πθθΩ∑Ω∑=-----=++=⋅+
+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2
2223200008888832sin sin 4cos 43333333r r d d π
ππ
πθθπθθπθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰
8、[2007] 计算
()()2
2
2
2
2xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑
+-++⎰⎰，其中∑为半
球
z =
解：令2221:0,z x y a ∑=+≤取下侧。则1∑+∑为半球体Ω的外侧，由高斯公式 原式()()()1
22222222x y z dv xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy Ω
∑=++-+-++⎰⎰⎰⎰⎰
[]225
2
22200
000
0sin 22cos 2sin 5a
a
a D d d d xydxdy d rco r rdr
π
π
ππ
ρ
θϕρϕρπϕθθθ+⎡⎤=
+=-+⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰425
25
22sin 5
4
5
a
r a a πππθ=+=
〔用对称性可以简化计算〕 9、[2007] 计算()1x y dS ∑
++⎰⎰，其中∑为抛物面()()2
21012
z x y z =
+≤≤
解：,,x y z x z y dS ===，投影区域为22:2D x y +≤
由对称性，原式(
()
220
22
1113
3
dS d r πππ∑
==
=+=
⎰⎰⎰ 10.[2006]曲面∑的方程为()2
2
10z x y z =--≥
，则22∑
=
〔 B 〕
A 、2π
B 、π
C 、1
D 、2
π
分析：2222x y ∑
+≤=
⎰⎰
2
2
1
1x y dxdy π+≤=
=⎰⎰
11. [2006]计算
xdydz ydzdx zdxdy
∑
++⎰⎰，其中∑为旋转抛物面
()22,1z x y z =+≤的上侧。
解：方法一、利用两类曲面积分的联系
∑对应侧的法向量为{}2,2,1x y --
原
式
=
()()22222
2222
21
1
22x y x y x
y x y dxdy x
y dxdy +≤+≤--++=-
+⎰⎰⎰⎰
21
30
2
d r dr π
π
θ=-=-
⎰⎰
方法二、利用高斯公式，补充曲面1∑
原式1
3dxdydz xdydz ydzdx zdxdy Ω
∑=--++⎰⎰⎰⎰⎰
221
1
312
x y zdz dxdy π
π+≤=-+
=-
⎰⎰⎰
七。微分方程
[]()()()2212322
2121.20103,3,3222266,
3.
x x y y x y x e x x y x y x y x y C x C e ==+=++'''---+-=-=++设都是方程
的解则该方程的通解为
[]sin 2010.dy y x
dx x x
+=2. 求微分方程
的通解 cos .C x
y x
-=解:通解为:
[]2.20102x y y y e '''+-=3. 求微分方程的通解
1
2
12x x x y C e C e e -=++解:通解为:
4.[2021]
(
化
工
类
做
)
求
微
分
方
程 ()()2
223360.
64x
xy dx x y y dy ++=+的通解
32243x x y y C ++=解:通解为:
5.[2021] (化工类做) 21.2
y y y
'''+
-求微分方程=0的通解 12
1
1y C x C =-+解:通解为
6.[2021] 求如下初值问题的解()()()2
111,10
yy y y y ⎧'''=+⎪
⎨'==⎪⎩
解：此为可降阶微分方程第三种类型。 设()P y y '=，则dP y P dy ''=，原方程化为 21dP
Py
P dy
=+ 变量别离两边积分得
21
1P dP dy P y =+⎰⎰
()211
ln 1ln 2
P y C +=+ 由()()11,10y y '==可得10C =
P =
解y '=
dy dx =±⎰
(
2ln y x C =±+
由()()11,10y y '==可得11C =
所求解为：(
()ln 1y x =±-。
7.[2021] 求方程24x y y e ''-=的通解。
解：先求40y y ''-=的通解，解特征方程2
40r -=得特征根2r =±，所以
40y y ''-=的通解为2212x x y C e C e -=+
因为2λ=是单特征根，所以原方程有特解形式*2x y axe =，代入原方程得 22144
x
x ae e a =⇒=
原方程通解为222124
x
x x x
y C e
C e e -=++
8、[2021] 求微分方程()3sin 1cos 0x x e ydx e ydy +-=的通解
解：cos 3sin 1x x y e dy dx y e =-，cos 3sin 1
x
x y e dy dx y e =-⎰⎰
()ln sin 3ln 1ln x y e c =-+，()3
sin 1x y c e =-【】
9、[2021] 计算满足下述方程的可导函数()y y x =，
()()0
cos 2sin 1x
y x x y t tdt x +=+⎰
解：原方程两端求导得cos sin 2sin cos sin 1y x y x y x y x y x ''-+=+= 即sin 1
cos cos x y y x x
'+
=，这是标准的一阶线性微分方程 ()sin sin lncos lncos cos cos 11tan cos cos cos x x
dx dx x x x x y e e c e e c x c x x x -
-⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰⎰ 原方程令0x =得1y =，代入通解得1c =，从而sin cos y x x =+
10、 [2021]〔化工类做〕求解初值问题()()2
