指数与指数函数
一、学习目标
1、理解n 资助方根、根式、分数指数幂概念，会对根式、分数指数幂进行互化；
2、掌握分数指数幂的运算性质，熟练运用性质进行化简、求值；
3、培养化归意识，思维的灵活性和严密性；
4、掌握指数函数的根念；
5、掌握指数函数的图像、性质；
6、能利用指数函数的性质比较幂的大小；
7、培养学生的应用意识。
二.基础训练
1.化简: 211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-=_________________________
2.化简:
3. 20,()(1)1,
x x f x a a >=-当时函数的值总大于则正实数的取值范围是______
4. 323_____.x y -=+函数恒过定点
5. 若函数2()12
x
x k f x k -=+?在定义域上为奇函数，则k =__________ 6. (1),(2),(3),
(4),,,,1_____x x x x y a y b y c y d a b c d ====如图是指数函数的图象则与的大小关系是
二.例题精讲
例1.化简(1) （1+2321
-）（1+2161-）（1+281
-）(1+2-41)（1+221
-）
(2) 1
41030.753
3270.064()[(2)]160.018
-----+-++
例2. 312
1
3
3242
3(),2,(),()""334-<将用号连接起来
例3. 已知17a a -+=，求下列各式的值:
（1）33
221122
a a a a ----；（2）1
122
a a -+；（3）22(1)a a a -->.
例4. 指出下列函数中哪些是指数函数；
(1)y=4x ; (2)y=x 4; (3)y=-4x ; (4)y=(-4)x ; (5)y=
πx ;
(7)y=x x ;
例5.求下列函数的定义域
(1) y = (2) y = (0,1).a a >≠其中且
例6. 已知函数f(x)=)1(1
1>+-a a a x x , (1)判断函数的奇偶性；
(2)求该函数的值域；
(3)证明f(x)是R 上的增函数。
例7. 2120.5x x y +-=求函数的定义域和值域，并讨论其单调性。
例8. 作出|1|1
()2x y -=的图象,求它的定义域,值域. 并探讨|1|1()
2x y -=与11()2x y -=图象的关系
例9（1）已知m x f x +-=1
32)(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|31|x k -=
无解？有一解？有两解？
三.巩固练习.
1. 若a 23 2,则a 的取值范围是 2. [0,1]3,x y a a ==函数在上是最大值与最小值的和为则_____ 3. 已知{}2,1,0,1,2,3n ∈--，若1 1()()25 n n ->-，则______n = 4. 函数y=( 31)1822+--x x (-31≤≤x )的值域是 5. 直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ,y=(2 1)x ,y=2x ,y=10x 的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是 6. 已知f(x)=2x ,g(x)是一次函数，记F （x ）=f[g(x)],并且点（2， 41）既在函数F （x ）的图像上，又在F -1（x ）的图像上，则F （x ）的解析式为 . 2．1．2指数函数 教学目标： 1．通过细胞分裂的实例，了解指数函数模型的实际背景，感受指数模型在现代科技中的应用。 2．理解指数函数的概念、图象和性质。 3．能运用指数函数的单调性解决比较两个指数式的大小等问题。 课前预习： 1、指数函数的概念、图象和性质。 指数函数定义： 一般地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做 ，其中x 是 ，函数定义域是 ． 2、指数函数的图象和性质： 思考：指出下列函数哪些是指数函数： ①23x y = ②4x y = ③23x y = ④32x y =? ⑤31x y =+ ⑥3x y =- 练习．函数2(33)x y a a a =-+为指数函数，求a 的值。 课内探究： 1. 比较大小： 31.9 1.9π--与； 2.如图是指数函数：①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d =的图象，求a 、b 、c 、d 的关系 当堂检测： 1．设0.90.48 1.51231 4,8,()2y y y -===，则它们的大小关系为 。 2．若函数1(01)x y a b a a =+->≠且的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ） ①01,0a b <<>且 ② a >1，且b >0 ③01,0a b <<<且 ④ a >1，且b <0 3．已知实数a ，b 满足等式11()()23a b =，下列五个关系式 ①0。 第四节 指数与指数函数 突破点一 指数幂的运算 [基本知识] 1．根式 (1)根式的概念 若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N * .式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示 x n ＝a ??? ? x ＝ n a 当n 为奇数且n >1时，x ＝±n a 当n 为偶数且n >1时. 2．有理数指数幂 幂的有关概念 正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m ，n ∈N * ，且n ＞1) 负分数指数幂：a － m n ＝ 1a m n ＝ 1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N * ，且n ＞1) 0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质 a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q) (a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q) (ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q) 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1) 4 －a 4 ＝－a .( ) (2)(－a )24 ＝(－a )12 ＝－a .( ) (3)(n a )n ＝a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．计算：π0 ＋2－2 ×? ?? ??2141 2＝________. 答案：118 2．设a >0，将 a 2a ·3 a 2 表示成分数指数幂的形式，其结果是________． 解析： a 2 a ·3 a 2 ＝ a 2a ·a 23 ＝ a 2a 53 ＝ a 2 a 51×32 ＝a 2 ·a - 56 ＝a - 526 ＝a 76 . 答案：a 76 3．若2a －12 ＝ 3 1－2a 3 ，则实数a 的取值范围为________． 解析： 2a －1 2 ＝|2a －1|， 3 1－2a 3 ＝1－2a . 因为|2a －1|＝1－2a . 故2a －1≤0，所以a ≤1 2. 答案：? ????－∞，12 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． [典例] (1) a 3a ·5 a 4 (a >0)的值是( ) A ．1 B ．a C ．a 1 5 D ．a 1710 (2)? ????2 350＋2－2·? ????2 14-1 2－(0.01)0.5 ＝________. [解析] (1) a 3 a ·5 a 4＝ a 3 a 1 2 ·a 45 ＝a 143--25 ＝a 1710 .故选D. 3.1.2《指数函数》学案(一） 姜永章 刘欢 张志华 2012.10.13 一、课标点击 (一)学习目标： 1、理解指数的定义并掌握指数函数的图象和性质； 2、能够利用指数函数的图象和性质解决有关问题。 (二)学习重、难点： 重点：指数函数的图象和性质 难点：指数函数的图象和性质的应用 （三）教学方法 自主探究，合作交流。 