001
y y x
y y ''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩
解：方程2y y x ''+=对应的齐次方程为0y y ''+=，它的特征方程为210r +=， 特征根为1,2r i =±，从而对应通解为12cos sin Y c x c x =+
容易看出2y y x ''+=的一个特解为*22y x =-，因此原方程的通解为
212cos sin 2y c x c x x =++-
从而12sin cos 2y c x c x x '=-++，由初值条件可得123,1c c ==。 因此23cos sin 2y x x x =++-
11、[2007] 求微分方程()20x y x e dx xdy -+-=的通解. 解：原式可以化为一阶线性微分方程1
x y y xe x
-'-= 由公式
()111
ln ln dx dx x x x x x x x x y e xe e dx c e xe e dx c x e dx c x c e ---
----⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
⎰⎰⎰ 12、[2007] 设()f x 具有二阶连续导数，()()00,01f f '==，且
()()()2
0xy x y f x y dx f x x y dy '⎡⎤+-++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦是全微分方程，求()f x 其此全微
分方程的通解。
解：由全微分方程的条件知
()()()()2221,222,,10,x xy f x f x xy f x f x x r r i ''''+-=++=+==± 有特解有形式()*2f x ax bx c =++，代入原方程得()*22f x x =- 从而通解()()21212cos sin 2,sin cos 2f x c x c x x f x c x c x x '=++-=-++ 由初值条件121220,1,2,1,c c c c -==== 因此()22cos sin 2f x x x x =++- 原方程即为
()()222cos sin 22sin cos 20xy x y x x x y dx x x x x y dy ⎡⎤⎡⎤+-++-+-+++=⎣⎦⎣⎦
1、选择题 1）对于级数1n n a ∞ =∑，"lim 0"n n a →∞ =使它收敛的( B )条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、非充分且非必要 2）“部分和数列{}n S 有界”，是正项级数 1 n n a ∞ =∑收敛的（ C ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、非充分且非必要 3）若级数 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则级数 1n n a ∞ =∑必定（ A ）。 A 、收敛 B 、发散 C 、绝对收敛 D 、条件收敛 4）若级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑必定（ B ）。 A 、收敛 B 、发散 C 、绝对收敛 D 、条件收敛 2、用适当的方法判别下列级数的敛散性 1）()1 1 ln 1n n ∞ =+∑ 解：用比较判别法，和调和级数11 n n ∞ =∑比较 因为()11ln 1n n >+，级数() 11 ln 1n n ∞ =+∑发散。 2 ）n ∞ = 解：用比较判别法，因为 4 3 1n n n →∞==，而级数4131n n ∞=∑ 收敛，级数1n ∞= 3 ） 2 n n n ∞ =+ 解：用比较判别法，因为 23 2 2lim 12n n n n n →∞→∞??=+= ???
级数 31 2 1n n ∞ =∑ 收敛，由比较判别法极限形式可得 1 2 n n n ∞ =+收敛。 4）41 1 !n n n ∞ =+∑ 解：用比值判别法，因为 ()()()4 4 4411 1!111lim lim 01111! n n n n n n n n n →∞ →∞+++++=?=<+++，级数41 1 !n n n ∞ =+∑收敛 5）( )11 2n n n n ∞ =++∑ 解：用比较判别法，因为 ()1 21 lim lim 112n n n n n n n n →∞→∞+++==+，级数() 112n n n n ∞ =++∑发散。 6）()11 ,,0n a b na b ∞ =>+∑ 解：用比较判别法，因为 1 1lim lim 1n n na b a b a n n →∞→∞+==+ ，级数1 1n na b ∞ =+∑发散。 7）13! n n n n n ∞ =∑ 解：用比值判别法，因为 ()() 11 31! 13 3 lim lim 13!11n n n n n n n n n n e n n ++→∞ →∞++==>?? + ??? ，级数13!n n n n n ∞ =∑发散。 8 ）) 1 1n n n ∞ =∑ 解：用根式判别法，因为 ) 101n =< ，级数) 1 1n n n ∞ =∑收敛。 9）1n n n b a ∞ =?? ??? ∑，且lim n n a a →∞ =，其中,,n a a b 均为正数
第七章 多元函数微分学 作业1 多元函数 1．填空题 （1）已知函数22,y f x y x y x ⎛ ⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()() 222 11x y y -+； （2）49 arcsin 222 2-+++=y x y x z 的定义域是(){} 22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是 (){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+； （4）函数⎪⎩⎪ ⎨⎧=≠=0, 0,sin ),(x y x x xy y x f 的连续范围是 全平面 ； （5）函数2222y x z y x +=-在2 2y x =处间断. 2．求下列极限 ` （1 ）00 x y →→； 解：0000 31 lim 6x t t y t →→→→===-
（2）22() lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞ +）. 解：3 y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞ →+∞ ⎡⎤+=+-⎣ ⎦）） 由于1lim e lim lim 0t t t t t t t t e e -→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0t t t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====， 故22() 2() lim (e lim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞ →+∞→+∞ →+∞ ⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限2630 0lim y x y x y x +→→是否存在. 解：沿着曲线()()3 ,,0,0y kx x y =→,有3 36626262000 lim lim 1x x y kx x y kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26 30 0lim y x y x y x +→→不存在 ! 4．证明⎪⎩ ⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(22222 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续. 解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡ 从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线
1、写出以下条件所确定的微分方程： 1〕曲线在点(),M x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段QM 被y 轴平分。 解：设此曲线方程为()y y x =，由Q 点坐标为(),0x -，曲线在点(),M x y 处的法线方程为()1Y y X x y -=--'，其与y 轴交点为0,x y y ⎛⎫+ ⎪'⎝ ⎭，因此 202y x y yy x y '=+⇒+=' 2〕曲线上任意点(),M x y 处的切线与线段OM 垂直。 解：设此曲线方程为()y y x =，线段OM 的斜率为y x ，因此 10y y y y x x ''⋅=-⇒+= 3〕曲线上任意点(),M x y 处切线，以及M 点与原点的连线，和x 轴所围成的三角形的 面积为常数2a 。 解：曲线过点(),M x y 的切线方程为 ()Y y y X x '-=- 此切线与x 的交点为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭ 所求微分方程为 212y y x a y ⎛⎫-= ⎪'⎝⎭ () 2220a xy y y '-+= 2、求曲线族12x x xy C e C e -=+〔12,C C 为任意常数〕所满足的微分方程。 解：方程两边关于x 求导得 12x x y xy C e C e -'+=- 两边再关于x 求导得 122x x y xy C e C e -'''+=+ 所求微分方程为 2y xy xy '''+=
3、潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉速度成正比例，如果潜水艇的质量为m ，且是在水面由静止开场下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件。 解：设潜水艇下沉所遇阻力为F ，下沉速度为v ，由牛顿第二运动定理有 mg F ma mv '-== 而由F kv =，其中k 为常数，所以 mv kv mg '+= 因此此问题满足的初值问题为 () 00mv kv mg v '+=⎧⎪⎨=⎪⎩
1、设()f x 是以2π为周期的函数，它在[],ππ-上的表达式为 ()22 2 2 22 x f x x x x ππ ππ π ππ π ⎧--≤<-⎪⎪⎪=- ≤< ⎨⎪⎪≤<⎪⎩ 将()f x 展开成傅里叶级数。 解：注意在一个周期内()f x 是奇函数 ()22 0221 1022a f x dx dx xdx dx ππ π ππππ ππππ π-- --⎛⎫= =-++= ⎪⎝⎭ ⎰⎰⎰⎰ ()1 cos 0n a f x nxdx π ππ - = =⎰ 1,2,n = ()22 221 1sin sin sin sin 22n b f x nxdx nxdx x nxdx nxdx ππ π ππππ ππππ π-- --⎛⎫= =-++ ⎪⎝⎭ ⎰⎰⎰⎰ 22022c o s s i n c o s 2 x n x x n x n n n π ππππ⎛ ⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ =-++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝ ⎭ ()122 sin 12sin 2cos 221,2,2n n n n n n n n n πππππππ+⎛ ⎫ -+ ⎪=-+== ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ()() 1 2 112sin 2sin n n n n f x nx n π ππ+∞ =-+=∑ (),3,,21,x x k πππ-∞<<+∞ ≠±±±+ 2、将函数()()cos 2 x f x x ππ=-≤≤展成傅里叶级数。 解：注意在一个周期内()f x 是偶函数 ()01 1 14 c o s 2s i n 22x x a f x dx dx π π π π πππ πππ - --⎡⎤= ===⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()0 1 2 cos cos cos 2 n x a f x nxdx nxdx π π π π π - = = ⎰⎰