二、学习探究 问题1： 1、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的 细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ 2、质量为1的一种放射性物质不断地衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的50%，求这种物质的剩留量y 与时间 x 的函数关系。 观察你写的两个函数解析式，它们的共同特征是什么？你能写出这类解析的一般形式吗？ 学习探究（一） 1、指数函数的定义： 。 2、小练习 指出下列函数哪些是指数函数： ① x y 4=； ② x y 4-=； ③ x y )4(-=； ④ x y π=； ⑤24x y =； ⑥x y 32?=； ⑦(21)x y a =-（12 1 ≠>a a 且） 3、思考与讨论： （1）为什么指数函数的定义中要规定a>0,且a ≠1呢？ （2）如何判断一个函数是否为指数函数？ 问题2、 作函数x y 2=与x y )2 1 (=的图象，并观察图象指出它们的性质。 学习探究（二） 1 2、思考与讨论： （1）底数大小与函数单调性的关系？ （2）指数函数,0(>=a a y x 且1≠a ），x 取何值时， 1>y ？x 取何值时，10< 一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析 2.1.2 指数函数及其性质(二) 自主学习 1．理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题． 2．理解指数函数的底数a 对函数图象的影响． 基础自测 1．下列一定是指数函数的是( ) A ．y ＝－3x B ．y ＝x x (x >0，且x ≠1) C ．y ＝(a －2)x (a >3) D ．y ＝(1－2)x 2. 指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( ) A ．a <0，b <0 B ．a <0，b >0 C ．01 D ．02 C ．－10，且a ≠1)，求x 的取值范围． 规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为 变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2) 1－x ，则x 的取值范围是____________． 指数函数的最值问题 【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值． 规律方法 指数函数y ＝a x (a >1)为单调增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时，函数有最大值a t .指数函数y ＝a x (00，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a 的值； (2)0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12 －3·2x ＋5的最大值和最小值． 1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间． 2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小 (1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小． (2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们 2.1.2指数函数及其性质(二) 自主学习 1．理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a对函数图象的影响． 基础自测 1．下列一定是指数函数的是() A．y＝－3x B．y＝x x(x>0，且x≠1) C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－2)x 2. 指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图，则() A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0 规律方法 比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量． 变式迁移1 比较????4313，223，????－233，????3412的大小． 解简单的指数不等式 【例2】 如果a 2x ＋1≤a x － 5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围． 规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为 变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－ x ，则x 的取值范围是____________． 指数函数的最值问题 【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值． 2.1?2-1指数函数的概念学案 1.2-1指数函数的概念学案 课前预习学案 一.预习目标 通过预习理解指数函数的概念 简单掌握指数函数的性质 二.预习内容 1.一般地，函数 叫做指数函数. 2.指数函数的定义域是 值域 3.指数函数的图像必过特殊点 4.指数函数，当 时，在上是增函数；当 时， 在上是减函数. 三.提出疑惑通过以上自我预习你还有什么疑惑请写在下面 的横线课内探究学案 一.学习目标 理解指数函数的概念能画出具体的指数函数图象 在理解指数函数概念、性质的基础上，能运用所学知识解决简单的数学问题 学习重点：指数函数概念、图象和性质 学习难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 二.学习过程 探究一 1.函数是指数函数，则有 A.a=1或a = 2 B. a=1 C. a = 2 D. a >0且 2.关于指数函数和的图像，下列说法不正确的是 A.它们的图像都过点，并且都在x轴的上方. B.它们的图像关于y轴对称，因此它们是偶函数. C.它们的定义域都是R,值域都是. D.自左向右看的图像是上升的，的图像是下降的. 3.函数在R上是减函数，贝U的取值范围是 A、B、c、D、 4.指数函数f的图像恒过点，则f = 5.函数的单调递增区间是。 探究二 例1:指出下列函数那些是指数函数： 例2:求下列函数的定义域与值域： 例3:将下列各数从小到大排列起来： 三.当堂检测 1.下列关系式中正确的是 A.VV B.VV C.VV D.VV 2 .若一1VxV 0,则下列不等式中正确的是 A.VV B.<< C.VV D.VV 3.下列函数中值域是的函数是 A. B. C. D. 4 .函数的值域是 A、B、c、D、 课后练习与提高 1 .函数图像在不在第二象限且不过原点，则m的 取值范围是 A.a>1 b.a>1且mV0 C.OVaV 1且 指数与指数函数复习学案（解析篇） 【高考要求】指数函数（B ） 【学习目标】理解有理数指数幂的含义；了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算. 理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质,会画指数函数的图象. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题. 【学习重难点】指数函数的性质及其应用 （课前基础知识回顾，事先发给学生填写，课上用投影打出一起回顾） 一、根式 1．根式的概念 2．两个重要公式 (1)n a n ＝??? a ， n 为奇数， |a |＝? ???? a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数； (2)(n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． 二、有理数指数幂 1．幂的有关概念 (1)正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1 n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)．指数函数学案
2020高考数学一轮复习2.4指数与指数函数学案
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