华工高数参考答案答案 华工高数参考答案 高等数学是大部分理工科专业的必修课程，对于很多学生来说，高数是一门相 对较难的学科。华南理工大学（简称华工）是一所以工科为主的综合性大学， 其高数课程也备受关注。本文将提供一份华工高数参考答案，希望能够帮助到 正在学习高数的同学们。 第一章：极限与连续 1. 极限的概念与性质 - 极限的定义：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的ε>0，都存在常数δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，则称函数f(x)在x0处的极限为A。 - 极限的性质： - 唯一性：如果极限存在，那么极限值唯一。 - 局部有界性：如果函数在某点的极限存在，则函数在该点的某个去心邻域内 有界。 - 局部保号性：如果函数在某点的极限存在且大于（或小于）零，则函数在该 点的某个去心邻域内大于（或小于）零。 - 四则运算法则：设函数f(x)和g(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，且 lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，则： - lim(x→x0)(f(x)+g(x))=A+B - lim(x→x0)(f(x)-g(x))=A-B - lim(x→x0)(f(x)g(x))=A*B
- lim(x→x0)(f(x)/g(x))=A/B（若B≠0） 2. 连续与间断 - 连续的定义：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果 lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。 - 连续的性质： - 连续函数的四则运算：若函数f(x)和g(x)在点x0处连续，则f(x)+g(x)、f(x)- g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)（若g(x0)≠0）在点x0处也连续。 - 复合函数的连续性：若函数f(x)在点x0处连续，函数g(u)在u=f(x0)处连续，则复合函数g(f(x))在点x0处连续。 第二章：导数与微分 1. 导数的概念与性质 - 导数的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果极限 lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，则称该极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作 f'(x0)或dy/dx|_(x=x0)。 - 导数的性质： - 导数存在的充分条件：函数在某点处可导，则函数在该点处连续。 - 导数的四则运算法则：设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，则： - (cf(x))'=cf'(x0)（c为常数） - (f(x)+g(x))'=f'(x0)+g'(x0) - (f(x)g(x))'=f'(x0)g(x0)+f(x0)g'(x0) - (f(x)/g(x))'=[f'(x0)g(x0)-f(x0)g'(x0)]/[g(x0)]^2（若g(x0)≠0） 2. 微分的概念与性质
华北理工大学《高等数学》2020-2021学年 第二学期期末试卷 专业 学号 姓名______________________ 一、选择题（每小题3分，共12分） 1. 无穷小量是（ ） （A ）比零稍大一点的数 （B ）一个越来越接近0的变量 （C ）以0为极限的变量 （D ）比任何数都要小的量 2. 曲线133 1 23+- -=x x x y 在区间]3 , 1[上是（ ） （A ）单调递减凸 （B ）单调递减凹 （C ）单调递增凸 （D ）单调递增凹 3. 设()f x 在[],a b 连续，()()()x a x f x dx a x b Φ=≤≤⎰ ，则()x Φ是()f x （ ） （A ）的一个原函数 （B ）的不定积分 （C ）的全体原函数 （D ）在[],a b 上的定积分 4. 设积分410I xdx π =⎰ ，2I =，2430 sin I xdx π =⎰，则 123,, I I I 大小关系是（ ） （A ）123I I I >< （B ）132I I I >> （C ）312I I I >> （D ）213I I I >> 二、填空题（每小题3分,共18分） 1. _____________])1 1(sin 2[lim 32 =-++∞→x x x x x x x
2.设函数2sin 0()320 x x f x x x x a x ⎧<⎪ =⎨⎪-+≥⎩，当a ＝ 时，函数()f x 在定义域内连续. 3. 由方程2e 2=-+xy y x 所确定的曲线在0=x 处的切线斜率为____________ 4. 若c e dx e x f x x +=--⎰11 )(, 则=)(x f 5. [)___________)2 ( , )cos 1()(0)( 0 =π +=∞+⎰f x x dt t f x f x 则上连续，且，在设 6. 若反常积分5 1 = ⎰∞ +dx e kx ，则常数_________=k 三、求下列极限（每小题6分,共12分） 1. x x x x x sin 1 cot lim 0-→ 2. )11 1(lim 0--→x x e x 四、解答题（6分）求参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2 2 11 t y t x 所确定的函数) (x y y =的导数dx dy 与22dx y d .
《高等数学》试卷 （试卷号：20××—, 时间150分钟，总分100） 学院（系） 专业班 姓 名： 成绩报告表序号： 一、填空题 1．[3分]ππln ++=e x x y ，则=dy 2．[3分]⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0 ,0,3cos 1)(2 x a x x x x f 在0=x 处连续，则=a 3．[3分]过原点)0,0(作曲线x e y 21=的切线，则法线方程为 4．[3分]⎰+= -x t dt t e x sin 021)(ϕ，则=')(t ϕ 5．[3分]⎰=-3 023dx x 二、单项选择题 1、[3分]极限x x x x 24lim 2++∞→为 A. 21 B. 21- C. 2 1± D. 不存在 2、[3分]若)(x f 是奇函数，且)0(f '存在，则0=x 是函数x x f x F )()(= 的 A.无穷间断点 B.可去间断点 C.连续点 D.振荡间断点 3、[3分]下列各函数哪一个不是x 2sin 的原函数 A. x 2cos - B. x 2sin C. x 2cos - D. x x 2 2cos 3sin 4+
4、[3分]关于x x f 1)(= 的单调性，正确的结论是 A. 当0≠x 时，单调减 B. 当0
华南理工大学2011-2012学年第二学期《高等数学》期 中考试试卷评分标准 一. 解答下列各题 (每小题5分,共20分) 1.求极限22()lim (e x y x y x y -+→+∞ →+∞ +）. 解： lim e 0k t t t -→+∞ = ２＇ 22()2()lim (e lim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞ →+∞ ⎡⎤+=+-=⎣⎦）） ３＇ ２．求由方程组22 222 2320 z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x . 解： ()()2260 23220 xdx z dz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧⎪⎨ +++=⎪⎩ ３＇ 6,1326dz x dy x xy dx z dx y yz +==- ++ ２＇ ３．设,u f 可微，证明： ()()grad grad f u f u u '= 证明： ()()()()()()(){ } ()()(){},,,,x y z x y z f u f u f u f u f u u f u u f u u ''' ''''''= =⋅⋅⋅grad ３＇ (){}(),,x y z f u u u u f u u '''''==grad ２＇ ４．求曲线23x t y t z t =⎧⎪ =-⎨⎪=⎩ 的切线，使它与平面21z y z ++=平行. 解： 设切点为()23000 ,,M t t t -，则切向量为{}2 001,2,3T t t =- . １＇ _____________ ________ 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………
华南理工大学高数（上）期末考题参考答案 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.设x y +=1arctan ，则= =0x dy dx 4 1 . 2.=+→x x x 10 )sin 1(lim e . 3.已知△ABC 的三个顶点的坐标为)1,1,0(),0,1,2(),1,0,1(C B A ,则∠= BAC 2 6 . 4.曲线)1(ln 2 1412e x x x y ≤≤-= 的弧长等于)1(41 2+e . 5. ⎰ +∞ -= 2 dx xe x 2 1 . 二、选择题（每小题3分，共15分） 1. 设 ,)(),()(2x x h x g x f dx d ==则)()]([D x h f dx d =. （A ）)(2 x g ； （B ）)(2x xg ； （C ）)(2 2 x g x ； （D ）)(22 x xg . 2.设,275)(-+=x x x f 则0→x 时，（ B ）. （A ）)(x f 与x 是等价无穷小量； （B ）)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量； （C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小量； （D ）)(x f 是比x 低阶的无穷小量. 3.设)(x g 在),(∞+-∞上严格单调减少，)(x f 在0x x =处有极大值，则（A ）. （A ）)]([x f g 在0x x =处有极小值；（B ）)]([x f g 在0x x =处有极大值； （C ）)]([x f g 在0x x =处有最小值；（D ）)]([x f g 在0x x =处有既无极值也无最值； 4.下列函数中，在定义域上连续的函数是（ B ） （A ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=;0,0, 0,sin )(x x x x x f （B ）⎪⎩⎪⎨⎧ =≠=;0,0,0,1sin )(x x x x x f （C ）⎪⎩ ⎪⎨⎧=≠-+=;0,0,0,11)(x x x x x f （D ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0,0,0,1)(x x x e x f x
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 2014-2015学年第二学期《微积分（下）》试卷（A 卷） 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷； 本试卷共十二大题，满分100分，考试时间120分钟。 4分，共20分） 1. 设y xy z )1(+=, 则=∂∂x z 12)1(-+y xy y . 2. 函数22ln y x z +=在点)1,1(处的全微分= z d y x d 2 1d 21+. 3. 球面6222=++z y x 在点)1,2,1(处的切平面方程为062=-++z y x . 4. 设曲线1:22=+y x L , 则曲线积分=+⎰L s y x d )(2π2. 5. 函数)cos(e yz u x =在原点)0,0,0(处的梯度为)0,0,1(. 二、（本题8分）设方程组⎩⎨⎧=-=uv y u v x 222确定了隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u , 求x u ∂∂与x v ∂∂. 解. ⎩⎨⎧+=⋅-⋅=x x x x vu uv u u v v 0222或者⎩⎨⎧=+=⋅-⋅01x x x x vu uv u u v v , 22v u u u x +-=, 2 2v u v v x +=.
三、（本题8分）设),(y x y x f z -+=, ),(v u f 有二阶连续偏导数, 求x z ∂∂与y x z ∂∂∂2. 21f f z x '+'= 221122211211 f f f f f f z xy ''-''=''-''+''-''= 四、（本题8分）计算二重积分⎰⎰=D x y I σd 22 , 其中D 是由直线2=y , x y =及双曲线 1=xy 围成的闭区域. 4 9 d d 1 2 221 ==⎰⎰y y x x y y I 五、（本题8分）计算曲线积分⎰+++=L y x x x x y I d )(sin d )1cos (, 其中L 为由点) 0,(a A 至点)0,(a B -的上半圆弧22x a y -=(0>a ). a a y x x x x y y x I BA D 22 1 d )(sin d )1cos (d d 2-=+++-=⎰⎰⎰π 其中D 是半圆域222a y x ≤+, 0≥y . 六、（本题8分）计算曲面积分⎰⎰∑ =S z I d , 其中∑为圆锥面22y x z +=位于圆柱体 x y x 222≤+内部分. 29 32 d d 2d d 22cos 0 22 22= ⋅=⋅+=⎰ ⎰⎰⎰-θ π πθr r r y x y x I D 其中D 是圆域x y x 222≤+.
如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流 华南理工大学《高等数学》试卷 A+答案
24分） =3412dx dy + ,0,0)的切线方程为,y z x a a c == (,)0(,)0 x y x y ≠=，则(0,)x f y =y -. 处沿从点0(1,2)P 到点1(2,2P 方向的方向导数是 方向的圆周229x y +=，则曲线积分 (22)d L xy y x -=⎰18π- 6.设L 为直线y 到点(1,1)之间的一段，则曲线积分2d L xy s = ⎰4 . 二. （本题7分）2 22e d x y D xy σ⎰⎰，其中D 是由1,0y x x ===所 围成的闭区域. =1 200 2y dy xy e ⎰⎰ ’ =1 (2)2 e ----------------4’ ⎰⎰⎰Ωd v z ，其中Ω是由22222 2x y z z x y ⎧++≤⎪ ⎨≥+⎪⎩所确定. ’ ’ 222d ()d d (2)d d y z x y z z x xy y z x y +-++，其中∑为半球 ’
=1 22222x y z dv xy y zdxdy Ω ∑++-+⎰⎰⎰⎰⎰-------------3’ =2420 sin a d d r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰---------------------2’ = 5 25 a π-------------------------------------1’ 五．（本题7分）计算(1)d x y S ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面221 ()(01)2z x y z =+≤≤. = 222 (x y x y +≤++⎰⎰ -------------4’ =20 d πθ⎰ ---------------------2’ 六．（本题7分）求22u x y z =-+在约束条件2221x y z ++=下的最大值和最小值. 22222(1)F x y z x y z λ=-++++------------------2’ 12000 x y z F x F F λ=-=== ---------------------------------------3’ 122 (,,)3(max)333u -=---------------------------------1’ 122 (,,)3(min)333 u --=-------------------------------1’ 七．（本题7分）设(,)x z f x y =,f 具有连续二阶偏导数,求2,.z z x x y ∂∂∂∂∂ ''121 z f f x y ∂=+∂---------------------3’ 2'''' '1222231()z xyf xf yf x y y ∂=-++∂∂--------4’ 八. （本题7分）求微分方程2(e )d d 0x y x x x y -+-=的通解. 1 'x y y xe x -- =------------------------1’ 由1 '0y y x -=解出y Cx =--------------3’
华南理工大学高数试卷2009 一. 填空题 (共5小题,每小题3分,共15分) 1．设0x →时,tan e e x x -与n x 是同阶无穷小,则n =_________3______； 2．设x y 211 += ，则=)()6(x y 76)21(!6)2(x +-； 3．若曲线23bx ax y +=的拐点为（1, 3），则常数=a 23- ，=b 2 9； 4．曲线1 (21)e x y x =-的渐近线方程为21,0y x x =+=； 5.x x f ln )(=在10=x 处带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式为 ))1(()1(1 )1()1(31)1(21)1(132n n n x o x n x x x -+--++-+---- ． 二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分) 1．已知) 1(||)(2 2--=x x x x x f ，指出函数的间断点及其类型． 1230,1,1x x x ===-为间断点……….2分 222200(00)lim 1,(00)lim 1,(1)(1)x x x x x x f f x x x x →-→+---==-+==--- 2222101011 (10)lim ,(10)lim ,(1)2(1)2 x x x x x x f f x x x x →-→+---==+==-- ()221010(1)(10)lim ,(10)lim ,(1)1(1) x x x x x x f f x x x x x →--→+----==+∞-+==-∞--+--………3分 从而10x =为第一类跳跃间断点，21x =为第一类可去间断点，31x =-为第二类无穷型间断点 ………………………………………………………………………………..1分 2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=-1,1e 1 ,ln )()1(22x x a x x f x b 在点1x =处可导，求,a b 的值． ()()()11010f f f =+=- _____________ ________
华南理工大学期中考试 2021-2021学年第二学期?高等数学?期中考试试卷 考前须知：1. 考试形式：闭卷； ．本试卷总分值100分，考试时间90分钟。 . 解答以下各题 (每题5分,共20分) 设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，求z z x y x y ∂∂+∂∂ (),z z x y =是由方程()2 2 x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数，且 1'≠-.求dz . (),arctan x f x y y =在点()0,1处的梯度. 设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的一动点，假设S 在点P 处的切平面与xoy 面垂直，P 的轨迹C 。 . 解答以下各题 (每题10分,共30分) ()() 22 ,2ln f x y x y y y =++的极值 (),u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u u x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂。确定的 ,b 值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20u ξη ∂=∂∂ ．曲线22220 :35 x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点。
三. 解答以下各题 (每题8分，共32分) ８．设函数(),f x y 连续，交换二次积分的积分次序：()1 22 ,y dy f x y dx -⎰ ⎰. ９．设函数f 连续，假设() 22,uv D f x y F u v +=，其中区域D 为第一象限222 1x y u ≤+≤与0arctan y v x ≤≤的局部，求F u ∂∂ １０．计算二重积分 () 3 D x y dxdy +⎰⎰，其中 D 由曲线x = 与直线0x =及 0x = 围成。 11.计算二重积分2sin D I r θ= ⎰⎰，其中(),0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. 四. 解答以下各题 (每题9分,共18分) 12.求位于两球面()2 2224x y z ++-=和()2 22 11x y z ++-=之间的均匀物体的质心. 13. 计算由22 12,0,0x y x y z xy ≤+≤≥≤≤所确定的立体的体积.
《高等数学》（下册）测试题一 一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号 中填上所选字母） 1．设有直线 3210 :21030 x y z L x y z +++=⎧⎨ --+=⎩ 及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ A ） A ．平行于平面π； B ．在平面π上； C ．垂直于平面π； D ．与平面π斜交. 2．二元函数22 ,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩ 在点(0,0)处（ C ） A ．连续、偏导数存在； B ．连续、偏导数不存在； C ．不连续、偏导数存在； D ．不连续、偏导数不存在. 3．设()f x 为连续函数，1 ()d ()d t t y F t y f x x =⎰⎰，则(2)F '＝（ B ） A ．2(2)f ； B ．(2)f ； C ．(2)f - D ．0. 4．设∑是平面 13 2=++z y x 由0≥x ，0≥y ，0≥z 所确定的三角形区域，则曲面积分 (326)d x y z S ∑ + +⎰⎰＝（ D ） A ．7； B ． 2 21 ； C ．14； D ．21. 5．微分方程e 1x y y ''-=+的一个特解应具有形式（ B ） A ．e x a b +； B ．e x ax b +； C ．e x a bx +； D ．e x ax bx +.
二、填空题（每小题3分，本大题共15分） 1．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为2230x y z +-=； 2．设arctan 1x y z xy -=+ ，则d |z ＝24 dx dy -； 3．设L 为122=+y x 正向一周，则2 e d x L y =⎰ 0 ； 4．设圆柱面322=+y x ，与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交，且它们的交角为 π6，则正数=0Z 3 2 ； 5．设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解 21,y y ，若12y y αβ+也是该方程的解，则应有=+βα 1 . 三、（本题7分）设由方程组e cos e sin u u x v y v ⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了u ，v 是x ，y 的函数，求 x u ∂∂及x v ∂∂与y v ∂∂. 解：方程两边取全微分，则e cos e sin e sin e cos u u u u dx vdu vdv dy vdu vdv ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ 解出2222cos e sin ,,e sin e cos u u u u xdx ydy du e vdx vdy x y du dv xdy ydx dv vdx vdy x y ----+⎧=+=⎪+⎪ ⎨-⎪=-+=⎪+⎩ 从而 222222,,u x v y v x x x y x x y y x y ∂∂-∂===∂+∂+∂+ 四、（本题7分）已知点)1,1,1(A 及点)1,2,3(-B ，求函数()3ln 32u xy z =-在点A 处沿AB 方向的方向导数. 解：{}2122,1,2,,,333AB AB ⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭
,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 《高等数学（下）》试卷A 15分，每小题3分） 若(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下列结论错误的是 （） ）(),z f x y =在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在； 曲面(),z f x y =在点()() 0000,,,x y f x y 处有切平面 二重极限2 2400 lim x y xy x y →→+值为（ ） ）0； (B) 1； (C) 1 2 ； (D)不存在 已知曲面()2 2 :10z x y z ∑=--≥，则222dS ∑ =（） ）2π； (B) π； (C) 1； (D) 12 π 已知直线34: 273 x y z L ++==--和平面:4223x y z ∏--=，则（ ） ）L 在∏内； (B) L 与∏平行，但L 不在∏内； L 与∏垂直； (D) L 与∏不垂直，L 与∏不平行（斜交） 、 用待定系数法求微分方程2 32y y y x '''++=的一个特解时，应设特解的形式y = （ ） (A) 2 ax ；（B ）2 ax bx c ++；（C ）2()x ax bx c ++；（D ）22 ()x ax bx c ++ （本大题共15分，每小题3本分） . arctan x z y =，则dz = . 曲线L 为从原点到点(1,1)的直线段，则曲线积分L ⎰ 的值等于
３. 交换积分次序后， ln 1 (,)e x dx f x y dy =⎰ ⎰ ４. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)-沿方向{}2,1l =的方向导数为 5. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的法线方程是 三、（本题7分）计算二重积分D xyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2 y x =-所围成的闭区域 四、（本题7分）计算三重积分zdv Ω ⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面221x y +=及平面 0,1z z ==所围成的闭区域 五、（本题7分）计算 xdydz ydzdx zdxdy ∑ ++⎰⎰，其中∑为旋转抛物面 ()221z x y z =+≤的上侧 六、（本题7分）计算()() 3133xy xy L ye x y dx xe x y dy +-+++-+⎰，其中L 为从点 (),0a - 沿椭圆y =-(),0a 的一段曲线 七、（本题6分）设函数( )22 22 0,0,0 x y f x y x y +≠=+=⎩， 证明：1、(),f x y 在点()0,0处偏导数存在， 2、(),f x y 在点()0,0处不可微 八、（本题7分）设,,y z xf xy f x ⎛ ⎫= ⎪⎝⎭ 具有连续二阶偏导数，求2,z z y y x ∂∂∂∂∂ 九、（本题7分）设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通解 十、（本题8分）在第一卦限内作椭球面222 2221x y z a b c ++=的切平面，使该切平面 与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标
第一章-函数随堂练习答案 1.函数的定义域是( ) A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 2.函数的定义域是 ( ) A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 3.函数的定义域是( ) A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 4.函数的定义域为( ) A． B． C． D．
答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 5.函数的定义域是（） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 6.函数的定义域是( ) A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 7.函数的定义域是（）A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 8.若，则( ) A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 9.若，，则( )
A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 10.设，则( ) A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 11.( ) A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 12.( ) A． B．不存在 C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 13.( ) A．不存在 B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交）
华南理工大学网络教育平台-*高等数学B(下)-随堂练习参考答案2013-4-10 1.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 2.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 3.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 4.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 5.,则的定义域为（） （A）（B） （C）（D）
答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 6.下列函数为同一函数的是（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 7. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 8. （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 9. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D 问题解析： 10. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 11. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 12. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 13. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 14. （A）（B）0 （C）（D）
高等数学〔下〕试题集 t 在点(),0,0a 的切线方程为0x a y z a c -==. 22 122 z x y =+ 上求出切平面，使所得的切平面与平面 },,1x y -应与平面平面42210x y z ---=的法向量平行， 11,2x =-=，由于切点在曲面上()2 211 21122 z ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ ()()21210,210y z x y z +--=---= 473 y z +==-和平面:4223x y z ∏--=则〔 B 〕 、L 与∏平行，但L 不在∏内 、L 不与∏垂直，L 不与∏平行 23z xy +=在点()1,2,0处的法线方程是 直线1210:320 x y L x z +-=⎧⎨ +-=⎩和2112 :123x y z L -+-==，12,L L 所确定的平面方程。 ()()0,1,2,1,1,1--，则{}11,2,3S =--是1L 的{}21,2,3S =-， 因为12//S S ，所以12//L L
设12,L L 所确定的平面方程为0Ax By Cz D +++=，它经过点()1,1,2-和点()()0,1,2,1,1,1--，所以 20220 00A B C D A D B C D B D A B C D C -++==-⎧⎧⎪⎪ ++=⇒=-⎨⎨⎪⎪--+==⎩⎩ 所求方程为210x y --+= 二。多元函数 [](){}221.201042,116,18.z x y gradz ==+9点的梯度 [] ()()44222.2010(,)21,1,1,1.f x y x y x xy y =+-----的极值点是 [ ]()()2010:(,)0,0, (0,0)(0,0),0,0.f x y f f x y =3. 证明处连续与存在但在处不可微 ( )()()( )()0 :10(0,0),(,)0,0(,0)(0,0) 2(0,0)lim (0,0)0, (0,0)(0,0).(0,0)(0,0)3lim (,)0,0. x y x y x x y x y f f x y f x f f f x f f f f x f y f x y →→∆→∆→∆→=== ∆-==∆⎡⎤∆-∆+∆解因为所以处连续. =0,同理所以与存在因为,所以在处不可微[]()2010,cos ,sin , u x y x r y r u u x y r y x θθθ==∂∂-∂∂4. 设函数有连续偏导数,试用极坐标与 直角坐标的转化公式 将变换为,下的表达式.